OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE CAIXAS DE ARMAZENAMENTO DE ÁGUA

Thiago Pereira Mohallem – IC E-mail: tpmohallem@hotmail.com

João Carlos Menezes – PQ

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica

Departamento de Projetos Pça. Mal. Eduardo Gomes, no 50, Vila das Acácias

CEP: 12228-901, São José dos Campos - SP

RESUMO

Esse trabalho visa o estudo da geometria de caixas de armazenamento de água, com o propósito de encontrar a melhor configuração para tais, sendo esta a que minimize as tensões estáticas no recipiente que são geradas pela pressão hidrostática.Para tanto, foi utilizado o software de Elementos Finitos NASTRAN® Versão 2.0 Evaluation System, que permite a análise de tensões estáticas, bem como a análise de vibrações de componentes, que podem ser modelados através da teoria de vigas, de cascas e de elementos sólidos.

ABSTRACT

This work aims for the study of geometry of an open vessel containing water. The main

purpose of study is the determination of the best geometry which minimizes the static stresses produced by the hydrostatic pressure in the container. The software of finite elements NASTRAN®

Version 2.0 Evaluation System used, allows the analysis of static stresses and vibrations of any solid component , which can be modeled by beams, shells and solid elements. 1. INTRODUÇÃO

Vasos de armazenamento de líquidos requerem avaliação de resistência estática e dinâmica. A teoria de cascas pode ser empregada na grande maioria das modelagens desses vasos. Nota-se que a geometria dos vasos desempenha um papel importante na resistência estática e bem como no comportamento vibratório.

Especificamente, no caso de caixas de armazenamento de água, nota-se uma tendência recente de adoção de geometrias circulares e perfis cônicos. As antigas caixas de água residenciais eram construídas com uma geometria retangular, com leves adoçamentos nas arestas dos lados planos, o que evidentemente é uma geometria das mais inadequadas em termos de concentração de tensões elevadas nessas bordas. O perfil cônico deve ser avaliado com respeito ao grau de conicidade e dos reforços circunferenciais e a melhor geometria desses reforços no que diz respeito aos raios de adoçamento. Busca-se dessa forma encontrar geometrias alternativas e mais resistentes para as paredes desses recipientes, sem comprometer a quantidade de material empregado, que não deve ser muito ampliada, de forma a aumentar consideravelmente o custo de fabricação. Novas configurações, mais resistentes, são propostas ao final do trabalho. 2. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

Primeiramente é necessária a determinação de parâmetros e condições a que serão submetidos os modelos na simulação, tais como as expressões para o cálculo do volume do tronco de cone, para a quantidade de material a ser utilizada em cada modelo, bem como estipular um material a ser empregado e estabelecer as condições de contorno necessárias para a simulação computacional.

2.1. Cálculo dos Volumes e Definição de Dimensões

Com o emprego do programa NASTRAN® Versão 2.0, o carregamento de água em várias geometrias diferentes para a caixa de armazenamento foi simulado. Para tanto, fixou-se a espessura em 1 mm, o volume em 1000 litros, ou 1 m3, e o raio da base (inferior) em 0,5 m, ou 50 cm, e foi variado o raio da tampa (superior) e, conseqüentemente, a altura do tronco, de modo a manter o mesmo volume. Desse modo pode-se comparar qual geometria minimiza as tensões nas fibras externas do recipiente para uma mesma capacidade volumétrica. Iniciando o estudo com um cilindro, para obtenção de uma noção comparativa de valores, pode-se obter que volume do cilindro é dado por:

V = π.r2.h onde r = 0,5 m é o raio da base e o volume V = 1 m3. Para essas definições pode-se encontrar a altura do cilindro h = 1,273 m. Para o tronco de cone, sabe-se que seu volume é calculado da seguinte forma:

V = (1/3).π.h.(R2 + R.r + r2) onde r = 0,5 m é o raio da base e V = 1 m3 o volume do tronco, que são valores fixos, e R o raio da tampa e h a altura do tronco, que são os valores que serão variados. 2.2. Material Adotado Deve-se estipular um material a ser empregado no modelo de simulação no NASTRAN®

Versão 2.0, para serem efetuadas as análises. Como a escolha desse material não implica em variações no resultado relativo obtido entre os vários modelos, pois foi feita uma análise de tensões geradas, adotou-se aço como material padrão. O aço adotado tem os seguintes propriedades mecânicas:

• Módulo de elasticidade: E = 207 GPa • Coeficiente de Poisson: ν = 0,3 • Densidade: d = 7800 kg/m3

2.3. Condições de Contorno Tem-se que também estabelecer as condições de contorno para o modelo a ser analisado, que são nesse caso muito complexas de serem simuladas.

Na realidade, a condição de contorno em uma caixa d’água residencial, por exemplo, seria o contato do “chão” na área da base do tronco de cone. Dessa forma, o movimento impedido por essa condição de contorno, que mais se aproxima da realidade, seria o deslocamento na direção Z (perpendicular à área da base). O problema nesse caso é que o impedimento de deformações na base nessa direção,que existem na realidade. Apesar disso, adotou-se essa condição de contorno em primeira análise.

O problema encontrado, a partir de então, foi o de que limitando-se somente o movimento na direção Z o corpo não se encontrou em equilíbrio de forças, provavelmente devido a resíduos não desconsiderados pelo software. A solução adotada então, foi a de “engastar” o recipiente em um ponto, no mínimo. Sendo assim, optou-se por fixar os pontos da circunferência de junção entre a área lateral e a área da base, já que nessa região já se esperava encontrar altas tensões, devido à presença de quinas, e, dessa forma, manter-se uma simetria dos pontos fixos.

2.4. Cálculo da Quantidade de Material Para uma análise de custo, obtém-se agora a quantidade de material empregado em cada geometria. Para isso, utiliza-se as fórmulas das áreas laterais e da base de um tronco de cone, em

função de sua altura e raios, e com o valor da espessura obtém-se o volume. Com o valor da densidade pode-se assim chegar ao valor de massa desejado. Tem-se que:

AL = π.(R + r).[(R – r)2 + h2]1/2

AB = π.r2

V = e.(AB + AL)

M = d.V

onde AL é a área lateral, AB é a área da base, V é o volume de material, d é a densidade do material, M é a massa do material, e é a espessura, R é o raio da tampa, r é o raio da base e h a altura do tronco de cone. Dessa forma, chega-se a uma equação da massa em função de h, R, e, r e d.

M = d.e.{ π.(R + r).[(R – r)2 + h2]1/2 + π.r2} Além disso, o cálculo da área espacial necessária para a ocupação da caixa d’água também é um fator a se considerar. Simplificadamente, pode-se dizer que essa área é igual à área da circunferência superior do tronco de cone, ou seja:

A = π.R2 Aplicando essas equações para cada modelo analisado acima, chegamos aos dados da tabela 1. Tabela 1: Quantidade de material e área espacial necessária a cada modelo analisado.

Modelo Conicidade (º) Massa (Kg) Área espacial requerida (m2) A 0 37,32 0,79 B 5,44 34,55 1,13 C 12,86 32,54 1,54 D 22,04 31,57 2,01 E 32,29 31,79 2,55 F 42,48 33,33 3,14 G 73,62 57,20 7,07 H 83,08 98,69 12,57 I 84,79 119,07 15,21

Pela tabela acima observa-se que pelo critério de menor material utilizado, o que minimiza os custos de fabricação, e uma pequena área espacial ocupada, é o modelo D, que utiliza aproximadamente 31,6 Kg, ocupando por volta de 2 m2. 3. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES

Foram feitas simulações para diversos graus de conicidade, primeiramente com o cilindro, e chegando-se até o tronco de cone com conicidade de aproximadamente 85º, encontrando-se uma distribuição de tensões similar em todos os modelos, caracterizada por uma alta concentração de tensões de tração no centro da área da base, e de compressão, na junção da área lateral com a área da base. Além disso, a área lateral foi a região que apresentou menores valores de tensão. Percebeu-se porém, que, quanto maior a conicidade, menores foram os valores de tensões obtidos, pois, ao se aumentar a conicidade, diminuiu-se a altura do tronco de cone, de modo a manter o mesmo volume. Com essa redução da altura, a pressão hidrostática também é reduzida, originando assim menores tensões. Sendo assim, calculou-se a quantidade de material necessária à construção de cada modelo,

bem como a área espacial ocupada por eles, como exposto acima, e foi escolhida a conicidade adequada baseada nesses resultados.

Segue abaixo o modelo simulado escolhido, com conicidade de 22,04º, altura de 741 mm e raio superior de 80 cm, focalizando a distribuição de tensões ao longo da geometria:

X

YZ

897067049.

827934286.

758801523.

689668759.

620535996.

551403233.

482270470.

413137707.

344004944.

274872181.

205739418.

136606655.

67473892.

-1658871.

-70791634.

-1.399E+8

-2.091E+8

V1L1C1

Output Set: MSC/NASTRAN Case 1Contour: Plate Bot Major Stress

Figura 1: Distribuição das tensões principais no tronco de cone com R=80 cm carregado, vista inclinada.

Uma vez determinada a conicidade do tronco de cone, passou-se a analisar o modelo escolhido adicionando-lhe nervuras ao longo da área lateral, percebendo-se porém efeitos não desejáveis nas tensões geradas, que aumentaram, indo contra o objetivo desse projeto em minimizar as tensões.

Portanto, abandonou-se a tentativa de se adicionar nervuras e partiu-se para o adoçamento de cantos vivos. O principal canto vivo existente é a junção da área lateral com a área da base. Pode-se a partir de então, analisar os modelos com vários graus de adoçamento, que pode ser modelado de acordo com um fator chamado “Blend Factor” durante a criação da geometria a ser simulada no software de estudo. Quanto maior esse fator, mais brusca é a mudança de direção no ponto de ligação das áreas, ou seja, o canto fica mais “vivo”. Por outro lado, se esse fator for muito pequeno, a tendência é de que a ligação das áreas tenda a um plano, ou seja, a mudança mais brusca se afasta do ponto de ligação, ficando mais próxima do final das áreas a serem ligadas.

Simularam-se modelos com diversos graus de adoçamento, chegando aos resultados apresentados na tabela 2.

Tabela 2: Valores das tensões e deslocamentos máximos para cada modelo com adoçamento analisado, bem como as taxas de redução percentual em relação ao modelo sem adoçamento.

Grau de Adoçamento

Deslocamento Translacional

Máximo (mm)

Tensão Máxima de

Tração (MPa)

Redução Percentual em

Relação ao Modelo Sem Adoçamento

Tensão Máxima de Compressão

(MPa)

Redução Percentual em

Relação ao Modelo Sem Adoçamento

0,8 222 719 19,8 -307 0,3 0,9 154 572 36,2 -184 40,3 1,0 155 576 35,8 -167 45,8 1,1 156 577 35,7 -178 42,2 1,3 156 579 35,5 -168 45,5

Abaixo pode-se verificar o modelo com maior redução percentual das tensões em relação ao modelo sem adoçamento, onde o perfil da distribuição das tensões manteve-se de acordo com os modelos anteriores, e o maior deslocamento translacional encontrado ocorreu na área lateral, próximo à junção com a área da base.

X

Y

Z

575641574.

532323653.

489005732.

445687811.

402369890.

359051969.

315734048.

272416128.

229098207.

185780286.

142462365.

99144444.

55826523.

12508602.

-30809319.

-74127240.

-1.174E+8

V1L1C1

Output Set: MSC/NASTRAN Case 1Contour: Plate Bot Major Stress Figura 2: Distribuição das tensões principais no tronco de cone com R=80 cm carregado, com grau de adoçamento igual a 1,0, vista inclinada. 4. CONCLUSÕES

A conclusão a que se chega, portanto, é a de que quanto maior a conicidade, menores as tensões geradas para um recipiente de mesma capacidade volumétrica. Assim sendo, como dito anteriormente, optou-se por limitar a conicidade no que diz respeito à menor quantidade de material utilizada e à menor área espacial ocupada. Analisando-se a Tabela 1, verifica-se que o grau de conicidade que minimiza o material utilizado e ocupa uma área espacial razoável, é o modelo de aproximadamente 22º de conicidade.

A partir daí então visou-se minimizar os pontos de máximos de tensão, tanto de tração quanto de compressão, que foram possíveis, através da inclusão de nervuras na área lateral e adoçamentos nos cantos vivos existentes, principalmente na junção entre as áreas lateral e da base.

Com a inclusão de nervuras na área lateral, notou-se que houve um aumento nos valores das tensões de tração, o que contrariava o objetivo do estudo, que é o de minimizar as tensões. Sendo assim, descartou-se o uso dessas nervuras na área lateral. Isso não significa que o acréscimo de nervuras extras reforçando a geometria não seja útil, apenas descartou-se que a geometria principal tenha essas nervuras.

Em seguida considerou-se o adoçamento dos cantos vivos da junção das áreas da base e lateral, modulando esse adoçamento em vários graus, e verificando uma significativa diminuição nos valores das tensões encontradas. Através da tabela 2, pode-se então concluir que o melhor grau de adoçamento foi o grau 1,0, pois apresentou uma redução de 35,8% no máximo valor da tensão de tração e de 45,8% no máximo valor de compressão, além de apresentar praticamente o menor valor de máximo deslocamento translacional também.

Concluindo, como o desejado na proposta inicial desse trabalho, propõe-se a geometria descrita e exemplificada na figura abaixo, como sendo a mais adequada no sentido de minimizar as tensões e as deformações geradas num recipiente de armazenamento de água, com uma determinada capacidade volumétrica:

X

Y

Z

V1L1C1

Figura 3: Geometria proposta, vista inclinada. AGRADECIMENTOS

Sem dúvida nenhuma a idealização e concretização desse projeto não seria possível sem o amparo

e dedicação de várias pessoas. Agradecemos em especial ao CNPq/PIBIC, que prioriza o incentivo à pesquisa universitária e ao orientador Prof. João Carlos Menezes, que prestou um acompanhamento estreito à pesquisa, além de nos auxiliar nas principais dificuldades encontradas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 MSC/Nastran for Windows® CAD Integration Module Version 2.0; The MacNeal-Schwendler Corporation, New York, 1995 2 Boresi, A. P.; Advanced mechanics of materials; John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993 3 Gould, P. L.; Analysis of shells and plates; Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1988

STABILITY ANALYSIS OF A SQUEEZE -FILM DAMPER BEARING SUPPORTING A RIGID ROTOR

Hudson Alberto Bode (PG) 1

João Carlos Menezes (PQ)2

Div. de Engenharia. Mecânica -Aeronáutica - ITA bode@mec.ita.cta.br1

menezes@mec.ita.cta.br2

Resumo: Analisar a performance do mancal amortecido pelo uso do squeeze-film como um apoio flexível de um sistema eixo-mancal. As forças produzidas pela pressão dinâmica do lubrificante são obtidas pela solução da equação de Reynolds para o filme de fluido. Para tratar das equações que governam o movimento do eixo rotor apoiado por squeeze-film, o método de Newmark foi empregado. Parâmetros associados à massa e velocidade do eixo e às características físicas e geométricas do mancal, tal como a viscosidade do fluido, a folga radial, comprimento e diâmetro do mancal, foram variados para permitir avaliações do comportamento orbital do eixo. Determinados grupos de parâmetros foram selecionados e, foi estudada a influência da força que produz o desequilíbrio do eixo. Resultados revelaram uma sensibilidade na estabilidade de movimento e o tamanho orbital para todos os parâmetros. Abstract: The performance of squeeze-film damper bearings as a flexible support of a bearing-rotor system is analyzed. The forces produced by dynamic pressure of the lubricant are obtained by the solution of the Reynolds equation for the fluid-film. The dynamical equations that govern the motion of the rotor supported by squeeze films are solved by Newmark method. Parameters associated to the mass and rotational speed of the axis, physical and geometric characteristics of the bearing, such as viscosity of the fluid, radial clearance, length and diameter of the bearing, were varied to allow evaluations of the orbital behavior of the rotor. For chosen groups of parameters, the influence of the unbalanced force of the rotor was studied. Results reveal a sensitivity of motion stability and orbital size to all parameters values.

Keywords: Mechanical Vibrations, Squeeze Film Bearing and Numerical Method.

Notation ε eccentricity ratio (e/c) F attitude angle U unbalance parameter (Fu/mcù2) B bearing parameter (12çLr a

2/mùc 3) W rotor weight (per bearing land)

uF unbalance force

W gravity (or weight) parameter (W/mcù2)

rF non dimensional radial fluid-film force (Fr/mcù2)

tF non dimensional tangential fluid-film for ce (Ft/mcù2)

φ angular distance from the positive x-axis in the fixed x-z coordinate set

φ m upper limit of the positive pressure 1. INTRODUCTION

The use of squeeze films as support in the system rotor-bearing, has been studied since the early 1960s and applications in turbines by the producers of gas -turbine (Cookson and Kossa, 1979).

Basically the squeeze film consists of a fluid confined among an axis-rotor (in this case, the axis of a turbine) and the outer race of a rolling contact bearing. That element type cannot, in very appraised conditions, attenuate the vibrations of the system rotor-bearings and promote the stability of the axis. If designed appropriately, turbines that use the squeeze film system can go quickly by the critical speed of the axis rotor with sensitive reduction of the vibrations of the axis, which could damage the equipment (Holmes, 1972).

Unlike the classic behavior in the hydrodynamic bearings analysis, where in the steady-state condition the axis assumes an eccentric constant and position relative to the bearing, in the analysis of the squeeze film, the position of the axis varies with the time (Zhang, Litang and Li, 1992 and Nataraj and Ashrafioun, 1979). That characteristic is due to the presence of a centrifuge harmonic force caused by a unbalance of the rotor. Characteristically the position of the axis goes by a transient phase and it progresses to a regime orbit. The position and format of that orbit depends on the characteristics of the bearing, the lubricant oil, the weight and angular speed of the axis and the intensity of the unbalance force. 2. MATHEMATICAL DEVELOPMENT

Fu

Ob Z

W

r

t

Ft

e

Fr

f

Oa

F

X

Squeeze film

Rigid rotoraxisOilcontainer

w

w

w

Figure 1. Squeeze film damper with the dynamic forces and coordinates defined.

The general Reynolds equation governing the flow of the squeeze film oil is well known as

(Cameron, 1981, Barret and Gunter, 1975, Kirk and Gunter, 1970):

( ) ( )

+úûù

êëé +

¶¶

+úûù

êëé +

¶¶

+÷÷ø

öççè

涶

-¶¶

+÷÷ø

öççè

涶

-¶¶

221212

33baba vvh

y

uuh

xy

ph

yx

ph

x

ρρη

ρη

ρ

( ) 0=¶¶

+¶¶

-¶¶

-++tp

hyh

vxh

uww aaba ρρρ (1)

Where the following assumptions were made: -The fluid inertia terms in Navier-Stokes equations have been neglected due to their small

magnitude. -The flow is laminar. -The fluid is Newtonian -No slip exists at the fluid -solid interface. -The flow in the radial direction has been neglected.

-The inclination of one surface relative to the other is so small that the sine of the angle of inclination can be set equal to the angle and the cosine can be set equal to unity.

The general Reynolds equation given in Eq. (1) can be applied to any section of the oil film and in this paper only the dynamically loaded infinitely wide -journal-bearing solution will be presented. The film thickness can be described as (Hamrock, 1994, Dubois and Ocvick, 1953):

( )φε cos1+= ch (2)

If the side-leakage term is neglected, Eq. (1) can be rewritten and integrated while making use of Eq. (2) which gives:

3

2

22

)cos1(

22

3

2cossen12

φε

ωωω

εεωω

ωφεφε

η

φ +

úû

ùêë

é÷øö

çèæ +

-+

-÷øö

çèæ +

--¶¶

÷øö

çèæ

=¶¶

babaa

tc

r

p (3)

Once the pressure is known, the load components can be evaluated. One may determine the

components of the resultant load along and perpendicular to the line of centers, as:

0

cosm

x b

dpw r d

d

φ

φ φφ

¢ = ò (4)

0

senm

z b

dpw r d

d

φ

φ φφ

¢ = ò (5)

One may write:

2r zF Lw mcω¢= (6)

2t xF Lw mcω¢= (7)

Replacing Eqs. (4) and (5) into the Eqs. (6) and (7) gives:

( )

22

2

30

3sin sin cos sin

2 2 2

1 cos

m

a b a b

r

dt

F Bφ

ω ω ω ωε εφ ε φ φ ω ω φ φε

ε φ

é ù- -¶ æ ö æ ö- - - -ç ÷ ç ÷ê ú¶ +è ø è øë û=+ò (8)

( )

22

2

30

3sin cos cos cos

2 2 2

1 cos

m

a b a b

t

dt

F Bφ

ω ω ω ωε εφ φ ε φ ω ω φ φε

ε φ

é ù- -¶ æ ö æ ö- - - -ç ÷ ç ÷ê ú¶ +è ø è øë û=+ò (9)

Where the bearing parameter B may be defined as:

( )2

2

12 a br c r LB

mc

η

ω= (10)

3. GOVERNING EQUATIONS FOR RIGID ROTORS SUPPORTED BY SQUEEZE -FILM DAMPER BEARINGS Figure 1 shows schematically a rigid rotor axis within the oil container, under the action of a steady load W due to the dead weight of the rotor it supports. Vibration arises from a centrifugal force Fu due unbalance. The amplitude of orbital motion will depend on W, Fu, Fr, and Ft. The latter two forces Fr and Ft are those arising hydro-dynamically from the squeeze film (Cookson and Kossa, 1979 and Edgar J. Gunter, 1966). The following assumptions are made; -The rotor is rigid and symmetric. -The angular speed of rotation is constant. -No significant exciting forces are introduced by the rolling-contact bearings. Therefore, the equations governing the motion of the bearing are then

( ) ( )2 cos cosu rm e e F t w Fω- F = - F + F -&&& (11)

( 2 ) sen( ) senu tm e e F t w FωF + F = - F - F +&& && (12)

Dividing throughout these equations by 2mcw produces,

2 cos( ) cos rU t W Fε ε ω¢¢ ¢- F = - F + F - (13)

( )2 sen sen tU t W Fε ε ω¢¢ ¢ ¢F + F = - F - F + (14)

Replacing Eqs. (8), (9) and (10), into Eqs. (13) and (14) respectively, yields the following non-dimensional form of the equations of motion. The angle mφ is the upper limit of the positive pressure, which is obtained numerically. Equations (13) and (14) of motion of the center journal are numerically solved by Newmark’s method to give the journal position, velocity and acceleration. 3.1. Integration of the Pressure Profile The forces arising in the fluid film have been expressed as an integral over the circumference of the journal. The forces are given by Eqs. (8) and (9). The expressions under the integral are now representative of the pressure in the film and hence will be equated to zero when its value is less than zero. This is equivalent to keeping only those pressures that are greater than ambient. This will avoid the sub ambient pressure contributions that appear in closed-form solutions. According to this approach, one needs to calculate the extent of the positive pressure region. The exact region of film cavitations and the resulting pressure therein are by no means well understood or well defined in the literature. (Dubois and Ocvirk, 1953) argued that in the absence of high datum pressures, the effect of any negative pressure (not exceeding atmospheric) could be neglected as being negligible in comparison to the positive pressure region. The trapezoidal method was used to integrate the force equations. 3.2. Integration of the Equations of Motion The most basic self-starting method is simply a Taylor Series Expansion truncated after some arbitrary number of terms. By truncating the series, which is known as Newmark’s Method Rao et al. (1995) one may obtain:

( ){ }{ } { } 1 { } { }t t t t t tx x t x xα α+D + D= + D - +& & && && (15)

( )2 1{ } { } { } { } { }

2t t t t t t tx x t x t x xβ β+D +Dì üæ ö= + D + D - +í ýç ÷

è øî þ& && && (16)

Besides the expressed hypotheses for the equations Eqs.°(V.15) and (V.16), the method considers the equation of movement Eq.°(17) of the system in the instant, that is

{ } { } { } { }t tt t t t t tA x B x C x F +D+D +D + D

+ + = å&& & (17)

This integration method is also based on the assumption that the acceleration varies linearly between two instants of time. Applying Newmark's method, Eqs. (15) and (16), in the motion Eqs. (13) and (14), one may obtain the axis position in each time interval iteratively. 4. RESULTS A computer code, based on Newmark approach, was written. Eqs. (13) and (14) are solved simultaneously, and therefore, an interactive routine had to be created to get convergence at each time step. Some cases were devised and for each case one or more system parameters were varied. These cases and the correspondent parameters values are listed in Tab. (1):

Table (1). System parameters for a rigid rotor supported in squeeze-film damper bearings.

Case I Case II Case III Case IV Initial eccentricity (e/c) 0.5 0.5 0.8 0.8

Journal weight (kg) 33.6 33.6 33.6 33.6

Clearance (m) 1.016e-4 1.016e-4 2.540e-4 2.540e-4

Bearing radius (m) 6.477e-2 6.477e-2 2.540e-2 2.540e-2

Bearing length (m) 1.143e-2 1.143e-2 5.080e-2 5.080e-2

Unbalance force (N) 100.0 100.0 100,0 100,0

Journal speed (rpm) 2000 5000 2000 5000

Viscosity ( 2/ mNs ) 2.622e-3 2.622e-3 8.276e-3 8.276e-3

Figure 2. Case I Figure 3. Case II

Figure 4. Case III Figure 5. Case IV 5. CONCLUSION Performing a preliminary analysis of the results for the motion, one may verify, that in certain situations the rotor center converges to a steady-steady position at a certain eccentricity and attitude angle. Under certain circumstance, journal develops a characteristic eccentric orbit. Figure 3 illustrates the variation of the pressure profile, and most important, the variation of the limits of the positive pressure. The increase on journal speed, as one can compare Case I and Case II, results in a more centralized orbit. Case: III and IV consider the same clearance, bearing radius, and bearing length. For such cases, the increase in journal speed, comparing Case IV to Case III, results also in a more centralized orbit, although in these cases, the orbit increased in size. One may conclude that all the listed parameters interfere on the journal behavior. The size, position and shape of the orbit are a result of the combined values of these parameters. It can be shown that in the absence of unbalance forces, the journal center converges to a steady position. Under special circumstances one can obtain instability of the journal. ACKNOWLEDGMENTS The authors acknowledge the financial support received for this work from the process number 132682/2000-1 Brazilian National Research Council (CNPq). REFERENCES [1] Barret, L. E., E. J. Gunter, JR, “Steady-State and Transient Analysis of a Squeeze Film Damper

Bearing for Rotor Stability” , NASA CR-2548, Washington, D.C., 1975. [2] Cameron, A., “Basic Lubrication Theory” , Ellis Harwood Limited Publishers, 1981. [3] Cookson, R.A., Kossa, S.S, “The Efectiveness of squeeze-film damper bearings supporting rigid

rotors without a centralising spring”, Journal of Mechanical Engineering Science - Vol. 21 - pp. 639-650, 1979.

[4] Dubois, George B., Fred W. Ocvirk, “Analytical Derivation and Experimental Evaluation of Short-Bearing Approximation for Full Journal Bearings”, NACA Rep. 1157, 1953.

[5] Edgar J. Gunter, JR, “Dynamic Stability of Rotor-Bearing Systems”, NASA SP-113, Washington, D.C., 1966.

[6] Hamrock, Bernard J, “Fundamentals of Fluid Film Lubrication", McGraw-Hill, Cingapura, 1994. [7] Holmes, R, “Research notes: the non-linear performance of squeeze-film bearings”, Journal of

Mechanical Engineering Science, Vol. 14, pp. 74-77, 1972. [8] Kirk, R. G., E. J. Gunter, JR, “Transient Journal Bearing Analysis”, NASA CR-1549,

Washington, D.C., 1970. [9] Nataraj, C., Ashrafiuon, H., “Optimal Design of Centered Squeeze Film Dampers”, Journal of

Vibrations and Acoustics - ASME, Vol. 115, pp. 210-215, 1993. [10] Rao, S. S., “Mechanical Vibrations”, Addison-Wesley Publishing Company, 1995.

ANÁLISE DE VIBRAÇÃO TRANSVERSAL DE EIXOS ROTATIVOS

Victor Fernando Deorsola Sacramento – PG João Carlos Menezes - PQ

Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica - ITA menezes@mec.ita.cta.br

victor_sacramento@ig.com.br

O objetivo deste trabalho é estudar a vibração lateral de eixos sujeitos a rotação, com uma metodologia que permite, ainda na fase de projeto, a previsão de instabilidade vibratória no regime de trabalho . O Método dos Elementos Finitos é utilizado empregando-se elementos de viga com dois pontos nodais e seis graus de liberdade por nó. As equações de movimento foram obtidas a partir das equações de Lagrange, e descrevem o movimento em dois planos transversais. Tendo em vista a rotação do eixo associada à vibração transversal, as componentes de velocidade transversais de qualquer ponto fletido do eixo são afetadas pela velocidade de rotação. Devido a este efeito, a equação matricial de movimento do eixo é caracterizada pela ocorrência de uma matriz giroscópica. Os elementos de viga utilizados possuem dois nós e seis graus de liberdade por nó, sendo três deslocamentos e três rotações. Como resultado, cada elemento está associado a doze equações diferenciais. Para se obter as matrizes de massa, giroscópica e de rigidez, utilizou-se o software Mathematica para execução das integrações das energias cinética e potencial, e das diferenciações previstas pelas equações de Lagrange. Obtidas as matrizes, um programa computacional codificado na linguagem Fortran, executa o acoplamento das matrizes dos elementos que compõem o eixo modelado, e permite que sejam executadas simulações de reposta do eixo, variando-se dimensões do eixo, material empregado, velocidade angular e tipo de carregamento. O programa computacional empregado foi extensamente testado na simulação de situações clássicas, relatadas pela literatura. Diante de resultados obtidos através de soluções analíticas amplamente relatadas, foi possível validar as matrizes e o método de integração (Newmark) utilizados. Em futuros estudos, poder-se-á adicionar ao modelo do eixo, discos de inércia considerável, com a finalidade de se fazer previsões do comportamento de eixos de turbinas aeronáuticas. Alguns resultados são apresentados e demonstram boa adequação com as previsões analíticas de vibração de eixos sob rotação.