Problemas de Otimização Combinatória

Socorro Rangel UNESP

São José do Rio Preto - SP

Formulação Geral• Seja o conjunto tal que cada elemento do

conjunto possui um valor, , .

• Considere uma familia, , de subconjuntos viáveis de . O valor de cada subconjunto é dado por: .

NFSNS ,

Nj jc

F

nN ,...3,2,1

Sj

jc

Um problema de OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA consiste em

determinar um subconjunto viável de F que possua o menor valor total.

Sjj

NSFSc ,min

O Problema da Mochila

• elementos conhecidos:– um conjunto de itens – peso e valor de de cada item – Capacidade da Mochila (peso máximo)

• elementos desconhecidos: um subconjunto de itens a serem incluidos na mochila cuja soma dos pesos é menor ou igual que a capacidade da mochila

• objetivo encontrar o subconjunto de itens com o maior valor possível

O Problema da Mochila

Variáveis de decisão:Seja:j = 1,2,3 : itens disponiveis

jx = 1 se o item j for selecionado 0 caso contrário.

2,1S

3,2,1S

0,1,1 321 xxx

1,1,0 321 xxx

Peso: 3,5,4

Valor: 40,10,15

Capacidade: 10

50 al valor tot, 8 totalpeso

65 al valor tot, 12 totalpeso

}3,2,1{N

Construção de um Modelo de Otimização Binário

RestriçõesA soma dos pesos dos itens selecionados deve ser menor ou igual que a capacidade da mochila

10453 321 xxxOBJETIVOO valor total dos itens incluídos deve ser o maior possível.

321 151040zmax xxx

Modelo de Otimização Binário

Sujeito a 10453 321 xxx

321 101040zmax xxx

1ou 0,, 321 xxx

n 1,..., j 1/ 0 j x

C x p x p x pn n ... 2 2 1 1

n nx v x v x v ... z max2 2 1 1

Sujeito a

O Problema da mochila

O Problema da Designação

ijx = 1 se a pessoa i for designada para a tarefa j

0 caso contrário

pessoas tarefascij

O Problema da Designação

:a sujeito

min1 1

n

i

m

jijij xcz

mixxx inii ,...,2,1,1...21

mjx

mjxxx

ij

mjjj

,...,1i,= 0 ou 1,

,...,2,1,1...21

cada pessoa pode executar apenas uma tarefa:

cada tarefa pode ser executada por apenas uma pessoa:

O Problema do Caixeiro Viajante

• elementos conhecidos:– um conjunto de cidades – custo da viagem entre cada par de cidades

• elementos desconhecidos: um roteiro de viagem que inclua todas as cidades apenas uma vez, e que comece e termine na mesma cidade.

• objetivo encontrar o roteiro de menor custo possivel

Tabela de custos entre pares de cidades

-1614158Franca

16-8143Tanabi

148-126Birigui

151412-10Bauru

83610-SJRP

FrancaTanabiBiriguiBauruSJRPCidadesDe

Para

SJRP 10 6 8 3

Bauru 12 Birigui 15 8 14 14 Franca 16 Tanabi

Este problema pode ser representado pela seguinte figura:

Vejamos dois possíveis roteiros:

Roteiro 1 :

SJRP Birigui Bauru Tanabi Franca SJRPTempo = 6+12+14+16+8 = 56

Roteiro 2 : SJRP Franca Bauru Birigui Tanabi SJRP

Tempo = 8+15+12+8+3 = 46

Para este problema temos um total de (5-1)! (=24) possíveis roteiros.

Comparado todos os roteiros encontramos o seguinte roteiro com o menor tempo de

viagem:

SJRP Tanabi Birigui Bauru Franca SJRP

Tempo Total : 46

Vimos que o número total de roteiros é (n-1)!, onde n é o número de cidades.

Observe que se aumentássemos para 8 o número de cidades do problema teríamos 7!=5040 circuitos para analisar.

Adicionando apenas mais uma cidade, 9 no total, este número iria para 8! = 40320.

Assim, fica inviável analisar todos os

circuitos manualmente!

Vejamos porque o método de enumeração completa não é

eficiente.

n n! Tempo n n! Tempo8 40320 1s 12 479001600 1h 25 min10 3628800 54s 30 2 . 1032* 9 . 1021

milênios*

11 39916800 12 min 50 3 . 1064* 9 . 1053

milênios*

*Da ordem de

Como podemos ver, tentar resolver os problemas de

otimização combinatória pelo método de enumeração

completa é inviável.

Precisamos de técnicas mais avançadas:

• Particionar e limitar (“branch and bound”)

• Planos de corte poliédricos

• Heuristicas

• Combinação dos Métodos acima.

Métodos de Solução de problemas de Otimização Combinatória

Projetos em desenvolvimento na área de Otimização Combinatória

DCCE

Problemas de Corte e empacotamento

L = 200

(1) (1) (3) (4)33 33 40 90 Perda = 4

l1 = 33 l2 = 87 l3 = 40 l4 = 90

x1 = 2 x2 = 0 x3 = 1 x4 = 1 33 33 40 90196 200

}2x33

Restrição Física: 33x1 + 87x2 + 40x3 + 90x4 200

O Problema de Corte Unidimensional

Problemas de dimensões maiores

Empacotamento Tridimensional

corte bidimensional

Problema do Corte Bidimensional

L W

(1)(2)

(3)

(5)

li wi

(4)

(3) (3) (3) (3)

(5)

(2)

(2)(1)

(4) (4)

O Problema de Corte de Estoque

Aplicação:Indústria de Móveis na Região de S.J. Rio Preto

Planejamento da Produção na Indústria de Bebidas

(http://www.cotuba.com/html/)

• 3 linhas de produção• 7 tanques para armazenamento de líquido • Garrafas recicláveis e descartáveis (10 tipos)

•Refrigerantes em 11 sabores, incluíndo água

Uma linha de produção

• Esteira rolante • Máquinas alinhadas em série

• lavar garrafas• encher • fechar• rotular• empacotar

A unidade de produçãoDeterminar a quantidade e a ordem de produção de refrigerantes de forma a satisfazer a demanda do mercado, com objetivo de minimizar os custos deprodução, armazenamento e preparo de máquinas.

Problemas de Localização de Serviços

ORMaps: Uma Solução

Referências• Rangel, S.; Lima, D. ORMAPS:Um SAD para os Problemas de

Localização. In: XXXIV SBPO - SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL, 2002, Rio de Janeiro. Anais do XXXIV SBPO. Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, 2002. v. 1.

• Rangel, S.; Ferreira, D. Um modelo de dimensionamento de lote para uma fabrica de refrigerantes. In: XXV CNMAC, 2002, Nova friburgo, RJ. Caderno de Resumos do XXV CNMAC. v. 1, p. 149-149.

• Conglian, G. CorteBi - Um Sistema para o corte bidimensional - Projeto Final de Graduação do curso BCC, IBILCE, UNESP, 1991.

• Rangel, S., O Problema do Corte Bidimensional.Dissertação de mestrado, 1989. Mestrado em Matemática Aplicada, UNICAMP.

O Problema do Corte Bidimensional - Exemplo 1

Vamos considerar um problema onde:Tamanho PadrãoL = 85 cmC = 170 cm

Itensl1xc1= 50x20 cm, l2xc2=30x60cm, l3xc3=80x85cm

demanda para os itens menores é:d1= 100, d2=150, d3=130

Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução

Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução

Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução