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ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR OPERACIONES CON POLINIMIOS

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO

EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

3-1

OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS.

En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos debajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la reducción de éstos, separados unos de otros con sus respectivos signos.

Ejemplos: Hallar las sumas:

a) c2b3a −+ con c3b2a ++ . De acuerdo con lo indicado se tiene.

05b5a ++

++

−+

c3b2a

c2b3a

b) 5c4b7a +− con 6c4b7a −+− . Ordenando:

c00 −+

−+−

+−

6c4b7a

5c4b7a

c) 53y9x +− con 4yx +−− y 94y5x −+− . Ordenando:

003x ++

−+−

+−−

+−

94y5x

4yx

53y9x

d) xy3

1x

3

1 2 + con 2y4

1xy

2

1+ . Ordenando:

22

2

2

y4

1xy

2

1xy

3

1x

2

1

y4

1xy

2

10

0xy3

1x

2

1

+++

++

++

Simplificando:

22 y4

1xy

6

5x

2

1++=+

++

22 y

4

1xy

6

32x

2

1

e) 4cd3bc5ab +− , 3de2cd2bc −+ , 3de2ab4bc +− y ab6cd3bc −−− . Ordenando:




3-2

0002ab +++

+−−−

+++−

−++

++−

06cd3bcab

3de04bc2ab

3de2cd2bc0

04cd3bc5ab

f) ba)(2bd)c(bd)c(bb)(a =−+−+++−−−=−+−++−+−− a2bdcbdcbba

g) 222

222222222

cba

)b(ac)c(ab)c(ba

−+−=+−−−−++−=

=−−−+−+−−22222222 baccabcba 2

h) 7ba

6b]6a[3b6a2ba2

2

−=

=−+−+=+−−−+=+−−−+ 9b6a6a2ba9b]6a[6a2ba 22

i) 2z4y

z)yx(z)yx(z)y(xz)y(x

−=−++++−−+−−+=

=+−−−++−++−−−+

zyxzyxzyxzyx

j) 2

232323

3x

8)2x4x(x7)xx(3x1)x2x(4x

=−−+−+++−+−=

=++−−−−−−++−

+ 82x4xx7xx3x1x2x4x 232323

2. RESTA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS

Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándose el signo a todos sus términos.

La resta se realiza de igual manera que la suma de polinomios.

Ejemplos:

a) De ba + restar ba − . Ordenando:

diferencia2b+

+−

+

sustraendoba

minuendoba

b) De 3b8a + restar 43a +− . Ordenando:

diferencia43b11a −+

−

+

sustraendo43a

minuendo3b8a

c) De 2z3y4x −− restar 7z2y3x ++− . Ordenando, se tiene:




3-3

diferencia9z5y7x −−

−−

−−

sustraendo7z2y3x

minuendo2z3y4x

3. MULTIPLICACIÓN

Multiplicación de monomios. Para multiplicar un monomio por otro, se empieza por aplicar la regla de los signos para la multiplicación, después se multiplican los coeficientes y finalmente las literales; si éstas son todas diferentes se colocan unas a continuación de las otras con sus propios exponentes y sin signos intermedios. Cuando intervienen potencias con la misma base, se conserva la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplos:

a) 22ba(ab)(ab) = b) gedbc72ag)e8d)(bc9a( 43234323 =−−

c) xy15a3ax)(5ay)( 2−=− d) ( ) zyx4

55xzxy

4

1 222 −=−

e) 7534342 zy24x)4xyz)(zy(6x −=− f) 92x7x2x 15a))(5a(3a +++ =

Multiplicación de un polinomio por un monomio. Para multiplicar un polinomio por un

monomio, se multiplica éste por todos y cada uno de los términos del polinomio, tomando en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados.

Ejemplos:

a) 2345223 8x4x2x6x)2x4)(2xx(3x +−+−=−−+−

b) 36262435255324 bc18acb36acb15a3abc))(c6ac12abcb(5a ++−=−−−

c) 6n22m5n12m3n2m3m3n2m2n1mnm b4ab12ab4a)b)(4abab3ab(a +−+−++−+− −+=−+

Multiplicación de polinomios. Para multiplicar un polinomio por otro, se multiplican todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados; finalmente se hace la correspondiente reducción de términos semejantes.

Ejemplos:

a) 5x12xx

5)2xx)(x2x(x25

223

−+=

=−+−+−++−=+−+ − 5x2xx10x4x2x5x2xx 23234345

b) 4224

2222

yyxx

xy)yxy)(xy(x

++=

=−−−+++++=++−+ 223334223224 yxxyyxxyyyxyxyxx




3-4

c) 42332456

222234

babab2aba3a

)b2ab)(3ababa(a

+−++=

=+−++−++−=

=+−++423324332452456 bab2ab3abab2ab3abab2a3a

d) abcacxbcxcxabxaxbxx

c)b)(xa)(x(x2223 −++−+−−=

=−+−−=−−− c)ab)(xaxbx(x 2

4. DIVISIÓN

División de un monomio entre otro monomio. Para dividir un monomio entre otro, primero se aplica la regla de los signos para la división, después se dividen entre si los coeficientes y finalmente las literales. Cuando éstas son diferentes pueden conservarse en el mismo lugar, pero cuando se trata de potencias con la misma base se restan los exponentes.

Ejemplos:

a) ed

cxyb5a

ecdb9a

xycb45a4

363

422

3285

−=−

b) 2abb2a

b4a2

23

−=−

c) 5mx4xy

y20mx3

32

−=−

d) 3a2n1m32

anm

zyx3

1

z3xy

zyx −−−−=−

División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos los términos del polinomio

entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos.

Ejemplos:

a) 2222

3b2aba3a

9abb6a3a+−=

+−

b) 3

1bab2a

b3a

bab3ab6a 345632

326688

−−=−−

c) 7xyzy3xz12yzy7x

zy49xzy21xzy84x 2253322

43344852

−−=−− 3

d) 1m1m3m3

4m2mm

2aaa3

2

3a

6a3a2a +−−++

−+−=−

+−




3-5

e) 4b3abb2ab2a

b8ab6ab4a 2324m2x

3m2x2m3x1m4x

−+−=−

+−−+

−+−+−+

División de un polinomio entre otro polinomio. Sobre la base de la división aritmética, se

dará un método para la división entre polinomios. 111 Se ordenan los términos del numerador y del denominador con relación a una letra, en

orden de potencias decrecientes. 211 Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador para

obtener el primer término del cociente. 311 Se multiplica el cociente obtenido por cada término del denominador, colocando el

resultado en columna (debajo del término semejante en caso de existir, si no tiene semejante en el numerador se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación de potencias), para poder sustraerlo del numerador al producto se le cambia de signo.

411 Considerar el residuo obtenido como un nuevo numerador y repetir los pasos 211 y 311 para

encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo. 511 Continuar el proceso hasta obtener un residuo que sea de menor grado que el grado del

denominador. Si el residuo es cero, la división es exacta, y se puede expresar como:

divisor

dividendo

rdenominado

numerador== cociente

Si el residuo es diferente de cero, se puede expresar como:

rdenominado

residuo

rdenominado

numerador+= cociente

Ejemplos

a) Dividir 22 3b4aba ++ entre ba + . Podemos expresarlo como:

divisor

o

rdenominado

dividendo

0

numerador

ba

3b4aba 22

=+

++

Para la solución hacemos uso del símbolo ,llamado galera, por lo que tendremos:




3-6

5a3 + 5a2 + 6a + 4

a – 1 5a4 + 0a3 + a2 – 2a – 3 -5a4 + 5a3 0 + 5a3 + a2 – 2a - 3 - 5a3 + 5a2 0 + 6a2 – 2a - 3 - 6a2 + 6a 0 +4a - 3 - 4a + 4 0 + 1 =

División no

b) Dividir: 82x3x 2 −+ entre 2x + . Siguiendo los pasos de ejemplo anterior, se tiene:

c) Dividir 242 9x35x9x31x −+− entre 3x5x 2 + . Arreglando dividendo y divisor en orden decreciente de sus potencias tenemos:

d) Dividir 3a2a5a 24 −+− entre 1a − . Ordenando se tiene:

denominadoro

divisor

a + b a2 + 4ab + 3b2 -a2 - ab 0 + 3ab + 3b2 - 3ab - 3b2

0 + 0

a + 3b

numerador o

dividendo

cociente

Residuo =

Es una división exacta

7x2 +2x - 3

5x2 + 3x 35x4 + 31x3 – 9x2 – 9x - 35x4 – 21x3 0 + 10x3 – 9x2 – 9x - 10x3 – 6x2 0 - 15x2 – 9x + 15x2 + 9x 0 división exacta

3x – 4

x + 2 3x2 + 2x – 8 - 3x2 - 6x 0 - 4x – 8 + 4x + 8 0 = residuo; división exacta




3-7

Por lo que, también se puede expresar como:

−++++=

−

−−+

1a

146a5a5a

1a

32aa5a 2324

e) Dividir 43223 y5xyyxyx +−+ entre yx −

i) Ordenando con respecto a x; tenemos:

ii) Ordenando con respecto a y; tenemos :

f) Hacer la división de 12aaa 24 −−− entre 1aa 2 ++ . Ordenando:

x2y + 2xy2 – 3y3

x – y x3y + x2y2 – 5xy3 + y4 - x3y + x2y2

0 + 2x2y2 – 5xy3 + y4 - 2x2y2 + 2xy3

0 - 3xy3 + y4 + 3xy3 - 3y4 0 - 2y4 División no exacta

-y3 + 4xy2 + 3x2y + 2x3

- y + x y4 –5xy3 + x2y2 + x3y - y4 + xy3 0 – 4xy3 + x2y2 + x3 y + 4xy3 - 4x2y2 0 - 3x2y2 + x3y + 3x2y2 – 3x3y

0 - 2x3y + 2x3y - 2x4 - 2x4 División no exacta

a2 – a – 1

a2 + a + 1 a4 – 0a3 – a2 – 2a- 1 - a4 – a3 – a2 0 – a3 – 2a2 – 2a – 1 + a3 + a2 + a 0 – a2 – a – 1 + a2 + a + 1 0 División exacta




3-8

g) Dividir 64x7x2x6xx 2536 +−−−+ entre 23xx 24 +− . Ordenando y dividiendo:

h) Efectuar la siguiente división: 32x − 32x3x7x 43 −+− . Ordenando tenemos:

16

61x

8

15x

4

5x

2

3 23 +++−

32x0x7x3x32x 234 −+++−−

34 x2

9x

2

6−+

32x0xx2

50 23 −+++

23 x4

15x

4

10+−

32xx4

150 2 −++

x8

45x

8

30 2 +−

3x8

610 −+

16

183x

16

122+−

16

1350 + División no exacta

x2 – 2x + 3

x4 – 3x2 + 2 x6 – 2x5 + 0x4 + 6x3 – 7x2 – 4x + 6 - x6 + 0 + 3x4 + 0 – 2x2 0 – 2x5 + 3x4 + 6x3 – 9x2 – 4x + 6 + 2x5 + 0 – 6x3 + 0 + 4x 0 + 3x4 + 0 – 9x2 + 0 + 6 - 3x4 + 0 + 9x2 + 0 – 6 0 División exacta




3-9

i) Efectuar la siguiente división:

b3

1a

2

1−

b2

1a

3

1+ 22 b

6

1ab

36

5a

6

1−+

ab4

1a

6

1 2 −−

2b6

1ab

9

10 −−

2b6

1ab

9

1++

0 División exacta j) Hacer la división que se indica:

22 6b5aba +−

22 4b3ab2a +− 432234 24b38abb31ab13a2a +−+−

2234 b4ab3a2a −+−

43223 24b38abb27ab10a0 +−+−

3223 20abb15ab10a +−+

4322 24b18abb12a0 +−+

4322 24b18abb12a- −+ 0 División exacta

5. DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO EN x ENTRE UN BINOMIO DE LA FORMA x - a

Se llama polinomio en x aquel en que la literal de este nombre está afectada exclusivamente de exponentes enteros y positivos en todos los términos en que participan, en los cuales de una vez establecemos cierto orden, porque su manejo resulta mas sencillo si de preferencia están ordenados conforme a las potencias decrecientes de x o de y ó de z, si tuviéramos que emplear estas literales.

Ejemplos:

1) 613x7x8x3x4x5x 23456 −−+++−

2) 78xx 24 −+

3) 8x 3 −

Si una expresión no satisface el requisito de que los exponentes de la literal fundamental, sean enteros y positivos, no debe llamarse polinomio, sino simplemente suma de términos, como es

el caso del siguiente ejemplo: 34x3x2x 21

23 +−− Al referirnos a la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma ax − ;

previamente debemos aclarar que dicho binomio siempre tiene la forma ax − , nada más que el




3-10

número a por si solo, puede ser positivo o negativo y esto origina que a veces el signo de liga entre los dos términos del binomio sea positivo (+) como se ve a continuación.

3x3)(x;2x2)(x +=−−−=+−

Según lo anterior, dado un binomio de esta naturaleza, el número a siempre debe considerarse con signo contrario al que tenga en el binomio. El teorema del residuo. Expresa que el residuo resultante al dividir un polinomio en x entre un

binomio de la forma ax − puede calcularse, sin necesidad de hacer la división; si en el polinomio sustituimos en el lugar de x el número a, precisamente tomado con signo contrario al que tenga el binomio.

Demostración. Para su demostración, supondremos que p(x) simboliza a cualquier polinomio en x;

que Q(x) simboliza, también, al polinomio en x que resulta como cociente al dividir el polinomio en x entre el binomio ax − , y que R es el residuo correspondiente de dicha división.

De acuerdo con esto tendremos:

ax

RQ(x)

ax

p(x)

−+=

−

Despejando:

Ra)Q(x)(xp(x) +−=−−

+−=

a)(xax

Ra)Q(x)(x

Si en esta última expresión sustituimos a x por (+ a), obtendremos:

p(a)R =∴+=+−+=+ R0Ra)a)(aQ(a)p(

Queda demostrado el teorema del residuo, y que es de gran interés, porque así podremos

averiguar anticipadamente si una división de este tipo, va a ser exacta, cuando el residuo calculado valga cero. Ejemplos: 1) Aplicando el teorema del residuo, diga si la siguiente división es exacta o no.

2x

613x7x8x3x4x5x 23456

+

−−+++−

En el polinomio en x se sustituye el número a, tomado con signo contrario al que tenga en el binomio, es decir (- 2)

480R480

R

=∴=−=

=−++−++=−++−++−−=

=−−−−+−+−+−−−=−==

70550

6262864481283206267(4)8)8(3(16)32)4(5(64)

62)13(2)7(2)8(2)3(2)4(2)5(2)p(p(a) 23456

Sin hacer la división, el residuo es 480. Para comprobar efectuamos la división:




3-11

2) Aplicando el teorema del residuo, decir si la división siguiente es exacta o no.

1x

613x7x8x3x4x5x 23456

−

−−+++−

Aplicando el teorema del residuo tenemos.

0R0

R

=∴=−=−−+++−=

=−−+++−===

232361378345

613(1)7(1)8(1)3(1)4(1)5(1)p(1)p(a) 23456

Comprobación:

5x5-14x4+31x3-54x2+115x-243

x+2 5x6 -4x5+3x4 -8x3 +7x2 -13x -6 -5x6-10x5 0 -14x5+3x4 +14x5+28x4 0 +31x4 +8x3 -31x4-62x3 0 -54x3 +7x2 +54x3+108x2 0 +115x2 -13x -115x2-230x 0 -243x -6 +243x+486 0 +480 = Residuo = 480

5x5+x4+4x3+12x2+19x+6

x-1 5x6 -4x5+3x4 +8x3 +7x2 -13x-6 -5x6+5x5 0 +x5+3x4 -x5+x4 0+4x4 +8x3 -4x4 +4x3 0 +12x3+7x2 -12x3+12x2 0 +19x2-13x -19x2+19x 0 +6x-6 -6x+6 0




3-12

6. DIVISIÓN SINTÉTICA O SIMPLIFICADA.

Tiene por objeto determinar el cociente de un polinomio en x entre un binomio de la forma ax − , de una manera sencilla y rápida, aplicando los siguientes pasos, en el ejemplo que ya se ha

visto.

619x12x4x1x5x1x

613x7x8x3x4x5x 234523456

+++++=−

−−+++−

Primero. Se divide el primer término del dividendo (5x6) entre el primer término del divisor

(x), para obtener el primer término del cociente (5x5) Segundo. Se multiplica el coeficiente del primer término del cociente (5) por el segundo

término del divisor tomado con signo contrario al que tenga el binomio (+1), y el producto resultante (+ 5) se suma algebraicamente al coeficiente (-4) del término de grado inmediato inferior en el dividendo; el resultado obtenido (+1) será al coeficiente del segundo término del cociente el cual se escribe en el lugar respectivo acompañado de la literal x afectada de un exponente una unidad menor, respecto del término anterior(+1x4).

Tercero. El nuevo coeficiente (+1) se vuelve a multiplicar por el segundo término del divisor

con signo contrario y el producto (+1), nuevamente se suma al coeficiente (+3) del siguiente término del dividendo, obteniéndose (+4) que es el coeficiente del tercer término del cociente, al que se volverá acompañar de la literal x con un exponente otra unidad menor(+4x3)

Cuarto. Y así sucesivamente.

Ejemplos:

1) 28xx2x

414x8x2xx 3234

−−=−−+=−

++−−28x0xx 23

Aplicando el teorema del residuo:

0R04283216162)p(R =∴=++−−=+= División exacta

2) 1x

215x8x9x 25

+

+−−

Completando el dividendo y dividiendo, se tiene:

217x9x9x9x1x

215x8x0x0x9x 2342345

+−+−=+

+−−++

3) 2x

804x3x 25

+

++

Completando el dividendo y dividiendo, se tiene:

4020x12x6x3x2x

800x4x0x0x3x 2342345

+−+−=+

+++++




3-13

4) 648x16x2x

2

1x

3268x17x2x 2334

−−+=

+

−−++=

+

−−+

2

1x

3268x0x17x2x 234

5) 43223454233245

2bx2bx3bbxx2x

4bx6bx8bx5b3bxx

b+−+−=

−

−+−+−

8. PRODUCTOS NOTABLES.

Se llama así a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación.

Existen varios tipos de productos notables, algunos de los cuales se muestran a continuación. 1. Cuadrado de la suma de dos cantidades (cuadrado de un binomio) Si elevamos, la suma

ba + al cuadrado, equivale a multiplicar por si mismo ese binomio es decir que:

b)b)(a(ab)(a 2 ++=+

Desarrollando este producto tendremos:

0 sea que; 222 b2abab)(a ++=+

Cuyo resultado se puede expresar: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de los dos términos más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

1) 168xx4)(x 22 ++=++=+ 22 (4)2(x)(4)x

2) 42222 25b40ab16a)5b(4a ++=++=+ 222 )(5b)2(4a)(5b(4a) 2

3) 625xx30a9a)5x(3a 324232 ++=+

4) 105482254 81yy126axx49a)9y(7ax ++=+

5) 4222 9x6x1)3x(1 ++=+

6) 42222422 ybbxy2axa)byx(a ++=+ 2

a + b a + b a2 + ab + ab + b2 a2 + 2ab + b2




3-14

7) 22x1xx2x21xx bb2aa)b(a +++ ++=+

8) 42x2x1a22a22x1a yy2xx)y(x −−++−+ ++=+

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar ba − al cuadrado, equivalente a

multiplicar ese binomio por si mismo o sea: b)b)(a(ab)(a 2 −−=−

Desarrollando tendremos:

o sea que 222 b2abab)(a +−=− . Ya que: 222 a2baba)(b +−=−

Por lo que: 22 a)(bb)(a −=−

El cual se puede expresar como; El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

1) 2510x5)(x 22 x +−− =

2) 632432 9bb24a16a)3b(4a +−=− 2

3) 102546253 y81xy180x100x)9xy(10x +−=−

4) 2510a5)(a 2x42x22x a +−− −−− =

5) 42a12a22a22a1a 9x6xx)3x(x −−+−−++−+ +−=+−=− 42a2a1a22a 9xx6xx 3. Producto de la suma por la diferencia de dos términos. Sea el producto. b)b)(a(a −+ , que

desarrollado nos da:

a - b a - b a2 - ab - ab + b2 a2 - 2ab + b2




3-15

Esto es: 22 bab)b)(a(a −=−+ Lo que significa que: el producto de binomios conjugados, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

1) 22 xax)x)(a(a −=−+

2) 4x2)2)(x(x 2 −=−+

3) 22 9b4a3b)3b)(2a(2a −=−+

4) 2m22nm1n 9a25a)3a(5a −=− ++

5) 14a1)1)(2a(2a2a)1)(1(2a 2 −=+−=+−

4. Cubo de un binomio. Sea b)(ab)(ab)b)(ab)(a(ab)(a 23 ++=+++=+ . Desarrollando:

a2 + 2ab + b2 a + b a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Por lo tanto: 32233 b3abb3aab)(a +++=+

Que se puede enunciar como: El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término.

5. Diferencia de un binomio al cubo. Se desarrolla análogamente a la suma, es decir el caso

anterior, por lo que, desarrollando: a2 - 2ab + b2 a - b a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Por lo tanto: 32233 b3abb3aab)(a −+−=−

a + b a - b a2 + ab - ab + b2 a2 + 0 + b2




3-16

Lo que nos dice que: El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término.

Ejemplos

1) 13a3aa1)(a 233 +++=+++=+ 3223 (1)3(a)(1)(1)3(a)(a)

2) 812x6xx2)(x 23 −+−=−+−=− 32233 (2)3(x)(2)(2)3(x)x

3) 2754x36x8x3)(2x 233 +++=+++=+ 3223 (3)3(2x)(3)(3)3(2x)(2x)

4) 125300x240x64x5)(4x 233 +++=+++=+ 3223 (5)3(4x)(5)(5)3(4x)(4x)

5) 64232 a3a3a1)a(1 −+−=−+−=− 3222223 )(a)3(1)(a)(a3(1)1

6. Producto de dos binomios que tienen un término común. Sean los binomios: b)(a + y

c)(a + . Su producto es: a + b

a + c a2 + ab + ac + bc a2 + ab + ac + bc = a2 + a(b + c) + bc

Por lo que: bcc)a(bac)b)(a(a 2 +++=++

El cual se expresa como: el producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del común por la suma de los no comunes, más el producto de los no comunes.

Ejemplos: 1) 145xx2)7)(x(x 2 −+=−+−+=−+ 2)(7)(2)x(7x 2

2) 4213xx6)7)(x(x 2 +−=−−+−−+=−− 6)7)((6)7x(x2

3) 2140x16x3)7)(4x(4x 242 ++=+++=++ (7)(3)3)(74x)(4x 2222

4) 107xx(2)(5)2)x(5x5)2)(x(x 22 ++=+++=++ 7. Producto de dos binomios de la forma:

abbm)x(anmnxb)a)(nx(mx 2 +++=+++=++ abbmxanxmnx2




3-17

Es decir: abbm)x(anmnxb)a)(nx(mx 2 +++=++

Ejemplos:

1) 12x20x

4)3)(5x(4x2 −+=−+−+=

=−++−+=+−

1216)x15(20x

3)(4)((4)(4)]x3)(5)[((4)(5)x

2

2

2) 410x6x1)4)(3x(2x 2 −−=−+−+=+− 42)x12(6x 2

8. El trinomio cuadrado perfecto: c)bc)(ab(ac)b(a 2 ++++=++ . Desarrollando las

operaciones indicadas se tiene.

a + b + c a + b + c

a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2

a2+ 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c2

Ordenando tenemos:

2bc2ac2abcbac)b(a 2222 +++++=++

Ejemplo:

12ab6b4a9b4a1

3b)2a(122

2

+++++=

=+++++=++ 2(2a)(3b)2(1)(3b)2(1)(2a)(3b)(2a)(1) 222

9. Suma de cubos. Dado el producto: )babb)(a(a 22 +−+ . Efectuando la operación de

multiplicación indicada tenemos:

a2 - ab + b2 a + b a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2+ b3 a3 + 0 + 0 + b3

Por lo que: 3322 ba)babb)(a(a +=+−+

10. Diferencia de cubos. De la misma manera, desarrollando el producto )babb)(a(a 22 ++− ,

tenemos: 32222322 babbaabbaa)babb)(a(a −−−++=++− .

Es decir: 3322 ba)babb)(a(a −=++− Ejemplos:

1) 3322 216y8x)36y12xy6y)(4x(2x −=−=+−+ 33 (6y)(2x)




3-18

2) 44

22

192xyy81x

)16y12xy4y)(9x3xy(3x

−=−=

=−=++−

)64y3xy(27x

](4y)3xy[(3x)

33

33

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