Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

¹ Graduada em matemática e professora PDE 2013 – SEED/PR. neidemassa@seed.pr.gov.br

² Professor do departamento de matemática da UEM e orientador do PDE. mcproenca@uem.br

Resolução de problemas como abordagem de ensino da Matemática para a

aprendizagem da função exponencial

Neide Massarenti Noronha¹

Marcelo Carlos de Proença²

Resumo: O objetivo deste estudo foi favorecer a compreensão de alunos do 1º ano do Ensino

Médio sobre o conteúdo de função exponencial por meio do ensino na abordagem da

resolução de problemas, evidenciando as estratégias de resolução dos alunos. Nesse contexto,

foi elaborada uma sequência didática, a qual foi posteriormente implementada no Colégio

Estadual Paiçandu – Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissionalizante, localizado na

cidade de Paiçandu, PR. Essa sequência teve início com uma prova inicial, contendo

problemas nos quais a estratégia mais utilizada pelos alunos foi a de tentativas e erros para a

resolução, e a média obtida pelos alunos foi de 6,5 pontos. Destaca-se que os alunos

apresentaram dificuldades na compreensão dos problemas e na escolha das estratégias para a

sua resolução. Ao longo das aulas ministradas, o conteúdo função exponencial foi abordado

por meio de problemas. Por fim, para avaliar essa abordagem, foi realizada uma prova final

em que os alunos obtiveram uma média de 9,4 pontos. Diante disso, pode-se afirmar que

houve uma aprendizagem significativa do conteúdo trabalhado, tendo em vista a resolução de

problemas.

Palavras-chave: Resolução de problemas. Estratégias de resolução. Ensino-aprendizagem.

Função exponencial.

1. Introdução

O baixo rendimento dos estudantes, nos diversos níveis de ensino, indica a

necessidade de reflexão sobre a prática pedagógica. Faz-se necessário refletir a respeito das

estratégias de ensino, do modo como os alunos aprendem, tendo em vista que o ensino

tradicional muitas vezes inibe os alunos a construírem seus conhecimentos.

Este artigo descreve os resultados da implementação da Produção Didático-

pedagógica, modalidade Unidade Didática, desenvolvida no Programa de Desenvolvimento

Educacional – PDE, turma de matemática de 2013-SEED, em parceria com a Universidade

Estadual de Maringá – UEM de Maringá-PR, buscando favorecer a aprendizagem dos alunos

do 1º ano do Ensino Médio, do Colégio Estadual Paiçandu – Ensino Fundamental, Médio,

Normal e Profissionalizante, localizado na cidade de Paiçandu – Paraná.

O conteúdo de função exponencial é, em geral, mal compreendido pelos alunos devido

a pouca compreensão das propriedades referentes à potenciação. Muitas vezes, isso se deve

também ao fato de esse conteúdo ser deixado para o final do ano, quando não há muito tempo

para uma forma de ensino diferenciada, como, por exemplo, a aplicação de resolução de

problemas, em que o aluno construirá conceitos matemáticos articulados a outros conceitos

por meio de uma série de retificações e generalizações.

Destaca-se que o trabalho com base na abordagem da resolução de problemas ganha

significado quando os alunos se deparam com situações desafiadoras e trabalham para

desenvolver estratégias de resolução.

Na sala de aula, é possível trabalhar qualquer tema, o desafio reside justamente em

como abordá-lo com cada grupo de alunos e em especificar o que podem aprender com ele.

Salienta-se que podem ser trabalhadas as diferentes possibilidades e interesses dos alunos de

forma que ninguém fique desconectado e cada um encontre um lugar para sua implicação e

participação na aprendizagem.

A Matriz de Referência do Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB – e da

Prova Brasil, avaliações que fornecem indicadores sobre a qualidade da educação brasileira,

estruturadas com foco em revoluções de problemas, assinala que “o conhecimento

matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e

trabalham para desenvolver estratégias de resolução” (BRASIL, 2008, p.106). Esses sistemas

avaliativos têm gerado preocupação por parte dos professores e gestores escolares, já que os

índices apresentados pelos meios de comunicação apontam para a fragilidade do ensino da

Matemática nas escolas brasileiras.

Essa constatação leva à observação de que é necessária a implementação de ações

mais aprofundadas, considerando a mudança dessa situação indesejável, a qual se traduz nos

resultados do processo de ensino aprendizagem da Matemática atualmente.

Devem-se levar os alunos a perceber que é possível aprender a resolução de problemas

de forma lúdica, questionando, elaborando estratégias, cientes do porquê do processo de

resolução e não apenas da aplicação de fórmulas para obter resultados que não signifiquem

nada para eles.

Carvalho et al. (2010) realizaram uma experiência com os alunos do 2º ano do Ensino

Médio com o tema Função Exponencial e apontaram que o ensino baseado na resolução de

problemas, diferentemente do ensino tradicional, propiciou um ambiente altamente dinâmico

e reflexivo, e os alunos continuaram com o mesmo interesse quando passaram a tratar do

conteúdo desejado.

O objetivo da sequência didática desenvolvida na escola foi o de identificar e

descrever a compreensão de alunos do 1º ano do Ensino Médio relativa ao conteúdo de função

exponencial mediante um trabalho envolvendo a resolução de problemas.

2. A teoria da resolução de problemas

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1998), a

resolução de problemas possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a

capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Dessa forma, os alunos

terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos referentes a conceitos e procedimentos

matemáticos bem como ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em

geral e assim desenvolver sua autoconfiança.

A atividade de resolver problemas está presente na vida das pessoas, exigindo

soluções que muitas vezes requerem estratégias de enfrentamento.

Chi e Glaser (1992, p.250) preconizam que:

[... ] desde a infância somos chamados a solucionarmos problemas que o mundo nos

apresenta. Adquirimos informações sobre o mundo e as organizamos em estruturas

de conhecimento sobre objetos, eventos, pessoas e nós mesmos, que são

armazenadas em nossas memórias. Essas estruturas de conhecimento compreendem

corpos de entendimento, modelos mentais, convicções e crenças que influenciam o

modo como conectamos nossas experiências e o modo como solucionamos os

problemas com os quais nos confrontamos na vida cotidiana, na escola, em nosso

emprego e nos momentos de lazer (CHI; GLASER, 1992, p.250).

Na visão de Echeverría (1998, p.13), “o termo problema pode fazer referências a

situações muito diferentes, em função do contexto no qual ocorrem e das características

expectativas das pessoas que nelas se encontram envolvidas”.

Dante (1998) afirma que embora tão valorizada, a resolução de problemas é um dos

tópicos mais difíceis de serem trabalhados na sala de aula. É muito comum os alunos saberem

efetuar os algoritmos e não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais

desses algoritmos. Isso se deve à maneira com que os problemas matemáticos são trabalhados

na sala de aula e apresentados nos livros didáticos, muitas vezes apenas como exercícios de

fixação dos conteúdos trabalhados.

Um problema pode envolver muito mais do que a simples resolução das operações.

Deve possibilitar ao aluno desenvolver estratégias, buscar vários caminhos para solucioná-lo a

seu modo, de acordo com sua realidade e raciocínio. Para Dante (1998), um problema é

qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos específicos para

solucioná-la. O autor ressalta que um bom problema deve:

Ser desafiador para o aluno;

Ser real;

Ser interessante;

Ser o elemento de um problema realmente desconhecido;

Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas;

Ter um nível adequado de dificuldade.

Ainda para Dante (1998), um bom problema deve ser capaz de instigar o aluno a

resolvê-lo. Deve ser interessante, criativo, desenvolver seu pensamento e desafiá-lo

constantemente, pois ao contrário ele ficará desmotivado.

A esse respeito, Echeverría (1998) afirma que:

[...] para que possamos falar da existência de um problema, a pessoa que esta

resolvendo essa tarefa precisa encontrar alguma dificuldade que a obrigue a

questionar-se sobre qual seria o caminho que precisaria seguir para alcançar a meta.

(ECHEVERRÍA, 1998, p. 480).

Entretanto, as situações-problemas propostas aos alunos devem ter estruturas mais

complexas que as da sua vivência cotidiana, pois eles conseguem resolver estas últimas à sua

maneira. Segundo Sternberg (2000):

Empenhamo-nos na resolução de problemas, quando precisamos superar obstáculos,

a fim de responder a uma pergunta ou alcançar um objetivo. Se pudermos recuperar

rapidamente uma resposta da memória, não temos um problema. Se não pudermos

recuperar uma resposta imediata, então temos um problema para ser resolvido.

(STERNBERG, 2000, p. 494).

Desse modo, pode-se assinalar que o exercício é uma atividade de adestramento no

uso de alguma habilidade/conhecimento matemático, enquanto o problema necessariamente

envolve invenção ou/e criação significativa.

De acordo com Echeverría (1998, p. 46):

[...] a ideia de que o raciocínio nesta matéria reflete e estimula o raciocínio em

outras áreas do conhecimento e, por outro lado, a ideia de que um maior

aprofundamento nos conhecimentos e procedimentos ajudaria o avanço em outras

áreas cientificas e tecnológicas e, inclusive, a resolução mais eficiente das tarefas

cotidianas. (ECHEVERRÍA, 1998, p. 46).

Portanto, é errôneo pensar que a resolução de problemas é uma questão exclusiva da

matemática. O desafio é saber como se pode incentivar o aluno a pensar e a raciocinar.

Infelizmente, o aluno não é ensinado a desenvolver o raciocínio logico-dedutivo, mas sim a

copiar modelos, padrões de respostas, resultados. Assim, a matemática tem um caráter tanto

informativo, que auxilia na estruturação do pensamento e do raciocínio logico, quanto

instrumental, utilitário, de aplicação no dia-a-dia, em outras áreas dos conhecimentos e nas

atividades profissionais.

A solução de problemas, conforme Chi e Glaser (1992, p. 250), “é uma habilidade

cognitiva complexa que caracteriza uma das atividades humanas mais inteligentes”.

Entretanto, auxiliar os alunos a aprender consiste em uma tarefa que envolve tempo, pois é

um processo longo de desenvolvimento de habilidades e construção de conhecimentos.

Sendo assim, Dante (2009) propõe que:

Ensinar a resolver problema é uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos,

habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um mecanismo direto de ensino, mas

uma variedade de processos de pensamentos que precisam ser cuidadosamente

desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor. (DANTE, 2009,

p.36)

Nesse sentido, além de garantir o clima de confiança em sala de aula, o professor pode

adotar várias estratégias para que o aluno se sinta à vontade para lidar com o referido

problema.

Na perspectiva de Echeverría (1998):

[...] aprender e resolver problemas matemáticos e a analisar como os especialistas e

os nãos especialistas resolvem esse tipo de tarefas pode contribuir para um aumento

do conhecimento cientifico e tecnológico de maneira geral. (ECHEVERRÍA, 1998,

p. 45).

Trata-se de uma percepção que entende a compreensão como um processo de

aprendizagem, gerada pelo aluno a partir de seu engajamento em construir relações entre as

diversas ideias da matemática contidas em um problema e em uma variedade do contexto. Em

outras palavras, significa que o professor deve solucionar e/ou elaborar e propor os problemas

que agucem o interesse dos alunos em querer resolvê-los.

Conforme Onuchic (1999, p.216), ao abordar o ensino da Resolução de Problemas nas

aulas, “o papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de observador,

organizador, consultor, mediador da aprendizagem”. Assim, é importante considerar as

diferentes formas e os variados caminhos que os alunos podem apresentar para a solução de

uma mesma situação-problema.

De acordo com Polya (2006):

[...] uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada

de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto,

mas se ele desafia a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o

resolver por seus próprios meios, experimenta a tensão e gozará o triunfo da

descoberta. (POLYA, 2006, p. 5).

No entendimento de Musser e Shaughnessy (1997, p.188), a ênfase do trabalho da

matemática na escola do passado era na aprendizagem de algoritmos devido ao forte domínio

da aritmética existente na época, porém na era eletrônica, a prioridade deve ser para o

desenvolvimento e o uso de algoritmos para resolver problemas. Nesse contexto, os autores

citam cinco estratégias de resolução de problemas:

Tentativas e erro: aplicação de operações pertinentes às informações dadas;

Padrões: resolução de casos particulares, encontrando padrões que podem ser

generalizados;

Resolver um problema mais simples: resolução de um caso particular ou um recuo

temporário de um problema complicado para uma versão resumida, podendo vir

acompanhado do emprego de um padrão;

Trabalhar em sentido inverso: partindo do resultado, realizar operações que desfazem

as originais;

Simulação: utilizada quando a solução do problema envolve a realização de um

experimento e executá-lo não seja prático;

Ressalta-se que trabalhos pautados na resolução de problemas apontaram etapas e

fases desenvolvidas a partir de várias possibilidades.

A resolução de problemas, segundo Polya (2006, p.05-12), é desencadeada pela

passagem de quatro fases:

A compreensão do problema refere-se à identificação do que o problema está

solicitando/perguntando; quais dados/informações são apresentados no problema;

Estabelecimento de um plano: o aluno deve elaborar um plano, ou seja, criar um plano

de ação de modo a relacionar os dados do problema com o que se pede;

A execução do plano: constitui o momento da efetivação de todas as estratégias

pensadas para a resolução do problema;

Retrospecto ou reflexão sobre a resolução: analisar a solução obtida, repassando todo

o problema para que os alunos possam fazer como pensaram inicialmente a estratégia

selecionada e o caminho trilhado para obterem a solução.

Na visão de Sternberg (2000, p.310), as etapas do ciclo de resolução de problemas são:

Identificação do problema: precisa-se tomar cuidado no momento de se conhecer o

objetivo para não falhar. Na maioria das vezes, as soluções dadas aos problemas

parecem ineficientes e não são capazes de resolvê-los. É preciso fazer uma observação

bem detalhada dos fatos para que se possa enxergar e separar o que são problemas,

suas causas e seus efeitos;

Definição e representação do problema: quando identificado o problema, é preciso

defini-lo e representá-lo para sua solução. Formulação de estratégia: após a

compreensão do problema, faz-se necessário planejar uma estratégia para resolvê-lo,

podendo envolver a análise e a síntese do problema. Não existe uma única estratégia

para tratar de um problema, depende muito das preferências pessoais de quem está

resolvendo. Para resolver um problema, podem-se estabelecer planos diferentes que

resultarão na mesma resposta;

Organização da informação: para realizar a estratégia formulada, é necessário

organizar e reorganizar toda a informação disponível. Essa atividade é desenvolvida

durante todo o processo de resolução de problemas;

Alocação de recursos: os recursos existem e muitas vezes são limitados. É necessário

identificar quais os recursos a serem utilizados em todo o momento. Se forem usados

de forma incorreta, como apontam alguns estudos, resultarão em frustrações no

planejamento do trabalho em questão;

Monitoração: é fundamental que o aluno confira tudo ao longo do caminho se o

objetivo a ser atingido está próximo. Caso perceba que não está, deve reavaliar e tomar

novos caminhos;

Avaliação: como se monitora um problema, é necessário avaliar a solução que visa a

obter resultados satisfatórios e que nem sempre ocorrem imediatamente. Mediante a

avaliação, novos problemas podem ser reconhecidos, redefinidos e poderão surgir

novas estratégias que poderão ser usadas com maior eficiência.

Assim, a resolução de problemas é um processo que se desencadeia em etapas. Em

sala de aula, cabe ao professor articulá-lo aos conteúdos de Matemática.

3. Metodologia

Este artigo visa mostrar os resultados do trabalho desenvolvido via resolução de

problemas como estratégia de ensino da Matemática. O objetivo foi analisar as dificuldades

dos alunos, por meio da abordagem da Resolução de Problemas, as estratégias utilizadas pelos

alunos bem como os procedimentos de resolução. O ponto de partida escolhido para o

desenvolvimento da Unidade Didática, que foi implementada na escola, foi a fabricação do

iogurte caseiro, com a finalidade de averiguação da abordagem da Resolução de Problema no

ensino da função exponencial.

Para tanto, foi elaborada uma sequência didática, a qual posteriormente foi

implementada no Colégio Estadual Paiçandu – Ensino Fundamental, Médio, Normal e

Profissionalizante, localizado na cidade de Paiçandu, PR, que atende alunos de bairros

periféricos e central. Participaram do estudo uma turma do 1º ano do Ensino Médio do

período matutino, com um total de 40 alunos, sendo 27 meninas e 13 meninos, na faixa etária

de 14 a 15 anos. Foi proporcionado a estes algumas práticas diversificadas em relação à

matemática, as quais foram organizadas e desenvolvidas em 32 aulas, cada qual com suas

especialidades. Desse modo, foi organizado o conteúdo de Função Exponencial para ser

desenvolvido na abordagem da Resolução de Problema.

Para esse intento, as aulas desenvolvidas foram: aula 1- revisão da potenciação; aula 2-

apresentação do projeto; aula 3- visita à pastoral da saúde, pesquisa de lactobacilos; aula 4-

medidas de capacidade; aula 5- equações exponenciais; aula 6- introdução de situações

problemas; aula 7- função exponencial; aula 8- resolução de novos problemas, envolvendo a

preparação do iogurte caseiro; aula 9- avaliação dos conteúdos para analisar, por meio da

abordagem da resolução de problemas, as estratégias de procedimentos de resoluções dos

alunos.

Discorre-se a seguir sobre os procedimentos utilizados em cada aula.

Aula 1→ Revisão da potenciação: Essa primeira ação envolveu a revisão da

potenciação, tais como números naturais, inteiros, racionais e suas respectivas propriedades,

servindo como base antes da apresentação do conceito de função exponencial. Foram

desenvolvidos exercícios com o auxílio da professora, considerando que muitos alunos

haviam esquecido o modo da resolução das propriedades com exponentes racionais.

Aula 2→ A professora dessa unidade didática fez a apresentação da proposta deste

Projeto e ressaltou a importância de sua realização. Os alunos se mostraram interessados nas

afirmações da professora e animados com a perspectiva de aprender matemática com uma

dinâmica diferenciada em relação às metodologias praticadas anteriormente.

Aula 3→ Com a autorização dos pais e do estabelecimento de ensino, professora e

alunos buscaram, na pastoral da saúde, a receita do iogurte caseiro e os lactobacilos. Foi

solicitado aos alunos que efetuassem em duplas uma pesquisa sobre os benefícios do iogurte

caseiro na vida do ser humano. Os alunos elaboraram um resumo do assunto, registrando-o

nos cadernos. Os alunos e a professora discutiram o assunto exposto no quadro, enfatizando

os tópicos mais relevantes.

Aula 4→ De acordo com a receita do iogurte caseiro, para qual seriam necessários

100ml de lactobacilos para um litro de leite, fez-se necessária uma revisão de conteúdos sobre

medidas de capacidade para transformação de unidades. Os alunos demonstraram

conhecimentos sobre o tema proposto.

Aula 5→ A professora apresentou aos alunos equações exponenciais de mesma base e

outras usando alguns artifícios. Houve a necessidade da interferência da professora na

realização das equações de mesma base.

Aula 6→ Foi proposto aos alunos, antes de abordar o conteúdo de função exponencial

em sua formalidade, problemas relacionados com dados do iogurte caseiro, e os alunos

trocaram ideias em grupos para posteriormente identificar as dificuldades em encontrar

estratégias para a realização dos problemas. A professora foi mediadora entre os alunos para a

elaboração das possíveis estratégias. Foi realizada uma discussão sobre os aspectos que

envolviam a compreensão do problema, a apresentação de uma estratégia, a realização de

cálculos matemáticos e a apresentação de uma resposta ao problema. Os problemas

trabalhados em sala de aula estão expostos no Quadro 1.

Problema 1

“Certa indústria pretende fabricar 256 litros de iogurte. Sabe-se que para um litro de leite

serão necessários 100 ml de lactobacilos. Qual a quantidade necessária de lactobacilos para fabricar

essa quantidade de iogurte?”

Problema 2

“Sabendo que para fabricar 256 litros de iogurte são necessários 25600 ml de lactobacilos,

qual o intervalo (dias) necessário para sua reprodução?”

QUADRO 1 - Problemas da prova inicial

A estratégia encontrada pela maioria dos alunos foi a denominada “tentativa e erro”,

sendo algumas pela regra de três. Com a ajuda da professora, desenvolveram outra estratégia,

que envolveu a construção de uma “tabela”, na qual anotaram dados iniciais (casos

particulares), e buscaram estabelecer algumas relações entre esses dados, chegando a obter a

expressão matemática na base 2, conseguindo dar a resposta ao problema.

Aula 7→ Foi apresentado o conceito de função exponencial favorecendo sua

identificação, leitura e interpretação de seus gráficos. Os alunos foram incentivados a

construir gráficos relacionados à função exponencial. Houve a intervenção da professora na

construção dos gráficos e todos os alunos conseguiram realizar a tarefa. Em seguida,

localizaram no gráfico o domínio e o conjunto imagem da função.

Aula 8→ A atividade dessa aula foi baseada na retomada do problema 2, aula 6, os

alunos construíram o gráfico desse problema, individualmente, mediante a tabela já

confeccionada, que foi uma estratégia do problema da aula mencionada. Os alunos fizeram o

registro do gráfico no caderno. Em seguida, a professora discutiu com estes sobre o domínio

dessa função, em termos da natureza desse problema do cotidiano e não de caráter

simplesmente matemático. A professora fez também indagações aos alunos sobre “o porquê”

dos domínios serem diferentes e solicitou-lhes que registrassem em seus cadernos as

respostas. A professora verificou quais respostas foram mais condizentes com o assunto e fez

o registro na lousa, cujo objetivo foi retomar e trabalhar novos problemas em que o uso da

função exponencial fosse parte da estratégia a ser utilizada pelos alunos. Foram apresentados

três problemas, que podem ser visualizados no Quadro 2.

Problema 1

“Os alunos do primeiro ano do Colégio Estadual Paiçandu pretende fabricar iogurte caseiro.

Sendo 40 alunos matriculados, qual a quantidade necessária de iogurte que terão que fabricar,

sabendo que cada aluno receberá 200ml de iogurte?”

Problema 2

“Para preparar oito litros de iogurte, qual a quantidade necessária de lactobacilos?”

Problema 3

“Qual o tempo necessário para a reprodução dos lactobacilos suficiente para a fabricação do

iogurte?”

QUADRO 2 – Problemas do iogurte caseiro

A professora incentivou os alunos a resolverem os problemas por meio da estratégia

da “construção de uma tabela”, encontrando, assim, a fórmula matemática, e que utilizassem

os conhecimentos específicos de função exponencial. Foi proposto aos alunos que

construíssem os gráficos, discutindo o domínio, a imagem e se a função era crescente ou

decrescente. A condução dessas atividades deu-se levando em consideração o processo de

resolução seguido pelos alunos. Os alunos foram orientados a resolver essas atividades com

base no processo de resolução de problemas.

Aula 9→ Para avaliar o trabalho desenvolvido na sequência didática, em especial no

trabalho na abordagem da Resolução de Problemas, foi empreendida uma avaliação contendo

três problemas, os quais foram elaborados para avaliar os conhecimentos adquiridos pelos

alunos no uso da estratégia para obtenção das fórmulas matemáticas (padrão), o uso do

conceito de função exponencial e a construção de gráficos.

A elaboração dos problemas se deu de forma diferente do que comumente se encontra

nos livros didáticos, em cujos enunciados das atividades se apresenta uma lei de função que

pouco contribui no entendimento desse conceito. Foi solicitado aos alunos que utilizassem as

estratégias discutidas nas aulas, como o uso das tabelas e do conceito de função exponencial,

bem como encontrar a expressão matemática.

Seguem os problemas que comparam a referida avaliação no Quadro 3.

Problema 1

Certo tipo de vegetal se desenvolve dobrando a sua altura mensalmente. Compreende-se

que sua altura inicial é 1mm, determine a expressão exponencial, altura y(mm), em função do tempo

t(meses) e construa o gráfico cartesiano dessa função.

Problema 2

Um professor de biologia, acompanhou o crescimento de uma planta circular que tinha 1cm

de diâmetro. Durante suas observações, a planta triplicava mensalmente. Qual será seu diâmetro no

final do terceiro mês? Construa o gráfico.

Problema 3

No dia 1º de Março, dois amigos formaram uma comunidade no facebook. No dia posterior,

cada um dos “fundadores” convidou três novos amigos para se incluírem à comunidade. No terceiro

dia, cada novo integrante convidou três novos amigos para participarem da comunidade e assim

respectivamente, até o final do mês. Sendo que, todos os convidados aceitem a proposta de

comunidade e que ninguém receba o convite de mais de uma pessoa.

1- Quantos membros ingressarão na comunidade no dia 4? E no dia 5?

2- Qual o total de membros que a comunidade possuirá no dia 5?

3- Qual a fórmula matemática que relaciona o número de membros (y) que ingressarão na

comunidade (x)?

QUADRO 3: Problemas da avaliação final

A análise dos dados verificados nessa implementação da Unidade Didática foi

elaborada mediante a evolução dos alunos e são expostos em forma de quadros

demonstrativos, evidenciando as dificuldades relacionadas tanto ao estudo da função

exponencial na abordagem da resolução de problemas iniciais quanto aos novos problemas

abordados, assim como na avaliação final, na qual se pode observar o avanço dos alunos ao

utilizarem estratégias diferenciadas.

4. A análise dos dados

Na análise de dados, são apresentadas as dificuldades dos alunos na resolução dos

problemas iniciais, a análise das estratégias que utilizaram para a solução dos problemas das

provas inicial e final e a apresentação das médias obtidas pelos alunos a partir da correção das

duas provas.

O Quadro 4 indica a porcentagem de erros e acertos apresentados pelos alunos no

momento da resolução dos problemas da prova inicial.

Análise Problema 1 Problema 2

Números de acertos 60,4% 71,3%

Números de erros 39,6% 28,7%

Total de alunos 40 40

QUADRO: 4 Números de acertos e erros da avaliação inicial

Com a prova corrigida, foi realizada uma média de acertos dos alunos, que foi 6,5

pontos, considerando que a prova inicial tem valor máximo de 10,0 pontos.

O Quadro 5 mostra o número de estratégias e quais delas foram apresentadas pelos

alunos no momento da prova inicial.

Diferentes estratégias Problema 1 Problema 2

Tentativas e erros 42% 84%

Regra de três 28% 0%

Algoritmo 30% 0%

Tabela 0% 16%

Total de alunos 40 40

QUADRO 5: estratégias utilizadas pelos alunos na resolução dos problemas da prova inicial

Analisando a resolução dos problemas quanto às estratégias utilizadas, nenhum aluno

resolveu o primeiro problema fazendo uso da “estratégia da tabela”, apenas no problema 2.

Observou-se, como indica o Quadro 2, que maioria das estratégias nessa prova inicial

centraram-se na estratégia tentativas e erros.

Explicitam-se, nas Figuras 1 a 4, algumas estratégias utilizadas pelos alunos.

a) Algoritmo b) Regra de três

FIGURA 1 – resolução do problema 1 FIGURA 2 – resolução do problema 1

c) Tentativas e erros d) Tabela

FIGURA 3 – resolução do problema 2 FIGURA 4 – resolução do problema 2

Alguns alunos conseguiram resolver o primeiro problema pela regra de três (Figura

2). Na Figura 1, ilustra-se a utilização de outra estratégia, o algoritmo da multiplicação, apesar

de o aluno não ter obtido êxito durante a execução, demonstrando dificuldades no momento

de multiplicar os fatores não obedecendo às ordens e classes das unidades simples,

provavelmente trazendo consigo uma defasagem da multiplicação quando das séries iniciais

do Ensino Fundamental. Na resolução do segundo problema, a estratégia mais utilizada foi a

de tentativas e erros na busca de dias/ml de lactobacilos, pois no momento inicial da

experiência tínhamos 100 ml de lactobacilos que possivelmente o aluno não se ateu a essa

informação.

Após os alunos terem resolvidos os dois problemas da prova inicial, a professora

formou grupos na sala de aula para que discutissem as estratégias que utilizaram. Salienta-se

que a professora foi apenas a mediadora nessa discussão de estratégia.

A professora, mediando a interpretação das informações do problema 2, figura 3, que

eram expostas pelos alunos em lousa, percebeu que haviam esquecidos que no momento

inicial da receita do iogurte já tínhamos as seguintes informações: dias igual a zero e volume

igual a 100 ml. Com isso não obtiveram os resultados satisfatórios, enquanto que na figura 4,

demonstra o correto.

Diante disso, a professora aproveitou o momento e propôs aos alunos a montagem de

uma tabela, constituída de duas colunas, onde a primeira informava o número de dias (d) e a

segunda o volume (v) em ml de lactobacilos.

Com a mediação da professora os alunos construíram a tabela, onde utilizaram a

potenciação, percebendo que os números da tabela da coluna dos dias teriam que ser elevados

a um expoente para se obter o volume. Com essas informações a professora mostrou a relação

entre os dados iniciais e finais e evidenciou a expressão matemática para se obter um volume

dependendo do número de dias.

Apresentaram-se aos alunos novos problemas relacionados com a fabricação do

iogurte caseiro. A condução dessa atividade se deu levando-se em consideração o processo de

resolução seguido pelos alunos. Buscou-se observar a compreensão, o uso da estratégia da

tabela, a execução de cálculos com a função exponencial e os conceitos previamente

estudados e frisar como apresentar a resposta. Os alunos foram orientados a resolver esses

problemas com base no processo de resolução de problemas.

O Quadro 6 ilustra a porcentagem sobre o tipo de estratégia utilizada pelos alunos.

Estratégias Problema 1 Problema 2 Problema 3

Algoritmos 13,7% 11% 20%

Tentativas e erros 50% 31,3% 40%

Regra de três 25,3% 48% 30%

Tabela 11% 9,7% 10%

Total de alunos 40 40 40

QUADRO: 6 Problema do iogurte caseiro

Ao se analisar as estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas 1, 2 e 3, observou-

se que a grande maioria, mesmo orientados pela professora no uso da “estratégia da tabela”

para obtenção da fórmula matemática, optaram pelas estratégias de tentativas e erros. Houve a

necessidade da intervenção da professora na resolução da estratégia da tabela para os alunos

chegarem à formula matemática, pois alguns demonstraram dificuldades na potenciação para

a sua construção. Salienta-se que alguns alunos não necessitaram da mediação da professora

para a construção dessa estratégia.

Percebe-se que quando os alunos se deparam com situações desafiadoras, geralmente

eles não querem pensar sobre as situações propostas, querendo apenas aplicar uma das quatro

operações, deixando de pensar em outras possíveis estratégias, pois a primeira pergunta a ser

feita é “qual operação vai usar?”.

Abaixo, algumas estratégias apresentadas pelos alunos.

a) Tentativas e erros b) Regra de três

FIGURA 1 – resolução do problema 1

FIGURA 2 – resolução do problema 2

c) Tabela

FIGURA 3 – resolução do problema 3

O Quadro 7 mostra o desempenho dos alunos na realização da avaliação final,

composta de três problemas, que estes desenvolveram através das estratégias estudadas

anteriormente.

Contagem Problema 1 Problema 2 Problema 3

Porcentagem de acertos

92,51% 97,3% 95,88%

Porcentagem de Erros

7,49% 2,7% 4,12%

Total de alunos 40 40 40

QUADRO: 7 números de erros e acertos obtidos na prova final.

Com a realização dos problemas propostos na avaliação final, observou-se oque os

alunos tiveram um avanço significativo na resolução dos problemas. Demonstraram maior

compreensão e aproveitamento em relação à aprendizagem, o número de acertos foi o maior

em relação à primeira prova, ficando com uma média de 9,4 pontos, considerando que a prova

tem valor máximo de 10,0 pontos.

Alguns alunos conseguiram desenvolver os problemas usando algumas estratégias

estudadas, mas não conseguiram finalizar em questão da potenciação.

5. Considerações finais

Neste artigo, procurou-se identificar, descrever e analisar as dificuldades dos alunos

do 1º ano do Ensino Médio na elaboração de estratégias para a resolução de problemas

envolvendo a função exponencial, bem como a compreensão, por parte deles, desse conceito

matemático. Além disso, buscou-se analisar se o trabalho desenvolvido ajudou os alunos

nessa compreensão e uso do conceito.

A partir do ensino por meio da Resolução de Problemas, os alunos tiveram a

oportunidade de compreender o conteúdo apresentado e o resultado foi a significativa melhora

da média da avaliação inicial, que foi de 6,5 pontos para a média final de 9,4 pontos. Isso

mostra que a Resolução de Problemas favoreceu uma aprendizagem da função exponencial

por parte dos alunos.

Nas resoluções de problemas da prova inicial, notou-se que os alunos optaram pela

estratégia de tentativas e erros e algoritmos da multiplicação, sendo necessária a intervenção

da professora na resolução da estratégia da tabela para chegarem à fórmula matemática. Com

a realização dos problemas propostos na avaliação final, constatou-se um avanço significativo

na resolução de problemas.

Na discussão das resoluções dos dois problemas iniciais, observou-se que houve uma

grande colaboração entre os alunos. Os que tinham facilidade na interpretação dos problemas

ajudavam os demais a encontrar as possíveis estratégias.

Essa constatação leva à observação de que é necessária a implementação de ações

diferenciadas e que realmente os problemas elaborados sejam desafiadores para levar os

alunos a questionar, elaborar estratégias, cientes do processo de resolução e não apenas da

aplicação de fórmulas para obter resultado que não signifique nada para ele em seu cotidiano.

Após a implementação da sequência didática (Unidade Didática), pode-se concluir que

a utilização da resolução de problemas, uma das tendências em educação matemática,

provocou nos alunos motivação para desenvolver o conteúdo de função exponencial, servindo

de apoio para o processo de ensino e aprendizagem.

6. Referências bibliográficas

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