Otimização Matemática e Aplicações

Socorro Rangel Departamento de Ciências da Computação e Estatística

e-mail: socorro@ibilce.unesp.br

Sumário

• Problemas de Otimização• Aplicações:

– Indústria de Móveis– Indústria de Refrigerantes

• Ferramentas Computacionais

Motivação"Existem duas maneiras de aumentar a eficiência de uma

loja, empresa, ou indústria. Uma delas requer a melhoria tecnológica, isto é, atualização dos equipamentos, mudança no processo tecnológico, descoberta de novos e melhores tipos de matéria prima. A outra maneira, até hoje muito menos utilizada, envolve melhorias na organização do planejamento e da produção. Isto é, melhorias no processo de distribuição do trabalho entre as máquinas da empresa, distribuição de matéria prima, combustível, entre outros fatores."

(Kantorovich (1939) in Dantzig, 1963, pg 22)

Motivação

Por que usar modelos matemáticos para auxiliar a tomada de decisão? – Solução matemática X solução impírica– Melhor entendimento da empresa– Ferramenta de apoio a tomada de decisão

Elementos de um modelo de otimização

DECISÕESIdentificar as possíveis soluções (decisões)

Definir Variáveis de DecisãoOBJETIVOS

Definir critérios de avaliação capazes de indicar que uma decisão é preferível a outrasDefinir Função Objetivo

RESTRIÇÕES

Identificar quais as restrições que limitam as decisões a serem tomadasDefinir Conjunto de Equações ou Inequações

Forma Geral de um Modelo de Otimização

min ou max (função objetivo)

sujeito a(restrições principais - equações ou

inequações)

(tipo das variáveis de decisão)

Classes de Modelos de Otimização• Linear contínuo• Linear Inteiro• Não linear• Misto

Modelo de Otimização Linear

ou , ,ser pode~onde0,...,

~.........

~......

~......a sujeito

...max)min(

21

2211

222222122

111212111

2211

n

mnmnpmpmm

nnpp

nnpp

nn

xxx

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

xcxcxczou

Inteiro Misto

, inteiraspxxx ,...,, 21

O Problema da Mochila

• elementos conhecidos:– um conjunto de itens – peso e valor de de cada item – Capacidade da Mochila (peso

máximo)• elementos desconhecidos: um

subconjunto de itens a serem incluidos na mochila cuja soma dos pesos é menor ou igual que a capacidade da mochila

• Objetivo: encontrar o subconjunto de itens com o maior valor possível

Modelo de Otimização Inteira

Sujeito a 10453 321 xxx

321 101040zmax xxx

1ou 0,, 321 xxx

possíveis soluções! Como encontrar a solução ótima?

n2

O Problema da mochila

n1,...,j 1/0 jx

Cxpxpxp nn ...2211Sujeito a

nn xvxvxv ...zmax 2211

Enumerar as Soluções: é Sempre Possível?

n 2n

3 85 3210 1024100 1.26 x 1030

Computador:

1 solução 1s

1.26x1030 soluções ~4 x 1022 anos!!!!

O que fazer então?

Como podemos ver, tentar resolver os problemas de otimização

inteira pelo método de enumeração completa é inviável.

Precisamos de técnicas mais avançadas:

• Enumeração implícita (branch and bound)

• Geração de Colunas (inclusão de variáveis)

• Planos de corte poliédricos (inclusão de inequações)

• Heurísticas

• Combinação dos Métodos acima (branch-cut- and price).

Métodos de Solução de problemas de Otimização Inteira Mista

Aplicações

Problemas de Corte e empacotamento(Cutting and Packing Problems)

Panorama da indústria moveleira

• Forte dispersão geográfica, porém concentrada em pólos regionais

localizados principalmente nas regiões Sul e Sudeste do país

•Pólo de Votuporanga-SP: empresas de pequeno e médio porte, móveis

retilineos.

• Matéria prima principal: painéis de madeira - compensados, aglomerados e

chapas de fibras comprimidas (MDF- Médium-Density Fiberboard)

Planejamento da Produção: Corte de Matéria Prima na Indústria de Móveis

O processo de produção de um móvel 1 – Corte da matéria prima: problema de corte de estoque bidimensional

390 x 110 x 12 (6)450 x 132 x 15 (3)

600 x 440 x 15 (2)

370 x 110 x 12 (3)388 x 377 x 03 (3)

410 x 383 x 03 (3)

445 x 213 x 03 (4)

2 - furação, colagem, pintura

3 – Os itens são agrupados, empacotados e aramazenados

-Armazenamento de itens cortados deve ser evitado- Espaço limitado para armazenar produto final.

objetositem

Tipo de Corte

Guilhotinado ortogonal em até três estágios

1º

2º

3º

A serra

Ajuste de acordo com a largura da faixa

ajuste de acordo com o comprimento

do itemCapacidade da serra – corte de varios objetos simultaneamente (até 60mm de

espessura)

Solução clássica• Sistema Cortebi - Método Simplex com geração de colunas; Padrões de corte em dois

estágios de Gilmory e Gomory (1965).

• Se mostrou útil como um sistema de apoio a decisão devido a rapidez e qualidade da solução

• Resolveu exemplares do problema com até 20 itens em menos que dois segundos e com

perda total entre 3,07% e 5,27% . A indústria aceita até 6%.

Rejeitado (perda 4,19%) Aceito (perda 2,73%)

Padrão Tabuleiro (ou 1-grupo)

1o estágio - faixas 2o estágio – faixas são cortadas simultaneamente

Padrões de corte n-grupos•As faixas obtidas no primiro estágio são agrupadas e cortadas simultaneamente no segundo estágio

•Os padrões 1-grupo posuem baixo custo operacional e podem ser identificados como subpadrões nos padrões de corte utilizados pela indústria.

Padrão de corte da indústria Subpadrão tabuleiro

Heuristica para gerar padrões tabuleiros compostos

1 2 2 B

1 2 2 B

1 2 2 BA

1 2 2 B

ARemoção

de faixas

Passo 1 - Leia a dimensão do objeto e dos itens ),( WL , ( ),( ii wl mi ...1 , rotação e ordenação dos itens ( piww ii ...1,1 ). Passo 2 - Use o item k (item pivô), pk ...1 , para criar até duas faixas de largura kw : homogênea maximal e se possível uma faixa heterogênia (o item pivô e itens j tais que

kj ww ). Seja S o conjunto de itens incluídos em cada faixa. Passo 3- Para cada faixas criadas no Passo 2, (área B) inclua o item i se

kiiSj

j wwillL

:,)( .

Passo 4 - Para cada faixa criada Etapa 1, gere um padrão tabuleiro usando kwW faixas. Passo 5 - Para cada padrão tabuleiro criado no Passo 4 crie K padrões de corte derivados removendo faixas do padrão. Se um padrão tabuleiro possuir t faixas, podem ser construídos até (t-1) padrões derivados. A área ociosa associada às faixas removidas será considerada um novo objeto (área A). Gere um padrão tabuleiro para o subobjeto (L, WA). Passo 6 - Resolva o problema do corte de estoque bidimensional considerando o pool de padrões gerados nos passos 2-5. O pool irá conter até 2p(K+1) padrões de corte diferentes.

Estudo Computacional

Máquina: PC AMD-Athlon 2200, 256 RAM

Software: XPressMP Suite

Exemplares: Produtos fabricados com itens (objetos) de diferentes espessuras (3, 6, 15,18, 20, e 25mm). Um problema de corte de estoque para cada tipo de objeto.

Usados pela IndustriaGerados pela heuristica

03 m

m12

mm

15 m

mResultados 1: Padrões de corte para P1

ProdutoHeuristica Industria

Nr. Pad.

Nr. Obj perda Nr.

Pad.Nr. Obj perda

P1 8 142 4,2% 6 143,5 4,3%

P2 16 240 4,3% 12 240 4,5%

P3 33 236 4,9% 27 240 4,9%

Total 57 618 4,5% 45 624 4,6%

Resultados 2: 1 lote de cada produto

Aplicações

Problemas Integrados de dimensionamento e sequenciamento de lotes(Lot-scheduling Problems)

• Várias linhas de produção• Vários tanques para armazenamento de

líquido • Garrafas recicláveis e descartáveis • Refrigerantes em diversos sabores e

tamanhos

Planejamento da Produção na Indústria de Bebidas

Uma linha de produção(Empresa de Médio porte na região de S. J. do Rio Preto)

• Esteira rolante • Máquinas alinhadas em série

• lavar garrafas• encher • fechar• rotular• empacotar

A unidade de produçãoDeterminar a quantidade e a ordem de produção de refrigerantes de forma a satisfazer a demanda do mercado, com objetivo de minimizar os custos deprodução, armazenamento e preparo de máquinas.

..

.

Estágio I – Xaroparia

Linha de produção 1 Linha de produção 2 Linha de produção m...

Estágio II - Envase

Propocionador (Bebida)

Tanque

Concen-trados, aromas, essências e sucos

água

Atraso da linha Atraso do tanque

Linha (Envase de refrigerantes)Tanque (Preparo do xarope para produção do refrigerante)

Estágio I Estágio II

Linha m

Tanque

m

53 3 41 2

dc ca b

Sincronizado

Subp. 1 Subp. 2 Subp. 3 Subp. 4 Subp. 5 Subp. 6

d

Tanque

m

Linha

m

a b c c d d

1 2 3 3 4 5

Não sincronizado

Subp. 1 Subp. 2 Subp. 3 Subp. 4 Subp. 5 Subp. 6

Tempo

troca

i para j

k para l

Desafio: Sincronia no Processo de Produção

Modelo Dois Estágios Multi-Máquinas (P2EMM - Otimização Inteira Mista)

•Demanda dos refrigerantes (itens);•Tempos de produção;•Tempos de troca de itens nas linhas de produção;•Capacidade das Máquinas;•Tempos de troca de xarope no tanque;•Capacidade dos tanques;•Quantidade de xarope utilizada em cada item;•Custos: estoque, troca de item, troca de xarope;

Elementos Conhecidos

Restrições•Fornecimento dos xaropes necessários para produção; •Capacidade dos tanques;•Troca de xarope nos tanques;• troca de itens nas linhas;•Capacidade da linha (tempo de produção);•Atendimento da demanda;•Sincronia entre preparo de xarope e envase do líquido

Critério de Otimização

•Minimizar os custos de estoque, atraso, custo de troca de itens nas linhas e xarope nos tanques;

•Estágio I – xaroparia: 8 classes de restrições•Estágio II – envase: 8 classes •de restrições

•Computador: Pentium 4, 1.0 Gb de RAM, 3.2 Ghz 256 Mb

•Software: AMPL/CPLEX 10.0.

• 15 exemplares (2 linhas de envase, 2 máquinas, 23 tipos de itens, 18 tipos de xaropes)

•Total de variáveis variáveis binárias restrições 86.359 4.575 86.140

•Métodos de solução•Branch and cut (CPLEX)•Estratégia de Decomposição (ED)•Estratégia de Relaxação (ER)•Heuristica relax and fix (RF)

Estudo Computacional

Resultados• O modelo P2EMM mostrou-se útil na representação do

problema de programação da produção de refrigerantes. • A resolução de exemplares deste modelo mostrou as

limitações dos sistemas de última geração disponíveis atualmente (Gap > 98% , 4 horas de cpu)

• Necessidade de se buscar métodos específicos de solução que explorem a estrutura combinatória do problema.

• Combinação ER + RF gerou soluções melhores que a fornecida pela Fábrica (26,3%).

Ferramentas Computacionais• Comerciais - Versão de estudante

XPRESS: http://www.dashoptimization.com/

MPL: http://www.maximal-usa.com/

AMPL: http:www.ampl.com/

(acompanha sistema de resolução: e.g. CPLEX, LINDO)

•Não ComerciaisCLP (COIN-OR Linear Program Solver)

http://www.coin-or.org/Clp/

LPSOLVE - http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/

ZIMPL - http://www.zib.de/koch/zimpl/

Publicações Selecionadas1. RANGEL, S. . Introdução à construção de modelos de otimização

linear e inteira. 1. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, 2005. 82 p.

2. RANGEL, S. ; LEMOS, Renato Brigido . Manual do sistema CorteBI - Interface Gráfica. São José do Rio Preto,: Departamento de Ciências de Computação e Estatística - DCCE/UNESP, 2007 (Relatório Técnico).

3. RANGEL, S. ; FIGUEIREDO, A. . O problema de corte de estoque em indústrias de móveis de pequeno e médio porte 2007 (Relatório Técnico - Submetido para publicação).

4. MOSQUERA, Gabriela Perez ; RANGEL, S. . Minimização do número de ciclos da serra no problema de corte de estoque 2007 (Relatório Técnico - Submetido para publicação).

5. FERREIRA, D. ; MORABITO, R. ; RANGEL, S. . Abordagens de solução para o problema integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes de produção de refrigerantes com dois estágios e múltiplas máquinas 2007 (Relatório Técnico - Submetido para publicação).