que número devemos somar ao numerador e denominador da fração

Que número devemos somar ao numerador e denominador da fração para que tenha um aumento de 20%?

- O exercício pede para somarmos o mesmo número no numerador e no denominador da fração. Vamos chamar este número de "X".

Para ter um aumento de 20%, o valor deve ser multiplicado por 1,2, ou seja, deve ser multiplicado por . Multiplicando nossa fração, teremos:

Portanto, o exercício pede qual o valor "X" que devemos somar no numerador e no denominador da fração para

que ela vire

Armando a equação que resolve este problema, temos:

Progressão Aritmética - Termo Geral

Para um melhor estudo de PA's, vamos agora dar "nome aos bois". Como exemplo, vamos usar a progressão dada anteriormente:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e assim por diante. Para não desperdiçar lápis e papel, cada termo de uma PA tem seu nome: o primeiro é chamado, normalmente, de a1, o segundo de a2, o terceiro de a3 e assim sucessivamente. Então, nesta PA:

a1 = 1a2 = 3a3 = 5a4 = 7...

O número que aparece no nome do elemento é a "ordem" dele. Ou seja, a1 é oprimeiro, a2 é o segundo, etc.

Quando temos um termo que não sabemos sua posição, chamamos de an, onde "n" é a posição ocupada pelo termo em questão. Este é o termo geral, pois pode ser qualquer um.

Voltando ao exemplo.

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

Como é uma PA, segue um "ritmo definido" (ritmo este que é a soma de 2 unidades a cada elemento que acrescentamos). Este ritmo também tem um nome: se chama "RAZÃO" e é representada por "r"minúsculo. Portanto, o segundo termo será a soma do primeiro mais a razão; o terceiro será a soma do segundo mais a razão...

Vemos no nosso exemplo que cada próximo termo da progressão é acrescido de 2 unidades, portanto r = 2.

QUADRO 1a1 = 11= 1a2 = 31= 1 + 2a3 = 51= 1 + 2 + 2a4 = 71= 1 + 2 + 2 + 2a5 = 91= 1 + 2 + 2 + 2 + 2

... ...

QUADRO 2a1 = 1= a1

a2 = 1= a1 + ra3 = 1= a1 + r + ra4 = 1= a1 + r + r + ra5 = 1= a1 + r + r + r + r

... ...

No quadro 2 acima, vemos que cada termo que aumentamos, colocamos mais uma vez a soma da razão. Vamos rescrever os valores do quadro 2:

QUADRO 2a1 = 1= a1 a1= a1 + 0.r1

a2 = a1 + 1.r

a3 = a1 + 2.r

a4 = a1 + 3.r

a5 = a1 + 4.r

...

a2 = 1= a1 + ra3 = 1= a1 + r + ra4 = 1= a1 + r + r + ra5 = 1= a1 + r + r + r + r

... ...

Note, na coluna destacada, que sempre irá aparecer o primeiro termo (a1) somado com algumas vezes a razão. Há uma relação entre a posição do termo e o número de vezes que a razão aparece (os números grifados em verde no quadro), tente achar esta relação e diga, como seria o termo a22?

Isso mesmo, a22= a1 + 21.r.

Ou seja, se no terceiro termo temos 2 vezes a razão, no quarto termo temos 3, etc. A relação entre tais valores é que o número de vezes que a razão irá aparecer é uma unidade a menos que a ordem do elemento.

Portanto, se quisermos achar o termo de ordem "n" (termo genérico), iremos somar o a1 com (n-1) vezes a razão. Podemos mostrar uma "fórmula" para calcular qualquer termo de uma P.A.:

an = a1 + (n - 1).r

Obs.: Uma PA é dita estacionária quando sua razão vale ZERO.

Exercícios:

Qual a razão em cada uma das progressões abaixo?

(A) ( 1, 2, 3, 4, ... )(B) ( 10, 17, 24, ... )(C) ( -5, -4, -3, ...)(D) ( 10, 1, -8, ...)(E) ( -5, -10, -15, ...)(F) ( 1/2, 1, 3/2, ...)(G) ( x, x+2, x+4, ...)

Respostas:1 (A)7 (B)1 (C)

-9 (D)-5 (E)

1/2 (F)2 (G)

Progressão Aritmética - Exercícios

1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema: a1=5 r=11 a13=? - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:

a13 = 5 + (13 - 1).11 a13 = 5 + (12).11 a13 = 5 + 132 a13 = 137

2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:

a5 = a1 + (5 - 1).r 100 = a1 + (5 - 1).10 100 = a1 + 40 100 - 40 = a1

a1 = 60

3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:

a7 = a1 + (7 - 1).r Substituindo pelos valores 21 = a1 + 6r

a9 = a1 + (9 - 1).r Substituindo pelos valores 27 = a1 + 8r

Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações.

Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:

a1 = 21 - 6r

Agora, substituindo na segunda:

27 = (21 - 6r) + 8r 27 = 21 + 2r 27 - 21 = 2r 6 = 2r 6/2 = r r = 3

4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:

(A) 8a

(B) 7a

(C) 6a

(D) 5a

(E) 4a

- informações do problema: a1 = 23 r = -6 an = -13 n=?

- Substituindo na fórmula do termo geral: an = a1 + (n-1)r -13 = 23 + (n - 1).(-6) -13 - 23 = -6n + 6 -36 - 6 = -6n -42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1) 6n = 42 n = 42/6 n = 7 Resposta certa letra "B

5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:

(A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3 (D) 1/2 (E) 2

- Informações:

a1= 2x a2= x+1 a3= 3x

- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual

ao termo de trás mais a razão. Ou seja:

a2 = a1 + r isolando "r" r = a2 - a1

a3 = a2 + r isolando "r" r = a3 - a2

- Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:

a2 - a1 = a3 - a2

- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:

(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1) x + 1 - 2x = 3x - x - 1 x - 2x - 3x + x= -1 - 1 -3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1) 3x = 2 x = 2/3 Resposta certa letra "B"

Progressão Aritmética - Soma dos "n" primeiros termos

Em um vestibular, pode também ser pedido que você calcule a soma dos termos de uma PA. Pode ser pedido a soma dos 25 primeiros termos, ou dos 200 primeiros termos.

Estas somas são simbolizadas por S25 (soma dos 25 primeiros termos), por S200 (soma dos 200 primeiros termos) ou por Sn (soma dos "n" primeiros termos). Vamos ver um exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)

Esta progressão possui 10 termos, com a1=1, a10=19 er=2. Se quiséssemos saber a soma dos 10 primeiros termos desta PA, poderíamos calcular manualmente, ou seja, 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100. Mas, se fosse pedido a soma dos 145 primeiros termos?? BAH, manualmente iria demorar muito.

Vamos ver se existe uma maneira mais prática.

Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:

Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:

E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo ...

Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo, poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5x20=100 (mesmo resultado).

Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????

Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da mesma maneira!A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100), portanto, matematicamente falando teríamos:

S100=(a1+a100).50

Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com "n" termos? A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja, podemos escrever:

Dê uma olhada nos exercícios abaixo e veja como é fácil:

1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?

- Informações do problema: a1=100 a30=187 n=30 S30=?

- Aplicando a fórmula da soma, temos:

S30 = (287) . 15 S30 = 4305

2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:

- Informações do problema: a1=21 r=7 S12=?

- Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12. a12=a1+(12-1)7

a12=21+77 a12=98

- Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma: S12=(a1+a12)6 S12=(21+98)6 S12=119*6 S12= 714

3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:

(A) 195 (B) 190 (C) 27 (D) 26 (E) 25

- Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só! - Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.

- À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão). - O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá S1=12+2.(1) S1=3 - Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3) - Se substituirmos "n" por 2, temos: S2=22+2.(2) S2=8

- Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1,logo: S2=a1+a2=8 3+a2=8 a2=5

Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:

an=a1+(n-1)ra13=3+(13-1)2a13=3+24a13=27 Resposta certa letra "C"

Progressão Aritmética - Interpolação de Meios Aritméticos

Muitos exercícios citam "Interpolação de meios aritméticos" entre dois termos.

Este tópico nada mais é do que uma simples interpretação do que é pedido no exercício.

Primeiramente devemos saber o que significa o verbo "interpolar". Significa "colocar entre".

E, "meios artméticos", significa "números que formam uma PA". Veja os exercícios resolvidos:

1) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

- Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:

- Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são:

a1=5 e a12=38 r=?

- Agora é só usar a fórmula do termo geral : a12=a1+(12-1)r 38=5+11r 38-5=11r 33=11r r=33/11 r=3 Resposta certa letra "C"

2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

- Informações do problema: a1=112 an=250 r=23

- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:

- Aqui que a cobra fuma, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.

7 não é a resposta, é o número total de termos.

Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos

"ENTRE" estes dois.

Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.

A resposta certa é a letra "C"

Progressão Aritmética - Exercícios Gerais

1) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é

(A) 60 (B) 59 (C) 72 (D) 80 (E) 76

- Informações do problema: a7=20 a10=32 a20=?

- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral: a7=a1+6r a10=a1+9r 20=a1+6r 32=a1+9r

- Formamos um sistema de equações e resolvemos:

20=a1+6r32=a1+9r

Vamos isolar o termo a1na primeira equação

a1=20-6r Agora vamos substituir este valor na segunda equação

32=20-6r+9r32-20=9r-6r

12=3rr=12/3

r=4 Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1.

20=a1+6·420=a1+24a1=-24+20

a1= -4 Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.

a20=a1+19ra20=-4+19·4a20=-4+19·4

a20=72 Resposta certa letra "C".

2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é

(A) 51 (B) 41 (C) 31 (D) 61 (E) 71

- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com: a1= (x-2) a2= (x-5) ...

- Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:

r=a2-a1=(x-5)-(x-2)

r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2

r=-5+2 X com -X se anulam

r=-3 Esta é a razão

- Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:

an=a1+(n-1)r Substituindo por seus valores(x-47)=(x-2)+(n-1)·(-3)x-47-x+2= -3n+3-45-3= -3n-3n=-48n=48/3n=16

- Agora sim podemos usar a fórmula da soma:Sn=(a1+an)*n/2Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2Sn=(2x-49)*8Sn=16x-392

- Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:(x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=42416x-392=42416x=424+39216x=816x=816/16x=51 Resposta certa, letra "A"

3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a

(A)

(B)

(C) 53 (D) 265 (E) 53

- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:

- Agora é só aplicar a fórmula da soma:

Resposta certa, letra "B".

4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo

equilátero é e a área de um triângulo equilátero é . Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA:

- O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:

Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.

Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L

como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.

O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):

Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:

Resposta certa, letra "C".

5) (UFRGS) A PA tem razão . A razão da progressão definida por é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo.

bn=a5n entãob1=a5·1

b1=a5


b2=a10

Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 :

a5=a1+(5-1)ra5=a1+4r entãob1=a1+4r

a10=a1+(10-1)ra10=a1+9r entãob2=a1+9r

Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 :b2-b1=a1+9r-(a1+4r)b2-b1=5rR=5r Resposta certa, letra "C".

6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

- Informações: r=9 a1=4 an=58 n=?

- Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral: an=a1+(n-1)r 58=4+(n-1)9 58-4=9n-9 54+9=9n 63=9n n=63/9 n=7 Resposta certa, letra "E".

7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a

(A) 400 (B) 410 (C) 670 (D) 780 (E) 800

- Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1.{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

- Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular! a40=a1+(40-1)·r a40=0+(39)·1 a40=0+39 a40=39

- Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma. S40=(0+39)·40/2 S40=39·20 S40=780 Resposta certa, letra "D".

8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a

(A) 5100 (B) 5200 (C) 5300 (D) 5400 (E) 5500

- Informações: S11=35200 r=400

- Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só: an=a1+(n-1)r a11=a1+(11-1)r a11=a1+10r sabemos que a razão é 400 a11=a1+10·400

a11=a1+4000

- Agora sim vamos colocar na fórmula da soma:

- Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia): a11=a1+4000 a11=1200+4000 a11=5200 Resposta certa, letra "B".

9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:

(A) 7 (B) 6 (C) 9 (D) 8 (E) 10

- Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede).

- Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo. Sn=3n2+5n S1=3·12+5·1 S1=3+5 a1=8

- Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2: S2=3·22+5·2 S2=3·4+10 S2=12+10 S2=22

- Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto: a1+a2=22 8+a2=22 a2=22-8 a2=14

- Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1: r=a2-a1

r=14-8 r=6 Resposta certa, letra "B".

10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é

(A) 200pq (B) 200(p + q) (C) 500(p + q) (D) 5050(p + q) (E) 5050pq

- Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5:

{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...}

- Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral: a100=a1+(100-1)r a100=p+99·p a100=100p

- Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A". S100=(a1+a100)·100/2 S100=(p+100p)·50 S100=(101p)·50 p=5050p

- Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B". a100=100q S100=(q+100q)·50 S100=(101q)·50 S100=5050q

- Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos:5050(p+q) resposta certa, letra "D".

11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é

(A) 3a-2 (B) 3a-1 (C) 3a (D) 3a+1 (E) 3a+2

- Informações: a1=-a an=20a r=7

- Vamos utilizar a fórmula do termo geral:

Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:

3a+1-23a-1 Resposta certa letra "B".

1) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é

(A) 60 (B) 59 (C) 72 (D) 80 (E) 76

- Informações do problema: a7=20 a10=32 a20=?

- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral: a7=a1+6r a10=a1+9r 20=a1+6r 32=a1+9r

- Formamos um sistema de equações e resolvemos:

20=a1+6r32=a1+9r

Vamos isolar o termo a1na primeira equação

a1=20-6r Agora vamos substituir este valor na segunda equação

32=20-6r+9r32-20=9r-6r

12=3rr=12/3

r=4 Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1.

20=a1+6·420=a1+24a1=-24+20

a1= -4 Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.

a20=a1+19ra20=-4+19·4

Resposta certa letra "C".

a20=-4+19·4a20=72

2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é

(A) 51 (B) 41 (C) 31 (D) 61 (E) 71

- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com: a1= (x-2) a2= (x-5) ...

- Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:

r=a2-a1=(x-5)-(x-2)

r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2

r=-5+2 X com -X se anulam

r=-3 Esta é a razão

- Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:

an=a1+(n-1)r Substituindo por seus valores(x-47)=(x-2)+(n-1)·(-3)x-47-x+2= -3n+3-45-3= -3n-3n=-48n=48/3n=16

- Agora sim podemos usar a fórmula da soma:Sn=(a1+an)*n/2Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2Sn=(2x-49)*8Sn=16x-392

- Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:(x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=42416x-392=42416x=424+39216x=816x=816/16x=51 Resposta certa, letra "A"

3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a

(A)

(B)

(C) 53 (D) 265 (E) 53

- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1 e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:

- Agora é só aplicar a fórmula da soma:


4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais

adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é e a

área de um triângulo equilátero é . Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA:

- O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:

Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.

Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.

O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):

Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:


5) (UFRGS) A PA tem razão . A razão da progressão definida por é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo.


b1=a5


b2=a10

Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 :

a5=a1+(5-1)ra5=a1+4r entãob1=a1+4r

a10=a1+(10-1)ra10=a1+9r entãob2=a1+9r

Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 :b2-b1=a1+9r-(a1+4r)b2-b1=5rR=5r Resposta certa, letra "C".

6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

- Informações: r=9 a1=4 an=58 n=?

- Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral: an=a1+(n-1)r 58=4+(n-1)9 58-4=9n-9 54+9=9n 63=9n n=63/9 n=7 Resposta certa, letra "E".

7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a

(A) 400 (B) 410 (C) 670 (D) 780 (E) 800

- Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1.{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

- Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular! a40=a1+(40-1)·r a40=0+(39)·1 a40=0+39 a40=39

- Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma. S40=(0+39)·40/2 S40=39·20 S40=780 Resposta certa, letra "D".

8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a

(A) 5100 (B) 5200 (C) 5300 (D) 5400 (E) 5500

- Informações:

S11=35200 r=400

- Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só: an=a1+(n-1)r a11=a1+(11-1)r a11=a1+10r sabemos que a razão é 400 a11=a1+10·400 a11=a1+4000

- Agora sim vamos colocar na fórmula da soma:

- Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia): a11=a1+4000 a11=1200+4000 a11=5200 Resposta certa, letra "B".

9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:

(A) 7 (B) 6 (C) 9 (D) 8 (E) 10

- Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede).

- Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo. Sn=3n2+5n S1=3·12+5·1 S1=3+5 a1=8

- Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2: S2=3·22+5·2 S2=3·4+10 S2=12+10 S2=22

- Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto: a1+a2=22 8+a2=22 a2=22-8 a2=14

- Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1: r=a2-a1

r=14-8 r=6 Resposta certa, letra "B".

10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é

(A) 200pq (B) 200(p + q) (C) 500(p + q) (D) 5050(p + q) (E) 5050pq

- Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5:

{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...}

- Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral: a100=a1+(100-1)r a100=p+99·p a100=100p

- Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A". S100=(a1+a100)·100/2 S100=(p+100p)·50 S100=(101p)·50 p=5050p

- Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B". a100=100q S100=(q+100q)·50 S100=(101q)·50 S100=5050q

- Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos:5050(p+q) resposta certa, letra "D".

11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é

(A) 3a-2 (B) 3a-1 (C) 3a (D) 3a+1 (E) 3a+2

- Informações: a1=-a an=20a r=7

- Vamos utilizar a fórmula do termo geral:

Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:

3a+1-23a-1 Resposta certa letra "B".

GABARITO

01-C 04-C 07-D 10-D

02-A 05-C 08-B 11-B

03-B 06-E 09-B

A função f de R em R é tal que, para todo x R, f(5x) = 5f(x). Se f(25) = 75, então f(1) é igual a: (A) 15 (B) 10 (C) 5 (D) 3 (E) 1

1) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Pro

Progressão geometrica

P.S.: Para entender corretamente esta lição, você deve ter visto a matéria de "Progressões Aritméticas".

Progressões Geométricas (PG) também são sucessões de números (como a PA). A diferença é que ao invés de o termo da frente ter um valor acrescido (somado) em relação ao de trás, este terá um valor multiplicado (chamado de razão).Vamos ver um exemplo: escolhemos um termo qualquer para ser o primeiro. Pode ser 5. Para razão, escolhemos 3. Pronto, então a PG seria assim:

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/progressoes/progressao_aritmetica/progressao_aritmetica_01_introducao.php

a1=5agora para achar o a2 devemos simplesmente multiplicar o primeiro termo, que é 5, pela razão, que é 3;

a2=5*3=15 para achar o próximo termo, multiplicamos novamente pela razão;

a3=15*3=45 e assim sucessivamente...

a4=45*3=135

a5=135*3=405

Este quadro nos dá a PG:

(5, 15, 45, 135, 405...)

Note que esta PG esta crescendo, pois qualquer número multiplicado por um número maior que 1 aumenta. Esta, então, se chama PG crescente. Mas e se a nossa razão fosse menor que 1, mas maior que 0 (0<q<1), por exemplo, 1/2.Se isto ocorrer, os termos desta PG irão diminuir cada vez mais, chegando bem perto de 0 (zero). Esta, então, se chama PG decrescente.Estes nome (PG crescente de decrescente) não são muito usados. O que usamos mais é chamar uma PG de finita ou infinita. Quando a PG tem um final, ou seja, um último termo, chamamos de PG finita. Se não tiver um final, ou seja, nenhum último termo, é chamada de PG infinita.

Este é um breve relato à respeito de PG's.Para este tipo de progressão também há uma fórmula para o termo geral. Clique na seta avançar, logo abaixo, e veja como deduzir esta fórmula.

Você já deve ter visto que os termos de uma PG têm os mesmos nomes dos termos de uma PA. O primeiro se chama a1, o segundo se chama a2, o terceiro a3 e assim sucessivamente.

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7...

Na nomenclatura de uma PG, a única "coisa" que tem nome diferente em relação à PA, é a razão. Na PA nós chamávamos a razão de "r" minúsculo, e agora na PG iremos chamar de "q" minúsculo.

Novamente, quando temos um termo que não sabemos qual a posição que ele ocupa, chamamos de an.

Olhe o quadro abaixo, com a PG da página anterior:

a1=5 a1=5*30=5 a1=a1 a1=a1*q0

a2=5*3=15 a2=5*31=15 a2=a1*q a2=a1*q1

a3=5*3*3=45 a3=5*32=45 a3=a1*q*q a3=a1*q2

a4=5*3*3*3=135 a4=5*33=135 a4=a1*q*q*q a4=a1*q3

a5=5*3*3*3*3=405 a5 = 5*34 = 405 a5=a1*q*q*q*q a5=a1*q4

Veja na terceira coluna da tabela acima, que qualquer termo sempre será o primeiro multiplicado pela razão tantas vezes. E essas tantas vezes tem uma relação com a posição deste termo (primeiro, segundo, terceiro), que como na

PA é sempre uma unidade menor.Então a fórmula do termo geral de uma PG fica da seguinte forma:

an=a1*qn-1

Esta é a fórmula do termo geral (ou termo genérico) de uma PG. A propriedade que usamos para deduzir esta fórmula é a propriedade básica de uma PG, que diz que qualquer termo é igual ao de trás multiplicado pela razão.

Ex: a5=a4*qa12=a11*qa72=a71*q

Generalizando, temos:

an=an-1*q

Esta propriedade pode nos ajudar a resolver vários exercícios, visto que podemos fazer uma comparação tendo números sucessivos, como por exemplo:

Veja o exercício 2 da seção de exercícios resolvidos. Para resolvê-lo devemos utilizar esta propriedade.

Clique na seta avançar, logo abaixo, para ver alguns exercícios resolvidos sobre a matéria de PG que vimos até agora.

1) Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 8.

- Informações do exercício:

- Vamos usar a fórmula do termo geral:

2) (UCS) O valor de x para que a seqüência seja uma PG é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Vamos utilizar a propriedade básica de uma PG.

- Substituindo pelos nosso valores:

Resposta certa letra "C".

3) Em uma PG o primeiro termo é , e o terceiro, . O valor do décimo termo é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Informações:

- Vamos aplicar a fórmula do termo geral para achar a razão:

- Agora que encontramos a razão, podemos aplicar a fórmula do termo geral para encontrar o décimo termo:


4) (UFPA) Na PG de termos positivos , temos:

Então, é igual a:

(A) 21 (B) 49 (C) 53 (D) 63 (E) 70

- Informações: a1=a a2=b a3=c

a+b+c=91 a*c=441 a+c=?

(1) (2)

- O que queremos saber é (a+c). Portanto, utilizando a equação (1), podemos dizer que::

a+b+c=91a+c=91-b (3)

- Então, se descobrirmos o valor de "b" podemos substituir nesta fórmula e achar o que é pedido. Para isso vamos pegar a equação (2) e substituir o termo "c", que é o a3, pelo seu equivalente na fórmula geral:

a3=a1*q3-1

c=a*q2

Substituindo:

a*c=441a*a*q2=441a2*q2=441(aq)2=441aq=21

- Como o termo "b" é o segundo, então: b=aq aq=21 logo b=21

- Substituindo na equação (3): a+c=91-b a+c=91-21 a+c=70 Resposta certa, letra "E"

5) (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. calcule a razão da progressão.

(A) 3 (B) 5 (C) 7

(D) 9 (E) 11

- Informações: a1+a2=1 a3+a4=9 q=?

- Vamos substituir todos os termos das duas equações acima pelos seus equivalentes na fórmula do termo geral: a2=a1*q a3=a1*q2

a4=a1*q3

- Trocando os valores das equações dadas pelos termos acima, ficamos com o seguinte sisteminha de equações:

a1+a1*q=1a1*q2+a1*q3=9

a1(1+q) = 1 (1)a1(q2+q3) = 9 (2)

- Vamos dividir a equação (2) pela (1):

- Resolvendo esta equação, achamos as raízes valendo -1, -3 e 3. O problema diz que os termos desta PG são positivos, portanto o único valor que a razão pode ser é 3.

Resposta certa letra "A"

Assim como a Progressões Aritméticas, existem também exercícios que pedem para calcular a soma dos termos de uma PG. Este também pode ser calculado manualmente, mas quando for pedido um número muito alto de termos usamos uma fórmula.

Esta fórmula é um pouco menos "intuitiva" do que a fórmula da PA. Portanto, é um pouco mais difícil de se entender de onde vem, mas preste atenção na demonstração, que não é impossível.

Para representarmos a soma dos "n" primeiros termos, usamos a sigla Sn. Então:

Sn=a1+a2+a3+a4+a5+...+an Isto é o que queremos determinar, agora multiplicamos ambos os lados pela razão (q).

Sn*q = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an) * q

Sn*q = a1*q + a2*q + a3*q + a4*q + a5*q + ... + an*q

Sabemos que se o número for multiplicado pela razão, passa a ser o próximo, exemplo: a1*q=a2

Sn*q = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ... + an+1 Agora vamos subtrair Sn de ambos os lados

Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ... + an+1 - Sn

Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an+1 - (a1 + a2 + a3 + ... + an)

Sabemos que an+1=a1*qn , substituindo, temos:

Sn*q - Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an+1 - a1 - a2 - a3 - ... - an

Sn*q - Sn = an+1 - a1

Sn*q-Sn=a1*qn-a1 Colocando Sn e a1 em evidência, temos:

Sn(q-1)=a1(qn-1) Agora isolando Sn :

Esta é a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PG. Tente agora fazer o exercício abaixo e depois veja a resolução.

1) A soma dos seis primeiros termos da seqüência

definida por , com , é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Para aplicarmos a fórmula da soma devemos saber o valor de a1 e o valor da razão

- Agora, sabendo a1 e a2 podemos achar a razão:

- Utilizando a fórmula da Soma, vamos calcular S6:

Resposta certa, letra "C"

Quando temos uma PG decrescente (0<q<1) podemos dizer que esta tem infinitos termos.

- Ué? Como assim?

Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a 4 e razão q=1/2:

Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais, chegando quase perto de zero. O termo a12 que vale 1/512 passando para decimais vale quase 0,002, e o termo a13 é mais ou menos 0,001, quanto mais alta a ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.

Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.

Vamos fazer a dedução da fórmula começando com a fórmula da soma dos "n" primeiros termos:

Sabemos que a razão de uma PG infinita tem que ser 1<q<0 (no nosso exemplo, 1/2). Também sabemos que "n" significa a ordem do último termo (sexto, sétimo, oitavo, etc), que na nossa PG é ∞ (infinito), então com certeza é um número muito grande. Quanto você acha que vale 1/2 elevado a um expoente muito grande?

Exemplo:

Veja que o denominador da fração é o 2 elevado a potência mil, ou seja, essa potência é muito grande, o que faz a divisão de 1 por esse número muito grande resultar um número extremamente pequeno, insignificante.

Podemos dizer que é ZERO. E ao substituirmos na fórmula, a razão elevado na "n" (qn), por ZERO, temos:

Chegamos em uma fórmula que é um tanto quanto "bonitinha". Mas para melhorá-la, vamos multiplicar "em cima" e "em baixo" da divisão por -1

Agora chegamos na fórmula final da soma dos termos de uma PG infinita. Tente resolver o exercício abaixo e depois veja a resolução.

1) Dada a PG com a2=5 e q=2/5, calcule a soma dos infinitos termos.

- Primeiro temos que calcular o valor de a1. Para isso vamos usar a fórmula do termo geral:

- Agora é só colocar na fórmula da soma:

2) Sendo , calcule o valor de X:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) impossível de se calcular

- Esta é uma clássica de vestibular. Não é dito no problema que se trata de uma PG, você deve descobrir. O termo a1 vale 5/6, e a razão nós calculamos dividindo o segundo termo pelo primeiro:

- Agora é só substituir na fórmula da soma infinita:

1) (PUC) Para interpolar 3 meios geométricos entre 6 e 4374, a razão deve ser

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Se iremos colocar três meios entre os dois valore dados, 6 e 4374, então:

6 __ __ __ 4374

- Informações do problema: a1=6 a5=4374

- Vamos aplicar a fórmula do termo geral:

Resposta certa, letra "D".

2) Quantos meios geométricos devemos interpolar entre e para obtermos uma PG de razão .

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10

- Informações:

- Aplicando a fórmula do termo geral para an:

Agora tem um truque, vamos multiplicar em cima e em baixo da fração dos parênteses por

- Agora sabemos que a PG terá 9 termos, portanto devemos interpolar 7 termos entre os dois já dados.


a) Igualando a "x"aplicando a equivalência fundamentalIgualando as bases (utilizando base 2)Aplicando as propriedades de potênciasCorta-se as basesIsolando xSimplificandoEsta é a resposta!!

c) Igualamos a "x"Aplicamos a equivalência fundamental Pra facilitar o cálculo, vamos transformar a fração Agora, transformar em potência Aplicamos a propriedade de divisão de potências de bases diferentes Simplificamos a função Novamente, propriedades de potenciação Corta-se as bases, Esta é a resposta final.

d) Igualando a "x"

aplicando a equivalência fundamental

Vamos aplicar algumas propriedades de potências e Igualar as bases (utilizando base 7)

Aplicando as propriedades de potências

Corta-se as bases

Isolando x

Esta é a resposta!!!

2) Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) b) c) d)

a)Neste tipo de exercício não é necessário igualar a "x", pois já há uma igualdade, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.Pronto, já temos a resposta, agora é só desenvolver a potência 3.Esta é a resposta!!! :)

d) Novamente, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.

Pronto, já temos a resposta, agora é só desenvolver a potência 2.

Resposta final.

3) Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) b) c) d)

a) Este exercício também não precisa igualar a "x", pois també já existe uma igualdade. Portanto, vamos direto aplicar a equivalência fundamental.Vamos fatorar o 81.Podemos cortar os expoentesPronto, esta é a resposta!

d)Este exercício parece ser bem mais complicado, mas não se assuste! Resolve-se da mesma forma. Vamos direto aplicar a equivalência fundamental.

Sabemos, pelas propriedades de potenciação, que ao elevar na potência 1/2 estamos na verdade tirando a raiz quadrada, portanto:

Vamos aplicar as propriedades de radiciação e fatorar o 27:

Podemos cortar o 3 dos dois lados!

Esta é a resposta!! :)))

4) O número real x, tal que , é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Aplicamos a equivalência fundamental:

Elevamos ambos os lados ao quadrado:

Resposta letra "A"

5) (PUCRS) Escrever , equivale a escrever

(A) (B) (C) (D)

(E)

Note que inicialmente temos uma exponencial com bases iguais a "b", portanto, podemos cortar as bases e igualar os expoentes. Ficando com:

Agora vamos aplicar a equivalência fundamental:

Aplicando as propriedades de potenciação:

Resposta certa, letra "A"

01) O conjunto solução da equação logaritmica é:

(A) {-1; 2} (B) {-2; 1} (C) {-2} (D) {1} (E) { }

Começamos aplicando apenas a equivalência fundamental:

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_03_equivalencia_fundamental.php

Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara.

Chegando no valor de x devemos TESTAR AS SOLUÇÕES, como dito na única regra de resolução de equações logaritmicas.

Verificação, para : , OK

para : , OK

Portanto, as duas respostas são válidas. E a alternativa correta é a letra "B"

2) O número real x que satisfaz a equação é:

(A)

(B) (C)

(D)

(E)


Agora caímos em uma equação exponencial do tipo II. Efetuando a troca de variáveis , temos:

Aplicamos Bhaskara e chegamos em:

Agora voltamos para x utilizando novamente a troca de variáveis feita inicialmente :

Absurdo!

Aplicamos a equivalência fundamental,

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_02_02_bhaskara_demo.php

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/exponenciais/equacoes_exponenciais_03.php



Agora devemos testar esta solução na equação original do enunciado. Substituindo este valor de x na equação:

Aplicamos a 4° conseqüência da definição do logaritmo:

Aplicamos a 3° propriedade operatória

, OK. É válida!

Resposta correta, letra "E".

3) A equação tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:

(A)

(B) (C) (D) (E)

Esta equação já envolve um truquezinho, igual às equações exponenciais do tipo II.

Começamos vendo que o 9 na equação pode virar 3².

E aplicamos a 3° propriedade operatória:

O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equação acima são um o inverso do outro (1° consequência da mudança de base).

Agora devemos mudar a variável. Efetuamos a troca :

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_09_consequencias_mudanca_base.php#1conseq

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_06_propriedades_operatorias.php#3prop

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/exponenciais/equacoes_exponenciais_03.php


http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_05_consequencias_definicao.php#4conseq

Podemos multiplicar ambos os lados por y, ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em:

Aplicamos Bhaskara e chegamos em . Estes são os valores de y, o exercício quer os valores de x. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente:

para y=2:

para y=-1:

O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) é . Resposta, letra "E".

4) (UFRGS) A solução da equação está no intervalo:

(A) [-2; -1] (B) (-1; 0] (C) (0; 1] (D) (1; 2] (E) (2; 3]

Esta equação devemos apenas trazer todos os logs para o mesmo lado da igualdade e aplicar as propriedades operatórias:

Aplicamos a 2° propriedade operatória dos logaritmos:


Agora testamos na equação original (do enunciado) para ver as condições de existência. Psara isso, substituímos o

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_02_condicoes_de_existencia.php




valor de x encontrado na equação do enunciado:

Neste momento não precisamos continuar, só o que devemos saber é que, ao substituir o valor de x, não encontramos nenhuma falha nas condições de existência dos logaritmos envolvidos. Portanto, a resposta é

mesmo

Este valor encontra-se entre 0 e 1. Resposta correta, letra "C".

A mudança de base nos dá mais algumas ferramentas para utilizar calculando expressões que envolvam logaritmos.

1° Conseqüência:

Essa conseqüência diz que, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar a base e o logaritmando de lugar. Por

exemplo, o inverso de é , e, por essa conseqüência, podemos escrever .

A demonstração desta propriedade é através da mudança de base. Partimos de e efetuamos a mudança de base para a nova base b.

Mas, sabemos que , portanto:

como queríamos demonstrar.

Veja como pode cair no vestibular esta propriedade através do exemplo abaixo:

(CAJU) Sendo calcule o valor de .

Podemos rescrever a informação como sendo e aplicar a 3° Propriedade Operatória:

Veja que agora temos um logaritmo que é exatamente o inverso do logaritmo pedido no enunciado. Portanto, podemos modificar a expressão acima para:

E agora isolar o valor solicitado no enunciado:

Esta é a resposta final

2° Conseqüência:

Quando temos uma multiplicação de dois logaritmos em que um deles possui a base igual ao logaritmando do outro, podemos cortar estes dois e transformar em um logaritmo só.

A demonstração também não é difícil e só utiliza a troca de base. Partimos da multiplicação:

E trocamos os dois logaritmos para uma base comum qualquer. Pode ser qualquer uma. Vou escolher a base a, ou seja, trocamos as bases dos dois logaritmos para a base a (no caso, o primeiro logaritmo já está na base a, portanto, não precisamos mexer nele):

Agora os dois termos podem se cortar, e sobra:

Como queríamos demonstrar.

Veja como pode cair no vestibular.

(CAJU)Calcule o valor da expressão .

Começamos somente reagrupando os fatores de maneira a nos facilitar os cortes. Vamos colocar o quarto logaritmo do lado do segundo:

Agora veja que os fatores grifados acima podem ser unidos em um só ao cortar a base 5 do da esquerda com o logaritmando 5 do da direita:

Estes novos termos grifados acima podem ser unidos também ao cortar a base 7 com o logaritmando 7:

Estes dois logaritmos que sobraram podem ser unidos ao cortar a base 8:

Agora para descobrir o valor deste logaritmo, aplicamos a equivalência fundamental:

Esta é a resposta final do exercício.

Em algumas questões, pode ser apresentado um logaritmo que possui uma base não muito boa para a resolução da questão.

Nestas situações é necessário que troquemos a base do logaritmo!

Neste capítulo iremos aprender o que fazer para colocarmos qualquer base que quisermos no logaritmo da questão.

A regra é a seguinte:

Mudança de Base

Ou seja, se tivermos um logaritmo na base b, podemos transformar em uma fração de logaritmos em uma outra base qualquer c.

a base nova "c", pode ser qualquer número quesatisfaça a condição de existência da base, ou seja,

c > 0 e c ≠ 1.

Por exemplo, seja o logaritmo de 45 na base 3: . Mudando para a base 7, teremos: . Poderíamos ter colocado qualquer outra base c no lugar do 7.

Podemos provar essa propriedade partindo da fração. Vamos igualar a fração a x e encontrar o valor de x.

Vamos aplicar uma base c de potência nos dois lados da igualdade:

Agora podemos aplicar a 4° conseqüência da definição no lado esquerdo e rescrever a potência do lado direito:

E aplicar novamente a 4° conseqüência, agora no lado direito:

Com a equivalência fundamental:

Que é exatamente o valor que queríamos chegar.

(UFRGS) Sabendo que e , então o logaritmo de a na base b é

(A) (B) (C)

(D)

(E)

É dado o valor do logaritmo de a na base 10 e é pedido o logaritmo de a na base b.

Para adequar o pedido ao informado, vamos transformar o para a base 10.

Este valor encontrado possui termos que foram dados no enunciado, portanto, podemos substituir:

Esta propriedade de mudança de base gera algumas conseqüências legais de sabermos para resolver equações envolvendo logaritmos.

No próximo capítulo você irá aprender estas conseqüências.

1) (UCS) O valor de é

(A) (B) (C) (D) (E)

Veja que esta é uma aplicação direta da 4° conseqüência da definição de logaritmos podemos cortar os termos :

=

Resposta letra "A"

2) (UFRGS) Se e , então é

(A) (B)

(C)

(D)

(E)

Este tipo de questão começamos fatorando o termo que estiver no logaritmando:

Agora podemos aplicar as propriedades de radiciação :

Então as propriedades operatórias dos logaritmos:

Agora é só substituir os valores dados no enunciado:

Resposta certa, letra "D".

3) (PUCRS) Se e , então é igual a

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_06_propriedades_operatorias.php

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/algebra_basica/algebra_basica_02_radiciacao.php


(A)

(B)

(C) (D) (E)

Agora a questão é ao contrário. Começamos aplicando as propriedades operatórias no logaritmo pedido:

Agora sim substituimos os valores dados no enunciado na expressão acima:

Resposta correta, letra "B".

4) (PUCRS) A solução da equação pertence ao intervalo

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Começamos aplicando a 4° conseqüência da definição de logaritmos:

Veja que x é logaritmando na equação do enunciado. Respeitando as condições de existência dos logaritmos, não

podemos ter logaritmando negativo, ou seja, descartamos o valor .

Resposta final , ou seja, está no intervalo da alternativa "D".


http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_06_propriedades_operatorias.php

5) Dado , calcule o valor de em função de P

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Foi dado apenas uma informação, o valor de .

Portanto, devemos moldar os valores no logaritmo que está sendo pedido em função do número 5. Veja só, vamos fatorar o 200:

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

Só que o problema agora é descobrir o valor de . Aí que vem a mãnha. Veja que podemos trocar o valor 2 como

sendo

Sabemos que log 10 = 1 e log 5 = P, portanto, log 2 = 1 - P.

Agora que sabemos o valor de log 2 = 1 - P e log 5 = P podemos descobrir o valor de log 200.

Resposta correta, "D".

6) (CAJU) A solução para o sistema de equações:

é

(A) (7, 6)

(B) (6, 7)

(C) (9, 4)

(D) (1, 12)

(E) (0, 36)

Devemos começar transformando a equação que envolve logaritmos em uma equação sem log.

Aplicamos, no lado esquerdo, a propriedade operatória dos logaritmos:

Agora a 5° conseqüência da definição de logaritmos:

Agora temos um sistema mais simples de ser resolvido:

Que pode ser resolvido isolando quase de cabeça:

Alternativa correta, letra "C".

Veja as propriedades abaixo:

1°Propriedade:

Aqui temos a Prostaférese. Veja que do lado esquerdo da igualdade temos log de uma multiplicação, e na direita uma soma de logs.

Para provar essa propriedade não é tão difícil. Tente acompanhar o raciocínio. Faz de conta que temos um número x

que é a soma de dois logaritmos que estão na mesma base b:

Se temos esta igualdade, podemos colocar a mesma base b dos dois lados como potenciação:

Agora a gente pode aplicar a propriedade de potenciação:

E agora aplicar a 4° conseqüência, estudada no capítulo anterior:

E ficamos com:

Agora aplicamos a equivalência fundamental: e chegamos no valor que queríamos demonstrar.


2° Propriedade:

Esta é quase a mesma coisa que a anterior, mas em vez de multiplicação temos a divisão e no lugar da soma vira subtração. A demonstração é extremamente parecida com a 1° propriedade. Tente demonstrar você, siga os passos da anterior.

3° Propriedade:

Esta propriedade é uma "extensão" da primeira. Veja o exemplo abaixo com o expoente 2:

sabemos que

agora aplicamos a primeira propriedade

Poderíamos ter saído da primeira linha diretamente para a última, essa é a facilidade de saber esta propriedade.

Uma maneira de visualizar esta propriedade, e tentar decorá-la mais facilmente, é imaginando a figura abaixo:

Veja algumas aplicações:

(UFRGS) A raiz da equação é

(A) 6 (B) 3,5 (C)

(D)

(E)

Começamos aplicando a volta da equivalência fundamental:

Agora vemos que esta resposta não está nas alternativas. Portanto, devemos fatorar o 12:

Aplicamos a 1° Propriedade Operatória

Mas o sabemos que vale 2. Portanto:


(UCS) Se e , então vale

(A) (B) (C) (D)

(E)

Este tipo de questão é clássico nos vestibulares do Brasil. Peguei este exemplo pois não possui muita dificuldade.

Começamos fatorando sempre o logaritmo pedido, neste caso o 12.

Agora devemos aplicar as propriedades operatórias:

E substituímos os valores dados no enunciado:

2a+b, Resposta correta, letra "B".

Sabendo que f(25)=75, podemos dizer que f(5 . 5) = 75 e agora, utilizando a regra dada no exercício, que diz que f(5x) = 5f(x) então f(5 . 5) = 5.f(5) pois o nosso x é 5, portanto,

Agora podemos utilizar novamente a regra dada.

Agora o nosso x é 1. Utilizando a regra novamente

Resposta certa, letra “D”

As regras são simples, mas o não cumprimento acarretará na exclusão da maratona.

1)O usuário que quiser participar deverá RESPONDER a última questão sem resposta e POSTAR uma nova questão na mesma mensagem.2) A resolução da questão deverá ser feita como se estivesse sendo entregue para a prova discursiva do IME ou do ITA.3) O uso do LaTeX é obrigatório, caso não saiba usar leia aqui.4) Todas questão deverão ser da CN,EFOMM,AFA,EN,IME,ITA de preferência com o ano.5) Não deve ser postado uma nova questão enquanto a anterior não for resolvida.6) As questões não respondidas irão ficar por no máximo 36h, após o limite iremos removê-la para o tópico IME/ITA, disponibilizando para que seja postada uma nova.7) As questões deverão ser numeradas na ordem crescente.8 ) Antes que postar uma nova questão, verifica se ela já não se encontra no fórum. Para pesquisar é fácil, basta colocar um trecho na caixa de buscar e pronto.

Atenção: A partir de hoje (06/05/2012) todos os Problemas acima do número 130 e que forem dissertativas deverão apresentar o gabarito. Utilize a tag spoiler para colocar a resposta.

Veja a primeira Maratona de Matemática IME/ITA: ttb.me/maratmat.

Link rápido para esta segunda maratona: ttb.me/maratmat2

Veja como devemos proceder.Problema 1(Questão acompanhado do ano)Escreva a questão

Código: Selecionar tudo[spoiler]Gabarito:[/spoiler]

Quem for resolver deverá escrever:Solução do Problema 1Descrever a solução

Problema 2(Questão acompanhado do ano) Escreva a questão.

Código: Selecionar tudo[spoiler]Gabarito:[/spoiler]

------------------------------------------------------------------------------Problema 1 (ITA - 1967) Qual o lugar geométrico dos pontos,cuja soma das distâncias a duas retas que se cortam, é igual a uma dada constante k?

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/

http://ttb.me/maratmat2

http://ttb.me/maratmat

a) um quadriláterob) uma circunferênciac) uma reta passando pelo ponto de intersecção das retasd) uma elipsee) uma parábola

FilipeCaceres

Progresso próximo nível:85.8% Mensagens no total: 2315Tópicos criados: 45

Registro: Seg 16 Nov, 2009 20:47Última visita: Sáb 06 Abr, 2013 11:31

Voltar ao topoImprimir apenas esta mensagem

Re: Maratona de Matemática IME/ITA II

por caju » Dom 05 Fev, 2012 21:44

Olá a todos,

Vamos tocar essa maratona!!

Solução do Problema 1

Para esse exercício, vamos analisar o ponto P (gerador do lugar geométrico) em três situações:

1) Ponto sobre a bissetriz do ângulo formado pelas duas retas:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/colaborador/caju/

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/global/ii-maratona-de-matematica-ime-ita-t20844.html#p52327

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/print_post.php?f=1&p=52274

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/global/ii-maratona-de-matematica-ime-ita-t20844.html#wrap

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/search.php?author_id=4082&sr=topics&sf=firstpost

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/search.php?author_id=4082&sr=posts

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/colaborador/FilipeCaceres/


Clique na imagem para fixá-la na tela.

Chamando o ângulo :

2) Ponto sobre uma das retas, mas sem apagar a bissetriz (apenas para auxílio):


Olhando para o triângulo , temos Assim, vemos que os pontos e são idênticos.

3) Ponto sobre a outra reta. O raciocínio é idêntico.

Ou seja, os pontos (primeira situação), (segunda situação) e (terceira situação), são colineares. Logo, o lugar geométrico é uma reta, mas ela não passa pelo encontro das retas, ela é perpendicular à bissetriz.

Resposta: Questão anulada!___________________________________________________________

Problema 2

(IME 2004) Calcule em função de e , sabendo que o produto , que e que .

"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_geral/funcoes_01_01.php

caju


Registro: Qui 19 Out, 2006 16:03Última visita: Qua 10 Abr, 2013 12:58Localização: Rio de Janeiro



por miguel747 » Dom 05 Fev, 2012 23:12


(IME 2004) Calcule em função de e , sabendo que o produto , que e que .

Vamos lá:

, Fazendo , temos:

Voltamos ao sistema de equações, elevamos ambas equações ao quadrado, assim:

Fazendo temos:


http://www.tutorbrasil.com.br/forum/colaborador/miguel747/








Trabalhando na expressão , nota-se que:

Transformando essa mesma expressão em produto obtemos:

, Logo na eq. temos:

Usando a mesma ideia na eq. :

Substituindo a eq. em , finalmente:

___________________________________________________________________________________

Problema 3

(ITA 2011) Resolva a inequação .Editado pela última vez por caju em Qui 18 Out, 2012 19:30, no total de 3 vez Razão: Arrumar resolução "Agradeço pela crítica mais severa apenas se ela permanecer imparcial." - Otto Bismarck

miguel747

Progresso próximo nível:9%




Mensagens no total: 159Tópicos criados: 15

Registro: Qua 30 Jul, 2008 21:08Última visita: Seg 08 Abr, 2013 22:39



por theblackmamba » Seg 06 Fev, 2012 06:13


ou

O gráfico da função será com a concavidade para cima nos pontos de interseção com as abcissas e .

-----------------------------------------

Problema 4

(ITA - 1971) Qual o maior número de partes em que um plano pode ser dividido por linhas retas ?

A) B)

C)

D) E) Editado pela última vez por theblackmamba em Seg 06 Fev, 2012 17:11, num total de 1 vezes "O gênio é feito de 1% inspiração e 99% de transpiração". - Thomas Alva Edson

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/colaborador/theblackmamba/








theblackmamba


Registro: Ter 23 Ago, 2011 16:43Última visita: Qua 10 Abr, 2013 13:02Localização: São Paulo - SP



por ALDRIN » Seg 06 Fev, 2012 10:09


Você não está fazendo busca

viewtopic.php?f=2&t=3199

----------------------------------------------------------------------------------

Problema 5

(IME-70/71) A perpendicular às retas paralelas e determina respectivamente sobre as mesmas os pontos e , distantes de . Toma-se um ponto sobre tal que . Traça-se por , meio de , uma perpendicular a

que encontra em . Calcule, em função de e , o volume gerado pelo triângulo quando gira em torno de .

(A)

(B)

(C)


http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=2&t=3199

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/colaborador/ALDRIN/








(D)

(E)

(F) Editado pela última vez por caju em Qui 25 Out, 2012 19:53, no total de 2 vez Razão: TeX->TeX2 "O ângulo inscrito no semicírculo é reto."Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos Deuses.

Hoefer, H., 80.

ALDRIN


Registro: Qua 09 Abr, 2008 17:20Última visita: Qua 10 Abr, 2013 15:27Localização: Brasília-DF



por caju » Seg 06 Fev, 2012 21:30

Solução do problema 5

Construindo o enunciado e colocando alguns nomes nos segmentos:











O ângulo MOM' é retângulo, logo, os ângulos AOM e BOM' são complementares e, por conseguinte, os triângulos MAO e M'OB são semelhantes:

Os triângulos MAC e M'BC são semelhantes também:

O volume do sólido gerado pelo triângulo ( ) será igual ao volume do cone formado pela rotação do triângulo ( ), menos o volume do cone gerado pela rotação de ( ), menos o volume do cone gerado por ( ), menos o volume do cone gerado pela rotação de ( ):

Portanto:

Por temos que .

Substituindo e pondo em evidência:

Vamos colocar o termo em evidência:

Fazendo

Resposta letra D(Veja aqui uma solução alternativa, com um atalho que pode ser usado em provas objetivas)

-------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 6

(IME - 2000) Considere o polinômio de grau mínimo, cuja representação gráfica passa pelos pontos P1(−2,−11), P2(−1, 0), P3(1, 4) e P4(2, 9).

a) Determine os coeficientes do polinômio.

b) Calcule todas as raízes do polinômio.Editado pela última vez por caju em Sáb 20 Out, 2012 00:02, no total de 5 vez Razão: Colocar link para resposta alternativa "A beleza de ser um eterno aprendiz..."

caju



http://tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=2&t=20877



Registro: Qui 19 Out, 2006 16:03Última visita: Qua 10 Abr, 2013 12:58Localização: Rio de Janeiro



por theblackmamba » Ter 07 Fev, 2012 15:03


a) Seja o polinômio de terceiro grau (com 4 graus livres) de coeficientes a,b,c e d:

Substituindo os valores dos pontos:

Fazendo , respectivamente nas linhas seguintes, e simplificando temos que:

Com isso temos que há apenas uma solução, logo o grau de número três é o menor possível.

b)

Vemos que -1 é raíz:

Por Bhaskara, as outras raízes serão: (Veja aqui uma solução alternativa)

---------------------------------------------------------------------------------

Problema 7

(IME - 2009) Seja o valor do maior lado de um paralelogramo . A diagonal divide em dois ângulos


http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_02_01_bhaskara.php







iguais a 30º e 15º . A projeção de cada um dos quatro vértices sobre a reta suporte da diagonal que não o contém forma o quadrilátero . Calcule o perímetro de .Editado pela última vez por caju em Sáb 27 Out, 2012 17:52, no total de 2 vez Razão: TeX->TeX2 "O gênio é feito de 1% inspiração e 99% de transpiração". - Thomas Alva Edson

theblackmamba





por FilipeCaceres » Qua 08 Fev, 2012 22:35


Inicialmente vamos fazer o desenho.


Sendo o diâmetro, temos que tanto quanto pertencem a circunferência (formam angulo de ). Logo










é inscritível.

Analogamente para , e .

Veja que,

, basta olhar para o quadrilátero

Analogamente,

Olhando para o quadrilátero tiramos,

Desta forma, os quadriláteros é semelhante .

Seja

, assim temos .

Logo,

Desenvolvendo,

Substituindo,

Como os quadriláteros são semelhantes, o perímetro desejado será:

Onde k será uma relação entre os quadriláteros.

Pela lei dos cossenos tiramos,

Desenvolvendo encontramos,

Assim temos,

Logo,

Portanto o perímetro do quadirlátero vale:

------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 8

(IME-2002) Resolva a equação , sabendo-se que Editado pela última vez por caju em Sáb 23 Mar, 2013 16:53, no total de 3 vez Razão: Colocar problema 8 na mensagem / TeX -> TeX2

FilipeCaceres












por theblackmamba » Sex 10 Fev, 2012 06:12


Daí tiramos que

Seja

Então,

Subtraindo-as:

, mas

Vamos analisar os dois casos da solução:1)

2)

Olhando para as restrições temos que a única solução é: Solução alternativa-----------------------------------------------------

Problema 9

(IME - 1997) Se e são raízes da equação , calcule em função de e , o valor simplificado da expressão:

Editado pela última vez por caju em Qui 01 Mar, 2012 22:51, no total de 3 vez Razão: Adicionar link para solução alternativa "O gênio é feito de 1% inspiração e 99% de transpiração". - Thomas Alva Edson






theblackmamba





por Natan » Sáb 11 Fev, 2012 03:21


Das relações de Girard temos:

lembrando da fórmula da tangente da soma:

usando mais algumas identidades:

substituindo os valores encontrados na expressão pedida:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/colaborador/Natan/








..................................................................................................................................................

problema 10

(IME-modificada) Calcule a área da região delimitada pela curva


por FilipeCaceres » Sáb 11 Fev, 2012 18:53


A equação geral de uma curva vale:

Sabemos que após ums rotação qualquer temos,

Após uma translação encontramos,

Logo o centro da curva vale

Substuindo o valor do centro na curva dada encontramos o valor de

Também temos,

Como queremos encontramos,

Resolvendo o sistemos,

Uma equação que satisfaz é:


http://www.tutorbrasil.com.br/forum/global/ii-maratona-de-matematica-ime-ita-t20844-10.html#p52585

. Elipse

A área a elipse é dada por,

Desta forma temos que,

Portanto a área desejada vale,

----------------------------------------------------------------------

Problema 11

(IME - 2011) Sejam e , onde é a unidade imaginária, e um número complexo tal que

determine o módulo do número complexo .

Editado pela última vez por caju em Sáb 01 Dez, 2012 01:20, num total de 1 vezes Razão: TeX->TeX2

FilipeCaceres







http://www.tutorbrasil.com.br/forum/global/ii-maratona-de-matematica-ime-ita-t20844-10.html#wrap





http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/conjuntos/conjuntos.php



por theblackmamba » Sáb 11 Fev, 2012 20:06


Tome e

O enunciado nos dá que , logo (1º Quad. --> reta y = x)

A equação representa uma circunferência de raio e centro


No plano complexo, temos que:

Se

Portanto,

---------------------------------------------------

Problema 12

(IME - 1987) Demonstre que num triângulo ABC:

.



"O gênio é feito de 1% inspiração e 99% de transpiração". - Thomas Alva Edson

theblackmamba





por FilipeCaceres » Dom 12 Fev, 2012 13:14

Solução Problema 12

Do enunciado tiramos,

Do lado direito temos,

C.Q.D

Obs.:

-----------------------------------------------------Problema 13

(IME - 1999) Determine sabendo-se que:









.Editado pela última vez por FilipeCaceres em Sex 13 Jul, 2012 21:51, no total de 2 vez Razão: Tex -> Tex2.0

FilipeCaceres





por theblackmamba » Dom 12 Fev, 2012 15:17


Aplicando a diferença de quadrados e propriedades:










Como o ângulo pertence a todos os quadrantes temos que considerar todos os seus correspondentes, logo: (para

ocupar menos espaço tome

--------------------------------------------------------------

Problema 14(IME - 1996) Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução. Um cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases está apoiada na base do cone. Seja o volume do cone e

o volume do cilindro. Encontre o menor valor da constante para o qual .Editado pela última vez por caju em Qua 29 Fev, 2012 10:40, num total de 1 vezes Razão: Tex -> Tex2.0 "O gênio é feito de 1% inspiração e 99% de transpiração". - Thomas Alva Edson

theblackmamba





por FilipeCaceres » Dom 12 Fev, 2012 21:15

Solução Problema 14











Da figura tiramos,

Volume do Cone: Volume Cilindro:

Do enunciado,

O valor mínimo será encontrado derivando a função, mas para facilitar vamos transformar,

Arrumando,

Fazendo

Pra encontrar o mínimo de k, devemos fazer .

Sabemos que,


Assim temos,

Desenvolvendo encontramos,

Desta forma encontramos,

Portanto o valor mínimo será:

------------------------------------Problema 15

(ITA - 1967) Determine o coeficiente de no desenvolvimento de ?A) B) C) D) E) Editado pela última vez por caju em Qua 29 Fev, 2012 10:46, num total de 1 vezes Razão: Tex -> Tex2.0

FilipeCaceres


Registro: Seg 16 Nov, 2009 20:47






Última visita: Sáb 06 Abr, 2013 11:31



por Natan » Seg 13 Fev, 2012 00:10


Olharemos o trinomio como um binomio:

e aplicaremos o termo geral:

aplicando novamente o termo geral ao binomio que surgiu :

e substituindo na primeira:

como queremos que o expoente seja 17 vem: que tem por solução Substituindo esses valores:

.....................................................................................................................................................

Problema 16

(IME-2005) Determine o valor das raízes comuns das equações

Natan


Registro: Sex 22 Fev, 2008 20:41Última visita: Qui 28 Fev, 2013 15:18










por poti » Ter 14 Fev, 2012 11:27

Solução do Problema 16.

Não existem raízes comuns entre esses dois polinômios, acredito que a questão esteja errada. As raízes notáveis do primeiro são e , descobertas por inspeção. Por Briot-Ruffini, rebaixamos para e vemos que as outras raízes também não servem para .

-------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 17

(ITA-73) Sabe-se que a média harmônica entre o raio e a altura de um cilindro de revolução vale . Quanto valerá a relação do volume para a área total deste cilindro?Editado pela última vez por caju em Sáb 19 Mai, 2012 16:12, no total de 3 vez Razão: Tex -> Tex2.0

poti


Registro: Qua 19 Mai, 2010 19:27Última visita: Qua 10 Abr, 2013 00:57



por theblackmamba » Ter 14 Fev, 2012 16:50








http://www.tutorbrasil.com.br/forum/colaborador/poti/







Como o volume e a área são iguais a relação entre eles é 1.

----------------------------------------------------------------

Problema 18

(IME - 2004) Resolva a equação:

Editado pela última vez por caju em Qua 24 Out, 2012 19:44, no total de 2 vez Razão: Tex -> Tex2.0 "O gênio é feito de 1% inspiração e 99% de transpiração". - Thomas Alva Edson

theblackmamba

Progresso próximo nível:




7.6% Mensagens no total: 2690Tópicos criados: 377




por Natan » Ter 14 Fev, 2012 22:03


unimos a dupla de seno e cosseno em um só seno:

unimos novamente os senos com a prostaférese

de onde vem:

daí:

................................................................................................................................................

Problema 19

(EN-2003) O número de soluções reais da equação é um número:

a) 0b) 1c) 2d) 3e) maior que 3

Natan


Registro: Sex 22 Fev, 2008 20:41Última visita: Qui 28 Fev, 2013 15:18








http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=2&t=8785&p=23237&hilit=prostaf%C3%A9rese#p23237








por poti » Qui 16 Fev, 2012 21:48


. Para , . Como a reta tem inclinação positiva, não é preciso analisar antes disso (já

que é limitada entre e ).

Para , mas não encontra com pois é positivo e está acima do eixo das abcissas.

Para , zera e é maior pois está no primeiro quadrante.

Para , vale (Valor máximo do seno) e que vale menos que . Após isso, cresce para valores que a senóide não mais alcança. Portanto, 1 solução real.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 20

(ITA - 1991) Se , então temos:

De quantos modos se pode colocar numa tabela 3x3 duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?

Para entender esta resolução, você deve ter lido a seguinte resolução: TABELA 2X3 - ANÁLISE COMBINATÓRIA

Esta questão deve ser separada em três situações distintas (é claro que sempre respeitando a regra do enunciado). A primeira situação é aquela em que iremos colocar 2 letras em cada coluna. A segunda situação é aquela que terá uma coluna com três letras, uma com duas letras e outra com uma letra. E a terceira situação será aquela que terá duas colunas com três letras.

- PRIMEIRA SITUAÇÃO (2 letras em cada coluna):

Já sabemos da resolução anterior que na tabela abaixo teremos 48 situações distintas respeitando o enunciado:

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/faq_matematica/comb01_1.php

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/faq_matematica/comb01_1.php



Em cima desta tabela, iremos adicionar mais uma linha:

Na parte cinza da tabela acima, sabemos que há 48 maneiras de agrupar tais letras. Ao adicionar uma linha, poderemos reagrupar cada coluna de três maneiras diferentes. Veja por exemplo, se na primeira coluna tivéssemos as letras A e B, ao adicionarmos a nova linha, poderíamos reagrupar das seguintes maneiras:

A segunda e a terceira coluna também poderão ser reagrupadas de três maneiras distintas ao adicionarmos uma linha. Sendo assim, para cada um dos 48 modos possíveis da tabela cinza, poderemos construir 3x3x3 = 27 tabelas diferentes. Portanto, para a primeira situação existem 48 x 27 = 1296 tabelas.

- SEGUNDA SITUAÇÃO (uma coluna com 3 letras, uma com 2 letras e uma com 1 letra):

A coluna que terá 3 letras com certeza será composta por uma letra "A", uma letra "B" e uma letra "C" (pois se há um "A" na coluna não pode haver outro, idem para o "B" e "C"), então uma possível construção para esta situação seria:

Este é UM exemplo de tabela da segunda situação. Mas em cima dele encontraremos a quantidade total.

Veja que a primeira coluna pode ser totalmente embaralhada, ou seja, pode ser ABC (como está na figura), mas também pode ser ACB, CBA, CAB, ... O número total de "anagramas" (por que não? anagramas) será P3 = 3 . 2 . 1 = 6 (permutação de três elementos). Mas ao mesmo tempo que podemos "embaralhar" a primeira coluna, as letras A, B e C da segunda e da terceira coluna podem trocar de lugar entre elas, ou seja, novamente P3 = 6.

E ao mesmo tempo as duas letras da segunda coluna poderiam estar em três posições diferentes:

Veja também que a letra da terceira coluna poderia estar em três posições diferentes também:

E, por último (mas não menos importante), as três colunas podem permutar-se entre sí. P3 = 6.

Com todas estas modificações teremos o número total de tabelas criadas para o segundo caso:

P3. P3

. 3 . 3 . P3 = 1944permutar os elementos da

primeira coluna

permutação dos outros três elementos

posições possíveis para a segunda

coluna

posições possíveis para a terceira

coluna

permutação das três colunas entre sí

Ou seja, a segunda situação nos dá 1944 tabelas.

- TERCEIRA SITUAÇÃO (duas colunas com 3 letras):

Uma possível arrumação para esta situação seria:

P3. P3

. 3 = 108permutar os elementos da primeira

colunapermutar os elementos da segunda

colunaposições possíveis para a coluna em

branco

Portanto, o total de tabelas de acordo com o enunciado será a soma das tabelas encontradas nas três situações:

1296 + 1944 + 108 = 3348

Como resolver o seguinte problema? Tentei resolver mas faço muita confusão com as fórmulas e chego a lugar nenhum.

Um determinado capital x, aplicado no sistema de juro simples, produziu um montante igual a 1,08 x após 4 meses de aplicação. A taxa mensal de juro simples dessa aplicação foi.

a) 2%.b) 2,2%.c) 2,4%.d) 2,5%.e) 2,8%.

Veja:

Espero ter ajudado!

1) O domínio da função é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Neste caso temos duas coisas que podem modificar nosso domínio: divisão por zero e raiz quadrada. Portanto, a raiz não pode ser negativa e o denominador não pode ser zero, temos:

x+1>0x>-1 Resposta certa, letra "D".

2) Se , então é igual a:

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

- Esta é uma questão clássica. Devemos apenas fazer a conta pedida substituindo os valores de "x".

Como temos uma multiplicação de raízes, podemos transformar em uma raiz de multiplicação

Esta é a nossa resposta, letra "D".

3) Se a função é tal que então é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Novamente o que devemos fazer é substituir o valor de x na f(x) por 2x. Sendo assim:

Esta é a resposta, mas não está simplificada, podemos dividir o numerador e o denominador por 2. Assim:

Resposta certa, letra "C"

4) Na equação fizemos , então o valor de é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Substituindo o valor de b por 0 temos:

ax+0·y=2

- Sabemos que 0·y vale zero, portanto pode ser riscado. Agora devemos isolar o valor de x:

ax=2x=2/a Resposta certa, letra "C".

5) (UFRGS) - A solução da equação é também solução da equação . Logo o valor de é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Primeiro devemos achar a solução da equação inicial, ou seja, o valor de x:

Vamos tirar o MMC:

Agora podemos cortar o 6:

Esta é a solução de ambas as equações. Agora para achar o valor de "m", substituindo o valor de x por -2.

2mx - x - 1 = 02m·(-2)-(-2)-1=0-4m+2-1=0-4m+1=0-4m=-1m=1/4 Resposta certa, letra "A".

6) Sejam e funções definidas em por e . O valor de é

(A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Começamos encontrando f(3):

f(3) = 2.(3) + 1, ou seja, f(3) = 7

Se tá pedindo g[f(3)] então tá pedindo g(7):

g(7) = 7 - 3 = 4

Resposta certa, letra "E".

7) Considere a função , de domínio , definida por e . O valor de é

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Com a função dada f(x+1)=3f(x)-2, substituímos o valor de x por x=0:

f(0+1)=3f(0)-2

f(1) = 3f(0) - 2

É dito que f(1) = 4, portanto:

4 = 3f(0) - 2

Isolando f(0):

4+2 = 3f(0)

6 = 3f(0)

f(0) = 6/3 = 2

Quantas são as palavras de 4 letras, formadas apenas por vogais, que têm exatamente duas letras iguais?

(A) 60(B) 120(C) 180(D) 240(E) 360

Vamos traçar quatro "casinhas" que irão comportar as letras da palavra que queremos formar:

__ __ __ __

Temos disponíveis as cinco vogais para colocar nestas quatro casinhas, obedecendo apenas uma regra: devemos ter apenas um par de letras iguais e as restantes todas distintas.

Vamos escolher duas casas que possuirão as letras repetidas. Para este primeiro passo, podem ser quaisquer duas.

__ __ 1__1__

Sendo assim, podemos colocar qualquer uma das 5 vogais na primeira casa (que irá repetir na segunda). Na terceira casa, podemos colocar qualquer uma das vogais, menos aquela que já colocamos na primeira casa, ou seja, temos 4 possibilidades. Já na última casa (a quarta), das 5 letras disponíveis, só poderemos utilizar 3 delas, pois duas já foram colocadas nas primeiras casas e não podemos repetir neste momento!

Sendo assim, podemos escrever da seguinte forma:

__ __

1__1__

5 4 3

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_primeiro_grau/true

Utilizando o principio fundamental da contagem (PFC), teremos, para este caso de repetição nas duas primeiras casa:

5 . 4 . 3 = 60 palavras

Mas este é o número de palavras apenas quando a repetição for nas duas primeiras casa. Temos também as seguintes possibilidades de repetição das vogais:

__

1__ __

1__ Pode ser nas casas centrais

__ 1__1 __ 1__ Pode ser na primeira e na terceira

__ 1__1__1 __...

Cada possibilidade de colocar as repetidas, irá nos gerar 60 novas palavras. Mas quantas possibilidades diferentes de se colocar as vogais repetidas podemos criar?

Aplicando análise combinatória fica fácil. Teremos COMBINAÇÃO de 4 elementos (todas as casas) tomados 2 à 2 (casas repetidas). Isto será:

Portanto, teremos 6 situações em que serão geradas 60 palavras, ou seja, teremos 6 . 60 = 360 palavras!!


que número devemos somar ao numerador e denominador da fração

Documents