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INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ** Programação Linear – Parte 2b ** Profa. Vitória Pureza 2º Semestre

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INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL

** Programação Linear – Parte 2b **

Profa. Vitória Pureza2º Semestre

Última Aula

• Construção de modelos de programação linear

Hoje verificaremos a modelagem dos exercícios pendentes da lista e utilizaremos uma linguagem de programação matemática para resolvê-los.

Nas aulas seguintes veremos a fundo o método de resolução que esta linguagem utiliza

Roteiro

• Construção passo a passo de modelos de Programação Linear

• Uso da linguagem de programação LINDO para resolução dos modelos

Passos para Modelagem de Programação Matemática

Defina o objetivo do problema. Colete os dados associados

Defina os fatores que afetam o alcance do objetivo do problema. Colete os dados associados

Elabore uma representação informal do problema

Elabore um modelo de programação matemática do problema

Um Problema de Transporte

Powerco tem 3 usinas de energia elétrica que suprem a necessidade de 4 cidades. Cada usina pode suprir a seguinte quantidade de milhões de kilowatts-hora de eletricidade: U1 = 35; U2 = 50; U3 = 40. As demandas de pico nas 4 cidades ocorrem na mesma hora e são (em milhões de KWh): C1 = 45; C2 = 20; C3 = 30; C4 = 30.

Os custos de se enviar 1 milhão de kwh de eletricidade de uma usina para uma cidade depende da distância que a eletricidade deve percorrer (tabela a seguir). Formule um PL para minimizar o custo de atender pelo menos a demanda de pico das cidades.

CUSTO (x106 KWh) CIDADE

USINA C1 C2 C3 C4

U1 8 6 10 9

U2 9 12 13 7

U3 14 9 16 5

Objetivo do Problema

Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades

CUSTO (x106 KWh) CIDADE

USINA C1 C2 C3 C4

U1 8 6 10 9

U2 9 12 13 7

U3 14 9 16 5

Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo

• Limitações de capacidade produtiva das usinas

• Demanda mínima das cidades

USINAPRODUÇÃO MÁXIMA

(x106 KWh )

U1 35

U2 50

U3 40

CIDADE DEMANDA MÁXIMA MENSAL

C1 45

C2 20

C3 30

C4 30

Representação Informal do Problema

Deseja-se

Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades, sujeito às seguintes restrições:

1. a quantidade de energia elétrica enviada pelas usinas não pode exceder a produção horária das usinas

2. a quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior às suas demandas de pico

Formulação do Modelo de Programação Matemática

xi j = 106 KWh produzidos na usina i e enviados à cidade j

b) Função Objetivo (FO)

Min 8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 (custo de transporte da usina 1)

+ 9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 (custo de transporte da usina 2)

+ 14x31 + 9x32 + 16x33 + 5x34 (custo de transporte da usina 3)

a) Variáveis de Decisão• O custo total de transporte é determinado pela quantidade de

eletricidade enviada de cada usina p/ cada cidade

Formulação do Modelo de Programação Matemática

c) Restrições1. A quantidade de energia elétrica enviada das usinas não pode exceder

suas produções horárias

Restrições de suprimentox11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 (suprimento de U1)x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 (suprimento de U2)x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 (suprimento de U3)

1. A quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior a suas demandas de pico

Restrições de demandax11 + x21 + x31 ≥ 45 (demanda de C1)x12 + x22 + x32 ≥ 20 (demanda de C2)x13 + x23 + x33 ≥ 30 (demanda de C3)x14 + x24 + x34 ≥ 30 (demanda de C4)

Formulação do Modelo de Programação Matemática

xij ≥ 0 (i=1..3, j=1..4) (106 KWh )

d) Restrições de sinal

Modelo de Programação Linear

Min 8x11+6x12+10x13+9x14+9x21+12x22+13x23+7x24+ 14x31 +9x32 +16x33 +5x34

sujeito a:

x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 (restrições de suprimento)

x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50

x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40

x11 + x21 + x31 ≥ 45 (restrições de demanda)

x12 + x22 + x32 ≥ 20

x13 + x23 + x33 ≥ 30

x14 + x24 + x34 ≥ 30

xij ≥ 0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4) (restrições de sinal)

Representação Gráfica

U1

U2

U3

C1

C2

C3

C4

X11

X12

Um Problema de Planejamento da Produção

Uma companhia possui 2 fábricas, A e B. Cada fábrica faz 2 produtos, padrão e deluxe. Uma unidade de padrão resulta em lucro de $10 e uma unidade de deluxe em um lucro de $15.

Cada fábrica utiliza 2 processos (lixamento e polimento) para produzir esses produtos. A fábrica A tem uma capacidade semanal de lixamento de 80 horas e de polimento de 60 horas. Para a fábrica B, essas capacidades são 60 e 75 horas semanais. Os tempos de lixamento e polimento em horas para uma unidade de cada produto em cada fábrica são dados na Tabela 2.

Cada unidade de produto usa 4 kgs de matéria-prima e dos 120 kgs disponíveis, 75 kgs foram alocados à fábrica A e 45 kgs à fábrica B. Formule um PL para cada fábrica que maximize o lucro.

Objetivo do Problema

Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe

PRODUTOLUCRO

($)

Padrão 15

Deluxe 20

Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo

• Limitações de capacidade produtiva das fábricas

PROCESSOFÁBRICA A FÁBRICA B

Padrão Deluxe Padrão Deluxe

LIXAMENTO 4 2 5 3

POLIMENTO 2 5 5 6

MATÉRIA PRIMA 4 4 4 4

QUANTIDADE MÁXIMA DO

RECURSOLIXAMENTO POLIMENTO

MATÉRIA PRIMA

FÁBRICA A 80 60 75

FÁBRICA B 60 75 45

Representação Informal do Problema

Deseja-se (para cada uma das fábricas!)

Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe, sujeito às seguintes restrições:

1. as horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal

2. as horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal

3. a quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal

Formulação do Modelo de Programação Matemática (para a Fábrica A)

a) Variáveis de Decisão• O lucro é determinado pela quantidade de produto padrão e

deluxe produzidos na fábrica

x1 = quantidade de produtos padrão produzidos na fábrica A /semana

x2 = quantidade de produtos deluxe produzidos na fábrica A /semana

b) Função Objetivo (FO)

Max { 10x1 + 15x2 } ($/semana) (para a fábrica A)

Formulação do Modelo de Programação Matemática

c) Restrições1. As horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não

podem exceder a disponibilidade semanal 4x1 + 2x2 ≤ 80 (hrs/semana)

2. As horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal

2x1 + 5x2 ≤ 60 (hrs/semana)

3. A quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal

4x1 + 4x2 ≤ 75 (kgs/semana)

d) Restrições de sinalxi ≥ 0 (i=1..2) (unidades de produto/semana)

Modelo da Fábrica AMax 15x1 + 20x2 (lucro da fábrica)sujeito a:

4x1 + 2x2 ≤ 80 (lixamento) 2x1 + 5x2 ≤ 60 (polimento) 4x1 + 4x2 ≤ 75 (matéria-prima) x1 ≥ 0 (sinal) x2 ≥ 0

Modelo da Fábrica BMax 15x3 + 20x4 (lucro da fábrica)sujeito a:

5x3 + 3x4 ≤ 60 (lixamento) 5x3 + 6x4 ≤ 75 (polimento) 4x3 + 4x4 ≤ 45 (matéria-prima) x3 ≥ 0 (sinal) x4 ≥ 0

Modelo da Fábrica AMax 15x1+ 20x2 (lucro da fábrica)sujeito a :4x1 + 4x2 75(matéria-prima disponível) Solução ótima:4x1 + 2x2 80(tempo disponível com lix.)x1=10 2x1 + 5x2 60(tempo disponível com pol.) x2=8 sobram 24 hrs. de lixamento e 3 kgs de matéria-primaxi0 (i=1,2) Lucro=$310 onde x1= qtde. de produto padrão em Ax2=qtde. de produto deluxe em AModelo da Fábrica BMax 15x3+ 20x4 (lucro da fábrica)sujeito a :4x3 + 4x4 45(matéria-prima disponível) Solução ótima:5x1 + 3x2 60(tempo disponível com lix.)x1=0 5x1 + 6x2 75(tempo disponível com pol.) x2=11 sobram 27 hrs. de lixamento, 9 horas de polimento e 1 kg dexi0 (i=3,4) matéria-primaonde x3= qtde. de produto padrão em BLucro=$220x4=qtde. de produto deluxe em B

Um Problema da DietaMinha dieta requer que toda a comida que eu coma venha dos 4 grupos alimentares básicos (chocolate, sorvete, refrigerante e torta). No momento, os 4 alimentos seguintes estão disponíveis para consumo: brownies, sorvete de chocolate, coca-cola e torta de abacaxi. Cada brownie custa 0,50, cada bola de sorvete de chocolate custa 0,20, cada garrafa de coca-cola custa 0,30 e cada pedaço de torta de abacaxi custa 0,80.

A cada dia, preciso ingerir pelo menos 500 calorias, 6 onças de chocolate, 10 onças de açúcar e 8 onças de gordura. O conteúdo nutricional por unidade de cada alimento é mostrado abaixo. Formule um PL que possa ser usado para satisfazer meus requerimentos nutricionais diários a um custo mínimo.

ALIMENTO CALORIAS CHOCOLATE (on) AÇÚCAR (on) GORDURA (on)

BROWNIE 400 3 2 2

BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE 200 2 2 4

GARRAFA DE COCA COLA 150 0 4 1

PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI 500 0 4 5

Objetivo do Problema

Minimizar o custo com a compra dos alimentos

ALIMENTOCUSTO

($/UNIDADE)BROWNIE 0,50

BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE 0,20

GARRAFA DE COCA COLA 0,30

PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI 0,80

Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo

• Requerimentos nutricionais diários

NUTRIENTEREQUERIMENTO

DIÁRIO

CALORIAS 500

CHOCOLATE (on) 6

AÇÚCAR (on) 10

GORDURA (on) 8

Representação Informal do Problema

Deseja-se

Minimizar o custo com a compra dos alimentos de minha dieta, sujeito às seguintes restrições:

1. a quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores ao requerimento diário

2. a quantidade de chocolate ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário

3. a quantidade de açúcar ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário

4. a quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário

Formulação do Modelo de Programação Matemática

a) Variáveis de Decisão• O custo total de minha dieta é determinado pela quantidade de

alimentos de cada tipo comprados.

x1 = quantidade de brownies comprados /dia

x2 = bolas de sorvete de chocolate compradas /dia

x3 = garrafas de coca-cola compradas /dia

x4 = pedaços de torta de abacaxi compradas /dia

b) Função Objetivo (FO)

Min 0,50x1+ 0,20x2+ 0,30x3+ 0,80x4 ($/dia)

Formulação do Modelo de Programação Matemática

c) Restrições1. A quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores

ao requerimento diário 400x1+200x2+150x3+500x4 ≥ 500 (cal/dia)

2. A quantidade de chocolate ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário

3x1 + 2x2 ≥ 6 (on/dia)

3. A quantidade de açúcar ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário

2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10 (on/dia)

4. A quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao seu requerimento diário

2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8 (on/dia)

Formulação do Modelo de Programação Matemática

d) Restrições de sinal

xi ≥ 0 (i=1..4) (unidades de alimento/dia)

Modelo de Programação Linear

Min 0,50x1+ 0,20x2+ 0,30x3+ 0,80x4

sujeito a:

400x1+200x2+150x3+500x4 ≥ 500 (requerimento de calorias)

3x1 + 2x2 ≥ 6 (requerimento de chocolate)

2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10 (requerimento de açúcar)

2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8 (requerimento de gordura)

xi ≥ 0 (i=1..4) (restrições de sinal)