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Raciocínio Lógico

PC-BA

Diagramas Lógicos e Argumentação

Livro Eletrônico

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RACIOCÍNIO LÓGICO


Prof. Josimar Padilha

www.grancursosonline.com.br

SUMÁRIO

Lógica de Argumentação e Diagramas Lógicos ...............................................3

Apresentação do Professor ...........................................................................3

Argumento Lógico ......................................................................................5

Formas de Argumentos .............................................................................10

O que é um silogismo? ..............................................................................14

Validade de um Argumento ........................................................................15

Diagramas Lógicos ....................................................................................34

Quantificadores Lógicos .............................................................................35

Aplicação dos Quantificadores Lógicos .........................................................47

Negação dos Quantificadores Lógicos ..........................................................53

Questões de Concurso ...............................................................................61

Gabarito ..................................................................................................65

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LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO E DIAGRAMAS LÓGICOS

Lógica de Argumentação: analogias, inferências, deduções e conclu-

sões. Diagramas lógicos.

Conceitos, demonstrações e aplicações. Construção de argumentos, sabendo

reconhecer sua estrutura e identificando seus elementos. Definição de argumentos

dedutivos e indutivos. Verificar quanto à validade dos argumentos dedutivos. Re-

alizar inferências lógicas por meio de métodos práticos para otimização do tempo;

isso por aplicação de teoria de conjuntos e técnicas inovadores.

Apresentação do Professor

Em continuação ao nosso curso de Raciocínio Lógico, teremos pela frente mais

um desafio. Como de costume vamos dar continuidade aos nossos estudos com

muito entusiasmo e dedicação. Este módulo é muito importante devido à grande

incidência de questões nas provas de concursos, independente da banca exami-

nadora. Aproveito mais uma vez para citar um material de apoio que confeccio-

nei: Raciocínio Lógico Matemático – Fundamentos e Métodos Práticos, da Editora

Juspodivm (2016).

JOSIMAR PADILHA

Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.




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Seguindo a mesma linha de pensamento e com uma linguagem totalmente

acessível, clara, simples e bem objetiva, iremos aprender o que é lógica de argu-

mentação e suas particularidades.

Para que o estudo seja produtivo e dinâmico, iremos apresentar alguns teore-

mas da lógica formal, bem como métodos e caminhos práticos que serão essenciais

nas resoluções de questões.

Nesta nossa aula complementar, iremos a Lógica de Argumentação: compre-

ensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de

forma válida, a conclusões determinadas.

Mais uma vez lá vem o professor Josimar Padilha te desafiar com uma questão

bem interessante. Sendo assim, fique bem à vontade:

DESAFIO

Cadê a saída?

Em cada uma de cinco portas A, B, C, D e E, está escrita uma sentença, conforme

a seguir:

Porta A: “Eu sou a porta de saída”.

Porta B: “A porta de saída é a porta C”.

Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira”.

Porta D: “Se eu sou a porta de saída, então a porta de saída não é a porta E”.

Porta E: “Eu não sou a porta de saída”.

Sabe-se que dessas cinco sentenças há uma única verdadeira e que há somente

uma porta de saída. A porta de saída é a porta

a) D.

b) A.




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c) B.

d) C.

e) E.

Obs.:� a resposta está no final do módulo.

Argumento Lógico

Um argumento possui a estrutura apresentada abaixo em que algumas proposi-

ções são denominadas premissas (hipóteses) e outra denominada de conclusão (tese).

P1: Proposição Premissa (Hipótese)





Pn: Proposição Premissa (Hipótese)

C: Proposição Conclusão (Tese)

Obs.:� os argumentos muitas vezes podem começar pela conclusão para depois

apresentar as premissas. Isto fica claro com a presença de termos que são

responsáveis em apresentar as premissas e a conclusão.

A Lógica formal também chamada de lógica simbólica preocupa-se, basicamente,

com a estrutura do raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as senten-

ças são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.




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Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3,... Pn,

chamadas premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada conclusão (tese)

do argumento. Isso significa que, para ser um argumento, basta ter estrutura.

ESTRUTURA DO ARGUMENTO

p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ p4 ∧ p5... pn ∧ C

(Premissas/Hipóteses) (Conclusão/Tese)

1. (FUNPRESP-EXE/2016) Considerando as características do raciocínio analítico e

a estrutura da argumentação, julgue o item a seguir.

O raciocínio “Nenhum peixe é ave. Logo, nenhuma ave é peixe” é válido.

Certo.

Partindo da premissa “nenhum peixe é ave” representada abaixo pelo seu respecti-

vo diagrama lógico, assunto que veremos no próximo módulo, podemos inferir que

não há elementos em comum entre os dois conjuntos:




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Dessa forma, a conclusão “nenhuma ave é peixe” apresentada pelo termo “logo”

é consequência da premissa, o que faz o raciocínio ser válido, ou seja, um argu-

mento válido.

O objetivo até o momento é que você consiga identificar um argumen-

to, uma vez que, na questão apresentada, temos apenas uma premissa e

uma conclusão.

Vejamos mais uma questão para que você perceba que se trata de um argu-

mento, porém nós iremos, no decorrer deste módulo, detalhar tudo sobre argu-

mentação e até mesmo inferência lógica.

2. (MEC/TEMPORÁRIO/2015) O texto “O homem inteligente nunca recebe penali-

dades, pois somente o homem que erra recebe penalidades e o homem inteligente

jamais erra” apresenta um argumento válido.

Certo.

Esta questão é importante para que possamos observar que existem argumentos

que começam com a conclusão, deixando claro que as bancas estão a cada dia exi-

gindo mais dos candidatos os conceitos, princípios e fundamentos.

Representando o argumento, o termo “pois” anuncia premissas dentro de um argu-

mento; dessa forma, podemos representá-lo da seguinte maneira.

Premissa 01: Somente o homem que erra recebe penalidades.

Premissa 02: Homem inteligente jamais erra.

Conclusão: O homem inteligente nunca recebe penalidades.




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Para que possamos verificar a validade do argumento, assunto detalhado mais à

frente, iremos construir o diagrama abaixo:

Por meio do diagrama, podemos inferir que a conclusão é consequência necessária

das premissas. Dessa forma, o argumento é válido.

DICA DO PADILHA!

Termos que anunciam premissas em um argumento: “pois” e “porque”.

Termos que anunciam conclusão em um argumento: “logo”, “assim”, “portanto”

e “então”.

É importante ressaltarmos também algumas regras de inferências lógicas. Isso

se deve à presença de algumas questões de concursos que exigem dos candidatos

tais conceitos.




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Regras de inferência

1. Modus Ponens

A, A → B ∴ B

2. Generalização Universal

A ∴ ∀ x A

Teoremas

Nos teoremas a seguir, para compreendermos as notações, temos que:

– as premissas estão sempre à esquerda do sinal ∴ (lê-se, portanto), que anun-

cia uma conclusão;

– uma vírgula separa duas premissas (hipótese);

– rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.

T1: A ∴ A

T2: ~(~A) ∴ A

REC: A ∴ ~(~A)

T3: A, B ∴ A ∧ B

T4: A ∴ A ∨ B

T5: A ∧ B ∴ A

T6: A ∨ B, ~A ∴ B

T7: A→B, B→C ∴ A→C

T8: A, (A→B) ∴ B

T9: (A ∨ B), B→C ∴ (A ∨ C)

T10: A→B ∴ ~B→~A




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REC: ~B→~A ∴ A→B

T11: A→B, (~A→B) ∴ B

T12: (A ∧ B)→C ∴ A→(B→C)

REC: A→(B→C) ∴ (A∧B)→C

T13: (A ∧ ~B)→(C∧~C) ∴ A→B (Princípio da não contradição)

T14: A→(B ∨ C, ~B ∴ A→C)

É notável, nas provas de maior de complexidade, que as bancas têm cobrado do

candidato uma interpretação do que é uma inferência lógica. Sendo assim, torna-se

necessário entendermos que uma inferência lógica é constituída de premissas ver-

dadeiras para se deduzir uma conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica

afirma: “se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a

afirmação da verdade das premissas garante afirmação da verdade da conclusão,

então o raciocínio é correto”.

Formas de Argumentos

É importante entendermos as formas que são construídas os argumentos para

que possamos analisá-los corretamente, uma vez que, nas provas recentes, temos

questões que exigem do candidato os conceitos abaixo.

Argumento Dedutivo

Um argumento será dedutivo quando sua conclusão traz apenas informações

obtidas das premissas, ainda que implícitas. É um argumento de conclusão não

ampliativa. Para um argumento dedutivo válido, caso se tenha premissas verdadei-

ras, a conclusão será necessariamente verdadeira.




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Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apre-

sentam nenhum conhecimento novo. Como dissemos, a conclusão já está contida

nas premissas. A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo que a ciência

não faça tanto uso da dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela

continua sendo o modelo de rigor dentro da lógica.

Argumento Indutivo

Um argumento é dito indutivo quando sua conclusão traz mais informações

que as premissas fornecem. É um argumento de conclusão ampliativa.

É o mais usado pelas ciências. Por meio dos argumentos indutivos, é que as ci-

ências descobrem as leis gerais da natureza. O argumento indutivo geralmente par-

te de dados da experiência e, desses dados, chega a enunciados universais. Além

disso, todas as conjecturas que a ciência faz têm por base a indução. Com base em

dados particulares do presente, as ciências fazem as conjecturas do futuro.

Os argumentos indutivos, ao contrário do que sucede com os dedutivos, levam a conclu-sões cujo conteúdo excede os das premissas. E esse traço característico da indução que torna os argumentos indispensáveis para a fundamentação de uma significativa porção dos nossos conhecimentos (SALMON, 1969, p. 76).

O grande problema da indução é que ela é probabilística. Não há a necessidade

como na dedução. Como vimos na dedução, a conclusão decorre necessariamente

das premissas. Já na indução isso é impossível, uma vez que ela enumera casos

particulares e por probabilidade ela infere uma verdade universal. A conclusão da

indução tem apenas a probabilidade de ser verdadeira.




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3. (CESPE/2006) No Brasil, os pobres têm mais poder que os ricos. Isso ocorre

porque o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da

maioria prevalece, e, no Brasil, existem mais pobres que ricos.

Com relação ao argumento anterior, julgue a seguir.

A afirmativa “No Brasil, os pobres têm mais poder que os ricos” é uma premissa.

Errado.

Temos que esta afirmativa é a conclusão do argumento. Isso é perce bido pela pre-

sença da palavra “porque” que anuncia premissas dentro de um argumento.

4. (CESPE/2006) A oração “no Brasil, existem mais pobres que ricos” é a conclusão

do texto.

Errado.

Temos que esta oração é uma premissa do argumento; fundamenta a conclusão.

5. (CESPE/2006) O trecho “o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no

qual a vontade da maioria prevalece” é uma hipótese.

Certo.

A frase se trata de uma premissa, ou seja, hipótese.




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6. (CESPE/2006) O argumento apresentado no texto é um exemplo de argumento

indutivo.

Errado.

Sua conclusão não traz mais informações que as premissas fornecem. É um argu-

mento de conclusão não ampliativa, um argumento dedutivo.

7. (TCU/AUDITOR FEDERAL DE CONTROLE EXTERNO/2015) Adotando-se o pro-

cesso de inferências do tipo indutiva, usado em ciências experimentais, parte-se

do particular para o geral, ou seja, a partir da observação de casos particulares,

chega-se a uma conclusão que os trans cende.

Certo.

Um argumento é dito indutivo quando sua conclusão traz mais informa ções que as

premissas fornecem. É um argumento de conclusão ampliativa.

É o mais usado pelas ciências. Por meio dos argumentos indutivos, é que as ciên-

cias descobrem as leis gerais da natureza. O argumento indutivo geralmente parte

de dados da experiência e desses dados chega a enuncia dos universais. Além disso,

todas as conjecturas que a ciência faz têm por base a indução. Com base em dados

particulares do presente, as ciências fazem as conjecturas do futuro.

8. (2014/PROCEMPA/TÉCNICO ADMINISTRATIVO/ASSISTENTE EM DIVERSAS ÁRE-

AS DA EMPRESA) Assinale a opção que indica, dentre os textos listados a seguir, o

que se apoia no método indutivo.




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a) “Os campeonatos esportivos são muito mal organizados no Brasil, daí que não

se deva esperar uma tabela bem elaborada para o campeonato brasileiro de 2015.”

b) “Os dias de inverno são bastante frios na Europa, daí que seja necessária a

compra de agasalhos bem encorpados para nossa viagem de férias.”

c) “O supermercado da esquina de minha rua abriu hoje às seis horas da manhã,

daí que a vizinhança tenha pensado numa modificação do horário do comércio nos

fins de semana.”

d) “A obra poética de Manoel de Barros é de muita sensibilidade, daí que seu último

livro tenha atingido ótimos índices de venda.”

e) “As guerras modernas mostram alto desenvolvimento tecnológico, daí que se pos-

sa esperar intenso uso de armas sofisticadas na guerra contra os extremistas árabes.”

Letra c.

Como já dito anteriormente, um argumento é indutivo quando sua conclusão traz

mais informa ções que as premissas fornecem. É um argumento de conclusão am-

pliativa, ou seja, na alternativa de letra C, a premissa “O supermercado da esquina

de minha rua abriu hoje às seis horas da manhã” traz um pensamento particular

e uma conclusão de sentido ampliativo “daí que a vizinhança tenha pensado numa

modificação do horário do comércio nos fins de semana”.

O que é um silogismo?

É importante sabermos o que vem a ser um silogismo. Pois bem, é uma forma

de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três propo-

sições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As

premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é

consequência necessária das premissas.




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P1: premissa

P2: premissa

C: conclusão

Vejamos um exemplo:

P1: todos os homens são racionais (V).

P2: todos os racionais precisam de Deus (V).

-----------------------------------------------------------------------------

Conclusão: todos os homens precisam de Deus (V).

Validade de um Argumento

É importante ressaltar que as proposições, premissas e a conclusão serão for-

madas pelos conectivos lógicos, logo é necessário que você tenha domínio da lin-

guagem da lógica formal, bem como as tabelas-verdade.

Primeiramente, é necessário que saiba o que é um argumento válido, legítimo

ou bem construído, OK? Vamos lá! Quando a conclusão é uma consequência obri-

gatória do seu conjunto de premissas, temos que o argumento é válido.

Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isso implica necessariamen-

te que a conclusão será verdadeira.

A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre

as premissas e a conclusão.

p1 (V) ∧ p2 (V) ∧ p3(V) ∧ p4(V) ∧ p5(V) ∧... ∧ pn(V) C(V)




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De acordo com a ilustração acima, percebemos que existe um conectivo de

conjunção que opera as premissas. Logo, para que a conclusão seja verdadeira,

torna-se necessário que as premissas sejam verdadeiras, até mesmo porque, se

uma das premissas for falsa, tornará a conclusão falsa. Logo, temos que a verdade

das premissas garante a verdade da conclusão do argumento.

Para que possa compreender melhor o que é um argumento válido, iremos co-

mentar algumas questões.

9. (TSE/2007) Assinale a opção que apresenta um argumento válido.

a) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem

estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas, mas não me alimentei bem.

b) Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e

hoje fez frio. Logo, estamos em junho.

c) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo se-

gunda-feira não será feriado.

d) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo

choveu.

Letra a.

Para analisarmos a validade dos argumentos abaixo, iremos partir de premissas

verdadeiras para verificar se a conclusão também é verdadeira, observando que

as premissas são proposições construídas por operadores lógicos. Logo, temos que

aplicar as regras de valorações vistas nas tabelas-verdade.




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a) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem

estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas, mas não me alimentei bem.

Temos:

P1: estudo → obtenho boas notas.

P2: me alimento bem → me sinto disposto.

P3: Ontem estudei → não me senti disposto.

Conclusão: Obterei boas notas → não me alimentei bem.

Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:

P1: Estudo (V) → obtenho boas notas. (V) = (V)

P2: Me alimento bem (F) → me sinto disposto. (F) = (V)

P3: Ontem estudei (V) → não me senti disposto (V) = (V)

Após a valoração das premissas, podemos verificar se a verdade das premissas

realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Conclusão: Obterei boas notas (VERDADE) → não me alimentei bem. (VERDADE)

= VERDADE.

Sendo assim, o argumento é válido.

b) Errado. Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem

choveu e hoje fez frio. Logo, estamos em junho.

Temos:

P1: (ontem choveu → estamos em junho) → hoje fará frio.

P2: ontem choveu → fez frio.

Conclusão: estamos em junho.


P1: (ontem choveu (V) → estamos em junho (V/F) → hoje fará frio. (V) = (V)

P2: ontem choveu (V) → fez frio (V) = (V)

Conclusão: estamos em junho(V/F)




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Logo, C: estamos em junho (V/F)

Sendo assim, o argumento é inválido.

c) Errado. Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem,

logo segunda-feira não será feriado.

Temos:

P1: (choveu ontem → segunda-feira é feriado).

P2: não choveu ontem.

Conclusão: segunda-feira não é feriado.


P1: choveu ontem (F) → segunda-feira é feriado (V). = (V)

P2: não choveu ontem = (V)

Conclusão: segunda-feira não é feriado (F).



Conclusão: segunda-feira não é feriado = F

Sendo assim, temos que o argumento é inválido.

d) Errado. Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas,

logo choveu.

Temos:

P1: (Chove → árvores ficam verdinhas).

P2: As árvores estão verdinhas.

Conclusão: Choveu.




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P1: Chove (V/F) → árvores ficam verdinhas (V) = (V)

P2: As árvores estão verdinhas.

Conclusão: Choveu (V/F).



Conclusão: Choveu (V/F).

Sendo assim temos que o argumento é inválido.

10. (POLÍCIA FEDERAL/2009) Uma sequência de proposições A¹, A²,..., Ak é uma

dedução correta se a última proposição, Ak, denominada conclusão, é uma conse-

quência das anteriores, consideradas V e denominadas premissas.

Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para

todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem.

A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P,

for obtido que a proposição P (¬P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira;

P tem de ser falsa.

Considere as proposições A, B e C a seguir.

A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em

concurso público.

B: Jane foi aprovada em concurso público.

C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V,

então C também será V.




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Errado.

Representando as proposições com seus respectivos operadores lógicos temos:

Premissa A: [ (Jane é policial federal) v (Jane [ (Jane é aprovada em concurso) ] = V

é procuradora de justiça)]

Premissa B: [ (Jane foi aprovada em concurso) ] = V

Conclusão C: [ (Jane é policial federal) v (Jane é procuradora de justiça) ]

V/F V

V

V/F

Valorando as premissas com verdadeiro conforme a estrutura acima, aplicaremos

as tabelas-verdade. Dessa forma, verifica-se que a verdade das proposições A e B

não garante a verdade da proposição C.

11. (POLÍCIA FEDERAL/2009) A sequência de proposições a seguir constitui uma

dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física.

Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.

Carlos não fracassou na prova de Física.

Carlos não jogou futebol.




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Certo.

Uma dedução correta, argumento válido, é quando a conclusão é consequência

obrigatória do seu conjunto de premissas. Sendo as premissas de um argumento

verdadeiras, isso implica necessariamente que a conclusão será verdadeira. A va-

lidade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as pre-

missas e a conclusão.

Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3,... Pn,

chamadas de premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada de conclusão

(tese) do argumento, nesse caso dedutivo.

Representando as premissas e aplicando as tabelas-verdade, teremos:

Premissa 1: Carlos não estudou ele fracassou na prova de Física = V

Premissa 2: Carlos jogou futebol ele não estudou = V

Premissa 3: Carlos não fracassou na prova de Física = V

Conclusão: Carlos não jogou futebol – será verdadeira.

F

F

V

F

F

Valorando as premissas como verdadeiras, verificamos que a conclusão foi verda-

deira, logo a dedução é correta.




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12. (TRE-RJ/2012) O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimenta-

do por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos

vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspon-

dentes às proposições P, Q e R, abaixo:

P: O vereador Vitor não participou do esquema.

Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema.

R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às pre-

missas P1, P2 e P3 seguintes:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sa-

bia do esquema.

P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do

esquema, mas não ambos.

P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não

foi o mentor do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposi-

ções lógicas.

A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não sabia

do esquema.

DICA DO PADILHA!

Representando as premissas e a conclusão, podemos analisar da seguinte forma: por

exclusão, ou seja, se a verdade das premissas não garantir a verdade da conclusão,

se tratando de um argumento, será inválido. Logo, iremos tentar invalidar o argu-

mento, ou partir de uma conclusão falsa, caso seja uma inferência. Caso não

consigamos, então o argumento será válido ou a inferência estará de acordo.




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Isso se torna muito eficiente. Uma vez que temos todas as premissas (proposições)

compostas para serem verdadeiras, temos mais de uma possibilidade; logo, gasta-

ríamos muito tempo testando.

Errado.

P1 = FP → FQ = V

P2 = FR → v Q = V

P3 = FP → RF¬ = V

C = ¬ Q(F)

Vamos tentar contradizer a conclusão. Se conseguirmos, então o item estará errado.

Ao valorar as premissas como verdadeiras e a conclusão como falsa, percebemos

que não tivemos nenhum problema. Dessa forma, podemos inferir que a conclusão

é falsa; não podemos inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esquema. E em se

tratando de um argumento, poderíamos afirmar que é inválido.

DICA DO PADILHA!

Quando tivermos que realizar uma inferência lógica, ou analisarmos um argumento

e tivermos entre as premissas, alguma delas “simples”, podemos, de uma maneira

convencional, partir das premissas verdadeiras e verificar se a conclusão é também

verdadeira. Porém, se achar melhor ir pela exclusão, tentar mostrar o contrário,

fique à vontade.




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13. (PC-ES/2010) Para descobrir qual dos assaltantes – Gavião ou Falcão – ficou

com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguin-

tes fatos:

F1 – Se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião.

F2 – Se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com

Gavião.

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade.

F4 – Havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à

mulher de Gavião.

Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue o item

subsequente, com base nas regras de dedução.

A proposição “O dinheiro foi entregue à mulher de Gavião” é verdadeira.

Certo.

Vamos fazer a questão abaixo pela forma convencional, isto é, partir de premissas

verdadeiras e verificar se a conclusão é também verdadeira. Até mesmo porque

temos premissas simples na questão em lide, F3, terceira premissa.

Trata-se de uma inferência, logo temos as proposições sendo verdadeiras e iremos

verificar se a conclusão “o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião” também será

verdadeira.

Dadas as proposições, temos:

F1 – Gavião e Falcão saíram da cidade (V) → o dinheiro não ficou com Gavião (V) = V

F2 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco (F) → o dinheiro ficou com Ga-

vião (F) = V

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade = V




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F4 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco (F) v o dinheiro foi entregue à

mulher de Gavião (V) = V

Logo, podemos inferir que a proposição “o dinheiro foi entregue à mulher de Ga-

vião” também será verdadeira.

14. (DELEGADO PF/2004) Uma noção básica da lógica é a de que um argumento

é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sen-

tença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessaria-

mente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas

informações, julgue a seguir.

Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.

Errado.

A tabela abaixo resume as possíveis situações de um argumento quanto a sua va-

lidade, sendo importante para questões de concursos de maior complexidade.

Quando um argumento é E as hipóteses… Então a tese será:

Válido(Bem construído)

São todas verdadeiras Necessariamente verdadeira

Não são todas verdadeiras Ou verdadeira ou falsa

Inválido(Mal construído)

São todas verdadeiras Ou verdadeira ou falsa

Não são todas verdadeiras Ou verdadeira ou falsa

De acordo com a segunda linha, podemos ter premissas também falsas e, ainda

assim, termos um argumento válido.




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RACIOCÍNIO LÓGICO









Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.

Errado.

De acordo com a segunda linha, podemos ter premissas também falsas e, ainda

assim, termos um argumento válido.






Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.

Errado.

De acordo com a terceira e quarta linha da terceira coluna, podemos ter a possibi-

lidade de uma conclusão verdadeira e, ainda assim, o argumento ser inválido.

17. (POLÍCIA CIVIL-CE/2012) O exercício da atividade policial exige preparo téc-

nico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento

das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos

concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma de-

cisões ruins.

P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma de-

cisões ruins.

P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se

deixa dominar pela emoção ao tomar decisões.

P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem

informações precisas ao tomar decisões.

Com base nessas proposições, julgue a seguir.

Considerando que P1, P2, P3 e P4 sejam as premissas de um argumento cuja con-

clusão seja “Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins,

então teve treinamento adequado”, é correto afirmar que esse argumento é válido.

Certo.

Representando as premissas e a conclusão, podemos analisar da seguinte forma

por exclusão: se a verdade das premissas não garantir a verdade da conclusão, o

argumento será inválido. Logo, iremos tentar invalidar o argumento. Caso não con-

sigamos, então o argumento será válido.

Vamos tentar, então, invalidar o argumento: as premissas verdadeiras e a conclu-

são falsa.

P1: deixa-se dominar pela emoção ao tomar decisões então o policial toma de-

cisões ruins = V.

P2: não tem informações precisas ao tomar decisões então o policial toma deci-

sões ruins = V.

P3: (está em situação de estresse ^ não teve treinamento adequado) (o policial

se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões) = V.




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P4: (teve treinamento adequado ^ se dedicou nos estudos) (o policial tem infor-

mações precisas ao tomar decisões) = V.

Conclusão: (o policial está em situação de estresse ^ não toma decisões ruins)

(teve treinamento adequado) = F.

Valorando as proposições de acordo com as premissas, temos:

Percebemos que, ao tentarmos invalidar o argumento, verificamos uma contradi-

ção, ou seja, uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo,

pois fere um dos princípios fundamentais da lógica proposicional. Logo, se o argu-

mento não é inválido, será válido.




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18. (ANATEL/2012) Em ação judicial contra operadora de telefonia móvel, o defen-

sor do cliente que interpôs a ação apresentou a argumentação a seguir.

P1: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastra-

dos em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de in-

terrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados

por minutos.

P2: Se ocorrer falha técnica na chamada ou a operadora interromper a chamada de

forma proposital, então ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente.

P3: Se a quantidade de interrupções em chamadas realizadas de aparelhos cadas-

trados em planos tarifados por ligações for quatro vezes superior à quantidade de

interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifa-

dos por minutos, então não ocorrerá falha técnica na chamada.

P4: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente.

Logo, a operadora interrompeu a chamada de forma proposital.

Com base nas proposições acima, julgue a seguir.

Em face das proposições apresentadas, é correto afirmar que o argumento do

defensor é um argumento inválido.

Certo.

Vamos fazer mais uma vez uma questão pela forma convencional, isto é, partir de

premissas verdadeiras e verificar se a conclusão é também verdadeira. Até mesmo

porque temos premissas simples na questão em lide, P1 e P4, primeira e quarta

premissas.

Representando as proposições e considerando que todas as premissas são verda-

deiras, vamos verificar se a conclusão também será verdadeira:




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P1:

A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de apare-lhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos.

= (V)

V

V V?

P2:[(ocorrer falha téc-nica na chamada)

v(a operadora inter-

romper a chamada de forma proposital)]

[ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente]

= (V)

P3:

[(a quantidade de interrupções em chamadas reali-zadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados

por ligações for quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos

cadastrados em planos tarifados por minutos)]

([não ocorrerá falha técnica na

chamada)].=(V)

V V

P4: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente. = (V)

Conclusão: a operadora interrompeu a chamada de forma proposital. = (?)

A verdade das premissas não garante a verdade da conclusão.

19. (TRE–MA/2009) Gilberto, gerente de sistemas do TRE de deter minada região,

após reunir-se com os técnicos judiciários Alberto, Bruno, Cícero, Douglas e Ernes-

to para uma prospecção a respeito do uso de siste mas operacionais, concluiu que:




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• se Alberto usa o Windows, então Bruno usa o Linux;

• se Cícero usa o Linux, então Alberto usa o Windows;

• se Douglas não usa o Windows, então Ernesto também não o faz;

• se Douglas usa o Windows, então Cícero usa o Linux.

Com base nessas conclusões e sabendo que Ernesto usa o Windows, é correto con-

cluir que

a) Cícero não usa o Linux.

b) Douglas não usa o Linux.

c) Ernesto usa o Linux.

d) Alberto usa o Linux.

e) Bruno usa o Linux.

Letra e.

Representando as proposições, temos:

(V) ( V )

P1: Alberto usa Windows → Bruno usa Linux = V

(V) ( V )

P2: Cícero usa Linux → Alberto usa Windows = V

(F) ( V )

P3: Douglas não usa Windows → Ernesto não usa Windows = V

(V) ( V )

P4: Douglas usa Windows → Cícero usa Linux = V

(V)

P5: Ernesto usa o Windows = V




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Considerando que as proposições são todas verdadeiras, partindo de P5, podemos

valorar as demais. Analisando as opções, temos:

a) F

b) V/F (não temos certeza)

c) V/F (não temos certeza)

d) V/F (não temos certeza)

e) V

20. (PREFEITURA DE SÃO PAULO/SP/2016). As proposições seguintes constituem

as premissas de um argumento.

• Bianca não é professora.

• Se Paulo é técnico de contabilidade, então Bianca é professora.

• Se Ana não trabalha na área de informática, então Paulo é técnico de conta-

bilidade.

• Carlos é especialista em recursos humanos, ou Ana não trabalha na área de

informática, ou Bianca é professora.

Assinale a opção correspondente à conclusão que torna esse argu mento um argu-

mento válido.

a) Carlos não é especialista em recursos humanos e Paulo não é técnico de conta-

bilidade.

b) Ana não trabalha na área de informática e Paulo é técnico de contabili dade.

c) Carlos é especialista em recursos humanos e Ana trabalha na área de informática.

d) Bianca não é professora e Paulo é técnico de contabilidade.

e) Paulo não é técnico de contabilidade e Ana não trabalha na área de informática.




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Letra c.

Considerando todas premissas verdadeiras e valorando-as conforme as tabe-

las-verdade, temos:

P1: Bianca não é professora. = V

P2: Se Paulo é técnico de contabilidade (F), então Bianca é professora (F). = V

P3: Se Ana não trabalha na área de informática (F), então Paulo é téc nico de con-

tabilidade (F). = V

P4: Carlos é especialista em recursos humanos (V), ou Ana não trabalha na área de

informática (F), ou Bianca é professora (F). = V

A partir das premissas verdadeiras, vamos encontrar uma conclusão também ver-

dadeira. Logo, temos:

a) Carlos não é especialista em recursos humanos (V) e Paulo não é téc nico de

contabilidade (F) = F.

b) Ana não trabalha na área de informática (F) e Paulo é técnico de conta bilidade

(F) = F

c) Carlos é especialista em recursos humanos (V) e Ana trabalha na área de infor-

mática (V) = V

d) Bianca não é professora (F) e Paulo é técnico de contabilidade (F) = F

e) Paulo não é técnico de contabilidade (V) e Ana não trabalha na área de informá-

tica (F) = F.




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Diagramas Lógicos

Diagramas Lógicos: Linguagem natural, linguagem simbólica, representação

das proposições categóricas por diagramas lógicos. Análise de argumentos (valida-

de) construídos por diagramas lógicos, inferências lógicas e suas negações.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege construiu uma maneira de reordenar várias sen-

tenças para tornar sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as

sentenças relacionam-se em certos aspectos. Antes de Frege, a lógica formal não

obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a es-

trutura de sentenças compostas de outras sentenças, usando os conectivos lógicos:

“e”, “ou” e “não”, mas não podia quebrar sentenças em partes menores. O trabalho

de Friedrich Ludwig Gottlob Frege foi um dos que deu início à lógica formal contem-

porânea. Sendo assim, percebemos a grande incidência de questões de concursos

públicos voltadas para esta linguagem e raciocínio.

O grande contributo de Friedrich Ludwig Gottlob Frege para a lógica matemática

foi a criação de um sistema de representação simbólica (Begriffsschrift, conceito

grafia ou ideografia) para representar formalmente a estrutura dos enunciados

lógicos e suas relações, e a contribuição para a implementação do cálculo dos pre-

dicados. Esta parte da decomposição funcional da estrutura interna das frases (em

parte substituindo a velha dicotomia sujeito-predicado, herdada da tradição lógica

Aristotélica pela oposição matemática função-argumento) e da articulação do con-

ceito de quantificação (implícito na lógica clássica da generalidade), possibilitou sua

manipulação em regras de dedução formal. (As expressões “para todo o x”, “existe

um x”, que denotam operações de quantificação sobre variáveis têm na obra de

Frege uma de suas origens). Fonte: Wikipédia, a enciclopédia livre.




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Neste módulo, iremos entender como são formadas as proposições categóricas

a partir dos quantificadores lógicos, suas simbologias, além da representação geo-

métrica, ou seja, seus diagramas lógicos.

Iremos ver as aplicações das proposições categóricas na construção de argu-

mentos, sabendo reconhecer sua estrutura e identificando seus elementos, além

da validade do argumento.

Será apresentada as negações das proposições categorias e suas aplicações.

As inferências lógicas serão realizadas por meio de métodos práticos (diagra-

mas lógicos).

Quantificadores Lógicos

Em um texto escrito pela banca CESPE, temos:

Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo é a sentença, ou proposição sim-ples, formada basicamente por um sujeito e um predicado. Nessas considerações, es-tão incluídas apenas as proposições afirmativas ou negativas, excluindo, portanto, as proposições interrogativas, exclamativas etc. Só são consideradas proposições aquelas sentenças bem definidas, isto é, aquelas sobre as quais pode-se decidir serem verda-deiras (V) ou falsas (F). Toda proposição tem um valor lógico, ou uma valoração, V ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposições serão designadas por letras maiúsculas A, B, C etc.Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT da 5ª Região”, ou “x + 3 = 9”. O sujeito é uma variável que pode ser subs-tituído por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais.Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer que seja”, ou “para todo”, indicado por ∀, e “existe”, indicado por ∃.Exemplo: a proposição ∀(x)(x ∈ R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição ∃ (x)(x ∈ R)(x + 3 = 9) é valorada como V.




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Neste momento nos deparamos mais uma vez com as sentenças abertas, porém

neste módulo iremos lançar mão dos quantificadores lógicos, que são responsá-

veis em transformar sentenças abertas em sentenças fechadas.

Será de suma importância a questão da linguagem, ou seja, a representação

simbólica. Vejamos alguns exemplos abaixo:

“Todos os seres humanos são mortais” se torna “Para todo x, se x é ser humano,

então x é mortal.”, o que pode ser escrito simbolicamente como: ∀x(H(x) → M(x)).

“Alguns humanos são vegetarianos” se torna “Existe algum (ao menos um) x tal

que x é humano e x é vegetariano”, o que pode ser escrito simbolicamente como:

∃x(H(x) ∧ V(x)).

Não fique assustado(a) com as simbologias acima, pois iremos, no decorrer

deste módulo, explanar de forma simples e prática.

As proposições categóricas são formadas pelos quantificadores lógicos.

Os quantificadores lógicos são: todo, algum e nenhum.

Esses quantificadores são classificados em Universais e Particulares, sendo tam-

bém subdivididos em afirmativos ou negativos.

Obs.:� é importante ressaltar que não temos proposições formadas com conecti-

vos, e sim proposições formadas com quantificadores. Dessa forma, não

teremos uma interpretação lógica por meio de tabelas-verdade, e sim por

intermédio dos quantificadores lógicos, isto é, os diagramas de Euller Veen.

Para uma melhor compreensão, na tabela abaixo, estão as quatro proposições

categóricas possíveis, em suas formas típicas:




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Proposições Afirmativas Proposições Negativas

Proposições Universais (A) Todo “A” é “B”(E) Nenhum “A” é “B”

Todo “A” não é “B”

Proposições Particulares (I) Algum “A” é “B”(O) Algum “A” não é “B”

Nem todo “A” é “B”

Podemos observar, no quadro acima, que cada uma das proposições categóricas

na forma típica começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores

universais) ou por “Algum” (chamado de quantificador particular).

As vogais {a, e,i,o} que aparecem são denominadas de vogais de quantificação

e aparecem em algumas provas. Inclusive apareceu no concurso da Polícia Civil de

São Paulo em 2013, realizado pela banca VUNESP.

Vamos falar de cada uma das proposições categóricas e seus respectivos dia-

gramas lógicos.

I – Universal afirmativo: Todo A é B

(A ∪ B = B) e (A ∩ B = A)

INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A ⊂ B)




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Temos também duas relações importantes para entendermos como é

formada a proposição categórica Universal afirmativa.

Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos

públicos:

– para todo;

– qualquer que seja;

– tudo.

Simbolicamente, temos a seguinte representação:

∀(x) (A(x) → B(x))

Obs.:� ∀x(A(x) → B(x)) ≠ ∀x(B(x) → A(x)) não possui a propriedade comutativa.

Vejamos um exemplo.

Representar a proposição “Todo aluno dedicado é bem-sucedido”.

Simbologia: ∀x(A(x) → B(x)), em que temos A(x) a proposição: “aluno

dedicado” e B(x) a proposição: “aluno bem-sucedido”.




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II – Universal negativo: Nenhum A é B

Conjuntos Disjuntos

O termo “nenhum” pode ser substituído pelas palavras “não existe”, “não

há”, “ninguém” nas provas de concursos públicos:

A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅ (conjunto vazio)

v

Simbolicamente: ¬∃x (A(x) ∧ B(x))

Obs.:� ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ ¬∃x (B(x) ∧ A(x)) possui a propriedade comutativa.

Temos também duas relações importantes para entendermos como são

formadas as proposições categóricas.

Vejamos um exemplo.




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Representar a proposição “Nenhum aluno dedicado é bem-sucedido”.

Simbologia: ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) em que temos A(x) a proposição: “aluno

dedicado” e B(x) a proposição: “aluno bem-sucedido”.

III – Particular afirmativo: Algum A é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concur-

sos públicos:

– ao menos um;

– pelo menos um;

– existe;

– alguém.

INTERSEÇÃO (A ∩ B) ≠ { } “conjunto vazio”

O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos

A e B simultaneamente.

(A ∩ B) = {x / x ∈ A e x ∈ B}

Obs.:� ∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ ∃x (B(x) ∧ A(x)) possui a propriedade comutativa.

Temos também duas relações importantes para entendermos como são for-

madas as proposições categóricas.




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Vejamos um exemplo.

Representar a proposição “Algum aluno dedicado é bem-sucedido”.

Simbologia: ∃x (A(x) ∧ B(x)) em que temos A(x) a proposição: “aluno dedi-

cado” e B(x) a proposição: “aluno bem-sucedido”.

IV – Particular negativo: Algum A não é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concur-

sos públicos:

– ao menos um;

– pelo menos um;

– existe;

– alguém.

Em teoria de conjuntos, significa que temos elementos que pertencem ao con-

junto A e não pertencem ao conjunto B, isto é, operação de diferença.




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Simbolicamente: ∃X (A(X) ∧ ¬B(X))

Obs.:� ∃x (A(x) ∧ ¬ B(x)) ⇔ ∃x (B(x) ∧ ¬A(x)) NÃO possui a propriedade comutativa.

Temos também duas relações importantes para entendermos como são

formadas as proposições categóricas.

A linguagem das proposições categóricas é de suma importância para entendermos

as inferências, deduções e negações que virão pela frente.

Considere-se que U seja o conjunto de todos os policiais, P(x) seja a propriedade “x

é um policial dedicado”, Q(x) seja a propriedade “x tem disposição para trabalhar”

e R(x) “x passa em concurso interno para promoção”. Desse modo, escreva na lin-

guagem da lógica formal, ou seja, simbolicamente.




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a) Todo policial dedicado passa em concurso interno para promoção.

∀x(P(x) → R(x))

b) Alguns policiais que têm disposição para trabalhar não são dedicados.

∃x(Q(x) ∧¬ P(x))

c) Nenhum policial dedicado é disposto para trabalhar.

¬∃x(P(x) ∧ Q(x))

d) Todo policial que tem disposição para trabalhar não passa em concurso interno

para promoção.

∀x(Q(x) → ¬R(x))

e) Existem policiais que passam em concurso interno para promoção que são dedi-

cados.

∃x(R(x) ∧ P(x))

f) Todos policiais que são dedicados e têm disposição para trabalhar, passam em

concurso interno para promoção.

∀x[(P(x) ∧ Q(x)) → R(x)]

21. (2008) Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de

interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F).

Se a sentença aberta for uma expressão da forma ∀x P(x), lida como “para todo x,

P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma proprie-

dade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja

possível fazer o julgamento como V ou F.

A partir das definições anteriores, julgue os itens a seguir.

Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a proprie-

dade “x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos




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de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na

lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm mais de

35 anos de idade.”

(i) ∀x (se Q(x) então P(x)).

(ii) ∀x (P(x) ou Q(x)).

(iii) ∀x (se P(x) então Q(x)).

Errado.

A proposição “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade” é um

quantificador Universal Afirmativo, em que temos a seguinte simbologia: ∀x ((P(x)

→ Q(x)) ou pode ser escrita ∀x (se P(x) então Q(x)).

Sendo assim, analisaremos os seguintes itens:

(i) ∀x (se Q(x), então P(x)): essa forma não simboliza corretamente a proposição,

pois o quantificador universal afirmativo não permite a propriedade comutativa.

(ii) ∀x (P(x) ou Q(x)): essa forma não simboliza corretamente a proposição, pois

o quantificador universal afirmativo não é uma união de conjuntos, mas sim uma

inclusão de conjuntos.

(iii) ∀x (se P(x), então Q(x)): essa forma está correta.

Logo, o item está errado, pois não temos duas formas que representam a proposi-

ção encontrada no enunciado.

22. (2008) Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de

interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F).

Se a sentença aberta for uma expressão da forma ∀x P(x), lida como “para todo x,




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P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma proprie-

dade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja

possível fazer o julgamento como V ou F.

A partir das definições anteriores, julgue os itens a seguir.

Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P (x) for a propriedade “x é

funcionário do INSS”, então é falsa a sentença ∀x P (x).

Certo.

Construindo um diagrama para representar a sentença correta, temos:

O elemento x pode pertencer ao conjunto P, o que pertence também ao conjunto

U, mas temos a possibilidade de o elemento x pertencer somente ao conjunto U, o

que torna a sentença falsa, uma vez que ser funcionário público não garante ser

funcionário do INSS. Logo, o item está certo.

23. (2008) Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja

a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade “x é desempregada”.

Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente

simbolizada por ¬∃x(M(x)∧D(x)).




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Certo.

A simbologia utilizada está correta, pois temos o quantificador universal negativo

¬∃x e as propriedades (proposições) M(x) “x é mulher” e D(x) a propriedade “x é

desempregada”.

24. (2008) A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os ho-

mens” pode ser corretamente simbolizada na forma ∃x (M (x) → G(x)).

Errado.

A simbologia utilizada está errada, uma vez que o correto seria: ¬ ∃x (M(x) ∧ G(x)).

25. (2008) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (∀x) (x ∈ R)(

∃y)(y ∈ R)(x + y = x) é valorada como V.

Certo.

Nesse item, é importante saber interpretar a simbologia para que se possa julgar

corretamente o item. Logo, vou explicitar o significado da proposição (∀x) (x ∈ R)

( ∃y)(y ∈ R)(x + y = x):

Para todo x, pertencente ao conjunto dos números reais, existe um y também per-

tencente ao conjunto dos números reais, em que x somado com y será igual ao

próprio x. Temos uma soma em que x + y = x, ou seja, podemos inferir que y é

o elemento neutro da adição (o número zero), pois, para qualquer x, existe um y

igual a 0 que, se somarmos: x + y (0) = x. Essa proposição realmente é verdadeira,

pois qualquer valor real somado com o número zero será o próprio zero.




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Aplicação dos Quantificadores Lógicos

Vamos realizar algumas inferências utilizando os diagramas lógicos, OK?

26. (PC-ES/2010) Um argumento constituído por uma sequência de três proposi-

ções – P1, P2 e P3, em que P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão – é con-

siderado válido se, a partir das premissas P1 e P2, assumidas como verdadeiras,

obtém-se a conclusão P3, também verdadeira por consequência lógica das premis-

sas. A respeito das formas válidas de argumentos, julgue a seguir.

Considere a seguinte sequência de proposições

P1 – Existem policiais que são médicos.

P2 – Nenhum policial é infalível.

P3 – Nenhum médico é infalível.

Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e con-

clusão P3 é válido.

Errado.

Dadas as proposições categóricas P1, P2 e P3, temos os seguintes diagramas que

as representam:




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P: Policiais.

M: Médicos.

I: Infalível.

Segundo os diagramas acima, podemos inferir que P3 não é uma consequência das

premissas P1 e P2; logo, o argumento não é válido.

O conjunto infalível pode ficar nas posições pontilhadas, o que não garante a ver-

dade da conclusão.

27. (PC-ES/2010) Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respec-

tivamente, por “Todos os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos” e a

sua conclusão P3 for dada por “Existem gatos que são leões”, então essa sequência

de proposições constituirá um argumento válido.

Errado.

Temos os diagramas abaixo que representam as proposições do argumento e verifi-

camos que P3 pode ser verdadeira ou não. Logo, o argumento não pode ser válido.




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28. (2008) Considere as seguintes proposições:

I – Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.

II – Joaquina não tem garantido o direito de herança.

III – Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.

Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logica-

mente que

a) Joaquina não é cidadã brasileira.

b) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.

c) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.

Letra a.

Pelas premissas, podemos construir o diagrama acima.

Pela premissa I, temos a inclusão de dois conjuntos. Todo cidadão brasileiro tem

garantido o direito de herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia

de direito de herança.

Pela premissa II, temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “Garantia de

direito de herança”, podendo, assim, ficar nas duas posições indicadas no diagrama.

Pela premissa III, temos que o conjunto cidadãos de muita sorte pode possuir ou

não Joaquina.




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RACIOCÍNIO LÓGICO




Julgando os itens.

a) Certo. Joaquina não pertence ao conjunto: Cidadão brasileiro.

b) Errado. Comutou o quantificador universal afirmativo, em que o mesmo não

aceita tal propriedade.

c) Errado. Pelo diagrama, podemos inferir que Joaquina não é uma cidadã brasi-

leira, porém pode ser ou não uma cidadã de muita sorte.

29. (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:

a) algum administrador é matemático.

b) todo administrador é matemático.

c) nenhum administrador é matemático.

d) algum administrador não é matemático.

e) todo administrador não é matemático.

Letra d.

Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógi-

cos (utilizando as tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão

verdadeira, analisaremos as premissas formadas com os quantificadores lógicos.

Cada premissa será representada pelo seu diagrama lógico, sendo cada um deles

verdadeiro para que tenhamos uma conclusão verdadeira.

O que analisar?

Vamos construir os diagramas para cada premissa:

P1: Nenhum matemático é aluno. (Não há nada em comum)




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P2: Algum administrador é aluno (pelo menos um {x}. Conjunto unitário)

Relacionando as duas premissas (diagramas lógicos), temos:

A conclusão será fruto da relação entre as premissas, sendo que essa deverá ser

uma nova proposição, consequência de uma certeza. Não podemos concluir o que

não temos certeza, e é dessa forma que a resposta da questão será: algum admi-

nistrador não é matemático.




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30. (ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se

não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora não há filósofo e não há poeta que

não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:

a) todo responsável é artista.

b) todo responsável é filósofo ou poeta.

c) todo artista é responsável.

d) algum filósofo é poeta.

e) algum trabalhador é filósofo.

Letra c.

De acordo com o enunciado da questão, um artista só pode ser trabalhador, filóso-

fo ou poeta, ou seja, são conjuntos disjuntos. Assim, os respectivos conjuntos (T,

F e P) interceptam o conjunto dos artistas sem deixar vazios e sem superposição,




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porque um artista não pode ser mais de um desses ao mesmo tempo. O enunciado

também diz que trabalhador, filósofo e poeta são responsáveis. Denominando R o

conjunto dos responsáveis, tem-se:

T ⊂ R

F ⊂ R

P ⊂ R

Ou seja, T, F e P são subconjuntos de R.

Analisando as respostas, temos:

c) Certo. Todo artista é responsável. T, F e P são subconjuntos de R e o artista só

pode ser um deles.

a) Errado. Todo responsável é artista: não necessariamente, porque o quantifi-

cador Universal afirmativo não aceita a propriedade comutativa, uma vez que há

elementos que são responsáveis que não trabalhadores.

b) Errado. Todo responsável é filósofo ou poeta: não. Pode ser trabalhador.

d) Errado. Algum filósofo é poeta: pode ser ou não. Os conjuntos F e P podem ter

interseção, embora não indicado na figura.

e) Errado. Algum trabalhador é filósofo: pode ser ou não, de forma similar ao item

anterior.

Negação dos Quantificadores Lógicos

Negação das Proposições Categóricas

Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo

predicado serão sempre opostas quando negarmos pela contradição, ou seja, pro-

posições contraditórias: cada uma delas é a negação lógica da outra (A – O e E – I).




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Para um melhor entendimento, iremos apresentar o quadrado dos opostos ex-

plicando detalhadamente para que você aprenda definitivamente essas negações,

que, por sinal, é muito fácil. Vamos lá!

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas

no quadro seguinte:

Proposições Afirmativas Proposições Negativas

Proposições Universais (A) todo “A” é “B”(E) nenhum “A” é “B”

Todo “A” não é “B”

Proposições Particulares (I) algum “A” é “B”(O) algum “A” não é “B”

Nem todo “A” é “B”

Entre parênteses, estão as vogais que representam quantificação.

Para realizar as negações, é só seguir as setas.




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NEGAÇÃO UTILIZADA EM CONCURSOS PÚBLICOS:

Respondendo, temos que a negação será pela contraditória, ou seja, temos que

negar as duas relações que formam uma proposição categórica, isto é, negamos a

quantidade (o “todo” vira “algum”, ou vice-versa) e negamos também a qualidade

(A é B, vira A, não é B, ou vice-versa).

31. (CESPE/2008) Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado

culpado ou condenado sem julgamento.” Julgue o item a seguir, acerca dessa pro-

posição.

A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julga-

mento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.

Certo.

A negação da proposição “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem

julgamento” será pela negação contraditória “Existe alguém que será considerado

culpado ou condenado sem julgamento”, uma vez que nega quantidade e qualidade.

32. (CESPE/2008) Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado

culpado ou condenado sem julgamento.” Julgue o item a seguir, acerca dessa

proposição.

“Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma

proposição logicamente equivalente à negação da proposição anterior.




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Certo.

Tomando como base o item anterior, podemos concluir que “Todos serão consi-

derados culpados e condenados sem julgamento” não é a negação da proposição

proposta pela questão.

33. (CESPE/2008) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.

A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui

são brasilienses”.

Errado.

A proposição “Ninguém aqui é brasiliense” trata-se de quantificador universal nega-

tivo. Se quisermos, a negação torna-se viável ao negarmos pela contraditória, uma

vez que temos a certeza de que será por quantidade e qualidade. Logo, a negação

será: “Alguém aqui é brasiliense”.

34. (2016/COPERVE) A negação da proposição “Ninguém aqui é argentino” é a

proposição:

a) nenhum aqui é argentino.

b) estes aqui são argentinos.

c) alguém aqui é argentino.

d) todos aqui são argentinos.

e) nenhuma das opções anteriores.




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Letra c.

Temos que a negação de “nenhum A é B” será “algum A é B”, conforme a dica apre-

sentada. Dessa forma, a negação de “Ninguém aqui é argentino” será “alguém aqui

é argentino”.

35. (2016) A negação de “Todos os alunos vão gabaritar a prova de matemática” é

a) “Todos os alunos não vão gabaritar a prova de matemática”.

b) “Nenhum aluno vai gabaritar a prova de matemática”.

c) “Existe apenas um aluno que não vai gabaritar a prova de matemática”.

d) “Existe apenas um aluno que vai gabaritar a prova de matemática”.

e) “Existem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”.

Letra e.

Temos que a negação de “Todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica

apresentada. Dessa forma, a negação de “Todos os alunos vão gabaritar a prova de

matemática” será “Existem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”.

36. (2016) A negação de “Todas as pessoas gostam de ler livros de aventura” é

a) “Existem pessoas que não gostam de ler livros de aventura”.

b) “Nenhuma pessoa gosta de ler livros de aventura”.

c) “Todas as pessoas não gostam de ler livros de aventura”.

d) “Existe apenas uma pessoa que não gosta de ler livros de aventura”.

e) “Existe apenas uma pessoa que gosta de ler livros de aventura”.




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Letra a.

Temos que a negação de “Todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica

apresentada. Dessa forma, a negação de “Todas as pessoas gostam de ler livros de

aventura” será “Existem pessoas que não gostam de ler livros de aventura”.

37. (2016) Do ponto de vista da lógica, a negação da frase “alguns dos meus ir-

mãos não vão ao cinema nos sábados à tarde” é

a) excetuando um dos meus irmãos, os demais vão ao cinema nos sábados à tarde.

b) alguns dos meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.

c) todos os meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde.

d) todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.

e) somente um dos meus irmãos não vai ao cinema nos sábados à tarde.

Letra d.

Temos que a negação de “algum A não é B” será “Todo A é B”, conforme a dica apre-

sentada. Dessa forma, a negação de “alguns dos meus irmãos não vão ao cinema

nos sábados à tarde” é “todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde”.

38. (2016) A negação da sentença “algum empregado está em situação irregular” é:

a) todos os empregados estão em situação irregular.

b) nenhum empregado está em situação irregular.

c) nem todos os empregados não estão em situação irregular.

d) algum empregado não está em situação irregular.

e) existe pelo menos um empregado em situação irregular.




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Letra b.

Temos que a negação de “algum A é B” será “Nenhum A é B”, conforme a dica

apresentada.

Dessa forma, a negação de “algum empregado está em situação irregular” é “ne-

nhum empregado está em situação irregular”.

39. (DEPEN/2013) A negação da proposição “Todos os detentos considerados pe-

rigosos são revistados diariamente” é equivalente à pro posição “Nenhum detento

perigoso é revistado diariamente”.

Errado.

A negação da proposição universal afirmativa é dada pelo particular negativo, em

que devemos negar a quantidade e a qualidade. Logo, a nega ção será “Alguns de-

tentos considerados perigosos não são revistados dia riamente”.

40. (2016) Qual é a negação da frase “Todas as pessoas gostam de assistir televisão”?

a) Existem pessoas que não gostam de assistir televisão.

b) Existe apenas uma pessoa que não gosta de assistir televisão.

c) Existe apenas uma pessoa que gosta de assistir televisão.

d) Nenhuma pessoa gosta de assistir televisão.

e) Nenhuma pessoa assiste televisão.




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Letra a.

Temos que a negação de “todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica

apresentada.

Dessa forma, a negação de “Todas as pessoas gostam de assistir televisão” é “exis-

tem pessoas que não gostam de assistir televisão.”




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QUESTÕES DE CONCURSO

1. (2015/VUNESP) Se corro e pedalo aos domingos, então será feriado na segun-

da-feira seguinte. Uma conclusão lógica dessa condicional é:

a) se não corro aos domingos, então também não pedalo.

b) se hoje é feriado, então ontem corri e pedalei.

c) se corro e pedalo, então é feriado no dia seguinte.

d) se hoje não corri e não pedalei, então hoje não é domingo.

e) se uma segunda-feira não é feriado, então não corri ou não pedalei no dia anterior.

2. (2015/VUNESP) Zeca, Pedro, Daniela e Isabel seguem rigorosamente os seguin-

tes hábitos:

I – Se Pedro vai ao teatro, então Isabel estuda.

II – Se Zeca estuda, então Daniela limpa a casa.

III – Se chove, Isabel não estuda.

IV – Aos domingos, Isabel estuda ou Zeca estuda.

Sabe-se, com certeza, que, neste último domingo, choveu. Pode-se concluir corre-

tamente que

a) Daniela limpou a casa, e Pedro não foi ao teatro.

b) Zeca estudou, e Pedro foi ao teatro.

c) Daniela não limpou a casa, e Zeca não estudou.

d) Daniela não limpou a casa, e Pedro não foi ao teatro.

e) Pedro foi ao teatro, e Zeca não estudou.

3. (2015/VUNESP) Se todo estudante de uma disciplina A é também estudante de

uma disciplina B e todo estudante de uma disciplina C não é estudante da disciplina

B, então é verdade que




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a) algum estudante da disciplina A é estudante da disciplina C.

b) algum estudante da disciplina B é estudante da disciplina C.

c) nenhum estudante da disciplina A é estudante da disciplina C.

d) nenhum estudante da disciplina B é estudante da disciplina A.

e) nenhum estudante da disciplina A é estudante da disciplina B.

4. (2015/VUNESP) Se Márcio é dentista, então Rose não é enfermeira. Débora não

é médica ou Marcelo não é professor. Identificado que Marcelo é professor e que

Rose é enfermeira, conclui-se corretamente que

a) Débora não é médica e Márcio não é dentista

b) Débora é médica e Márcio é dentista.

c) Débora é médica e Márcio não é dentista.

d) Débora não é médica e Márcio é dentista

e) Se Débora não é médica, então Márcio é dentista

5. (2015/VUNESP) Considere as afirmações a seguir.

I – Se Célia é assistente, então Dalva é escrivã.

II – Aline é juíza ou Dalva é escrivã.

Sabe-se que a afirmação (I) é verdadeira e a afirmação (II) é falsa. Sendo assim,

é possível concluir, corretamente, que

a) Aline é juíza ou Dalva não é escrivã.

b) Célia é assistente e Dalva é escrivã.

c) Se Célia não é assistente, então Aline é juíza.

d) Aline é juíza ou Célia é assistente.

e) Ou Aline não é juíza ou Célia não é assistente.




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6. (2015/VUNESP) Se Cláudio é auxiliar de fiscalização, então Adalberto é dentista.

Mário é bibliotecário ou Adalberto é dentista. Se Adalberto não for dentista, então

é verdade que

a) Cláudio será auxiliar de fiscalização ou Mário não será bibliotecário.

b) Cláudio será auxiliar de fiscalização e Mário não será bibliotecário

c) Cláudio não será auxiliar de fiscalização e Mário não será bibliotecário.

d) Cláudio será auxiliar de fiscalização e Mário será bibliotecário.

e) Cláudio não será auxiliar de fiscalização e Mário será bibliotecário.

7. (2015/VUNESP) Se Cláudio é auxiliar de fiscalização, então Adalberto é dentista.

Mário é bibliotecário ou Adalberto é dentista. Se Adalberto não for dentista, então

é verdade que

a) Cláudio será auxiliar de fiscalização ou Mário não será bibliotecário.

b) Cláudio será auxiliar de fiscalização e Mário não será bibliotecário

c) Cláudio não será auxiliar de fiscalização e Mário não será bibliotecário.

d) Cláudio será auxiliar de fiscalização e Mário será bibliotecário.

e) Cláudio não será auxiliar de fiscalização e Mário será bibliotecário.

8. (2015/VUNESP) Considere verdadeiras as quatro afirmações seguintes:

I – Ou Luíza é médica ou Márcia é advogada.

II – Carlos não é dentista e Luiz é engenheiro.

III – Se Carlos é dentista, então Márcia não é advogada.

IV – Luíza não é médica.

A partir dessas afirmações, pode-se concluir corretamente que

a) Luiz é engenheiro e Carlos é dentista.

b) Márcia é advogada e Luiz é engenheiro.




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c) nem Luíza é médica nem Luiz é engenheiro.

d) Luíza não é médica, mas é dentista.

e) Carlos é dentista ou Márcia não é advogada.

9. (2015/VUNESP) Considere verdadeiras as premissas I, II e III.

I – Se Cláudio é médico, então Ana é advogada.

II – Se Marcelo é professor, então Débora é dentista.

III – Ana não é advogada ou Débora não é dentista.

A alternativa que contém uma conclusão que pode ser associada às premissas

apresentadas, de modo a constituir um argumento válido, é:

a) Marcelo não é professor.

b) Cláudio é médico e Débora não é dentista.

c) Marcelo é professor e Ana é advogada.

d) Cláudio não é médico ou Marcelo não é professor.

e) Cláudio é médico e Marcelo é professor.

10. (2015/VUNESP) João e Maria são músicos e viajam frequentemente para tocar

com a orquestra de que fazem parte.

Assinale a alternativa que apresenta a negação da proposição “João e Maria vão

viajar no fim de semana”.

a) João não vai viajar com a orquestra na terça-feira.

b) João e Maria certamente vão viajar na terça-feira.

c) Maria e a orquestra vão viajar durante a semana.

d) João e Maria vão viajar apenas no domingo.

e) João e Maria não vão viajar no fim de semana.




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GABARITO

1. e

2. a

3. c

4. a

5. a

6. e

7. e

8. b

9. d

10. e




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Resposta do Desafio

Porta A: “Eu sou a porta de saída”.

Porta B: “A porta de saída é a porta C”.

Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira”.

Porta D: “Se eu sou a porta de saída, então a porta de saída não é a porta E”.

Porta E: “Eu não sou a porta de saída”.

Sabe-se que, dessas cinco sentenças, há uma única verdadeira e que há somente

uma porta de saída. A porta de saída é a porta

Conforme o enunciado, temos que apenas uma sentença é verdadeira; logo, tenho

uma estratégia bem interessante. Se observarmos a sentença escrita na porta D,

que é uma condicional, sabemos que existe apenas uma possibilidade para que

uma proposição condicional seja falsa, que é, o antecedente verdadeiro e o conse-

quente falso. Logo, vamos tentar essa possibilidade; se der certo, damos continui-

dade; porém, se não der certo, a sentença escrita na porta D é verdadeira e conse-

quentemente as demais são falsas, conforme o comando da questão.

Vamos lá!

1ª POSSIBILIDADE: A SENTENÇA DA PORTA D SER FALSA

Porta D: Eu sou a porta de saída (V) → a porta de saída não é a porta E (F) = F

Podemos inferir que, segundo os valores dados, as proposições (antecedente e

consequente) “Eu sou a porta de saída (V)” e “a porta de saída não é a porta E

(F)”, teremos um problema, pois teremos 2 portas de saída: a porta D e a porta

E. Isso, pois, quando se fala que “a porta de saída não é a E” é falsa, deparamo-

-nos com uma dupla negação, que, do ponto de vista lógico, temos uma afirmação.




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Assim, a sentença da porta D não pode ser falsa; logo, será verdadeira. Acabamos

de encontrar a única sentença verdadeira da questão, sendo as outras obrigatoria-

mente falsas.

2ª POSSIBILIDADE: A SENTENÇA SER VERDADEIRA

Porta A: “Eu sou a porta de saída”. = F

Porta B: “A porta de saída é a porta C”. = F

Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira”. = F

Porta D: “Se eu sou a porta de saída (F), então a porta de saída não é a

porta E (F)”. = V

Porta E: “Eu não sou a porta de saída”. = F

Conforme as valorações das sentenças em cada porta, podemos inferir que, pela

sentença da porta E, que é uma dupla negação – pois é falso que ela não é a porta

de saída–, ela é a porta de saída.

Resposta: letra E.




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