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Por: Marco Antonio Guimarães Dias (marcoagd@pobox.com)http://www.puc-rio.br/marco.ind/Professor Adjunto, tempo parcial − PUC-Rio/D.E.I.Consultor Sênior e Eng. de Petróleo Sr. − Petrobras.

Opções Reais e Incerteza Técnica: Teoria, Modelagem e Aplicação em Portfólio de Exploração de Petróleo

Seminário de Métodos Matemáticos em Finanças

IMPA − Rio de Janeiro, 11 de abril de 2007

Incerteza Técnica e Opções ReaisIncerteza técnica é aquela relacionada com as características específicas de um projeto. Exemplos:

A chance de sucesso técnico de um projeto de P&D;As incertezas sobre a existência, sobre o volume e sobre a qualidade/produtividade de uma reserva de petróleo; eIncerteza sobre o MTBF (tempo médio entre falhas) de um novo equipamento feito com uma nova tecnologia.

A incerteza técnica incentiva o investimento emprocessos de aprendizagem da função lucro.

Incentiva o exercício de opções de aprendizagem.A característica comum é que a incerteza técnica não écorrelacionada com os movimentos da economia.

Proposição: A incerteza técnica não demanda prêmio de risco por parte de corporações com acionistas diversificados.

Prova: com a correlação = zero, CAPM ⇒ β = 0 ⇒ prêmio = 0.

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Modelos de OR com Incerteza TécnicaO valor de um projeto de petróleo é função de variáveis estocásticas tanto de mercado como parâmetros técnicos.Incerteza técnica é um tema carente de pesquisa, pois a modelagem da literatura tem deixado muito a desejar.Tem papers usando o movimento geométrico Browniano(MGB) p/ modelar a incerteza técnica o que é um erro:

É mais adequado uma modelagem endógena (e não exógenacomo no MGB) já que é o exercício de opções de aprendizagemque faz ela evoluir (pois gera a redução esperada da incerteza).A filtração do processo estocástico da incerteza técnica não éindexada pelo tempo como no MGB e sim por eventos discretosendógenos. O intervalo entre dois eventos pode ser de anos.A variância do MGB é ilimitada quando t → ∞. Veremos que na incerteza técnica a variância é limitada (a variância máxima da distribuição relevante será a da variância a priori); etc.Minha insatisfação me levou a estudar o tema nos últimos 10 anos

Distribuição de Expectativas CondicionaisO projeto de desenvolvimento é otimizado (fazer ou esperar; escala; etc.) para o cenário esperado (para minimizar o erro2).

Precisamos de E[B | informação], pois o projeto será otimizado p/ esse cenário.

Mesmo tendo infinitas distribuições posteriores existe uma única distrib. de expectativas condicionais aqui chamada de distribuição de revelações.

A palavra “revelação”: sugere um processo em direção à verdade (de B); tem sido usado em papers de OR (ex: Grenadier, 1999: “information revelation…”); e tem tradição na Petrobras (projeto revelation em 1999).

DistribuiçõesPosteriores

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O Problema Clássico da Opção RealO problema clássico de opção real W é o momento ótimode investir I num projeto de valor V. Ele pode ser visto como análogo ao caso da opção americana de compra.

Uma das formulações é a da E.D.P. de W(V, t) obtida pelo método contingent claims que, caso V siga um M.G.B., é:

22 2

2

1

2

W W W V (r δ) V r W 0V tV

σ ∂ ∂ ∂+ − − + =

∂ ∂∂Essa EDP tipo Black-Scholes-Merton descreve W enquanto não há exercício. As condições de contorno dirão se a OR é européia ou americana, de compra ou de venda, etc., além das condições de exercício ótimo no gatilho V* (continuidade e contato suave).Uma outra formulação p/ uma opção americana é o problema de parada ótima representado pelo seguinte envelope de Snell:

com t* = inf{τ ∈ [t, T] | W(Vτ, τ) = (Vτ − I)+}

• Onde EQ[.] é expectativa sobmedida equival. de martingale.• T é o tempo legal (ANP) de expiração do direito de investir

OR com Incertezas Técnicas e de MercadoO valor da OR de desenvolvimento W(P, t; q, B) de um campo já descoberto é função de várias variáveis:

De mercado, tais como o preço do petróleo P (aqui seguirá um MGB); do tempo t; e de parâmetros com incerteza técnica que aqui serão a qualidade da reserva q e o volume da reserva B.Depois veremos o caso de prospectos com chances de ter petróleo, a OR exploratória E(P, t; FC, q, B), a qual inclui o fator de chance FC (v.a. de Bernoulli) sobre a existência de óleo.

Vejamos 1o o caso da OR de desenvolvimento que tem várias alternativas de investimento em informação.Vamos considerar uma equação simples para o VPL de desenvolver o campo (= payoff de exercício da opção):VPLdesenvolvimento da produção = V(P; q, B) - ID → VPLDP = q B P − ID

Antes de desenvolver o campo pode-se exercer uma opção de aprendizagem, cujo resultado é a variável aleatória S (de sinal).

A escala ótima de investimento ID(B) é uma função linear de B.

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Alternativa Ótima de AprendizagemProposição: incluindo a alternativa k = 0 (= não investir eminformação), a melhor alternativa de aprendizagem é:

Onde Wk é o valor da jazida não-desenvolvida (OR) usando a alt. k, que tem custo Ck, tempo tk de aprendizagem e emite sinal Sk:

Onde EQ significa expectat. neutra ao risco e t* é o tempo ótimo de exercício:

Sendo que Wk pode ser aproximado de uma forma simples, através de simulação de Monte Carlo, usando distribuições de revelações para q e B e um fator para trabalhar como se q e B fossem independentes:

Tempo (anos)tk(tempo de revelação)

expiração

Val

or N

orm

aliz

ado

(V/I

D) (

$/$)

Combinação de Incertezas em Opções Reais Combinação de incertezas de mercado (MGB neutro ao risco) com dist. de revelações:

A

W(t = 0) == W(t*=1) . exp(− r t*)

Valor Presente (t = 0)

B

W(t = 2) = 0Expirou Sem Valor

VPLDP = V − ID(B) = q B P − ID(B)Normalização: V/ ID = q B P / ID(B)

Opção W(t* = 1) = V − ID

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Distribuições de Revelações: PropriedadesDistribuição de revelações: distrib. de RX(S) = E[X | S]

Onde X é a variável de interesse e S é o sinal (informação).A distribuição de revelações será usada em simulações de Monte Carlo (neutra ao risco) combinando várias incertezas.

Principais propriedades da distribuição de revelações:Limite: em caso de revelação total, a distribuição de revelaçõesé igual a distribuição a priori da variável com inc. técnica (X).Média: é igual a média original da distribuição a priori, i. é,

E[E[X | S ]] = E[RX] = E[X] (chamada de lei das expectativas iteradas)Variância: é igual a redução esperada de variância devido a S,

Var[E[X | S ]] = Var[RX] = Var[X] − E[Var[X | S ]] (= redução de variância)Martingale: a seqüência de sinais {Sk} gera um processo de revelação{RX,1, RX,2, RX,3,…} que é um martingale de Doob (unifor. integrável).

A seqüência de exercícios de opções de aprendizagem gera a seqüência {Sk}.

Seja η2 = Var[RX]/ Var[X]. Note que ela é a medida de redução % esperada de variância: ela será nossa medida de aprendizagem.

Distribuições Posteriores x Distribuição de RevelaçõesMaior volatilidade, maior valor da opção. Por que investir na redução da incerteza?

Redução de incerteza técnica

⇓Aumenta avariância dadistribuição derevelações(e, logo, o valor da opção)

Por que aprender?Exemplos de Distribuições Posteriores

Distribuições de Revelações

Distribuições de expectativascondicionais

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Aprendizagem É Geralmente AssimétricaDadas duas v.a. A e B, muitas vezes B aprende mais com A do que A aprende com B (ou vice-versa), i. é, a aprendizagemé uma relação de condicionamento, em geral, assimétrica. Ex:

O coeficiente de correlação (medida simétrica) é zero, apesar de A e B terem dependência funcional! (Feller)

Medidas simétricas tais como coef. de correlação, cópulas e distâncias de distribuições conjuntas em relação à distrib. daindependência, não servem como medida de aprendizagem.

Já a medida η2 é assimétrica em geral e captura a aprendizagem total de B dado A: η2(B | A) = 100%.

Se soubermos o valor de A, então o valor de B está definido(aprendizagem total).

Mas se soubermos o valor de B,o valor de A não está definido.

Confiabilidade da InformaçãoNa literatura tradicional, é muito usado o conceito de confiabilidade (likelihood) da informação S para prever X.

São as chamadas probabilidades inversas p(S | X).

Apesar da relação condicionante, essa não é uma boa medidade aprendizagem. Para ver isso, considere o exemplo:

Considere dois “expert infalíveis” que podem ser consultados para saber se a ação da companhia X subirá ou não no pregão do dia seguinte da Bolsa de Valores de São Paulo. Suponha que um dos “expert infalíveis” sempre diz a verdade e o outro sempre diz uma mentira, i. é, as confiabilidades são p1(s | x) = 100% e p2(s | x) = 0%. Do ponto de vista do aprendizado de X, os conselhos são equivalentes pois se aprenderá tudo sobre X em ambos os casos:

Se o “expert infalível 2” dizer que a ação não vai subir, então se saberáque a ação vai subir com probabilidade 1!

Assim, essa medida atribuiria dois valores diferentes para uma mesma aprendizagem e (ainda pior) usando até o valor zero para o caso de aprendizagem máxima. Logo, aqui ela não é adequada.

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Valor da Opção de Aprendizagem x η2O gráfico abaixo foi construído a partir de simulações de MC p/ diferentes valores de η2 (da tese de Dias, 2005; em cima de um exemplo em petróleo apresentado no MIT em 2002 e 2003).Para valores pequenos de η2, o VDI (valor da informação) exibe uma “não-concavidade” clássica (Radner-Stiglitz, 1984).

Medida de Aprendizagem η2 e PropriedadesA medida de aprendizagem proposta é a redução percentual

esperada de variância η2, que também é a variâncianormalizada da distribuição de revelações de X dado o sinal S:

Proposição: propriedades da medida de aprendizagem η2

a) η2(X | S) existe sempre que Var[X] > 0 (não-trivial) e Var[X] for finito;b) Essa medida é, em geral, assimétrica, η2(X | S) ≠ η2(S | X);c) Ela é definida no intervalo unitário, i. é, 0 ≤ η2 ≤ 1;d) Se X e S são independentes ⇒ η2(X | S) = η2(S | X) = 0; em adição, vale a

expressão: η2(X | S) = 0 ⇔ Var[RX(S)] = 0;e) η2(X | S) = 1 ⇔ dependência funcional, i. é, ∃ v.a. g(S), tal que X = g(S);f) Ela é invariante sob transformações lineares de X, i. é, se a e b são números

reais, com a ≠ 0, η2(a X + b | S) = η2(X | S);g) Ela é invariante sob transformações lineares e não-lineares de S se g(S) for

uma função 1-1, i. é, η2(X | g(S)) = η2(X | S) , se g(s) é função 1-1;

h) Se as v.a. Z1, Z2,…são iid e S = Z1 +…+ Zj e X = Z1 +…+ Zj + k ⇒

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Axiomas para Medidas de AprendizagemInspirado nos axiomas de Rényi para medidas de dependência de v.a., sejam os axiomas p/ uma medida de aprendizagem M(X | S):

A. M(X | S) deve existir pelo menos para v.a. não triviais e incerteza finita;B. M(X | S) deve, em geral, ser assimétrica para capturar eventuais assimetrias de

aprendizagem entre X e S (X pode aprender muito com S, mas não vice-versa);

C. M(X | S) deve ser normalizada no intervalo unitário, i. é, 0 ≤ M(X | S) ≤ 1;D. M(X | S) = 0 ⇒ não haver aprendizagem (incluindo se X e S independentes);E. Se a medida é máxima, M(X | S) = 1 ⇒ aprendizagem é máxima (em caso de

dependência funcional a medida deve ser máxima: X = f(S) ⇒ M(X | S) = 1); F. M(X | S) deve ser invariante a mudanças de escala da v.a. X ou da v.a. S,

i. é, M(a X + b | S) = M (X | S) e M(X | S) = M (X | a S + b);G. M(X | S) deve ser prática, i. é, fácil interpretação e fácil de ser quantificada;H. M(X | S) deve ser aditiva, i. é, caso S possa ser decomposto numa soma de

n fatores independentes S1 + S2 +… + Sn, que dê uma aprendizagem máxima, então: M(X | S1) + M(X | S2) + … + M(X | Sn) = 1

Teorema: a medida de aprendizagem η2 atende aos axiomas.Em geral de forma ainda mais forte. Os 2 últimos axiomas serão vistos a seguir.

Medida η2 e Decomposição da AprendizagemO axioma G pede que uma medida de aprendizagem sejaprática, i. é, de fácil interpretação e fácil de ser quantificada.

A medida η2 é intuitiva, pois é interpretada como uma reduçãoesperada da incerteza (medida pela % da variância inicial);A medida η2 é fácil de ser estimada por métodos não-paramétricos (pois envolve só variâncias, não o tipo de distribuição) e por métodos paramétricos populares, como a regressão (linear ou não) e ANOVA.

Se a regressão linear é correta (ex.: X e S v.a. normais) então η2 é igualao quadrado do coeficiente de correlação ρ2. Se uma regressão não-linear é a correta, então η2 é igual ao coeficiente da regressão R2.ANOVA: η2 é calculada diretamente (é uma razão de soma de quadrados).

Axioma H: o Teorema 3 da tese mostra que a aditividade é aindamais forte do que o exigido, pois vale para funções reais quaisquer

Sejam S1, S2, … , Sn, v.a. independentes e X uma soma de funçõesreais quaisquer desses sinais, X = f(S1) + g(S2) + . . . + h(Sn), então:η2(X | S1, …, Sn) = η2(X | S1) + η2(X | S2) + … + η2(X | Sn) = 1

(decomposição da aprendizagem).

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Portfólio de Dois Prospectos ExploratóriosSeja um portfólio com dois prospectos exploratórios no mesmo bloco. Considere que a opção está expirando e que a única incerteza é sobre a existência de petróleo.O valor de um prospecto exploratório é dado pelo VME(valor monetário esperado, o “VPL da exploração”), queé função do custo e do benefício esperado:

Onde: IW = investimento na perfuração do poço pioneiro (“wildcat”).FC = fator de chance (probabilidade de sucesso) → v.a. de Bernoulli.VPL = valor presente líquido do desenvolvimento da produção.

Uma firma de petróleo tem dois prospectos iguais, os quais sãocorrelacionados. Os VMEs (em MM$) são negativos e iguais:

VME = − IW + FC . VPL

VME1 = VME2 = − 30 + [30% x 95] = − 1,5 milhões $Assim parece melhor não perfurar, os prospectos nada valem.

Mas não foi considerado o fato dos prospectos serem dependentes!

Revelação de Informação e Fator de ChanceNo cálculo do VME não foi considerado que se o prospecto 1 for perfurado, revela informação p/ o prospecto 2, que revisao seu fator de chance para cima em caso de boas notícias(FC2

+) e para baixo em caso de más notícias (FC2−).

Considere que a dependência é tal que os cenários revelados são: VME2 Revisado

VME2+ = − 30 + (0,5 x 95) =

= + 17,5 milhões

VME2− = − 30 + (0,214 x 95) =

= − 9,7 milhões

O valor esperado do portfólio (2 prospectos), considerando que:A perfuração do poço 1, gera aprendizagem para o poço 2, eA perfuração é opcional (é um direito, não é obrigação); é:

Π = Máx{0, VME1 + [FC1 . Máx(0, VME2+)] + [(1 - FC1) . Máx(0, VME2

−)]}⇒ Π = − 1.5 + [(30% x 17.5) + (70% x 0)] = + $ 3.75 millions

Por que aumentou o valor? Aprendizagem e opcionalidade de investir!

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Medida η2 para Fator de Chance (Bernoulli)Teorema: dado as v.a. FC ~ Be(FC0) e S ~ Be(q), e dado η2,

As probabilidades de sucesso reveladas por S, i. é, FC + e FC − são:

η2 é igual ao quadrado do coeficiente de correlação ρ:

Aqui η2 é simétrica: X e S ~ Bernoulli ⇒ η2(FC | S) = η2(S | FC)

η2(FC | S) = 0 ⇔ FC e S são independentes Os limites de Fréchet-Hoeffding p/ existir a dist. bivar. de Bernoulli:

Distribuições de Bernoulli IntercambiáveisUma simplificação importante é quando as v.a. FC ~ Be(FC0)e S ~ Be(q) são intercambiáveis (aqui p01 = p10). Proposição:

FC e S intercambiáveis ⇔ FC0 = qO limite de Fréchet-Hoeffding deixa de ser restrição: 0 ≤ η2 ≤ 1As probabilidades de sucesso FC + e FC − reveladas pelo sinal S são:

⇒No exemplo numérico, a dependência foi tal que ρ = 50 − 21,4 = 28,6%.Lema: A condição necessária para haver aprendizagem máxima(assumindo ρ não negativo) é que FC e S sejam intercambiáveis:

η2(FC | S) = 1 ⇒ FC e S v.a. intercambiáveisSe ρ < 0, essa condição passa a ser FC e S complementares (FC0 = 1 − q).

FC + = FC0 + (1 – FC0) ηFC − = FC0 − FC0 η

⇒ FC + − FC − = η = ρ

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Coeficiente de Correlação e SinergiaEm exploração de petróleo, não tem sentido falar em ρ < 0, mas em P&D existem aplicações em que isso pode ocorrer.

Para a análise ser mais geral, consideraremos todo range ρ ∈ [−1, 1].Vamos voltar a notação FC1 para o sinal (1o poço) e FC2 p/ o 2o poço.

Nesse caso, os limites de Fréchet-Hoeffding para ρ são:

Sinergia entre duas OR significa que o valor conjunto de duas OR é maior que a soma dos valores individuais das OR.

Aqui esse efeito aparece para o investimento em desenvolvimento, pois campos de petróleo vizinhos podem dividir infraestrutura(ganho de escala com plataforma única, etc.), reduzindo o preço de exercício (investimento) do desenvolvimento conjunto dos campos.

Sinergia ocorre só em caso de duplo sucesso exploratório, queocorre com probabilidade que aumenta linearmente com ρ:

sin 11 1 1 2 2 1 2prob = p = ρ FC (1 FC ) FC (1 FC ) FC FC − − +

Portfólio Expirando com Aprendizado e SinergiaPortfólio está expirando (não há OR de espera). Compare oscasos com e sem opção para perfurar o prospecto exploratório, com aprendizagem (útil só com opção) e com e sem sinergia.

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Portfólio Expirando: Aprendizagem com ρ > 0 e ρ < 0Se é permitido ρ < 0, também há o ganho de valor devido ao efeitoda aprendizagem. Mas os limites de Fréchet-Hoeffding nãopermitem ∀ ρ. Para FC1 = FC2, é possível ρ = 1, mas não ρ = − 1.

Aprendizagem em Todo Range de ρO único caso que a aprendizagem é possível p/ todo o range de ρ équando as dist. marginais de Bernoulli são simultaneamenteintercambiáveis (CF1 = CF2) e complementares (CF1 = 1 − CF2).

Isso ocorre só se FC1 = FC2 = 50 %. O gráfico só mostra aprendiz.:

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Aprendizagem em Todo Range de ρ e SinergiaO mesmo caso (FC1 = FC2 = 50 %), mas mostrando tambémo efeito da sinergia.

A Opção de Postergar o DesenvolvimentoSeja a OR de desenvolvimento (condicional a exploração tersucesso) ser Ri(P, t), onde i = 1 ou 2 ou 1 + 2 (desenv. conjunto).

A EDP dessa OR e suas condições de contorno são:

0 tR R r

PR P δ) (r

PR P 2

222σ

2

1=

∂∂

+−∂∂

−+∂∂

Para R1 ou R2 (desenvolmento indiv.) Para R1+2 (desenvolmento conjunto)

Se as jazidas são simétricas (mesmo valor do payoff), então sempreteremos R1+2 ≥ R1 + R2. Logo, nós esperamos por P ≥ P*1+2 p/ exercer.

Entretanto, se as jazidas são suficientemente assimétricos, podeocorrer R1+2 < R1 + R2. Nesse caso pode ser ótimo o exercício do desenvolvimento não-conjunto (individual).

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EDP para as Opções Exploratórias E1 e E2As EDPs para as opções exploratórias E(P, t; FC) são as mesmas, mas as condições de contorno (cc) são específicas.

0 tE E r

PE P δ) (r

PE P 2

222σ

2

1=

∂∂

+−∂∂

−+∂∂

O caso de E2 (P, t; FC2−) é trivial pois o efeito de sinergia não é mais possível.

Para E2 (P, t; FC2+):

Condições de Contorno para a OR Exploratória E1A primeira OR exploratória é mais complexa por causa que eladeve considerar os ganhos de aprendizagem e de sinergia.

Para E1(P, t; FC1):

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Valor do Portfólio Com e Sem a Opção de EsperaO gráfico compara os casos com todos os efeitos (opção de espera de até 2 anos, aprendizagem e sinergia) com o casocom esses efeitos exceto a opção de espera (OR expirando).

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Correlation

Port

folio

Val

ue (m

illio

n $)

.

Portfolio with synergy, learning, option to wait

E1 + E2 (no learning, no synergy)

Portfolio at the Expiration (learning + synergy)

Processo de Revelação em Bacias Pouco ExploradasUm caso mais geral é quando se tem uma seqüência de sinaisque permitem revisar o fator de chance dum certo prospecto. A informação pode ser tanto custosa (nosso investimento) e/ougrátis, advinda do investimento de outras firmas (free-rider).

.Estimativahoje do FCdo prospecto

t = 0

Investimentoem informação(sísmica, etc.)

t = 1

Possíveis cenarios de FC depoisda chegada da informaçãodurante o primeiro ano do período exploratório

Vamos examinar um pouco as possibilidades dos processos de revelação.

Investimento em informação(custoso e free-rider)

t = T

Possíveiscenários parao FC do pros-pecto ao final do período de direitos de exploração.

Distribuiçãode Revelações

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Processos de Revelação de Bernoulli Processo de revelação de Bernoulli é uma seqüência de distribuições bivariadas de Bernoulli gerada pela interação de uma seqüência de sinais S com o FC do prospecto de interesse.

Se existe um seqüência de sinais (poços correlacionados sendoperfurados, sísmica) então existe um processo de revelação do FC

O processo pode ser totalmente convergente ou não, recombinante ou não

Como esses processos podem convergirpara uma distribuição com apenas doiscenários (caso de revelação total)?

ConclusãoFoi mostrado uma proposta p/ modelar a incerteza técnica a partir da distribuição a priori, como um processo de redução de variância gerado por exercícios de opções de aprendizagem.

A variância da distrib. de expectativas condicionais é igual à redução esperada de variância. Ela joga um papel similar à volatilidade.Essas distribuições podem ser combinadas com processos estocásticos neutros ao risco p/ valorar OR com incertezas técnicas e de mercado.

Foi apresentada uma medida de aprendizagem η2 que tem várias propriedades matemáticas favoráveis (axiomas).O caso do fator de chance (dist. de Bernoulli) de prospectos exploratórios foi analisado num contexto de portfólio de OR.

A medida de aprendizagem nesse caso é igual ao quadrado do coef. de correlação. Foram apresentadas propriedades dessa medida.Foi visto que, ao contrário do caso de portfólio de ativos financeiros, uma correlação positiva entre ativos reais é vantajosa, pois aumenta tanto o ganho de aprendizagem como o ganho de sinergia.Foi feito uma introdução aos processos de revelação de Bernoulli.

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MUITO OBRIGADO!

MATERIAL ANEXO

Os anexos nos materiais do curso contém slides que reforçam os conceitos teóricos e apresentamexemplos adicionais que não serão discutidos emsala de aula, mas que podem ser úteis para um melhor entendimento de conceitos apresentados.

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Incerteza Técnica e Neutralidade ao RiscoPor não demandar prêmio de risco, as distribuições de probabilidades das incertezas técnicas já sãonaturalmente neutras ao risco.

Elas não necessitam de nenhum ajustamento ao riscocomo ocorre com as incertezas de mercado, para poderusar a taxa de desconto livre de risco em modelos de OR.Logo, em modelos de OR pode-se combinar distribuiçõesde probabilidade neutras ao risco da incerteza econômicacom as distribuições advindas de incerteza técnica.

Veremos modelos de OR com simulação de Monte Carlo.Não demandar prêmio de risco é apenas um dos aspectosda incerteza técnica e não significa que ela seja menosrelevante que a incerteza de mercado.

Ao contrário dos acionistas, os gerentes podem fazer melhordo que apenas diversificar, eles podem alavancar o valor dafirma através do exercício ótimo de opções de aprendizagem

Modelagem de Incerteza Técnica para ORNa minha tese de doutorado desenvolvi uma teoria paraincerteza técnica e investimento em informação visandoprincipalmente as aplicações de opções reais. Resumo:

O conceito chave é processo de revelação como um processo de redução esperada de incerteza (medida pela variância).

Esse processo só ocorre com o exercício de opções de aprendizagemTrabalha-se com distribuições de revelações geradas pelo investimento em informação (exploração, P&D).Uso uma teoria para medidas de aprendizagem e proponho a medida η2 = redução percentual esperada de variância.

A medida η2 está diretamente ligada à teoria da distribuiçãode revelações (pois é a sua variância normalizada).

É fácil incorporar em modelos de P&D existentes, por ex., Martzoukos (2000) e Martzoukos & Trigeorgis (2001):

V(P; parâmetros incertos): dV/V = α dt + σ dz + Σι φi dq

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Incerteza Técnica: Ameaça e OportunidadeA incerteza técnica tem dois lados: o lado da ameaça de exercício subótimo da opção de desenvolver um projeto e o lado da oportunidade de investir em informação.Ameaça: a incerteza técnica diminui tanto o valor presentelíquido (VPL) dos projetos como o valor das opções reais.

A incerteza técnica quase certamente levará ao exercício da opçãoerrada de projeto de desenvolvimento (escala do investimento, tecnologia a ser usada e até padrões de segurança inadequados).

O projeto sub-ótimo gera ou over-investimento ou sub-investimento quandocomparado com o nível ótimo de investimento que maximiza o VPL ou OR.

Essa incerteza pode levar ao exercício da opção quando o melhoré não exercer a opção (esperar seria melhor p/ o verdadeiro valor).Pode levar ao não exercício da opção quando o melhor é exercer a opção logo (opção deep-in-the-money para o verdadeiro valor).Logo a incerteza técnica diminui o valor devido a decisões sub-ótimas, e não devido à taxa de desconto ou “utilidade do gerente”.

Oportunidade: modelos de opções de aprendizagem.

Incerteza Técnica: Ameaça e OportunidadeIncerteza técnica gera a ameaça de exercício sub-ótimo daopção desenvolvimento. Mas isso é somente um lado da moeda. Incerteza técnica cria também uma oportunidade: geraa opção de investir em informação antes da decisão de desenvolvimento (a opção de aprendizagem é valiosa)

• O valor dinâmico da informação será capturado pelo modelo de opções reais• Será usada uma equação ID(B) para o investimento ótimo de desenvolvimento

E[B]Volume esperadoda Reserva (antesde investir eminformação).

Investimentoem informação

33%

33%

33%

verdadeiro B | boas novas

verdadeiro B | novas iguais

verdadeiro B | más novas

Cenários Revelados(caso de revelação total)

Decisão coma informação

Investimentogrande

Investimentopequeno

Não investir

VPL Esperado

VPL de DesenvolvimentoSem Informaçãousa E[B] no dimens.

150 MM$

100 MM$

− 70 MM$

60 MM$

Com Informação

200 MM$

100 MM$

0

100 MM$

>

=

>>

Valor da informação perfeita = 40 MM$

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OR em Pesquisa e Desenvolvimento (P&D)Do ponto de vista da análise econômica, a atividade de P&D é parecida com a atividade de exploração de petróleo.

Ambas não geram receitas imediatas, mas são opções de aprendizagem que revelam informações (learning by doing) e novas opções de investimento no desenvolvimento de produtos (opçõescompostas). Ou seja, em caso de sucesso, geram opções de desenvolver produtos que, se exercidas, irão gerar receitas.

Além disso, projetos de P&D, assim como projetosexploratórios, têm valiosas opções de abandono que poderecomendar iniciar o projeto.

O gerente de P&D tem a opção, mas não a obrigação, de continuar o projeto de P&D. Só continua em caso favorável:limita as perdas ao investimento inicial e mantém o upside.Empresas farmacêuticas (que investem pesado em P&D e que

estão dentre as que mais usam OR) exercem com freqüência a opção de abandonar projetos de P&D que se revelam nãoatrativos: o segredo está na minoria dos projetos que obtémsucesso (e pagam com sobras todo o programa de P&D).

Uso de Opções Reais (OR) em P&DDiversas empresas americanas e européias usam OR

para analisar projetos de P&D. Alguns exemplos:Eletrônica: Philips (DVD nos anos 90´s e outros).Farmacêuticas: Merck, Schering Plough, Glaxo-WellcomeBiotecnologia: Genzyme Corp. (bio-cirurgia), etc.

O caso da Merck (investe ~ 1 bi/ano em P&D), reportado na Harvard Business Review (Jan/Feb, 1994), é bem conhecido.

Merck usa opções reais e teoria dos jogos. CFO Judy Lewent:“To me, all kinds of business decisions are options”;“Options analysis provides a more flexible approach to

valuing our research investments”;“When you make na initial investment in a research project,

you are paying na entry fee for a right, but you are notobligated to continue that research at a later stage”;

“... we have to ask ourselves, ‘Do we continue to invest?’Those are the kinds of decisions we face every day”.

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Fases dum Projeto de Remédio nos EUANos EUA existem fases bem definidas que devem ser trilhadas antes da aprovação do medicamento porparte do governo (Federal Drug Administration)

Essas fases são mostradas a seguir. Mas antes dessas fasesjá teriam tido outras, tais como o financiamente de Ph.D. e a pesquisa básica para obter o produto (descoberta).

Testes Pré-Clínicos(1 ano)

Fase I de experimentos(2 anos)

Fase II de experimentos(2 anos)

Fase IIIexperimentos(2 anos)

Aprovaçãoda FDA(1 ano)

Nos testes pré-clínicos e na Fase I são usados apenas animais. Nas Fases II e III são feitos testes em seres humanos. O investimento no desenvolvimento só se dá após a aprovação daagência (FDA). Existe a opção de abandono após cada fase.Depois ainda são feitos testes pós-aprovação, por ex., paradesenvolver extensões do produto, dosagens para crianças, etc.

Incerteza Técnica e Opções CompostasA incerteza técnica gera oportunidades de investimentosseqüenciais. Quando é que a primeira opção se torna“deep-in-the-money” (madura para o exercício imediato)?Para responder, veremos um exemplo simples em petróleo.

Seja um prospecto exploratório em que existe um fator de chance FC de achar petróleo (incerteza técnica na existência de petróleo) e, logo, com chance 1 − FC de ser um poço seco.

A opção exploratória E(P, t) é função do preço do petróleo P quesegue um MGB e do tempo t (ver abaixo). O preço de exercícioda opção é IW, que é o investimento no poço pioneiro (“wildcat”).Por simplicidade, assuma que a perfuração do poço é instantânea

Em caso de descoberta, a firma obtém uma opção real R(P, t)de desenvolver o campo. A opção é finita: existe um tempo legal máximo T (expiração) para a firma descobrir petróleo e se comprometer com um plano de desenvolvimento imediato.

O preço de exercício da opção de desenvolvimento é ID, o qual éassumido determinístico por simplicidade (assim como IW).

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Opções Compostas em ExploraçãoEm caso de exercício da opção exploratória E(P, t), obtém-se o valor monetário esperado VME = - IW + FC . R(P,t).Em caso de descoberta de petróleo e em caso de exercício da opção de desenvolvimento R(P, t), obtém-se o VPL de desenvolvimento: VPL = V(P) - ID.

Vamos assumir o modelo de negócios: V(P) = q B P, ondeq = qualidade da reserva e B = volume da reserva.

Como sempre, o problema é resolvido “backwards”, i.é, primeiro calcula-se R(P, t) e depois E(P, t).Seja P* o gatilho em que a opção de desenvolvimentoR(P, t) fica “deep-in-the-money” p/ o exercício imediato.Seja P** o gatilho em que a opção exploratória E(P, t) fica “deep-in-the-money” para o exercício imediato.

Além disso, é necessário que P** ≥ P*. Por que? Será visto.

EDP e cc’s da Opção de DesenvolvimentoA equação diferencial parcial (EDP) de R(P, t) é igual àEDP de Black-Scholes-Merton, já mostrada. Por que?

Essa EDP depende apenas de: (a) processo estocástico do ativobásico P (aqui MGB); (b) se o tempo t é variável de estado (é o caso); (c) se o derivativo R tem ou não fluxo de caixa (aqui nãotem). Como sempre, os detalhes do modelo ficam p/ as cc’s:

EDP:

Condiçõesde contorno (cc):

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EDP e cc’s da Opção ExploratóriaA EDP de E(P, t) também é igual à EDP de B&S&M. O que muda são as cc’s. A novidade aqui é que só éótimo exercer E(P, t) se, em caso de sucesso, a opçãoR(P, t) já estiver “deep-in-the-money”, i.é, P** ≥ P*.

Não tem sentido exercer a opção E(P, t) se depois o melhor for apenas esperar, pois com r > 0 é sempre melhor postergar IW.

A alternativa esperar dt é melhor pelo menos r IW dt do que a de exercer já E e depois esperar pelo menos dt para exercer R.

EDP:

Condiçõesde contorno (cc):

Exercício Antecipado de Opção CompostaOutra forma de ver que P** ≥ P*:

Seja o caso mais favorável com FC = 1 (⇒ com o menor P**).A opção R pode ser vista como ativo básico da opção compostaE (pagando IW se obtém R). Mas foi visto na parte 1 que existeum teorema mostrando que a condição necessária (mas nãosuficiente) para o exercício antecipado ótimo de uma opção call americana é o ativo básico pagar dividendos (fluxo de caixa). A opção R só “paga dividendos” se ela estiver “deep-in-the-money” (⇒ só se P ≥ P*), pois nesse haveria fluxo de caixa > 0. Logo, P** ≥ P*. Assim, foi provado para o caso de FC = 1.Se FC < 1, então P** é ainda maior que no caso FC = 1. (cqd)

Seja o caso geral em que a primeira opção pode revelar n(ou infinito) cenários que afetam o valor da 2a opção:

A condição necessária para o exercício antecipado da 1a opção éque, em pelo menos um cenário com probabilidade > 0, a 2a opçãoesteja “deep-in-the-money” de forma a ter fluxo de caixa > 0.

Aqui eram dois cenários, com o cenário “sucesso” com prob. FC > 0

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Solução Numérica: Simplicidade do MGBA solução do modelo (opções R e E e gatilhos P* e P**) énumérica e pode ser feita, por ex., com diferenças finitas.No entanto, mais uma vez podemos usar o código VBA fornecido, graças mais uma vez à homogeneidade em V e I da opção F(V, I, t), propriedade válida para o MGB.

Dada uma constante k, então: F(V, I, t) = k F(V/k, I/k, t). Ouseja, F(V, I, t) tem cc do tipo V − I, enquanto que F(V/k, I/k, t)tem cc do tipo V/k − I/k, a escala da opção é colocada nas cc.Com V = q B P, faz k = q B. Assim, o valor da nossa opção R(.)com cc. tipo q B P - ID, é k vezes R(.) com cc. do tipo P - ID/k.Além disso, vimos na parte 2 que se o preço P segue um MGB e o valor do projeto V é proporcional a P (i.é, V = k P), então V segue também um MGB e com os mesmos parâmetros (δ, σ) de P

Com o lema de Itô mostra-se que a EDP R(V, t) é igual a R(P, t), com V no lugar de P. Como as cc são iguais, a solução é igual.

Código VBA: faz V = q B P e preço de exercício ID, tem R(P, t). O gatilho V* obtido é dividido por q B para ter P* = V*/(q B).

Solução do Modelo para E(P, t)Para a opção E, também pode usar o mesmo software, mas o truque é um pouco mais sutil e usa P** ≥ P*.

Se chamar V’ = k’ P = FC q B P e preço de exercício igual a IW + FC ID, a EDP e as cc de E(V’, t) são iguais às de E(P, t). Nas cc., como em P** a opção R = VPL (pois P** ≥ P*), o valor da opção R(V’, t) obtido com o software é o mesmo de R(P, t). Com o gatilho (V’)* achamos P** = (V’)* / (FC q B).Ver planilha Excel que usa o mesmo código VBA de antes. Ela mostra, por ex., as curvas de gatilhos P*(t) e P**(t):

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Investimento em Informação em PetróleoUsaremos o modelo de negócios para o caso de exercícioda opção de desenvolvimento: VPL = V - ID = q B P − ID.

Nesse caso, q e B têm incertezas técnicas que podem ser reduzidas (aprendizagem) com o investimento em informação.Algumas alternativas de investimento em informação: a perfuraçãode um poço vertical; a perfuração de um poço horizontal; um testede longa duração em um poço; um sistema piloto de produção, etc.

Além disso, considere que a escala ótima de investimentode desenvolvimento ID depende do volume de reserva B:

Quanto maior B, maior o no de poços, capacidade da planta, etc.Análise de dados indica uma relação linear para ID(B) ótimo, dado B. Além disso, ID segue um MGB através da variável υ(t):

ID(B, t) = υ(t) [CF + CV . B]Onde CF (custo fixo) e CV (custo variável) são constantes.Devido à homogeneidade de grau zero (vale para MGBs) iremosusar a curva de gatilhos normalizados V/ID. Isso evitará que a cada sorteio de B tenhamos de recalcular os gatilhos.

Opção de Aprendizagem: Exemplo NuméricoParâmetros gerais: P(t = 0) = 20 $/bbl; r = 6% p.a.; δ = 6 % p.a.; σ = 20 % p.a.; ID (MM$) = 310 + (2,1 x E[B]) Distribuições a priori de q e B: B ~ Triang(300; 600; 900) em MM de bbl; e q ~ Triang(8%; 15%; 22%)Alternativa 1: perfurar um poço vertical. C1 = US$ 10 MM e leva t1 = 45 dias para aprender. η2(q | S1) = 40% e η2(B | S1) = 50%.Alternativa 2: perfurar um poço horizontal. C2 = US$ 15 MM e t2 = 60 dias para aprender. η2(q | S2) = 60% e η2(B | S2) = 75%.

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Momento Ótimo de Investimento em InformaçãoNo exemplo anterior foi considerado que o investimento eminformação é feito em t = 0. Adiar o aprendizado tem valor?

Como o custo de adquirir informação (Ck) é ~100 vezes menor que o custo de desenvolvimento ID, a opção de adiar Ck não é tão valiosa.O problema pode ser resolvido de forma similar, mas testanto o momento ótimo t** de investir em informação na fórmula de Wk:

No exemplo numérico anterior, o imediato investimento seriamelhor para as duas alternativas de investimento em informação

Distribuições de RevelaçõesDistribuição Quase-Definida: é uma distribuição em se conhece pelo menos a média, a variância e que pertence a um processo seqüencial de distribuições com distribuição inicial conhecida e que seja convergente a uma distribuição também conhecida.

Com o Teorema 1, as distribuições de revelações (ou de expectativas condicionais) são quase definidas, pois temos a média, a variância e conhecemos o valor inicial (ponto) e final (distribuição a priori) de um processo seqüencial. Na figura anterior, o tipo de distribuição é desenhado pontilhado por não sabermos exatamente o seu tipo.

Em muitos casos, a aproximação das distribuições serem de tipos iguais ao da distribuição a priori, é razoável.

No caso particular (mas muito importante na prática) das distribuições normais para X e S, as distribuições de revelações são totalmente definidas.

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O Caso Exato para Distribuições NormaisNo caso de distribuições normais p/ a variável de interesse e p/ o sinal, a distribuição de revelações é também normal para∀ redução de variância. Se X ~ N(mx, σx

2); S ~ N(ms, σs2):

Posteriores: X | S = si ~ N(mx + ρ σx ( si − ms) / σs, σx2 (1 − ρ2))

Para distribuições normais, redução % variância = ρ2.

Distribuições de Revelações

Exemplos de Distribuições Posteriores

Distribuições de expectativascondicionais

E[X | S] ~ N(mx, σx2 ρ2)

Aqui E[X | S] é distrib.Normal exata para ∀redução % de variância

Expectativa Condicional:

Para cada % reduçãode variância, existeminfinitas distribuiçõesposteriores e uma únicadistrib. de revelações.

Distribuição de Revelações e AplicaçõesLogo, num problema de OR com incerteza técnica em X, o exercício da opção de aprendizagem gera distribuiçõesde revelações das variáveis com incerteza técnica.

Essas distribuições de revelações podem ser combinadas com processos estocásticos neutros ao risco num modelo de OR.A distribuição de revelações é obtida com a distribuição a prioride X e a redução % esperada da variância η2(X | Sk), a qualmede a aprendizagem sobre X advinda da revelação do sinal Sk.

Ex.: um projeto de P&D de um novo processo industrial, tem fator de chance FC e irá revelar cenários (aprender) sobre os seguintes fatores com incertezas técnicas:

Consumo de combustível/produto (entra na função custo oper.)MTBF, que influencia a receita acumulada e o custo operacion.Fator custo de material, que influencia o investimento (preçode exercício da opção de desenvolvimento, depende do P&D);Qualidade do produto q, que influencia a função receita.

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Alternativas de Investimento em InformaçãoAplicação: considere um campo de petróleo já descoberto, com alguma incerteza técnica em q e B. Sejam K alternativasmutuamente exclusivas de investimento em informação

Qual a melhor alternativa? Quanto vale o campo não-desenvolvido?Métodos tradicionais de valor da informação (VOI), são limitados:

Consideram apenas alguns poucos cenários (típico = 3) revelados;Muitas vezes assumem informação perfeita (revelação total com Sk);Não comparam alternativas de investimento em informação com diferentes custos e diferentes potenciais de aprendizagem;Não consideram as interações das incertezas técnicas com as de mercado, apesar de ambas afetarem o valor econômico da reserva;Ignoram o tempo legal de expiração dos direitos e o tempo de aprender

A solução aqui irá considerar 5 variáveis de estado: tempo (existeuma expiração de direitos); 2 processos estocásticos correlacionados(MGB), o preço do petróleo P e o investimento no desenvolvimentoID (que será função de B); e as v.a. com incerteza técnica q e B.

Dados: distribuições a priori de q e B e as medidas η2(q | Sk) e η2(B | Sk).Nesse contexto, o valor da informação é dinâmico (considera o tempo)

Fator de Chance e Distribuição de BernoulliFoi visto que o fator de chance dá a probabilidade de sucesso de um prospecto e é usada no cálculo: VME = − IW + FC . VPL

FC tem distribuição de Bernoulli, um parâmetro e dois cenários (0 e 1)

FC em petróleo é função (produto) de seis fatores: probabilidades de existência de rocha geradora, migração, rocha reservatório, trapa geométrica, retenção (sêlo + preservação) e sincronismo geológico.

Aqui a v.a. técnica de interesse é o FC de um prospecto e o sinal S é o FC de outro prospecto, também v.a. de Bernoulli (0 ou 1)

Se o sinal Sk = 1, então revisa p/ FC+, se Sk = 0, então revisa p/ FC−

Logo, para estudar o poder de revelação de um sinal em relação a FC é necessário estudar a distribuição bivariada de Bernoulli

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Distribuição Bivariada de BernoulliA distribuição bivariada de Bernoulli é dada abaixo:

Os dois cenários da distribuição de revelações, FC+ e FC-

são:

Como P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), então:

Processos de Descoberta e de RevelaçãoProcesso de Descoberta Exploratória: é uma seqüência de exercícios de OR de aprendizagem com diferentes custos e tempos de aprendizagem e diferentes poderes de revelação que culminam na descoberta de depósitos de petróleo.

Essa seqüência de atividades pode ser: reconhecimento de superfície (afloramento geológico, etc.), pesquisas magnéticas, graviométricas, sísmicas e perfuração de um ou mais poços pioneiros.

Processo de Revelação Exploratória: modela o efeito probabilístico na variável de interesse de um processo de descoberta. Essa variável pode ser o FC, volume in place, oAPI.Processo de revelação de Bernoulli é uma seqüência de distribuições de revelações geradas por seqüência de distribuições bivariadas de Bernoulli advindas da interação de uma seqüência de sinais S com o FC do prospecto de interesse.

Se existe um seqüência de sinais (poços correlacionados sendoperfurados, sísmica) então existe um processo de revelação do FC.

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Asymmetric Oilfields Development OptionsIn this case, for low values of synergy factor (γsyn), it is possible cases where R1+2 < R1 + R2, that is, instead wait for the joint development (exploiting synergy), we can wait for the best oilfield development threshold.

Option to Delay in the Exploratory Portfolio The decision tree shows the two-compound options portfolio with the option to delay, in addition to learning and synergy.

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1k

1

ηη 1 + (k 1) η

=−

Processos de Revelação RecombinantesUm caso de interesse devido a simplicidade é o caso de processo de revelação de Bernoulli para distribuições intercambiáveis e com cenários recombinantes.

Nesse caso, dado a medida de aprendizagem inicial η1, para recombinar a medida após o sinal k deve ser:

A cada sinal k a variância de FC reduz em (1 − ηk2).

No caso intercambiável recombinante, não existe convergência p/ a revelação total (p/ variância zero) e sim para (1 − η1) pois:

22 1k 2

1

η1 η 1 [1 + (k 1) η ]

− = −−

e

2n1

12n k = 1 1

ηlim 1 1 η

[1 + (k 1) η ]→ ∞

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟−⎝ ⎠

∏