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1 RESUMO DE MATEMATICA https://uehelenacarvalho.wordpress.com/ PROF. RANILDO LOPES

APOSTILA DE FRAÇÃO - RESUMO

PROF. RANILDO LOPES

APOSTILA

DE MATEMÁTICA

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FRAÇÕES

b

aO símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então é um número natural. Veja um exemplo: A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é

múltiplo de 2. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos

homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece.

Neste caso, qual é o significado de ? Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes,

consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o

chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte

branca é a parte que sobrou do chocolate. COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

CLASSIFICAÇÃODASFRAÇÕES

Fração própria: o numerador é menor que o denominador: Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. FRAÇÕE SE QUIVALENTES Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. Exemplo: são equivalentes Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador

por um mesmo número natural, diferente de zero.





Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a . SIMPLIFICAÇÃODEFRAÇÕES Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se

ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração

simplificada de . A fração b

a não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração

irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum NÚMEROSFRACIONÁRIOS

Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5. X =1 Substituindo X, temos: X por 0 temos: 5.0 = 0X por 1 temos: 5.1 = 5. Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1.

Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário. Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam

o mesmo número fracionário . Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois . ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e

conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e

conservar o denominador. Observe os exemplos: 2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações

equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

10

?

5

4

10

33

10

25

10

8 (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM • MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.24 também é múltiplo de 1, 2, 3,

4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero,entãodizemos que ele é múltiplo

desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números

naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0,7x1,7x2,7x3,7x4,... = 0 ,7 , 14 ,21 ,28, ... Observações importantes:1) Um número tem infinitos múltiplos2) Zero é múltiplo de

qualquer número natural





• MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...Múltiplos

de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo

múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de

mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. • CÁLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o

cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 330 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22

x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 22

x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados , é o produto dos fatores comuns e

não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. • PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é

o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x5= 120 • PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o

m.m.c.(3,6,30). Observe:

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o

m.m.c. dos números dados. Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60,

que é o produto de 4 por 15. Observe:

Dados dois números primos entre si,o m.m.c. deles é o produto desses números. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador,

e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da

segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:





EXERCÍCIOS:

1) Quanto é 2/7 de 343? 2) Quanto é 5/8 de 144? 3) Quanto é 5/9 de 820? 4) Quanto é 7/9 de 240? 5) Quanto é 5/6 de 340? 6) Quanto é 5/12 de 720? Respostas: 1) 98 2) 90 3)4100/9 4)560/3 5) 675/2 6) 300

Definição: Frações equivalentes são aquelas que representam valores iguais

Exemplo: 2/3

4/6

Sejam a e b dois números inteiros, com b 0, para encontrarmos as frações equivalentes a a / b, multiplicamos, a e b

(numerador e o denominador da fração) por um mesmo número

Exemplos:

Obs. Normalmente, representamos uma fração através da sua equivalente que possui os menores numerais possíveis no

numerador e no denominador. Este processo de encontrá-la chamamos de simplificação.

Nos casos em que já temos as duas frações e queremos verificar se as mesmas são equivalentes e não desejamos fazer o

caminho inverso (caminho de volta ou operações inversas), podemos também usar a propriedade fundamental das proporções,

que diz:

Numa proporção, se duas razões são equivalentes, então o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Na proporção a:b = c: d ou d

c

b

a , a e d são os extremos e b e c são os meios.

Portanto, a. d = b.c

5

3

10

6

2.5

2.3

é equivalente

ou

15

9

3.5

3.3 ou

20

12

4.5

4.3 ou





RAZÃO: é a relação ou quociente entre duas grandezas

QUOCIENTE: resultado de uma divisão

Obs: As frações também indicam uma divisão entre o numerador e o denominador. Ao efetuarmos a divisão entre o numerador e o denominador, obtemos como resultado, o número decimal equivalente à fração.

Símbolo da Razão: a

b (lê-se: razão de a para b)

Neste símbolo, que também pode ser a:b, a é o antecedente e b o conseqüente. Exemplo:

Dividir 144 na razão de 7

5.

Quando queremos dividir um valor numa determinada razão, devemos dividir este valor pelo total das partes.

144:(5+7) = 144:12 = 12 12 é o valor de cada parte do todo. Logo, 5 partes é igual à 5.12 = 60 e 7.12 = 84. Portanto as

partes são: 60 e 84.

Mas se queremos saber quanto é a fração 7

5.de 144, devemos dividir 144 por 7 e o resultado

multiplicar por 5. 144:7 = 20,571 aproximadamente 20,571.5 = 102,855

Toda fração é uma razão entre uma parte e o todo Proporção: proporção é a equivalência entre duas razões

Símbolo a

b =

d

c ou a:b = c:d, com b0 e d0.

Nesta proporção a e d são os extremos e b e c são os meios Exemplos:

1) Se 3

5

6

10 310 56 30 30. . (Verdade, portanto temos uma proporção)

2) Se 2

3

5

92 9 35 18 15 . . (Falso, logo a equivalência não existe, não é uma proporção)

3) Se 8

12

2

38 3 12 2 24 24 . . (Verdade, portanto temos uma proporção)

EXERCÍCIOS:

I) Verifique se as frações são equivalentes, caso sejam equivalentes, coloque V e caso contrário F: 1) 2/7 e 8/28 Resposta: V 2) 12/15 e 21/35 Resposta: F 3) 30/45 e 8/15 Resposta: F 4) 15/18 e 30/36 Resposta: V 5) 14/21 e 15/25 Resposta: F 6) 15/100 e 3/20 Resposta: V 7) 3/7 e 24/56 Resposta: V 8)14/35 e 40/100 Resposta: V 9)12/18 e 25/80 Resposta: F 10) 7/12 e 21/48 Resposta: F 11) 20/42 e 30/63 Resposta: V 12) 42/49 e 48/58 Resposta: F 13) 13/5 e 39/15 Resposta: V 14) 18/12 e 45/20 Resposta: F II) Calcule o valor de x em cada proporção:

1) 10

6

5

x

2)

24

123

x 3) x

10

5

4)

6

31

x 5)

11

11 x

x

6)x

x 18

8

7)

7

3

2

1

x

8)

54

45

3

12

x

x

9)

4

1

3

xx

10)

1

3

4

2

x

x





PROBLEMAS 1) Se em uma receita de bolo para cada 3 xícaras de farinha de trigo usa-se 5 colheres de sopa de açúcar, quantas colheres de açúcar são necessárias para 7 xícaras de farinha? 2) Um alpinista leva um dia para escalar 2/7 de uma montanha. Quantos dias este alpinista levará para escalar outra montanha com o triplo da altura da primeira? 3) Um cachorro come ¾ de sua ração em 5 minutos. Quanto tempo 2 cachorros comerão a ração inteira, supondo que os cães se alimentam na mesma rapidez?

OPERAÇÕES ENTRE FRAÇÕES

I) ADIÇÃO :

+

1 + 2 = 3 4 4 4 Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais, temos partes de tamanhos iguais e

neste caso, para efetuarmos a soma, basta somarmos os denominadores e conservar o denominador, pois o denominador só indica em quantas partes o inteiro foi dividido.

1 + 1 = 5 2 3 6 Quando os denominadores das frações são diferentes, temos uma situação em que queremos

somar pedaços de tamanhos diferentes. Para podermos reduzi-las em frações equivalentes de denominadores iguais, isto é representa-las através de partes iguais.

Mas como fazê-lo? Uma das técnicas para isto, é transformá-las em frações equivalentes com denominadores iguais

ao produto entre os denominadores destas frações. 1 . 2 + 1 . 3 3 . 2 2 . 3

2 + 3 = 5 6 6 6 Como é possível verificar na ilustração, com esta nova divisão, as partes achuradas foram

representadas através de outras frações equivalentes as anteriores e assim foi possível representar a fração da solução.

Vejam que para podermos somar as frações foi necessário encontrar as frações equivalentes às das parcelas que possuem o mesmo denominador.

Para facilitar a transformação das frações das parcelas em frações equivalentes de denominadores iguais, podemos:

1) Encontrar o denominador comum Este denominador comum poderá ser o próprio produto ou qualquer múltiplo entre os

denominadores das parcelas, e dentre eles, poderá ser também o m.m.c. entre os denominadores das parcelas.

Exemplo: 12

11

24

22

24

418

24

4

24

18

6*4

4*1

6*4

6*3

6

1

4

3

ndosimplifica .

II) MULTIPLICAÇÃO De um número por uma fração Quando multiplicamos um número por uma fração, temos que interpreta-la como uma repetição da

fração numa soma, portanto basta multiplicar o numerador pelo número. Exemplos:

a) 2. 2

5

2

5

2

5

4

5 , isto é:

2

1

2

5

2 2

15

4

5.

.

.

b) 3.1

8

1

8

1

8

1

8

3

8 , isto é:

3

1

1

8

3

8.

2) De uma fração por outra fração:

=





Obs. Não tirar de foco, que multiplicar uma fração por outra fração é obter uma fração da outra( um pedaço da outra) logo a tendência é a fração produto ser menor, nos casos em que a primeira fração seja ordinária(menor que 1).

A multiplicação entre duas frações também pode ser escrita como uma fração de uma outra fração e a sua operação é feita através da multiplicação entre os numeradores e entre os denominadores.

Exemplos: 1) 1/2 de 3/5 =1/2 . 3/5 = 1 . 3 / 2 . 5 = 3 / 10

Vejam na figura, que o resultado é a metade do original.

2) 2

3

3

5.

2

5

3) 1

2

3

520dos das balas. .

3

5 de 20 é

3

520

320

5

60

512.

.

1

2 de 12 é

1

212

112

2.

. =

12

26

Estas operações podem ser reduzidas a 1

2

3

520

1320

2 5

60

106. .

. .

.

EXERCÍCIOS : Determine a quantidade relativa a fração dada: 1) Quanto é 23/100 de 4500? Resposta: 1035 2) Quanto é 32/100 de 2500? Resposta: 800 3) Quanto é 3/11 de 121? Resposta: 33 4) Quanto é 5/9 de 252? Resposta: 140 5) Quanto é 7/10 de 120? Resposta: 84 6) Quanto é 2/13 de 390? Resposta: 60 7) Quanto é 5/12 de 60? Resposta: 25 8) Quanto é 11/100 de 2000? Resposta: 220 9) Quanto é 2/5 de 80? Resposta: 32 10) Quanto é 5/8 de 240? Resposta: 150 11) Quanto é ¾ de 50? Resposta: 37,5 ou 150/4 ou 75/2 12) Quanto é 6/12 de 72? Resposta: 36 13) Quanto é 3/7 de 63? Resposta: 27 14) Quanto é 7/12 de 54? Resposta: 31,5 ou

378/12 ou 189/6 ou 126/4 ou 63/2 15) Quanto é 7/8 de 36? Resposta: 31,5 ou 252/8 ou 126/4 ou 63/2.

SIMPLIFICANDO FRAÇÕES

Já vimos que o valor de uma fração não muda quando multiplicamos seu numerador e seu denominador por

um mesmo número.

Agora vamos ver o que acontece quando dividimos o numerador por um mesmo número.

Usando o exemplo acima, é evidente que, se passamos de dois quintos para seis quinze avos,multiplicando por

3, podemos fazer o caminho inverso e voltar a , dividindo por 3 o numerador e o denominador de seis quinze avos.

Quando fazemos isto, dizemos que a fração seis quinze avos foi simplificada.



http://4.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvNvcupcmWI/AAAAAAAAGNQ/3TWa330EC0E/s1600-h/01.JPG

http://1.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvNvoh4dg0I/AAAAAAAAGNY/O64QpGohgSA/s1600-h/02.JPG



Note que nem toda fração pode ser simplificada. Por exemplo, a fração dois quintos não pode ser mais

simplificada porque não podemos dividir seu numerador e seu denominador por um mesmo número para obter

números naturais menores que 2 e 5.

Dizemos que a fração dois quintos é irredutível.

Frações são números?

Mariana já está na 5a. série e sempre gostou de estudar as frações.

Sabe desenhar dois quintos de uma figura,calcular 3 quintos de sessenta,somar dois terços com dois quintos.

Pedimos a Mariana que nos dissesse um número entre 0 e 1.

Após pensar um pouco, Mariana disse: 0,8.

- Muito bem! Está certo! Mas por que você não disse uma fração como um meio ou dois terços?

Ficamos surpresos com a resposta:

- Frações não são números!

Realmente, em certos casos, as frações não parecem números. Vejamos dois exemplos:

Nesses casos as frações não parecem números porque não indicam claramente quantidades e também não

indicam medidas.

No entanto, já vimos que as frações podem indicar medidas e quantidades:

O segmento AB mede um meio centímetro.

Neste caso, a fração parece um número, não é?

Isto nos leva a considerar as frações como números.

Algumas frações se confundem com os números naturais. Por exemplo:

Outras, como tres quintos e vinte e sete oitavos,não podem ser substituídas por números naturais, mas nem por

isso deixam de ser consideradas números.

Os matemáticos deram o nome de números racionais a todos os números que podem ser escritos sob a forma

de fração com numerador e denominador inteiros.

Um aluno contestador

Era uma vez um ótimo professor de Matemática e um aluno muito esperto, daqueles que não perdem a ocasião

de fazer perguntas para atrapalhar o professor.

O professor foi explicando frações e ia tudo muito bem até o dia em que fez vários desenhos no quadro-negro

e pediu aos alunos que copiassem os desenhos e escrevessem embaixo de cada um a fração correspondente.

Nenhum problema. Praticamente todos os alunos acertaram:

O professor, muito satisfeito, enfatizou aquilo que todos estavam vendo:

- As figuras da esquerda mostram pedaços da unidade representados por frações. As da direita podem ser

representadas por frações, mas correspondem a unidades inteiras.

E acrescentou:



http://1.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvNwIaTiFLI/AAAAAAAAGNg/L1O2Kxmp0xo/s1600-h/03.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvNwQBTaHDI/AAAAAAAAGNo/tS10y7Xmyac/s1600-h/04.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvNwU483O5I/AAAAAAAAGNw/mvLfoq2zDFM/s1600-h/05.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvNwdpGoGRI/AAAAAAAAGN4/XdrEcQlnjBU/s1600-h/06.JPG

http://1.bp.blogspot.com/_MT0p2_0Lzds/SvNwmN-z-kI/AAAAAAAAGOA/OI91j3h0QSo/s1600-h/07.JPG



- Apesar dessa diferença, todos esses números são chamados números racionais.

Zezinho, o aluno esperto, pulou na cadeira e, todo irônico:

- Professor, por acaso existem números irracionais!? Ou o senhor está brincando com a gente? Eu pensava que

a Matemática era toda racional!?

O professor, que era brincalhão, respondeu muito sério, impertubável:

- Existem números irracionais. Aliás, são muito mais interessantes do que os racionais. Você vai conhecê-los

daqui a cinco ou seis anos. Foram os gregos que descobriram esses números, através da geometria. Eles descobriram

que certas grandezas não podem ser expressas por meio de frações com numerador e denominador inteiros. Mas não

se impressione com essa designação "racionais". Os Matemáticos poderiam ter inventado outros nomes.

O sinal tocou. O professor saiu da sala conversando com o Zezinho:

- Tomara que você ainda seja meu aluno daqui a cinco ou seis anos. Vamos nos divertir muito juntos, com a

história dos irracionais.

Zezinho acabou fazendo curso de Matemática na faculdade e se tornou professor de Matemática.

Multiplicação Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15.

5

6

5

2

5

2

5

2

5

23

Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais. O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo, Da mesma forma:

9

4

3

2

Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira.

Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas.

Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de", ou um meio de um terço , de um quarto , de, conduzem a divisões.

Para se ter a metade, é necessário dividir por 2. Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3. E assim por diante. Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações.

Comecemos pelo exemplo citado: 9

4

3

2

O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de quatro nonos. Começamos por representar quatro nonos:

Depois, marcamos "a terça parte"

Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte"

Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:

Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo? A parte marcada corresponde a 8/27 do

retângulo todo. Concluímos que 27

8

9

4

3

2

Podemos resumir tudo isso numa regra simples: Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações:

Vamos calcular 4

1

2

1 Temos: . Queremos a metade de 1/4:



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A figura nos mostra que a metade de 1/4 é 1/8 ou seja: 8

1

4

1

2

1

DIVISÃO Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações. 1° caminho: REPARTINDO Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir. Por exemplo, se repartimos 1/3de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade de

1/3 da barra:

Então, o resultado da divisão de 1/3 por 2 é 1/6. 2° caminho: QUANTAS VEZES CABE? Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro. Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8

dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2. Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de 1/2 dividido por 1/4:

Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma questão

de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso. 3° caminho: TRANSFORMANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR Em certos casos é impraticável encontrar o resultado de uma divisão por meio de desenhos. Por exemplo:

qual é o resultado de 3/ 7 dividido por 11/5? Nesses casos, utilizamos duas idéias que já conhecemos: 1a. idéia: Quando se multiplica o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não se altera.

Tanto faz escrever 10 : 5 ou 20 : 10. O resultado é 2. 2a. idéia: O inverso multiplicativo. Aplicamos essa idéia de maneira a transformar o divisor em 1, o que

facilita a divisão pois qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo. Mas, atenção: é preciso aplicar simultaneamente as duas idéias. Vejamos um exemplo:

Neste exemplo multiplicamos o dividendo e o divisor por 5/11.. Mas, por que motivo escolhemos 5/11 para

multiplicar o dividendo e o divisor? Fizemos esta escolha porque 5/11 é o inverso multiplicativo do divisor e transforma o divisor em 1. Então temos:

Acontece que qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo. Então, o ponto de interrogação vale 3/7 x 5/11.Ora, o ponto de interrogação está no lugar da resposta do

problema inicialmente proposto: Chegamos à seguinte conclusão, que é a regra mais geral para a multiplicação de frações: Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela segunda invertida. Voltamos ao problema proposto:



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EXERCÍCIOS DE FRAÇÕES

1) Observe a figura:

a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?

b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?

c) A parte pintada representa que fração do retângulo?

2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a) b) c)

3) Escreva 5 frações equivalentes de:

a) 6

3 b)

6

5 c)

5

4

4) Simplifique as frações:

a) 2

9 b)

16

8 c)

63

35

5)Calcule: a) 20% de 70 b) 50% de 90 c) 10% de 120 d) 45% de 100 e) 1% de 80

6) Transforme para forma fracionária:

a) 4

13 b)

2

11 c

4

11

7) Transforme para forma mista:

a) 10

5 b)

7

12 c)

3

5

8) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:

a) 6

3da pizza b)

6

5da pizza c) a pizza toda

NUMERAÇÃO DECIMAL

Frações Decimais

Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.

NUMERAÇÃO DECIMAL Números Decimais Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

Fração Decimal

Números Decimais

Fração Decimal Números Decimais

Fração Decimal

Números Decimais

100

1

0,01

100

5

0,05

100

117 1,17

Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais. NUMERAÇÃO DECIMAL Leitura dos números decimais



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No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações: Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras: décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal; centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais; milésimos......................................... : quando houver três casas decimais; décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais; centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente. Exemplos: 1,2: um inteiro e dois décimos; 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal. Exemplos: 0,1 : um décimo; 0,79 : setenta e nove centésimos Observação: 1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53: Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e três centésimos; Outras formas: quinhentos e cinquenta e três centésimos; cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos. 2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:

4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00 NUMERAÇÃO DECIMAL

TRANSFORMAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS EM FRAÇÕES DECIMAIS Observe os seguintes números decimais:

► 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, 10

8. ► 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja,

100

65.

► 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, 100

536.

► 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 1000

47

Verifique então que:’ Assim: Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais DECIMAIS EQUIVALENTES

0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS DECIMAIS Divisão 1º: Divisão exata : Considere a seguinte divisão: 1,4 0,05

Transformando em frações decimais, temos: 100

005

10

14

Exemplos: a) 100

005

10

14 Vamos fazer no quadro.

b) 1,4 : 0,05 c) 6 : 0,015 d) 4,096 : 1,6 E)0,73 : 5 Resposta (0,146) f) 2,346 : 2,3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS DECIMAIS

GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação de uma dízima: Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para





denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos: , , ,

Dízima composto : A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde:

n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.

Exemplo:

a)

b) 12,53262626... = 12 + 0,53262626... =




apostila de matemÁtica - … · a o símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b...

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