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Unidade 7: Aplicações em Engenharia Elétrica

Otimização em Engenharia ElétricaAula 6

Ramon C. Lopes

Engenharia Elétrica

Abril-2013

Ramon C. Lopes Otimização em Engenharia Elétrica


Programa

1 Unidade 7: Aplicações em Engenharia ElétricaEstudo de CasosFunção lagrangeanaProblema reformuladoGradiente reduzidoProblemas dinâmicos



Estudo de CasosFunção lagrangeanaProblema reformuladoGradiente reduzidoProblemas dinâmicos

Despacho Econômico de Energia

Despacho econômico de unidades termelétricas

Unidade 1 - Gerador a vapor (térmica a carvão)Saída máxima - 600 MWSaída mínima - 150 MWCurvaentrada-saída:H1 =

(

MBtuh

)

= 510.0 + 7.2P1 + 0.00142P21

Unidade 2 - Gerador a vapor (térmica a óleo)Saída máxima - 400 MWSaída mínima - 100 MWCurvaentrada-saída:H2 =

(

MBtuh

)

= 310.0+7.85P1+0.00194P22




Despacho Econômico de Energia

Despacho econômico de unidades termelétricas

Unidade 3 - Gerador a vapor (térmica a óleo)Saída máxima - 200 MWSaída mínima - 50 MWCurvaentrada-saída:H3 =

(

MBtuh

)

= 78.0 + 7.97P3 + 0.00482P23




Problema 1

Suponha que seja desejado o ponto de operação para odespacho econômico de energia para estas três unidades comuma demanda de 850MW. Antes da solução deste problema, énecessária a especificação do custo unitário dos geradores.

Unidade 1 - Custo do combustível = 1.1R$/MBtu



então:

F1(P1) = H1(P1) ∗ 1.1 = 561 + 7.92P1 + 0.001562P21R$/h

F2(P2) = H2(P2) ∗ 1.0 = 310 + 7.85P2 + 0.00194P22R$/h

F3(P3) = H3(P3) ∗ 1.0 = 78 + 7.97P3 + 0.0048P23R$/h




Usando as condições para o despacho ótimo:dF1dP1

= 7.92 + 0.003124P1 = λ1

dF2dP2

= 7.85 + 0.00388P2 = λ2

dF3dP3

= 7.97 + 0.00964P3 = λ3

e

P1 + P2 + P3 = 850MW

Problema 2

Considere uma redução no custo do carvão para 0.9R$/MBtu

Problema 3

Suponha que a unidade geradora 1 opere com a sua máximapotência e a unidade 3 com a saída mínima




Aplicação das condições de Khun-Tucker

Considere f (x) = x2 − 4x + 4 e a restrição h(x) = −x + 4. Oponto estacionário f ′(x∗) + λh′(x∗) = 0 leva a λ = 2.




Considere o problema linear de otimização representado como

(P)

minz

ctz

s.a. [A]mxnz − b = 0(1)

c, b ∈ Rn contantes, z=

z1

z2

...xn

∈ Rn com m e n inteiros e m<n.




Função lagrangeana

A função lagrangeana que modifica o problema linear comrestrições lineares para um problema irrestrito é:

(P1)

minz

L(z) = ctz + λ([A]mxnz − b) (2)

e as condições necessárias para a otimalidade são:

1 [A]mxmz = b2 ∇L(z) = 0

Comentário: A condição (1) garante que no ponto ótimonenhuma restrição tenha sido violada e a condição (2) garanteque o ponto estacionário foi atingido, ou seja, a projeção dogradiente da função objetivo, neste caso o vetor c fica igual aoproduto λA na direção de cada restrição.




PROCEDIMENTO

Passo 1 - Inicializa-se as variáveis básicas;

Passo 2 - Atualiza-se a direção das variáveis não-básicas. Asérie de Taylor truncada na primeira derivada (que deu origemao método de Newton de primeira ordem)y(x) = y(xk ) +

∂y∂x1

(x)(x1 − x1k ) +∂y∂x2

(x)(x2 − x2k ) + ....Utilizando a mesma expressão para u é possível obter umadireção de busca para as variáveis não básicas da forma:

[

δc[x ,u]δu1,u2

]t

k+1=

[

δc[x ,u]δu1,u2

]t

k−

[

δc[x ,u]δx1,x2

]

.[

δAx xδx1,x2

]−1.[

δAuuδu1,u2

]

(3)




Passo 3 - Atualiza-se as variáveis não básicas em função deα: u = u − α δcx

δu1,u2e atualiza-se as variáveis básicas através

das restrições em função das variáveis não basicas e de α;

Passo 4 - Substitui-se as variáveis básicas e não básicas nafunção de custo (Comentário: encontra-se um mínimo local emrelação a α através do gradiente reduzido fazendo-se∂c[x(α),u(α)]

∂α= 0, para o caso de funções de custo não linear ou

simplesmente utiliza-se a função de custo linear no próximopasso);Passo 5 - Resolve-se o problema linear para α, x e u. Casonão tenha sido atingido um critério de parada volta-se aoPasso 2 (Consideração: Caso haja alguma restrição violada,atribui-se à variável slack um valor que a torne igual a zero erecalcula-se as outras variáveis em função desta alteração).




Problema reformulado

O problema para o gradiente reduzido é representado naforma:

(P1)

minu

L(u) = ct(α(u)) + λ([Au]mxnu − b) (4)

e as condições necessárias para a otimalidade são:

1 [Au]mxmu = b2 ∇L(u) = 0

Comentário: A condição (1) impõe factibilidade às variáveisnão básicas e a condição (2) garante uma linha de busca dadireção viável que otimiza a função de custo.




Gradiente reduzido

A utilização do método do gradiente reduzido reduz o custo dearmazenamento e processamento na busca da solução de umproblema linear restrito por funções também lineares. Estemétodo quando utilizado com função de custo e restriçõeslineares reduz-se ao método Simplex e caso não tenhanenhuma restrição torna-se o método da busca do gradiente. Acada passo de Newton para a atualização das variáveisnão-básicas é feita uma busca de solução local para α, x e u.O que dificulta a parametrização e implementação do mesmopara uma dimensão maior do problema é a reformulação nosmomentos em que as restrições são violadas e passam aimpor um ajuste nas variáveis restantes, no entando, oprocedimento permite uma convergência com um custoaceitável (máximo de 10 iterações) para problemas comdimensão na casa das dezenas de variáveis básicas.Ramon C. Lopes Otimização em Engenharia Elétrica



Exemplo

minimize − 2x1 − 4x2 + x21 + x2

2 + 5

sujeito a:

−x1 + 2x2 ≤ 2x1 + x2 ≤ 4

Exemplo modificado

minimize y = −2x1 − 4x2 + x21 + x2

2 + 5

sujeito a:

f1 = −x1 + 2x2 + x3 − 2 = 0f2 = x1 + x2 + x4 − 4 = 0




∂y∂x1

= −2 + 2x1∂f1∂x1

= −1 ∂f1∂x2

= 2

∂f1∂x3

= 1 ∂f1∂x4

= 0 ∂y∂x2

= −4 + 2x2

∂y∂x3

= 0 ∂f2∂x1

= 1 ∂f2∂x2

= 1

∂f2∂x3

= 0 ∂f2∂x4

= 1 ∂y∂x4

= 0




partindo-se do ponto x0 = (0, 0, 2, 4), chega-se a partir dopasso 2 do algoritmo apresentado anteriormente, a:

x3 = x3 + dy/dx3 = 2 + 2/3αx4 = x4 + dy/dx4 = 4 + 8/3α

e substituindo x3 e x4 em f1 e f2, respectivamente, obtém-se:

x2 = −1/3(x3 + x4) + 2 = −10/9αx1 = 1/3(x3 − 2x4 + 2 = −14/9α

substituindo-se em y e fazendo dy/dα = 0 têm-seα = −153/148 e chega-se a:

x1 = 1.608x3 = 1.311x2 = 1.149x4 = 1.243




Fluxo de potência não-linear

Fluxo de potência

O fluxo de potência é a ferramenta mais utilizada por umengenheiro de uma empresa de energia elétrica, que trabalhena área de análise ou planejamento.

Pk = Vk

∑

m∈K

Vm(Gkmcosθkm + Bkmsenθkm) (5)

Qk = Vk

∑

m∈K

Vm(Gkmsenθkm − Bkmcosθkm) (6)

para as K barras vizinhas à barra k representando a injeçãolíquida de potência nas barras.




Figura: 5 barras CA




Figura: 5 barras CC




⊲ Encontre um controlador ótimo H2 para um circuito RLC sériecom saída em paralelo com o capacitor com L=1H,R=.1Ω± 10% e C=1F±5%;⊲ Trace a curva Pareto-Ótimo H2/H∞ para o circuito acima.


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