OTIMIZAÇÃO DE CONTROLADORESNEBULOSOS USANDO ALGORITMOS

GENÉTICOS

Julio C. Ceballos AyaOswaldo L. V.Costa

Departamento de Engenharia EletrônicaEscola Politécnica da Universidade de São Paulo

05508-900 São Paulo SP BrasilE-mail : julio@lac.usp.br.oswaldo@lac.usp.br

Resumo: Considera-se neste trabalho o problema da sintonia de parâmetros de controladores neoulo-sos por meio de algoritmos genéticos (AG's). Faz-se inicialmente uma breve introdução a um algoritmode controle neuro-nebuloso conhecido na literatura internacional como ANFIS. Em seguida propõe-seum método para a otimização dos parâmetros do ANFIS por meio de AG's. Por fim simulações sãoapresentadas com este control ador para equilibrar o sistema do pêndulo invertido.

Abstract: It is considered in this work the problem of tuning the parameter of a neuro-fuzzy controllerby using genetic algorithms (GA's). First a brief introduction on a neuro-fuzzy algorithm, know in theinternational literature as ANFlS, is presented. Afterwards it is proposed an optimization method forthe ANFIS parameter by using GA's. Finally, simulations are presented with this controlIer for balanc-ing the inverted pendulum system .

1. IntroduçãoO objetivo deste trabalho é apresentar e testar ummétodo de otimização de parâmetros de um contro-lador neuro-nebuloso, conhecido na literatura interna-cional como ANFIS (Adaptive-Network-Based FuzzyInference System), através de algoritmos genéticos(AG's) [Ceballos (1996)] .

O método ANFIS foi proposto por [Jang (1992)], utili-zando uma técnica de sintonia dos parâmetros viaretropropagação temporal [Jang (1993)] . Neste traba-lho propõe-se os AG's como forma alternativa de sin-tonia dos parâmetros do ANFIS . Verifica-se aeficiência desta técnica através de simulações de umsistema de pêndulo invertido.

Este trabalho está organizado da seguinte forma. Apre-senta-se na seção 2 uma sumária descrição dos algorit-mos genéticos. Na seção 3 faz-se uma breveintrodução à técnica ANFlS. Na seção 4 apresenta-se ométodo de sintonia do ANFlS com algoritmosgenéticos. Na seção 5 são apresentados o projeto docontrolador e as simulações pertinentes. Finalmente naseção 6 são apresentadas as conclusões finais deste tra-balho .

2. Algoritmos GenéticosOs algoritmos genéticos são baseados em mecanismosde evolução e genética natural, ou na seleção Darwini-ana. São usados para a obtenção da solução de um pro-blema de otimização (maximização ou minimização)de uma função F(x).

Atualmente existe uma grande gama de algoritmosgenéticos, mas os mecanismos fundamentais sob osquais trabalham são:

(a) operar sobre uma população finita de indivíduos,onde a primeira iteração (população) pode ser geradaaleatoriamente ou com algum processo heurístico.

(b) em cada iteração a população é modificada deacordo com .os seguintes passos :

I . Avaliação de cada indivíduo (função de adequa-bilidade).

2. Seleção dos melhores indivíduos.

3. Formação de uma nova população usando osoperadores recombinação e mutação (operadoresgenéticos). Os indivíduos resultantes destas três opera-ções formam a população seguinte; este processorepete-se até que uma condição de parada seja satis-feita.

207

Seleção: A partir da população inicial , gera-se umanova população de N indivíduos, utilizando-se aseguinte função probabilidade:

Avaliação: É um processo onde se faz uma avaliaçãode cada indivíduo (cromossomo), obtendo-se um valorfit(i) que pode ser visto como um valor de adequabili-dade (fitness) do cromossomo i.

2.1. Codificação e Decodificação

(2)(Pmax - Pminv x ro"< 2'11

Para a codificação de um número real a binário, deve-se determinar a precisão que será usada (quantas casadecimais O) são desejadas) e o intervalo de busca[Pmax, Pmin] (universo de discurso quando se tratade funções de pertinência). Tal precisão significa que oespaço de busca deve distinguir pelo menos(Pmax - Pmin) x io" pontos . Existe um número mmínimo tal que satisfaz a seguinte desigualdade:( I )fitei)

N

I/it(i)i = J

I. Converte-se o cromossomo de base 2 para base 10de acordo com a seguinte equação:

A decodificação de um cromossomo é feita em duasetapas:

. 2. X é mapeado linearmente ao intervalo[Pl1lax, Pmin] de acordo com a seguinte equação:

e este número 111 é o tamanho do cromossomo.

(3)

(4)

111

I,a i2i ,sendoa i E {O, I}

i =O

P · Pmax - PminX-17UI1 - -------

i" -1

x

x

A geração desta nova população é feita da seguinteforma. Uma roleta é dividida em N partes, sendo otamanho de cada parte proporcional ao valor P,de(i) .Uma vez que se tenham todos os indivíduos represen-tados na roleta, deve-se girá-Ia N vezes para se obteruma nova população.

Recombinação: Este operador funciona com umaprobabilidade que é estabelecida pelo usuário, sendomais comuns valores entre o intervalo [0.5,0.9]. Agru-pam-se aleatoriamente os indivíduos em pares ("i" eHi+J") e escolhe-se uma posição i . entre J e I (l =tamanho do cromossomo) aleatoriamente. Dois novosindivíduos são criados trocando todos os genes daposição j+ J até l. Isto pode ser visto na figura I .

onde fitei) é a função de adequabilidade do cromos-somo i.

Figura 2: Mutação

010101@P011)mutação OIOIOI[DJOIl

Mutação: Este operador funciona com uma pequenaprobabilidade (0,0.1] que é definida pelo usuário. Amutação consiste em: seleciona-se uma posição docromossomo aleatoriamente, e o valor é trocado; porexemplo, se na posição selecionada o valor é "I",troca-se para "O" (vide figura 2).

i .0 It OOI010 > recombi-i+l01 1001010 nação

ponto derecombinação

Figura 1: Recombinação

3. ANFISo controlador neuro-nebuloso que será usado nestetrabalho é o ANFIS (Adaptive-Network-Based FuzzyJnference System [Jang (1993)], [Jang (1995)]. É umcontrolador que mistura redes neuronais e sistemasnebulosos de forma homogênea. O tipo de raciocíniousado pelo controlador é o Sugeno [Takagi (1985)] (noqual a saída inferida é uma combinação linear dasentradas mais um termo constante). Na figura 3(a)apresenta-se o raciocínio tipo Sugeno, e na figura 3(b)apresenta-se a arquitetura de uma rede ANFIS paraeste tipo de raciocínio.

Uma rede ANFIS consiste em um sistema deinferência nebuloso baseado em uma rede adaptativadireta. Uma rede adaptativa direta é formada por doistipos de nós:

NÓ adaptativo. É representado por um quadrado. Afunção do nó depende das saídas dos nós da camadaanterior e de um conjunto de parâmetros(a J' a 2, .. . a,) , que devem ser treinados por um algo-ritmo de treinamento (vide figura 3(b), camadas 1 e 4).

208

inclinação=-b/2a

Figura 4: Função de pertinência tipo sino

c-a c e-ra1-2a---l

0.5

nosso caso, está se usando o produto como norma-I.

{I/ }

t lJh 1.\ .\

cam ad a 3 1 carn uda 5camada 4

,.r , 1camada 2

l i ., = co, = /-lA,(X) X /-lB,(X) , i = 1,2 (7)

Camada 3. Cada nó desta camada é representado porum círculo rotulado com N<,O i -ésimo nó calcula arazão do grau de compatibilidade .da regra " i" comrespeito à soma de todos os graus de compatibilidade:

Figura 3: a) Raci ocínio tipo Su geno (b)Equivalente ANFIS

Nó fixo. É represe ntado por um círculo. Diferencia-sedo nó adaptativo, pelo fato da função do nó não terparâmetros a serem treinados (vide figura 3(b), cama-das 2, 3 e 5). i = 1,2. (8)

3.1. Arquitetura de uma rede ANFIS.

Nos itens seguintes uma explicação de cada camada dafigura 3(b) será apres entad a:

Camada I. Cada nó i nesta camada é representadopor um quadrado. e sua função de nó é:

(9)

( 10)LúJJi_ i__

LúJi

onde Pi, qj, e ri representa o conjunto de parâmetros doconseqüente.

Camada 5. O nó é representado por um círculo e estárotulado com L , que calcula a saída total

Camada 4. Cada nó desta camada é representado porum quadrado e a função do nó é:

14. i = WJ i = wi(P ix+ qiy+ ri)1, 2

(5)1, 2.

= 3,4.

/-lA.(X)

/-lB,) Y )

R I : IF x is A I and y is B I THEN f l=Plx+qIY+rI '

R 2: IF xis A2 atul Y is B2 THEN f2=P2x+q2Y+r2'

Para exemplifica r a arquitetura ANFIS, cons idere duasentradas x. y e uma saída z. Suponha a seguinte basede regras :

onde x (resp ectivamente Y) é a entrada ao nó ii = I, 2 (i = 3, 4) , Aj (Bj-2) é o valor lingüístico , e/-lA( x ) ( /-l B ,(y » poderia ser, por exemplo:, ,--

(6)

Neste caso os parâmetros assoc iados a este nó [a.b,c },são chamados de parâmetros das premissas, e a funçãode pertinência é aprese ntada na figura 4.

3.2. Algoritmos de aprendizado para uma redeANFIS

• Gradiente descendente: Neste caso, todos osparâmetros são atualizados pelo algoritmo do grad i-ente descendente.

• Gradiente descendente e uma passada com LSE(mínimos quadrados): O LSE é aplicado só uma vezno início para obter alguns valores dos parâmetros doconseqüente e logo se usa o algoritmo do gradientedescendente para atualizar todos os parâmetros .

Camada 2. Cada nó nesta camada é representado porum círculo com um rótulo n .A saída deste nó corres-ponde ao grau de compatibilidade úJ i = tex). No

• Gradiente descendente e LSE: Neste caso tem-sedois passos; primeiro se atualizam os parâmetros dosconseqüentes com LSE; uma vez atualizados aplica-se

209

o algoritmo do gradiente descendente para atualizar osparâmetros das premissas. Para mais detalhes acercadestes algoritmos de aprendizado vide [Jang (1993)].

4. Uso de AG's na sintonia dos parâmetrosde uma rede ANFISA proposta deste artigo é usar os AG 's na sintonia dosparâmetros (premissa c conseqüentes) da rede ANFIS.

A função de pertinência usada neste controlador nebu-loso é a tipo sino (vide figura 4. e equação (6). Osparâmetros a serem sintonizados por meio dos AG 'ssão:

do pêndulo invertido.

5. Projeto e SimulaçõesO controlador foi implementado com duas funções depertinência por cada variável de estado e a planta foiIinearizada: na figura 5 apresenta-se o controlador e aplanta.

Para a simulação da planta usaram-se dois nós , comoseguem:

( 13)

onde "1(-) = e(-) , '2(-) = é(-) e h é o tempo deamostragem. Se h é muito grande a aproximação não émuito boa. Mas se 11 é pequeno a simulação é muitolenta, c portanto a fase de sintonia será um poucodemorada .

I. Os parâmetros das funções de pertinência. isto é, os{a,b,c} dos parâmetros das premissas.

2. Os parâmetros {p ,q,r} dos polinômios de saída.também conhecidos como parâmetros dos conseqüen-tes .

Portanto pode-se fazer um cromossomo. com o tama-nho dependendo da precisão desejada e da quantidadede parâmetros a serem otimizados.

Controlador Planta

(14)

Para exemplificar o uso deste algoritmo de contro le.considera-se o problema de controle de um pênduloinvertido [Bar! (1983)] . O sistema do pêndulo inver-tido é composto por uma barra rígida c um carro noqual a barra está unida. O carro se movimenta em umapista da esquerda para a direita c vice-versa, depen-dendo da força aplicada ao carro. A dinâmica do pên-dulo é caracterizada por quatro variáveis de estado: e(ângulo da barra com respeito ao eixo vertical) , é(velocidade angular da barra), z. (posição do carro napista), e z (velocidade do carro). Estas quatro variá-veis são governadas pelas seguintes equações di Iercn-ciais:

onde g (aceleração dada pela gravidade) é 9 .8m/s, /11"(massa do carro) é 1.0 Kg, /11 (massa da barra) 0 .1 Kg ,L (comprimento da barra) é 0.5 m, e F é a força apli-cada ao carro em Nw. Os intervalos para as variáveise, é e F são respectivamente [-20,20] deg, [-50,50]deg/seg e [-15,15] Nw [Bart (1983)]. O objetivo docontrole é manter a barra equilibrada sem considerar aposição e a velocidade do carro ; neste caso somente aequação (\ 1) é relevante para a simulação do sistema

. e e (-F-mLé2sin e Jg Slll + cos .111"+ m

?

L. 111 ( coser)3 111,,+111

·2 ..F+ ml- (e sin O- Bcos G)z: = -----'---------"-

(I I )

( 12)

Figura 5: Controlador ANFIS com a planta

A simulação da planta foi feita da seguinte maneira:dados os estados da planta em f=k*h, o controladornebuloso dará a entrada à planta (força) , e com estaforça e os estados a planta gerará os estados no temposeguinte f=(k+ J)*h. Repetindo este processo e inici-ando desde f=O até f=n *h, pode-se obter a trajetóriados estados da planta.

O controlador é mostrado na figura 5. Os parâmetros aserem sintonizados são 24; 12 parâmetros pelas pre-missas (3 parâmetros por cada função de pertinência),12 parâmetros pelos conseqüentes (3 parâmetros por .cada polinômio de saída).

Para se obter uma superfície de controle simétricaescolheram-se os parâmetros (premissas e conseqüen-tes) da seguinte forma: para as funções de pertinência,optou-se que estas fossem simétricas, isto é, que aúnica diferença entre funções relacionadas a ummesmo estado fosse o sinal do parâmetro "c" trocado .Para os polinômios de saída se optou que a única dife-rença entre o I ° e 3° polinômio fosse o parâmetro "r",

210

Para a funç ão de adequabilidade de cad a indivíduoescolheu- se:

para o 2° e 4°. Fazendo isto , redu z-se a quantid ade deparâmetros para 12, Escolheu-se 20 bits/parâmetro, oque dá uma precisão de 3 ou 4 ca sas decimais em cadaparâmetro. O tamanh o total do cromossomo é de 240bits, onde os primeiros 20 bits correspondem aoparâmetro "a" da funç ão de pertinência A I' os seguin-tes 20 parâmetros corresp ondem ao parâmetro "b" dafunção AI , e assim por diante para todos os parâmetrosda rede.

2(

"

. ' ,

ângulo·20velocidad e angular

Figura 7: Superfície de controle final.

. . .. .105O·5-10

( 15)fit(i)

onde n é o núm ero de estágios e A é um Índice quepenaliza o esforço de contro le , (b)

Na figura 6 apresentam- se as funçõe s de pertin ênci a

finais para o ângulo e velocidade angular. na figur a 7apresenta-se a superfície de co ntro le fin al.

Figura 6: Funções de pertinência finais. (a)Ângulo (b)Velocidade angular.

3

31 2temp o (seg)

1 2tempo (seg )

(d)

'210 . .. .. :.... ..:.....o . , ,I' , ,5 ...... ,.. ....,.. .. .

..::- \', ' ,("j " ,u- I', ,2 O ' I

I 2temp o (seg)

Oi. (c )40 •

20 ....1-0 ' I".; O· .. · · .. · ""1":: .§ .20 .... . : .. . 1.; .'" 'I I .:g -40 . . - .. :. .•,< f :'::' .. ..

O 20 40> ângulo da barr a (deg)

Figura 8: Diferentes condições iniciais : (a) ânguloda barra, (b) velocidade angular, (c) plano defase(d) força

Para mostrar como o controlador neuro-nebuloso écapaz de equilibrar a barra com substanciais mudançasnos parâmetros do pêndulo, realizaram-se simulaçõescom diferentes comprimentos e massas .d a barra. Osresultados são apresentados na figura 9, onde a curvacontínua, tracejada e pontilhada correspondem a l=0.5,l=0.25, e l=0.12." respectivamente. Os resultados paraas diferentes massas são mostrados na figura 1O, ondea curva contínua, tracejada e pontilhada correspondema m=O.I, m=O.4 e m=0.8 respectivamente.

respectivamente às seguintes condições inicias:(10,20), (15,30) e (20,40).

Proj etaram -se controlado res com diferentes valores deA. Na figura 1I, a curva contínua, tracejada e ponti-lhada correspondem a Â=0.1, Â=0.3 e Â=1.0 respecti-vamente. Nesta figura pode-se observar que quanto

100·50 O 50Velocidade angular da barrr a (deg/seg)

0.80.60,40.2

-POO

I

r "LVf :JJ0.8 . ./ :. ... . :..... :.. . . \ . .. .:.... .: .... ; . ..

0.6 ;' : ..= ..=0.4 .. . . , .. .. ,.. .. ' ,' . . . ,. . . .,. . . . ., . . .. , .. . .. . . , " , .0.2 .. . . :. . . . . :- . . . ,... . -:. . . . .::-- . .. .: . . . . , .. . .o' ' , . , " - ' = '·40 ·30 -20 . -10 o 10 20 30 40Anzuto da bnrrra (dcg )I - (b)

Os parâmetros esco lhidos para as simulações foram :11=20, Â=.I , 0.3 1.0; par a os parâmetros do AG esco-lheram-se: Pc=0.8, Pm=O,05. O algo ritmo usado foi obásico e impl ementado em Matlab. Os resultados obti-dos com Â=,l ' serão chamados de conjunto deparâmetros de referência, Todos os teste s foram reali-zados com estes par âmetros .

Na fase de aprendizag em somente se usou a condiçãoinic ial (-10 ,0). Verificou- se também o comportamentodo pêndulo com di ferentes co ndições inic ias. Os resul-tado s são mostr ados na figura 8, onde a curva contí-nua, tracejada e pontilhada corre spondem

211

'êD (b)<lJI(

<lJ2- O

. . _ . . . . . . . _ . . -

I 2 3tempo (seg)

6(d)

ê 4o . . . - _ . _ . - - _ .. _ . .

<lJ2.5- .. - . ,. - - - - -.- .. _.

d I.NO ..'.'

.E. ?-O I 2 3

tempo (seg)

(a)

I 2tempo (seg)

(e)

êd.od.",o:; Oel,,§ -2(':-)OI,

" l(!r-- - -'-'--- - -,<lJ.",

Od

]'-10cd

d.",

O 5 10ângulo da barra (deg)

3

(h)

I 2tempo (scg)«n

-20 I 2tempo (seg)

Õ 4 - - - - - - - - - - - - - - - -

.5 2 .\ - - - - ,_.... -. - - --

d "O . -.E

IOr-----'-'------,<lJ2- O-3 - 10tilê -20

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I 2tempo (scg)

(e)'êD<lJ

10r----'--'-----,<lJ2- O:; -10b/)

êi -20<lJ15 -30.",

] -495 O 5 10ângulo da barra (deg )

Figura 9: Diferentes comprimentos da barra: (a)ângulo da barra, (b) velo cidade angula r, (c) planode fase(d) força

Figura 11: Simulações com diferentes À's: (a)ângulo da barra, (b) velocidade angular, (c) planode fase (d ) força

desempen ho des te co ntrolador.

maior for o valor de À, ma is lenta é a convergência eportant o menor o esforço de con trole.

Figura 10: Diferentes massas da barra: (a) ânguloda barra, (b) velocidade angular, (c) plano defase(d) força

7. Referências BibliográficasBar!, A. G., Su tton R. S. and Ande rso n C. W.

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3

3

(h)

I 2tempo (seg )

(d )

I 2tempo (scg)

_2 (L)

(a )

I 2tempo (scg)

(e)'êD<lJ

<lJ2-...d .. .:;gf- IO .. . ..: " ' -. - -:. - - . -.d • " ' , ' •

. .. . .:-. , .>.-:/d • ': _ ......",

O 5 lOângu lo de la barra (deg)

6. ConclusõesFoi proposta uma metodologia para a sinto nia de umcontro lador neuro-n ebul oso ANFIS usand o algoritmosgenéticos. Es ta metodologia pode se r empregada emuma grande gama de con tro ladores co nvencionais oucontro ladores não-convencionais. O pêndul o invertidofoi usado como um sistema teste, por apresentar umasér ie de não-l inearidades, e ser instável em malhaaberta. Cor roborou- se a efetividade do método pro-posto par a a sintonia do contro lado r neuro-n ebul ososANFIS usand o algoritmos genét icos através das figu-ras 10, 11, e 12 onde se demonstra a robustez e o bom

212