SintoniadeControladoresPIDPericles Rezende BarrosNotas de Aulade Curso Apresentado naUniversidade PetrobrasBR-TuningMaiode2007LaboratoriodeInstrumentac aoEletronicaeControleDepartamentodeEngenhariaEletricaCentrodeEngenhariaEletricaeInformaticaUniversidadeFederaldeCampinaGrandeCampina Grande - PB@Pericles Rezende BarrosApresenta caoO Controlador PID e um dos controladores mais utilizados na industria. Entende-lo e comosintoniz a-lodemodoaseobterumamalhafechadacujodesempenhosejaotimotemsidooesforcodediversospesquisadoresemuniversidadesenaindustria.O BR-TUNINGe um sistema para avaliac ao e sintonia de controladores PID desenvolvido pe-los pesquisadores do Laboratorio de Instrumenta cao Eletronica e Controle do DepartamentodeEngenhariaEletricadoCentrodeEngenhariaEletricaeInformaticadaUniversidadeFederal deCampinaGrande(LIEC/DEE/CEEI/UFCG) emconjuntocompesquisadoresdoCentrodePesquisas-CENPES-PETROBRAS. Nestesistema, acompetenciaconjuntadoLIEC/UFCGedoCENPES-PETROBRASfoicombinadaparaimplementaralgoritmospadroesnaliteraturaenaindustriaealgoritmosdesenvolvidospelaequipedaUFCG, quepermitem a a avaliacao do desempenho e a sintonia automatica de controladores PID. Essasferramentas foram incorporadas ao ambiente computacional SSP-Laplace do CENPES, per-mitindo aos operadores sintonizar, avaliar o desempenho, diagnosticar e efetuar manutenc aoemcontroladoresPIDinstaladosnasunidadesindustriais.OsistemadesenvolvidoecompostodeSoftwaredeExcitac aoeSoftwaredeSintonia. OSoftwaredeExcitac ao, deoperacaoon-lineeimplementadocomoaplicativosnoambientedoSSP-Laplace, ecompostodemodulosindependentesqueexecutamtecnicasdeexcitacaodegrauebaseadaemmetodosdorele(padrao, ganhodemalha). Ossinaisdeexcitac aopodemseraplicadosaoprocesso(variavelmanipuladaMV)ou`amalhafechada(sinaldereferenciaSP),demodoa,juntocomosinaldesadadoprocessooumalhafechada(PV)possibilitaradeterminacaodecaractersticaseidenticac aodefuncoesdetransferenciasaseremutilizadaspelosoutrosmodulos.Foramimplementadasasseguintesexcitacoes:Degrau.Metododorelepadrao.Releparafunc aoganhodemalha.OSoftwaredeSintonia, deoperacaoo-line, ecompostodemodulosindependentesondesaoimplementadasferramentasbasicasdeavaliac aodedesempenho, identicac aodemod-eloscontnuosnotempoedepontosnarespostaemfreq uencia, etecnicasdesintoniadecontroladoresesimulacao. Saoavaliadosapartirdosdadosdeexcitac aoopontocrtico, operodocrtico,a margemdeganhoeamargemdefase. Tambem sao identicados modelosdeprimeiracomatraso.As tecnicas de sintonia implementadas foram agrupadas conforme caractersticas comuns dainformac aonecessariaparaasintoniadocontrolador. Foramdenidososseguintesgrupos:FOPTDTecnicasqueusammodelosdeprimeira-ordemcomatraso.GanhoCrticoePerodoCrticoTecnicasqueusamopontocrticodoprocessoparaasintoniadocontrolador.Margens de Ganho e de Fase Tecnicas iterativas que necessitam da estimativa da margemdeganhoe/oudamargemdefasedamalhafechadaparacorrigirasintoniadocontrolador.iiiEste texto foi preparado como notas de aula para curso apresentado na Universidade Petrobr asem maio de 2007. Nele sao apresentados os fundamentos teoricos que dao suporte `as tecnicasimplementadaseservecomointroducaoaosfuturosusuariosdosistema. Saoapresentadosconceitos sobre o controlador PID, sinais, sistemas, modelagem, malhas de controle, respostaemfreq uencia, identica caoesintoniausandomodeloscontnuosnotempo, identica caoesintonia usando o rele padrao, aspectos de estabilidade, avaliac ao de margens de estabilidadee sintonia do controlador em malha fechada. Detalhes sobre as tecnicas apresentadas podemserencontradasnasreferenciasbibliogracasapresentadas.ivConte udo1 Introducao 31.1 ControladorPIDPadrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Ac aodecontroleproporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 ControladorPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 ControladorPD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 FormaGeralparaoControladorPID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Conclusoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 ModelagemeMalhasdeControle 112.1 ModelosparaProcessos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.1 Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 TiposdeModelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 ModelosLineareseModelosNao-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4 ModeloscomAtrasodeTransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.5 DiagramasdeBodeeNyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 MalhasdeControle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 EstabilidadeeEstabilidadeInterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Desempenho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Conclusoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 IdenticacaoeSintoniausandoModelos 253.1 ModelosContnuosnoTempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Expansaoemfracoesparciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2 ModelosTpicosparaProcessos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.3 Reduc aodeModeloseAtrasoEfetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 AlgoritmoMnimosQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Denic aodoProblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Estimac aodePar ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.3 ModelosemRegressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.4 ErrodePredic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.5 Minimizac aodeCriterioseAlgoritmosBasicos. . . . . . . . . . . . . 323.2.6 MetodosGracosparaaRespostaaoDegrau . . . . . . . . . . . . . 333.2.7 Identicac aoemMalhaAberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.8 Identicac aoemMalhaFechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 TecnicasdeSintonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.1 ModelosemMalhaAbertaeemMalhaFechada . . . . . . . . . . . . 373.3.2 TecnicasBaseadasnaRespostaaoDegrau . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Conclusoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42vCONTEUDO 14 IdenticacaoeSintoniausandooRelePadrao 434.1 GanhoCrticoePerodoCrtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 RelePadrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.1 ExemplosdeFuncoesdescritivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 ExistenciadeCiclosLimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 UsoemIdenticacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5 DFTRecursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6 TecnicasdeSintonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6.1 Tyreus-Luyben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.7 Conclusoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 AspectosdaMalhaFechada 555.1 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 CriteriodeNyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3 MargemdeGanho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.4 MargemdeFase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5 EfeitodoControladorPIDnasMargensdeEstabilidade . . . . . . . . . . . 585.5.1 ControladorPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5.2 ControladorPD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.6 EstabilidadeRobusta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6.1 IncertezasdaPlanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6.2 Perturbac aoMultiplicativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6.3 OutrosModelosdeIncerteza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.7 Conclusoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 SintoniacomaMalhaFechada 636.1 AvaliacaodeMargensdeEstabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.1 Avaliac aodaMargemdeFase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.2 Avaliac aodeMargemdeGanho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 ProjetoparaMargensdeEstabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2.1 ProblemadeProjeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2.2 ControladorPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2.3 ControladorPID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3 Conclusoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 Conclusoes 758 ReferenciasBibliogracas 772 CONTEUDOCaptulo1IntroducaoO controlador proporcional-integral-derivativo(PID) e o tipo de controlador mais encontradoemprocessosindustriais. Pesquisasmostramque,emmaisde90%doslacosdecontrolenaind ustria, saoutilizados controladores PID, e agrande maioriautilizaapenas as partesproporcional eintegral (PI). GrandepartedapopularidadedocontroladorPIDsedeve`asimplicidade da sua estrutura. Alem disso, com algumas sosticac oes a mais, o controle PIDesucienteparaamaioriadosproblemasdecontroleexistentes.O projeto de um controlador PID esta relacionado `a escolha dos tres parametros, ou ganhos,docontrolador. Oprocedimentosistematicodaescolhados parametros docontrolador,baseadaemexperimentoscomoprocesso, edenominadosintonia. Oobjetivoechegarasistemascomdesempenhosatisfatorio,apartirdoajustedetaisparametros. Asintoniadocontrolador e tema principal em centenas de artigos,varias dissertacoes de mestrado e tesesdedoutorado, ealgunslivros, comoosapresentadosnasreferenciasbibliogracas. Apesarde todo esse volume de pesquisa, ainda ha uma grande distancia entre os resultados teoricosesuautilizacaonaind ustria. Algumasestatsticasilustramestefato.Ind ustriadecelulosedoCanada,(pulpandpaperindustry)emcercade2000lacosdecontrole,em1993:20%doslacosoperavamsatisfatoriamente;30%tinhamdesempenhoinsatisfatoriodevido`amasintoniadocontrolador;30%tinhamdesempenhoinsatisfatoriodevidoaproblemasnasvalvulasdecont-role;20%tinhamdesempenhoinsatisfatoriodevidoaoprojetodoprocessoe/oudosistemadecontrole.Ind ustriasdeprocessosemanufatura,em1997:EngenheirosegerentescitamasintoniadecontroladoresPIDcomoumatarefadifcil.Atendenciaatualmente ebuscartecnicasautomaticasdecalculodosparametros,baseadasemalgumexperimentodeidenticac aodoprocesso,parafacilitaroprocedimentodesinto-niadocontrolador. Abibliograaquetratadetecnicasdesintoniaautomaticaevastaediversicada. ControladoresPIDcomerciaiscomrecursosautomaticosestaodisponveisnomercado desde a decada de oitenta. A ideia e obter desempenho satisfatorio, mesmo se tendopoucoounenhumconhecimentoapriori dadinamicadoprocessocontrolado. Alemdisso,34 CAPITULO1. INTRODUC AOsaopreferidoscriteriosdedesempenhoeestabilidadequepossuamapelointuitivoesejamconhecidosporoperadoresdoprocesso. Emparticular, experimentosbaseadosnometododoreletemrecebidoatenc aoespecialdacomunidadecientca1.1 ControladorPIDPadraoAs acoes basicas de controle de umcontrolador PIDsaoocontrole proporcional (P), ocontrole integral (I) e o controle derivativo (D). As possveis combina coes dessas ac oes basicaslevaacontroladores industriais proporcional-integral (PI), proporcional-derivativo(PD) eproporcional-integral-derivativo(PID).Figura1.1: EstruturadeumSistemaemMalhaFechadaConsidereosistemaemmalhafechadamostradonaFig. (1.1), onde yr (t) eosinal dereferencia(setpoint-SP), u(t)eosinal decontrole(manipulatedvariable-MV)ey (t)eosinaldesadadoprocesso(processvariable-PV).Afunc aodetransferenciadoprocessoreal erepresentadapor G(s) enquantoomodelodisponvel erepresentadopor P (s). OcontroladorpadraoPID edadoporu(t) = K[e(t) +1Ti_e(s)ds + Tdde(t)dt] (1.1)ondeKeoganhoproporcional,TieotempointegraleTdeotempoderivativo. Afuncaodetransferenciaequivalente e(Fig. (1.2))C (s) =U (s)E (s)= K_1 +1sTi+ Tds_. (1.2)Alternativamentepode-seescreveru(t) = Ke(t) + Ki_e(s)ds + Kdde(t)dt] (1.3)queeconhecidacomoaformaparaleladocontrolador PID, ondeKi=K/TieoganhointegraleKd= KTdeoganhoderivativo.OalgoritmodocontroladorPIDpode,emalgunscasos,serimplementadoemcascata(Fig.Fig. (1.3)),Gc(s) = K

_1 +1S.T

i_(1 + S.T

d) . (1.4)Estaforma econhecidacomoaformaserial.ArelacaoentreosparametrosdocontroladorPIDnaformaserialeosparametrosdocon-troladornaformaparalela eobtidacomparandoestasduasequac oes:1.1. CONTROLADORPIDPADRAO 5Figura1.2: EstruturadeumControladorPIDPadraoI Du(t)e(t)PFigura1.3: EstruturadeumControladorPIDSerialK= K

T

i+ T

dT

iTi= T

i+ T

dTd=T

iT

dT

i+ T

d.ou,paraTi 4TdK

=K2_1 +_1 4Td/Ti_T

i=Ti2_1 +_1 4Td/Ti_T

d=Ti2_1 _1 4Td/Ti_.NotequeasformassaoequivalentesquandoTd=0ouKd=0equeasformaspadraoeparaleladocontroladorPIDsaomaisgeraisdoqueaformaserial.6 CAPITULO1. INTRODUC AO1.2 AcaodecontroleproporcionalParaumcontroladorcomac aodecontroleproporcional,arelac aoentreasadadocontro-ladoru(t)eosinaldeerroe(t) e:u(t) = Ke (t) (1.5)ouemtransformadadeLaplaceGc (s) =U (s)E (s)= K (1.6)onde,Kedenominadasensibilidadeouganhoproporcional.1.3 ControladorPIParaaacaodecontroleintegral,u(t) = K__e (t) +1Tit_0e () d__(1.7)ondeTieotempointegral. Tambemseescreveu(t) = Ke (t) + Kit_0e () d. (1.8)Afunc aodetransferenciadocontroladorPI eGc (s) =U (s)E (s)= K_1 +1Tis_ = K +Kis. (1.9)Seu(t) econstante(u0)eoerroforconstanteeoent aou = K_e0 +e0Tit_. (1.10)Pode-se ver que o sinal de controle u(t) varia enquanto houver erro e somente para erro nuloovalordeu(t)permaneceestacionario. Assim, aac aodecontroleintegral eliminaerroderegimeestacionarioisto e,erroparasinaisdereferenciaouperturbac aoconstantes.Umaimplementac aoalternativaparaocontrolador PI emostradanaFig. (1.4) . Paravericarque eumcontroladorPInotequeu = Ke + I= TidIdt+ IKe = TidIdteu = K__e +1Tit_0e () d__.1.4. CONTROLADORPD 7Figura1.4: EstruturadeImplementac aodeControladorPI1.4 ControladorPDParaaac aodecontrolederivativau(t) = K_e (t) + Tdde (t)dt_(1.11)ondeTdeotempoderivativo. Tambemseescreveu(t) = Ke (t) + Kdde (t)dt. (1.12)Afunc aodetransferenciadocontroladorPD eGc (s) =U (s)E (s)= K (1 + Tds) = K + Kds. (1.13)Oefeitodaac aoderivativapodeser vistoconsiderando-seumaaproximac aodeprimeiraordemparaaseriedeTaylordee (t + Td) :e (t + Td) e (t) + Tdde (t)dt.Assim, o sinal de controle PDe proporcional a uma estimativa do erro de controle Td instantesnofuturosignicandonumaac aocorretivaporantecipac ao.As formas acimaincluemumaderivadapurae naosaorealizaveis. Parapossibilitar aimplementacaoeatenuaroefeitoderudosedevariacaobruscadosetpoint,eintroduzidoum ltro passa-baixa de primeira ordem com constante de tempo Td/N, com Num fator nafaixa[1, 10]. Aformanotempotorna-seu (t) = Ke (t) + Kddef (t)dt(1.14)ondedef (t)dt= NTdef (t) +NTde (t) . (1.15)Umaimplementac aocomum edadaporD(s) = N_1 11 + sTdN_E (s)D(s) =sTd1 + sTdNE (s) .8 CAPITULO1. INTRODUC AO1.5 FormaGeralparaoControladorPIDAlemdamodicac aodapartederivativadevido`anecessidadedeltragem, osalgoritmosoriginaisforammodicadospararesolveralgunsproblemasdeordempratica. UmaformageralparaocontroladorPIDqueagrupaaalgumasdasmodicacoes edadaporu(t) = P (t) + I (t) + D(t) (1.16)= K[(b.yr (t) y (t)) +1Ti_e (t) dt + Tddef (t)dt] (1.17)e (t) = yr (t) y (t)def (t)dt=NTd(c.yr (t) y (t) ef (t)) (1.18)U (s) = K_b.Yr (s) Y(s) +1sTi(Yr (s) Y(s)) +_sTd1 + sTd/N_(c.Yr (s) Y(s))_(1.19)com b [0, 1] e c [0, 1] . O setpoint e ponderado para diminuir o efeito de mudancas bruscastantonotermoproporcional (porb)comonoderivativo(porc). Asponderacoesafetamarespostatransitoria. Pode-sereescreveraEq. (1.19)comoU (s) = K_b +1sTi+ c_sTd1 + sTd/N__Yr (s) K_1 +1sTi+_sTd1 + sTd/N__Y(s)= F1 (s) Yr (s) + C (s) Y(s)queindicacaractersticas independentes paraarespostaaosetpoint eaperturbac oes nasada(doisgrausdeliberdade).Aequac aotambempodeserescritacomoU (s) = K_1 +1sTi+_sTd1 + sTd/N__E (s)E (s) = F (s) Yr (s) Y(s)comF (s) =1 + bTis + cTiTds21 + Tis + TiTds2.Esta forma mostra que o controlador PID da Eq. (1.19) e equivalente a um controlador PIDondeosinaldereferenciafoiltradopaeaformarotermodoerro.Outrasmodicacoessaorealizadasparaeliminarproblemasencontradoscomo:Estouro do Integrador (Integrator windup): na presenca de saturac ao no atuadorquandoosinaldecontroleacamuitograndeotermointegraltendeacrescerpoisosistemacaemmalhaabertaeoerronaodiminuenataxaqueofariasemsaturac ao.Isto resulta em oscilac ao de baixa freq uencia. pois quando o erro ca pequeno e a malhaefechada, ointegradoraindatemvaloralto, levandoumcertotempoparavoltaravaloresnormaisdeoperacao. Isto econhecidocomoestourodointegrador(Integratorwindup). A soluc ao para este problema e normalmente descontando o erro na entradadointegradorquandoasaturac aoocorre,comomostradonasFig. (1.5)e(1.6).1.6. CONCLUSOES 9Figura1.5: EstruturadeImplementa caodeControladorPIparaSaturacaoFigura1.6: EstruturadeImplementac aodeControladorPIDModicadoTransferenciasemsobressaltos(Bumplesstransfer): Controladoresnormalmentesaoencontrados com os modos de operacao manual, automatico e adaptativo ou ajustaveis.Quandohapassagemdemanualparaautomatico, deve-semanterosinaldecontroleinicialmentenomesmovalorparaevitarquehajamudancasbruscas(manterointe-grador com o valor interno proporcional ao ultimo valor da sada). Quando ha passagemdeautomaticoparamanual, manterovalordavari avel manipuladaigual ao ultimovalordosinaldecontrole.1.6 ConclusoesOcontroladorPID eocontroladormaisusadonaind ustria. Tecnicasdesintoniastemsidodesenvolvidasparaobterosseusparametrosganhoproporcional, tempointegral etempoderivativo. A forma mais geral do controlador incorpora modicac oes para lidar com aspectospraticosdeimplementacaooudeoperac ao.10 CAPITULO1. INTRODUC AOCaptulo2ModelagemeMalhasdeControleNesteCaptulosaoapresentadososconceitosbasicosdesinaisesistemas,modelos,oprob-lemademodelagem, arespostaemfreq uenciadesistemaslineareseasmalhasdecontrolenecessariosparaoentendimentodastecnicasdeidentica cao,avaliacaoesintoniaapresen-tadasnestasnotasdeaula.2.1 ModelosparaProcessosAmodelagemdeumsistemadinamicoenvolveaelaborac aodeequac oesmatematicasquedescrevemoseucomportamento. Oprocessodeobtenc aodomodelomatematicopodetervariasabordagens, deacordocomotipodemodeloquesedesejaobter, muitasvezesemfuncaodaaplicacaodesejadaparaeste. Algunstiposdemodelosseraodescritosaseguir,bemcomoasprincipaiscaractersticasobservadas.2.1.1 SinaisEntradas,sadas,rudodemedicaoeperturbac oessaoasgrandezasqueatuamoumedidasemrelac aoaosistemaquesedesejamodelar. Sinaissaofunc oesdavariavel tempoenor-malmenteassumemvaloresreais. Avar aveltempopodeserreal(sinalcontnuonotempo)ou inteiro (sinal discreto no tempo). Sinais discretos no tempo podem ser obtidos atraves daamostragem de um sinal contnuo no tempo. Normalmente a amostragem e feita a uma taxaxa(deTsegundos)denominadaperododeamostragem. Sinaispodemserdeterminsticos(eumafuncaocomformatoxo, por exemplo, impulso, degrau, rampa, senoide), oues-tocaticos(quando suas propriedades sao especicadas a partir de uma func ao de distribuicaodeprobabilidade,porexemplo,rudobrancocomdistribuic aogaussiana).SinaisContnuosnoTempoUm sinal contnuo no tempo x (t) e um mapeamento de R Rn. Sob condicoes de existenciadas integrais, sinais podemter representa caonodomniodafreq uencia. Dadoumsinalcontnuonotempox (t)comx (t) =0parat 3Ti0 +

jTINVj0+T2ondeTeoperododeamostragem.G(s) =Kp(T1s + 1) (T2s + 1)eLs, (3.14)T1= T10T2= T20 +T302L = +T302+

i>4Ti0 +

jTINVj0+T2.3.2. ALGORITMOMINIMOSQUADRADOS 29Considereosistemadeprimeiraordemcomcondic oesiniciaisnulas y (t) + aoy (t) = bu (t L) .AplicandoLaplacesY(s) + aoY(s) = b0U (s) esL.Afunc aodetransferencia edadaporY(s)U (s)=b0s +a0esL=b0a01a0s + 1esL=KpT1s + 1esLRespostaaodegrauunitario: SeU (s) = 1/seutilizandoatransformadainversay (t) =_Kp(1 e(tL)/T1) t L0 t < L.3.2 AlgoritmoMnimosQuadradosAidenticac aodesistemastemcomonalidadeobterummodelomatematicoquedescrevaocomportamentodeumsistemadinamicoapartirdemedicoesdassuasentradasesadas.Conhecer um modelo que descreva o comportamento de um sistema dinamico e essencial emdiversas areas do conhecimento, e e esta necessidade que e responsavel pelo desenvolvimentodestaareadepesquisa,quetemrecebidoatenc aoconsideravelnas ultimasdecadas.3.2.1 DenicaodoProblemaUmadasdenic oesparaotermoidenticacaoeoatodetornaridenticoa, oureconhecercomoidentico, ouainda, oatodetratar umacoisacomosendoidenticaaoutra. Nestesentido, o problema de identicac ao de sistemas e construir um modelo matematico que sejaidentico a um sistema dinamico, para a sua relacao entrada/sada. Este modelo e construdoapartir deobservac oes sobreocomportamentodosistema, quepodemser apresentadasnaformadedadosnumericos, medic oesfsicasououtrasobservac oescomportamentais. Ograudecomplexidadedestemodelomatematicodependeradoquaoidenticoeleseraaosistemareal, nosentidodequantaprecisaoenecessariaaorepresentarosistemadinamicopelomodeloobtido. Dependendodesuanalidade, pode-seusarummodelosimplescomoumaequac aodiferencial deprimeiraordem, ateummodelocomplexo, comoumatratorcaotico.Existemalgumasetapastpicasnoprocessodeobtencaodeummodelomatematicodeumsistemadinamico: coletar informac oes (oexperimento), selecionar aestruturadomodelopararepresentarosistema(amodelagem), escolherosparametrosdomodeloapartirdainformacao coletada segundo um criterio de qualidade (aestimacaodeparametros)e avaliaraqualidadedomodeloobtido(avalidacaodomodelo).EstimacaodeParametrosApos aetapade modelagem, oproximopassoe adeterminacaode todas as constantesmatematicas presentes nas equacoes que descrevem o sistema. Este procedimento e conhecidoporestimac aodeparametros,econtinuasendoumdosprincipaisobjetosdeestudonaareadeIdenticac aodeSistemas.30 CAPITULO3. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOMODELOSDiferentementedoajustedecurvas, emqueosdadosnaopossuemrelacaotemporal entresi, aestimac aodeparametroslevaemcontaaevoluc aodaentradaesadaemrelacaoaotempo. Neste caso, a informac ao usada vem na forma de sinais temporais obtidos do sistemadinamico. Os sinais podem ainda receber um pre-tratamento, como ltragem ou remoc ao detendencias,antesdeseremusadosparadeterminacaodosparametrosdomodelo.Paraencontrarosparametrosdaequac aomatematicaquedescreveomodelo,enecessarioadicionar uma regra que traduz os criterios a serem observados na semelhanca entre o modeloeosistemafsico. Emgeral,estaregra esintetizadanaformadeumafuncaodecusto,quedeve ser minimizada. Um exemplo tpico de funcao de custo e a soma dos quadrados do erroentre cada amostra e o valor esperado pelo modelo. O metodomnimosquadradosapresentaumasoluc aoqueminimizaesteerro,paraumdeterminadomodelo.Eprecisoressaltar que existemmetodos de identicac aoemque naohaparametros deequac aoaseremdeterminados. Taismetodossaodenominadosmetodosnao-parametricos,esaoutilizados,porexemplo,naobtenc aodarespostaemfreq uenciadeumsistemalinearinvariantenotempo, ounaobtenc aodesuaresposta`aumaentradaemdegrau. Nestescasos, naohaummodelonaformadeumaequacaodiferencial oufuncaodetransferencia,e simsoluc oes particulares para determinados sinais de entrada, que podemser usadosposteriormenteparaconstrucaodeummodelo.ValidacaoA validacao do modelo e a determinacao do seu grau de semelhanca com o sistema dinamico.Para isso, geralmente observa-se o comportamento do modelo e do sistema para um conjuntodediferentesestmulosousituac oes,ouseja,eutilizadoumconjuntodedadosdistintosdoutilizadonaidenticac ao, mas sobas mesmas condicoes operacionais daestimacao(edaoperac ao). Oobjetivo evericarosseguintesaspectos:Omodeloreproduzsatisfatoriamenteocomportamentodosistemadinamico?Omodelo esucientementeadequadoparasuanalidade?Omodelo eumadescric aorazoaveldosistemadinamico?Oaspectomaisimportanteparaamaioriadaaplicac oeseosegundodalista. Paraocasode tecnicas de controle iterativo, por exemplo, busca-se chegar a um controlador satisfatorio,usandoummodelodebaixaordem,quegeralmentenaodescreveadequadamenteosistemadinamico,nemreproduzsatisfatoriamenteoseucomportamento.Os metodos mais usuais de validac ao realizam a analise residual, que consiste na avalia cao dascaractersticas ( correlac ao, espectro, erro medio, variancia) do sinal de erro entre as sadas dosistema sob estudo e do modelo obtido (resduo). Por exemplo, se o resduo e correlacionadocom entradas isto e uma indicacao de que o modelo nao descreve perfeitamente o sistema. Aqualidade do modelo resultante da identicac ao pode ser medida pela avaliac ao do resduo. Oerro medio quadratico pode ser dividido em polarizacao, que ocorre quando o valor esperadoda estimativa apresenta desvio em relac ao ao valor real, e e associada a erros de modelagem,evariancia,que edependentedaquantidadededadosedapotenciadosinaldeentrada.3.2.2 EstimacaodeParametrosA essencia do problema de estimac ao de parametros e encontrar um conjunto de coecientesdeumaestruturademodeloescolhidaquepermitadescreverocomportamentodasadado3.2. ALGORITMOMINIMOSQUADRADOS 31sistemaapartirdeentradasesadaspassadas. Emgeral, assume-sequeforamrealizadasmedicoes da entrada u(t) e da sada y (t) durante Ninstantes de amostragem. Assim, dispoe-se de um conjunto de dados de entrada u(1) , , u (N) e de sada y (1) , , y (N) quepodemserescritosemformacompactacomoumamatrizdedadosZ (N)dadaporZ (N) =_y (1) y (2)y (N 1) y (N)u(1) u (2)u (N 1) u(N)_T.Notequeueypodemserdadosnotempoounafreq uencia.Ummetododeestimac aoparametricaeomapeamentodoconjuntodedadosdoprocessoZ (N)aumconjuntodeparametrosN,Z (N) =N DM,emqueDMeumconjuntooufamliademodeloscomaestrutura /.3.2.3 ModelosemRegressaoNocasogeral,oprocedimento erepresentarocomportamentodosistemanaformadeumafuncaodasada,y (t) = f (0 (t) , 0) + d (t) ,comy (t) osinal desada, 0ovetordeparametros(desconhecidos) e0 (t)ovetorfor-madoapartirdesinaisobtidosapartirdemedic oespassadas,erelevantesnadescric aodocomportamentodosistema. Paraocasolinear, escrevem-seasequac oesquedescrevemocomportamentodosistemanaformadeumaregressaolineary (t) = T0(t) 0 +d (t) . (3.15)Eimportanteressaltarqueediscutvel asuposic aoqueocomportamentodosistemapodeserescritocompletamentenaformadeumvetoremregressaolinear, demodoqueaEq.(3.15)deveserconsideradaumaaproximac aodealtaordemquerepresentaosistema.Apartirdarepresentac aodasequacoesdosistemaemregressaolinear, pode-sedenirummodelo,tambememregressaolinearparadescreverocomportamentodosistema y (t[) = T(t) .Agora e o vetor de parametros do modelo (a serem identicados), y (t[) a sada do modelo(que depende do vetor escolhido) e T(t) o vetor de regressores lineares formados a partirde sinais determinamocomportamentodosistema. Geralmente ovetor T(t) dependeapenasdesinaisobtidoseminstantesdetemposanterioresaoinstantet, demodoqueasadadomodelo eumapredicaodasadadosistemanoinstantedetempot.3.2.4 ErrodePredicaoComparando-seasadadosistema(real)comasadadomodelo(predicao)determina-seoerrodepredicao (t, ) = y (t) y (t[) (3.16)= y (t) T(t) (3.17)= T0(t) 0T(t) . (3.18)32 CAPITULO3. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOMODELOSAavaliac aodesteerrodeterminaaqualidadedaestimativa. Finalmente, asdimensoesdosvetorespodemserdiferentes, dependendodaordemescolhidaparaomodelo. Casoasdimensoessejamidenticas,eT0(t) = T(t)ent aooerrodepredicao eproporcionalaoerroentreparametros (t, ) = T(t) (0) . (3.19)3.2.5 MinimizacaodeCriterioseAlgoritmosBasicosO objetivo da estimacao de parametros e obter um vetor proximo a 0. Obviamente, 0 naoemensuraveldemodoquemaneirasindiretasdedeterminarseestaproximode0devemserprocuradas,espressasatravesdeumacertafunc aodecustooucriteriodedesempenho.Umafuncaodecustosimpleseavan carnotemponamatrizdedadosZ (N)eatualizaroestimativadeparametrosdemodoqueanovaestimativasejaproximadaanterior,ousejaJP=12___ (t) (t 1)___2,resultandonumalgoritmoconhecidocomoalgoritmodeprojecao.Umaformamaisgeral,esosticadaeobterumvetor talqueoerro (, )sejapequenodeacordocomumacertamedidadedesempenho. Dependendodaescolhadafuncaoedomodeloassumidoparaosistema,resulta-seemproblemasdeotimizacaodiferentes. Ocasomaissimples eaformaquadraticaJLS (, Z (N)) =1NN

t=112 ( (t, ))2(3.20)cujoalgoritmoresultanteeconhecidocomooalgoritmodos mnimos quadrados. Outroscrterios mais sosticados e que requerem mais informacoes sao o da maxima verossimilhancaeodeBayes.OvetordeparametrosestimadosLSNeobtidominimizando-seaequac ao(3.20),ouseja,LSN= arg minDMJLS (, Z (N)) . (3.21)ComoVNequadraticaem,pode-seencontrarovalormnimoderivandoaequac ao(3.20).Ovetorparametrico ecalculadoatravesdeLSN=_N

t=1(t) T(t)_1N

t=1(t) y (t) .Note que a vers ao acima nao e recursiva e requer o calculo da inversa de uma matriz de ordemigual aon umerodeparametrosaseremestimados. Umavers aorecursivapodederivadaapartir daequacaoacima. Tambempodeser obtidaapartir daminimizac aodaseguintefunc aodecustoJN () =12N

t=1_y (t) (t)T (t 1)_2+12_ (0)_TP10_ (0)_3.2. ALGORITMOMINIMOSQUADRADOS 33comP0sendoumamedidadaconancanaestimativainicial (0) . Oalgoritmomnimosquadradosrecursivoresultante e (t) = (t 1) +P (t 1) (t)T1 + (t)TP (t 1) (t)_y (t) (t)T (t 1)_P (t) = P (t 1) P (t 1) (t) (t)TP (t 1)1 + (t)TP (t 1) (t).Osalgoritmosacimapodemsermodicadosusandotecnicascomovari aveisinstrumentais,normalizacoes,zonas-mortas, paraabordaraspectoscomoefeitosderudoseperturbacoes,dinamicanao-modelada, rastreamentodevariac oesdeparametros, correlac aoentrerudosetc.3.2.6 MetodosGracosparaaRespostaaoDegrauOsmetodosgraco-temporaissaobastantepopularesentreosoperadores. Taismetodossebaseiamnaobservac aodiretadavari aveldesadadoprocesso. Oprincipalatrativodestesmetodos eoapelograco,quetornaintuitivooprocedimentodemodelagemdoprocesso.Ometododarespostaaodegrau, emparticular, aindaebastanteutilizadoparaobterummodeloparaoprocesso. Emregime permanente, e aplicadoumdegraunaentradadoprocesso, easadaeregistrada. Omodeloeent aoobtidoapartirdacurvadereacaodoprocesso, observando alguns parametros gracos. Varias classes diferentes de modelos podemserobtidascomestemetodo.3.2.7 IdenticacaoemMalhaAbertaMetodo1(MetododaIntegral)ConsiderearespostaaoimpulsodemodeloscomoG(s) =bs + aeLs. (3.22)Sob condicoes iniciais nulas em t = 0, e com u(t) = 0 para t < 0, ent ao para t L a equac aodiferencial y (t) + ay (t) = bu(t L) . (3.23)IntegrandoEq.(3.23)de= 0a= tresultaemy (t) = a_t0y () d+ b_t0u( L) d. (3.24)considerandoosegundotermodaEq.(3.24)_t0u ( L) d,efazendomudancasdevariaveist = L = t + L,aintegralpodeserreescritacomo34 CAPITULO3. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOMODELOS_t0u( L) d=_tL0u(

) d

. (3.25)SubstituindoEq.(3.25)emEq.(3.24)econsiderandoaentradacomosendoumdegrau,comamplitudehy (t) = a_t0y () d+ bht bhL. (3.26)Dena (t) = y (t) ,(t) =_ _t0 y () d ht h, =_a b bLT. (3.27)Ent aoEq.(3.26)podeserreescritacomo (t) = (t) .UseaEq.(3.26)parat = t L,i = 1, 2, . . . , N,paraformar = , (3.28)onde =_ (t1) (t2) (tN)Te =_(t1) (t2)(tN)T.Pode-severde(t)queascolunasdesaoindependentesequeTenao-singulardemodoquemnimosquadradospodeserutilizado,i.e. =_T_1T. (3.29)Napresencadegrandequantidadederudo, aEq.(3.29)epolarizada. Pararesolveresteproblema usa o metodo das variaveis instrumentais. Aqui a vari avel instrumentalZe escol-hidacomoZ=__

1k=1t(k)1t11

2k=1t(k)1t21.........

Nk=1t(k)1tN1__. (3.30)eaestimativadeeobtidadaequac ao =_ZT_1ZT. (3.31)Desdequeecalculadaosparametrosdoprocessob,aeL,podemserrecuperadosde__abL__ =__123/2__. (3.32)3.2. ALGORITMOMINIMOSQUADRADOS 35A integral_t0 x () dpode ser calculada recursivamente usando-se um metodo de integrac aocomootrapezoidal(Tustin/bilinear)I (t) = I (t 1) +T2(x (t) + x (t 1)) . (3.33)Metodo2(MetododaIntegralcomJanela)Metodos n umericos para a identicacao a partir da resposta ao degrau podem ser ilustradosapartirdeexemplossimples. ConsidereomodeloemFuncaodeTransferenciaG(s) =bs + aeLs. (3.34)Paradoisinstantesdetempo,t1et2,taisquet = t2t1,assadassaodadaspory (t1) = a_t10y () d+ b_t10u() d b_t1t1Lu() d,y (t2) = a_t20y () d+ b_t20u() d b_t2t2Lu() d.Assumindot2> t1> L,entaoy (t2) y (t1) = a_t2t1y () d+b_t2t1u() d b_t2t2Lu() d+ b_t1t1Lu() d. (3.35)Seu (t)eumdegraucomamplitudeh, osdois ultimostermosdaEq.(3.35)secancelam,resultandoemy (t2) y (t1) = a_t2t1y () d+ bh(t2t1) . (3.36)Dena1 (t) = y (t2) y (t1) ,1 (t) =_ _t2t1y () d ht_,1=_a bT. (3.37)EntaoaEq.(3.36)podeserreescritacomo1 (t) = 1 (t) 1. (3.38)Oalgoritmodosmnimosquadradospodeserusadoparaestimaraeb._ab_ =_1 (1)1 (2)_.Alternativamente, o metodo das variaveis intrumentais pode ser utilizado com (t) =_ t ht.Conhecendo-seaeb,oatrasoLpodesercalculadoapartirdey (t) + a_t0y () d bht = bhL, (3.39)Denindo-se36 CAPITULO3. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOMODELOS2 (t) = y (t) + a_t0y () d bt,2 (t) = [h] ,2= [bL]T. (3.40)eformandoomodeloemregressao2 (t) = 2 (t) 2. (3.41)usando-senovamenteomnimosquadradosparaobter2e[L] =_2/b_.3.2.8 IdenticacaoemMalhaFechadaOs algoritmos acioma se aplicam quando o sinal u(t) e um degrau. Entretando, na operacaoemmalhafechada, u(t)naoeconstante. ParaoprocessoEq.(3.22), asaiday (t)podeserescritacomoy (t) = a_t0y () d+ b_tL0u() d (3.42)quepodeserescritacomoy (t) = a_t0y () d+ b_t0u() d b_ttLu() d. (3.43)OvalordeLedesconhecidodemodoqueaterceiraintegralnaopodesercalculadapoisosinal de controle u(t) nao e constante. Neste caso e necessario um algoritmo iterativo em L.Uma alternativa para a procura e calcular estimativas para diversos L numa faixa [Lmin, Lmax]eescolheroqueresultarnomenorcustoquadratico.Umaoutraalternativa eapresentadaaseguir: AssumaqueseconheceumafaixadevaloresparaL [Lmin, Lmax].y (t) = a_t0y () d+b1_t0u() d b2_ttLu() d. (3.44)dena (t) = y (t) ,(t) =_ _t0 y () d_t0 u() d _ttLu () d_, =_a b1b2T. (3.45)demodoqueaEq.(3.43)podeserreescritacomo (t) = (t) .Usandomnimosquadradoscomonocasodamalhaaberta,aestimativa edadapor =_T_1T (3.46a)3.3. TECNICASDESINTONIA 37eosparametrosa,b1andb2recuperados__ab1b2__ =__ (1) (2) (3)__. (3.47)Se o valor de L, for igual ao valor real, ent ao os parametros b1 e b2 devem ser muito proximos.caso contrario, sao diferentes. Isto sugere uma procura por L na faixa [Lmin, Lmax], escolhendocomovalordeLoqueresultarnamenordiferencaentreb1eb2.3.3 TecnicasdeSintonia3.3.1 ModelosemMalhaAbertaeemMalhaFechadaOfatoquearespostaaodegraudedoissistemasseremsimilaresnaoimplicaqueosdoissistemassaosimilaresquandorealimentados. Considereasfunc oesdetransferenciaG1 (s) =100s + 1e G2 (s) =100(s + 1) (1 + 0, 025s)2.Estessistemastemrespostaaodegrauemmalhaabertasimilares. RealimentacaounitariadosdoissistemasresultanasmalhasfechadasG1cl (s) =100s + 101e G2cl (s) =100(1 + 0, 01192s) (1 0, 001519s + 0, 0005193s2).Oprimeirosistema eestavelenquantoosegundo einstavel.ConsidereagoraossistemasG1 (s) =100s + 1e G2 (s) =100(s 1).RealimentacaounitariaresultanasmalhasfechadasG1cl (s) =100s + 101e G2cl (s) =100s + 99quesaobemproximos.3.3.2 TecnicasBaseadasnaRespostaaoDegrauAs tecnicas seguintes sao baseadas nos experimentos da resposta ao degrau descritos anteri-ormente.Ziegler-Nichols(ZNT)Baseados nos parametros L, T1andKp, ometodorespostaaodegraudeZiegler-Nicholsrespostaaodegraufornece os parametros paraocontrolador PIDmostrados naTabela(3.1).38 CAPITULO3. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOMODELOSController P PI PIDKT1KpL0,9T1KpL1,2T1KpLTi3, 3L 2LTdL/2Tabela3.1: Ziegler-NicholsController P PI PIDK1Kp(0, 35 +T1L )1Kp(0, 083 +0,9T1L)1Kp(0, 25 +1,35T1L)Ti3,3+0,31L/T11+2,2L/T1L2,5+0,46L/T11+0,61L/T1LTd0,371+0,19L/T1LTabela3.2: Cohen-CoonCohen-Coon(CC)O Metodo de Cohen-Coon method e muito similar ao metodo resposta ao degrau de Ziegler-Nichols(Tabela(3.2)).Chien,HronesandReswick(CHR)Chien,HroneseReswicksugeremmodicacoesdaTabela(3.1),paraometododacurvadereac ao. Asugestaoebaseadanaimportanteobservacaodequeasintoniapararejeic aoaperturbac oesdecarga e diferentedasintoniavoltadaparaosinaldereferencia. Duasnovastabelas sao entao sugeridas para cada caso, cada uma com as regras resposta mais rapida com0%desobresinal e respostamaisrapidacom20%desobresinal. As formulas para rejeicao aperturbac oeserastreamentodosinaldereferenciasaomostradasnasTabelas(3.3)e(3.4),respectivamente.Par ametros PI PID PI PID0%desobresinal 20%desobresinalK 0, 6T1/ (KpL) 0, 95T1/ (KpL) 0, 7T1/ (KpL) 1, 2T1/ (KpL)Ti4L 2, 4L 2, 3L 2LTd 0, 42L 0, 42LTabela3.3: Chien,HroneseReswick-Perturba caodeCarga.MetodosdeOtimizacaoOs parametros docontrolador PIDtambempodemser escolhidos de modoaminimizaralgum criterio de desempenho. Para rejeicao a perturbacoes de carga, sao utilizados criterioscomoIE(Integratederror),ISE(Integratedsquareerror)eIAE(Integratedabsoluteerror).OcriterioIE ecalculadodeIE=_0e (t) dt . (3.48)3.3. TECNICASDESINTONIA 39Par ametros PI PID PI PID0%desobresinal 20%desobresinalK 0, 35T1/ (KpL) 0, 6T1/ (KpL) 0, 6T1/ (KpL) 0, 95T1/ (KpL)Ti1, 2T1T1T11, 4T1Td 0, 5L 0, 47LTabela3.4: Chien,HroneseReswick-SinaldeReferencia.Este criterio e adequado para processos com caractersticas nao-oscilat orias, e possui relac aodiretacomoganhointegral,Ki. OcriterioISE edadoporISE=_0e2(t) dt . (3.49)Da forma como e calculado, erros largos sofrem ponderacao elevada pelo criterio ISE. Alter-nativamente,ocriterioIAE edadoporIAE=_0[e (t)[ dt ,quereduzaponderac aoelevadanoserrosgrandes.Paraavaliacaodemudancasdosinal dereferencia, oscriteriosanterioressaoinadequados,poisoerroinicialegeralmentegrande. Nestecaso,erecomendavelponderarasexpressoesanteriorespelotempo,t,demodoqueITE=_0te (t) dt ,ITSE=_0te2(t) dt ,ITAE=_0t [e (t)[ dt .Paraperturbac aodecargaosparametrosotimosapresentadosaodadosporK =1Kp_A_LT1_B_Ti=T1_C_LT1_D_Td= T1_E_LT1_F_comosparametrosdadosnaTabela(3.5).Paraoproblemaservo(varaic aonosinal dereferencia)osparametrosotimosapresentado40 CAPITULO3. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOMODELOSCriterio Controlador A B C D E FIAE PI 0.984 -0.986 0.608 -0.707 - -ITAE PI 0.859 -0.977 0.674 -0.68 - -IAE PID 1.435 -0.921 0.878 -0.749 0.482 1.137ITAE PID 1.357 -0.947 0.842 -0.738 0.381 0.995Tabela3.5: Lopez-PerturbacaodeCarga.saodadosporK =1Kp_A_LT1_B_Ti=T1_C + D_LT1__Td= T1_E_LT1_F_comosparametrosdadosnaTabela(3.6).Criterio Controlador A B C D E FIAE PI 0.758 -0.861 1.02 -0.323 - -ITAE PI 0.586 -0.916 1.03 -0.165 - -IAE PID 1.086 -0.869 0.740 -0.130 0.348 0.914ITAE PID 0.965 -0.850 0.796 -0.147 0.308 0.929Tabela3.6: Rovira-Perturbac aodeCarga.IMC-PrincpiodoModeloInternoAideiageraldoprincpiodomodelointerno(IMC) eilustradanaFig.(3.1). Omodelodoprocesso e considerado explicitamente no controlador, da a origem do nome modelo interno.Figura3.1: EstruturaIMC.3.3. TECNICASDESINTONIA 41OcontroladorIMCpodeserrepresentadoporumcontroladorserienormal,comfunc aodetransferenciadadaporC (s) =Gf (s) G (s)1 Gf (s) G (s) G(s), (3.50)em que G(s) e o modelo do processo, G (s) e uma aproximac ao da inversa de G(s), e Gf (s)umltropassa-baixas,tipicamentedaformaGf (s) =1(Tfs + 1)n.Aprincipal caractersticadaabordagemIMCpodeser vericadacomosegue. Considereocasoemqueomodelodescreveperfeitamenteoprocesso, i.e., G(s)=Gp (s), eoltroedadopor Gf (s) =1. Alemdisso, assumaqueG(s) admiteumainversarealizavel, equenenhumaperturbac aoestapresentenosistema. Nestecaso, oerroentreavariavel desadaeaestimadapelomodeloenulo, demodoqueolacoderealimentac aodaFig. (3.1)desaparece, e atransferenciadosinal de referenciaparasadadoprocessoe total, poisGGp= 1. Considereagoraqueexisteumerrodemodelagem,i.e.,G = GpG. Ent aoarealimentacao daFig.(3.1)atuanoerroentre avariaveldoprocessoeaestimada,demodoalevarasadaparaovalordesejado. Alemdisso,notetambemqueamalhafechada,T (s),edadaporT (s) =C (s) G(s)1 + C (s) G(s)= Gf (s) ,seG (s) = G1(s).OprojetodeumcontroladorpeloprincpioIMCestaportantodiretamenterelacionado`aescolhadoltroGf (s). Istorepresentaumcompromissoentrerobustezedesempenho, nosentidodesaberoquantosepodeconarnomodeloparaaumentaralarguradefaixadosistema em malha fechada. Alem disso, conforme se observa pela Eq. (3.50), o projeto podelevaracontroladoresdemaiorcomplexidade. Noentanto,sobalgumashipoteses, epossvelobtercontroladoresPIePIDseguindooprincpioIMC.Amalhafechada edadapeloltroGf (s) =eLsTfs + 1,emquemanteve-seoatrasodetransporteporesteserinevitavel. DaEq. (3.50),oseguintecontrolador eobtidoC (s) =eLsTfs+1T1s+1KpeLs1 eLsTfs+1=1KpT1s + 1Tfs + 1 eLsAdmitindo uma aproximacao para o atraso como sendo eLs 1L, o seguinte controladoreobtido,C (s) =1 + sLKps (K + Tf),queconsisteemumcontroladorPIcomK=LKp (L +Tf)eTi= L .42 CAPITULO3. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOMODELOSSe o atraso de transporte e aproximado por eLs (1 sL/2) / (1 + sL/2), entao o seguintecontrolador eobtido,C (s) =(1 + sL/2) (1 + sT1)Kps (L + Tf+sTfL/2) (1 + sL/2) (1 + sT1)Kps (L + Tf),queequivaleaumcontroladorPIDcomparametrosK=L + 2T1Kp (L + Tf),Ti=L2+ T1eTd=LT1L + 2T1.SIMC-SimpleIMCSkogestad propos uma modicacao para o IMC que leva em conta a relac ao entre a constantedetempo,atrasoeamalhafechadadesejada.ParaocontroladorPIaregradesintonia e(modelodeprimeiraordemcomatraso)K=LKp (L + Tf)eTi= min (T1, 4 (L + Tf))eparaocontroladorPIDemcascata, usandomodelodeseguntaordemcomatraso, comcancelamentodaconstantedetempomaisrapida(T2)K=T1Kp (L + Tf),Ti= min (T1, 4 (L +Tf)) eTd= T2.Alemdissohaarecomendac aodeTf= L.3.4 ConclusoesNesteCaptuloforamapresentadastecnicasdeidenticacaoedesintoniabaseadaemmod-elos.Captulo4IdenticacaoeSintoniausandooRelePadrao4.1 GanhoCrticoePerodoCrticoDiversossistemas,sobrealimentac aonegativaecomganhovariavel,desenvolvemoscilacaoparaumdadovalor doganho. Este ganhoe conhecidocomooganhocrtico( Kc) e afreq uencia de oscilac ao e denominada freq uenciacrtica( c). Considere o sistema mostradonaFig. (4.1)eassumaqueocontroladorproporcionalC (s) = K. ParaumdadoganhoKcuma oscilac ao se desenvolve com freq uencia c. Assuma que o sinal de entrada do sistema edadoporu(t) = sen(ct). Nasadadosistema,osinalqueseobserva ey (t) = |G(jc)| sen(ct +G(jc)) .Devido`arealimentacaonegativa eclaroquee (t) = y (t) = |G(jc)| sen(ct +G(jc)) .Mascomou(t) = Kce (t)entaou(t) = Kcy (t) = Kc|G(jc)| sen(ct +G(jc)) = sen(ct) .ParaaigualdadeservalidaKc|G(jc)| = 1 eG(jc) = 180o.Assim,ce freq uencia crtica para o qual o sistema tem fase 180oe o ganho para tornar aoscilacaopossvel edadoporKc= 1/ |G(jc)|ouKcG(jc) = 1 1 + KcG(jc) = 0.Estatecnicadeoscilac aofoi utilizadapor Ziegler eNichols paradenir umamaneiradesintonizarcontroladoresPID.Oproblemacomestatecnicaequeaamplitudedaoscilacaonao pode ser controlada. A tecnica cou com uso restrito ate que se notou que uma oscilac aoemfreq uenciaproximaacpodesergeradausando-seumrelepadrao.4344 CAPITULO4. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOORELEPADRAOC(s) G(s)+_yyrFigura4.1: SistemaLinearcomRealimentac ao.4.2 RelePadraoNesta Sec ao e mostrado como o rele padrao resulta num experimento com resultado similar aodoganhocrtico. UmCicloLimite eumaoscilac aoencontradaemsistemasnao-lineares. Ooscilador nao-linear pode ser estruturalmente estavel, ao contr ario do oscilador harmonico, ea amplitude de oscilacao em regime estacionario independe das condicoes iniciais. Condic oesparaexistenciaeestabilidadepodemser obtidasviaAnaliseviaMapasdePoincaremasrequer conhecimento preciso do sistema alem da analise ser complexa. O Metodo das Func oesDescritivas e utilizado para obter uma soluc ao aproximada para os ciclos limite em sistemascomnao-linearidadesestaticaselevaaresultadossatisfatoriosemvarioscasos.Figura4.2: SistemaLinearcomElementoNao-LinearnaRealimentac ao.Arepresentac aodosistemadaFig.4.2emespacodeestados edadapor, x (t) = Ax (t) + Bu (t) ,y (t) = Cx (t) ,u(t) = (e (t)) ,ondex Rn, u, y R, (A,B)econtrol avel, (A,C)eobservavel e: R Reumanaolinearidadeinvariantenotempoesemmemoria(estatica).Afunc aodetransferenciadosistemalinear edadaporG(s) = C (sI A)1B=N (s)D(s).OMetodo do Balanco de Harmonicos e usado para investigar a existencia de soluc oesperiodicas. A ideia e representar uma soluc ao periodica por uma serie de Fourier e procurarumafreq uenciaquesatisfazaequac aodosistema.4.2. RELEPADRAO 45Considereasaday (t)periodica,demodoquey (t) =

n=anejnt,easeriedeFourierdey (t)eansaooscoeentescomplexosdaserie,coman= an. Como () einvariantenotempo, (y (t)) eperiodicacommesmafreq uencia, (y (t)) =

n=cnejntondecadacoecienteckefunc aodetodososais,(ck= ck (a1, a2, . . .)). Paraquey (t)sejaumasoluc aodosistemaemrealimentacao,devesatisfazeraequac aodiferencialdosistemaD(p) y (t) + N (p) (y (t)) = 0 (4.1)onde p e o operador diferencial p () = d () /dt e N (s) e D(s) sao o numerador e denominadordeG(s),respectivamente.Comopejnt=ddtejnt= jnejntp2ejnt=ddt_ ddtejnt_ = (jn)2ejnt...pkejnt=dkdtkejnt= (jn)kejnttem-sequeD(p)

n=anejnt=

n=D(jn) anejnteN (p)

n=cnejnt=

n=N (jn) cnejntSubstituindonaequacaodiferencial,tem-se

n=[D(jn) an + N (jn) cn] ejnt= 0Comoejnt, n=0, 1, ... formaumconjuntodefunc oesortogonais, ent aooscoecientesdeFourierdevemsatisfazerD(jn) an +N (jn) cn (a1, a2, ...) = 0 G(jn) cn (a0, a1, ...) + an= 0 (4.2)paratodososinteirosn. masG(jn)=G(jn), cn= cnean= an, demodoqueenecessarioolharapenasparaosinteirosnaonegativos(n 0).46 CAPITULO4. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOORELEPADRAOAEq. (4.2)constitui portantoumsistemadeequacoesdedimensaoinnita.Enecessarioobterumaaproxima caodedimensaonitadaEq. (4.2). ComoG(s)eestritamenteapro-priada(G(j) 0, ), pode-seassumirqueexisteuminteiroq>0, tal queparatodo n > q, [G(jn)[ e pequeno suciente para ser desprezado (cn= an= 0 ). O problemadedimensaonitasereduzportantoaG(jn) cn (a0, a1, ..., aq) + an= 0 , n = 0, 1, 2, . . . , q (4.3)onde o smbolo e usado para enfatizar o fato de que se trata de uma soluc ao aproximada daEq. (4.2). Para o caso mais simples: q= 1, o que assume que G(s) possue uma caractersticaacentuada de passa-baixas. Corresponde ao metodo classico de analise por func oes descritivasqueassumequey (t)temapenasumacomponentesenoidaldefreq uencia.Osistemareduz-seaG(0) co ( ao, a1) + ao= 0G(j) c1 ( ao, a1) + a1= 0onde ha uma equac ao real (1a) e uma complexa (2a) em duas incognitas reais, e ao, e umaincognita complexa, a1. Aorigemdotempo e arbitraria para osistema autonomo,demodoque se ( ao, a1) e uma solucao, ent ao_ ao, a1ej_ dara outra soluc ao para arbitrario. Fixandoaorigemdosistema, anaounicidadeeresolvida: assume-sequeaprimeiraharmonicadey (t)comosendoa sin (t),coma 0(afasedaprimeiraharmonica enula)Comoa sin (t) =a2j_ejtejt a1=a2j,tem-sequeG(0) co_ ao,a2j_+ ao= 0 (4.4)G(j) c1_ ao,a2j_+a2j= 0 (4.5)Aprimeiraequac aonaodependede, epodeserresolvidapara aocomofunc aodea. Se () e mpar( (y) = (y)),ent ao ao= co= 0 eumasoluc ao,pois co=2_2/0 ( ao + a sin (t)) dt.Porconveniencia, assume-seque ()eumanaolinearidadecomsimetria mpar, demodoque ao= co= 0.Aequac aorestante edadaporG(j) c1_0,a2j_+a2j= 0onde c1 (0, a/2j)eocoecientecomplexodoprimeiroharmonicodaserienasadadanaolinearidadequandoaentrada eosinalsenoidala sin (t) c1 (0, a/2j) =2_20 (a sin t) ejtdt=2_20[ (a sin t) cos t j (a sin t) sin t] dt4.2. RELEPADRAO 47Como o primeiro termo da integral e uma funcao mpar, sua integral sobre um ciclo completoenula,demodoque c1 (0, a/2j) = j_/0 (a sin t) sin tdtDenindoafuncao(a)como(a) = c1 (0, a/2j)a/2j=2a_/0 (a sin t) sin tdttem-seque[G(j) (a) + 1] a = 0Comoestamosinteressadoemumasoluc aocoma ,= 0,tem-senalmenteG(j) (a) + 1 = 0.EstaeaEquac aodeBalancodeHarmonicosdeprimeiraordem, e(a)eaFuncaoDe-scritivadanao-linearidade () .Eobtidainjetandoosinal a sin t naentradadanao-linearidade,ecalculandoarelacaoentreoprimeiroharmonicodosinalnasadadamesmacoma. Podeservistocomosendoumganhoequivalentedeumelementolinearinvariantenotempo,cujarespostaaumaentradaa sin t e(a) sin t.4.2.1 ExemplosdeFunc oesdescritivasRelePadrao(liga-desliga)Figura4.3: Sinaisdeentradaesada.(a) =2a_/0 (a sin t) sin tdt=2da_/0sin tdt=2da[cos t][/0=4da48 CAPITULO4. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOORELEPADRAOFigura4.4: Sinaisdeentradaesada.RelecomHisteresec1 (0, a/2j) =_/0 (a sin t) ejtdt=d__t10ejtdt +_/t1ejtdt_=d_1j_ ejtt10+ejt/t1__= jd__ejt1+ 1 + ejejt1_= j2dejt1dagura,sin t1=a cos t1=a22ademodoquec1 (0, a/2j) = j2d(cos t1j sin t1)= j2da_a22j_enalmente(a) = c1 (0, a/2j)a/2j=4da2_a22+ j_.4.3 ExistenciadeCiclosLimiteConsidereaequacaodebalancodeharmonicosG(j) (a) + 1 = 0.4.4. USOEMIDENTIFICAC AO 49Devido`as aproximac oes, quandoexisteumasolucaoparaestaequac ao, ent aoprovavel-mente existe um ciclo limite no sistema realimentado com freq uencia e amplitude proximasdeseasobtidos. Demaneirasimilar,quandonaohasoluc ao,entaoprovavelmentenaoexisteciclolimitenosistema. Dadaafunc aodetransferencia, G(j), ent aoasoluc aoeobtidadeG(j) = 1(a)quecorresponde`ainterseccaodacurvadeNyquist deG(j) comoinversonegativode(a) .Exemplo: RelecomhistereseOrelecomhisteresetambempermiteestimaroutrospontosFigura 4.5: Curva de Nyquist de G(j) versus inverso negativo da func ao descritiva do rele.defreq uenciadeF (j)jaqueafunc aodescritiva eumn umerocomplexo.4.4 UsoemIdenticacaoConsidereumafuncaodetransferenciaestavel,F (s). AsduasestruturasderealimentacaocomreleapresentadasnasFiguras(4.6)e(4.7)saocomumenteutilizadasparaestimac ao.Noprimeirocaso, mostra-sepelometododasfunc oesdescritivasqueociclolimiteobtidopela realimentac ao ocorre na freq uencia em que a fase de F (j) e aproximadamente 180,ouseja, afreq uenciacrtica. Nosegundocaso, aadic aodeumintegradornocaminhoderealimentacaoimplicaqueaoscilac aoocorreagoranafreq uenciaemqueafasedeF (j) eaproxidamente 90.Considere o sistema em malha fechada com rele mostrado na Figura (4.6), onde F (s) e umafuncaodetransferenciaquerepresentaumsistemalinear, estavel einvariantenotempo,K=1/F (0),aamplitudedorelepodeassumirumdentredoisvalores dey

reumvalordereferenciaconstante. Entao, seumciclolimitedeamplitudeadesenvolve-senasadadosistema,yo (t),aoscilac aoocorreemtornodey

rnafreq uenciactalqueF (jc) 180.Alemdisso,umarealimentac aodeF (s)porumganhoproporcionalkeestavelpara0 k 1[F (jc)[.50 CAPITULO4. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOORELEPADRAOAfunc aodescritivadoreledeamplitude d edadapor[?]N (a) =4da.Subtraindoossinaisy

reyodey

r, ecomoK=1/F (0), onovopontodeoperac aoeemtornodezero. Aequac aodebalancodeharmonicosdeprimeiraordemleva`acondic aodeoscilac aoN (a) F (j) 1,queimplicaemF (j) 1N (a)= a4d.Portanto,aoscilac aoocorrenafreq uencia= condeF (jc) 180.Alemdisso, ociclolimitesedesenvolveemtornodovalordereferenciay

r. OlimiteparaestabilidadeseguedocriteriodeestabilidadedeNyquist.F(s)+_++yryoyiKFigura4.6: Sistemalinearrealimentadoporrele.Conforme mencionado anteriormente, o procedimento e conhecido por metododorele. Umapequena modicac ao deste procedimento, e apresentada em seguida, e o experimento obtidoeaquidenominadometododorelecomintegrador.Considere o sistema em malha fechada com rele mostrado na Figura (4.7), onde F (s) e umafunc aodetransferenciaquerepresentaumsistemalinear, estavel einvariantenotempo,K=1/F (0),aamplitudedorelepodeassumirumdentredoisvalores dey

reumvalordereferenciaconstante. Entao, seumciclolimitedeamplitudeadesenvolve-senasadadosistema,yo (t),aoscilacaoocorreemtornodey

rnafreq uenciacitalqueF (jci) 90.Aanalise esemelhanteaocasoanterior,comacondic aodeoscilac aomodicadapara1jN (a) F (j) 1oqueimplicaemF (j) jN (a)= ja4d.Portanto,aoscilac aoocorrenafreq uencia= ciondeF (jci) 90.4.5. DFTRECURSIVO 511sF(s)+_++yryoyiKFigura4.7: Sistemalinearrealimentadoporrelecomintegrador.Figura4.8: NyquistdeSistemaMostrandoPontosEstimadoscomRele(semecomInte-grador).Aintroduc aodointegradorpermitiuaestimacaodeoutropontodarespostaemfreq uenciade F (j). Na Fig. (4.8) e sao ilustrados no Diagrama de Nyquist os pontos estimados paraumdadosistema. Defato, aintroduc aodediferentes func oes detransferencia(aoinvesdointegrador)naprimeiraestruturaderealimentac ao(Fig. 4.6)permitiriaaestimac aodepontosdarespostaemfreq uenciaparaosquaisF (j)possuidiferentesganhose/oufases.Alimitac aodetalprocedimentoeanecessidadedeseconhecerexatamentequalfunc aodetransferenciautilizar,outentarchegar`afunc aodetransferenciadesejadaemumamaneiraiterativa. Conformemostradoanteriormente,orelecomhisteresetambempermiteestimaroutrospontosdefreq uenciadeF (j)jaqueafuncaodescritiva eumn umerocomplexo.4.5 DFTRecursivoOmetododasfuncoesdescritivaseumprocedimentoaproximado, baseadonasolucaodaequacaodebalancodeharmonicosdeprimeiraordem. Istoimplicaqueosharmonicosde52 CAPITULO4. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOORELEPADRAOordemsuperiorsaodesprezadosemtalanalise. Umamaneiradecontornaresteproblema eutilizar a transformada discreta de Fourier (DFT) nos dados de entrada e sada obtidos comoexperimento,eobterumaestimativamaisprecisadosistemanafreq uenciadeoscilacao.Considere um n umero par de amostras, N, do sinal x (t). Dena a transformada discreta deFourierDFTXN (k)comosendoXN (m) =N1

n=0x (nT) ej(2N )mn.AplicandoaDFTparaossinaisdeentradaesadadeumsistemapode-seobterumaesti-mativadarespostadosistemanasfreq uenciasanalisadas. AssimF_j2mN_ =YN (m)UN (m)satisfaz:F (j) edenidoapenasparaumn umeroxodefreq uenciastaisqueUN () ,= 0,enessas freq uencias, as estimativas saonaotendenciosas eavari anciadecai segundo1/N.DFTRecursivoADFTdosinalx (nT) enafreq uenciakdadaporXiN (k) =N1

n=0x (i + n) WknN, k = 0, 1, , N 1.ondeWN= ej2N.Assumaqueumnovodado eadicionadoaosinaleodadomaisantigo edescartado. AssimXi+1N(k) = WkN_XiN (k) x (i) + x (i +N)DemodoquaaDFTnumadadafreq uenciakpodesercalculadarecursivamente. Oltrodigitalequivalente eHNk(z) =1 zN1 WkNz1.4.6 TecnicasdeSintoniaAstecnicasdesintoniabaseadasnorelepadraousamainformac aosobreopontocrtico.Ziegler-NicholsNometodoclassicodafreq ueenciadeZiegler-Nichols ocontroladorecalculadoconformemostradonaTabela(4.1).4.7. CONCLUSOES 53Controlador K TiTdPIKc2.2Tc1.2-PIDKc1.7Tc2Tc8Tabela4.1: Ziegler-NicholsControlador K TiTdPI 0.4KcTc-PID 0.5KcTcTc8Tabela4.2: ClairClairAsintoniapelometododeClair edadapelaTabela(4.2).4.6.1 Tyreus-LuybenAsintoniapelometododeTyreus-Luyben emaisconservadoraqueadeZiegler-Nicholse edadapelaTabela(4.3).Controlador KcTiTdPIKc3.22.2Tc-PIDKc2.22.2TcTc6.3Tabela4.3: Tyreus-Luyben4.7 ConclusoesNeste captulo foramapresentasa tecnicas de sintonia utilizando o experimento do relepadrao.54 CAPITULO4. IDENTIFICAC AOESINTONIAUSANDOORELEPADRAOCaptulo5AspectosdaMalhaFechadaNeste Captulo serao discutidos alguns aspectos de sistemas malha fechada, particularmenteestabilidadeerobustez.5.1 EstabilidadeRealimentacaopossui diversaspropriedades uteis. Aprincipal desvantagemequeareali-mentacaopodeocasionarinstabilidade.Eportantoessencial terumbomentendimentodeestabilidadeedosmecanismosquecausaminstabilidade.5.2 CriteriodeNyquistParaumsistemaemmalhafechadaaestabilidadeestarelacionadacomalocalizacaodospolosdaequac aocaracterstica1 + G(s) C (s) = 1 + L(s) = 0.O criterio de Nyquist estabelece condicoes gracas para estabelecer a estabilidade da malhafechadaapartirdarespostaemfreq uenciadafunc aodetransferenciademalhaL(s). SejaF(s)umafuncaodavari avelcomplexas C. Paraumdados = s0estafunc aorepresentaumn umerocomplexo, F(s0), cujomagnitude, [F(s0)[, eafase, F(s0), dependemdes0.Seopontos0sedeslocasobreumpercursofechado, s0 s, noplanocomplexo, asuaimagem, F(s0), tambemsemovesobreumpercursofechado, F(s0) F(s), represent avelnestemesmoplano. Pode-sedemonstrarqueon umerodevoltasqueF(s)daemtornodaorigem e vinculado ao n umero de singularidades (polos e zeros) situadas no interior da curvafechadas. Quandoopontodetestes0percorreacurvasnosentidohorario, avariac aoangulartotaldafasedeF(s)consideradapostivanosentidotrigonometrico eiguala = 2(P Z),comPeZsendoon umerodepoloseon umerodezeros(contadasuasmultiplicidades)dafuncao F(s) situados no interior de s. Assim o n umero de voltas Nque o lugar geometricoF(s)efetua,nosentidotrigonometrico,emtornodaorigemdoplanocomplexo edadaporN= P ZAgora considere funcao F(s) igual ao polinomio caracterstico do sistema. Neste caso tem-sequeF(s) = 1 + G(s)C(s)5556 CAPITULO5. ASPECTOSDAMALHAFECHADAondeL(s) = G(s)C(s) = Kp

mi=1(s + zi)ini=1(s + pi)irepresentaafunc aodetransferenciademalhaabertadeumsistemadecontrolecomreali-menta caounitaria.OpercursosqueserautilizadoparaavaliarF(s), denominadopercursodeNyquist(n),e:Uma reta paralela, do lado direito do plano complexo, ao eixo imaginario. A distanciaentreestaretaeoeixoimaginario einnitesimal.Umasemi-circunferenciaderaioinnitonoladodireitodoplanocomplexo. Ocentrodesta semi-circunferencia ca sobre o eixo real a uma distancia innitesimal da origem.Quandos0percorrenenecessariodistinguirduassituac oes: Quandos0percorrearetaparalelanosentidohorario, s0 (j0, j), aimagemdescreveolugargeometricode1 + G(j)C(j)que ecompletadopeloseulugarsimetricoemrelacaoaoeixoreal1 + G(j)C(j)s0 (j, j0).Quandos0percorreasemi-circunferencianosentidohorarios0=Rej(R e [/2, 0]),seG(s)C(s) eestritamentepropriaent aolimsF(s) = 1 +limsG(s)C(s) = 1AssimZ= n umerodezerosde1 + G(s)C(s)comparterealpositivaeP= n umerodepolosde1 + G(s)C(s)comparterealpositivaouequivalentementeP= n umerodepolosdeG(s)C(s)comparterealpositivacontadas as respectivas multiplicidades, entao a variac ao de fase de 1 +G(j)C(j) quandocrescede a+vale2(Z P)As funcoes G(j)C(j) e 1 +G(j)C(j) tem os mesmos polos. O envolvimento da origempara 1 +G(j)C(j) e equivalente ao envolvimento do ponto de 1 +j0 para G(j)C(j).Destemodoaestabilidadedeumsistemadecontroleemmalhafechadapoderserdeter-minadaapartir doexame dos envolvimentos doponto 1+j0dolugar geometricodeG(j)C(j).DenidaafuncaodoramodiretoG(s)C(s)deumsistemarealimentadoarelac aoN= P Zdeterminaon umeroZdezerosinstaveisde1 + G(s)C(s)emfuncaodo1. n umerodepolosinstaveisdeG(s)C(s)2. n umerodeenvolvimentosqueG(j)C(j)fazemtornodoponto 1 + j05.3. MARGEMDEGANHO 57Umsistemade controlee ditoestavel se Z=0(excluem-se os zeros imaginarios purosde1 + G(j)C(j): nestescasos, olugargeometricodeG(j)C(j)passariapeloponto1 + j0. Isto eequivalenteaN= P.Acondic aonecessariaesucienteparaqueumsistemadecontrole(malhafechada: 1 +G(s)C(s))sejaestavelequeolugargeometricodoramodireto(malhaaberta: G(s)C(s))avaliado para variando de a +envolva o ponto crtico 1+j0, no sentido trigonometrico(anti-horario), tantas vezes quantos polos instaveis existirem no ramo direto. Em particular,se o ramo direto de um sistema de controle nao tem polos instaveis, a estabilidade da malhafechada egarantidadesdequeolugargeometriconaoenvolvaopontocrtico 1 + j0.OsistemaemmalhafechadaeditoestarnolimitedeestabilidadequandoalgumpontodesuacurvadeNyquistpassapelopontocrtico 1 + j0.5.3 MargemdeGanhoOcriteriodeestabilidadedeNyquisteutilizadoparasaberquandoumsistemaemmalhafechada e estavel. A margem de ganho e a menor perturbac ao no ganho suciente para levarosistemaaolimitedeestabilidade. Considereosistemaemmalhafechadacomganhodemalha L(s). Assuma uma perturbac ao expressa por um ganho real k > 0. Neste caso tem-sequeoganhodemalhaperturbado edadoporL(s) = kG(s)C(s) = kL(s) .Comoavariac aodekG(s)C(s)emrelacaoaG(s)C(s)eradial, tem-sequeospontosdeL(s)quepodematingiroponto 1 + j0temfase 180odemodoquekc= GM=1[G(jc)C(jc)[(5.1)onde jce a frequencia crtica. O resultado depende do n umero de voltas da func aoL(s) =G(s)C(s)executaemtornodeponto 1 + j0. Parasistemasestaveisoganhocrticoeomenorganhosucienteparalevarosistemaaumaoscilacaosustentadaeeexatamenteoganhousadonometododafreq uenciadeZiegler-NicholsoriginalquandoC (s) = 1.5.4 MargemdeFaseA margem de fase e denida como a menor perturbac ao de fase necessaria para que o sistemade malha fechada seja levado ao limite de estabilidade. Pontos de L(s) que podem atingir ovalor 1 + j0comvaria caopuradefasetemmagnitudeunitaria. Assim:PMo= 180o+ arg (G(j1)C(j1))o(5.2)onde1eafrequenciadecrossoverdeganho([G(j1)C(j1)[ = 1).Outramargemdeestabilidadequepodeserdenidaamargemdeatraso,que erelacionadacomamargemdefasepor:DM=PMo1180(5.3)equerepresentaquantoatrasopodeexistirantesdosistemasetornarinstavel.58 CAPITULO5. ASPECTOSDAMALHAFECHADA5.5 EfeitodoControladorPIDnasMargensdeEsta-bilidade5.5.1 ControladorPIO controlador PI e sempre considerado como redutor das margens de estabilidade. ConsidereocontroladorPIDcomTi ,= 0eTd= 0(controladorPI)entao[C (s)[ = K1 +1jTi = K1 +12T2i> K earg C (s) = arg_1 +1jTi_ = tan1_1Ti_ < 0 .Assimtantoamargemdeganhocomoamargemdefasesaoreduzidas.5.5.2 ControladorPDOcontrolador PDesempreconsideradocomoresultandonumamelhoradas margens deestabilidade. ConsidereocontroladorPDTi= 0eTd ,= 0. Ent ao[C (s)[ = K[1 + jTd[ = K_1 + 2T2d> K earg C (s) = arg (1 + jTd) = tan1(Td) [0, /2] .Nestecaso,asmargensdeestabilidadepodemaumentaroudiminuir. ConsidereoprocessoP (s) =Kp1 + T1sesLd.Afunc aodeganhodemalha edadaporL(s) = P (s) C (s) = K (1 + sTd)Kp1 + T1sesLddemodoque[L(j)[ = KKp1 + 2T2d1 + 2T21 min_1, TdT1_.Assim,seK>1Kpe Td>T1KKpent ao[L(j)[ > 1 .Comoarg L(s) = tan1(Td) tan1(Td) Ldquando entaoarg L(j) < epelocriteriodeNyquistosistemaemmalhafechada einstavel.5.6. ESTABILIDADEROBUSTA 595.6 EstabilidadeRobustaA margem de ganho e a margem de fase sao especicacoes classicas de estabilidade relativa,cujalimitacao e assumirperturbacoes puramenteemganhooupuramenteemfase. Nocasomaisgeral,compertubac oescomplexas,duasdasfuncoesdetransferenciasaoimportantes:afunc aodesensibilidadeSeafunc aodesensibilidadecomplementarTdadaspor:S=11 + PC=11 + LT=PC1 + PC=L1 + L.NotequeS +T= 1.5.6.1 IncertezasdaPlantaNenhumsistemamatematicopodemodelarprecisamenteumsistemafsico. Porestarazaoeprecisoestar atentodecomoamodelagemdos erros podeafetar odesempenhodeumsistemadecontrole. Aestabilidaderobustaedenidacomoamanutenc aodeestabilidademedianteincertezasnaplanta. Considereoprocessocomopertencenteaumconjunto T.Talconjuntopodeserestruturadoounaoestruturado.Paraexemplodeumconjuntoestruturado,considereomodelodaplanta1s2+as + 1Esta e uma funcao de transferencia de segunda ordem padrao com freq uencia natural 1 rad/secoecientedeamortecimentoa/2. Suponhaqueaconstanteasejaconhecidasomenteemalgumintervalo amin, amax. Ent aoaplantaestanoconjuntoestruturadoT=_1s2+ as + 1: amin a amax_Assim, um tipo de conjunto estruturado e parametrizado por um n umero nito de parametrosescalares. Outrotipodeincertezaestruturadaeumconjuntodiscretodeplantas, naonec-essariamenteparametrizadaexplicitamente.Conjuntosnaoestruturadossaomaisimportantes, porduasrazoes. Primeiro, acredita-seque todos os modelos usados em projetos de realimentac ao podem incluir algumas incertezasnao estruturadas para cobrir dinamicas nao modeladas, particularmente em altas freq uencias.Outrostiposdeincertezas, importantes, podemounaosurgirnaturalmenteemumprob-lemaespecco. Segundo,paraumtipoespeccodeincertezasnaoestruturadas,discosdeincertezas, epossveldesenvolvermetodosdeanalisesimplesegerais. Portanto,opontodeincio basico para um conjunto nao estruturado e algo em semelhante a um raio de incerteza.Neste caminho, raios de incerteza multiplicativos sao escolhidos para o estudo detalhado. Istoesomenteumtipodeperturbac aonaoestruturada. Opontoimportante equeusa-seraiosdeincertezaemvezdeumadescricaomaiscomplicada. Faz-seissoporqueistosimplicamuitoaanaliseepode-sedizeralgobastantepreciso. Oprecopago eaconservadorismo.5.6.2 PerturbacaoMultiplicativaSuponhaqueafunc aodetransferencianominaldaplantasejaPeconsidereasfunc oesdetransferenciadaplantaperturbadanaforma P= (1 + W2)P. Onde,W2eumafuncaode60 CAPITULO5. ASPECTOSDAMALHAFECHADAtransferenciaxaestavel, opeso, eeumafuncaodetransferenciaestavel variavel, quesatisfaz, || 1. Assume-se que nenhum polo instavel de Pe cancelado na formacao de P(Portanto, Pe Ptem os mesmos polos instaveis.). Tal perturbac ao, e dita ser permissvel.Anocaoderobustezpodeserdescritadaseguinteforma. Suponhaqueafunc aodetrans-ferencia da planta Ppertenca a um conjunto T. Considere algumas caractersticas do sistemarealimentado, por exemplo, que seja internamente estavel. Um controlador Ce robusto comrespeito a esta caracterstica, se esta caracterstica for garantida para qualquer planta em T.Anocaoderobustez,entao, requerumcontrolador, umconjuntodeplantas, ealgumacar-actersticadosistema. Asvariacoesmaisimportantesdestanocaosaoestabilidaderobustaedesempenhorobusto.Umcontrolador Cgarante estabilidade robustase ele garantir estabilidade internaparaqualquer plantaem T.Edesejavel ter umteste paraaestabilidade robusta, umtesteenvolvendoCe T. Ouse Ttemumtamanhoassociado,otamanhomaximoparaoqualCestabilizatodososelementosde Tpodeserumanoc ao utildamargemdeestabilidade.OdiagramadeNyquistforneceinformac oessobremargemdeestabilidade. Observequeadistanciaentreopontocrtico 1paraopontomaisproximonodiagramadeNyquistdeLeiguala1/|S|:distanciade-1aodiagramadeNyquist = inf[ 1 L(j)[= inf[1 + L(j)[=_sup1|1+L(j)|_1= |S|1Assim, se |S|1, odiagramade Nyquist e proximodopontocrtico, e osistemarealimentadoestaproximodainstabilidade. Entretanto, comoumamedidadamargemdeestabilidade esta distancia nao e adequada por que nao contem informac ao sobre freq uencia.Maisprecisamente,seaplantanominalPeperturbadapara P,tendoomesmon umerodepolosinstaveisquePesatisfazendoainequacao[P(j)C(j) P(j)C(j)[ < |S|1 , ,ent ao a estabilidade interna e preservada (o n umero de voltas no ponto crtico pelo diagramadeNyquist naomuda). Mas istoegeralmentemuitoconservador; por exemplo, grandesperturbac oes poderiam ser permitidas em freq uencias onde P(j)C(j) esta longe do pontocrtico.Melhoresmargensdeestabilidadesaoobtidaspormeiodemodelosdeperturbac oesdepen-dentes da freq uencia: por exemplo, o modelo de perturbacao multiplicativa, P= (1+W2)P.Estabelecendoumn umeropositivoeconsiderandoafamliadeplantasP: eestavele || Agora, umcontroladorCquegaranteaestabilidadeinternaparaaplantanominal Piraestabilizar afamliainteirase for sucientemente pequeno. Sejasupomenor limitesuperior de tal que Cgaranta a estabilidade interna para toda a famlia de plantas. Ent ao,supeumamargemdeestabilidade(comrespeitoaestemodelodeincerteza). Margensdeestabilidadeanalogaspoderiamserdenidasparaoutrosmodelosdeincerteza.5.6. ESTABILIDADEROBUSTA 61Agora, podeserobservadoumtpicotestedeestabilidaderobusta, paraomodelodeper-turbacao multiplicativa. Assuma que o sistema com realimentarao nominal (i.e., com = 0)e internamente estavel para o controlador C. Trazendo novamente a funcao de sensibilidadecomplementarT= 1 S=L1 + L=PC1 + PCTheorem1: (Modelodeincertezamultiplicativa) Cgaranteestabilidaderobustaseso-mentese |W2T|< 1.() Assuma que |W2T|< 1. Construa o diagrama de Nyquist de L. Desde que o sistemaderealimentac aonominalsejainternamenteestavel,docriteriodeNyquist: OdiagramadeNyquist de L nao passa por 1 e o n umero de voltas no sentido horario ao redor deste pontoeigualaon umerodepolosdePnosemi-planoesquerdofechado(Res 0)maison umerodepolosdeCnosemi-planoesquerdofechado(Res 0).Fixeumpermitido. ConstruaodiagramadeNyquistde PC=(1 + W2)L. Deve-semostrarqueodiagramadeNyquistde(1 + W2)Lnaopassapor 1equeon umerodevoltasnosentidohorarioemtornodestepontoeigualaon umerodepolosde(1 + W2)PemRes 0maison umerodepolosdeCemRes 0; equivalentemente,odiagramadeNyquistde(1 + W2)Lnaopassapor 1eenvolveestepontoomesmon umerodevezesqueodiagramadeNyquistdeL. Emoutraspalavras, deve-semostrarqueaperturbacaonaomudaon umerodevoltas.Aequac aochave e1 + (1 + W2)L = (1 + L)(1 + W2T) (5.4)Desdeque|W2T| |W2T|< 1,o ponto 1 +W2Tsempre esta em algum disco fechado com centro 1, e raio < 1, para todosos pontos s em T. Portanto, da equac ao (5.4), como s vai uma vez ao redor de T, a mudancanoangulode1 + (1 + W2)Leigual amudancanoangulode1 + L. Istodaoresultadodesejado.() Suponha que |W2T| 1. Sera construdo um permitido que desestabiliza o sistemarealimentado. VistoqueTeestritamentepropria,emalgumafreq uencia,[W2(j)T(j)[ = 1. (5.5)Suponhaque= 0. Ent aoW2(0)T(0) eumn umeroreal,+1ou 1. Se = W2(0)T(0),entao epermissvele1 + W2(0)T(0) = 0.De(5.4)odiagramadeNyquistde(1 + W2)Lpassapelopontocrtico, deformaqueosistemarealimentadocomperturbac aonaoeinternamenteestavel. Se>0, construindoumadmissvelrequerumpoucomaisdetrabalhoeosdetalhessaoomitidos.O teorema pode ser utilizado efetivamente para achar a margem de estabilidade sup denidaanteriormente. Asimplestecnica62 CAPITULO5. ASPECTOSDAMALHAFECHADAP= (1 + W2)P: || = P= (1 + 1W2)P : |1| 1= P= (1 + 1W2)P : |1| 1juntocomoteoremamostraquesup= sup: |W2T|< 1 = 1/|W2T|.Observeque|W2T|< 1 W2(j)L(j)1+L(j) < 1, [W2(j)L(j)[ < [1 + L(j)[, A ultimainequacaoarmaqueemqualquerfreq uencia, opontocrtico, 1, estaforadocrculocomcentroemL(j),eraio [W2(j)L(j)[.5.6.3 OutrosModelosdeIncertezaATabela(5.1)mostraumsumariodetestesdeestabilidaderobustaparaosmodelosmaiscomunsdedeincerteza: multiplicativaeaditiva. ObservequedependemdasfuncoesdetransferenciaTeM= CS.Perturbacao Condic ao(1 + W2)P |W2T|< 1P+ W2|W2CS|< 1Tabela5.1: Testesdeestabilidaderobusta5.7 ConclusoesNesteCaptuloforamapresentadosconceitosdeestabilidade,estabilidaderobusta,margemdeganhoemargemdefase.Captulo6SintoniacomaMalhaFechadaOmetododoreleintroduzidoporAstromeHagglundtemsidoamplamenteutilizadocomoferramentadeestimacaoparasintoniaon-line decontroladores. Nasuaformaoriginal, ometododoreleeutilizadoparaestimaroganhoefreq uenciacrticosdeumprocesso, sobcondicoesdeoperac aobemdenidas. Ainformac aoobtidaapartirdoexperimentopodeentaoserutilizadaparasintonizarcontroladoresPID, utilizandoalgunsdosmetodoscomoZieglereNicholsouTyreuseLuyben. AlgumastecnicasdemoldagemdaFunc aodeMalha(loopshaping) tambem fazem uso da informac ao de um unico ponto da curva de Nyquist deumprocesso,paraobterumaFunc aodeMalhadesejada.Nestecaptulotecnicasdorelesaoutilizadasparaavaliarasmargensdeganhoemargemdefasedeumsistemaemmalhafechada. Oresultadodaavaliac aotambemserveparareprojetarocontroladorPIDparaobtermargensdesejadas.6.1 AvaliacaodeMargensdeEstabilidade6.1.1 AvaliacaodaMargemdeFaseConsidereosistemaemmalhafechadacomrele,apresentadonaFig.6.1,ondeafuncaodetransferenciaF (s)eestavel. Daanaliseporfunc aodescritiva,mostra-sequeosistemaemmalhafechadaestaemciclolimitecomfreq uenciadeoscilacaotal que F (jo) = 90.Quando F (s) possui uma forma particular, e possvel obter resultados gerais sobre o sistema.Esteresultado eformalizadonaproposic aoseguinte.1sF(s)+_++yryoyiFigura6.1: Estruturageneralizadacomreleemmalhafechada.Considere o sistema em malha fechada com rele mostrado na Fig. 6.1. Assuma que, para uma6364 CAPITULO6. SINTONIACOMAMALHAFECHADAfunc ao de transferencia estavel H (s) e um n umero real positivo r, a funcao de transferenciaF (s, r) =H (s) rH (s) + r(6.1)tambem eestavel. Ent ao,seexisteumciclolimite,eleocorreemumafreq uenciaotalque[H (jo)[= r .Seosistemaemmalhafechadacomreleapresentaumciclolimite, ent aodaanaliseporfunc aodescritivatem-seque,nafreq uenciao, F (jo, r)= 90. Ent aoF (jo, r) =H (jo) rH (jo) + r= kj,paraalgumk > 0.Novamente,H (jo)= r1 kj1 + kj,demodoque[H (jo)[= r .AformadeF (s, r)apartirdeH (s) emostradanodiagramaemblocosdaFig.6.2. Este eumresultadogeral,umavezqueafuncaoH (s)podeserassumirvariasformasdiferentes.++H(s)1ryiyo__Figura6.2: DiagramaemblocosdaestruturadeF (s, r).ExperimentocomReleemMalhaFechadaO procedimento geral apresentado na secao anterior pode ser utilizado para estimar a Fun caodeMalhaapartirdeumaestruturacomreleusandoamalhafechada. Aestimac aoefeitadeterminandoafreq uenciaemqueaFunc aodeMalhaatingeumadeterminadamagnitude.Umcaso particular e H (s) = L(s) e r = 1. Uma importante caracterstica do experimentoesta no fato de o sistema operar normalmente em malha fechada, sem interromper o processo.Aproposicaoseguinteformalizaesteresultado.ConsidereosistemaemmalhafechadacomrelemostradonaFig.(6.1). Assumaque, paraumaFuncaodeSensibilidadeComplementarestavel M (s)eumn umeroreal positivor, afunc aodetransferenciaF (s, r) =2rM (s)M (s)_1rr_+ 11 (6.2)tambem eestavel. Entao,sehaumciclolimite,afreq uenciadeoscilacaooetalque[L(jo)[= r .6.1. AVALIAC AODEMARGENSDEESTABILIDADE 65ComoM (s) =L(s)1 + L(s),entaoF (s, r) =2rM (s)M (s)_1rr_+ 11 =2rL(s)1+L(s)L(s)1+L(s)_1rr_+ 11=2rL(s)L(s)_1rr_+ 1 + L(s)1 =2L(s)L(s) rL(s) + r +rL(s) 1=2L(s)L(s) + r 1 =L(s) rL(s) + r.Entao,fazendoH (s) = L(s)naProposic ao6.1.1,tem-seque [L(jo)[= r.O sistema em malha fechada para identicacao da Func ao de Malha e apresentado na Fig. 6.3.Aponderacaodey

r (t)por1/rnaFig. 6.3efeitaparaqueoganhoestaticodey

rparaysejaunitario.Figura6.3: Experimentocomreleparaidenticac aodaFuncaodeMalha.6.1.2 AvaliacaodeMargemdeGanhoOtestedorelepodeseraplicadoparaamalhafechadaconformemostradonaFig. (6.4).Figura6.4: ExperimentocomReleparaIdenticac aodaMargemdeGanho.66 CAPITULO6. SINTONIACOMAMALHAFECHADAAssumindoafuncaodetransferenciadamalhafechadaT (s) =L(s)1 + L(s).a oscilacao ocorre na freq uencia para a qual T (jc) = 180o. Ocorre que nesta freq uenciaL(jc) = 180odemodoqueociclolimiteocorrenafreq uenciacrticadefuncaodetranferenciademalhaL(s) .Assim,seoganhocrticodeT (s)fordadoporment ao,L(jc) = G(jc) C (jc)=m1 m.O ganho crtico pode ser calculado usando a DFT, avaliando-se a magnitude da resposta deT (s)nafreq uenciadaoscilac ao. Paraocasodafunc aodescritivaondem = a4d,e a amplitude da sada da malha fechada quando e aplicado um rele com amplitude d. Umaestimativadamargemdeganho eobtidacomoGM=1 mm = 1 +4da, (6.3)eafreq uenciacrtica edadaporc.6.2 ProjetoparaMargensdeEstabilidadeAsintoniadecontroladoresPIePIDbaseadaemespecicac oesnasmargensdeganhoedefasetemsidorecentementeestudada. Assume-sequeoprocessoedeprimeiraordemcomatrasodetransporte, oquepodenaoserrepresentativoparaprocessosindustriaistpicos.Osparametrosdocontrolador saocalculadosresolvendo-seumconjuntodeequacoesnaolineares, eumasolucaoanalticaeobtidausandoaproxima coes. Comainformacaodeum unicopontodarespostaemfreq uenciadoprocesso, epossvelprojetarumcontroladorPIDbaseadoemespecicacoes demargens deganhoedefase. Noentanto, estanaoeumasoluc aoexata, umavezqueopontoidenticado(pontocrtico, nestecaso)emovidoparaoutraposic ao, ondeespera-sequeaFunc aodeMalharesultantepossuamargensdeganhoedefaseproximasdasdesejadas. Umasolucaoexataeobtidaapartirdeumaabordagemgraca,mas enecessarioconhecercomprecisaoarespostaemfreq uenciadoprocesso.Apresenta-senestecaptuloummetodoiterativoparasintoniadecontroladoresPIePIDparaatender aespecicac oes de margens de ganhoe de fase emumsistemaemmalhafechada. Oproblemanao-lineareresolvidodemaneiraiterativausandodoistestescomoreleacadaiterac ao. Avantagem, nestecaso, enaorequerer nenhumahipotesesobreomodelodoprocesso,bemcomooconhecimentodesuarespostaemfreq uencia,alemdeserum procedimento realizado sem a remoc ao do controlador, evitando interrupc oes da ac ao decontrole.6.2.1 ProblemadeProjetoConsidereosistemaemmalhafechadamostradonaFig.(??)easespecicac oesdemar-gensdeganhoedefasedadasporAm>1em>0, respectivamente. Paraatendera6.2. PROJETOPARAMARGENSDEESTABILIDADE 67tais especicac oes, os parametrosdocontrolador devemsatisfazer oseguinteconjuntodeequacoes:G(jc) C (jc) = , (6.4)[G(jc) C (jc)[ =1Am, (6.5)[G(jg) C (jg)[ = 1 , (6.6)G(jg) C (jg) = + m. (6.7)O problema de projeto e entao encontrar um controlador C(s) que seja soluc ao das equac oesde(6.4)a(6.7), oquenaoeumatarefafacil, dadaanaolinearidadedoproblema. Umprocedimentoparacalcular numericamente os parametros docontrolador paraambos ostiposPIePIDrequerarespostaemfreq uenciadoprocesso,G(j). Alemdisso,naoexistegarantiapreviadequetalsolucaoexista.Comoalternativa, apresenta-seaquiumalgoritmoiterativoquerequerapenasaestimac aodas freq uencias ce ge as margens de ganhoe de fase acadaiteracao. Note-se quetaisfreq uenciassaosolucoesdasequac oes(6.4)e(6.6),easestimativaspodemserobtidasusandoosexperimentoscomreleapresentadosanteriormente. OsalgoritmosparasintoniadoscontroladoresPIePIDsaoapresentadosemseguida.6.2.2 ControladorPIParaumcontroladorPI(Td=0naEq. (??)), oconjuntodeequacoes(6.4)(6.7)deveserresolvido para K, Ti, c e g, ou seja, um problema com quatro incognitas e quatro equacoes.Asoluc aoiterativaeobtidaprojetando-seocontroladorparasatisfazerumaespecicac aodecadavez,ouseja:1. Eq. (6.4): resolve-separacecalcula-seamargemdeganhoatual,GM;2. Eq. (6.5): calcula-seC (s)demodoasatisfazerAmemc;3. Eq. (6.6): resolve-separagecalcula-seamargemdefaseatual,PM;4. Eq. (6.7): calcula-seC (s)demodoasatisfazermemg;As iterac oes sao repetidas ate que algum criterio de convergencia seja satisfeito. Note-se aindaque [c, GM] e [g, PM] podem ser obtidos a partir de estimativas usando experimentos comrele. AssolucoesdasEq. (6.4)e(6.6)paraocasodocontroladorPI,apartirde[c, GM]e[g, PM],saoapresentadasnaformadelemas,introduzidosemseguida.ConsidereumsistemaemmalhafechadacujaFunc aodeMalhaeL(0)(s)=G(s) C(0)(s),naqualC(0)(s) eumcontroladorPIdadoporC(0)(s) = K(0)s + 1/T(0)is.AssumaqueGM=1/L(0)(jc)com L(0)(jc) = . Ent ao, parasatisfazer aumaespecicac aodemargemdeganho,Am,ocontroladordevesersubstitudoporC(1)(s) = K(1)s + 1/T(0)is,68 CAPITULO6. SINTONIACOMAMALHAFECHADAcomK(1)= K(0)GMAm. (6.8)Devido `a forma do controlador (Eq. (??)), e necessario e suciente apenas modicar o ganhoproporcionalparasoluc aodoproblemadeprojeto,dadopelaequac ao(6.5). Emc,tem-sequeL(0)(jc) = [G(jc)[C(0)(jc) = K(0)[G(jc)[jc + 1/T(0)ijc =1GM.AplicandoC(1)(s)`amalhafechada,comoapenasoganho emodicado,tem-sequeemcL(1)(jc) = [G(jc)[C(1)(jc) = K(1)[G(jc)[jc + 1/T(0)ijc=GMAmK(0)[G(jc)[jc + 1/T(0)ijc =1Am.ConsidereumsistemaemmalhafechadacujaFuncaodeMalhaeL(0)(s)=G(s) C(0)(s),naqualC(0)(s) eumcontroladorPIdadoporC(0)(s) = K(0)s + 1/T(0)is.AssumaquePM= + L(0)(jg)comL(0)(jg)=1. Ent ao, existeumcontroladorPIquesatisfazaumadadaespecicac aodemargemdefase,m,dadoporC(1)(s) = K(1)s + 1/T(1)is,comT(1)i=tan_mPM+ tan1_gT(0)i__ge K(1)= K(0)__1/T(0)i_2+2g__1/T(1)i_2+2g, (6.9)seesomentesePM m/2 < C(0)(jg) < PM m. (6.10)Paraobter os parametros docontrolador, enecessariodeterminar T(1)ieK(1)tais queaequac ao(6.7)sejasatisfeita. Assim,tem-seque,emgG(jg) C(0)(jg) = + PM G(jg) = C(0)(jg) + PM.Aposoprojeto,deve-seteremgG(jg) C(1)(jg) = + m G(jg) = C(1)(jg) + m.Igualhando-seasexpressoesanteriores,C(1)(jg) = C(0)(jg) + mPM.6.2. PROJETOPARAMARGENSDEESTABILIDADE 69ParaumcontroladorPItem-seque C (j) = + tan1(Ti),ent ao + tan1_gT(1)i_ = + tan1_gT(0)i_+ mPM,demodoqueT(1)i=tan_tan1_gT(0)i_+mPM_g.EnecessarioagoraajustaroganhoproporcionalparaqueaEq. (6.6)continuesendosatis-feita. Assim,G(jg) C(0)(jg) =G(jg) C(1)(jg) = 1 ,demodoqueC(0)(jg) =C(1)(jg)K(0)__1/T(0)i_2+2gg= K(1)__1/T(1)i_2+ 2gg,enalmente,K(1)= K(0)__1/T(0)i_2+2g__1/T(1)i_2+2g.Avalidadedestasexpressoeselimitadapelasquantidadesmaximaemnimadefasequeocontroladorpodefornecer. Paraestecaso, afasedocontroladorPIvariade /2a0.Assim,emgdeve-seter/2 < C(1)(jg) < 0 .ComoC(1)(jg) = C(0)(jg) + mPM,tem-seque/2 < C(0)(jg) + mPM< 0/2 + PM m< C(0)(jg) < PM m.Este ultimoresultadoindicaque, dependendodadiferencaentreamargemdefaseatuale adesejada, pode naohaver umasolucao, devidoaolimite de contribuic aode fase docontrolador. OalgoritmoiterativoparaocasodocontroladorPI eapresentadoemseguida,eumsobrescritokdenotaaiterac aoatual.1. CondicoesIniciais: InicieoprocedimentocomumcontroladorC(0)(s), comK(0)eT(0)i(nestepasso,assume-sequeosistemadecontroleestaemoperacaoek = 0);2. EstimacaodaMargemdeGanho: Useometododorelenamalhafechadaparaobterumaestimativadafreq uenciacrtica, (k)c,edamargemdeganho,GM(k).3. 1oTestedeParada: SeGM(k)Am 1e esta nao e a primeira iteracao (k ,= 0),pareoprocedimentoefacaC(s) = C(k)(s). Casocontr ario,continueoprocedimento.70 CAPITULO6. SINTONIACOMAMALHAFECHADA4. ProjetodoControladorbaseadonaMargemdeGanho: Comaestimativadamargemdeganhoatual, GM(k), calculeonovoganhoproporcional docontrolador,K(k+1),apartirdaEq. (6.8),eoseguintecontroladorintermediario eobtidoC(k+1)(s) =K(k+1)_s + 1/T(k)is_.5. EstimacaodaMargemdeFase: Useometododoreleparaestimac aodaFunc aodeMalhacomr = 1,eobtenhaasestimativas (k)gePM(k).6. 2oTestedeParada: SePM(k)m 2, pareoprocedimentoefacaC(s) =C(k+1)(s). Casocontr ario,continueoprocedimento.7. ProjetodoControlador baseadonaMargemdeFase: Comaestimativadamargemdefaseatual,PM(k), calculeosnovosparametrosdocontrolador, K(k+1)eT(k+1)i,apartirdaEq. (6.9),obtendooseguintecontrolador,C(k+1)(s) = K(k+1)_s + 1/T(k+1)is_.Se, deacordocomoLema6.2.2, naoexistirumcontroladorquesatisfaca`aespeci-cacaom, oprocedimentodeveserinterrompidoeocontroladorinicial, ouumdoscontroladoresobtidosempassosanterioresdeveserrestaurado,poisumasoluc aonaofoiencontrada.8. Passoderetorno: Incrementekeretorneaopasso2.Nospassos3e6, considera-seque1e2saotoleranciasdenidasdeacordocomograudeprecisaodesejado. Noteque, naconvergencia, ambasasespecicacoesAmemseraosatisfeitas,amenosqueumasolucaonaosejaencontradanopasso7doalgoritmo,violandoaEq. (6.10).6.2.3 ControladorPIDParaocontroladorPIDdadopelaEq. (??),oconjuntodeequac oesdeveserresolvidoparaKp, Ti, Td, ceg, emumtotal decincoincognitasequatroequac oes. Portanto, outraequac aodeveserintroduzidaparaqueumn umeronitodesolucoessejaobtido. Conformeobservadoem[?],umprocedimentotpico eespecicarumarelac aoentreosparametrosTieTd,demodoqueTd= Ti. (6.11)Estaequac aodeneumarelacaoentreoszerosdocontroladorPID, conformemostradoaseguir. ConsidereaEq. (??),reescritanaseguinteforma,C (s) = Kps + 1/Ti + s2Tds= KpTd(s + z1) (s + z2)s, (6.12)emquez1dez2podemsercalculadoscomoz1,2= 1 _1 4Td/Ti2Td= 1 1 42Td.6.2. PROJETOPARAMARGENSDEESTABILIDADE 71Logo, paraaescolhatpica=0.25(ver[?, ?] ), tem-sequez1=z2= 1/2Td, ouseja,zerosreaiseiguais. Se>0.25, ocontroladorapresentazeroscomplexos, ese