outros - estatistica geral e aplicada - manual

7/29/2019 OUTROS - Estatistica Geral e Aplicada - Manual

1/104

GILBERTO DE ANDRADE MARTINS

ESTATSTICA GERAL E APLICADA

MANUAL DO PROFESSOR

MATERIAL DE SITE

SO PAULOEDITORA ATLAS S.A. 2005


2/104

SUMRIO

2 Estatstica Descritiva

3 Probabilidades

4 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Discretas

5 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Contnuas

6 Distribuies Amostrais

7 Inferncia Estatstica: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiana

8 Amostragem

9 Inferncia Estatstica

10 Anlise da Varincia: Anova

11 Teste Qui-Quadrado e Outras Provas No-Paramtricas

12 Correlaes entre Variveis

13 Regresso Linear Simples

14 Regresso Linear Mltipla


3/104

Captulo 2 Estatstica Descritiva 1

Solues e Respostas

Captulo 2 Estatstica Descritiva

SRIE I

2.1

Oceano Antrtico rtico Atlntico ndico Pacfico

rea (milheskm2)

36,8 23,2 199,4 137,9 342,7

rea dos Oceanos (em colunas)

050

100150200250

300350400

Antrtico rtico Atlntico ndico Pacfico

Oceano

rea(milhe

skm

2)

rea dos Oceanos (em barras)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Antrtico

rtico

Atlntico

ndico

Pacfico

Oceanos

rea (milhes km2)

rea dos Oceanos (em pizza)

3%

27%

19%

46%

5%

Antrtico

rtico

Atlntico

ndico

Pacfico


4/104


2.2

Natureza Valor

Dvida externa lquida 111.631

Governo federal e Bacen 248.292Governos estaduais e municipais 167.850

Empresas estatais 13.324

Dvida lquida total do setor pblico de maio de 2000 (em colunas)

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

Dvida externalquida

Governo federal eBacen

Governos estaduaise municipais

Empresas estatais

Natureza

Valorem$

Dvida lquida total do setor pblico de maio de 2000 (em barras)

0 50.000 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000

Dvida externa lquida

Governo federal eBacen

Governos estaduais emunicipais

Empresas estatais

Natureza

Valor em $

Dvida lquida total do setor pblico de maio de 2000 (em pizza)

21%

46%

31%

2%

Dvida externa lquida

Governo federal e Bacen

Governos estaduais emunicipais

Empresas estatais


5/104


2.3

a) Amplitude: r = 97 33 = 64No de intervalos: k 1 + 3,22 * log50 7Tamanho do intervalo: h 64 / 7 10

Classe Intervalos Fi fi % Fac fac %ac xi

1 30 40 4 0,08 8 4 0,08 8 35

2 40 50 6 0,12 12 10 0,20 20 45

3 50 60 8 0,16 16 18 0,36 36 55

4 60 70 13 0,26 26 31 0,62 62 65

5 70 80 9 0,18 18 40 0,80 80 75

6 80 90 7 0,14 14 47 0,94 94 85

7 90 100 3 0,06 6 50 1,00 100 95

Somas 50 1 100

b)Histograma de Freqncia Absoluta

0

2

4

6

8

10

12

14

30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100

Intervalos de Classes

Fi

Histograma de Freqncia Relativa

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100


fi

c) 60 70.

d) 19 alunos.

e) x1 = 35.


6/104


2.4

a) Amplitude: r = 190 151 = 39

b) No de intervalos: k 1 + 3,22 * log100 8

c) Tamanho do intervalo: h 39 / 8 5

d) e e)

Classe Intervalos Fi fi % Fac fac %ac xi

1 151 156 4 0,04 4 4 0,04 4 153,5

2 156 161 4 0,04 4 8 0,08 8 158,5

3 161 166 11 0,11 11 19 0,19 19 163,5

4 166 171 33 0,33 33 52 0,52 52 168,5

5 171 176 17 0,17 17 69 0,69 69 173,5

6 176 181 17 0,17 17 86 0,86 86 178,5

7 181 186 9 0,09 9 95 0,95 95 183,5

8 186 191 5 0,05 5 100 1,00 100 188,5 100 1 100

f)

Histograma de Freqncia Absoluta

0

5

10

15

20

25

30

35

151

156

156

161

161

166

166

171

171

176

176

181

181

186

186

191


Fi

Histograma de Freqncia Relativa

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

151

156

156

161

161

166

166

171

171

176

176

181

181

186

186

191


fi

g) A menor altura 1,51 m, enquanto a maior altura atinge 1,90 m. Entre 1,66 m e 1,70 m, en-contram-se 33% do total. A quantidade de pessoas altas maior do que a proporo de pes-soas com estaturas mais baixas 48% = 17% + 17% + 9% + 5% (tm alturas superiores a 1,70

m), enquanto 19% = 11% + 4% + 4% possuem alturas inferiores a 1,65m.


7/104


SRIE II

2.6

xmdia = notas / no de notas = 35,5 / 7 = 5,07, ou seja, aluno APROVADO.

2.7

xmdia = defeitos / no de computadores = (15 * 0 + ... + 6 * 6) / 100 = 2,21

2.8

a) xmdia = ( xi *Fi) / n = (3 * 2 + ...+ 12 * 3) / 22 = 6,82

b) xmdia = ( xi *Fi) / n = (10 * 5 + ... + 13 * 6) / 29 = 11,59

c) xmdia = ( xi *Fi) / n = (2 * 3 + ... + 6 * 3) / 28 = 4

d) xmdia = ( xi *fi) = (7 * 1/16 + ... + 11 * 5/16) = 9,03

e) xmdia = ( xi *Fi) / n = (85 * 5 + ... + 90 * 5) / 24 = 87,88

f) xmdia = ( xi *Fi) / n = (5 * 18 + ... + 17 * 12) / 175 = $ 1.061,00

2.9

Mdia aritmtica dos dados no agrupados = observaes / n = 3230 / 50 = 64,60.Mdia aritmtica dos dados agrupados= ( xi *Fi) / n = (4 * 35 + ... + 3 * 95) / 50 = 65.Diferena: 64,60 65 = 0,4.

2.10

Mdia aritmtica dos dados no agrupados = observaes / n = 17138 / 100 = 171,38.Mdia aritmtica dos dados agrupados = ( xi *Fi) / n = (4 * 153,5 + ... + 5 * 188,5) / 100 =171,85.Diferena: 171,38 171,85 = 0,47 m.


8/104


SRIE III

2.12

I) xmediana (n mpar ) = 4

II) xmediana (n par) = 5

III) xmediana (n mpar) = 8

IV) xmediana (n par) = 87

2.13

I) xmediana (n par ) = 4

II) xmediana (n mpar) = 77

III) xmediana (n par) = 13

IV) xmediana (n mpar) = 235

2.14

I) n / 2 = 29 / 2 = 14,5xmediana = lMd + [(n / 2 f) * h] / FMd = 5 + [(14,5 8) * 2] / 8 = 6,63

II) n / 2 = 93 / 2 = 46,5xmediana = lMd + [(n / 2 f) * h] / FMd = 28 + [(46,5 43) * 3] / 30 = 28,35

2.15

I) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 7

II) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 43

2.16

I) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 80

II) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 3,5

2.17

I) Maior nmero de observaes iguais 13 16Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 13 + [5 / (5 + 5)] * 3 = 14,5

II) Maior nmero de observaes iguais 20 30Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 20 + [5 / (5 + 3)] * 10 = 26,25


9/104


2.18

I) i * n / 10 = 6 * 35 / 10 = 21Di = lDi + [(i * n / 10 f) * h] / FDi = 8 + [(21 15) * 2] / 15 = 8,08, ou seja, 60% dos valoresda amostra esto abaixo do valor 8,08i * n / 100 = 65 * 35 / 100 = 22,75

Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 8 + [(22,75 15) * 2] / 15 = 9,03, ou seja, 65% dosvalores da amostra esto abaixo do valor 9,03i * n / 4 = 35 / 4 = 8,70Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 6 + [(8,70 4) * 2] / 11 = 6,86, ou seja, 25% dos valoresda amostra esto abaixo do valor 6,86

II) i * n / 10 = 2 * 24 / 10 = 4,8 Di = lDi + [(i * n / 10 f) * h] / FDi = 30 + [(4,8 3) * 10] / 5 = 33,6, ou seja, 20% dos valoresda amostra esto abaixo do valor 33,6i * n / 100 = 43 * 24 / 100 = 10,32 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 40 + [(10,32 8) * 10] / 10 = 42,32, ou seja, 43% dosvalores da amostra esto abaixo do valor 42,32i * n / 4 = 3 * 24 / 4 = 18

Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 40 + [(18 8) * 10] / 10 = 50, ou seja, 75% dos valores daamostra esto abaixo do valor 50

2.19

a) xmdia = ( xi *Fi) / n = (0 * 20 + ...+ 4 * 3) / 53 = 1,17 acidentes por dia

b) xmediana (n mpar ) = 1

c) Maior nmero de observaes iguais, Mo = 0

d) P% = (10 + 5 + 3) / 53 = 34%

2.20

a)

Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fi 1 1 5 6 3 2 3 2 0 1

b) xmdia = ( xi *Fi) / n = (1 * 1 + ...+ 10 * 1) / 24 = 4,83xmediana (n par ) = 4Maior nmero de observaes iguais, Mo = 4

2.21

a) xmdia = ( xi .Fi) / n = (12 * 15 + ...+ 40 * 5) / 163 = 22,99 anos

b) n / 2 = 163 / 2 = 81,50, ou seja, no intervalo 18 22Xmediana = lXmed + [(n / 2 f) * h] / FXmrd = 18 + [(81,50 43) * 4] / 40 = 21,85 anos

c) Maior nmero de observaes iguais 18 22Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 18 + [12 / (12 + 10)] * 4 = 20,18 anos a idade maisfreqente da amostra

d) i * n / 10 = 3 * 163 / 10 = 48,90


10/104


Di = lDi + [(i * n / 10 f) * h] / FDi = 18 + [(48,90 43) * 4] / 40 = 18,59, ou seja, 30% daspessoas deste grupo tm idade inferior a 18,59

e) i * n / 4 = 163 / 4 = 40,75Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 14 + [(40,75 15) * 4] / 28 = 17,58

f) i * n / 100 = 80 * 163 / 100 = 130,40 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 26 + [(130,40 113) * 4] / 20 = 29,48, ou seja, 20% daspessoas deste grupo tm idade superior a 29,48

2.22

a) Amplitude: r = 98 33 = 65

b) No de intervalos: k 1 + 3,22 * log50 7

c) Tamanho do intervalo: h 65 / 7 10

d) e) f) g) e h)Classe Intervalos Fi fi XI Fac

1 30 40 4 0,08 35 4

2 40 50 6 0,12 45 10

3 50 60 8 0,16 55 18

4 60 70 12 0,24 65 30

5 70 80 9 0,18 75 39

6 80 90 7 0,14 85 46

7 90 100 4 0,08 95 50

50 1

i)Histograma de Freqncia Absoluta

0

2

4

6

8

10

12

14

30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100


Fi

j) xmdia = ( xi .Fi) / n = (35 * 4 + ...+ 95 * 4) / 50 = 65,60

l) Maior nmero de observaes iguais 60 70Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 60 + [4 / (4 + 3)] * 10 = 65,71

m) n / 2 = 50 / 2 = 25, ou seja, no intervalo 60 70Xmediana = lXmdia + [(n / 2 f) * h] / FXmrd = 60 + [(25 18) * 10] / 12 = 65,38, ou seja, 50%das notas deste grupo esto abaixo de 65,38


11/104


n) i * n / 4 = 50 / 4 = 12,50Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 50 + [(12,50 10) * 10] / 8 = 53,125, ou seja, 25% dosalunos deste grupo tiraram notas inferiores a 53,125

o) i * n / 100 = 55 * 50 / 100 = 27,50 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 60 + [(27,50 18) * 10] / 12 = 67,92, ou seja, 45% dos

alunos deste grupo tiraram notas superiores a 53,125


12/104


SRIE IV

2.23

a) Amplitude: r = 12 2 = 10

b) S2

= 1 / (n 1) * [xi2 (xi)

2

/ n] = 1 / (7 1) * [347 (1849) / 7] = 13,81

c) S = (S2)1/2 = (13,81)1/2 = 3,72

2.24

Intervalos Fi xi xi * Fi xi2 * Fi

2 4 3 3 9 27

4 6 5 5 25 125

6 8 8 7 56 392

8 10 6 9 54 486

10 12 3 11 33 363

25 177 1393

S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)

2 / n] = 1 / (25 1) * [1393 (177)2 / 25] = 5,83

2.25

Intervalos Fi xi xi * Fi xi2 * Fi

40 45 4 42,5 170,5 7225

45 50 10 47,5 475,5 22562,5

50 55 15 52,5 787,5 41343,7555 60 8 57,5 460,5 26450

60 65 5 62,5 312,5 19531,25

65 70 3 67,5 202,5 13668,75

45 2407,5 130781,25

a) xmdia = ( xi .Fi) / n = 2407,5 / 45 = 53,5 kg

b) S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)

2 / n] = 1 / (45 1) * [130781,25 (2407,5)2 / 45] = 45

kg

c) CV = (S / xmdia) * 100 = (6,71 / 53,5) * 100 = 12,54%

d) Maior nmero de observaes iguais 50 55Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 50 + [5 / (5 + 7)] * 5 = 52,08 kgAS =(xmdia Mo) / S = (53,5 52,08) / 6,71 = 0,21, portanto, a distribuio no simtrica

2.26

xmdia = ( xi .Fi) / n = (2 * 2 + ... + 10 * 2) / 7 = 6CV = (S / xmdia) * 100 = (3,02 / 6) * 100 = 50,33%, portanto, a amostra tem elevada disperso


13/104


2.27

CVA = (SA / xmdia A) * 100 = (40 / 150) * 100 = 26,67%CVB = (SB / xmdia B) * 100 = (50 / 200) * 100 = 25,00% CVC = (SC / xmdia C) * 100 = (60 / 300) * 100 = 20,00%

a) A tem desvio padro de 40, portanto, a caixa com menor variao absoluta na pressode ruptura

b) A tem o coeficiente de variao de 26,67%, portanto, a caixa com maior variao relativana presso de ruptura

2.28

a) Amplitude: r = 44 14 = 30NO de intervalos: k 1 + 3,22 * log30 6Tamanho do intervalo: h 30 / 6 5

Classe Intervalos Fi

1 14 19 4

2 19 24 6

3 24 29 5

4 29 34 4

5 34 39 2

6 39 44 9

30

b)


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

14 19 19 24 24 29 29 34 34 39 39 44

Intervalos das Classes

Fi

c) xmdia = ( xi .Fi) / n = (16,5 * 4 + .. + 41,5 * 9) / 30 = 900 / 30 = 30 anos S2 = 1 / (n 1) * [(xi

2 * Fi) (xi * Fi)2 / n] = 1 / (30 1) * [29507,5 (900)

2 / 30] = 86,47S = (S2)1/2 = (86,47)1/2 = 9,30

2.29

a) xmdia = 45 sS = (S2)1/2 = (400)1/2 = 20 sCV1 = (S / xmdia) * 100 = (20 / 45) * 100 = 44,50%


14/104


b) xmdia = ( xi .Fi) / n = (20 * 10 + ... + 80 * 5) / 60 = 2700 / 60 = 45 s

c) S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)

2 / n] = 1 / (60 1) * [135000 (2700) 2 / 60] = 228,81s2S = (S2)1/2 = (228,81)1/2 = 15,13 s

d) xmdia = ( xi .Fi) / n = (40 * 45 + 60 * 45) / 100 = 45 s

e) CV2 = (S / xmdia) * 100 = (15,13 / 45) * 100 = 34,00%, portanto, a equipe 2 apresentouresultados mais homogneos, uma vez que tem CV (34%) menor que a equipe 1 (44%)

f) Equipe 2

2.30

a) Amplitude: r = 16 1 = 15No de intervalos: k 6Tamanho do intervalo: h 3


1 1 4 14

2 4 7 14

3 7 10 11

4 10 13 8

5 13 16 11

6 16 19 2

60

b)


0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 4 4 7 7 10 10 13 13 16 16 19


Fi

c) xmdia = ( xi .Fi) / n = (14 * 2,5 + ... + 2 * 17,5) / 60 = 8,20

d) n / 2 = 60 / 2 = 30, ou seja, no intervalo 7 10Xmediana = lXmd + [(n / 2 f) * h] / FX = 7 + [(30 28) * 3] / 11 = 7,55, ou seja, metade dasrendas esto abaixo de $ 7.550

e) i * n / 4 = 3 * 60 / 4 = 45Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 10 + [(45 39) * 3] / 8 = 12,25, ou seja, 75% das rendasesto abaixo de $ 12.250

f) i * n / 10 = 4 * 60 / 10 = 24


15/104


Di = lDi + [(i * n / 10 f) * h] / FDi = 4 + [(24 14) * 3] / 14 = 6,14, ou seja, 40% das rendasesto abaixo de $ 6.140

g) i * n / 100 = 47 * 60 / 100 = 28,20 Pi = lPi + [(i * n / 100 f) * h] / FPi = 7 + [(28,20 28) * 3] / 11 = 7,05, ou seja, 47% dasrendas esto abaixo de $ 7.055

h) i * n / 4 = 60 / 4 = 15Qi = lQi + [(i * n / 4 f) * h] / FQi = 4 + [(15 14) * 3] / 14 = 4,21

i) S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)

2 / n] = 1 / (60 1) * [5289 (492) 2 / 60] = 21,26

j) S = (S2)1/2 = (21,26)1/2 = 4,61

l) CV = (S / xmdia) * 100 = (4,61 / 8,20) * 100 = 56,00%

m) Maior nmero de observaes iguais 1 4Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 1 + [14 / (14 + 0)] * 3 = 4AS =(xmdia Mo) / S = (8,20 4) / 4,61 = 0,49, portanto, a distribuio no simtrica

n) O intervalo xmdia S a xmdia + S, ou seja, $ 3.590 e $ 12.810, contm aproximadamente60% das rendas


16/104


SRIE V

2.32

1. b, por definio de mdia.

2. b, uma vez que o maior nmero de observaes iguais 60

3. c, por definio de mediana

4. d, uma vez que a mdia leva em conta todos estes desvios, a soma deles deve ser zero

5. b, uma vez que 70 a mdia das observaes, alm de separar em dois grupos com amesma quantidade

6. a, por definio de moda

7. d, uma vez que n = 100, a mediana ser 50 (10 + 25 + 15), ou seja, 7

8. b, uma vez que, numa amostra de n = 5, a mediana o 3 o item, deixando dois de cada lado

9. d, por definio de medidas de assimetria

10. a, por definio de coeficiente de varincia

11. a, por definio de varincia

12. d, por definio de desvio padro

13. d, uma vez que n = 6, a mediana ser [(n / 2) + (n / 2 +1)] / 2, ou seja, 45

14. a, uma vez que a curva a mais alargada horizontalmente, tem desvio-padro maior

15. d, uma vez que, apesar de A ter maior disperso absoluta, ao se calcularem os coeficientesde varincia de ambas as turmas, chega-se ao mesmo valor: 50%

16. d, uma vez que a varincia o quadrado do desvio-padro

17. b, por definio de mediana

18. a, uma vez que n = 20, o 1o quartil ser a mdia entre o 5o e o 6o item, ou seja, 5

19. b, uma vez que CV = (S / Xmdia) * 100, Estatstica 20% e Histria 25%

20. b, por definio

21. d, uma vez que Xmdia = ( xi .Fi) / n = (2 * 2500 + ... + 3 * 22000) / 10 = 10500

22. c, por definio

23. d, uma vez que Mo = lMo + [1 / (1 + 2)] * h = 50 + [15 / (15 + 10)] * 10 = 56

24. b, uma vez que Xmdia = ( xi .Fi) / n = (5 * 175 + ... + 3 * 475) / 10 = 3130 / 10 = 313

25. c, uma vez que P45 = 40 + [(409,50 210) * 10] / 250 = 47,98

26. c, uma vez que D5 = 6 + [(15 12) * 2] / 10 = 6,60


17/104


27. a, uma vez que Xmdia = ( xi .Fi) / n = (3 * 1 + ... + 15 * 5) / 8 = 96 / 8 = 12

28. d, uma vez que S2 = 1 / (5 1) * [73600 (600)2 / 5] = 400, ou seja, S = 20

29. a, uma vez que S2 = (1 / 5) * [108 (22)2 / 5] = 2,24

30. b, por definio de mdia


18/104

Captulo 3 Probabilidades 1

Captulo 3 Probabilidades

Solues e Respostas

SRIE I3.1

a) S = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K}, onde C = cara e K = coroa.

b) A = {K2, K4, K6}B = {C1, C3, C5}C = {3C, 6C, 3K, 6K}

c)I. Bcompl = S B = {C2, C4, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6}II. A U B = A + B = {K2, K4, K6, C1, C3, C5}

III. B C = {3C}IV. (A U B)compl = (Acompl Bcompl) = {K1, K3, K5, C2, C4, C6}

d) Apenas A e B so mutuamente exclusivos, uma vez que A B =

3.2

a) P(Acompl) = 1 P(A) = 1 =

b) P(Bcompl) = 1 P(B) = 1 =

c) P(A B) = 0, uma vez que A e B so mutuamente exclusivos

d) P(A U B) = P(A) + P(B) = + =

e) P(Acompl Bcompl) = 1 [P(A B)] = 1

3.3

a) P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = + 1/3 = 7/12

b) P(Acompl U Bcompl) = P(A B) compl = 1 P(A B) = 1 =

c) P(Acompl Bcompl) = P(A U B) compl = 1 P(A U B) = 1 7/12 = 5/12

3.4

a) Seja A = {(x1)/ x1 = par}, P(A) = 3/6 =

b) Seja A = {(x1)/ x1 = rei}, P(A) = 4/52 = 1/13

c) Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1 = x2 = x3 = K}, P(Acompl) = 1 A = 1 ( . . ) = 7/8

d) Seja A = {(x1, ..., xn)/ x1 = ... = xn = K}, P(Acompl) = 1 A = 1 ()n

= (2n

1)/2n

e) P(ambas as copas, sem reposio) = P(1a

copas) * P(2

a

copas) = 13/52 * 12/51 = 1/17


19/104


f) P(1 copas e 1 ouros sem reposio) = P(copas) * P(ouros) + P(ouros) * P(copas) = 13/52 *13/51 + 13/52 + 13/51 = 13/102, ou

13 13 52P(F) = 1 * 1 2 = (13/1 * 13/1) / (52 * 51/ 2 * 1) = 13/102

3.5

a) Seja A = {(x1)/ x1 / 5}, P(A) = 10/50 = 1/5

b) Seja A = {(x1)/ x1 = _3}, P(A) = 5/50 = 1/10

c) Seja A = {(x1)/ x1 = primo}, P(A) = 15/50 = 3/10

d) Seja A = {(x1)/ x1 / 6} = 8 e B = {(x1)/ x1 / 8} = 6,P(A U B) = P(A) + P(A) P(A B) = 8/50 + 6/50 2/50 = 12/50 = 6/25

3.6

Seja A = {(x1)/ x1 = rei} = 4 e B = {(x1)/ x1 = 1 carta de copas} = 13P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = 4/52 + 13/52 1/52 = 16/52 = 4/13

3.7

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 < 4}, P(A) = 3/36 = 1/12

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 9}, P(A) = 4/36 = 1/9

c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 > x2}, P(A) = 15/36 = 5/12

3.8

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 10}, P(A) = 8/90 = 4/45

3.9

a) Seja A = {(x1)/ x1 = defeitos graves}, P(Acompl) = 1 P(A) = 1 1/8 = 7/8

b) Seja A = {(x1)/ x1 = boas}, P(A) = 10/16 = 5/8

c) Seja A = {(x1)/ x1 = com defeitos}, P(Acompl) = 1 P(A) = 1 =

3.10

a) P(ambas perfeitas, sem reposio) = P(1a perfeita) * P(2a perfeita) = 10/16 * 9/15 = 3/8

b) P(ao menos uma perfeita) = P[(P1 P2) U (P1 D2) U (D1 P2)] = P(P1) * P(P2/P1) +P(P1) * P(D2/P1) + P(D1) * P(P2/D1) = 10/16 * 9/15 + 10/16 * 6/15 + 6/16 * 10/15 = 7/8

c) P(nenhuma com defeito grave) = P(sem d.g.) * P(sem d.g.) = 14/16 * 13/15 = 91/120

d) P(nenhuma perfeita) = P(imperfeitas) * P(imperfeitas) = 6/16 * 5/15 = 1/8


20/104


3.11

a) P(pretas) = P(1a preta) * P(2a preta) * P(3a preta) = 6/11 * 5/10 * 4/9 = 4/33

b) P(uma branca) = P(B1) * P(P2) * P(P3) + P(P1) * P(B2) * P(P3) + P(P1) * P(P2) * P(B3) ou 3 *

P(B1, P2, P3) = 5/11 * 6/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 = 5/11

c) P(ao menos uma preta) = 1 P(brancas) = 1 P(B1) * P(B2/B1) * P(B3/B2/B1) = 1 5/11 *4/10 * 3/9 = 1 2/33 = 31/33

3.12

O nmero total de resultados possveis = C12,7O nmero de resultados favorveis: C5,3 (3 do 4

oano) * C4,2 (2 do 2

oano) * C3,2 (2 do 3

oano)

P(A) = (C5,3 * C4,2 * C3,2) / C12,7 = (5/3 * ... * 3/1) * (4/2 * 3/1) * (3/2 * 2/1) / (12/7 * ... * 6/1) = 5/22

3.13

O nmero total de resultados possveis = CN,nO nmero de resultados favorveis: CNv,nv (nv de vermelhas) * CNa,na (na de azuis) * CNp,np (np depretas)P(A) = (CNv,nv * CNa,na * CNp,np) / CN,n

Nv Na Np NP(A) = nv * na * np n

3.14

a) P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = + 1/3 = 7/12

b) P(A/B) = P(A B) / P(B) = / 1/3 =

c) P(B/A) = P(A B) / P(A) = / =

d) P[(A U B)/B] = P[(A U B) B] / P(B) = P(B) / P(B) = 1

3.15

P(Acompl/Bcompl) = P(Acompl Bcompl) / P(Bcompl) = [P(A U B) compl] / [1 P(B)] = 5/12 / 2/3 = 5/8

P(Bcompl/Acompl) = P(Bcompl Acompl) / P(Acompl) = [P(B U A) compl] / [1 P(A)] = 5/12 / = 5/6

3.16

Seja A = {(x1)/ x1}, P(A) = 365/365Seja B = {(x1, x2)/ x1 x2}, P(B) = 365/365 * (365 1)/365 = 365* (365 1)/365

2

Assim, de maneira geral o item xn ter probabilidade de [(365 n + 1)/365].Portanto, seja R = {(x1, x2, ..., xr)/ x1 x2 ... xr},P(R) = 365/365 * [(365 1)/365] * ... * [(365 r +1)/365] = 365 * 364 * ... * (365 r + 1)/365

r


21/104


3.17

a) P(acertarem) = P(1o acertar) * P(2o acertar) * P(3o acertar) = 2/3 * 4/5 * 7/10 = 28/75

b) P(apenas um acertar) = P(A1, E2, E3) + P(E1, A2, E3) + P(E1, E2, A3) = 2/3 * 1/5 * 3/10 + 1/3 *4/5 * 3/10 + 1/3 * 1/5 * 7/10 = 25/150 = 1/6

c) P(errarem) = P(1a errar) * P(2a errar) * P(3a errar) = 1/3 * 1/5 * 3/10 = 1/50

3.18

Seja P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = p,P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) : P(Corrente LR) = P(F1, F2) + P(F3, F4) P(F1, F2 F3, F4)P(F1, F2) = P(F3, F4) = p * p = p

2e P(F1, F2 F3, F4) = p * p * p * p = p

4

P(Corrente LR) = 2 * p2

p4

= 2p2

p4

3.19

P(duas da mesma cor) = P(B1, B2) + P(V1, V2) + P(P1, P2) = 5/12 * 5/18 + 4/12 * 6/18 + 3/12 *7/18 = 35/108

3.20

Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = $ 1,50},P(A) = P(U1, C2) + P(C1, U2) = 5/9 * 4/8 + 4/9 * 5/8 = 5/9

3.21

Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1, x2, x3 = 2 pretas e 1 vermelha} com reposio,P(A) = P(P1, P2, V3) + P(P1, V2, P3) + P(V1, P2, P3) = 3 * 5/10 * 5/10 * 3/10 = 9/40

3.22

Seja A = {(x1)/ x1 = 1 branca}, P(A) = 2/3Seja B = {(x2)/ x2 = 1 branca}, P(B) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = (1 + 2/3)/4 = 5/12

3.23

Seja T = {(s1)/ s1 = 1 branca}, P(T) = x / (x + y)Seja U1 = {(s2)/ s2 = 1 branca}, P(U1) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = {z + [x / (x + y)]} / (z + v + 1)P(U2) = P(B1, B2) + P(V1, B2) = [x / (x + y)] * [(z + 1) / (z + v + 1)] + [y / (x + y)] * [z / (z + v + 1)]

3.24

Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = P, x3 = V, x4 = V} com reposio + 5 bolas da cor,P(A) = P(P1, P2, V3, V4) = 10/15 * (10 + 5)/(15 + 5) * 5/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = V, x3 = P, x4 = V} com reposio + 5 bolas da cor,P(A) = P(P1, V2, P3, V4) = 10/15 * 5/(15 + 5) * (10 + 5)/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30Seja A = {(x1, x2)/ x1 = P, x2 = P} com reposio + 5 bolas da corP(A) = P(P1, P2) = 1 * (10 + 5)/(15 + 5) =


22/104


3.25

a) P(duas perfeitas) = P(P1, P2) = 5/8 * 3/5 = 3/8

b) P(uma defeituosa) = P(D1, P2) + P(P1, D2) = 3/8 * 3/5 + 5/8 * 2/5 = 19/40

c) P(defeituosa vir de A) = P(D1, P2) / P(uma defeituosa) = (3/8 * 3/5) / (19/40) = 9/19

3.26

a) P(s H viver) = P(M vivercompl) * P(H viver) = * 3/5 = 3/20

b) P(s M viver) = P(H vivercompl) * P(M viver) = 2/5 * = 3/10

c) P(ambos viverem) = P(H viver) * P(M viver) = 3/5 * = 9/20

3.27

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = B},P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(P1, B2)] = ( * 2/3) / [( * 2/3) + ( * )] = (1/3) / (1/3 * ) = 4/7

3.28

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = mesma cor},P(A) = P(P1, P2) + P(V1, V2) = * 3/6 + * 4/6 = 1/4 + 1/3 = 7/12

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = P},P(A) = P(V1, P2) / [P(V1, P2) + P(P1, P2)] = ( * 2/6) / ( * 2/6 + * 3/6) = (1/6) / (5/12) = 2/5

3.29

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V},P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = 3/8 * (5 + 2)/(8 + 2 1) + 5/8 * (5 1)/(8 + 2 1) = 41/72

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = B ou V},P(A) = P(B1, B2) + P(V1, V2) = 3/8 * (3 1)/(8 + 2 1) + 5/8 * (5 1)/(8 + 2 1) = 13/36

3.30

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = V},P(A) = P(V1, V2) / [P(B1, V2) + P(V1, V2)] = (20/72) / (41/72) = 20/41

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x1 = x2 = mesma cor},P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(V1, V2)] = (6/72) / (13/36) = 3/13

3.31

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = urna 1 ou 2, x2 = V},P(A) = P(U11, V2) + P(U21, V2) = [() * x/(x + y)] + [() * z/(z + v)] = * x/(x + y) + z/(z + v)

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V},

P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = y/(x + y) * z/(z + v + 1) + x/(x + y) * (z + 1)/(z + v + 1) =


23/104


(y * z)/(x + y)(z + v + 1) + [(x * z) + (x)]/(x + y)(z + v + 1) = (yz + xz + x)/(x + y)(z + v + 1)

3.32

Seja A = {(s1, ..., sx + y) / s1, ..., sx = B, sx + 1, ..., sx + y = P},

P(A) = P(X1, ..., Xx, Yx + 1, , Yx + y) = x/(x + y) * (x 1)/(x + y 1) * * y/y * (y 1)/ (y 1)/ =(x! y!) / (x + y)!

3.33

Seja,A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}C = {(4,6), (5,5), (6,4)}D = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,4), (6,4), (6,5)}E = {(2,1), (4,2), (6,3)}

a) P(A/B) = P(A B) / P(B) = 1/6

b) P(C/D) = P(C D) / P(D) = 1/15

c) P(D/E) = P(D E) / P(E) = 3/3 = 1

d) P(A/C) = P(A C) / P(C) = 0

e) P(C/E) = P(C E) / P(E) = 0

f) P(C/A) = P(C A) / P(A) = 0

g) P(A/D) = P(A D) / P(D) = 2/15

h) P(B/C) = P(B C) / P(C) = 1/3

i) P(A/E) = P(A E) / P(E) = 0

j) P(B/E) = P(B E) / P(E) = 0

l) P(A/B C) = [P(A B) / P(B)] P(C) = 0

m) P[(A B) / (C D)] = [P(A B) P(C D)] / [P(C D)] = 0

3.34

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = caixa 1 ou 2 sabendo que x2 = P},P(A) = P(C11, P2) / [P(C11, P2) + P(C21, P2)] = (1/2 * 7/10) / [(1/2 * 7/10) + (1/2 * 5/6)] = (7/20) /(46/60) = 21/46P(Acompl) = 1 P(A) = 1 21/46 = 25/46

3.35

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D},P(A) = P(B/D) = [P(B D) / P(D)] = {[P(B) * P(D/B)] / [P(A) * P(D/A) + P(B) * P(D/B) + P(C) *P(D/C)]} = (1/6 * 3/5) / [(3/4 * 1/20) + (1/6 * 3/5) + (1/10 * 3/10)] = (1/10) / (67/400) = 40/67


24/104


3.36

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = M sabendo que x2 = 1,80},P(A) = P(M1, A2) / [P(M1, A2) + P(H1, A2)] = (4/10 * 2/100) / [(4/10 * 2/100) + (6/10 * 5/100)] =(1/125) / (19/500) = 4/19

3.37

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D},P(A) = P(B1, D2) / [P(A1, D2) + P(B1, D2) + P(C1, D2)] = (5/10 * 5/100) / [(4/10 * 3/100) + (5/10 *5/100) + (1/10 * 2/100)] = (1/40) / (39/1000) = 25/39

3.38

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = T sabendo que x2 = Y positivo},P(A) = P(T1, Y2) / [P(T1, Y2) + P(NT1, Y2)] = (1/10 * 80/100) / [(1/10 * 80/100) + (9/10 * 30/100)] =(2/25) / (7/20) = 8/35

3.39

a) P(s cara) = P(C1, C2, C3) = * * = 1/8

b) P(2 C, 1 K) = 3 * P(C1, C2, K3) = 3 * * * = 3/8

c) P(1 C) = 3 * P(C1, K2, K3) = 3 * * * = 3/8

d) P(ao menos 1 K) = 3 * P(K1, C2, C3) + 3 * P(K1, K2, C3) + P(K1, K2, K3) = 7 * * * = 7/8

e) P(s coroa) = P(K1, K2, K3) = * * = 1/8

3.40

a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(A) = 6/36 = 1/6

b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(Acompl) = 1 P(A) = 1 1/6 = 5/6

c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 < x2}, P(A) = 15/36 = 5/12

d) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = par}, P(A) = 18/36 =

e) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 7, sabendo que x1

x2}, P(A) = 6/(36 6) = 1/5f) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 6, sabendo que x1 = x2}, P(A) = (5 4)/(36 30) = 1/6

g) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 14}, P(A) = 0

3.41

Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = Errar}, P(Acompl) = 1 P(E1, E2) = 1 (2/5 * 3/7) = 29/35


25/104


3.42

Seja A = {(x1)/ x1 = 5 ou par}, P(A) = P(5) + P(par) = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3

3.43

a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 10/15 = 2/3

b) Seja A = {(x1)/ x1 = A}, P(A) = 7/15

c) Seja A = {(x1)/ x1 = M} ou B = {(x1)/ x1 = Me}, P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = 8/15 +5/15 3/15 = 2/3

d) Seja A = {(x1)/ x1 = H, sabendo que x1 = A}, P(A) = 5/(15 8) = 5/7

e) Seja A = {(x1)/ x1 = Me, sabendo que x1 = Mu}, P(A) = 3/(15 10) = 3/5

3.44

a) Seja X = {3, 6, 9, 12, 15, 18} e Y = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20},X e Y sero independentes se e somente se P(X Y) = P(X) * P(Y)P(X Y) = 3/20, P(X) = 6/20, P(Y) = 10/20P(X) * P(Y) = 6/20 * 10/20 = 3/20 = P(X Y), portanto, X e Y so independentes

b) Seja M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19},M e N sero independentes se e somente se P(M N) = P(M) * P(N)P(M N) = 7/20, P(M) = 9/20, P(N) = 10/20P(M) * P(N) = 9/20 * 10/20 = 9/40 P(M N), portanto, M e N no so independentes

3.45

a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 60/100 = 60%

b) Seja A = {(x1)/ x1 = M e Y}, P(A) = 26/100 = 26%

c) Seja A = {(x1)/ x1 = Y}, P(A) = 65/100 = 65%

d) Seja A = {(x1)/ x1 = H e X}, P(A) = 21/100 = 21%

e) Seja A = {(x1)/ x1 = M, sabendo que x1 = X}, P(A) = 14/(100 65) = 40%

f)Seja A = {(x

1)/ x

1= Y, sabendo que x

1= H}, P(A) = 39/(100 40) = 65%

3.46

Sendo A e B independentes, temos que P(A B) = P(A) * P(B)A e B tambm so mutuamente exclusivos, ou seja, P(A B) = Como P() = 0, ento P(A B) = 0Voltando para a primeira igualdade, teremos que P(A) * P(B) = 0Para que a igualdade seja verdadeira P(A) = 0 ou P(B) = 0


26/104


3.47

Sendo A e B independentes, temos que P(A B) = P(A) * P(B)Como P(A) 0 e P(B) 0, ento P(A) * P(B) 0 e conseqentemente P(A B) 0Portanto, P(A B) , acarretando na no-exclusividade dos eventos

3.48

Sendo A e S independentes, temos que P(A S) = P(A) * P(S)Como S o espao amostral, temos que P(S) = 1Como A est contido em S, temos que P(A S) = P(A)Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que P(A) = P(A) * 1Portanto, conclui-se que A e S so independentes

3.49

Sendo A e independentes, temos que P(A ) = P(A) * P()

Como P() = 0, temos que P(A ) = P() = 0Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = P(A) * 0Portanto, conclui-se que A e so independentes

3.50

Sendo S e independentes, temos que P(S ) = P(S) * P()Como P() = 0, temos que P(S ) = P() = 0Como S o espao amostral, temos que P(S) = 1Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = 1 * 0Portanto, conclui-se que S e so independentes


27/104

Captulo 4 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Discretas 1

Captulo 4 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Discretas

Solues e Respostas

SRIE I4.1

S = {cc, ck, kc, kk}X = nmero de coroas (k) = 0, 1, 2

Xi 0 1 2

P(Xi) 1/4 1/2 1/4

Distribuio de Probabilidade

0

1/4

1/2

3/4

1

0 1 2

Xi

P(Xi)

4.2

a) S = {(1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)} = 36 casosX = soma dos pontos = 2, 3, ..., 12

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

b) P(3 X 10) = 1 [P(2) + P(11) + P(12)] = 1 4/36 = 32/36 = 8/9

c) P(X > 7) = P(8) + ... + P(12) = 5/36 + ... + 1/36 = 15/36 = 5/12

d) P(X 5) = P(2) + ... + P(5) = 1/36 + ... + 4/36 = 10/36 = 5/18

e) P(X 6) = P(X 5) + P(6) = 10/36 + 5/36 = 15/36 = 5/12

f) P(X 3) = 1 P(2) = 1 1/36 = 35/36

g) F(4) = P(2) + ... + P(4) = 1/36 + ... + 3/36 = 6/36 = 1/6

h) F(8) = P(2) + ... + P(8) = 1/36 + ... + 5/36 = 26/36 = 13/18

i) F(15) = 1


28/104


j) F(1) = 0

l) F(5,5) = P(X 5) = 5/18

m) F(12) = 1

4.3

a) P(Xi) = 1P(1) + P(3) + P (5) + P (7) = 1k + k/3 + k/5 + k/7 = 176k/105 = 1, portanto, k = 105/176

b) P(2 X 6) = P(3) + P(5) = 105/176 * 1/3 + 105/176 * 1/5= 56/176 = 7/22

c) F(5) = 1 P(7) = 1 105/176 * 1/7 = 161/176

4.4

S = {vv, vn, nv, nn}, com v = vende e n = no vendeY = nmero de clientes que assinam venda (v) = 0, 1, 2P(0) = P(N,N) = 80/100 * 80/100 = 64/100 = 0,64P(1) = P(V,N) + P(N, V) = 20/100 * 80/100 + 80/100 * 20/100 = 32/100 = 0,32P(2) = P(V,V) = 4/100 = 0,04

Yi 0 1 2

P(Yi) 0,64 0,32 0,04


29/104


SRIE II

4.5

a) P(Xi) = 1P(3) = 1 [P(1) + P (2) + P (5) + P (8)] = 1 [0,20 + 0,25 + 0,30 + 0,10] = 0,15.

b) F(5) = 1 P(8) = 1 0,10 = 0,90.

c) (x) = xi * P(x i) = 1 * 0,20 + + 8 * 0,10 = 3,45.

d) (x)2

= xi2

* P(x i) (x)2

= (1 * 0,20 + ... + 64 * 0,10) (3,45)2= 16,45 11,9025 = 4,5475

(x) = ((x)2)1/2

= (4,5475)1/2

= 2,1325.

4.6

a) P(1) = (0,8) * (0,2)1 1 = 0,8P(2) = (0,8) * (0,2)

2 1= 0,16

P(3) = (0,8) * (0,2)3 1 = 0,032P(4) = (0,8) * (0,2)

4 1= 0,0064

P(5) = (0,8) * (0,2)5 1

= 0,00128.

b) F(X 5) = P(1) + ... + P(5) = 0,8 + ... + 0,00128 = 0,99968, ou seja, a soma dasprobabilidades atinge 0,99968, logo, as probabilidades para valores maiores do que 5 soprximas a zero (ou mais exatamente 0,00032).

4.7

a) F(2) = P(0) + + P(2) = 0,55 + + 0,10 = 0,90.

b) P(1 X 4) = 1 [P(0) + P(5)] = 1 (0,55 + 0,02) = 1 0,57 = 0,43 P(X > 1) = 1 [P(0) + P(1)] = 1 (0,55 + 0,25) = 1 0,80 = 0,20.

c) (x) = xi * P(x i) = 0 * 0,55 + + 5 * 0,02 = 0,83 chamadas por minuto.

d) (x)2

= xi2

* P(x i) (x)2

= (0 * 0,55 + + 25 * 0,02) (0,83)2= 2,15 0,6889 = 1,4611

(x) = ((x)2)1/2

= (1,4611)1/2

= 1,20876CV = (x)/(x) = 1,20876/0,83 = 1,456337 = 145,6%.

4.8

a) S = {(0-0), (0-1), ..., (5-6), (6,6)} = 28 casosZ = pontos numa pea de domin = 0, 1, ..., 12.

Zi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Zi) 1/28 1/28 2/28 2/28 3/28 3/28 4/28 3/28 3/28 2/28 2/28 1/28 1/28


30/104


Distribuio de Probabilidade

0

1/20

1/10

3/20

1/5

1/4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Zi

P(Zi)

b) P(2 Z 6) = P(2) + ... + P(6) = 2/28 + + 4/28 = 14/28 = .

c) F(8) = 1 [P(9) + ... + P(12)] = 1 (2/28 + + 1/28 = 1 6/28 = 22/28 = 11/14.

d) (x) = xi * P(x i) = 0 * 1/28 + + 12 * 1/28 = 6.

4.9

a) S = {(R, R, R), (R, R, M), ..., (M, M, R), (M, M, M)} = 8 casosX = nmero de rapazes = 0, 1, 2, 3P(0) = P(M, M, M) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 1/21P(1) = P(R, M, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/14P(2) = P(R, R, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/21P(3) = P(R, M, M) = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42

Xi 0 1 2 3

P(Xi) 1/21 5/14 10/21 5/42

b)I. P(X 2) = 1 P(3) = 1 5/42 = 37/42II. P(X 0) = P(0) = 1/21III. P(1 < X 3) = P(2) + P(3) = 10/21 + 5/42 = 25/42IV. P(2 < X < 3) = 0V. P(X > 2) = P(3) = 5/42VI. P(X > 1) = 1VII. P(X < 5) = 1

c) F(2,5) = 1 P(3) = 1 5/42 = 37/42F(3) = 1F(0,5) = P(0) = 1/21F(3,5) = 1F(2) = F(2,5) = 37/42F(1) = P(0) + P(1) = 1/21 + 5/14 = 17/42F(6) = 1F( 0,5 ) = 0

4.10

S = {(I, I), (I, N), (N, I), (N, N)} = 4 casos, com I = IBM e N = no IBM


31/104


X = IBM = 0, 1, 2P(0) = P(N, N) = 30/100 * 30/100 = 9/100P(1) = P(I, N) + P(N, I) = 2 * 70/100 * 30/100 = 21/50P(2) = P(I, I) = 70/100 * 70/100 = 49/100

Xi 0 1 2

P(Xi) 0,09 0,42 0,49

(x) = xi * P(x i) = 0 * 0,09 + + 2 * 0,49 = 1,4(x)

2= xi

2* P(x i) (x)

2= (0 * 0,09 + + 4 * 0,49) (1,4)

2= 2,38 1,96 = 0,42

(x) = ((x)2)1/2

= (0,42)1/2

= 0,65


32/104


SRIE III

4.11

P(X = x) = 10 * ()x

* ()10 x

= 10 * ()10

, com x = ser carax x

a) P(x = 6) = [(10 * ... * 5)/(6 * ... *1)] * ()10 = 105/512.

b) P(x 2) = 1 [P(0) + P(1)] = 1 [() 10 + 10 * ()10] = 1 11/1024 = 1013/1024.

c) P(x = 10) = ()10 = 1/1024.

d) P(x 1) = 1 P(0) = 1 1/1024 = 1023/1024.

e) P(x 5) = 1 P(5) = 1 [(10 * ... * 6)/(5 * ... *1)] * ()10 = 1 63/256 = 193/256.

4.12

P(X = x) = 6 * ()x

* ()6 x

= 6 * ()6, com x = filhos homens

x x

P(x = 4) = [(6 * ... * 3)/(4 * ... * 1)] * ()6

= 15/64.

4.13

P(X = x) = 4 * ()x

* ()4 x

= 6 * ()4, com x = ter menino

x x

a) P(x = 4) = ()4 = 1/16, famlias com nenhuma menina = 1/16 * 320 = 20.

b) P(x = 3) = [(4 * ... * 2)/(3 * ... *1)] * ()4 = 1/4, famlias com 3 meninos = 1/4 * 320 = 80.

c) P(x = 4) = ()4 = 1/16, famlias com 4 meninos = 1/16 * 320 = 20.

4.14

P(X = x) = n * (1/6)x

* (5/6)n x

, com x = ser face 3 do dado.x

P(x 1) = 1 P(0) = 1 (5/6)n.

4.15

P(X = x) = 5 * (2/3)x

* (1/3)5 x

, com x = vitriax

a) P(x = 3) = [(5 * ... * 3)/(3 * ... *1)] * (2/3)3 * (1/3)2 = 80/243.

b) P(x 1) = 1 P(0) = (1/3)5 = 1 1/243 = 242/243.

c) P(x 3) = (3) + P(4) + P(5) = 80/243 + [(5 * ... * 2)/(4 * ... *1)] * (2/3)4 * (1/3)1 + (2/3)5 =80/243 + 80/243 + 32/243 = 192/243 = 64/81.


33/104


4.16

P(X = x) = 6 * (1/3)x

* (2/3)6 x

, com x = acertar o alvox

a) P(x = 2) = [(6 * 5)/(2 * 1)] * (1/3)2

* (2/3)4

= 80/243.

b) P(x = 0) = (2/3)6 = 64/729.

4.17

P(X = x) = 100 * (1/2)x

* (1/2)100 x

= 100 * (1/2)100

, com x = acertar o testex x

P(x = 70) = 100 * ()100

.70

4.18

a) Se F(5) = P(0) + ... + P(5) = 1, portanto, n = 5.

b) P(y = 0) = p0 * q(n 0) = q(n 0), portanto, q5 = 1/243, q = (1/243)1/5 = 1/3Se p + q = 1, p = 2/3.

c) (y) = n * p = 5 * 2/3 = 10/3.

d) (y)2

= n * p * q = 5 * 2/3 * 1/3 = 10/9.

e) P(y 1) = 1 P(0) = 1 1/243 = 242/243.

f) P(2 y 4) = F(4) F(1) = 211/243 11/243 = 200/243.

4.19

P(X = x) = 100 * (0,05)x

* (0,95)100 x

, com x = ser defeituosax

a) P(0) = (0,95)100 x = (0,95)100.

b) P(3) = 100 * (0,05)3 * (0,95)97

3

c) P(x < 99) = 1 [P(100) + P(99)] = 1 (0,05)100 100 * (0,05)99 * (0,95).


34/104


SRIE IV

4.20

a) P(x = 5) = [(x * e) / x!] = [(35 * e3) / 5!] = [(243 * 0,0498) / 120] = 0,1008.

b) P(x 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e5,5

+ (5,51

* e5,5

) + [(5,52

* e5,5

) / 2!]} = 0,0041 + 0,0225 +0,1240 = 0,0886.

c) P(x 4) = 1 [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 {e7,5 + (7,51 * e7,5) + [(7,52 * e7,5) / 2!] +[(7,5

3* e

7,5) / 3!]} = 1 (0,00055 + ... + 0,0387) = 1 0,0588 = 0,9412.

d) P(x = 8) = [(x * e) / x!] = [(48 * e4) / 8!] = [(65536 * 0,0183) / 40320] = 0,0297.

4.21

= l * t = 0,02 * 100 = 2

a) P(x 3) = 1 [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 {e2 + (21 * e2) + [(22 * e2) / 2!]} = 1 (0,1353 +0,2707 + 0,2707) = 1 0,6767 = 0,3233.

b) P(x = 5) = [(x * e ) / x!] = [(25 * e2) / 5!] = 0,0361.

c) P(x = 5) = e2 = 0,1353.

d) P(x < 2) = [P(0) + P(1)] = e2 + (21 * e2) = 0,1353 + 0,2707 = 0,4060.

4.22

=l

* t = 0,03 * 230 = 6,9P(x = 10) = [(6,910 * e6,9) / 10!] = 0,0679.

4.23

a) Para 5000 km, = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002, Para 3000 km, = n * p = 3000 * 0,0002 = 0,6P(x 1) = P(0) + P(1) = e

0,6+ (0,6 * e

0,6) = 0,5488 + 0,3293 = 0,8781.

b) Para 5000 km, = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002, Para 8000 km, = n * p = 8000 * 0,0002 = 1,6P(x = 0) = e

1,6= 0,2019.

4.24

a) P(x = 4) = [(x * e ) / x!] = [(34 * e3) / 4!] = 0,1681.

b) P(x 3) = 1 [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 {e3 + (31 * e3) + [(32 * e3) / 2!]} = 1 (0,0498 +0,1494 + 0,2241) = 1 0,4233 = 0,5767.

4.25

a) P(x = 3) = [(x * e ) / x!] = [(33 * e3) / 3!] = 0,2241.


35/104


b) Para 1 hora, = l * t, 3 = l * 1, l = 3,

Para 1,5 hora, = l * t = 3 * 1,5 = 4,5P(x 4) = 1 [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 {e

4,5+ ... + [(4,5

3* e

4,5) / 3!]} = 1 (0,0111 +

... + 0,1687) = 1 0,3423 = 0,6577.

4.26

Para 1 cm2, = l * t, 1 = l * 1, l = 1,

Para 4 cm2, = l * t = 1 * 4 = 4

P(x = 3) = [(x

* e

) / x!] = [(43

* e4

) / 3!] = 0,1954.

4.27

a) P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(22 * e2) / 2!] = 0,2707.

P(x = 3) = [(x

* e

) / x!] = [(23

* e2

) / 3!] = 0,1804.

4.28

Para 50000, = n * p, 2 = 50000 * p, p = 0,00004, Para 100000, = n * p = 100000 * 0,00004 = 4

a) P(x = 0) = e = e4 = 0,01832.

b) P(x = 1) = * e = 4 * e4 = 0,0733.

c) P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(42 * e4) / 2!] = 0,14656.

d) P(x 2) = 1 [P(0) + P(1)] = 1 (0,01832 + 0,07328) = 1 0,9160 = 0,9084.

4.29

= 400/500 = 0,8

a) P(x = 0) = e- = e0,8 = 0,4493.

b) P(x = 2) = [(x * e ) / x!] = [(0,82 * e0,8) / 2!] = 0,1438.

4.30

a) Para 1 hora, = l * t, 5 = l * 1, l = 5,Para 24 minutos, = l * t = 5 * 0,4 = 2P(x = 2) = [(

x* e

) / x!] = [(2

2* e

2) / 2!] = 0,2707.

b) Para 1 hora, = n * p, 5 = 1 * p, p = 5, Para 18 minutos, = n * p = 0,3 * 5 = 1,5P(x 3) = 1 [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 {e

1,5+ (1,5

1* e

1,5) + [(1,5

2* e

1,5) / 2!]} = 1

(0,2231 + 0,3347 + 0,2510) = 1 0,8088 = 0,1912.


36/104


4.31

a) Para 1 hora, = l * t, 3 = l * 1, l = 3,Para 20 minutos, = l * t = 3 * 0,333 = 1P(x = 3) = [(

x* e

) / x!] = [(1

3* e

1) / 3!] = 0,0613.

b) Para 1 hora, = l * t, 3 = l * 1, l = 3,Para 30 minutos, = l * t = 3 * 0,5 = 1,5P(x 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e

1,5+ (1,5

1* e

1,5) + [(1,5

2* e

1,5) / 2!]} = 0,2231 + 0,3347 +

0,2510 = 0,8088.

4.32

Para 100000, = n * p, 3 = 100000 * p, p = 0,00003, Para 200000, = n * p = 200000 * 0,00003 = 6P(x 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e

6+ (6

1* e

6) + [(6

2* e

6) / 2!]} = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 =

0,0620.

4.33

Para 1 minuto, = l * t, 40 = l * 1, l = 40,Para 6 segundos, = l * t = 40 * 0,1 = 4P(x = 2) = [(

x* e

) / x!] = [(4

2* e

4) / 2!] = 0,14656.

4.34

Para 1 minuto, = l * t, 1,7 = l * 1, l = 1,7,Para 2 minutos, = l * t = 1,7 * 2 = 3,4

P(x = 2) = [(x

* e

) / x!] = [(3,42

* e3,4

) / 2!] = 0,1929.

4.35

P(x > 3) = 1 [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 {e2

+ ... + [(23

* e2

) / 3!]} = 1 (0,1353 + ... +0,1804) = 1 0,8571 = 0,1429.

4.36

Para 1 pea, = l * t, 2,2 = l * 1, l = 2,2,Para 2 peas, = l * t = 2,2 * 2 = 4,4P(x 2) = 1 [P(0) + P(1)] = 1 [e4,4 + (4,4 * e4,4)] = 1 (0,0123 + 0,0540) = 1 0,0663 =0,9337.


37/104

Captulo 5 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Contnuas 1

Captulo 5 Distribuies de Probabilidades de Variveis Aleatrias Contnuas

Solues e Respostas

SRIE I5.1

a) P(0 z 1,44) = 0,4251 ou 42,51%.

b) P(0,85 < z < 0) = P(0 < z < 0,85) = 0,3023.

c) P(1,48 < z < 2,05) = P(z < 1,48) + P(z < 2,05) = 0,4306 + 0,4798 = 0,9104.

d) P(0,72 < z < 1,89) = P(z < 1,89) P(z < 0,72) = 0,4706 0,2642 = 0,2064.

e) P(z 1,08) = 0,5 P(z < 1,08) = 0,5 0,3599 = 0,1401.

f) P(z 0,66) = 0,5 + P(z < 0,66) = 0,5 + 0,2454 = 0,7454.

g) P(|z| 0,5) = 2 * P(z < 0,5) = 2 * 0,1915 = 0,3830.

5.2

a) [(a )/ < z < (b )/] = [(700 850)/45 < z < (1000 850)/45]P(700 < x < 1000) = P(3,33 < z < 3,33) = 2 * P(z < 3,33) = 0,9991, ou seja, 1.

b) [z > (a )/] = [z > (800 850)/45]

P(x > 800) = P(z > 1,11) = 0,5 + P(z < 1,11) = 0,5 + 0,3665 = 0,8665.

c) [z < (a )/] = [z < (750 850)/45]P(x < 750) = P(z < 2,22) = 0,5 P(z < 2,22) = 0,5 0,4868 = 0,0132.

d) [z = (a )/] = [z = (1000 850)/45]P(x = 1000) = P(z = 3,33) = 0,5 P(z = 3,33) = 0,5 0,49957 = 0,0004, ou seja, 0.

5.3

a) [(a )/ < z < (b )/] = [(60 65,3)/5,5 < z < (70 65,3)/5,5]P(60 < x < 70) = P(0,96 < z < 0,85) = P(z < 0,96) + P(z < 0,85) = 0,3315 + 0,3023 =

0,6338 ou 380 estudantes.

b) [z > (a )/] = [z > (63,2 65,3)/5,5]P(x > 63,2) = P(z > 0,38) = 0,5 + P(z < 0,38) = 0,5 + 0,1480 = 0,6480 ou 389 estudantes.

5.4

P(z > ?) = 0,1500, P(z < ?) = 0,5 0,1500 = 0,3500, portanto, z = 1,04z = (a )/, 1,04 = [(a 73)/15], a = 88,5P(z < ?) = P(z > ?) = 0,1200, P(z < ?) = 0,5 0,1200 = 0,3800, portanto, z = 1,175z = (b )/, 1,175 = [(b 73)/15], b = 55.


38/104


5.5

a) [z > (a )/] = [z > (46 48)/2]P(x > 46000) = P(z > 1,00) = 0,5 + P(z < 1,00) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413.

b) [(a )/ < z < (b )/] = [(45 48)/2 < z < (50 48)/2]P(45000 < x < 50000) = P(1,5 < z < 1,00) = P(z < 1,5) + P(z < 1,00) = 0,4332 + 0,3413 =0,7745.

5.6

a) [z < (a )/] = [z < (3 12)/5]P(x < 3) = P(z < 3,00) = 0,5 P(z < 3,00) = 0,5 0,49865 = 0,00135.

b) [(a )/ < z < (b )/] = [(1 12)/5 < z < (15 12)/5]P(1 < x < 15) = P(2,60 < z < 0,60) = P(z < 2,60) + P(z < 0,60) = 0,4953 + 0,2257 =0,7210.

5.7

a) [(a )/ < z < (b )/] = [(150 180)/25 < z < (178 180)/25]P(150 < x < 178) = P(1,20 < z < 0,08) = P(z < 1,20) P(z < 0,08) = 0,3849 0,0319 =0,3530.

b) P(z < ?) = 0,48, portanto, z = 2,05z = (a )/, 2,05 = [(a 180)/25], a = 231,25z = (b )/, 2,05 = [(b 180)/25], b = 128,75, portanto, 96% dos salrios esto entre $128,75 e 231,25.

5.8

X1 N (10 g; 0,25 g2) e X2 N (150 g; 64 g

2)

120 * X1 + X2 = T ou N (1200 g; 30 g2) + N (150 g; 64 g

2) = N (1350 g; 94 g

2)

[z > (a )/] = [z > (1370 1350)/(94)0,5

]P(t > 1370) = P(z > 2,06) = 0,5 P(z < 2,06) = 0,5 0,4803 = 0,0197.

5.9

a) X1 N (70 kg; 400 kg2) e X2 N (12 kg; 25 kg

2)

4 * X1 + 4 * X2 = T ou N (280 kg; 1600 kg

2

) + N (48 kg; 100 kg

2

) = N (328 kg; 1700 kg

2

)[z > (a )/] = [z > (350 328)/(1700)0,5

] = 0,53P(t > 350) = P(z > 0,53) = 0,5 P(z < 0,53) = 0,5 0,2019 = 0,2981.

b) z > (b )/ = [(400 328)/(1700)0,5, z > (400 328)/(1700)0,5 = 1,74P(t > 400) = P(z > 1,74) = 0,5 P(z < 1,74) = 0,5 0,4591 = 0,0409.

5.10

P(z < ?) = P(z < ?) = 0,5 0,12 = 0,38, portanto, z = 1,18 ... z = (a )/, 1,18 = (19 )/, = (19 )/1,18P(z < ?) = 0,5 0,28 = 0,22, portanto, z = 0,58 ... z = (b )/, 0,58 = (34 )/, = (34

)/0,58


39/104


(19 )/1,18 = (34 )/0,58 ... 11,02 + 0,58 = 40,12 1,18 ... 1,76 = 51,14 ... = 29,06e 0,58 = (34 )/ ... 0,58 = (34 29,06)/ ... = 8,52,

2= 72,64.

5.11

X1 N (10; 9), X2 N (2; 4) e X3 N (5; 25)X1 + X2 + X3 = T ou N (10; 9) + N (2; 4) + N (5; 25)= N (13; 38).

5.12

a) [(a )/ < z < (b )/] = [(0,20 0,25)/0,02 < z < (0,28 0,25)0,02]P(0,20 < x < 0,28) = P(2,5 < z < 1,5) = P(z < 2,5) + P(z < 1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,9270,portanto, 1 0,9270 = 0,0730 a porcentagem de defeituosos.

b) P(z < ?) = 0,5 0,12 = 0,38, portanto, z = 1,17 ... z = (a )/ ... 1,17 = (? 0,25)/0,02... ? = 0,2266 polegadas.

5.13

z > (a )/ = z > (45 45)/3, P(x > 45) = P(z > 0) = 0,5z > (b )/ = z > (45 40)/6, P(x > 45) = P(z > 0,83) = 0,5 0,2967 = 0,2033Deve ser preferido o equipamento 1, uma vez que sua probabilidade de funcionar por mais de45 horas maior que a probabilidade do equipamento 2.

5.14

P(z < ?) = 0,10 ... P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28z = (a )/ ... 1,28 = [(400 )/20] ... = 425,6 g.

5.15

a) [(a )/ < z < (b )/] = {[( ) ]/ < z < [( + ) ]/} = [/ < z < /]P( < X < + ) = P(1 < z < 1) = 2 * P(z < 1) = 2 * 0,3413 = 0,6826.

b) [(a )/ < z < (b )/] = {[( 2) ]/ < z < [( + 2) ]/} = [2/ < z < 2/]P( 2 < X < + 2) = P(2 < z < 2) = 2 * P(z < 2) = 2 * 0,4772 = 0,9544.

c) [(a )/ < z < (b )/] = {[( 3) ]/ < z < [( + 3) ]/} = [3/ < z < 3/]P( 3 < X < + 3) = P(3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973.

d) [(a )/ < z < (b )/] = {[( 1,5) ]/ < z < [( + 1,5) ]/} = [1,5/ < z ?) = 0,30, P(x < ?) = 0,5 0,30 = 0,20P(z < ?) = 0,20, portanto, z = 0,52 ... z = (a )/ ... 0,52 = (? 120)/9 ... ? = 124,68.

e) P(x < ?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 0,25 = 0,25P(z < ?) = 0,25, portanto, z = 0,67 ... z = (a )/ ... 0,67 = (? 5)/3 ... ? = 2,99.

f) P(x > ?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 0,25 = 0,25P(z < ?) = 0,25, portanto, z = 0,67 ... z = (a )/ ... 0,67 = (? 78)/11 ... ? = 85,37.

g) P(x < ?) = 0,5P(z < ?) = 0,5, portanto, z = 0 ... ? = = 30.

5.18

a) P(Z < Zo) = 0,05, P(Z < Zo) = 0,5 0,05 = 0,45, portanto, z = 1,64.

b) P(Z < Zo) = 0,12, P(Z < Zo) = 0,5 0,12 = 0,38, portanto, z = 1,17.

c) P(Z < Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39.

d) P(Z < Zo) = 0,50, portanto, z = 0.

e) P(Z < Zo) = 0,60, P(Z < Zo) = 0,60 0,5 = 0,10, portanto, z = 0,25.

f) P(Z < Zo) = 0,75, P(Z < Zo) = 0,75 0,5 = 0,25, portanto, z = 0,67.

g) P(Z < Zo) = 0,90, P(Z < Zo) = 0,90 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28.

h) P(Z > Zo) = 0,72, P(Z < Zo) = 0,28, P(Z < Zo) = 0,5 0,28 = 0,22, portanto, z = 0,58.

i) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39.

j) P(Z > Zo) = 0,38, P(Z < Zo) = 0,5 0,38 = 0,12, portanto, z = 0,31.


41/104


l) P(Z > Zo) = 0,08, P(Z < Zo) = 0,5 0,08 = 0,42, portanto, z = 1,41.

5.19

X N (65; 100)

P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04,z = (a )/ ... 1,04 = (a 65)/10 ... a = 75,4;P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39,z = (b )/ ... 0,39 = (b 65)/10 ... b = 68,9;P(z > c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 0,5 = 0,15, portanto, z = 0,39,z = (c )/ ... 0,39 = (c 65)/10 ... c = 61,10;P(z > d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28,z = (d )/ ... 1,28 = (d 65)/10 ... d = 52,20;Portanto,

E D C B A

0 52,20 61,10 68,90 75,40 100

5.20

X N (50 ohms; 40 ohms2), P(a < x < b) = 0,99 e |a| = |b|

P(z < b) = 0,99/2 = 0,4950, portanto z = 2,575z = (b )/ ... 2,575 = (b 50)/6,32 ... 16,27 = (b 50) ... b = 16,27 + 50 (limite superior) ez = (a )/ ... 2,575 = (a 50)/6,32 ... 16,27 = (a 50) ... a = 16,27 50 (limite inferior).

5.21

X N (70; 100)P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04,z = (a )/ ... 1,04 = (a 70)/10 ... a = 80,4;P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39,z = (b )/ ... 0,39 = (b 70)/10 ... b = 73,9;P(z > c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 0,5 = 0,15, portanto, z = 0,39,z = (c )/ ... 0,39 = (c 70)/10 ... c = 66,10;P(z > d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28,z = (d )/ ... 1,28 = (d 70)/10 ... d = 57,20;Portanto,

E D C B A

0 57,20 66,10 73,90 80,40 100

5.22

X N (1,5 ano; 0,09 ano2)

z < (a )/ = z < (1 1,5)/0,3 = z < 1,67,P(x < 1 ano) = P(z < 1,67) = 0,5 P(z < 1,67) = 0,5 0,4525 = 0,0475, ou, 570 mquinas.

5.23

P(x < 20), z < (a )/ = z < (20 18)/5, P(z < 0,40) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554P(x < 20), z < (b )/ = z < (20 20)/2, P(z < 0) = 0,50Deve ser escolhido o trajeto A, uma vez que sua probabilidade maior que a probabilidade do

trajeto B.


42/104


5.24

X N (104 anos; 225 anos2)P(x < 98), z < (a )/ = z < (98 104)/15, P(z < 0,4) = 0,5 P(z < 0,4) = 0,5 0,1554 =

0,3446, ou 1.378,5 empregados tm QI abaixo de 98P(x > 110), z > (b )/ = z < (110 104)/15, P(z > 0,4) = 0,5 P(z < 0,4) = 0,5 0,1554 =0,3446, ou 1.378,5 empregados tm QI acima de 110, assim,Total de adaptados = Total de empregados Total de no capacitados Total desupercapacitados = 4.000 1.378,5 1.378,5 = 1.243.

5.25

a) P(x > 200), z > (a )/ = z > (200 250)/20, P(z > 2,5) = 0,5 + P(z < 2,5) = 0,5 + 0,4938= 0,9938.

b) X = N(250, 20), portanto, Y = N(1000, 80)

P(y > 1150), z > (a )/ = z > (1150 1000)/80, P(z > 1,875) = 0,5 P(z < 1,875) = 0,5 0,4672 = 0,0328.

5.26

X N (2; 0,0001), P(2,03 < x < 2,03) = ?[(a )/ < z < (b )/] = {[( 3) ]/ < z < [( + 3) ]/} = [3/ < z < 3/]P( 3 < X < + 3) = P(3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973 de nodefeituosos, portanto, apenas 26 seriam defeituosos.

5.27

a) P(x > 50), z > (a )/ = z > (50 45)/8, P(z > 0,63) = 0,5 P(z < 0,63) = 0,5 0,2357 =0,2643.

b) P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28z = (a )/, 1,28 = [(a 45)/8], a = 55 min e 15 segundos.

5.28

X1 N (94; 2,98) * 22 = N (2068; 65,56)X2 N (42; 1,21) * 14 = N (588; 16,94)

e X3 N (3,35; 0,04) * 120 = N (402,0; 4,8)22 * X1 + 14 * X2 + 120 * X3 = T = N (3058; 87,3).Peso Total = Caminho Vazio + Motorista + Produtos, Produtos = 3040P(x < 3040) = ?, z < (a )/ = z < (3040 3058)/(87,3)0,5, P(z < 1,92) = 0,5 P(z < 1,92) =0,5 0,4726 = 0,0274Probabilidade de ser multado = 1,00 0,0274 = 0,9726 = 97%.

5.29

a) P(x < 80) = 0,5.

b) P(x > 120) = ?, z > (a )/ = z > (120 80)/20, P(z > 2) = 0,5 P(z < 2) = 0,5 0,4772 =

0,0228.


43/104


c) P(x < 60) = ?, z < (a )/ = z < (60 80)/20, P(z < 1) = 0,5 P(z < 1) = 0,5 0,3413 =

0,1587 ou 32 candidatos.

5.30

P(y > 22) = ?, z > (a )/ = z > (22 16)/4, P(z > 1,5) = 0,5 P(z < 1,5) = 0,5 0,4332 =0,0668.P(y < 15) = ?, z < (a )/ = z < (15 16)/4, P(z < 0,25) = 0,5 P(z < 0,25) = 0,5 0,0987 =0,4013.

5.31

a) P(x < 700) = ?, z < (a )/ = z < (700 800)/90, P(z < 1,11) = 0,5 P(z < 1,11) = 0,5 0,3665 = 0,1335.

b) P(780 < x < 820) = ?, [(a )/ < z < (b )/] = (780 800)/90 < z < (820 800)/90 =

0,22 < z < 0,22, P(0,22 < z < 0,22) = 2 * P(z < 0,22) = 2 * 0,0871 = 0,1742.

c) P(Peixe acima, Peixe abaixo) + P(Peixe abaixo, Peixe acima) = 0,5.

5.32

X1 N (2; 0,01), X2 N (1; 0,00600625), X3 N (0,5; 0,00399424) e X4 N (1,5; 0,01100401)X1 + X2 + X3 + X4 = N (5; 0,0310045)P(4,9 < x < 5,1) = ?, [(a )/ < z < (b )/] = (4,9 5)/ 0,18 < z < (5,1 5)/ 0,18 = 0,56 < z< 0,56, P(0,56 < z < 0,56) = 2 * P(z < 0,56) = 2 * 0,2123 = 0,4246.


44/104


SRIE II

5.33

a) P(t < 1000) = 1 e t / 1000 = 1 e 1 = 1 0,3679 = 0,6321.

b) = 1/, = 1/ (1/1000), portanto, = 1000P(t > 1000) = e t / 1000 = e1 = 0,3679.

c) = 1/, = 1/ (1/1000), = 1000 horas.

5.34

a) = t, 0,25 = * 1, = 0,25P(t < 1) = 1 e

t= 1 e

0,25 * (1)= 1 e

0,25= 1 0,7788 = 0,2212.

b) P(10 < t < 12) = e t1 e t2 = e 0,25 * 10 e 0,25 * 12 = e 2,5 e 3 = 0,0821 0,0498 =0,0323.

c) P(t = 4) = 0, uma vez que a rea de um ponto igual a zero.

d) P(t > 3) = e t = e 0,25 * (3) = e 0,75 = 0,4724.

5.35

a) = 1 / , 4 = 1 / , = 0,25P(t > 4) = e

t= e

0,25 * (4)= e

1= 0,3679.

b) P(t < 5) = 1 e t = 1 e 0,25 * (5) = 1 e 1,25 = 1 0,2865 = 0,7135.

c) P(t = 4) = 0, uma vez que a rea de um ponto igual a zero.

5.36

= 1 / , 100 = 1 / , = 0,01, portanto, P(t > 200) = e 0,01 * 200 = e 2 = 0,1353.


45/104


SRIE III

5.37

= 23, portanto,Mdia: (x

223) = 23,

Varincia: 2

(x223) = 2 * 23 = 46 e Desvio padro: (x

223) = (46)

0,5

= 6,78,3

oQuartil: = 23 e = 0,25, Q3 = 27,141.

5.38

= 8 e = 0,10, assim, X2sup. = 13,36 e = 8 e = 0,90, assim, X2inf. = 3,49.

5.39

= 23, portanto,Mdia: (t23) = 0 e Moda: Mo = 0,

Varincia: 2(t23) = 23 / (23 2) = 1,095 e Desvio-padro: (t23) = (1,095)0,5 = 1,0465,3

oQuartil: = 23 e = 0,25, Q3 = 0,6853 e, por simetria, 1

oQuartil: Q1 = 0,6853.

5.40

a: = 20 e = 0,10, a = 1,3253 e b: = 20 e = 0,025, b = 2,0860.

5.41

1 = 8 e 2 = 10, portanto,

Mdia: = 2 /(2 2), = 10 / 8 = 1,25Varincia: 2 = [2 * 22 * (1 + 2 2)] / [1 * (2 4) * (2 2)2] = (2 * 100 * 16)/(8 * 6 * 64) =

1,042 e Desvio-padro: = (1,042)0,5

= 1,021P95 = F5% (8, 10) = 3,07, logo, P95 = 3,07 eP5 = F95% (8, 10) = 1 / [F5% (10, 8)] = 1 / 3,35 = 0,2985, logo, P5 = 0,2985.

5.42

a) P(Z < Zo) = 0,25, P(Z < Zo) = 0,5 0,25 = 0,25, portanto, z = 0,67,z = (a )/, 0,67 = [(a 100)/7], a = 95,31.

b) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39.

c) P(Z < Zo) = 0,80, P(Z < Zo) = 0,80 0,5 = 0,30, portanto, z = 0,84.

d) P(1,57 z 2,42) = P(z < 1,57) + P(z < 2,42) = 0,4418 + 0,4922 = 0,9340.

e) P(Z < Zo) = 0,40, portanto, z = 1,28, z = (a )/, 1,28 = [(a 2.000)/45], a = $ 2.057,60.

f) 1o Quartil: = 30 e = 0,75, Q1 = 24,478.

g) X2: = 15 e = 0,90, X2 = 8,55.

h) X2: = 15 e = 0,10, X2 = 22,31.

i) 2

(x2

23) = 50, portanto, = 25, D9: = 25 e = 0,10, D9 = 34,381.


46/104


j) inf: x

2inf= 13,8 e = 26, inf= 0,975 e sup: x

2sup = 38,9 e = 26, sup = 0,05, portanto

P(13,8 x226 38,9) = P(x

226 13,8) P(x

226 38,9) = 0,975 0,05 = 0,925.

l) 3o Quartil: = 5 e = 0,25, Q3 = 0,7267.

m) : = 8 e t = 2,3060, = 0,025.n) : = 14 e t = 2,9768, = 0,005, portanto, compl. = 1 0,005 = 0,995.

o) 1: = 22 e t = 1,3212, 1 = 0,10 e 2: = 22 e t = 2,8188, 2 = 0,005,P(1,3212 t22 2,8188) = P(t22 1,3212) P(t22 2,8188) = 0,90 0,005 = 0,895.

p) 95 Percentil: = 27 e = 0,05, P95 = 1,7033.

q) 1: = 30 e t = 0,68276, 1 = 0,25 e 2: = 30 e t = 2,7500, 2 = 0,005,P(0,68276 t30 2,7500) = P(t22 0,68276) P(t22 2,7500) = 0,75 0,005 = 0,745.

r) P5 = F95% (8, 7) = 1 / [F5% (7, 8)] = 1 / 3,50 = 0,2857, logo, P5 = 0,2857.

s) P95 = F5% (7, 8) = 3,50, logo, P95 = 3,50.

t) Psup = Fsup (1, 8) = 5,32, logo, Sup = 0,05 e P inf= 1 / Finf(8, 1) = 0,00418, logo, Inf = 0,95P(0,00418 F(1, 8) 5,32) = P(F(1, 8) 0,00418) P(F(1, 8) 5,32) = 0,95 0,05 = 0,90

u) Pinf= 1 / Finf(4, 6) = 0,22075, Finf(4, 6) = 0,05, logo, Inf = 0,05


47/104

Captulo 6 Distribuies Amostrais 1

Captulo 6 Distribuies Amostrais

Solues e Respostas

SRIE I6.1

a) Mdia da Populao: = xi / N = 14 / 4 = 3,5

b) Desvio-Padro da Populao: 2 = [(xi )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e = 1,1180

c) Amostras = {(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5);(5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5)}Mdia da distribuio amostral das mdias: (xmdia) = (xmdia da amostra 1 + ... + xmdia mostra n) /N

ode amostras = (2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5 +

5) / 16 = 56 / 16 = 3,5

d) Desvio-Padro da distribuio amostral das mdias: 2(xmdia) = [(xmdia de cada amostra (xmdia)

2] / N

ode amostras = [( 1,5)

2+ ( 1)

2+ ( 0,5)

2+ (0)

2+ ( 1)

2+ ( 0,5)

2+ (0)

2+

(0,5)2

+ ( 0,5)2

+ (0)2

+ (0,5)2

+ (1)2

+ (0)2

+ (0,5)2

+ (1)2

+ (1,5)2] / 16 = 10 / 16 = 0,625 e

(xmdia) = 0,7906

Fica constatado que:(xmdia) = , uma vez que 3,5 = 3,5 e(xmdia) = / (n)

0,5, uma vez que 0,7906 = 1,1180 / (2)

0,5

6.2

a) Mdia da Populao: = xi / N = 14 / 4 = 3,5

b) Desvio-Padro da Populao: 2 = [(xi )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e = 1,1180

c) Amostras = {(2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5, 4)}Mdia da distribuio amostral das mdias: (xmdia) = (xmdia da amostra 1 + ... + xmdia mostra n) /N

ode amostras = (2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5) / 12 = 42 /

12 = 3,5

d) Desvio-Padro da distribuio amostral das mdias: 2(xmdia) = [(xmdia de cada amostra (xmdia)

2] / N

ode amostras = [( 1)

2+ ( 0,5)

2+ (0)

2+ ( 1)

2+ (0)

2+ (0,5)

2+ ( 0,5)

2+ (0)

2+

(1)2

+ (0)2

+ (0,5)2

+ (1)2] / 12 = 10 / 12 = 0,4167 e (xmdia) = 0,6455

Fica constatado que:(xmdia) = , uma vez que 3,5 = 3,5 e(xmdia) = [(x) / (n)

0,5] * [(N n)/(N 1)]

0,5, uma vez que 0,6455 = [1,1180 / (2)

0,5] * (2/3)

0,5

6.3

Mdia Amostral: xmdia; Varincia Amostral: S2; Freqncia Relativa: f ; Diferena entre duas

Mdias: (xmdia1 xmdia2); Diferena entre duas Freqncias Relativas: (f1 f2)


48/104


6.4

a) p = probabilidade de uma pea boa = 2/4 = Como neste primeiro caso temos reposio das peas, o nmero de amostras igual a N

n

= 42

= 16 amostras: {(B1, B1); (B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, B1); (B2, B2); (B2, D1);(B2, D2); (D1, B1); (D1, B2); (D1, D1); (D1, D2); (D2, B1); (D2, B2); (D2, D1); (D2, D2)}

Para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o nmero de casos favorveisao evento; retirar pelo menos uma pea boa sobre o nmero total de casos da amostra.Multiplicando cada um destes fpela probabilidade da amostra ocorrer (1/16), teremos (f).Portanto,(f) = 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * + 1/16 * + 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * +1/16 * + 1/16 * + 1/16 * + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 + 1/16 * + 1/16 * + 1/16 * 0/2 +1/16 * 0/2 = 4 * (1/16 * 2/2) + 8 * (1/16 * ) + 4 * (1/16 * 0) =

Como p = e as amostras so de tamanho 2 e com reposio, temos:[(p * q) / n] = [( * ) / 2] = 1/8Para encontrar

2(f), devemos encontrar a E[f

2] e subtrair (f)

2.

E[f2] = f

2* p(f) = (2/2)

2* 1/16 + (2/2)

2* 1/16 + ()

2* 1/16 + ()

2* 1/16 + (2/2)

2* 1/16 +

(2/2)2

* 1/16 + ()2

* 1/16 + ()2

* 1/16 + ()2

* 1/16 + ()2

* 1/16 + (0/2)2

* 1/16 + (0/2)2

*

1/16 + ()2

* 1/16 + ()2

* 1/16 + (0/2)2

* 1/16 + (0/2)2

* 1/16 = 4 * [(2/2)2

* 1/16] + 8 * [()2

*1/16] + 4 * [0 * 1/16] = 3/8

2(f) = E[f

2] (f)

2= 3/8 (1/2)

2= 1/8

Portanto, fica constatado que:(f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e

2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 0,125 = 0,125.

b) p = probabilidade de uma pea boa = 2/4 = Como neste segundo caso no temos reposio das peas, o nmero de amostras iguala = N = 4 = 6 amostras: {(B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, D1); (B2, D2); (D1, D2)}

n 2Novamente, para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o nmero de

casos favorveis ao evento; retirar pelo menos uma pea boa sobre o nmero total decasos da amostra. Multiplicando cada um destes fpela probabilidade da amostra ocorrer(1/6), teremos (f).Portanto,(f) = 1/6 * 2/2 + 1/6 * + 1/6 * + 1/6 * + 1/6 * + 1/6 * 0/2 = (1/6 * 2/2) + 4 * (1/6 * )+ (1/16 * 0) =

Como p = e as amostras so de tamanho 2 e sem reposio, temos:[(p * q) / n] * [(N n) / (N 1)] = [( * ) / 2] * [(4 2) / (4 1)] = 1/8 * 2/3 = 1/12Novamente, para encontrar

2(f), devemos encontrar E[f

2] e subtrair (f)

2.

E[f2] = f

2* p(f) = (2/2)

2* 1/6 + ()

2* 1/6 + ()

2* 1/6 + ()

2* 1/6 + ()

2* 1/6 + (0/2)

2* 1/6

= [(2/2)2

* 1/6] + 4 * [()2

* 1/6] + [0 * 1/6] = 1/3

2(f) = E[f

2] (f)

2= 1/3 (1/2)

2= 1/12

Portanto, fica constatado que:(f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e

2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 1/12 = 1/12.

6.5

xmdia = xi / n = (5 + 6 + ... + 4) / 30 = 104 / 30 = 3,48,utilizando o estimador, x

*= N * xmdia, x = 15000 * 104 /30 = 52.000.


49/104


6.6

xmdia = ( xi *Fi) / n = (42 * 23 + ... + 3 * 1) / 50 = 1471 / 50 = 29,42,utilizando o estimador, x

*= N * xmdia, x = 676 * 29,42 = 19.888 assinaturas.


50/104

Captulo 7 Inferncia Estatstica: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiana 1

Captulo 7 Inferncia Estatstica: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiana

Solues e Respostas

SRIE I7.1

n = 25, xmdia = 5,2 mm, = 1,2 mmPara (1 ) * 100 = 90%, /2 = 5%, portanto z = 1,64; aplicando a frmula:P {xmdia [z * /(n)

0,5] xmdia + [z * /(n)

0,5]} temos,

P [5,2 (1,64 * 1,2 / 5) 5,2 + (1,64 * 1,2 / 5)] = P (4,81 5,59), portanto, o intervalo[4,81; 5,59] contm a mdia populacional com 90% de confiana.

Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 2,5%, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula:P {xmdia [z * /(n)

0,5] xmdia + [z * /(n)

0,5]} temos,

P [5,2 (1,96 * 1,2 / 5) 5,2 + (1,96 * 1,2 / 5)] = P (4,73 5,67), portanto, o intervalo

[4,73; 5,67] contm a mdia populacional com 95% de confiana.

Para (1 ) * 100 = 99%, /2 = 0,5%, portanto z = 2,56, que aplicando a frmula:P {xmdia [z * /(n)

0,5] xmdia + [z * /(n)

0,5]} temos,

P [5,2 (2,56 * 1,2 / 5) 5,2 + (2,56 * 1,2 / 5)] = P (4,58 5,82), portanto, o intervalo[4,58; 5,82] contm a mdia populacional com 99% de confiana.

7.2

n = 6, xmdia = 26,883, = 1,4Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula:P {xmdia [z * /(n)

0,5] xmdia + [z * /(n)

0,5]} temos,

P [26,88 (1,96 * 1,4 / 2,45) 26,88 + (1,96 * 1,4 / 2,45)] = P (25,76 28,00), portanto,o intervalo [25,76; 28,00] contm a mdia populacional com 95% de confiana.

Para (1 ) * 100 = 90%, /2 = 0,05, portanto z = 1,64, que aplicando a frmula:P {xmdia [z * /(n)

0,5] xmdia + [z * /(n)

0,5]} temos,

P [26,88 (1,64 * 1,4 / 2,45) 26,88 + (1,64 * 1,4 / 2,45)] = P (25,94 27,82), portanto,o intervalo [25,94; 27,82] contm a mdia populacional com 90% de confiana.

7.3

n = 100, xmdia = 175 cm, = 15 cmPara (1 ) * 100 = 95%, /2 = 2,5%, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula:P {xmdia [z * /(n)0,5] xmdia + [z * /(n)0,5]} temos,P [175 (1,96 * 15 / 10) 175 + (1,96 * 15 / 10)] = P (172,06 177,94), portanto, ointervalo [172,06 cm; 177,94 cm] contm a verdadeira altura mdia dos alunos com 95% deconfiana.

7.4

n = 10, xmdia = 110, S = 10Para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 9, portanto t = 1,83, que aplicando a frmula:P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos,

P [110 (1,83 * 10 / 3,16) 110 + (1,83 * 10 / 3,16)] = P (104,21 115,79), portanto, o

intervalo [104,21; 115,79] contm a mdia populacional com 90% de confiana.


51/104


Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 9, portanto t = 2,26, que aplicando a frmula:P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos,

P [110 (2,26 * 10 / 3,16) 110 + (2,26 * 10 / 3,16)] = P (102,85 117,15), portanto, ointervalo [102,85; 117,15] contm a mdia populacional com 95% de confiana.

Admite-se a hiptese de que a distribuio de probabilidade da populao seja normal.

7.5

n = 16, xmdia = 10,875, S = 2,63Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 15, portanto t = 2,1315, que aplicando afrmula:P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos,

P [10,875 (2,1315 * 2,63 / 4) 10,875 + (2,1315 * 2,63 / 4)] = P (9,474 12,276),portanto, o intervalo [9,474; 12,276] contm a mdia populacional com 95% de confiana.

Para (1 ) * 100 = 80% e graus de liberdade = 15, portanto t = 1,3406, que aplicando a

frmula:P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos,

P [10,875 (1,3406 * 2,63 / 4) 10,875 + (1,3406 * 2,63 / 4)] = P (9,994 11,756),portanto, o intervalo [9,994; 11,756] contm a mdia populacional com 80% de confiana.

A amplitude do primeiro intervalo de 2,80, enquanto a amplitude do segundo de1,77. A preferncia poderia ser pelo segundo intervalo, mas sua probabilidade de erro de20%, enquanto a probabilidade do primeiro de apenas 5%. Logo, a opo de escolha peloprimeiro a mais indicada.

7.6

n = 30, xmdia = 296,63 kg, S = 22,23 kgPara (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando a frmula:P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos,

P [296,63 (2,05 * 22,23 / 5,48) 296,63 + (2,05 * 22,23 / 5,48)] = P (287,31 305,95),portanto, a amostra satisfaz especificao, pois o intervalo [287,31 kg; 305,95 kg] contm opeso mdio da populao (300 kg) com 95% de confiana.

7.7

a) xmdia = xi / n = 394 / 30 = 13,13 e S2

= [(xi xmdia)2] / (n 1) = 2,05.

b) Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 29, portanto t = 2,05, que aplicando afrmula: P {xmdia [t * S/(n)0,5] xmdia + [t * S/(n)0,5]} temos,P [13,13 (2,05 * 1,43 / 5,48) 13,13 + (2,05 * 1,43 / 5,48)] = P (12,60 13,66),portanto, o intervalo [12,60; 13,66] contm a mdia populacional com 94,5% de confiana.

7.8

n = 4, xmdia = 29,2 s, S2

= 5,76 s2, S = 2,4

Para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 3, portanto t = 2,35, que aplicando a frmula:P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos,

P [29,2 (2,35 * 2,4 / 2) 29,2 + (2,35 * 2,4 / 2)] = P (26,38 32,02), portanto, ointervalo [26,38 s; 32,02 s] contm a mdia populacional com 90% de confiana.


52/104


7.9

a) n = 12, xmdia = 10,42 e S = 4,98Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 11, portanto t = 2,2, que, aplicando afrmula: P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos

P [10,42 (2,2 * 4,98 / 3,46) 10,42 + (2,2 * 4,98 / 3,46)] = P (7,25 13,59),portanto, o intervalo [7,25; 13,59] contm a mdia populacional com 95% de confiana.

b) n = 55, xmdia = 23,37 e S = 4,38Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 54, portanto t = 2,0049, que aplicando afrmula: P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos

P [23,37 (2 * 4,38 / 7,42) 23,37 + (2 * 4,38 / 7,42)] = P (22,19 24,55), portanto,o intervalo [22,19 24,55] contm a mdia populacional com 95% de confiana.

c) n = 15, xmdia = 10,33 e S = 4,24.Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto t = 2,1448, que aplicando afrmula: P {xmdia [t * S/(n)

0,5] xmdia + [t * S/(n)

0,5]} temos

P [10,33 (2,15 * 4,24 / 3,87) 10,33 + (2,15 * 4,24 / 3,87)] = P (7,97 12,69),

portanto, o intervalo [7,97; 12,69] contm a mdia populacional com 95% de confiana.

7.10

a) n = 6, S2 = 0,72Para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 5, portanto x

2inf = 1,145 e x

2sup = 11,071,

que aplicando a frmula: P {[(n 1) * S2] / x

2sup

2 [(n 1) * S

2] / x

2inf} temos

P [(5 * 0,72) / 11,1 2 (5 * 0,72) / 1,15] = P (0,32

2 3,13), portanto, o intervalo [0,32;

3,13] contm a varincia populacional com 90% de confiana.

b) n = 15, S2 = 3,81Para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 14, portanto x

2inf = 6,571 e x

2sup = 23,685,

que aplicando a frmula: P {[(n 1) * S2] / x2sup2 [(n 1) * S2] / x2inf} temosP [(14 * 3,81) / 23,685

2 (14 * 3,81) / 6,57] = P (2,25

2 8,12), portanto, o intervalo

[2,25; 8,12] contm a varincia populacional com 90% de confiana.

7.11

n = 10, S2

= 2,25Para (1 ) * 100 = 80% e graus de liberdade = 9, portanto x

2inf = 4,168 e x

2sup = 14,684, que

aplicando a frmula: P {[(n 1) * S2] / x

2sup

2 [(n 1) * S

2] / x

2inf} temos

P [(9 * 2,25) / 14,684 2 (9 * 2,25) / 4,168] = P (1,38

2 4,86), portanto, o intervalo [1,38;

4,86] contm a varincia populacional com 80% de confiana.Admite-se a hiptese de que a distribuio de probabilidade da populao seja normal.

7.12

Relembrando a frmula de varincia e aplicando os valores, temosS

2= 1 / (n 1) * [(xi

2) (xi)

2/ n] = 1 / (15 1) * [27,3 (8,7)

2/ 15] = 1,59 e n = 15,

Para (1 ) * 100 = 95% e graus de liberdade = 14, portanto x2inf = 5,629 e x

2sup = 26,12, que


2sup

2 [(n 1) * S

2] / x

2inf} temos

P [(14 * 1,59) / 26,12 2 (14 * 1,59) / 5,629] = P (0,85

2 3,95), portanto, o intervalo

[0,85; 3,95] contm a varincia populacional com 95% de confiana.


53/104


7.13

n = 30, S2

= 494,17Para (1 ) * 100 = 99% e graus de liberdade = 29, portanto x

2inf= 13,121 e x

2sup = 52,336, que

aplicando a frmula: P {([(n 1) * S2] / x

2sup)

0,5

2 ([(n 1) * S

2] / x

2inf)

0,5} temos

P {[(29 * 494,17) / 52,336]0,5

[(29 * 494,17) / 13,121]0,5

} = P (16,55 33,05), portanto,

o intervalo [16,55; 33,05] contm o desvio-padro populacional com 99% de confiana.

7.14

Relembrando a frmula de varincia e aplicando os valores, temosS

2= 1 / (n 1) * [(xi

2) (xi)

2/ n] = 1 / (30 1) * [23436,80 (700,8)

2/ 30] = 243,66 e n = 30,

para (1 ) * 100 = 90% e graus de liberdade = 29, portanto x2inf= 17,708 e x

2sup = 42,557, que


2sup

2 [(n 1) * S

2] / x

2inf} temos

P [(29 * 243,66) / 42,557 2 (29 * 243,66) / 17,708] = P (166,04

2 399,04), portanto, o

intervalo [166,04; 399,04] contm a varincia populacional com 90% de confiana.

7.15

n = 100, f = 0,93Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula:P {f [z * (f * (1 f) / n)

0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)

0,5]} temos

P {0,93 [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100)0,5

] p 0,93 + [1,96 * (0,93 * 0,07 / 100)0,5

]} = P (0,88 p 0,98), portanto, o intervalo [16,55; 33,05] contm a proporo populacional com 95% deconfiana.

7.16


0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)

0,5]} temos

P {0,25 [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400)0,5

] p 0,25 + [2,33 * (0,25 * 0,75 / 400)0,5

]} = P (0,20 p 0,30), portanto, o intervalo [0,20; 0,30] contm a proporo populacional com 98% deconfiana.

7.17

n = 50, f= 0,60Para (1 ) * 100 = 96%, /2 = 0,02, portanto z = 2,05, que aplicando a frmula:P {f [z * (f * (1 f) / n)

0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)

0,5]} temos

P {0,60 [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50)

0,5

]

p

0,60 + [2,05 * (0,60 * 0,40 / 50)

0,5

]} = P (0,46

p0,74), portanto, pode-se dizer, ao nvel de 96%, que a moeda honesta, pois o intervalo de

confiana para a proporo de caras [0,46; 0,74] contm p = 50%.

7.18


0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)

0,5]} temos

P {0,2083 [2,575 * (0,2083 * 0,7917 / 120)0,5

] p 0,2083 [2,575 * (0,2083 * 0,7917 /120)

0,5]} = P (0,1128 p 0,3038), portanto, pode-se dizer, ao nvel de 99%, que o dado

honesto, pois o intervalo de confiana para a proporo de cincos [0,11; 0,30] contm p = 17%.


54/104


7.19


0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)

0,5]} temos

P {0,60 [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5

] p 0,60 [1,645 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5

]} = P (0,553 p 0,647), portanto, o intervalo [0,553; 0,647] contm a proporo populacional de favorveis fluorao com 90% de confiana.Para (1 ) * 100 = 95%, /2 = 0,025, portanto z = 1,96, que aplicando a frmula:P {f [z * (f * (1 f) / n)

0,5] p f + [z * (f(1 f) / n)

0,5]} temos

P {0,60 [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5

] p 0,60 [1,96 * (0,60 * 0,40 / 300)0,5

]} = P (0,545 p 0,655), portanto, o intervalo [0,545; 0,655] contm a proporo populacional de favorveis fluorao com 95% de confiana.


55/104

Captulo 8 Amostragem 1

Captulo 8 Amostragem

Solues e Respostas

SRIE I8.1

a) = 7000, d = 2000, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2,aplicando a frmula:n = {(z

2*

2* N) / [d

2* (N 1) + z

2*

2]}

= [4 * 49000000 * 100 / (4000000 * 99 + 4 * 49000000)]

= 196 * 108

/ 592 * 106

= 33.

b) n = 33 e N = 100, portanto, a = 100 / 33 = 3 e a amostra ser composta pelos elementoscorrespondentes a: 1, 4, 7,10, ..., 100, ou seja, a amostra ser:29, 12, 34, 30, 24, 31, 20, 4, 14, 18, 31, 18, 26, 5, 30, 29, 32, 21, 16, 22, 32, 13, 23, 21, 32,30, 14, 22, 19, 7, 26, 30, 17, 9.

c) Amplitude: r = 34 4 = 30No de intervalos: k 1 + 3,22 * log34 1 + 3,22 * 1,53 6Tamanho do intervalo: h 30 / 6 5


1 4 9 3

2 9 14 3

3 14 19 6

4 19 24 7

5 24 29 3

6 29 34 12

Somas 34

d) xmdia = ( xi *Fi) / n = (6,5 * 3 + ...+ 31,5 * 12) / 34 = 22,38, ou seja, $ 2.238.

e) S2 = 1 / (n 1) * [(xi2 * Fi) (xi * Fi)

2 / n] = 1 / (34 1) * [19406,5 (761)2 / 34] = 71,93,

portanto S = 8,48, ou seja, $ 848.

f) = xi / n = (29 + ...+ 9) / 100 = 19,62, ou seja, $ 1962,| xmdia | = | 1962 2238 | = $ 276 que menor que $ 2.000, portanto, | x mdia | d foiverificado.

8.4

pest = qest = 0,5, d = 0,05, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2,aplicando a frmula:n = z

2* pest * qest / d

2= 4 * 0,25 / 0,0025 = 400.

8.5

pest = qest = 0,5, d = 0,05, N = 200.000, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2, aplicando afrmula: n = {(z

2* pest * qest * N) / [d

2* (N 1) + z

2* pest * qest]}

, temos

[4 * 0,25 * 200000 / 0,0025 * (199999) + 4 * 0,25)] = 200000 / 499,9975 = 399. Comparando-seos resultados de 8.4 e 8.5, verifica-se que o clculo do tamanho amostral para uma populaode 200.000 d, aproximadamente, o mesmo resultado, se considerarmos a populao infinita.


56/104

Captulo 8 Amostragem 2

8.7

pest = qest = 0,5, d = 0,03, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2,aplicando a frmula:n = z

2* pest * qest / d

2= 4 * 0,25 / 0,0009 = 1111, ou seja, uma amostra de 1.111 semforos.

8.8

= 10, d = 3, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2,aplicando a frmula:n = (z * / d)

2= (2 * 10 / 3)

2= 44.

8.9

a) O fato de cada criana receber um questionrio no garante aleatoriedade ao processo,uma vez que famlias que no tm filhos ou crianas que faltaram, por exemplo, noparticipam da amostra.

b) Apesar de o centro da cidade apresentar grande nmero de pessoas ao meio-dia, oprocesso no pode ser considerado aleatrio, pois no garante que todas as pessoas dapopulao participem da amostra.

c) Apesar da escolha ser aleatria, os 10 membros no representam todos os 26 Estados.

8.10

= 3, d = 1, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2,aplicando a frmula:n = (z * / d)

2= (2 * 3 / 1)

2= 36.

8.11

pest = qest = 0,5, d = 0,03, N = 10000, (1 ) * 100 = 99%, ou seja: z = 2,57, aplicando afrmula: n = {(z


2* (N 1) + z

2* pest * qest]}

, temos

[6,60 * 0,25 * 10000 / 0,0009 * (9999) + 6,60 * 0,25)] = 16500 / 10,65 = 1550.

8.12

pest = 0,4, qest = 0,6, d = 0,025, N = 5000, (1 ) * 100 = 95,5%, ou seja: z = 2,aplicando afrmula: n = {(z


2* (N 1) + z

2* pest * qest]}

, temos

[4 * 0,24 * 5000 / 0,000625 * (4999) + 4 * 0,24)] = 4800 / 4,08 = 1175.

8.13

pest = 0,8, qest = 0,2, d = 0,01, (1 ) * 100 = 98%, ou seja: z = 2,33,aplicando a frmula:n = z2 * pest * qest / d

2 = 5,43 * 0,16 / 0,0001 = 8686.


57/104

Captulo 9 Inferncia Estatstica 1

Captulo 9 Inferncia Estatstica

Solues e Respostas

SRIE I9.1

-

9.2

Quando um professor decide aprovar um aluno, poder estar cometendo um Erro tipo II aceitar H0, sendo H0 falsa no caso, aprovar o aluno quando deveria reprov-lo. Por outrolado, quando um professor decide reprovar o aluno, poder estar cometendo um Erro tipo I rejeitar H0, sendo H0 verdadeira no caso, reprovar o aluno quando deveria aprov-lo.

9.3

Poder ocorrer o Erro tipo II, caso o gerente contrate o profissional. Isto : contrata e oprofissional revela-se sem qualidades aceitar H0 falsa. Por outro lado, quando o gerentedispensa (no contrata) determinado profissional, poder estar cometendo o Erro tipo I rejeitar H0 verdadeira. Isto : no contrata e o profissional revela-se com qualidades, em outroemprego assemelhado.

9.4

H0: = 50 contra H

1: > 50,

2= 25, n = 25 e = 10%, portanto, na tabela normal, Z

= 1,28

Utilizando a frmula Z = (xc ) / [ / (n)0,5], temos:

1,28 = (xmdia 50) / (5/5), portanto, xmdia = 51,28 e assi

outros - estatistica geral e aplicada - manual

Documents