PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II

**Construção de Modelos de Programação Linear II **

Profa. Vitória Pureza1º SemestreAulas 3 e 4

Roteiro• Definindo objetivos• Definindo restrições• Lista de Exercícios• Construção de modelos grandes combinando modelos

menores– Modelos multi-instalações– Modelos multi-produtos– Modelos multi-períodos

Williams, capítulos 3 e 4

Definindo Objetivos• maximizar lucro• minimizar custo/tempo• maximizar retorno em investimento• minimizar número de empregados• maximizar número de empregados• maximizar a satisfação do cliente

Um único objetivo

Objetivos múltiplos e conflitantes

Objetivos irrelevantes

Um Único Objetivo• Normalmente inclui apenas termos variáveis - é

geralmente incorreto* adicionar custos fixos tais como custos administrativos e de equipamentos

• No problema de Gepetto – Deseja-se maximizar 3x1+ 2x2 (lucro)– O valor da função objetivo é proporcional ao valor das

variáveis x1e x2 que indicam a quantidade de trens e bonecos a serem produzidos (decisões)

Objetivos Múltiplos e Conflitantes

Objetivo 1: Min h(x)=c1/x Objetivo 2: Min g(x)=c2x

• Combinação linear dos objetivos: Min f(x)=g(x) + h(x)

• Programação Multiobjetivo

• Manter apenas o objetivo mais relevante e tranformar os demais em restrições do modelo:

Min g(x) g(x) ≤ M

g(x)

h(x)

f(x)

x

fo

Definindo Restrições• Capacidade produtiva

– Máximo de 100 horas de acabamento disponíveis por semana2x1 + x2 ≤ 100 (horas/semana)

• Disponibilidade de matéria-prima– Máximo de 4500 kgs de aço disponíveis por mês

3x1 + 4x2 ≤ 4500 (kgs/mês)

• Demanda mínima– Mínimo de 10000 barris de gasolina 1 produzidas por mês

x1 ≥ 10000 (barris/mês)

• Limitações de mercado– Máximo de 40 bonecos vendidos por semana

x2 ≤ 40 (unidades/semana)

• Balanço de material ou massa– Balanço trimestral de estoque de barcos

Et-1 + xt = Dt + Et (unidades/trimestre)

• Especificações do produto– Octanagem, resistência, condutividade, porcentagem de nutrientes

Restrições Soft e Hard• limitações da capacidade produtiva e disponibilidade de mão-

de-obra : podem ser desobedecidas soft.• restrições tecnológicas: não podem ser desobedecidas

hard.

Restriçõessoft e hard conflitantes

redundantes

pouco usuais

Restrições Redundantes• restrições inativas, identificadas por métodos de detecção

Restrições Conflitantes• o problema é infactível• Programação por Metas : procura-se satisfazer ao máximo as

restrições a função objetivo passa a ser “o custo” resultante das violações das restrições, e que deve ser minimizado

Representação gráfica das restrições do problema de Geppeto

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80

x1

x2

Uma agência de publicidade quer determinar uma programação de anúncios na TV para uma concessionária de carros. A concessionária tem 3 metas:

• (1 ) seus anúncios devem ser vistos por pelo menos 40 milhões de homens classe A (H-A).

• (2) seus anúncios devem ser vistos por pelo menos 60 milhões de pessoas classe C (P-C).

• (3) seus anúncios devem ser vistos por pelo menos 35 milhões de mulheres classe A (M-A).

A agência pode comprar dois tipos de anúncios: os mostrados durante jogos de futebol e os mostrados durante novelas. No máximo $600.000,00 podem ser gastos em anúncios. Os custos de propaganda (em milhares de $) e suas audiências potenciais (em milhões de pessoas) de um anúncio de 1 minuto são mostrados abaixo. A agência precisa determinar quantos anúncios de cada tipo devem ser comprados.

Tipo de anúncio H-A P-C M-A Custo por anúncio

Jogos 7 10 5 100

Novelas 3 5 4 60

Variáveis de decisão:x1= no de anúncios de 1 minuto em jogosx2= no de anúncios de 1 minuto em novelas

Min 100x1 + 60x2

s.a:7x1 + 3x2 ≥ 40 Metas de mercado10x1 + 5x2 ≥ 605x1 + 4x2 ≥ 35100x1 + 60x2≤ 600 Orçamentox1,x2 ≥ 0

NOVO MODELOVariáveis de decisão adicionais: si

- = montante a menos da meta isi

+ = montante a mais da meta i (i=1..3)Min 200s1

- + 100 s2- + 50 s3

-

s.a:7x1 + 3x2 + s1

- - s1+= 40

10x1 + 5x2 + s2- - s2

+= 605x1 + 4x2 + s3

- - s3+= 35

100x1 + 60x2 ≤ 600todas as variáveis ≥ 0

Infactível !

Solução ótima:x1=6 x2=0s1

+ =2 s1- =0

s2+ =0 s2

- =0s3

+ =0 s3- =5

• Restrições Pouco Usuais“Pode-se produzir produto 1 se o produto 2 for produzido mas não se os produtos 3 e 4 forem produzidos”

Lista 2• No exercício 2 da lista 2, suponha que se tenha

decidido não fazer a alocação prévia de matéria-prima para as fábricas. Quanto produzir para maximizar o lucro total ?

• Modelos Multi-produtos - Problema da Mistura

Uma refinaria produz três tipos de gasolina (G1, G2, G3) a partir de três tipos de óleo cru (O1, O2, O3). Há 5.000 barris de óleo cru de cada tipo disponíveis diariamente, e a refinaria pode produzir no máximo 14.000 barris diários de gasolina. Os produtos finais devem ter a qualidade exigida. Cada barril de gasolina produzida incorre em um custo de $4. Há uma demanda fixa diária de 3.000 barris de G1, 2.000 barris de G2 e 1.000 barris de G3, e esta pode ser estimulada através de propaganda. Cada $ gasto em propaganda em um dado tipo de gasolina, aumenta a demanda diária por esse tipo em 10 barris. Faça um modelo de programação matemática para determinar o quanto produzir de cada tipo de gasolina com o maior lucro total.

ÓLEOS GASOLINA

Preço de compra ($)

Oct Enx Preço de venda ($)

OctMIN EnxMAX

O1 45 12 0,5 G1 70 10 1

O2 35 6 2 G2 60 8 2

O3 25 8 3 G3 50 6 1

• Objetivo: Maximizar o lucro total diário = { receita de vendas para clientes cativos e com demanda estimulada por propaganda - custos de matéria-prima - custos de produção - custos de propaganda } com as gasolinas G1, G2, e G3

• Demanda estimulada: 10 barris/$

ÓLEOS GASOLINA

Preço de compra ($) Preço de venda ($)

Custo de Produção ($)

O1 45 G1 70 4

O2 35 G2 60 4

O3 25 G3 50 4

• Fatores que afetam o alcance do objetivo – Capacidade de refinamento: 14.000 barris diários

– Disponibilidade (suprimento) dos óleos: 5.000 (O1, O2 e O3) barris diários

– Demanda mínima das gasolinas: 3.000 (G1), 2.000 (G2) e 1.000 (G3) barris diários

– Qualidade das gasolinas

ÓLEOS GASOLINA

Oct Enx OctMIN EnxMAX

O1 12 0,5 G1 10 1

O2 6 2 G2 8 2

O3 8 3 G3 6 1

• Representação informal do problema Deseja-se

Maximizar lucro diário = { receita de vendas para clientes cativos e com demanda estimulada por propaganda - custos de matéria-prima - custos de produção – custos de propaganda } com as gasolinas G1, G2, e G3}, sujeito às seguintes restrições:

1. a produção das gasolinas não pode exceder a capacidade diária de refinamento

2. a produção das gasolinas não pode exceder a disponibilidade diária de óleos crus

3. a produção das gasolinas deve atender a demanda diária de clientes cativos

4. a qualidade das gasolinas produzidas deve ser satisfeita

Se misturássemos 1 barril de O1 e 1 barril de O2, qual a octanagem da gasolina resultante?

12 (octanas/barril)*1 barril + 6(octanas/barril)* 1 barril = 9 octanas(1 + 1) barris

• E se misturássemos 1 barril de O1 e 0,5 barril de O2?• E se misturássemos 1 barril de O1, 1 barril de O2 e 1 barril de

O3?• E se misturássemos x1 barris de O1, x2 barris de O2 e x3 barris

de O3?

Restrições de qualidade

Suponha que misturássemos 1 barril de O1 e 1 barril de O2. Qual a octanagem da gasolina resultante?

12 (octanas/barril)*1 barril + 6(octanas/barril)* 1 barril = 9 octanas(1 + 1) barris

E se misturássemos: • 1 barril de O1 e 0,5 barril de O2?• 1 barril de O1, 1 barril de O2 e 1 barril de O3?• x1 barris de O1, x2 barris de O2 e x3 barris de O3?

Note que para conhecermos a qualidade de uma determinada gasolina, precisamos saber as quantidades de cada tipo de óleo utilizado na sua produção. Mas como saber a quantidade de cada tipo de gasolina produzida?Mas como saber a quantidade de

• Decisão: A refinaria precisa definir quanto de cada óleo deve usar em cada gasolina e o quanto gastar em propaganda com cada gasolina

xi j = número de barris de oleo cru i usado na producao da gasolina j (i=1,2,3; j=1,2,3)

yj = custo de propaganda com demanda estimulada da gasolina j (j=1,2,3)

Modelo Variáveis de decisão

xi j = número de barris de oleo cru i usado na producao da gasolina j (i=1,2,3; j=1,2,3)

yj = custo de propaganda com demanda estimulada da gasolina j (j=1,2,3)

Função objetivoMax 70(x11 + x21 + x31) (receita da venda de G1)

+ 60(x12 + x22 + x32) (receita da venda de G2)

+ 50(x13 + x23 + x33) (receita da venda de G3)

- 45(x11 + x12 + x13) (custo de compra de O1)

- 35(x21 + x22 + x23) (custo de compra de O2)

- 25(x31 + x32 + x33) (custo de compra de O3)

- 4(x11 + x21 + x31 + x12 + x22 + x32 + x13 + x23 + x33) (custos de produção)

- y1 – y2 – y3 (custo de propaganda com G1, G2 e G3)

x11 + x12 + x13 ≤ 5.000 (restrições de suprimento dos óleos)

x21 + x22 + x23 ≤ 5.000

x31 + x32 + x33 ≤ 5.000

x11 + x21 + x31 ≥ 3.000 (restrições de demanda das gasolina)

x12 + x22 + x32 ≥ 2.000

x13 + x23 + x33 ≥ 1.000

x11 + x21 + x31 + x12 + x22 + x32 + x13 + x23 + x33 ≥ 14.000 (restrição de capacidade de refinamento)

x11 + x21 + x31 = 3.000 + 10*y1 (restrições de demanda estimulada)

x12 + x22 + x32 = 2.000 + 10*y2

x13 + x23 + x33 = 1.000 + 10*y3

(restrições de qualidade)

12x11 + 6x21 + 8x31 ≥ 10 12x12 + 6x22 + 8x32 ≥ 8 12x13 + 6x23 + 8x33 ≥ 6

(x11 + x21 + x31) (x12 + x22 + x32) (x13 + x23 + x33)

0,5 x11 + 2x21 + 3x31 ≥ 1 0,5x12 + 2x22 + 3x32 ≥ 2 0,5x13 + 2x23 + 3x33 ≥ 1

(x11 + x21 + x31) (x12 + x22 + x32) (x13 + x23 + x33)

xij ≥ 0 , yj ≥ 0 (i=1,2,3; j=1,2,3) (restrições de sinal)

• Modelos Multi-períodos

Uma empresa precisa determinar quantos barcos produzir durante cada um dos próximos 4 trimestres. A demanda de cada semestre é 40, 60, 75 e 25. Deve-se atender a demanda sem atrasos.

No início, a empresa tem em estoque 10 barcos. Assume-se que os barcos produzidos durante um período podem ser usados para atender a demanda daquele período. Durante cada período, a empresa pode produzir 40 barcos com mão-de -obra regular a um custo total de $400/barco. Se utilizadas horas extras, pode-se produzir barcos extras a um custo total de $450 por barco. No fim de cada período (depois da produção ter ocorrido e a demanda do período corrente ter sido satisfeita), incorre-se em um custo de estoque de $20 por barco.

Como minimizar a soma de custos de estoque e produção?

• Restrições de balançoSeja it o estoque de barcos advindo do período t, xt a produção de barcos no período t e dt a demanda de barcos no período t.

barcos em estoque em t-1 + barcos produzidos em t = barcos vendidos em t + barcos em estoque em t

it-1+ xt =dt + it

It-1

xt

dt

It

xt+1

dt+1

It+1

t t+1

Solução: fo=$78.450

• Utilização de modelos multi-períodos na prática (horizonte rolante)Seja T, o número de períodos do horizonte de planejamento

1. Resolução do modelo para t=1 a T2. Implementação das decisões do(s) primeiro(s) período(s), por

exemplo dos períodos 1 e 2. Decisões de períodos posteriores são consideradas provisórias

3. Após um ou mais períodos (por exemplo, após período 2), o modelo é novamente resolvido com dados atualizados, por exemplo, para 3 a T+3

PRODUÇÃO ESTOQUE

PERÍODO HORA REGULAR HORA EXTRA

1 40 0 0

2 40 10 0

3 40 35 0

4 25 0 0