UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

Disciplina de Controle IIProf. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

Controladores PIDControlador ProporcionalA Relao entre a sada e o sinal de erro e(t) dada pelo ganho Kp

Controlador PI

Onde Kp denominado Sensibilidade proporcional ou ganho

Onde: Kp o ganho Proporcional Ti o Tempo Integral. (1/Ti - taxa de restabelecimento)

Controladores PIDControlador PD Controlador PID

Onde: Kp o ganho Proporcional Td o Tempo Derivativo.

Onde: Kp o ganho Proporcional Ti o Tempo Integral. (1/Ti - taxa de restabelecimento) Td o Tempo Derivativo.

Controladores PIDControladores PIDMais da metade dos controladores industriais em uso atualmente empregam esquemas de Controle PID. A popularidade dos controladores PID pode ser atribuda parcialmente ao seu desempenho robusto sobre uma grande faixa de condies operacionais e a sua simplicidade operacional. Para se implementar um Controlador PID, trs parmetros devem ser determinados: o Ganho Proporcional Kp o Ganho Integral Ki o Ganho Derivativo Kd O processo de selecionar os Parmetros do Controlador que garantam uma dada especificao de desempenho conhecido como Sintonia do Controlador.

Controladores PIDSeja o sistema:

Controladores PIDCaractersticas das Aes Proporcional, Integral e DerivativaO controle proporcional atua na resposta transitria do sistema de forma a diminuir o tempo de subida (tr), diminuindo adicionalmente o erro de regime permanente. O controlador integral elimina por completo o erro de regime permanente, mas pode piorar a resposta transitria do sistema. A ao derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobre-sinal e o tempo de estabilidade, com isso melhorando a resposta transitria.

Note que o efeito final na varivel sada do sistema, que ocasionado pela conjuno destas aes de controle, pode no seguir exatamente as especificaes observadas na Tabela. Por esta razo, esta tabela dever ser empregada somente como um guia rpido de referncia, ficando os ajustes finais do controlador ao encargo do projetista.

Controladores PIDSintonizao de Controladores PIDNo O Modelo do Processo Disponvel? Sim

Mtodo de Tentativa e Ziegler-Nichols Erro?

No

O Modelo do Processo Linear e Invariante no t?

Sim

Otimizao Numrica

Bode Root-Locus Espao de Estados

Controladores PIDndices de DesempenhoUm ndice de desempenho pode ser calculado e usado para se medir o desempenho de um sistema. Essa medida quantitativa do desempenho de um sistema necessria para a operao e otimizao de sistemas de controle, segundo especificaes prdeterminadas em projeto. Um sistema para ser considerado o melhor deve ser tal que minimize o ndice de desempenho, que ser um valor positivo ou nulo. Existem alguns ndices de desempenho a saber:a. b. c. d. ISE Integral do Quadrado do Erro IAE Integral do Valor Absoluto ITAE Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Absoluto ITSE Integral do Erro Multiplicado pelo Quadrado do Erro

Controladores PIDndices de Desempenho Um ndice de desempenho uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e escolhido de modo que seja colocada nfase nas especificaes consideradas importantes do sistema

Controladores PID

Controladores PID

Estas curvas mostram a seletividade do ndice de Desempenho ITAE em comparao com o ISE e ITSE. O valor mnimo da relao de amortecimento com base no ndice ITAE de 0,7, que para um sistema de segunda ordem resulta em uma resposta rpida ao degrau com um Mximo de sobre sinal de 4,6%.

Controladores PIDOs coeficientes que minimizaro o critrio de desempenho ITAE para uma entrada em degrau foram determinados para a funo de transferncia de malha fechada genrica da seguinte forma:

Esta funo possui erro estacionrio nulo para uma entrada em degrau. Os coeficientes timos para o critrio ITAE so dados na seguinte tabela:

Controladores PIDMtodo da OtimizaoPara usar este mtodo parte do pressuposto que os modelos matemticos da planta so conhecidos e portanto podemos analiticamente encontrar a funo de transferncia do sistema. Esse mtodo usa o ndice de desempenho ITAE e os coeficientes timos resultantes dele para uma entrada ao degrau ou em rampa (Ver Dorf pag.205). Os Parmetros escolhidos so tais que minimizam o ndice de desempenho ITAE. O procedimento de Projeto consiste nos 3 passos a seguir:1. 2. 3. Selecionar n do sistema em malha fechada especificando o tempo de acomodao. 2. Determinar os 3 coeficientes usando a equao tima apropriada e o valor de n encontrado. Usar um filtro que faa com que a funo de transferncia de malha fechada no tenha zeros.

Controladores PIDExemploConsidere um controlador de temperatura com um sistema de controle da seguinte forma:

Onde

1 G( s ) = ( s + 1 )2

Se Gc(s)=1, o erro estacionrio 50% e o tempo de acomodao (2%) de 4 segundos. Para uma entrada em degrau. Deseja-se obter um desempenho ITAE timo para um degrau unitrio e um tempo de acomodao menor que 0,5 s, usando um controlador PID.

Controladores PIDMtodo de Ziegler-NicholsZiegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de controladores PID baseadas na resposta experimental ao degrau. Essas regras so muito teis quando os modelos matemticos so desconhecidos. Os resultados de Kp, Ki e Kd, so bem prximos do ideal, mas caso apresentem valores de sobre sinal elevados, o operador deve realizar uma sintonia fina at que um resultado aceitvel seja alcanado. A partir dos estudos de Ziegler e Nichols, surgiram outras vrias regras de sintonias para controladores PID que podem ser conseguidas com fabricantes desse tipo de controlador. Existem 2 metodos de regras de sintonia de Ziegler-Nichols

Controladores PIDMtodo da Curva de ReaoEsse mtodo se aplica se a curva da resposta da planta a uma entrada em degrau tiver o aspecto de uma letra S. Isso ocorrer se a planta no possuir integradores nem plos complexos dominantes.

Atraso de Transporte

Controladores PIDZiegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a frmula que aparece na tabela abaixo.

Note que o controlador sintonizado por este mtodo fornece:

O PID tem um plo na origem e zeros duplos em -1/L

Controladores PIDMtodo do Limiar de OscilaoNeste mtodo faremos inicialmente as constantes Ki = , e Kd = 0, trabalhando apenas com a ao de controle proporcional. Experimentalmente vamos aumentar o valor de Kp at que a resposta do sistema apresente uma oscilao sustentada pela primeira vez. A esse valor de Kp daremos a notao de Kcr (ganho crtico). O perodo da senide encontrada ser o nosso Pcr (perodo crtico).

Controladores PIDZiegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a frmula que aparece na tabela abaixo.

Note que o controlador sintonizado por este mtodo fornece:

O PID tem um plo na origem e zeros duplos em -4/Pcr

Controladores PIDZiegler-NicholsMtodo da Curva de Reao: h(t) K t L TKP P PI PIDT/L 0.9 T/L 1.2 T/L

Mtodo do Limiar de Oscilao: P c

PID em Manual

h(t)

t Oscilao com Kp = KcKP P PI PID0.5 Kc 0.45Kc 0.6Kc

KI0 0.3/L 0.5/L

KD0 0 0.5L

KI0 1.2/Pc 2/Pc

KD0 0 0.125Pc

Controladores PIDExemploConsidere o sistema de controle mostrado na figura, no qual um PID utilizado para controlar o sistema

O PID tem a seguinte funo de Transferncia

Obtenha a curva de resposta ao degrau unitrio e verifique se o sistema projetado exibe aproximadamente 25% de mximo sobre-sinal. Se o Mp for maior que 40%, faa uma sintonia fina e reduza para Mp = 25%.

Controladores PIDSoluoComo a planta tem um integrador, vamos utilizar o segundo mtodo de Zigler e Nichols, o mtodo do limiar de oscilao. Portanto fazendo Ki = , e Kd = 0, obtemos a seguinte funo de trsnferncia de malha fechada.

A equao caracterstica dessa funo de transferncia : Pela anlise de Routh podemos saber o valor de Kcr.

Controladores PIDPortanto a equao caracterstica para Kcr : Fazendo s=jw temos:

Donde tiramos que: Portanto: Pela regra de ziegler-Nichols, encontramos portanto os valores de Kp, Ki e Kd :

Controladores PIDSubstituindo na funo de transferncia de um controlador PID temos:

Verificamos que o controlador PID tem um plo na origem e um zero duplo em s = -1,4235

Controladores PIDPara encontrarmos a resposta ao degrau unitrio, fechamos a malha e jogamos a funo de transferncia de malha fechada no MATLAB.

Mximo de sobre sinal em torno de 62%

Controladores PIDFazendo ajustes finos podemos chegar a resposta desejada.

Mximo de sobre sinal Menor que 25%

Controladores PIDExemplo de Projeto de sintonia PID

Controladores PIDConsidere o sistema mostrado na figura abaixo:

1 s +1 Usando o mtodo da otimizao para uma entrada em degrau, determinar a estrutura Gc(s) necessria para obtermos uma resposta sub-amortecida com = 0,7 e tempo de estabelecimento de 0,2857 seg para um critrio de 2%.Onde

G( s ) =

No MATLAB, plote a resposta ao degrau unitrio e minimize o mximo de sobre sinal utilizando um filtro prvio.

Controladores PIDConsidere o sistema mostrado na figura abaixo:

Onde G( s ) =

1 s+4

Para Gc(s) = 2, Calcule o erro no regime estacionrio para uma perturbao em degrau. Verifique este erro usando o MATLAB. Agora faa Gc(s) um controlador PI de modo que o tempo de estabelecimento (critrio de 2%) seja menor que 1 segundo para uma resposta ao degrau segundo critrio ITAE. Plote a resposta do sistema j com o controlador PI para a entrada ao degrau. Melhore a resposta utilizando um filtro prvio Gp(s). Verifique matematicamente e no MATLAB que o erro estacionrio vai a zero quando inclumos o controlador PI.