Capítulo 1

Introd ução

o controlador PID, de Proporcional, Integral, Derivativo, é o tipo de controlador de estrutura fixamais utilizado nãs aplicações industriais, tanto no Brasil como no mundo. Trabalhos de pesquisabem recentes (Takatsu, Itoh & Araki 1998) mostram que mais de 95% das malhas de controle deprocessos industriais são de tipo PID e que as estruturas de controle distribuido mais complexastem o PID como elemento básico.

Esta predominância deve-se basicamente a: (i) uma grande quantidade de processos industriais,principalmente os de origem térmica e química, possuem uma dinâ:m.icaque pode ser bem modeladapor uma função de transferência de primeira ou segunda ordem, o que permite que um controladorde poucos parâmetros consiga obter uma performance adequada; (ü) a ação integrativa do PIDgarante que o sistema em MF possa trabalhar sem erro em regime permanente, para referências ouperturbações constantes; (iii) a ação derivativa do PID tem caraterÍBticas preditivas, importantespara corrigir as dinâmicas transitórias.

Em geral, pode se dizer que para processos com dinâmicas bem comportadas e especificaçõesnão muito exigentes o controlador PID é uma solução que oferece um bom compromisso entresimplicidade e bom comportamento em malha fechada. Porém, deve ser destacado que os com-pensadores PID não podem ser aplicados de forma indiscriminada para qualquer tipo de processo.Existem claramente situações onde este tipo de controlador não leva a uma solução satisfat6ria,sendo necessário utilizar técnicas mais sofisticadas.

Apesar da importância prática do PID e da grande quantidade de pesquisas sobre este contro-lador no meio acadêmico, é normal encontrar no meio industrial, controladores PID mal ajustadose/ou mal utilizados. Assim, neste curso, estudar-se-ão as propriedades deste controlador, analizan-do as suas vantagens e limitações, discutindo as diversas formas de implementação e de ajuste deseus parâmetros, seja de forma analítica, ou usando métodos empíricos.

A apresentação desta matéria se dará da seguinte forma. Primeiramente se apresenta umarevisão dos conceitos básicos de controle de processos e da nomenclatura utilizada neste documento.No capítulo 2 apresenta-se a configuração acadêmicâ do controlador PID no domínio do tempo eestudam-se as três ações básicas. As diferentes configurações do PID são estudadas no capítulo3. O capítulo 4 apresenta um estudo de diversos métodos de ajuste do controlador e o capítulo 5discute questÕes de implemantação prática e operacionais. O documento finaliza com as conclusões.

1

1.1 Controle de Processos

o diagrama básico do sistema de controle que será utilizado ao longo deste documento mostra-sena figura 1.1. Neste diagrama distinguem-se:

qy

controle por pre-alimentação

controle por realimentação

Figura 1.1: Diagrama de blocos do sistema de controle básico

· O bloco G, que representa o processo (medidor mais processo propriamente dito mais atuador)com saída ou variável a controlar y e entradas u e q.

. Os blocos Cr e Cp, que representam, respectivamente, o controle por realimentação negativae o controle por pre-alimentação. A soma das ações geradas por Cp e Cr é a variável decontrole u aplicada ao processo.

. O sinal de referencia r que define a forma de onda que deve ser seguida pela saída do processo.

· O sinal de perturbação q que representa o efeito de sinais externos não controláveis quealteram o funcionamento desejado da saída.

Uma vez definida uma estrutura geral para a análise do problema é necessário que sejam esta-belecidas as especificações para o funcionamento em malha fechada (MF) do sistema. O conjuntode especificações de controle de um sistema em MF pode ser dividido em:

. especificação de regime transitório

. especificação de regime permanente

A especmcação de regime transitório estabelece, para um determinado tipo de exitação, as dife-renças máximas aceitáveis entre a saída e um determinado padrão de resposta. Em geral os padrõesde resposta estão definidos através de parâmetros como picos máximos, tempos para atingir umcerto percentual do valor de regime permanente, etc.

Já a especificação de regime permanente estabelece condições de seguimento ou rejeição dedeterminados sinais que atuam sobre o sistema considerado.

2

A figura 1.2 mostra um conjunto de medidas típicas realizadas sobre a resposta ao degrauunitário de referência e a um degrau de 0.5 de perturbação de um sistema em MF. Para umamudança. de referencia de valor unitário mede-se:

. erro de regime permanente, definido como a diferença. entre o valor final desejado e o atingido:eo = r - Yoo;

. pico máximo, geralmente medido em relação ao valor do regime permanente, dado por S =Yma.:r:-:oo,sendo "0 o valor inicial da saída. Na figur a 1.2 este valor é zero;Yoo- o ;/'

. Tempo de resposta de 5%, que é o tempo para que a resposta entre em uma faixa de error - y de 5% sendo este percentual medido tendo como base a diferença. entre o valor inicial eo valor de regime permanente. -

. Tempo de subida, que é o tempo para passar de 10% a 90% da diferença. entre o valor iniciale o valor de regime permanente.

eo

95".y

00

Figura 1.2: Especificação de regime transitório e permanente na resposta ao degrau em r.

A figura 1.3 mostra um conjunto de medidas típicas realizadas sobre a resposta ao degrau deperturbação, onde mede-se:

. O fator de rejeição, definido como a quociente entre o desvio causado por q no regime per-manente e a amplitude da perturbação;

. o desvio máximo Dm, que deve ser ponderado de acordo com o valor do regime permanentee a amplitude da perturbação;

. Tempo de atenuação de 5% (taS%), que é o tempo que demora a saída para ir do desviomáximo até 5% da diferença. entre Dm e o valor de regime permanente.

3

1.4

1.21 ,ymax

I1

0.8as

"O(ijcn

0.6

0.4

t5%

I I

2 4 6 8 10tempo

o

-0.01define o fator de rejeição

-0.02

-0.03

-0.06

ta

/ 5%lU

:2 -0.04lUI/)

-0.05

-0.07

Dm

-0.08O 2 4 6 8 10

tempo

Figura 1.3: Especificação de regime transitório e permanente na resposta ao degrau em q.

Para que estas especificações temporais possam ser consideradas na análise e projeto de controla-dores lineares, como é o caso do PID, é necessário recorrer ao uso de modelos matemáticos. Nestecaso, considerar-se-á que o comportamento dlnAmico do processo, tanto em malha aberta como emmalha fechada, pode ser bem modelado por uma função de transferência FT. Assim, a respostado sistema a determinados sinais de entrada poderá ser relacionada às caracterÍSticas da funçãode transferência, seja utilizando diagramas pólo-zero ou diagramas de resposta em frequência dosistema.

Para trabalhar com sistemas de baixa ordem é usual utilizar o conceito de dominância e apro-ximar as respostas dos sistemas sob estudo por FT de primeira ou segunda ordem. Com estahipótese é razoavelmente simples encontrar relações entre o comportamento no domínio do tempoe a posição dos pólos no plano complexo, a margem de fase, e margem de ganho e a frequência decorte do sistema. No que segue, supãe-se que estas relações entre o domínio do tempo, o plano 8 ea frequência são conhecidos.

Um fator adicional que deve ser considerado no conjunto de especificações é a sensibilidadedo sistema de controle em :MF projetado. Na prática sempre existiram diferenças entre o modeloescolhido para representar a dinâmica do processo e o próprio processo. Assim, se o controlenão levar em conta essas diferenças poderá levar o sistema real à instabilidade (ou a respostasindesejadas) mesmo que controle adequadamente o modelo escolhido para representar ao processo.A forma mais completa de análise deste problema passa pela modelagem das incertezas entre modeloe processo e pelo ajuste de um controlador robusto. .

4

Capítulo 2

o controlador PID

o controlador PID é composto pela soma de três ações: uma Proporcional (P), uma Integral (I)e uma Derivativa (D). A forma mais simples de implementar este controle mostra-se na figura 2.1onde todas as ações encontram-se na malha direta (isto é, o controle Cp = O). Como as três açõesatuam em paralelo, obtem-se a típica lei de controle PID:

(2.1)

onde e( t) é o erro entre a referência r e o sinal que deseja-se controlar y:

e(t) = r(t) - y(t).

Os parâmetros Kc, Ti e Td denominados respectivamente ganho proporcional, tempo integral etempo derivativo permitem ajustar cada uma das ações. Esta configuração é conhecida comoacadêmica ou não interativa, já que o ajuste de uma das ações não afeta as outras. Além desimples, esta configuração é também a mais conhecida no meio acadêmico; porém, é talvez a menosusada nos controladores industriais, algumas de cujas configurações serão analisadas no próximocapítulo. Neste capítulo aDalisaremos as propriedades do controlador PID descrito pela equação 2.1,sendo que, visando a melhor compreensão, consideraremos cada uma das ações de forma isolada.

y

tempo derivativo Derivador

Figura 2.1.: Diagrama de Blocos do PID acadêmico.

5

2.1 A ação Proporcional P

o controleproporcionalu(t) = Kce(t) pode ser visto como a forma mais simples de lei de controledepois do controle liga-desliga (onjoff). É simples observar que este tipo de controle gera umaatuação que tem as seguintes caraterísticas:

. Teoricamente o controle é proporcional ao erro de seguimento e(t). Maiores valores de Kcpermitem obter menores valores do erro em regime permanente quando o sistema é estável eo sinal de referência ou de perturbação são constantes. Isto pode ser visto facilmente a partirda relação entre os sinais de entrada e saída em regime permanente:

KcK p 1y= r+ q

1 + KcKp 1 + KcKp

1

e = 1 + KcKp r,q=O

onde Kp é o ganho estático do processo.

. Do ponto de vista prático, o controlador manterá a caraterística proporcional da ação decontrole somente dentro de uma faixa denominada Banda Proporcional (BP). Fora destabanda, que é definida pelo usuário e depende do tipo de atuador, o controle comporta-secomo todo-nada, isto é, para valores do erro fora da faixa permitida o sinal de controlesatura. Assim, por exemplo, uma BP de 20% indica que quando o erro e(t) for de 20% osinal de controle será de 100%. Numericamente, a BP é simplesmente a inversa do ganhoproporcional Kc multiplicado por 100.

. É um tipo de controle instantâneo e sem memória, isto é, o seu valor atual depende apenasdo valor instantâneo do erro. Por isto, sempre é necessário um erro não nulo para gerar umaação de controle sobre o processo.

. Dinamicamente, o controlador proporcional pode ser usado com bons resultados em processosde baixa ordem com resposta em malha aberta bem amortecida. . Nestes casos, a utilizaçãode um valor de Kc adequado permite acelerar a resposta transitória. Porém, se o sistema éde ordem superior, a utilização de ganhos elevados, para baixar o erro estático, pode levar aproblemas de estabilidade ou a transitórios muito oscilatórios.

o controle de nível de um tanque cujo conteúdo é função da diferença das vazões de entrada esaída, sendo a primeira livre e a segunda comandada por uma bomba, é um caso prático comumonde o controle proporcional é muito efetivo e bastante usado. Neste tipo de sistema a variação donível h(t) vem dada por:

dh _ le _ Isdt- A A

onde le é .0 fluxo de entrada, Is o fluxo de saída e A a área da base do tanque. Assim, comoo sistema tem uma caraterística integradora, o correto ajuste do ganho proporcional garante umsistema em MF com boa velocidade de resposta e com erro nulo no regime permanente.

Para ilustrar o efeito do ajuste de Kc considera-se um processo de segunda ordem com modelo

G(s) = (1+STl~1+S~)' A figura 2.2 ilustra a respos~a do sistema em MF em resposta a um degrau

6

unitário de referência. Observa-se que o aumento do ganho proporcional diminui o erro de segui-mento e o tempo de resposta em MF mas ao mesmo tempo produz respostas com oscilações quandoo ganho ultrapassa um determinado valor.

0.9

10

0.8

0.7

0.8....................................................

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

3 5 74 8

(a)

2.5

2

10

1.5

0.5

,

o 8 7 8

(b)

Figura 2.2: Resposta do sistema de segunda ordem com controle proporcional: (a) saída, (b)controle.

Analiticamente, se o modelo do processo é conhecido ou puder ser identificado, o ajuste doganho pode ser facilmente definido utilizando ferramentas clássicas como o lugar de raizes ou odiagrama de Bode.

2.2 A ação Integral I

Quando as características estáticas do sistema em malha fechada não atendem as especificações,geralmente definidas por erros nulos em regime permanente para entradas ou perturbações do tipodegrau, faz-se necessário a intodução de um integrador na malha de controle. A ação I tem porobjetivo corrigir este problema já que a saída do integrador somente será constante quando aentrada do mesmo seja nula:

1 rtu(t) = 11Jo e(r)dr = Uo '<:/t>to -+ e(t) = O '<:/t>to

onde Uoé o valor do controle necessáriopara atingir o regime permanente da saída do processo yo.

Esta propriedade da ação I tem importância fundamental na indústria já que permite mantera operação dos sistemas no ponto de funcionamento desejado. Porém, quando usada isoladamentepiora, na maioria dos casos, as características dinâmicas do sistema. Analiticamente isto pode serfacilmente explicado porque o controle do tipo I introduz um pólo na origem do sistema deslocandoo diagrama polo-zero para uma região mais próxima do semiplano direito do plano s. De formaequivalente este efeito pode ser interpretado pela fase de -90 graus introduzida pelo integrador nodiagrama de resposta em frequência do sistema.

Para ilustrar ~ste efeito considera-se um sistema modelado pela função de transferência de

7

primeira ordem G(s) = 1~1'" Ao utilizar um controle integral1/sTi os pólos de MF ficam semprealocados a direita de -l/r independentemente do valor de l/Ti, Desta forma o sistema em MF ésempre mais lento que o de MA e, a partir de um valor mínimo de 7i a resposta tornar-seoscilatória.

Por este motivo, a ação I é usada geralmente junto com a ação P. Desta forma é introduzidoum zero que permite melhorar as características transitórias da resposta. Neste caso o controle é

O(s) = Kc(l + is) e um ajuste adequado de Kc e 7i permite obter pólos de MF a esquerda dos deMA para garantir. uma resposta mais rápida que em MA mas com erro nulo ao degrau em regimepermanente. Observa-se também que valores muito grandes de 7i produzem um "cancelamento"da ação integrativa já que o zero do controlador aloca-se muito próximo de zero. Isto faz comque o sistema demore muito tempo em atingir o regime permanente. Isto também pode ser vistointuitivamente pois o efeito da integral é quase eliminado.

Para ilustrar o ajuste de Ti considera-se novamente o modelo G(s) = (1+s1"1~h+s1"2).A figura2.3 mostra como a diminuição de Ti mantendo constante o ganho proporcional diminui o erro deseguimento. Da figura também se observa que a partir de um determinado valor de 7i as respostastornam-se oscilatórias e o tempo de estabelecimento aumenta consideravelmente.

1.8

1.6

1.4

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

o 15 3520 25 305 10

(a)

-0.5

-1

-1.5

40 15 20 2510 30 35 40

(b)

Figura 2.3: Resposta do sistema de segunda ordem com controle proporcional e integral: (a) saída,(b) controle.

o controle PI é muito utilizado na indústria já que permite resolver satisfatoriamente um grandenúmero de casos, que são basicamente todos aqueles sistemas que apresentam uma resposta emMA dominante de primeira ordem. Porém quando o processo apresenta uma dinâmica de maiorordem ou com atraso de transporte, faz-se necessário a utilização de mais um parâmetro de ajusteno controlador. Nestes casos é mais apropriado usar também a ação derivativa do PID.

2.3 A ação Derivativa D

A ação derivativa do controlador é utilizada para corrigir a resposta transitória do sistema. Quandousada em sistemas acionados por referências constantes, a ação derivativa não terá efeito sobre oregime permanente, pois quando o sistema é estável:

lim deo = oH.ao dt

sendo eo o erro de regimepermanente.

Por outro lado, a ação D será predominante nos instantes onde a variação do erro seja maisrápida. Isto acontece geralmente nas mudanças de referência do sistema ou nos momentos onde osistema é afetado por perturbações de carga.

A ação derivativa pode ser analizada como uma forma de calcular a predição linear do erro dosistema de controle. Esta ação preditiva do controlador pode ser interpretada como uma maneirade gerar uma atuação que possa prever um determinado efeito na resposta do sistema e evitá-Ioou, ao menos, diminuí-Io.

Para entender esta propriedade considera-se o caso onde a ação proporcional atua juntamentecom a derivativa obtendo-se um controle proporcional à uma estimativa ou predição linear do errodo sistema Td unidades de tempo à frente de t:

UPD(t) = Kc[e(t) + Td~: (t)) = Kcê(t + Td It) (2.2)

onde ê(t + Td I t) é a predição do erro e(t) no tempo t + Td com a informação disponível em t(nota-se que esta predição equivale ao c.á1culodo erro em t + Td usando uma expansão em sériestruncada no tempo t). Esta interpretação da ação derivativa como predição linear do erro pode serapreciada na figura 2.4.

erro

e(t+Td)

t

,,ie(t)+Td ~t(t).t+Td tempo

Figura 2.4: Interpretação da ação derivativa como predição linear do erro.

Utilizando esta idéia resulta claro entender a importância de um ajuste apropriado da açãoderivativa de um controlador PID. Se o controle prediz adequadamente o valor do erro em t + Td,a resposta do sistema em malha fechada poderá ser melhorada se compararada à do controle PIo

Do ponto de vista prático, a ação derivativa não pode ser implementada de forma ideal (observa-se que a função de transferência do controlador seria não própria) mas com um filtro passa baixasque limita as componentes de frequência muito alta e ajuda a filtrar os possíveis núdos de altafrequência do sistema. A função de transferência da ação D real pode ser escrita como:

9

onde T, é a constante de tempo do filtro. Na maioria dos controladores T, é definida proporcional-mente a Td onde a é um número menor que um (normalmente entre 1/10 e 1/15) mas, em algunscasos, T, é usado como um quarto parâmetro de ajuste do PID.

Para interpretar o efeito desta ação no plano "s", e como ela corrige o transitório, considera-sea FT de um controle PD:

C(s) = Kc (1 + TdS )= Kc 1 + Td(l + a)s1+ Tdas 1+ Tdase sendo a << 1 + a o zero do controlador estará sempre a direita do pólo acrescentando fase aosistema e "puxando" a configuração de pólos para a esquerda do plano "s". Este tipo de controladorpode ser visto como um compensador de avanço de fase e é bastante aplicado no controle de sistemas

naturalmente integradores como os representados pela FT G(s) = S(l".:.ST)

Um exemplo típico deste tipo de processo é o controle de posição de um motor de correntecontínua. Neste caso, se Td é escolhido para verificar Td > 7, um ajuste adequado de Kc permitirámelhorar o tempo de resposta sem produzir oscilações.

Para ilustrar o ajuste de Td num controlador PID considera-se novamente o modelo G (s) -(1+ST1~1+S72).O controlador PID ajusta-se inicialmente com um valor pequeno de Td de forma quese comporte quase como um PI. Em seguida aumenta-se o valor de Td usando pequenos incrementos.A figura 2.5 mostra os resultados da simulação. Observa-se que, inicialmente, o aumento de Tddiminui o tempo de resposta e as oscilações mas que a partir de um determinado valor as respostastornam-se mais oscilatórias.

'4 3

1.2

Kco1.5. Tho1.5eTdoO.051<I:001.5.11-1.5eTd-2

___ Kco1.5.11_1.5 e Td-1 O

Kco1.5.11-1.5 e TdoO.051<1:001.5.11_1.5e Td-2

-+- 1<1:001.5.11_1.5e Td-10

10 15 20 25 15 20 25 30

).8

0.8

).4

0.2

o 5 30

Figura 2.5: Resposta do sistema de segunda ordem com PID.

A figura também mostra o efeito produzido pela ação D nos instantes iniciais onde a entradado sistema varia muito. Este efeito pode não ser desejado em alguns casos pois leva à saturação daação de controle.

O efeito positivo da predição do erro intruduzida pela ação D também pode ser muito bemilustrado quando se controla um sistema modelado por uma trasferência de primeira ordem comum atraso dada por:

Kp e-LsPe(s) = l+Ts

(2.3)

10

onde T é a constante de tempo equivalente, Kp o ganho estático, e L o atraso equivalente.

Para o exemplo considera-se que o processo tem Kp = 1, T = 1.5 e que inicialmente L = O(todos os tempos estão em segundos). O ajuste do controlador PI para este processo pode ser feitode maneira simples escolhendo 11 = T = 1.5 e ajustando o ganho para uma resposta mais rápidaque a de malha aberta e sem oscilações: Kc = 3. Para este caso a resposta a um degrau unitárioaplicado em t = 1,mostra-se na figura 2.6 (curva (a». Suponhamos agora que o processo tem umpequeno atraso na sua dinâmica, L = 0.5. A resposta do PI deteriora-se bastante se mantemos omesmo ajuste (ver resposta (b» e é necessário diminuir o ganho ou aumentar o tempo integral paraconseguir uma resposta menos oscilatória, embora mais lenta (ver resposta (c) na figura 2.6). Para

Figura 2.6: Resposta do sistema e ação de controle para: (a) ajuste Kc = 3 e 11= 1.5com L = O;(b) ajuste Kc = 3 e 11= 1.5 com L = 0.5e (c) ajuste Kc = 2 e 11= 2.5 com L = 0.5.

melhorar a resposta do sistema controlado pelo PI quando L = 0.5 a ação derivativa do controladorPID pode ser ajustada para predizer o valor do erro e obter uma resposta mais rápida que a obtidacom o PI. O ajuste de Td pode ser feito de diversas formas. Aqui Td foi ajustado para que o zerodo controlador cancele o pólo resultante de aproximar o atraso por uma aproximação de Padé deprimeria ordem:

e-O.258 1 - 0.258-0.58- ~ 25 'e - eO.258 1 + O. 8 (2.4)

A resposta obtida com o PID com Kc = 1.17, Ti = 1.75 e Td = 0.214 é comparada na figura 2.7com a do PI da figura 2.6.b para mostrar a influênciada ação derivativa na performancedo sistemaem malha fechada (o sinal de entrada é um degrau unitário em t = 1 segundo).

2.4 Conclusões

Neste capítulo foi apresentado o controlador PID na sua estrutura acadêmica e foram analisadas astrês ações básicas. Mostrou-se como a ação P pode ser usada para acelerar a resposta do sistema epara diminuir o erro em regime permanente. Valores grandes de Kc podem levar o sistema a oscilare também podem produzir a saturação da ação de controle. A ação I tem como principal vantagempermitir a operação dos sistema com erro de seguimento nulo frente a referências e perturbaçõesconstantes. Já a ação D é utilizada para corrigir os efeitos do transitório e tem um caráter preditivo.

11

1.6. , , . . , , . . . , 4. . I""

1.4 I b -I 3.5 I ,I ,, " b

1.2 .1 2.:[

\ .,-, \

I " I,1,

0'6[ l/C

, I

] 2[ r\\3! e

1.5.. , ,0.6 ,\\ --

0.4 . I 'I 1 I i\._ . , ", I'---I I c

0.2 0.5

o o

-0.2 -0.5o 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 o 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10tempo (segundos) tempo(segundos)

1.6 25

1.4I'I ', ,, \, \

I \, \\,

201.2

0.4

, -...I , 15

I/

.. 0.8:s!..'" 0.6

J!~10ou

5

o0.2

o

-0.2O 2 3 456tempo (segundos)

7 8 9 10-5

O

Figura 2.7: Resposta do sistema em malha fechada e ação de controle com L = 0.5 para PI comajuste Kc = 3 e 1i = 1.5 (linha tracejada) e PID com ajuste Kc = 2 e 1i = 1.75 e Td = 0.214 (linhacheia).

o controle PI pode ser usado com sucesso em processos de primeira ordem estáveis e o PD comos integradores. Quando a dinâmica do processo for de segunda ordem ou de primeira ordem comatraso, o controle PID sempre permite obter melhor solução que o PIou PD.

Alguns dos problemas apontados na análise das ações do PID podem ser resolvidos apenas com oajuste adequado das mesmas. Outros, entretanto, resolvem-se mudando a estrutura do controladorcomo será discutido no próximo capítulo.

12

, , , ------'-... /-'

, , , , , , ,2 3 4 5 6 7 8 9 10

tempo (segundos)

Capítulo 3

Configurações do PID

A estrutura acadêmica do controlador PID não é a mais ultilizada nas aplicações práticas. De fato,são poucos os controladores industriais que utilizam esta estrutura.

As estruturas de implementação do PID podem ser classificadas de duas formas: (i) pelo tipode interação entre as ações P, I e D e (li) pela distribuição das ações P e D dentro da malha decontrole.

3.1 Tipos de Controladores PID

No primeiro grupo encontramos as estruturas série e acadêmica (ou também chamadas de interativae não interativa) e também a forma paralela. Na figura 3.1 mostram-se estas três alternativas pararepresentar o PID. Considerando PID ideais (isto é, sem o filtro da parte derivativa) as funções detransferência das três configurações vem dada por:

para o PID-acadêmico;U(s) 1E(s) = Kc(1 + TIS)(1 + TDS)

para o PID-série;

para o PID-paralelo.

Observa-se que os parâmetros dos controladores sâo diferentes e que as funções de transferênciados controladores não são sempre equivalentes. Na estrutura série os zeros do controlador somentepodem ser reais enquanto na paralelo e na acadêmica podem ser reais ou complexos conjugados.Esta última caraterÍBtica é útil quando o sistema a controlar tem pólos complexos conjugados. Aestrutura série é chamada de interativa pois o ajuste da ação I afeta a ação D e viceversa. A forma

13

u

Proporcionaf

1

Ti.s

Integral

Td du/dt

tempo derivativo Derivador

tempo derivativo

Derivadoru

e

(b)

ganho proporcional

e1

u

ganho integral

s-Integrador

du/dt

ganho derivador Derivador

(c)

Figura 3.1: Estruturas acadêmica (a), série (b) e paralelo (c) do PID.

14

pararelo é a mais geral, porém seus parâmetros não tem interpretação física. Quando se trabalhacom conceitos como pólos e zeros a estrutura série tem a vantagem de que cada zero do PID estárelacionado com um parâmetro (TI ou TD).

Assim, quando deseja-se ajustar os parâmetros do PID é fundamental conhecer qual a estruturado controlador e quais são os parâmetros chamados de tempo integral e tempo derivativo. Se aestrutura não é conhecida o ajuste torna-se muito complexo.

Nos controladores comerciais (PID industriais) esta informação, apesar de imprescindível, nãoé sempre fornecida pelo fabricante. Na tabela 1 listam-se diversas marcas de controladores PIDindustriais e as estruturas utilizadas.

Tabela 1. Estruturas utilizadas em controladores PID industriais.

Para ilustrar a importância do conhecimento da estrutura do controlador nas aplicações considera-seo ajuste do PID para um processo modelado por

G(s) = . 2-.. ~----- _..-.

Supãe-se inicialmente que o controlador instalado no processo é um Foxboro de estrutura série eque o ajuste foi definido como Td = 4(a = 0.1),11 = 1 e Kc = 1. A resposta do sistema emmalha fechada para uma mudança de referência de O para 1 em t = 1 e para uma perturbaçãode carga de 0.5 na entrada do processo em t = 15, é mostrada na figura 3.2 em linha cheia. Os

mesmos parâmetros são utilizados agora para controlar o mesmo processo com um PID da marcaYokogawa SLPC obtendo-se como resultado a curva tracejada da mesma figura. Como pode serobservado o comportamento do sistema é bem diferente. Isto mostra que, em alguns casos, o malcomportamento do sistema de controle pode ser causado pelo desconhecimento da estrutura internado PID e não pelo suposto ajuste inadequado dos parâmetros.

3.2 Divisão de ações em controladores PID

Como já foi mencionado, tanto a ação proporcional como a derivativa do PID podem gerar, ins-tantaneamente, grandes valores do sinal de controle u quando o erro e(t) varia bruscamente, o quenormalmente acontece quando há mudanças no sinal de referência do sistema (r). Para evitar este

15

Controlador Estruturas utilizadas

Allen Bradley PLC 5 acadêmica-paraleloBaylet Net 90 série-paralelo

Fisher Controls (Provox, DPR e DCI) sérieFoxboro Mode! 761 série

Honeywell TDC série

Moore Products Type 352 sérieAlfa Laval Automation ECA40 ECA400 série

Taylor Mod 30 sérieToshiba TOSDIC 200 série

Turnbull TCS 6000 série

Yokogawa SLPC acadêmica

1.4

controle PIO série1.2

~ -" ...., ...." ........

... ~~""

-,,,

II controlePIOacadêmico,:,"

5 10 15 20 25

tempo

Figura 3.2: Comportamento em malha fechada para os mesmos ajustes em diferentes estruturas doPID.

efeito geralmente prejudicial, pois leva a saturar o controle ou a produzir respostas com pico elevadoquando se muda a refelência, alguns controladores industriais possuem dois parâmetros extras deajuste que permitem ponderar o erro de seguimento que entra nas ações P e D do controlador.Com estas ponderações o controlador passa a comportar-se como um controlador em dois graus deliberdade ou como a soma de uma ação por realimentação mais uma de pré-alimentação.

Esta divisão das ações pode ser aplicada para quaisquer das estruturas analisadas na seçãoanterior, porem para simplificar a apresentação dos resultados utilizaremos aqui unicamente aconfiguração acadêmica ideal do PID.

Ao dividir as ações P e D do controlador entre o sinal de saída e o sinal de erro, a equação quedefine o sinal de controle u(t) vem dada por:

u(t) = Kc [br(t) - y(t) + ~ 1t e(r)dr+ Tdd(cr(t~; y(t»]onde b (O::; b ::; 1) é o fator de ponderação da ação P e c (O::; c < 1)é o fator de ponderação daação D. Desta forma se b = 1 e c = 1 temos o PID tradicional, se b = O e c = Oas ações P e D estãosomente na realimentação. Como se analisa a continuação, escolhendo valores de b e c no intervalo(0,1) o controlador pode ter a sua performance otimizada. Na prática é muito comum encontrar aparte derivativa totalmente na realimentação (c = O), porém esta não é sempre a melhor solução.No caso geral (b e c entre Oe 1) o controle pode ser considerado como um PD + PID ou como umcontrole de realimentação mais um de pré-alimentação ou, ainda, como um controle PID mais umfiltro de referência Fr. Estas representações, que se mostram na figura 3.3, permitem um ajuste queutiliza o conceito de dois graus de liberdade. Em um primeiro momento o controle da realimentaçãoé ajustado para obter uma boa resposta do sistema às perturbações de carga e, na segunda etapado projeto do controle, ajusta-se a pré-alimentação para uma resposta adequada às mudanças dereferência.

As funções de transferência dos controladores P D e P I DI da figura 3.3.a calculam-se como:

(3.1)

16

0.8

.IJm

0.6

0.4

0.2

OO

(a)

q y

controle por pre-alimentação

controle por realimentação

(b)

(c)

Figura 3.3: Diferentes formas de interpretar o PID com ponderação das ações P e D: (a) PD +PIDj (b) Cp e Cri (c) PID mais filtro.

17

1

P1Dl(S) = Kc(b + Tis + cTdS)

e as de Cr e Cp da figura 3.3.b como:

(3.2)

Cp(S)=P1Dl(S)

1Cr(s) = Kc(l + ri1 + TdS).LiS

e finalmente Fr e PID2 da figura 3.3.c calculam-se como:

(3.3)

(3.4)

(3.5)

F. = Cp(s) (36 )r ~W .

O ajuste do controle total pode ser realizado com quaisquer dos esquemas utilizando técnicasclássicas ou empíricas. Considera-se por exemplo a configuração com Fr e PID2. Em geral pode-seafirmar que quando o P1D2 é ajustado para uma boa resposta a perturbações de carga (rápida esem oscilações) é necessário alocar pelo menos um dos seus zeros em baixa frequência. Estes zerosaparecem na função de transferência da referência para a saída e por serem dominantes produzemum pico indesejado na resposta ao degrau de r. Para eliminar este pico e obter uma respostadinâmica adequada, o filtro Fr ajusta-se para cancelar o efeito destes zeros trocando-os por outrosmenos dominantes. Resulta claro então que os graus de liberdade introduzidos permitem melhorara resposta do sistema como um todo. .

Como exemplo considera-se novamente o ajuste do PID (com estrutura série) para o processomodelado por:

2

G(s) = (s + 1)'- -'"

O ajuste do PID2 foi definido como Td = 3(a = 0.1),Ti = 1 e Kc = 1.5. Os parâmetros b e c foramescolhidospara modificar os zeros do sistema (b = 0.7, c = 1). A resposta do sistema em malhafechada para uma mudança de referência de O para 1 em t = 1 e para uma perturbação de cargade 0.5 na entrada do processo em t = 15 mostra-se na figura 3.4 em linha cheia para o caso comb = c = 1 e em linha tracejada para o caso b = 0.7 e c = 1. Como pode ser observado a respostapara a mudança de referência é bastante melhorada com a ação das ponderações. O detalhe daação de controle mostra como a ponderação diminui o valor de u(t) nos primeiros instantes após amudança de referência.

3.3 Conclusões

Este capítulo analisou as diferentes formas de implementação do PID mostrando que o conhecimentoda estrutura do controlador é fundamental para o ajuste correto do seus parâmetros. Mostrou-setambém que a divisão das ações P e D (parte na saída e parte no erro de seguimento) através defatores de ponderação permite melhorar o desempenho do sistema pois transformam o PID clássicoem um controle de dois graus de liberdade. Esta propriedade é fundamental quando se desejacontrolar sistemas com respostas adequadas tanto para o seguimento de referências como para arejeição de perturbações. Deve-se lembrar também que esta otimização do desempenho do sistemaem MF aumenta a complexidade do ajuste.

18

Figura 3.4: Comportamento em malha fechada com controle PID e ponderação das ações: (a) saídado sistema; (b) instantes iniciais do controle.

19

1.4

,,[

caso 11-1,0-1

K/\-I caso 11-0,7;0-1

t[ f0.8

0.4

0.2

OO 5 10 15 20 25

t8111'O

(a)25

J caso 11-1,0-1

15

.,10

8

5

O

-5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1empo

(b)

Capítulo 4

Métodos de ajuste

o ajuste de controladores PID têm sido tratado por muitos pesquisadores em artigos publicadosnos últimos 60 anos. Praticamente, desde 1942 com a publicação das regras de ajuste de Ziegglere Nichols (Ziegler & Nichols 1942), uma grande quantidade de pesquisadores tem invesitido nodesenvolvimento de metodologias de ajuste destes controladores. Não é objetivo deste curso des-crever todas essas técnicas mas dar um panorama geral das mesmas e as ideias básicas que devemconduzir a escolha de uma ou outra. Os métodos de ajuste podem ser classificados de acordo coma metodologia de cálculo dos parâmetros em dois grandes grupos: o dos métodos analíticos e o dosmétodos empíricos. No primeiro grupo podem ser incluídas diversas metodologias que precisamda função de transferência do processo para obter os parâmetros do PID, independentemente seutilizarem diagramas pólo-zero, métodos no dominio da frequência, otimização ou outros. No se-gundo grupo encontram-se o método de Ziegg1er-Nichols e todos os que foram dele derivados e quese baseiam em resultados de simulação ou experimentais.

4.1 Métodos analíticos

Todos os métodos analíticos pressupõem que a função de transferência do processo a controlar éconhecida e que o PID pode ser considerado como um. compensador com dois pólos e dois zeros,com as seguintes características:

. um pólo na origem;

. um pólo definido pelo filtro passa baixas da ação derivativa (este pólo é muitas vezes despre-zado já que geralmente está longe da região de dominância mas pode ser usado também comoparâmetro de ajuste);

. dois zeros que podem ser escolhidos arbitrariamente dentro dos limites impostos pela estruturado PID (lembrar, por exemplo, que o PID série somente permite zeros reais);

. um ganho ajustável.

o ajuste pode considerar um ou dois graus de liberdade. Neste último caso, e comojá foi discutido,é possível ajustar simultaneamente a resposta a perturbações de carga e a mudanças de referência.

21

Considerando ferramentas normalmente utilizadas num curso básico de controle o projetoanalítico pode ser feito pelo Lugar das Raízes (LR) ou por métodos frequênciais.

Para o LR a metodologia consiste em escolher o pólo do filtro P/ =-ah na região do plano Oque não altere significativamente o LR. A partir desta condição, estuda-se o LR do sistema original(processo) mais os pólos em 8 = O e 8 = -P/ introduzidos por 0(8) e utilizando o ganho Kc comoparâmetro variável. A partir deste LR calcula-se a fase necessária para alocar os pólos dominantesna região desejada do plano complexo e escolhe-se a posição dos zeros do controlador Zl e Z2 paraisto. Finalmente, ajusta-se Kc para os pólos desejados. A alocação final dos zeros e o valor de Kcsão geralmente obtidos após algumas iterações feitas com o auxílio de pacotes de projeto assistidopor computador. Quando o controle tem dois graus de liberdade o procedimento é realizado emduas etapas. Primeiro, usando a malha de realimentação, projeta-se o controle para a respostadesejada às perturbações e depois, usando a FT resultante, calcula-se a ação de pré-alimentaçãopara corrigir o comportamento para mudanças de referência.

No caso do projeto por métodos frequênciais podem ser considerados dois casos. Se o PID estána estrutura série pode-se projetar o PI como um atraso de fase e o PD como um avanço de fase.Se a configuração permite o uso de zeros complexos (e estes forem necessários) o projeto realiza-segraficamente de forma a alterar a resposta em frequência do sistema em malha aberta de acordocom as especificações estabelecidas. Da mesma forma que no caso do LR o ajuste será em duasetapas se o controle for de dois graus de liberdade.

o projeto analítico pode também ser realizado por métodos mais complexos, geralmente nãoestudados em cursos básicos de controle. Exemplos destes métodos são o controle por modelointerno (!MC, (Morari & Zafiriou 1989» e o controle por posicionamento de pólos (Astrom &Wittermark 1984). .

Deve ficar claro que ao utilizar estes métodos analíticos o controlador que satisfaz a solução doproblema pode resultar de ordem maior que 2. Nestes casos, se a estrutura disponível for PID,será necessário simplificar o modelo do processo ou do controle obtido. Esta situação serve tambémpara demonstrar que o desempenho do sistema em malha fechada poderia ser melhorado com umcontrolador mais complexo que o PID.

Quando são utilizados métodos gerais para o ajuste do PID os valores dos parâmetros Kc,1i eTd somente podem ser tabelados quando o modelo do processo é definido. Em outros casos o ajustedependerá das suposições e aproximações feitas na hora do projeto. Por este motivo é de bastanteinterese a definição de alguns modelos de processos que são muito utilizados na prática para definiro ajuste do PID.

Consideraremos aqui apenas três modelos de processos, que são os mais utilizados nos contro-ladores industriais e que permitem representar uma grande quantidade de processos reais quandooperando nas vizinhanças do ponto de operação. Estes modelos são:

-Lsae

G(8) = -;L (4.1)

(4.2)

22

(4.3)

o modelo 4.1 pode ser usado tanto para plantas estáveis como integradoras. Já os modelos 4.2 e4.3 utilizam-se para processos estáveis. Para obter modelos e fórmulas normalizadas, assim comopara ponderar o efeito do atraso L no sistema, é normal definir o ganho normalizado e o atrasonormalizado como:

KL L

a = f T = L + T (4.4)

O valor de T (O ::; T ::; 1) é muitas vezes usado como uma medida da facilidade para controlar oprocesso (quanto menor é T mais simples é o controle do processo).

Os parâmetros destes três modelos podem ser identificados a partir de ensaios de resposta aodegrau. A figuras 4.1 e 4.2 mostram o procedimento de cálculo para a obtenção dos parâmetrosdos modelos 4.1 e 4.2. Para o modelo 4.3 o ganho e o atraso determinam-se da mesma forma queno modelo 4.2 e TI e T2 calculam-se de forma numérica utilizando dois pontos sobre a curva deresposta e supondo que a mesma tem a equação:

(4.5)

Figura 4.1: Identificação da resposta de MA a uma entrada degrau unitário.

A seguir são apresentadas as fórmulas de cálculo dos parâmetros do PID por alguns métodospropostos na literatura. Para cada um deles são apontadas as principais caraterÍsticas. Paraum estudo aprofundado destes métodos ver (Astrom & Hagglund 1995). A maioria dos métodosfornecem valores dos parâmetros para o ajuste de controladores P, PI e PID. Neste trabalho, porsimplicidade, somente se apresentam os ajustes para a lei de controle completa PID.

23

Figura 4.2: Identificação da resposta de MA a uma entrada degrau unitário.

4.1.1 Método de Cohen-Coon

o método de Cohen-Coon (Cohen & Coon 1953) é baseado no modelo 4.2 e utiliza como objetivodo projeto a redução do pico da resposta a perturbações de carga minimi~.ando a integral do erro(IE). Usando a alocação de pólos dominantes do sistema o método consegue que a relação entre oprimeiro e segundo pico da resposta a um degrau de perturbação seja de 1/4. Os parâmetros deajuste, para a configm-ação acadêmica do PID, são:

Controle

PIDKc

1.35(I + 0.18T )a 1-'"

1i2.5-2T L1_0.~n-

Td

0.37(1-T) L1-0.81

4.1.2 Método do IMC

o método do !MC (Rivera, Morari & Skogestad 1986, Morari & Zafiriou 1989) é baseado no conceitode modelo interno e utiliza o modelo 4.2. O objetivo do projeto é otimizar a resposta a degraus nareferência a pesar de ser possível o projeto de um controle de dois graus de liberdade. Usando umaaproximação de Padée para o atraso do sistema e cancelamento dos pólos do modelo do processo,o método consegue uma boa resposta ao degrau de referência. O algoritmo tem como vantagemque inclue a robustez como parâmetro de ajuste através do filtro da ação derivativa (TI) que nãoé fixado arbitrariamente como em outros métodos de ajuste. Como desvantagem, que vale paratodos os controladores que utilizam cancelamentos, a resposta às perturbações de carga é lenta seos pólos cancelados forem lentos com relação aos de MF (o que geralmente acontece se o T forpequeno). Os parâmetros de ajuste, para a configuração série do PID, são:

Controle

PID

a..-fJ

2T(L+Tf)

24

4.1.3 ~Iétodo do F;:!;:!1m<'ln

o método do H;m1man (Haalman 1965) utiliza o modelo 4.3. O objetivo do projeto é definir ummodelo de malha aberta que gere, em malha fechada, a resposta desejada para um degrau nareferência. Usando modelos simples e cancelamento dos pólos do sistema o método consegue umaboa resposta ao degrau de referência. Devido ao uso do cancelamento tem a mesma desvantagemque o método do IMC. Os parâmetros de ajuste, para a configuração acadêmica do PID, são:

Além dos métodos analisados existe uma grande quantidade de trabalhos na literatura que estudamo ajuste de controladores PID para os processos de baixa ordem com atraso de transporte. Vejapor exemplo (Normey-Rico, Gómez-Ortega, Alcala- Torrego & Camacho 2000, Astrom & Hagglund1995, Yongho, Park, Lee & Brosilow 1998, Sung & Lee 1996, Sung, Lee & Lee 1995).

4.2 Métodos Empíricos.

Em muitas aplicações práticas não é possível conhecer exatamente a função de transferência do pro-cesso que se deseja controlar. É nestes casos, op-deos controladores de estrutura fixa e parâmetrosvariáveis, como o PID, são mais utilizados. Para ajustar corretamente os parâmetros, observa-seentão as características de resposta do sistema, e não a sua função de transferência. Estes métodosbaseiam-se em conclusões empíricas sobre o funcionamento em MF do sistema e têm grande acei-tação entre os engenheiros e operadores de plantas industriais. Dentre os vários métodos empíricosexistentes para projetar os parâmetros do PID, o de Ziegler-Nichols (estabelecido em 1942) é omais "popular" apesar de que trabalhos posteriores tem melhorado bastante os seus resultados.

4.2.1 O método de Ziegler-Nichols (Z-N)

o método de Z-N baseia-seem dois conjuntos de regras empíricas para o ajuste dos parâmetros doPID na forma acadêmica.

o primeiro é baseado no modelo 4.1 e, da mesma forma que o método de Cohen-Coon utilizacomo objetivo do projeto que a relação entre o primeiro e segundo pico da resposta a um degraude perturbação seja de 1/4. Os parâmetros de ajuste são obtidos por experimentos empíricos (eesta é a principal diferença com o método de Coen-Coon) com processosque verificam a relação0.1 < L/T < 1. ~ara a configuração acadêmica do PID, são:

o segundo método utiliza os mesmos objetivos de controle mas usa uma metodologiadiferente paracaraterizar o processo. Esta metodologia consiste em observar a resposta em MF do sistema apenas

25

Controle Kc 11 TdPID 2('11+'12)

Ti +T2T1T2

3L) Tl+T2

com um.ganho proporcional no controlador (isto é, Ti = 00 e Td = O)e aumentar paulatinamenteo valor do ganho Kc até que o sistema oscilecom um.amortecimento nulo. O ganho obtido nesteexperimento, Kc = Ko, é definido como ganho crítico. A partir da resposta obtida, calcula-setambém o período de oscilaçãoTo, que juntamente com Ko, permitem definir o ajuste do PID deacordo com a seguinte tabela:

Estas regras empíricas são de caráter geral e utilizam pouca informação do sistema e portanto,é sempre possível melhorar o ajuste dos parâmetros tendo alguma informação adicional sobre oprocesso. Apresenta-se a seguir alguns métodos empíricos que apresentam melhores resultados queo de Z-N.

4.2.2o método de Pagano e co-autores l~ N~ .~.~)

Pagano e co-autores (Pagano 1989) desenvolveram um método que denominaram Ziegler-Nichols-Modificado{ZNM), que permite melhorar bastante a respostas obtidas com o ajuste de Z-N, usandouma série de curvas empíricas que geram três fatores corretivos a, {3e 'Y,funções da relação L /Te da especificação da resposta, que multiplicam os parâmetros Kc, Ti e Td de Z-N. A figura 4.3mostra este conjunto de curvas para o caso de uma especificação de resposta transitória com picomáximo de 10%.

1.2.,,

0.2

4:-\\

\-t-

\

\

+\\+\

~\

,...

......

......

......

......

"1

......

......

......

......

......

......

......, ---

a

0.8o'aI~ÕoID"ti 0.6IDcID]~ã;8

0.4

o0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

relação ur0.7 0.8 0.9

Figura 4.3: Parâmetros que alteram o ajuste de ZN para pico de 10%.

26

4.2.3 O método de Chien e Fruehauf

Chien e co-autores (Chien & Frueha1.lÍ1990) desenvolveramum método que modifica o ajuste deZiegler-Nicholspropondo ajustes independentes para as respostas a perturbações e a referências eutilizando como especificaçãopara as respostas transitórias um pico máximo de 10%. Os valoresobtidos são:

4.2.4 O método de Astrom e Hagglund

Astrom e Hagglund (Astrom & Hagglund 1995)desenvolveramum método empírico, baseado naresposta ao degrau, que é mais completo que os anteriores pois considera um conjunto maior deespecificaçõese soluçõesseparadas para processosestáveis e integradores.

O método considera a descriçãodo processo com T, a e r (valoresnormalizados do modelo 4.2)se a planta for estável e os parâmetros L, a e r' se ela for integradora. a e L são obtidas do modelo4.1 e r' = L;TI, onde T' é a constante de tempo equivalente da parte não integradora do processo(os autores sugerem a resposta ao pulso para determinar T').

Os parâmetros do controlador também são normalizados e incluem a ponderação do erro deseguimento b. O ganho normalizado é aKc, o tempo integral normalizado é Ti! L e o tempoderivativo normalizado é Td/ L. O método empírico utiliza um conjunto de modelos para simularo comportamento do processo real e calcula o 1?ID pela técnica de alocação de pólos dominantes.Finalmente, os valores achados para estes parâmetros são descritos por funções de r com coeficientestabelados. O método considera ainda a sensibilidade máxima Ms como parâmetro de ajuste, o quepermite optar por um 1?IDmais "robusto" ou mais "rápido".

Ms pondera a distância entre o ponto -1 no diagrama de Nyquist e a curva G(jw)Gr(jw) ondeGr é o controle por realimentação e G é o modelo do processo. Esta sensibilidade calcula-se como:

1

Ms = max 11 + G(jw)Gr(jw) I w E [0,00)

de forma que l/Ms é que a menor distância do diagrama G(jw)Gr(jw) ao ponto -1. Valoresmaiores de Ms implicam em menor robustez já que menores erros entre o modelo e o processo realpodem levar ao diagrama a circundar o ponto -1. A figura.4.4 ilustra este conceito.

As funções de aproximação foram escolhidas como: .

e os valores de Ms como Ms = 2.0 para o 1?11)"rápido" e Ms = 1.4 para o 1?ID "robusto".

A tabela que fornece os parâmetros para o caso estável é:

27

Controle Kc 11 Td1?11)-referência 0.95/a 1.4T 0.47L

1?ID-perturbação 1.2/a 2L 0.42L

1m

-1

l/Ms

Re

CrG

Figura 4.4: Medida de Ma.

e para o caso integrador:

4.3 Conclusões

Neste capítulo foram analisados alguns métodos de ajuste de controladores PID. Dada a importânciaprática, em todos os casos usaram-se modelos simples para descrever a din:imica do processo.De forma geral não pode ser afirmado que um método seja melhor que outro de forma absolutapois cada um utiliza diferente quantidade de informação sobre o processo e diferente conjunto deespecificações. Por outro lado pode-se afirmar que quanto maior seja a quantidade de informaçãoutilizada e maior o número de parâmetros de ajuste, melhores serão os resultados. Assim, a escolhade um método empírico ou analítico dependerá do caso particular estudado.

28

Ma = 1.4 Ma = 2.0ao ai a2 ao ai a2

aKc 3.8 -8.4 7.3 8.4 -9.6 9.8Ti/L 5.2 -2.5 -1.4 3.2 -1.5 -0.93Td/L 0.89 -0.37 -4.1 0.86 -1.9 -0.44

b 0.4 0.18 2.8 0.22 0.65 0.051

Ma = 1.4 Ma = 2.0ao ai a2 ao ai a2

aKc 5.6 -8.8 6.8 8.6 -7.1 5.4Ti/L 1.1 6.7 -4.4 1.0 3.3 -2.3Td/L 1.7 -6.4 2.0 0.38 0.056 -0.60

b 0.12 6.9 -6.6 0.56 -2.2 1.2