Texto de Apoio Pavimentaes

Em Matemtica, chama-se pavimentao a uma composio de figuras planas que cobre todo o plano, sem que as figuras se sobreponham ou deixem espaos vazios. Definies

Uma pavimentao diz-se monodrica ou pura se for constituda pela repetio de uma nica figura.

Qualquer ponto que resulte da interseco de trs ou mais figuras diz-se vrtice da pavimentao.

Qualquer arco, linha poligonal ou segmento de recta que resulte da interseco de duas figuras diz-se uma aresta da pavimentao.

Pavimentaes Regulares As pavimentaes monodricas compostas por polgonos regulares congruentes que so convergentes no mesmo vrtice dizem-se pavimentaes regulares. Nota: os vrtices da pavimentao no ocorrem em lados do polgono. Existem apenas trs tipos de pavimentaes regulares: com tringulos equilteros, com quadrados e com hexgonos regulares. Pavimentaes semirregulares ou arquimedianas. As pavimentaes semirregulares ou arquimedianas so pavimentaes formadas por dois ou mais tipos de polgonos regulares, com o mesmo arranjo em cada vrtice. Na figura ao lado, em torno de qualquer vrtice existem sempre dois hexgonos e dois tringulos.

Escola Profissional de Recuperao do Patrimnio

Professora Ana Colao

MATEMTICA - MDULO B6

ANO LETIVO 2014/2015

Pavimentaes demirregulares Tal como as pavimentaes semirregulares, as pavimentaes demirregulares so pavimentaes formadas por dois ou mais tipos de polgonos regulares. Contudo, nestas os vrtices no tm todos o mesmo arranjo. Repara nos vrtices A e B da figura ao lado. Cada um dos vrtices da pavimentao pode ser classificado tendo em conta a sua configurao. Para tal, basta contabilizar o nmero de lados dos polgonos concorrentes nesse vrtice, comeando no polgono com o menor nmero de lados e rodando no sentido negativo (sentido dos ponteiros do relgio), obtendo assim um cdigo. Exemplo

Vrtice A 3; 6; 3; 6

Vrtice B 3; 3; 6; 6

Pavimentaes Irregulares

Uma pavimentao irregular uma pavimentao que

no regular, nem semirregular, nem demirregular.

Uma pavimentao diz-se regul(geometricamente iguais). Nota: Os vrtices da pavimentao no ocorrem em lasituaes como a descrita abaixo

Para que um polgono regular pavimente o plano, a soma das amplitudes dos ngulos internos

em torno de cada vrtice deve ser igual a 360Assim, como os polgonos devem ser congruentes sejam , s se conseguir pavimentar com os p

interno seja divisor de 360. Tem-se que:

Polgono Regular

Nmero de Lados

Tringulo Equiltero

3 180

Quadrado 4 180

Pentgono Regular

5 180

Hexgono Regular

6 180

Texto de Apoio Pavimentaes Regulares

se regular se e s se for formada por polgonos regular

Os vrtices da pavimentao no ocorrem em lados do polgono, ou seja, no ocorrem situaes como a descrita abaixo

gular pavimente o plano, a soma das amplitudes dos ngulos internos

deve ser igual a 360. Assim, como os polgonos devem ser congruentes o que implica que os ngulos tambm

, s se conseguir pavimentar com os polgonos regulares cuja amplitude do ngulo

Amplitude do ngulo Interno

Nmero de Polgonos

por Vrtice

Concluso

180 360

3 60

360

60 6

possvel conpavimentao regular com tringulos equilteros, concorrendo 6 tringulos por vrtice.

180 360

4 90

360

90 4

possvel conpavimentao regular com concorrendopor vrtice.

180 360

5 108

360

108 3,33

No possvel conuma regular com regulares.

180 360

6 120

360

120 3

possvel conpavimentao regular com hexgonos regularesconcorrendo por vrtice.

regulares congruentes

ono, ou seja, no ocorrem

gular pavimente o plano, a soma das amplitudes dos ngulos internos

que implica que os ngulos tambm olgonos regulares cuja amplitude do ngulo

Concluso

possvel construir uma pavimentao regular com tringulos equilteros, concorrendo 6 tringulos por vrtice.

possvel construir uma pavimentao regular

quadrados, concorrendo 4 quadrados por vrtice.

possvel construir pavimentao

regular com pentgonos .

possvel construir uma pavimentao regular

hexgonos regulares, concorrendo 3 hexgonos por vrtice.

Heptgono Regular

7 180

360

7=

= 128, (571428)

2,8 No possvel construir uma pavimentao regular com heptgonos regulares.

Octgono Regular

8 180

360

8= 135

360

135 2,67

No possvel construir uma pavimentao regular com octgonos regulares.

Pode-se constatar que apenas com tringulos equilteros, quadrados e hexgonos se podem construir pavimentaes regulares. Alis, embora no se tenha testado polgonos de mais lados, percebe-se que a hiptese restante seria pavimentar com dois polgonos concorrendo por vrtice. Esta situao impossvel, pois determinaria, entre outras coisas, que a amplitude do ngulo interno de tal

polgono fosse igual a 180 Assim sendo, s existem trs pavimentaes regulares:

Com Tringulos Equilteros

Com Quadrados

Com Hexgonos Regulares

Procurando visualizar o porqu de no ser possvel pavimentar exclusivamente com pentgonos regulares, tem-se:

Ou seja, ao juntar trs pentgonos regulares num vrtice, constata-se que falta preencher um

espao com 36 de amplitude. Ora, como a amplitude do ngulo interno do pentgono regular

igual a 108, no possvel l colocar um quarto pentgono. Observa-se, tambm, que

108 + 108 + 108 = 324 < 360

Pavimentaes Semirregulares

regulares e em que os vrtices da pavimentao so todos do mesmo tipo.

Existem oito pavimentaes semirregulares

Um Tringulo, dois Quadrados e um Hexgono (3; 4; 6; 4)

Quatro Tringulos e um Hex

Dois Hexgonos e dois Tringulos (3; 6; 3; 6)

Trs Tringulos e dois Quadrados (3; 3; 3; 4; 4)

Trs Tringulos e dois Quadrados (3; 3; 4; 3; 4)

Texto de Apoio

Pavimentaes Semirregulares.

Pavimentaes Semirregulares so pavimentaes formadas por dois ou mais polgonos

regulares e em que os vrtices da pavimentao so todos do mesmo tipo.

Existem oito pavimentaes semirregulares

Um Tringulo, dois Quadrados e um Hexgono (3; 4; 6; 4)

Quatro Tringulos e um Hexgono (3; 3; 3; 3; 6)

Dois Hexgonos e dois Tringulos (3; 6; 3; 6)

Trs Tringulos e dois Quadrados (3; 3; 3; 4; 4)

Trs Tringulos e dois Quadrados (3; 3; 4; 3; 4)

so pavimentaes formadas por dois ou mais polgonos

Dois Octgonos e um Quadrado (4; 8; 8)

Um Quadrado, um Hexgono e um Dodecgono (4; 6; 12)

Dois Dodecgonos e um Tringulo (3; 12; 12)