Universidade Estadual PaulistaInstituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

Teoria dos GrafosProf. Valeriano Antunes de Oliveira/Socorro Rangel

Lista de Exercícios de Teoria dos Grafos

Alguns dos exercícios foram selecionados do livro “Graphs - An Introductory Approach - R.J. Wilson eJ.J Watkins”.

1. Considere o grafoG(V,A) com V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} eA = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 5), (2, 6), (1, 6), (5, 4), (3, 5), (3, 2)}.

(a) Construa uma representação gráfica de G.

(b) Determine um subgrafo desconexo de G.

(c) Determine em G um trajeto fechado que não seja um circuito.

2. É possível existir um grupo de 7 pessoas tal que cada pessoa conheça exatamente 3 outras pessoas nestegrupo?

3. Considere um grafo simples com 7 vértices, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 e arestas (xi, xj) se e somente se osinteiros i e j possuem um divisor comum diferente de 1. Dê uma representação gráfica para este grafo edetermine quantas componentes este grafo possui.

4. Reconstrua o grafo G a partir de seus subgrafos Gi = G− vi, onde: G1 = K4 − x, G2 = P3 ∪K1, G3 =K1,3, G4 = G5 = K1,3 + x.

Os próximos exercícios foram selecionados do livro “Graphs - An Introductory Approach - R.J. Wilson eJ.J Watkins”.

5. Faça a representação gráfica dos seguintes grafos G(V,A):

(a) V = {�,©,♦,M}, A = {(�,©), (©,♦), (©,M), (♦,M)}.(b) V = {A,B,C,D}, A = { }.(c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 4), (3, 5), (6, 7), (6, 8), (7, 8)}.

6. Considere os seguintes grafos:

Quais destes grafos (a) contém arestas múltiplas? (b) contém um laço? (c) são simples? (d) são conexos?

7. Esboce grafos G1, G2, G3 e G4, cada um com 5 vértices e 8 arestas, satisfazendo as seguintes condições:

(a) G1 é um grafo simples;

(b) G2 é um grafo não-simples sem laços;

(c) G3 é um grafo não-simples sem arestas múltiplas;

(d) G4 é um grafo não-simples contendo tanto laços quanto arestas simples.

8. Seja G o seguinte grafo:

1

Quais dos seguintes grafos são subgrafos de G?

9. Seja G o seguinte grafo:

Quais dos seguintes grafos são subgrafos de G?

10. • Seja G um grafo com 4 vértices e com a sequência de graus (1, 2, 3, 4). Dê o número de arestas de Ge construa um grafo com tais características.

• Existe algum grafo simples com 4 vértices e com sequência de graus (1, 2, 3, 4)?

11. Uma consequência do “lema do aperto de mãos” é que se G é um grafo regular de grau r com n vértices,então G têm exatamente nr/2 arestas. Verifique tal consequência para cada um dos seguintes grafosregulares:

12. Em cada uma das seguintes partes, dois dos grafos são o mesmo e o terceiro é diferente. Identifique o“diferente” em cada caso.

2

13. Mostre que cada par de grafos abaixo são isomorfos. Dê a correspondência biunívoca entre os vértices.

14. Dos quatro grafos a seguir, quais dois são iguais, qual é isomorfo a estes dois, e qual não é isomorfo anenhum dos outros?

15. Mostre que os seguintes grafos não são isomorfos:

16. Classifique cada uma das seguintes informações como verdadeiras ou falsas:

(a) Se G e H são grafos isomorfos, então eles possuem o mesmo número de vértices e o mesmo númerode arestas.

(b) Se G e H possuem o mesmo número de vértices e arestas, então eles são isomorfos.

(c) Se G e H são grafos isomorfos, então eles possuem a mesma sequência de graus.

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(d) Se G e H possuem a mesma sequência de graus, então eles são isomorfos?

17. Complete as afirmações de acordo com o grafo abaixo:

(a) xyzzvy é um . . . . . . de comprimento . . . entre . . . e . . . ;

(b) vuvzv é um . . . . . . de comprimento . . . entre . . . e . . . ;

(c) vw é um . . . . . . de comprimento . . . entre . . . e . . . ;

(d) uvwxyzu é um . . . . . . de comprimento . . . entre. . . e. . . .

18. No seguinte grafo, encontre:

(a) um passeio de comprimento 7 entre u e v;

(b) circuitos de comprimento 1, 2, 3 e 4;

(c) um caminho de comprimento máximo.

19. Encontre todos os caminhos entre s e z no grafo

20. No seguinte grafo, encontre

(a) um passeio fechado que não seja um trajeto fechado;

(b) um trajeto fechado que não seja um circuito;

(c) todos os circuitos de comprimento 1, 2, 3 e 4.

21. Esboce os seguintes grafos: (a) K8; (b) N8; (c) C8; (d) P8; (e) K4,4; (f) K3,3; (g) K1,5.

22. Complete as seguintes afirmações:

(a) o grafo Kr,s é um grafo regular somente quando . . . . . . ;

4

(b) o grafo Kr,s é a união de . . . . . . e . . . . . . ;

(c) se G é um grafo simples com n vértices e é regular com grau r, então G é regular de grau . . . ;

(d) se G é um grafo simples com n vértices e m arestas, então G possui . . . vértices e . . . arestas.

23. Mostre que em qualquer grafo bipartido todos os circuitos têm comprimento par.

24. Escreva o conjunto de vértices e família de arestas para os seguintes digrafos:

25. Quais dos seguintes digrafos são subdigrafos do digrafo (a) no problema anterior?

26. Seja D o digrafo

Quais dos seguintes são subdigrafos de D?

27. Dos seguintes quatro digrafos, quais dois são o mesmo, qual é isomorfo a estes dois, e qual não é isomorfoaos outros?

28. Quais dos seguintes digrafos são isomorfos?

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29. Quais dois dos seguintes digrafos são isomorfos?

30. Esboce dois digrafos não-simples e não-isomorfos com 4 vértices e 6 arestas.

31. Existem 16 digrafos simples (a menos de isomorfismos) com 3 vértices. Esboce-os.

32. Considere o seguinte digrafo D:

Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:

(a) u e z são adjacentes;

(b) v e z são adjacentes;

(c) b é incidente de z;

(d) f é incidente de v;

(e) a é incidente para u;

(f) e é incidente para z.

33. Verifique o “di-lema do aperto de mãos” para os digrafos abaixo:

34. Corresponda cada um dos seguintes digrafos com sua lista de arestas, sua matriz de adjacência e suamatriz de incidência:

6

Lista de arestas:

L1: 12, 14, 43, 24, 34

L2: 12, 14, 43, 24, 23

L3: 12, 14, 43, 41, 23

Matrizes de Adjacência:0 1 0 10 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 1 0 10 0 0 10 0 0 10 0 1 0

0 1 0 10 0 1 10 0 0 00 0 1 0

Matrizes de Incidência:

1 1 0 0 0−1 0 0 1 1

0 0 −1 0 −10 −1 1 −1 0

1 1 0 0 0−1 0 0 1 0

0 0 −1 0 10 −1 1 −1 −1

1 1 0 −1 0−1 0 0 0 1

0 0 −1 0 −10 −1 1 1 0

35. Escreva as matrizes de adjacência dos seguintes digrafos:

36. Esboce o digrafo cuja matriz de adjacência é0 1 0 0 11 0 0 1 00 0 0 0 01 0 0 0 00 1 0 2 0

37. O que você pode dizer em relação à soma dos números em

(a) qualquer linha de uma matriz de adjacência?

(b) qualquer coluna de uma matriz de adjacência?

38. Escreva a matriz de incidência de cada um dos seguintes digrafos:

7

39. Esboce o digrafo cuja matriz de incidência é1 −1 1 −1 0 0 0 0−1 1 0 0 −1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 −1 −1 −10 0 −1 0 1 0 1 1

40. No seguinte digrafo, se possível,

(a) encontre um passeio de comprimento 7 de u para w;

(b) encontre circuitos de comprimentos 1, 2, 3, e 4;

(c) encontre um caminho de comprimento máximo.

41. No seguinte digrafo,

(a) encontre todos os caminhos de s para z;

(b) encontre todos os caminho de z para s;

(c) encontre um trajeto fechado de comprimento 8 contendo s e z. Existem circuitos contendo ambos se z?

42. Classifique cada um dos seguintes digrafos como desconexo, conexo mas não fortemente conexo, ou forte-mente conexo:

8