apostila otimizacao de processos - ufba

OTIMIZAO DE PROCESSOS

Prof. Dr. Ricardo de Arajo Kalid [email protected] Programa de Engenharia Industrial da Escola Politcnica da UFBA

Escola Politcnica UFBA

2 CURRCULO DO INSTRUTORRicardo de Arajo Kalid, D. Sc. 04/09/64 [email protected] (0xx71) 203.9811 / 9984.3316 Prof. Depto Engenharia Qumica da UFBA Graduao em Engenharia Qumica UFBA (88) Mestrado em Engenharia Qumica - UFBA (91) Doutorado em Engenharia Qumica USP (99)

REAS DE ATUAO E LINHAS DE PESQUISA Modelagem e simulao em regime estacionrio e transiente de processos Identificao de processos Controle de processos Otimizao de processos Sntese de redes de transferncia de calor e massa OUTROS Professor do Mestrado em Engenharia Qumica da UFBA e do Mestrado em Produo Limpa Professor (anos 92 e 93) do Curso de Especializao em Instrumentao e Controle (CEINST) promovido pelo Departamento de Engenharia Mecnica da UFBA Professor de Cursos de Educao Continuada (Controle Avanado, Controle Preditivo Multivarivel, Identificao de Processos, Otimizao de Processos Qumicos, Controle de Colunas de Destilao) para DOW, PETROBRAS, GRIFFIN, EDN, CIQUINE, OXITENO, COPENE. Professor (98) do Curso de Especializao em Automao de Sistemas Industriais (CEASI) promovido pelo Depto de Engenharia Eltrica da UFBA Professor e Coordenador (99) do Curso de Especializao em Controle e Automao de Processos Industriais (CECAPI) promovido pelos Depto de Engenharia Qumica e Eltrica da UFBA Professor e Coordenador (2000 a 2002) do Curso de Especializao em Instrumentao, Automao, Controle e Otimizao de Processos Contnuos (CICOP 1 e 2 turmas) promovido pelo Depto de Engenharia Qumica e UFBA e AINST. Coordenador do II e do III Seminrio Nacional de Controle e Automao (II SNCA-2001 e III SNCA-2003) PROJETOS COOPERATIVOS E/OU CONSULTORIAS PARA INDSTRIAS MONSANTO-GRIFFIN-POLITENO: sntese de redes de transferncia de calor e massa DETEN: simulao do reator radial para desidrogenao de parafinas EDN: participou da equipe de desenvolvimento do plano diretor de automao BRASKEM-UNIB: identificao de processos, sintonia de controladores industriais, simulao, controle e otimizao do conversor de acetileno da ETENO II (em andamento) PDAI-BA - Programa de Desenvolvimento da Automao Industrial, participantes: UFBA, UNIFACS, CEFET-BA, CETIND-SENAI, FIEB, SEPLANTEC, PETROBRAS, NITROCARBONO, DETEN, OXITENO, OPP, POLIBRASIL, POLITENO, BRASKEM-UNIB GRIFFIN: Sistema de controle de pH. Modelagem e Otimizao do Reator de DCA BRASKEM-UNIB-POLITENO-UFBA: Diagnstico de Malhas de Controle Preditivo Multivarivel (MPC) BRASKEM-UNIB -UFBA: projeto de produo + limpa para minimizao/reuso de guas industriais INDICADORES DE PRODUO CIENTFICA Trabalhos apresentados em congressos ou seminrios: 12 Trabalhos publicados em peridicos: 2 Dissertao de mestrado (1) e 2 tese de doutorado (1) defendidas e aprovadas: Participao de bancas de mestrado (5) e de doutorado (1): 6 Orientao de Iniciao Cientfica e Tecnolgica 17 (concludas) e 3 em andamento Orientao de Dissertaes de Mestrado: 8 (em andamento), 3 concludas

Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

3 Trabalhos em desenvolvimento em parceria com indstrias:N Tema Maximizao do desempenho de malhas de controle PID da POLICARBONATOS Equipe Ascnio Pepe Marcelo Coutinho Marcelo Embiruu Ricardo Kalid Jean Carlos Sebastio Joo Colonese Nelson Siem Velarde Silvia Arajo Breno Silva Ivan Moraes Jos Luis Asher Kiperstok Jos Geraldo Pacheco Emerson Sales Ednildo Torres Ricardo Kalid Moiss Augusto Joo Severiano Asher Kiperstok Jos Geraldo Pacheco Emerson Sales Ricardo Kalid Nadja Fontes Csar Moares Mauricio Moreno Mrcia Cunha Lcio Estrella Ricardo Muller Jean Carlos Marcelo Embiruu Ricardo Kalid Mauricio Moreno Fbio Carrilho Ricardo Kalid Mauricio Moreno Fbio Carrilho Ricardo Kalid Instituio POLICARBONATOS UFBA POLITENO GRIFFIN MONSANTO CARABA METAIS Em desenvolvimento Status Em desenvolvimento

18

17

Reuso/reciclo e conservao de gua e energia: redes de transferncia de calor e massa

UFBA

BRASKEM-UNIB Em desenvolvimento

16

Minimizao/reuso de guas industriais BRASKEM-GUA

UFBA

BRASKEM-UNIB

15

Diagnstico de malhas de controle preditivo multivariavel MPC

POLITENO

Em desenvolvimento

UFBA

14

"Plantwide control" de um trem de separao de xilenos (3 colunas de destilao em srie/paralelo) da BRASKEM

BRASKEM-UNIB UFBA

Em desenvolvimento


4 Trabalhos concludos em parceria com indstrias:N 13 Tema Otimizao da fonte de fsforo da MONSANTO Equipe Lucy Helena de Jesus Daniel Cortes Jos Geraldo Pacheco Wagner Mnaco Viviane Scaranto Ricardo Kalid Klauss Villalva Serra Almir Viana Cotias Ricardo Kalid Nelson Siem Velarde Ricardo Kalid Cathia R. Apenburg Williane Carneiro Ricardo Kalid BRASKEM-UNIB DETEN SENAI-CETIND NITROCARBONO CEFET-BA Paulo Guimares Adhemar de Barros Herman Lepikson Ricardo Kalid Mark Langerhost Lueci V. do Vale Ricardo Kalid Mauricio Moreno Paulo Freitas Fabrcio Brito Ricardo Kalid Kleber Leite Mrcio Barreto Charles Diament Ricardo Kalid Herman Lepikson Cayubi Alves da Costa Francisco Teixeira Ricardo Kalid Instituio MONSANTO UFBA CIQUINE UFBA GRIFFIN UFBA GRIFFIN UFBA BRASKEM-UNIB UFBA PETROBRAS POLITENO OXITENO POLIBRASIL BRASKEM-OPP UNIFACS UFBA BRASKEM-UNIB UFBA BRASKEM-UNIB Concludo UFBA Concludo Concludo Concludo Status Concludo

12

Otimizao de colunas de destilao da CIQUINE Projeto e sintonia do controlador de topo da coluna de destilao de 3,4 DCA da GRIFFIN Projeto e sintonia do sistema de controle de pH dos efluentes da GRIFFIN Simulao e controle de colunas de destilao de sulfolane da BRASKEM

11

Concludo

10

09

Concludo

08

Plataforma de Automao Industrial do Estado da BAHIA

Concludo

07

Simulao e controle de colunas de destilao de BTX da BRASKEM

06

Modelagem, simulao, controle e otimizao de conversores de acetileno da BRASKEM

05

Otimizao da operao do reator de polimerizao em baixa carga

BRASKEM-OPP UFBA EDN

Concludo

04

Plano diretor de automao da ESTIRENO

UFBA

Concludo

03

Murilo F. de Amorim Estimativa do tempo de campanha de fornos de Eliane Santanta pirlise da BRASKEM Ricardo Kalid Modelagem por redes neurais hbridas e otimizao de reatores de CPD Modelagem, simulao do reator de desidrogenao de n-parafinas da DETEN Luiz Alberto Falcon Tatiana Freitas Ricardo Kalid Gian Carlo Gangemi Ricardo Kalid

BRASKEM-UNIB UFBA BRASKEM-UNIB UFBA DETEN UFBA Concludo Concludo

02

01

Concludo


5 INSTRUTOR: RICARDO KALID - [email protected] Cursos e apostilas sobre MODELAGEM DE PROCESSOS 1. Operaes Unitrias em Regime Transiente Balanos de Massa, Energia e Momentum Aplicados a Processos Qumicos. 2. Identificao de Processos Qumicos.

SIMULAO DE PROCESSOS 3. Mtodos Numricos e Simulao de Processos. 4. Programao em MATLAB com Aplicao em Reatores Qumicos.

CONTROLE DE PROCESSOS 5. Sistemas de Controle dos Principais Equipamentos da Indstria de Processos Qumicos e Petroqumicos. 6. Controle de Processos Qumicos. 7. Definio da Estrutura do Sistema de Controle Multimalha de Processos Multivariveis. 8. Controle Avanado de Processos Estratgias Clssicas de Controle. 9. Controle de Coluna de Destilao. 10. Controle Preditivo Multivarivel: DMC - Controle por Matriz Dinmica. 11. Sintonia tima de Controladores Industriais

OTIMIZAO DE PROCESSOS 12. Otimizao de Processos Qumicos sem restries 13. Otimizao de Processos Qumicos com restries 14. Otimizao de Processos Qumicos a batelada


6

OTIMIZAO DE PROCESSOSndiceLista de Abreviaturas ............................................................................................6 Nomenclatura ........................................................................................................7 Principais Referncias Bibliogrficas .................................................................7 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.6.4. 1.7. 1.7.1. 1.7.2. 1.8. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. Introduo e Definies .................................................................................... 12 Objetivos deste Curso ................................................................................... 12 Programa do Curso ....................................................................................... 13 Referncias Bibliogrficas Principais ........................................................... 14 Por que Otimizar? ......................................................................................... 14 Exemplos de Aplicao de Otimizao ........................................................ 15 Formulao de um Problema de Otimizao ................................................ 15 A Funo Objetivo (FO) .......................................................................... 16 As Restries ........................................................................................... 18 A Regio Vivel ...................................................................................... 19 As Variveis de Deciso (VD) ................................................................ 20 Procedimento Geral para Solucionar um Problema de Otimizao ............. 20 Mapeamento da Funo Objetivo ............................................................ 21 Obstculos Otimizao ......................................................................... 25 Exerccios...................................................................................................... 27 Conceitos Matemticos ..................................................................................... 28 Definies ..................................................................................................... 28 Operaes Bsicas com Matrizes e Vetores ................................................. 29 Independncia Linear, Matriz Singular e Rank ou Posto de uma Matriz ... 32 Operadores Linha ou Coluna ........................................................................ 33 Soluo de Sistema de Equaes Lineares ................................................... 33 Graus de Liberdade ....................................................................................... 34 Autovalores e Autovetores............................................................................ 34 Estudo de Funo .......................................................................................... 35Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

7 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. Continuidade de Funes .............................................................................. 37 Funes Unimodais e Multinodais ............................................................... 38 Funes Cncavas e Convexas ..................................................................... 38 Regio Convexa ............................................................................................ 41

2.13. Condies Necessrias e Condies Suficientes para um Extremo de uma Funo Irrestrita ....................................................................................................... 44 2.14. Interpretao da Funo Objetivo em Quadrtica 47 2.15. 3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.2. 3.3. 3.4. 4. 4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.3. 4.4. 5. 5.1. 5.1.1. 5.1.2. 5.1.3. 5.1.4. Termos de uma Aproximao

Exerccios...................................................................................................... 51 A Funo Objetivo (FO) ............................................................................... 55 Tolerncia ou Critrio de Parada ............................................................. 56 Objetivos Econmicos ............................................................................. 57 Objetivos Operacionais ........................................................................... 64 Combinao de Objetivos Operacionais com Objetivos Econmicos .... 69 As Funes de Restrio (FR) ...................................................................... 69 Otimizao On-Line ..................................................................................... 70 Exerccios...................................................................................................... 72

Formulao Matemtica de um Problema de Otimizao ........................ 54

Otimizao Unidimensional Sem Restries (OUSR) ............................... 79 Mtodos Indiretos (MI) para OUSR ............................................................. 80 Mtodo de Newton .................................................................................. 81 Mtodo de Quasi-Newton........................................................................ 83 Mtodo da Secante .................................................................................. 84 Mtodos Diretos (MD) para OUSR .............................................................. 85 Mtodos por Diminuio da Regio de Busca ........................................ 85 Mtodos por Aproximao Polinomial - Interpolao Quadrtica.......... 87 Mtodos por aproximao polinomial - Interpolao cbica .................. 88 Avaliao dos Mtodos Unidimencionais de Otimizao ............................ 89 Exerccios...................................................................................................... 91 Otimizao Multidimensional Sem Restries (OMSR) ............................ 92 Mtodos Indiretos (MI) para OMSR ............................................................ 93 Mtodo do Gradiente ou Mtodo do Gradiente Descendente ................. 94 Mtodo do Gradiente Conjugado ............................................................ 96 Mtodo de Newton .................................................................................. 97 Mtodo de Levenberg-Marquardt............................................................ 98Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

8 5.1.5. 5.2. 5.2.1. 5.2.2. 5.2.3. 5.2.4. 5.3. 5.4. 6. Mtodo da Secante ou Quasi-Newton ..................................................... 99 Mtodos Diretos (MD) para OMSR ........................................................... 102 Busca Randmica .................................................................................. 102 Grade de Busca ...................................................................................... 103 Busca Unidimensional ........................................................................... 103 Mtodo Simplex ou do Poliedro Flexvel .............................................. 104 Avaliao dos MD's e MI's para Problemas de OMSR .............................. 105 Exerccios.................................................................................................... 106 Ajuste de Modelos Matemticos ................................................................... 108 6.1. Ajuste de Modelos Lineares nos Parmetros Com Uma Varivel Independente.................................................................................................................. 109 6.1.1. 6.1.2. 6.2. 6.3. Escolha da Forma do Modelo Linear .................................................... 110 Ajuste do Modelo Linear Univarivel ................................................... 111 Ajuste de Modelos Lineares de Vrias Variveis ....................................... 113 Ajuste de Modelos Matemticos No-Lineares .......................................... 116 6.3.1. Ajuste de Modelos por Mtodos Diretos - Mtodo do Poliedro Flexvel 117 6.3.2. 6.4. 6.4.1. 6.5. 7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 9. 9.1. 10. Ajuste de Modelos por Mtodos Indiretos ............................................ 118 Observaes e "Macetes"............................................................................ 118 Procedimento Geral para Ajuste de Modelos ........................................ 120 Exerccios.................................................................................................... 121 Programao Linear (PL) ................................................................................ 126 Convertendo Problemas para a Forma Padro da PL ................................. 129 A Dualidade em Programao Linear. ........................................................ 130 Anlise de Sensibilidade em PL ................................................................. 131 Programao Linear Sucessiva (PLS)......................................................... 132 Exerccios.................................................................................................... 133 Multiplicadores de Lagrange.......................................................................... 134 Anlise de Sensibilidade por Multiplicadores de Lagrange ....................... 138 Condies de Kuhn-Tucker - CKT ............................................................. 139 Vantagens e Desvantagens dos Multiplicadores de Lagrange .................... 140 Exerccios.................................................................................................... 140 Funo Penalidade ........................................................................................... 143 Exerccios.................................................................................................... 147 Programao Quadrtica - PQ ....................................................................... 148Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

9 10.1. 10.2. 11. 11.1. 11.2. 11.2.1. 11.3. 12. 12.1. 12.2. 13. 13.1. Programao Quadrtica Sucessiva - PQS ................................................. 150 Exerccios.................................................................................................... 152 Relao entre o GRG e os Multiplicadores de Lagrange ........................... 154 Algoritmo do Gradiente Reduzido Generalizado ....................................... 156 Listagem do Programa GRG para o Exemplo 11.1 ............................... 162 Exerccios.................................................................................................... 172 Branch and Bound Technique..................................................................... 173 Exerccios.................................................................................................... 176 Algoritmos para o Problema de Controle timo ........................................ 178

Gradiente Reduzido Generalizado -GRG .................................................... 153

Programao Inteira e Mista - PIM ................................................................ 173

Controle timo - CO ......................................................................................... 177

Apndice I: Controle timo de um Reator a Batelada Apndice II: Reprodues de pginas do livro Process Analysis by Statistical Methods. Himmelblau, D. M.


10

Lista de AbreviaturasCKT CO FO FR MD MI MV OMCR OMSR OUCR OUSR PCO PL PNL PPL PPNL PPQ PQ PV s.a. SP VA VD VDep VI Condies de Kuhn-Tucker Controle timo Funo Objetivo Funes de Restries Mtodo Direto de otimizao Mtodo Indireto de otimizao Varivel Manipulada Otimizao Multidimensional Com Restries Otimizao Multidimensional Sem Restries Otimizao Unidimensional Com Restries Otimizao Unidimensional Sem Restries Problema de Controle timo Programao Linear Programao No-Linear Problema de Programao Linear Problema de Programao No-Linear Problema de Programao Quadrtica Programao Quadrtica

- Varivel de Processo (pode ser variveis controladas e/ou medidas) sujeito a Sistema de Equaes Algbricas No-Lineares SetPoint Varivel Auxiliar (qualquer varivel ou constante que no VDep) Varivel de Deciso ou de Projeto ou Independente Varivel Dependente Varivel Independente

SEANL -


11

NomenclaturaY i - valor da mdia dos experimentos replicados para um certo xi

xbj n pi x Y Y

- valor mdio da varivel independente - parmetro j de um modelo - nmero total de experimentos realizados - nmero de medidas replicadas para um certo xi - varivel determinstica, independente e experimental - varivel estocstica, dependente e experimental - varivel estocstica, dependente e experimental

i - valor calculado da VI para um certo xi

Principais Referncias BibliogrficasAs principais referncias utilizadas para confeccionar esta apstila e preparar as aulas so listadas a seguir. Outras referncias, que tratam de assuntos especficos, so citadas ao longo do texto: R1. Himmelblau, D. M. and Edgar, T. F.; Optimization of Chemical Process. McGraw-Hill, 1989. Livro essencial para quem quer iniciar e/ou aprofundar seus estudos sobre otimizao de processos qumicos. Boa parte do contedo deste curso e a maioria dos exerccios discutidos/propostos foram retirados deste livro. R2. Himmelblau, D. M.; Process Analysis by Statistical Methods. Jonh Wiley & Sons, 1970. Livro que traz os algoritmos de vrios mtodos de otimizao e aplica esses mtodos principalmente ao ajuste de modelos matemticos a dados experimentais. Livro texto para o Captulo 6 desta apostila. R3. Beveridge, G. S. and Schehter, R. S.; Optimization Theory and Practice. McGraw-Hill, 1970. Traz uma discusso mais profunda a respeito dos fundamentos matemticos em que os mtodos de otimizao so baseados. R4. Reklaitis, G. V.; Ravindran, A.; Ragsdell, K. M.; Engineering Optimization: Methods and Applications. Jonh Wiley & Sons, 1983. Livro importante e complementar ao de Himmelblau e Edgar (R1). Livro texto para os Captulo 8 e 9 desta apostila.


12

1. Introduo e DefiniesNa natureza somente os mais eficientes sobrevivem. A seleo natural elimina as espcies ou os indivduos menos capacitados, ao mesmo tempo que facilita as coisas para os mais bem dotados, ou seja, existe algum mecanismo que procura maximizar o uso dos recursos ou minimizar o efeito da ineficincia dos processos. O que a natureza sabe fazer com extrema maestria ns devemos imitar, se quisermos suplantar nossos adversrios e assim sermos os ganhadores. O problema que seja qual for o vencedor, a me natureza sempre ganha junto, enquanto ns temos que ser mais eficientes que nossos concorrentes. E como a probabilidade de tomar uma deciso errada muito maior que escolher a opo certa, temos que nos cercar de informaes e procedimentos confiveis. As informaes que devemos coletar so, por exemplo: o(s) objetivo(s) que queremos atingir, as condies do mercado fornedor e consumidor, as condies do mercado financeiro, as condies dos recursos naturais e humandos disponveis, as limitaes de natureza fsica e/ou social e/ou psicolgicas existentes. Os procedimentos que podemos empregar so: a experincia acumulada, o uso de ferramentas matemticas adequadas, a escolha de estratgias de atuao oportunas. Se utilizarmos as informaes e procedimentos apropriados temos boas chances de sermos os vitoriosos. somente esse o nosso problema. Neste curso iremos estudar quais so as informaes e procedimentos adequados a resolver os os problemas de otimizao tpicos em engenharia qumica.

1.1.

Objetivos deste Curso

Ao final do segundo mdulo deste curso seremos capazes de: O1. Entender os princpios de funcionamento dos pricipais algoritmos de otimizao. O2. Aplicar corretamente os algoritmos de otimizao. O3. Desenvolver um modelo matematico de otimizao e resolv-lo atravs da utilizao de pacotes computacionais.Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

13

1.2.

Programa do Curso

Para alcanarmos os objetivos propostos o curso ter as seguintes caractersticas: Carga horria total: 60 horas Programa do curso: P1. Introduo e Definies: Viso geral do problema de otimizao. P2. Conceitos Matemticos: Ferramentas necessrias. P3. Formulao Matemtica de um Problema de Otimizao: Construo da Funo Objetivo e de Suas Restries. P4. Otimizao Unidimensional especficos. Sem Restries: Aspectos matemticos

P5. Otimizao Multidimensional Sem Restries: Aspectos matemticos especficos. P6. Aplicaes de Otimizao Sem Restries em Processos Qumicos. P7. Otimizao Multivarivel Com Restries. P8. Aplicaes de Otimizao Multivarivel Com Restries em Processos Qumicos. P9. Experincias em Otimizao de Processos Qumicos do LACOI: a) Reconciliao de dados em estado estacionrio b) Minimizao de uso de gua e/ou consumo de energia em processos c) Otimizao de processos industriais: Case MONSANTO Case CIQUINE Case BRASKEM-UNIB Case BRASKEM-OPP Metodologia de ensino: M1.Utilizaremos de data-show e da lousa para desenvolver os tpicos. M2.Exerccios resolvidos para exemplificar os conhecimentos tericos abordados. M3.Aulas de exerccios para as equipes (2 alunos por equipe). M4.Lista de exerccios propostos. M5.Distribuio de apstila com o contedo do que foi apresentado. M6.Sempre que necessria haver interrupo da aula para esclarecimento de dvidas. M7.Estudo de cases industriais que sejam de intresse dos alunos


14

1.3.

Referncias Bibliogrficas Principais

As pricncipais referncias utilizadas para confeccionar esta apstila e preparar as aulas so listadas a seguir. Outras referncias, que tratam de assuntos especficos so citadas ao longo do texto: R1. Himmelblau, D. M. and Edgar, T. F., Optimization of Chemical Process, McGraw-Hill, 1989. Livro essencial para quem quer iniciar e/ou aprofundar seus estudos sobre otimizao de processos qumicos. Boa parte do contedo deste curso e a maioria dos exerccios discutidos/propostos foram retirados deste livro. R2. Himmelblau, D. M., Process Analysis by Statistical Methods, Jonh Wiley & Sons, 1970. Livro que traz os algoritmos de vrios mtodos de otimizao e aplica esses mtodos principalmente ao ajuste de modelos matemticos a dados experimentais. R3. Beveridge, G. S. and Schehter, R. S., Optimization Theory and Practice, McGraw-Hill, 1970. Traz uma discusso mais profunda a respeito dos fundamentos matemticos em que os mtodos de otimizao so baseados. Alm dessas referncias outras so listadas no final desta apstila.

1.4.

Por que Otimizar?

A otimizao pode promover melhorias econmicas [otimizao econmica (OE)] e/ou tcnicas/operacionais [otimizao operacional (OO)]. A otimizao de um determinado processo ou sistema pode ter como benefcio um (ou mais de um) dos itens a seguir: OE. minimizar o investimento para uma determinada capacidade operacional a ser instalada, OE. maximizar o lucro total, OE. maximizar o lucro por unidade de produo, OE. minimizar os custos operacionais, OE. minimizar os custos de manuteno, OO. maximizar a produo para uma determinada capacidade operacional instalada, OO. minimizar o consumo de matria-prima e/o energia, OO. minimizar a produo de insumos indesejveis, OO. minimizar o tempo de batelada, OO. minimizar a diferena entre o valor desejado e o valor alcanado, Observe que alguns desses objetivos so conflitantes entre si, portanto devemos estabelecer o objetivo a ser alcanado com bastante cuidado. Porm devemos sempre nos lembrar que a otimizao tem um custo e, portanto, devemos otimizar a otimizao.Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

15 Em certos casos o uso de mtodos matemticos de otimizao no traz benefcios, por exemplo: quando uma soluo razovel pode ser obtida baseada em experincias passadas, quando existe uma prtica padro em uso, quando o tempo necessrio para avaliar o problema no contribui para o contexto do projeto global, quando as informaes necessrias s podem ser obtidas com grande custo.

1.5.

Exemplos de Aplicao de Otimizao

A otimizao pode ser aplicada de inmeras maneiras em processos e plantas qumicas. Tpicos projetos onde a otimizao tem sido empregada incluem: 1. Determinao do melhor local para construo de uma planta. 2. Escalonamento de tanques para armazenagem de matria-prima e de produtos. 3. Dimensionamento e layout de pipelines. 4. Projeto de plantas e/ou de equipamentos. 5. Escalonamento de reposio e manuteno de equipamentos. 6. Operao de equipamentos e/ou plantas. 7. Ajuste de modelos a dados experimentais de uma planta. 8. Minimizao de inventrio. 9. Alocao de recursos ou servios entre diferentes processos. 10.Planejamento e escalonamento de instalao de plantas.

1.6.

Formulao de um Problema de Otimizao

Podemos definir# a otimizao de sistemas das seguintes maneiras: D1. Campo da matemtica dedicado ao desenvolvimento de mtodos eficientes de determinao de mximos e mnimos de funes de uma ou mais variveis. D2. A cincia que determina as melhores solues para certos problemas fsicos; problemas que so descritos por modelos matemticos.

#

As trs definies foram transcritas da apstila sobre "Otimizao de Processos" de autoria de Fernando Pellegrini Pessoa e Marcelo Castier, ambos professores do DEQ-UFRJ Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

16 D3. Busca da melhor soluo (soluo tima) dentre as diversas solues possveis de um problema, segundo um critrio estabelecido previamente. Embora nem todos os problemas de otimizao possam ser descritos por equaes matemticas (por exemplo, maximizar as propriedades organolpticas de um alimento), apenas os que podem sero tratados neste curso. A formulao de um problema prtico de otimizao contm duas partes: 1. Ao menos uma funo objetivo a ser alcanada. 2. As restries que devem ser atendidas. Devemos encontrar uma soluo (pois podem existir mais) que minimiza/maximiniza a funo objetivo e que simultaneamente atenda s restries, ou seja a soluo encontrada deve pertecer regio vivel. Para que as condies timas sejam alcanadas o sistema deve ter liberdade para manipular as variveis de deciso, tambm denominadas variveis de projeto ou ainda variveis independentes, isto , algumas condies operacionais so modificadas de forma que o ponto timo vivel seja alcanado.

1.6.1.

A Funo Objetivo (FO)

A funo objetivo ou critrio de desempenho estabelece o alvo a ser alcanado. uma funo matemtica cujo mximo ou mnimo se deseja determinar. As FO's podem ser desenvolvidas a partir de trs tipos de critrios: C1. Critrio estritamente econmico: maximizar o lucro anual, minimizar o custo anual, diminuir o tempo de retorno do investimento, etc. C2. Critrio estritamente tcnico/operacional: minimizar o consumo de energia ou de matria-prima, maximizar a produo, etc. C3. Critrio tcnico-econmico: minimizar a diferena entre o valor desejado e o valor medido numa planta, ao mesmo tempo em que minimiza o custo operacional. O estabelecimento correto da funo objetivo fundamental para o sucesso da otimizao. Sua determinao uma tarefa complexa que requer grande conhecimento do processo/sistema a ser otimizado. A funo objetivo pode ser classificada quanto : Continuidade: contnua, por exemplo a temperatura tima para uma reao reversvel descontnua discreta, por exemplo o dimetro timo de uma tubulaoRicardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

17 Modalidade: a = 4; b = 2; c = 5; y1= -a*x.^2 + b*x + c; plot(x,y1)0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -100 -50 0 50 100 x 104

unimodal (o extremo local tambm o global), figura 1-a.

x = -100:100;

Figura 1-A: Funo Unimodal Funo objetivo (FO): max y 1 y 1 = a. x 2 + b. x + c Equao 1.6-Amax(y1) ans = 5

Obs: expresses

nesta fonte so comandos do MATLAB.

(Courier New

New 10,

10,

verde, so

em as

negrito) respostas

expresses nesta fonte geradas pelo MATLAB.

(Courier

azul)

as expresses nesta fonte (Times New Roman 12, preto) so textos em WORD. Comando help nome-da-funo permite consultar o manual de referncia on-line do MATLAB. Comando help optim permite consular o manual de referncia do toolbox de otimizao on-line do MATLAB.

multimodal (existem vrios extremos locais e um deles o global)Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

18y2 = -a*x.^2 + b*x + c + 1000*sin(x); plot(x,y2,'-r',x,y1,':b')0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -100 -50 0 50 100 x 104

Figura 1-B: Funo Unimodal e Multimodal Funo objetivo (FO):max(y2) ans = 902.2974

maximizar y2

Convexidade: convexa, a funo objetivo uma funo convexa (tem um nico mnimo) cncava, a funo objetivo uma funo cncava (tem um nico mximo)

1.6.2.

As Restries

So os limites impostos ao sistema pelas condies fsicas, por exemplo: capacidade mxima de processamento de um equipamento, temperatura e presso absolutas s podem assumir valores positivos, os balanos de massa e energia de um processos devem ser obedecidos, capacidade de absoro do mercado, preo mximo de venda ou de compra, etc. As restries podem ser de igualdade ou de desigualdade.


19 O modelo matemtico (em regime estacionrio ou transiente) de um processo uma restrio de igualdade.

1.6.3.

A Regio Vivel

Regio do espao definida pelas variveis de deciso, delimitada pelas restries, em cujo interior ou na fronteira se localiza o mximo ou o mnimo da funo objetivo. Tambm denominada de regio de busca. O conjunto das restries determinam uma regio onde o ponto timo deve estar contido. Portanto a regio vivel deve ser um espao no nulo. Por exemplo: regio vivel nula: regio vivel: x > 50 e x < 10 x > 10 e x < 50

Exemplo; Funo objetivo:

max y1x

y1 = a. x 2 + b. x + cEquao 1.6-B

Sujeito a:

10 < x < 20

x = 10:20; y1= -a*x.^2 + b*x + c; plot(x,y1)-200 -400 -600 -800 -1000 -1200 -1400 -1600 10

12

14

16

18

20

Figura 1-C: Funo Objetivo com Restriomax(y1) ans = -375

O estabelecimento da regio vivel torna-se mais complicado com o aumento do nmero de variveis e com a complexidade das expresses que definem as restries do sistema. Embora os algoritmos numricos tenham capacidade de detectar quando uma regio vivel no existe (regio vivel nula), eles no podem detectar quando a regio de busca est definida de maneira errada. Portanto, mxima


20 ateno deve ser dispensada ao estabelecimento das restries, ou seja, da regio vivel.

1.6.4.

As Variveis de Deciso (VD)

As variveis de deciso ou de projeto ou independentes correspondem, em nmero, ao excesso de incgnitas em relao ao nmero de equaes, ou seja, sua quantidade igual ao nmero de graus de liberdade do sistema. Se existe apenas uma nica soluo para o problema, nenhuma otimizao necessria e possvel. Portanto, para haver condies de otimizar um processo o mesmo dever ter graus de liberdade maior que zero. As VD caracterizam os possveis projetos ou condies operacionais do sistema e devem ter uma certa influncia sobre a funo objetivo. Se uma funo objetivo pouco sensvel a uma varivel de deciso conveniente simplificar o problema assumindo um valor fixo para essa varivel. Por outro lado, se o critrio de desempenho extremamente sensvel a uma determinada varivel de projeto, talvez seja difcil reproduzir na prtica as condies timas calculadas.

1.7.

Procedimento Geral para Solucionar um Problema de Otimizao

No existe um procedimento ou mtodo que possa ser aplicado eficientemente para todo tipo de problema. A escolha do mtodo depende:

da caracterstica da funo objetivo (linear ou no-linear; contnua, discreta ou mista) da natureza das restries (linear ou no-linear; contnua, discreta ou mista) do nmero de variveis de deciso.

Podemos estabelecer 6 passos principais a serem seguindos na soluo de problemas de otimizao: P1. Analise o processo e estabelea as variveis de deciso (VD) e as auxiliares (VAs). P2. Estabelea a funo objetivo (FO) em funo das variveis identificadas no item P1 e de coeficientes conhecidos. P3. Estabelea as restries: balanos de massa e energia funes das VDs e VAs, relaes constitutivas e/ou empricas, limites operacionais mximos e mnimos, faixa de validades das variveis, por exemplo, temperaturas e presses absolutas devem ser positivas, fraes molares entre 0 e 1, etc.,Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

21

limites externos, por exemplo, capacidade mxima de consumo do mercado.

P4. Se o problema demasiadamente grande: subdivida em partes e/ou simplifique a funo objetivo e/ou o modelo do processo. P5. Se possvel faa o mapeamento da funo objetivo, isto , verifique graficamente como a FO varia com a mudana das variveis de deciso. P6. Aplique as apropriadas tcnicas matemticas de otimizao para o problema. P7. Aplique a anlise de sensibilidade da FO, isto , examine a sensilidade do ponto de mnimo/mximo e o valor da FO s mudanas nos coeficientes das funes e a alteraes nas variveis deciso. Os passos P1, P2, P3 e P4 constituem a representao matemtica do problema, exigindo que a equipe responsvel pela otimizao do sistema tenha: (a) muito conhecimento a respeito do processo, (b) muita ateno e habilidades especficas em modelagem de processos. Deve-se escolher um modelo o mais simples possvel (menor quantidade de variveis, equaes constitutivas enxutas) que representa adequadamente o sistema. Executando a etapa P5 temos condies de saber sua ordem de grandeza e de verificar como ela varia com determinada VD. O mapeamento da FO nem sempre simples de realizar embora seja sempre desejvel. A aplicao dos algoritmos de otimizao (passo P6) uma etapa simples, desde que se tenha mo programas de computador j desenvolvidos e testados. Porm se for necessrio implementar ou desenvolver um novo algoritmo ser necessrio um grande esforo (tempo e recursos humanos). Na etapa P7, validao dos resultados obtidos, essencial a participao de engenherios e de tcnicos que conhecem (bem) o sistema/processo otimizado.

1.7.1.

Mapeamento da Funo Objetivo

Antes de executar algum algoritmo de otimizao, interessante que seja realizado o mapeamento da FO. Veja o exemplo a seguir de uma funo Z de duas incgnitas (X,Y):x = -8:.5:8 ; y = x ; [X,Y] = meshgrid(x,y) ; R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps ; Z = sin(R)./R ;

Utilizamos as funes de traamento de grficos do MATLAB para mapear de diversas maneiras a funo Z = seno(R)/R. Construimos os grficos bidimensional (figura 1-d), tridimensional (figura 1-e), das curvas de nvelRicardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

22 (figura 1-f), combinao do grfico tridimensional com o das curvas de nvel (figura 1-g), curvas de nvel pseudo-coloridas (figura 1-h).


23whitebg plot(x,Z) mesh(x,y,Z)

1

10.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -8

0 .5

0

-0 .5 1 0 5-6 -4 -2 0 2 4 6 8

1 0 0 -5 -1 -1 0 0 -5 5 0

Figura 1-D: Grfico bidimensional Figura 1-E: Grfico tridimensional

c = contour(x,y,Z) ; clabel(c);8 6 4 2 0 -2 -0.2 0.2 0.4 0 -0.2 0 0.8 0.6 0 0

meshc(x,y,Z)

1

0 .5

0

Figura 1-F: Curvas de nvel

Figura 1-G: Tridimensional com curvas de nvel


24pcolor(x,y,Z)8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Figura 1-H: Curvas de nvel pseudo coloridas

Se a FO tem mais de duas VDs podemos: (a) plotar vrios grficos da FO com relao a diferentes pares das variveis de deciso,


25 (b) plotar um grfico bidimensional no qual a ordenada o valor da FO e na abscissa os conjuntos de valores das variveis de projeto, Figura 1-I. Por exemplo[nl,nc] = size(Z) ; VetorZ = [ ] ; for i = 1 : nl for j = 1 : nc VetorZ = [ VetorZ ; Z(i,j) ] ; end end whitebg plot(VetorZ,'r')1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -0 .2 -0 .4

0

200

400

600

800

1000

1200

Figura 1-I: Grfico dos valores alinhados de uma funo bidimensional Quando existem muitas VDs o nmero de clculos e/ou de grficos para mapear a FO fica proibitivo, por exemplo, para 5 variveis de deciso com 20 pontos para cada, o nmero de vezes que a FO ser avaliada 205 = 3.200.000.

1.7.2.

Obstculos Otimizao

Se a funo objetivo (FO) e as funes de restries (FR) forem "bem comportadas" a otimizao no apresenta grandes problemas. Particularmente se a FO e as restries forem todas lineares est disponvel um poderoso mtodo (Programao Linear) que resolve este problema de maneira satisfatria. Entretanto muitos problemas de otimizao so no-lineares. Muitos dos problemas prticos de otimizao em engenharia qumica apresentam alguns das dificuldades abaixo: P1. No disponibilidade de dados ou de um modelo matemtico confivel do sistema. P2. Descontinuidades da FO ou das FRs. Por exemplo, o preo de um compressor ou trocador de calor no varia continuamente como uma funo das dimenses, presso, temperatura, etc. pois o incremento de umRicardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

26 parmetro no afeta o custo em uma certa faixa de variao, porm para uma outra faixa ocorre um salto no valor do equipamento. P3. No-lineraridade da FO ou FR. P4. A FO e a FR so definidas atravs expresses que contm complicadas interaes entre as variveis de deciso. A interao impede a existncia de um nico ponto timo. P5. A FO ou a FR tem comportamento achatado ou exponencial em algumas faixas de variao das variveis de deciso. Isto significa que o problema pouco ou extremamente sensvel, respectivamente, a mudanas dessas variveis. P6. A FO apresenta muitos extremos locais perto da regio que contm o extremo global. Quando no possvel a aplicao dos mtodos de otimizao podemos: (a) fazer um estudo de caso, isto , escolher criteriosamente um nmero limitado de opes e analisar qual a melhor alternativa; (b) fazer um estudo de sensibilidade, semelhante ao estudo de caso, apenas mais sistematizado e com um nmero maior de casos a analisar.


27

1.8.

Exerccios

E1.1.Crie uma nova funo de duas VDs acrescentando funo Z do tem 1.7.1 (pgina 21) um ruido randmico (a funo no MATLAB rand). Construa grficos bidimensionais, tridimensionais e de contorno. Analise os resultados obtidos assumindo que a nova funo Z uma FO.

E1.2.Desenvolva uma funo objetivo para otimizar seus rendimentos. No esquea de estabelecer as restries impostas pelo sistema (patro, esposa(o), filhos, etc).

2 E1.3.Dada a funo f ( x ) = 3x12 + 2 x1 x 2 + 1.5 x 2 construa seu grficos e ache o ponto de mnimo.

E1.4.Dada a funo f ( x ) = x13 exp x 2 x12 10( x1 x 2 ) o ponto de mximo. Estude a sensibilidade.

[

2

] , graficamente obtenha


28

2. Conceitos MatemticosA busca do ponto timo de uma FO baseada em conceitos matemticos bem conhecidos e extensamente estudados. Neste captulo descreveremos e aplicaremos alguns desses conceitos, porm no seremos matematicamente formais. Vamos procurar compreender "intuitivamente" os conceitos matemticos necessrios ao entendimento e utilizao dos algoritmos numricos. Contudo se quisermos implementar algum algoritmo teremos que "entrar no mundo do formalismo matemtico" e estudar com maior profundidade lgebra linear, clculo diferencial, estatstica (para problemas de reconcialiao de dados e de estimativa de parmetros) e clculo numrico. A complementao dos tpicos aqui apresentados pode ser encontrada nos livros de clculo, clculo numrico e/ou lgebra linear.

2.1.

Definies

Uma matriz um conjunto de nmeros, smbolos ou funes dispostos em linhas e colunas. Cada elemento de uma matriz A denominado aij, onde o subscrito i corresponde linha e o subscrito j coluna corresponde. a11 a = 21 a n1 a12 a 22 an2 a1m a 2m a nm

A n xm

Equao 2-A Se o nmero de linhas (n) for igual ao nmero de colunas (m) ento a matriz denominada de matriz quadrada. Uma matriz quadrada particularmente importante a matriz identidade I. Esta matriz tem todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal principal (aii = 1, i = 1, ..., n), que so todos iguais a 1 (um).

I n xn

1 0 = 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Equao 2-B


29 Vetores so um tipo especial de matriz e tem apenas uma linha ou uma coluna. x1 x = 2 xn

x nx1

Equao 2-C A transposta de uma matriz (AT) a matriz resultante da troca das linhas pelas colunas da matriz original, ento o elemento aij transforma-se no elemento aji . A transposta de um vetor linha um vetor coluna e vice-versa.

x 1 xn = [x1T

x2

xn ]

Equao 2-D

2.2.

Operaes Bsicas com Matrizes e VetoresA = B se e somente se aij = bij , para todo i e j A + B = C se e somente se cij = aij + bij , para todo i e j A e B devem ter as mesmas dimenses

Igualdade: Adio:

Multiplicao: An x m x Bm x r = Cn x r O nmero de colunas da matriz A deve ser igual ao nmero de linhas da matriz B. Cada elemento da matriz C obtido pelo somatrio do produto dos elementos da i-sima linha da matriz A vezes os correspondentes elementos da j-sima coluna da matriz B :

cij = a ik bkjk =1

m

Equao 2-E Em geral a multiplicao de matrizes no comutativa, isto :

AB B AEquao 2-F


30 Multiplicao de uma matriz por um escalar: Cada elemento da matriz multiplicada pelo nmero escalar:

s A = B s.aij = bijEquao 2-G

Transposta de um produto de matrizes:

(AB )

T

=B AT

T

Equao 2-H

Produto interno entre dois vetores: Seja x e y dois vetores de dimenso n, enton

x y = x, y = x i y iT i =1

Equao 2-I

x x = xi2T i =1

n

um escalar

Equao 2-J Se o resultado do produto interno entre dois vetores igual a zero, ento esses vetores so ortogonais, em vetores bi ou tridimensionais isto significa que os mesmos so perpendiculares entre si. Inversa de uma matriz: No existe a verso matricial da diviso escalar. Por definio a inversa de uma matriz, necessariamente quadrada, a matriz tal que

A A = AA = IEquao 2-K onde I a matriz identidade Um uso freqente da inversa de uma matriz para expressar um conjunto de variveis em termos de um outro conjunto, uma operao importante em problemas de otimizao com restries. Por exemplo:

1

1

z = Ax A z = xEquao 2-L

1


31 Determinante de uma matriz: A funo determinante, ou simplismente o determinante de uma matriz (necessariamente quadrada), denotado por det[A] ou |A|. um nmero escalar indispensvel na investigao de sistemas de equaes lineares. No iremos apresentar a definio do determinante, mas apenas como calcul-lo:

para uma matriz de dimenso 1, |A1x1| = a11 para uma matriz de dimenso 2, |A2x2| = a11.a22 - a12.a21 para uma matriz de dimenso 3, |A3x3| = a11.(a22.a33 - a23.a32) - a12.(a21.a33 - a23.a31) + a13.(a21.a32 - a22.a31) para uma matriz de dimenso n, utilize o comando do MATLAB: det(A)Derivada de uma funo escalar de um campo vetorial: Seja uma funo escalar de um vetor de n variveis f(x) , define-se vetor gradiente ou simplismente gradiente de f(x) ao operador

f ( x ) x1 f ( x ) f ( x ) = = x f ( x ) x n Equao 2-M Define-se a matriz Hessiana ou simplesmente Hessiana(o) de f(x) , H(x) , matriz das derivadas segunda ordem de de f(x) : 2 f (x ) 2 x1 2 2 f (x ) f (x ) = x x H (x ) = x2 2 1 2 f (x ) x x n 1

2 f (x ) x1x 2 2 f (x ) 2 x 2 2 f (x ) x n x 2

2 f (x ) 2 x n

2 f (x ) x1x n 2 f (x ) x 2 x n

Equao 2-N Seja o vetor b , n x 1 , de coeficientes constantes ento

b f ( x ) f ( x ) bT x =b = b x x x T T

Equao 2-O Seja os vetores x e z , n x 1 , e a matriz A , n x n , a partir da definio dada pela equao 2-m demonstra-se que:


32

x T Az x

(

) = Az

Equao 2-P e

x T Ax x

(

) = Ax + A

T

x

Equao 2-Q Se A simtrica vale a seguinte expresso

x T Ax x

(

) = 2 Ax

Equao 2-R e a partir da equao 2-n, se A alm de simtrica for real, ento

2 x T Ax x2

(

) = 2A

Equao 2-S

2.3.

Independncia Linear, Matriz Singular e Rank ou Posto de uma Matriz

Matriz cujo determinante igual a zero denominada de matriz singular. Isto acontece quando todos os elementos de uma ou mais linhas (ou colunas) so nulos ou quando uma ou mais linhas (ou colunas) da matriz tem uma dependncia linear com outra(s) linha(s) [ou coluna(s)], isto , podemos escrever uma linha (ou coluna) como uma funo linear de uma ou mais linhas (ou colunas) da matriz. Portanto se o determinante de uma matriz zero, esta matriz singular e suas linhas ou colunas so linearmente dependentes. Para matrizes quadradas linhas dependentes implicam em colunas dependentes. Por definio as colunas da matriz A, aj, so linearmente independentes sen

dj =1

j

aj =0

se e somente se dj = 0 qualquer que seja o j Equao 2-T

A dependncia linear ocorre quando para algum valor no nulo de dj a equao 2-t satisfeita.


33 O rank ou posto de uma matriz definido como o nmero de colunas linearmente independentes (< n). Tambm pode ser entendido como a dimenso da maior matriz quadrada no-singular obtida pelo particionamento, de todas as maneiras possveis, da matriz original.

2.4.

Operadores Linha ou Coluna

Operaes de multiplicao/diviso de uma linha (ou coluna) por um escalar, bem como adio de uma linha (ou coluna) a outra linha (ou coluna) no modificam o determinante de uma matriz. Operaes nas linhas de uma matriz podem ser utilizadas para obter a inversa da mesma. Para tanto, aumente a matriz quadrada A com a matriz identidade I,A aug = A

[ ]

Equao 2-U ento pr-multiplique a matriz aumentada por A-1

A

1

[A ] = [ A ]1

Equao 2-V A equao 2-v demonstra que efetuando operaes-linha em A da matriz Aaug, de forma a transformar A na matriz I, e repetindo as mesmas operaes na matriz I da matriz Aaug, obtemos A-1 na parte aumentada de A.

2.5.

Soluo de Sistema de Equaes Linearesa1 x1 + a 2 x 2 + an xn = b

Uma equao linear uma expresso da forma

Equao 2-W Em muitos problemas de otimizao necessrio obter a soluo de sistemas de equaes lineares. Considere que os elementos de uma matriz A, de dimenso n x n, so os coeficientes de um sistema de n equaes e n incgnitas: a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n x1 b1 a 2 n x 2 b2 = Ax = b a nn x n bn

Equao 2-X


34 ento, para b 0 e se a matriz A for no singular, isto , se existir A-1, a soluo da equao 2-x dada por

x= A bEquao 2-Y Se o rank da matriz Anxn for n, ento existe uma nica soluo, ou seja o sistema de equaes linearmente independente. Caso contrrio, ou seja, |A| = 0, ento o sistema tem infinitas solues ou a soluo no existe. Se b = 0, a equao 2-x tem duas solues:

1

a soluo trivial: x = 0 a soluo no-trivial: x 0, neste caso det[A] = 0

2.6.

Graus de Liberdade

Seja um sistema com n incgnitas e r equaes

Se n > r o sistema tem gl = n - r graus de liberdade e para solucion-lo tem-se que atribuir valores a gl variveis. Se n = r o sistema no tem graus de liberdade; para sistemas lineares de gl = 0 se o mesmo tiver soluo, ela nica; para sistemas de equaes no lineares de gl = 0 nada se pode afirmar, por exemplo, a equao seno(x) = 0 tem infinitas solues, enquanto uma equao do segundo grau tem at duas solues. Se n < r o sistema tem gl < 0 ; se o sistema linear ele est sobredeterminado e deve-se eliminar algumas equaes para poder ser solucionado; se o sistema no linear as (n - r) equaes a mais podem ser utilizadas para encontrar possveis conjuntos viveis.Da discusso acima verifica-se que os sistemas no-lineares so mais complexos e conseqentemente de soluo mais difcil. Para otimizar um sistema linear o mesmo deve ter graus de liberdade (gl > 0). A otimizao se d atravs da escolha criteriosa, e por intermdio de um algoritmo numrico, do valor de gl variveis que maximizem/minimizem uma funo objetivo. Para otimizar um sistema no-linear desejvel que o mesmo tenha graus de liberdade (gl > 0), pois se gl = 0 a pesquisa do ponto timo ser apenas nas solues do sistema de equaes, enquanto que para gl > 0 o algoritmo de procura tem mais liberdade de agir.

2.7.

Autovalores e Autovetores

Uma matriz A n x n tem n autovalores. Define-se um vetor no-nulo n x 1 , v, de autovetor, o qual esta associado com o autovalor da seguinte formaRicardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

35

Av = vEquao 2-Z Para cada autovalor corresponde um autovetor. Os autovalores e autovetores fornecem informaes a respeito da natureza das funes em uma otimizao. Se todos os autovalores de uma matriz A so positivos (maiores que zero), ento A positiva definida e tem inversa. Se todos os autovalores de uma matriz A so negativos (menores que zero), ento A negativa definida. Rearranjando a equao 2-z obtemos

(A I )v = 0

Equao 2-AA cujas variveis desconhecidas so os autovalores e os autovetores v . Devido o lado direito da equao 2-aa ser zero, duas solues so possveis: a soluo trivial: v = 0 ou existe mais de uma soluo, ento det[A - I] = 0.

2.8.

Estudo de Funo

Seja uma funo de uma nica varivel, f(x) , a condio necessria, mas no suficiente, para que um ponto x*, que no esteja na fronteira do domnio da funo, ou simplesmente ponto interno, seja ponto de mximo ou de mnimo que a derivada da funo neste ponto seja nula. Seja o ponto x* o ponto crtico ou ponto estacionrio isto f'(x*) = 0. Este ponto pode ser um ponto de mximo, de mnimo ou de inflexo, veja a figura 2a.2500

2000

1500

Figura 2-A: Funo monovarivel

A condio suficiente para que x* seja um mnimo local que f'(x*) = 0 e f''(x*) > 0, ou seja, se f'(x*) = 0 e f''(x*) > 0 ento x* ponto de mnimo.Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

36 Porm existem pontos de mnimo que no atendem a essa condio, da a condio suficiente. Por exemplo em f(x).= x4/3 , x* = 0 o ponto de mnimo, embora f''(x*) no seja definido neste ponto. A condio suficiente para que x* seja um mximo local que f'(x*) = 0 e f''(x*) < 0, ou seja, se f'(x*) = 0 e f''(x*) < 0 ento x* ponto de mximo. Porm existem pontos de mximos que no atendem a essa condio, da a condio suficiente. A condio necessria para que o ponto x* de uma funo multivarivel seja estacionrio que todas as derivadas parciais da funo em relao s suas variveis sejam nulas naquele ponto, isto , f'(x*) = 0 A condio suficiente para que o ponto x* de uma funo multivarivel seja mnimo local que a matriz das derivadas parciais de segunda ordem da funo em relao a todas as suas variveis seja positiva definida naquele ponto, isto , H(x*) > 0. A condio suficiente para que o ponto x* de uma funo multivarivel seja mximo local que a matriz das derivadas parciais de segunda ordem da funo em relao a todas as suas variveis seja negativa definida naquele ponto, isto , H(x*) < 0. Na seo 2.11 ser apresentado o conceito de matriz positiva (negativa) definida. Por ora basta entender que existe um paralelo entre esse conceito e o de derivada positiva (negativa) de segunda ordem de uma funo monovarivel.


37

2.9.

Continuidade de Funes

Em problemas de otimizao melhor que as funes e suas derivadas sejam contnuas. Na figura 2-b vemos um grfico de uma funo descontnua, enquanto que na figura 2-c temos uma funo contnua, mas com derivada de 1a ordem descontnua.4

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

x 10

10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 10005 10 15 20 25 30 35

-1 0

0 0

5

10

15

20

25

30

Figura 2-B: Funo descontnua

Figura 2-C: Funo contnua com derivada descontnua

Uma funo monovarivel continua no ponto xo se: a) f(xo) existe b) lim f ( x) existex xo

c) lim f ( x) = f ( x o )x xo

Uma funo de duas variveis contnua no ponto (xo,yo) se: a) f(xo,yo) existe b) c)( x , y )( xo , yo )( x , y )( xo , yo )

lim

f ( x, y ) existe f ( x, y ) = f ( x o , y o )

lim

Quanto mais afastada estiver a descontinuidade do ponto de mximo (mnimo) da funo, mais facilmente este ponto encontrado. Se uma funo no continuamente diferencivel, veja figura 2-c, mtodos de otimizao que utilizam derivadas no podem ser empregados, pois a derivada no definida nos pontos de descontinuidade de f(x). Um exemplo de descontinuidade acontece no projeto de tubulaes. Existe um nmero finito de dimetros de tudo disponveis para compra, veja figura 2d, portanto a escolha do dimetro recair entre uma dessas opes. Para resolver esse problema existem duas alternativas:


38 a) considerar funes de restries discretas e realizar uma otimizao discreta, neste caso os algotimos numricos so mais complexos; b) considerar variaes contnuas para o dimetro da tubulao e aproximar o resultado para a bitola mais prxima (ponto sub-timo), para fins de engenharia este procedimento satisfatrio.20 18 16 14 Custo 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 D i m e tro s d e tub o s c o m e rc ia lm e nte d is p o nve is 10

Figura 2-D: Custo de instalao de tubulao em funo do dimetro

2.10. Funes Unimodais e MultinodaisNa formulao de uma funo objetivo melhor, se possvel, escolher uma unimodal (que tenha um nico ponto de mximo ou de mnimo) que uma multinodal. Numa funo unimodal o extremo local o extremo global; enquanto que numa funo multinodal existem vrios extremos locais, um dos quais o extremo global. Os mtodos numricos apenas detectam extremos locais.

2.11. Funes Cncavas e ConvexasFunes convexas e cncavas so unimodais. A determinao da convexidade ou concavidade ajuda a estabelecer se um extremo tambm o extremo global. Uma funo denominada cncava (tem ponto de mximo, figura 2-e) em uma certa regio R, se para todos os pares (xa,xb), pertencentes regio R,

f [ x a + (1 )x b ] f ( x a ) + (1 ) f ( x b )Equao 2-BB onde 0 < < 1 . A funo estritamente cncava se apenas a relao de desigualdade (>) atendida.


39 Uma funo denominada convexa (apresenta ponto de mnimo, figura 2-f) se na equao 2-bb o sinal de > for substituido por 0 para todo x 0. Se todos os autovalores de H forem positivos (>0) ento H positiva definida. Se todos os autovalores de H forem no-negativos (>0) ento H positiva semi-definida. 2. Para f(x) ser estritamente cncava H deve ser negativa definida. Para f(x) ser cncava H deve ser negativa semi-definida. H negativa definida se e somente se xTHx < 0 para todo x 0. H negativa semi-definida se e somente se xTHx < 0 para todo x 0. Se todos os autovalores de H forem negativos ( 0 , ento uma regio convexa fechada. Por outro lado se a regio de busca restrita por inequaes da forma gi(x) < 0 e convexas, ento uma regio convexa aberta. Encontramos muitas variaes quanto ao tipo e nmero de extremos de uma FO e das suas FR's. No caso geral, necessrio encontrar todos os extremos locais e compar-los para determinar o extremo global. Este procedimento nem sempre exigido quando certas combinaes de FO's e FR's esto presentes. Considere uma funo objetivo cncava restrita por uma regio convexa. Como a FO cncava ela admite mximo local que tambm ser o mximo global, pois se a regio convexa, na figura 2-i(a) e (b) observa-se que apenas um ponto de mximo encontrado. Este, portanto o mximo local e global. Observe que se a regio no for convexa existem vrios mximos locais, veja figura 2-i(c), e a comparao entre os mesmos necessria. Similarmente para uma funo convexa numa regio convexa, existir apenas um ponto de mnimo.


43

Figura 2-I: Relaes entre FO's e regies viveis Por outro lado pode existir mais de um ponto de mnimo numa FO cncava numa regio convexa conforme mostrado na figura 2-i(b), ou mais de um ponto de mximo numa FO convexa de uma regio convexa. Funes lineares so ao mesmo tempo cncavas e convexas, portanto, quando a regio de busca convexa, admite apenas um mximo e um mnimo local. Assim se a FO's e suas FR's so bem comportadas a procura do ponto timo facilitada. Se uma FO bem comportada para a maximizao no implica que ser na minimizao e vice-versa. Assim a minimizao de funes cncavas e a maximizao de funes convexas envolve mais de um ponto timo. Se na figura 2-i(c ) a pesquisa do ponto timo comear pelo lado esquerdo da regio vivel o ponto alcanado ser o mximo local (no global), por outro lado se a busca for iniciada pelo lado direito ser atingido o mximo global. Portanto, para uma regio no-convexa temos que comparar todos os pontos extremos entre si para determinar o extremo global. Uma alternativa para resolver este problema completar a regio no-convexa (rea amarela da figura 2-j) de forma a torn-la convexa (rea amarela mais azul da figura 2-j) e encontrar o extremo, que ser o global se estamos minimizando uma funo convexa numa regio convexa, ou se maximizando uma funo convava numa regio convexa..


44

Figura 2-J: Regio no-convexa transformada em convexa

2.13.

Condies Necessrias e Condies Suficientes para um Extremo de uma Funo Irrestrita

A maneira mais fcil de estabelecer as condies necessrias e as condies suficientes para que um ponto x seja mnimo ou mximo atravs da expanso em srie de Taylor da funo f(x) em torno do presumvel ponto extremo x*

f ( x ) = f x + T f x . x +

( )

( )

1 T x . 2 f x . x + O3 ( x ) 2

( )

( )

Equao 2-FF onde x = x - x* . Assumindo que todos os termos da equao 2-ff existem e os termos de ordem igual ou superior a 3 so desprezveis, pode-se concluir a respeito dos pontos estacionrios por intermdio das derivadas de f(x) . Por definio, um mnimo local no ponto x* tal que nenhum outro ponto nas vizinhanas de x* gera valores de f(x) menores que f(x*), ou

f (x ) f x 0

( )

Equao 2-GG x* mnimo global se a equao 2-gg atendida para todo x pertencente regio vivel. Analogamente, x* mximo local se

f (x ) f x 0

( )

Equao 2-HH Examinando o segundo termo do lado direito da equao 2-ff: Tf(x)x, chega-se concluso que Tf(x*) = 0 , pois como x assume valores negativos e positivos, para que a condio de mnimo (equao 2-gg) ou de mximo (equao 2-hh) seja sempre satisfeita, por menor que que seja x , Tf(x*) deve ser sempre nulo, seno essa condio seria violada, pois, paraRicardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

45 valores muito pequenos de x ,os termos das derivadas de ordem igual ou superior a 2 so desprezveis em relao ao elemento das derivadas de 1a. Portanto para x* ser ponto estacionrio o gradiente de f(x) deve ser nulo em x* , Tf(x*) = 0 . Essa condio apenas necessria pois o ponto x* pode ser ponto de sela ou ponto de inflexo. Se a condio necessria (Tf(x*) = 0) atendida, ento 2f(x*) deve ser maior que zero para que x* seja ponto mnimo, pois a equao 2-gg deve ser satisfeita mesmo para valores muito pequenos de x , e nesse caso os termos de ordem igual ou superior a 3 da equao 2-ff so desprezveis em relao ao termo da derivada 2a. Raciocnio anlogo com a equao 2-hh pode ser feito para interpretar se um ponto estacionrio mximo. Logo para x* ser ponto de mnimo, Tf(x*) = 0 e 2f(x*) > 0 . Essa condio apenas suficiente pois pode ser que a 2a derivada no exista no ponto x* , apesar deste ser ponto de mnimo. Similarmente raciocina-se para o ponto de mximo. Se f(x*) = 0 e 2f(x*) = 0 ento x* ponto de sela. Resumindo as condies necessrias (CN1 e CN2 abaixo) e as condies suficientes (CS3 e CS4) que garantem que x* um extremo so as seguintes: CN1. f(x) seja uma vez diferencivel no ponto x* . CN2. f(x*) = 0 , isto , x* seja um ponto estacionrio. CS1. f(x) seja duas vezes diferencivel no ponto x* . CS2. 2f(x*) = H(x*) seja positiva definida para que um mnimo exista em x* , e seja negativa definida para que um mximo exista em x* . Na tabela 2-a v-se um resumo das condies discutidas nesta seo.


46 Tabela 2-A

f(x*) 0=0 =0 =0 =0 =0

H(x*) = 2f(x*)

xT.2f(x*).x

Prximo de x* Pode-se afimar f(x) -f(x) que

no ponto estacionrio positiva definida positiva semidefinida negativa definida negativa semidefinida indefinida >0 >0 0, dependendo de x >0 possivelmente >0 2 1 > 2 |1| = |2| |1| = |2| 1 > 2 2 = 0 2 = 0 2 = 0 2 = 0 Sinal 1 + + + + + + Sinal 2 + + + Tipo de contorno Crculo Crculo Elipse Elipse Hiprbole Hiprbole Hiprbole Reta Reta Parbola Parbola Interpretao geomtrica Monte circular Vale circular Monte elptico Vale elptico Sela simtrica Sela simtrica Sela alongada Condilheira estacionria Vale estacionrio Cordilheira crescente Cordilheira decrescente Ponto estacionrio Mximo Mnimo Mximo Mnimo Ponto de sela Ponto de sela Ponto de sela Infinitos Infinitos No No Problema de otimizao bem-comportado e raro na prtica bem-comportado e raro na prtica bem-comportado e mais freqente bem-comportado e mais freqente degenerado degenerado degenerado degenerado degenerado degenerado degenerado Fig.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2.11 2.11 2.12 2.12 2.13 2.13 2.13 2.15 2.15 2.16 2.16

Uma funo objetivo dita bem-comportada quando seus contornos formam uma regio convexa. Como mostrado na tabela 2-b os autovalores da matriz Hessiana de f(x) indicam a forma da superfcie formada por f(x). Por sua vez os autovetores de H(x) correspondem s direes dos principais eixos dos contornos de f(x). Esta informao pode ser utilizada para definir direes de pesquisa mais eficientes.


48

Figura 2-K: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: contornos circulares


49

Figura 2-L: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: contornos elpticos


50

Figura 2-M: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: ponto de sela

Figura 2-N: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: vale

Figura 2-O: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: cordilheira decrescente


51

2.15. ExercciosE2.1.Utilizando a definio de inversa de uma matriz, expresse o vetor x em funo do vetor z. z1 = x1 + x2 z2 = 2x1 + x2 E2.2.Utilizando a tcnica da matriz aumentada (operadores-linha) calcule a inversa de A:

1 4 A= 2 1 Compare a matriz A-1 com a inversa calculada pelo comando inv(A) do MATLAB. E2.3.Calcule a soluo dos seguintes sistemas de equaes lineares: A x = b (a)

2 1 1 A= ; b = 0 1 2 2 2 6 A= ; b = 5 1 1 2 2 6 A= ; b = 3 1 1

(b)

(c )

E2.4.Utilizando a equao det[A - I] = 0 calcule os autovetores e autovalores 1 2 da matriz A = . Compare os resultados com os obtidos pelo 2 1 comando [v,d] = eig(A) E2.5.Determine os pontos estacionrios da funo f ( x ) = classifique-os. E2.6.Verifique a regio na qual f(x) e f'(x) so contnuas: 1 a) f ( x ) = x b) f ( x ) = ln ( x ) E2.7.Estude a variao da funo f(x) = 2x2 - x3 , isto , estabelea as regies de concavidades e/ou convexidades, calcule os pontos estacionrios e obtenha o valor de de f(x) nesses pontos. Trace grficos de f(x). E2.8.Determine a convexidade/concavidade das funes abaixo: a) f(x) = 2x12 - 3x1x2 + 2x22 b) f(x) = x12 + x1x2 + 2x2 + 4 c) f(x) = 2x1 + 3x2 + 6 d) f(x) = 2x12 + 2x1x2 + 1,5x22 + 7x1 + 8x2 + 24Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

1 x + 2x + x 2 + 14 3

e

52 E2.9.Determine a regio vivel e verifique, atravs da Hessiana e de grficos, se a mesma convexa ou no: a) -x12 + x2 > 1 ; x1 - x2 > -2 b) -x12 + x2 > 1 ; x1 - x2 < -2

c) x1 < 6 ; x2 < 6 ; x1 > 0 ; x2 > 0 ; x1 + x2 < 6 E2.10.Classifique os pontos estacionrios e verifique se as condies necessrias e as suficientes so atendidas: a) f(x) = x4/3 b) f(x) = 4x3 c) f(x) = x13+ x22 - 3x1 + 8x2 + 2 d) f(x) = 4 + 4,5x1 - 4x2 + x12 + 2x22 - 2x1x2 + x14 - 2 x12x2 E2.11.Happel e Jordan (Chemical Process Economics, Marcel Dekker, New York, 1975, p. 178) desenvolveram uma funo objetivo (custo) para uma coluna de destilao: f(n,P,R) = 14720(100 - P) + 6560R - 30,2PR + 6560 - 30,2P + 19,5n(5000R - 23PR +5000 - 23P)0,5 + 23,2(5000R - 23PR + 5000 - 23P)0,62 onde n o nmero de estgios tericos, R a razo de refluxo e P o percentual de recuperao da corrente do fundo. Qual o ponto timo? Neste ponto a FO convexa? Existe alguma regio no convexa nas vizinhanas do ponto timo? E2.12.Uma reao homognea converte 2 compostos orgnicos (A e B) num produto P pelo aquecimento do meio reacional. Os reagentes podem ser injetados no reator, enquanto que vapor passa por uma serpentina para aquecer o meio reacional. O produto P pode ser vendido a 50$/kg-mol. Para 1 kg-mol de alimentao, o custo da alimentao (em $/kg-mol) uma funo da frao molar de A (xA) e dado por f(xA) = 2 + 10xA + 20xA2 . O custo do vapor (em dolares) uma funo de S (kg de vapor/kg-mol de alimentao) e g(S) = 1 + 0,003S + 2x10-6S2 . O rendimento a P dado por yP(xA,S) = 0,1 + 0,3xA + 0,001S + 0,0001xAS , onde as unidades de yP so kg-mol de P/kg-mol da alimentao. Pede-se a) Obtenha a funo lucratividade (base de 1 kg-mol de alimentao) em funo de xA e S Maximize a FO sujeita s seguintes restries: S>0 0 < xA < 1 e

b)

c) Demonstre matematicamente se f uma funo cncava ou convexa? d) A regio vivel convexa? Por que?


53 Ref.: Todos os exerccios foram extrados ou adaptados de Edgar, T. F. & Himmelblau, D. M. "Optimization of Chemical Processes".


54

3. Formulao Matemtica de um Problema de OtimizaoPodemos sub-dividir o problema de otimizao em trs etapas: E1. Expresso em linguagem matemtica do problema.

Identificao das variveis de deciso (VDs) e das auxiliares (VAs, todas as demais variveis e constantes) Identificao do objetivo (FO) Identificao das restries (FRs)

E2. Resoluo das equaes e obteno do(s) ponto(s) timo(s). E3. Interpretao dos resultados. Dessas trs etapas, sem dvida nenhuma, a primeira, ou seja, a formulao matemtica do problema a mais difcil e crtica. Difcil pois requer um profundo conhecimento do sistema a ser otimizado e o levantamento de informaes nem sempre disponveis ou quantificveis de maneira precisa. Crtica porque as demais etapas dependem dela. O desenvolvimento da funo objetivo e de suas restries requer que sejam arbitradas hipteses simplificadoras, que preservem as principais caracterstivas do sistema e que possibilitem a resoluo do problema. Ou seja, deve-se estabelecer um modelo matemtico simultaneamente simples e fiel aos fenmenos do sistema. No existe um procedimento padronizado para desenvolver um modelo matemtico de um sistema. Na verdade esta tarefa uma arte que deve ser aprendida a partir da realizao de vrios exerccios e exemplos. A resoluo do problema de otimizao se resume a aplicao de algoritmos numricos adequados a cada classe de problemas. Esta tarefa no complicada, embora o desenvolvimento e implementao de novos algoritmos o seja. Porm j esto comercialmente disponveis timos "pacotes computacionais": PCO1. IMSL (International Mathematical and Statistical Library), PCO2. NAG (Numerical Algorithms Group), PCO3. HARWELL, PCO4. NUMERICAL RECIPES in C, FORTRAN, PASCAL, PCO5. TOOLBOX DE OTIMIZAO DO MATLAB. Neste curso ficaremos mais interessados em aplicar corretamente os algoritmos implementados no MATLAB. A interpretao dos resultados obtidos outra etapa que requer muita ateno e conhecimento a respeito do sistema. Por exemplo, quando existe a multiplicidade de pontos extremos a escolha do melhor pode recair sobre umRicardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

55 extremo local diferente do global, mas que apresente caractersticas mais apropriadas para o sistema. Como foi dito no Captulo 1, a expresso matemtica de um problema de otimizao tem duas partes: P1. a funo objetivo (FO), ou seja, o critrio de desempenho a ser atingido, cuja especificao obrigatria; P2. as restries ou funes de restrio (FR), que esto quase sempre presentes. De maneira geral as restries podem ser escritas sob a forma de equaes (algbricas ou diferenciais) e/ou inequaes (algbricas ou diferenciais). Genericamente o problema de otimizao pode ser formulado da seguinte formamin f ( x)x

sujeito a e/ou

h( x ) 0

g (x ) = 0

Equao 3-A Para resolver os problemas linearres ou no-lineares de otimizao com ou sem restries existem inmeros mtodos numricos. Nos captulos 4, 5, e 6 descreveremos alguns dos algoritmos mais utilizados nos problemas de engenharia qumica. Nas sees 3.1, 3.2 e 3.3 estudaremos como definir a FO e suas FR's.

3.1.

A Funo Objetivo (FO)

Devemos ser capazes de traduzir expresses verbais do tipo maximizao do lucro ou minimizao dos custos em termos matemticos. Devemos expressar a FO em termos de unidades monetrias ou em unidades quantificveis, e omitir expresses filosficas do tipo "construir um mundo melhor" ou "desenvolver uma sociedade mais humana". Tambm no trataremos de problemas que envolvem mltiplas funes objetivos. Na definio da FO podemos considerar apenas objetivos econmicos (maximizar a lucratividade, por exemplo) ou apenas objetivos operacionais (diminuir a diferena entre o valor desejado e o valor medido na operao de um equipamento) ou combinar os dois tipos de objetivos numa nica FO. Todos os procedimentos numricos de otimizao requerem que seja definido um critrio de parada ou tolerncia, pois a soluo exata nunca encontrada, mas apenas uma aproximao da mesma.


56

3.1.1.

Tolerncia ou Critrio de Parada

Como dissemos anteriormente, o ponto timo obtido est numa vizinhana do timo verdadeiro. Esta vizinhana pode ser to pequena quanto a preciso das informaes utilizadas, mas sempre ser necessrio arbitrar tal aproximao, isto , a tolerncia. Um dos seguintes critrios podem ser utilizados para interromper os processos iterativos de procura do ponto timo: Erro absoluto na FO:

f x

( ) f (x ) < k +1 k

1

Equao 3-B Erro relativo na FO:

f x

( ) f (x ) < f (x )k +1 k k

2

Equao 3-C Erro absoluto no ponto timo:

xik +1 xik < 3 i nEquao 3-D ouxik +1 xik =

(xn i =1

k +1 i

xik

)

2

< 4

Equao 3-E Erro relativo no ponto timo:xik +1 xik < 5 i n xik

Equao 3-F Erro absoluto na direo de busca:

f x

( )k

f ( x ) = < 6 i n i =1 x x k n

2

Equao 3-G Na verdade devemos utilizar no mnimo 2 critrios para caracterizar que as tolerncias especificadas foram alcanadas.


57

3.1.2.

Objetivos Econmicos

A FO pode ser escrita em relao ao lucro e/ou custo, ou simplesmente em termos da lucratividade de um dado projeto. O termo lucratividade utilizado para mensurar a quantidade de lucro gerado, tal medida pode ser expressa de diferentes maneiras. Qual a forma mais adequada depende do ambiente onde esta inserido o problema. Para desenvolver uma FO que leve em conta a lucratividade de um dado empreendimento necessrio compreender conceitos tais como depreciao, fluxo de caixa, custos de capital, custos operacionais, valor presente e valor futuro, inflao, vida econmica, investimento inicial, capital de giro, taxa de retorno de investimento, valor presente lquido, tempo de retorno, etc. Infelizmente no temos tempo para discutir com profundidade tais temas e por isso no os trataremos, com excesso para os custos de capital e operacional que abordaremos a seguir. Podemos estabeler os seguintes objetivos econmicos: OE1. A minimizao dos custos ou maximizao dos lucros operacionais. OE2. A minimizao dos custos de investimento (ou de capital). OE3. A minimizao de uma funo que inclua os custos de capital e operacional. A primeira categoria de funes objetivo (OE1) envolvem apenas custos variveis e a receita com as vendas e encontrada em situaes onde o custo de capital uma quantia fixa (os equipamentos j esto comprados e funcionando). A segunda categoria (OE2) aparece em situaes onde no existem custos variveis, por exemplo, em muitos problemas de projeto mecnico de equipamentos. A terceira categoria (OE3) inclue simultaneamente custo de capital e custo operacional. Por exemplo na deciso de implantar uma nova fbrica ou ampliar uma j existente. Este tipo de problema mais complexo e difcil de equacionar. O Exemplo 3.1 apresenta um problema de otimizao cuja FO funo apenas dos custos operacionais. Exemplo 3.1: FO funo apenas dos custos e receitas operacionais. Tempo timo de campanha de um reator cataltico. Considere um ciclo de operao de um reator cataltico que sofre regenerao peridica de seu leito. Seja x1 o nmero de dias nos quais o catalisador utilizado no reator e x2 o nmero de dias necessrios para a regenerao. Portanto cada ciclo dura x1 + x2 dias. As seguintes hipteses podem ser consideradas: H.1. A operao do reator apenas pode ser inicializada no turno da manh, portanto x1 + x2 deve ser um nmero inteiro.Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

58 H.2. Vazo constante de alimentao do reator q [=] kg/dia H.3. Custo constante da matria-prima C1 [=] $/kg H.4. Valor constante do produto C2 [=] $/kg H.5. Custo constante de regenerao C3 [=] $/ciclo de regenerao H.6. Atividade cataltica (A) obedece a equao A = 1 - K.x1 onde A a frao massica convertida de matria-prima , 1 a atividade no incio da operao do reator, K um fator constante. q.A a quantidade de matria-prima convertida em produto em um dia. H.7. Custo da separao entre reagente e produto desprezvel. H.8. Custo de recirculao de reagente negligencivel. Desenvolva uma funo objetivo em relao ao custo e receita operacional e encontre o ponto timo. Para x2 = 2 , K = 0,02 , q = 1000 , C1 = 0,4 , C2 = 1 , C3 = 1000 qual o valor de x1opt . Soluo: Identificao da VD: Exceto x1 , todas as demais variveis so fixas, portanto esta a varivel de deciso. Identificao do objetivo: Para um ciclo completo de operao e regenerao (x1 + x2), a FO definida como a maximizao do lucro dirio (receita - despesa) pode ser escrita como: maximizar o Lucro/dia Onde: Lucro/dia=(receita regenerao) diria)-(custo dirio matria-prima)-(custo dirio

Lucro/dia = f(q,x1,x2,C1,C2,C3,A) receita diria = (preo de venda do produto) x (produo diria) (produo diria) = (produo total)/(nmero total de dias) (produo diria) = (q.Amed.x1)/(x1 + x2)x1

Amed =

Adx10 x1

x1

=

(1 Kx1 )dx10

dx10

x1

=

x1 K x1

x 12

2 2 = 1 K x1 2

custo dirio matria-prima=(preo matria-prima)

matria-prima)x(consumo

dirio

consumo dirio matria-prima = (consumo total) / (nmero total de dias) consumo dirio matria-prima = q.x1/(x1 + x2) custo dirio regenerao=(custo de regenerao por ciclo)/(nmero total dias) Portanto a FO :Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

59f (q, x1 , x 2 , C1 , C 2 , C 3 , A) = C 2 qAmed x1 C3 C qA x C1 qx1 C 3 C qx 1 1 = 2 med 1 x1 + x 2 x1 + x 2 x1 + x 2 x1 + x 2

Identificao das restries: No existem restries. Para encontrar o ponto timo temos que derivar a FO em relao a x1 e igualar a zero, e resolvendo para x1 encontramos 2 2 C Cx x1opt = x1 = x 2 + x 2 1 2 + 3 x 2 C2 qC 2 K

Para x2 = 2 , K = 0,02 , q = 1000 , C1 = 0,4 , C2 = 1 , C3 = 1000 , ento x1opt = 12,97 . Obviamente x1 uma varivel inteira, logo x1opt deve ser aproximada para 13 , este procedimenteo satisfatrio se x1opt assume valores elevados (12, 13, 14, 15, etc.), mas inapropriado se x1opt est em torno de 1, 2 ou 3, neste caso devemos redefinir x1 para unidades tais como horas ou turno. O Exemplo 3.2 trata do caso em que apenas o custo de capital importante. Exemplo 3.2: FO funo apenas dos custos de capital. Projeto de um vaso de presso. Suponha que ns queremos encontrar a configurao tima que minimiza os custos de investimento num vaso cilndrico de presso. O volume (V) desse vaso conhecido e fixo. Desenvolva uma FO conveniente para este problema. Encontre a relao tima entre altura (L) e dimetro (D), (L/D)opt, e compare o resultado obtido com o critrio emprico de projeto (L/D)opt = 3 . Soluo: Identificao da(s) VDs: obviamente so a altura L e o dimetro D . Identificao do objetivo: Para um ciclo completo de operao e regenerao A FO pode ser definida como: minimizar o custo de fabricao do vaso de presso Para matematizar a expresso da FO temos que inicialmente estabelecer algumas hipteses simplificadores da geometria do vaso H1. Topo e fundo planos. H2. Paredes (lateral, topo e fundo) tem espessura (t) e massa especfica () constantes, e a espessura no depende da presso. H3. O custo de fabricao da lateral, do fundo e do topo o mesmo, em S ($/unidade de peso). H4. No existe perda de material durante a fabricao do vaso, pois existem chapas de metal de todas as dimenses Admitindo as hiptese H1-4 o custo do vaso fica apenas em funo da quantidade de material empregada na fabricao do mesmo:Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

60 custo = S x (peso do material empregado na fabricao do vaso) e a expresso matemtica da FO :S , ,t , D , L

min f 1

D 2 onde f 1 (S , , t , D, L ) = S 2 4 + DL t em unidade de custo em $

Como S, e t so constantes ento a FO tambm pode ser

min f 2t ,D,L

D 2 onde f 2 ( , t , D, L ) = + DL t em unidades de peso 2 ou

min f 3D,L

D 2 onde f 3 (D, L ) = 2 + DL em unidades de area Note que as trs FO's diferem apenas de fatores multiplicativos constantes, portanto a incluso ou no desses fatores apenas afetar o valor da FO, mas no alterar o valor das variveis de projeto. Logo, por simplicidade, utilizaremos a FO em unidades de rea. Como o volume do vaso cilndrico constante existe uma relao entre altura e dimetro do mesmo:

V=

D 24

LL=

4 D 2V

Assim existe apenas uma varivel de deciso e podemos reescrever a FO da seguinte forma

min f 4D

D 2 4V onde f 4 (D ) = 2 + D em unidades de area Identificao da(s) restries: no existem restries. Para encontrar o ponto timo temos que diferenciar f4 em relao a varivel de projeto igualar a zero, resultando em


61 4V D = e, consequentementeopt 1/ 3

4V L = ou sejaopt

1/ 3

L D

opt

=1

Logo a razo (L/D)opt obtida significativamente diferente da esperada (L/D = 3). Esta diferena pode ser devida a escolha de hipteses inapropriadas. Brummerstedt (1944)# e Happel e Jordan (1975)@ desenvolveram hipteses mais realistas para o problema do dimensionamento de vasos de presso: H1. Topo e fundo tem o formato de elipses 2:1, com uma rea dada por 2(1,16D2) = 2,32D2 H2. Custo de fabricao das extremidades maior que para a lateral; Happel sugere um fator de 1,5. H3. O custo de fabricao por unidade de peso S ($/unidade de peso) e massa especfica () so constantes. H4. A espessura t funo do dimetro do vaso, do esforo a que o ao ser submetido, da presso e da corroso admissveis. Por exemplo, para uma presso de projeto de 250 psi (17 atm) e uma corroso prevista de 1/8 in, a espessura t (em polegadas) em funo do dimetro D (em ps): t = 0,0108D + 0,125 Identificao da(s) variveis de deciso: considerando as discusses anteriores a nica VD o dimetro D do vaso.

# Brummerstedt, E. F., Natl. Pet. News, 36, R282, R362, R497 (1944). @ Happel, J. e D. G. Jordan, Chemical Process Economics, 2a. edio,

Marcel Dekker, New

York (1975). Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

62 Identificao do objetivo: o mesmo anterior, ou seja, minimizar o custo de fabricao do vaso de presso As novas hipteses foram a FO a ser expressa em dlares, pois a rea ou o peso no so mais diretamente proporcionais ao custo, assim a nova FO

onde f 5 (S , , t , D, L ) = S 1,5(2,32 D 2 ) + DL t

S , ,t , D , L

min f 5

[

]

unidade de custo em $

Substituindo t(D) em f5 e lembrando que S e so constantes e queV=

D 2

D L + 4 3

obtemosmin f 6D

onde f 6 (D ) = 0,0432V + 0,5

V + 0,3041D 2 + 0,0263D 3 D

unidade de custo em $

Identificao da(s) restries: no existem restries. Ao solucionar este problema para diferentes nveis de presso Happel apresentou a seguintes solues: Ponto timo: (L/D)opt Presso de projeto (psi) Capacidade (ft3) 2500 25000 100 1,7 2,2 250 2,4 2,9 400 2,9 4,3

Observe que o ponto timo se aproxima da razo 1 medida que a presso e a capacidade do tanque diminuem e que o valor emprico (L/D = 3) pode estar errado em 50 % em relao ao (L/D)opt. Ainda necessria uma interpretao cautelosa desses resultados pois no foram consideradas as perdas de material durante a fabricao. Consideremos agora um exemplo que leva em conta os custos de capital e operacionais.


63 Exemplo 3.3: FO funo dos custos de capital e operacionais. Especificao da espessura tima de um isolamento. Suponha que ns queremos encontrar a espessura do isolamento para uma tubulao. Neste caso necessrio considerar os custos de investimento e a da energia economizada devido ao incremento do isolamento. Neste exemplo iremos determinar a espessura tima de isolamento para uma tubulao larga que contm um lquido aquecido. Rubin (1982)& apresentou tabelas que mostram a espessura econmica de isolamento como uma funo da dimenso da tubulao, custo de combustvel e temperatura do tubo, baseado num ambiente com ventos a 7.5 milhas por hora (12 km/h) a 60oF (15,5 oC). Hipteses: H1. A taxa de perda de calor por um cilindro largo e isolado, no qual a espessura de isolamento muito menor que o dimetro do cilindro e que o coeficiente de transferncia de calor do lado de dentro do tubo grande, pode ser aproximado por:Q= AT x 1 + k hc

(a)

onde:o

TA x hc k Q

- diferena mdia de temperatura entre o fluido e o ambiente [=] rea da superfcie do tubo [=] ft2 espessura do isolamento [=] ft coeficiente externo de transferncia de calor [=] Btu/(h.ft2.oF) condutividade trmica do isolante [=]Btu/(h.ft.oF) perda de calor [=] Btu/h

F

Todos os parmetros na Equao (a) tem valor fixo, exceto x a varivel a ser otimizada (varivel de deciso). H2. O custo de instalao do isolamento por unidade de rea pode ser expresso por F0 + F1.x , onde Fo e F1 so constantes (Fo = custo fixo de instalao e F1 = custo varivel por espessura do isolamento em ft). O isolamento tem um tempo de vida de 5 anos e deve ser trocado ao final deste perodo. A verba para compra e instalao do isolamento obtida por emprstimo e ser paga em 5 prestaes anuais.

H3. H4.

Defina: r como a frao do custo de instalao que ser pago a cada ano ao banco. O valor de r depende da taxa de juros do emprstimo (r > P/5). Alternativamente, pode-se utilizar verbas prprias, e neste caso um taxa mnima de retorno deve ser especificada.

Rubin, F. L., "Can you Justify more Piping Insulation," Hydrocarbon Process, p. 152 (July, 1982). Ricardo Kalid - Otimizao de Processos [email protected]

&

64 Ht ($/106Btu) o custo de reposio do calor perdido Y o nmero de horas de operao por ano. Formule uma funo objetivo para maximizar a lucratividade da instalao do isolamento. Obtenha uma soluo analtica para xopt. Soluo: Identificao dos variveis de deciso: espessura do isolamento. Identificao do objetivo: FO pode ser definida como maximizar a economia de energia menos o custo anual do isolamento. Temos que inicialmente estabelecer uma unidade comum a todos, por exemplo, $/ano. Assim o pagamento por ano (P) que deve ser feito ao banco

P = r (F0 + F1 x ) A

(b)

A energia economizada devido ao isolamento pode ser calculada a partir da diferena entre o calor perdido com (Q) e sem isolamento [Q(x = 0) ou Q0]:Q0 Q = hc AT AT x 1 + k hc

(c)

Assim a expresso matemtica da FO (em dlares por ano)

min f (hc , A, T , k , F0 , F1 , r , x ) onde f (hc , A, T , k , F0 , F1 , r , x ) = (Q0 Q ).Y .H t (F0 + F0 x ). A.rIdentificao da(s) restries: no existem restries.x

(d)

Substituindo (c ) em (d), diferenciando f em relao a x e igualando a zero, obtemos:

x opt = k

H t .Y .T 1 6 10 .k .F .r h c 1

(e)

3.1.3.

Objetivos Operacionais

Podemos ainda escrever funes objetivos que minimizem o tempo de processamento, ou maximizem a produo, ou minimizem a diferena entre o valor desejado e o valor m

apostila otimizacao de processos - ufba

Documents