1

Faculdade de Engenharia

Ondas Electromagnéticas

OpE - MIB 2007/2008

OpE 0708OnEl 2

Faculdade de EngenhariaPrograma de Óptica e Electromagnetismo

Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas

Electrostática e Magnetostática à 8 aulas

Ondas Electromagnéticas à 6 aulas

Óptica Geométrica à 3 aulas

Fibras Ópticas à 3 aulas

Lasers à 3 aulas

2

OpE 0708OnEl 3

Faculdade de EngenhariaOndas Electromagnéticas (6 aulas)

Equações de Maxwell

Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

Campos harmónicos

Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas

Incidência normal

Incidência oblíqua

Polarizações perpendicular e paralela

Reflexão interna total

Princípio de funcionamento dos guias de onda

Interferência

Difracção

(1ª aula)

(2ª aula)

(3ª aula)

(6ª aula)

(5ª aula)

(4ª aula)

OpE 0708OnEl 4

Faculdade de EngenhariaIncidência oblíqua de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMà naHE ˆ⊥⊥rr

ii HErr

e estão no plano na⊥

meio 1( )111 ,, σµε

z

x

meio 2( )222 ,, σµε

iθ

tθrθ

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2. paralelo ao plano de incidência

iEr

iEr

yrajk

ii ueEE ni ˆˆ0

1rr

⋅−=

( )zixirajk

ii uueEE ni ˆsinˆcosˆ0

1 θθ −= ⋅−rr

polarização perpendicular

polarização paralela

( ) yrajk

izixirajk

ii ueEuueEE nini ˆˆsinˆcos ˆ2,0

ˆ1,0

11rrr

⋅−⋅− +−= θθ

polarização perpendicularpolarização paralela

1. perpendicular ao plano de incidência

Caso geral:

3

OpE 0708OnEl 5

Faculdade de EngenhariaPolarizações perpendicular e paralela – convenção

polarização perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr rH

r

nta

tEr

tHr

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr

rHr

nta

tEr

tHr

polarização paralela

componentes do campo eléctrico tangentes à interface mantêm o sentido

OpE 0708OnEl 6

Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – campos eléctrico e magnético

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr rH

r

nta

tEr

tHr

incidente

zixini uua ˆcosˆsinˆ θθ +=

yrajk

ii ueEE ni ˆˆ0

1rr

⋅−=

inii EaHrr

×= ˆ1

1η( )xizi

rajki uueE

ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1 θθη

−= ⋅−r

reflectida

zrxrnr uua ˆcosˆsinˆ θθ −=

yrajk

rr ueEE nr ˆˆ0

1rr

⋅−=

rnrr EaHrr

×= ˆ1

1η( )xizi

rajkr uueE

nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1 θθη

+= ⋅−r

zixi uu ˆcosˆsin θθ −=

transmitida

ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=

yrajk

tt ueEE nt ˆˆ0

2rr

⋅−=

tntt EaHrr

×= ˆ1

2η( )xtzt

rajkt uueE

nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2 θθη

−= ⋅−r

relações entre obtidas

a partir das condições fronteira000 e, tri EEE

importante

4

OpE 0708OnEl 7

Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – campos eléctrico e magnético

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr rH

r

nta

tEr

tHr

condições fronteira àcontínuotanE

contínuotanH ( )0se =SJr

em 0=z tri EEErrr

=+

txrxix HHH =+

xjkt

xjkr

xjki

tii eEeEeE θθθ sin0

sin0

sin0

211 −−− =+

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscosηθ

ηθθ θθθ xjk

ttxjk

irxjk

iitii eEeEeE −−−

−=+−

ti kk θθ sinsin 21 =

000 tri EEE =+

( ) tt

iriE

EE θη

θη

coscos1

2

000

1

=−

OpE 0708OnEl 8

Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr rH

r

nta

tEr

tHr

000 tri EEE =+

( ) tt

iriE

EE θη

θη

coscos1

2

000

1

=−

ti

ti

i

r

EE

θηθηθηθη

coscoscoscos

12

12

0

0

+−

=

ti

i

i

t

EE

θηθηθηcoscos

cos2

12

2

0

0

+=

ti

ti

θηθηθηθη

coscoscoscos

12

12

+−

=Γ⊥

ti

i

θηθηθη

τcoscos

cos2

12

2

+=⊥

coeficiente de reflexão

coeficiente de transmissão

5

OpE 0708OnEl 9

Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr rH

r

nta

tEr

tHr

ti

ti

θηθηθηθη

coscoscoscos

12

12

+−

=Γ⊥

ti

i

θηθηθη

τcoscos

cos2

12

2

+=⊥

coeficiente de reflexão

coeficiente de transmissão

notas

1. ⊥⊥ =Γ+ τ1 (tal como para incidência normal)

2. é possível que 0=Γ⊥ ti θηθη coscos 12 =

⊥= Bi θθ(ângulo de Brewster)

ti nn θθ sinsin 21 =

( )221

12212

1

1sin

µµεµεµ

θ−

−=⊥B

3. se meio 2 for condutor perfeito, 00 =tE1

0

−=Γ=

⊥

⊥τ

21 µµ ≠só possível quando

OpE 0708OnEl 10

Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – campos eléctrico e magnético

incidente

zixini uua ˆcosˆsinˆ θθ +=

( )zixirajk

ii uueEE ni ˆsinˆcosˆ0

1 θθ −= ⋅−rr

yrajki

i ueE

H ni ˆˆ

1

0 1rr

⋅−=η

reflectida

zrxrnr uua ˆcosˆsinˆ θθ −=

yrajkr

r ueE

H nr ˆˆ

1

0 1rr

⋅−−=η

zixi uu ˆcosˆsin θθ −=

transmitida

ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=

( )ztxtrajk

tt uueEE nt ˆsinˆcosˆ0

2 θθ −= ⋅−rr

yrajkt

t ueE

H nt ˆˆ

2

0 2rr

⋅−=η

relações entre obtidas

a partir das condições fronteira000 e, tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr

rHr

nta

tEr

tHr

( )zixirajk

rr uueEE nr ˆsinˆcosˆ0

1 θθ += ⋅−rr

6

OpE 0708OnEl 11

Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – campos eléctrico e magnético

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr rH

r

nta

tEr

tHr

condições fronteira àcontínuotanE

contínuotanH ( )0se =SJr

em 0=z txrxix EEE =+

tri HHHrrr

=+

xjktt

xjkir

xjkii

tii eEeEeE θθθ θθθ sin0

sin0

sin0

211 coscoscos −−− =+

2

sin0

1

sin0

sin0

211

ηη

θθθ xjkt

xjkr

xjki

tii eEeEeE −−−

=−

ti kk θθ sinsin 21 =

( ) ttiri EEE θθ coscos 000 =+

( )2

000

1

1ηη

tri

EEE =−

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr

rHr

nta

tEr

tHr

OpE 0708OnEl 12

Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão

it

it

i

r

EE

θηθηθηθη

coscoscoscos

12

12

0

0

+−

=

it

i

i

t

EE

θηθηθηcoscos

cos2

12

2

0

0

+=

coeficiente de reflexão

coeficiente de transmissão

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr

rHr

nta

tEr

tHr

( ) ttiri EEE θθ coscos 000 =+

( )2

000

1

1ηη

tri

EEE =−

it

it

θηθηθηθη

coscoscoscos

12

12|| +

−=Γ

it

i

θηθηθη

τcoscos

cos2

12

2|| +

=

7

OpE 0708OnEl 13

Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão

notas

1.

=Γ+

i

t

θθ

τcoscos

1 ||||

2. é possível que 0|| =Γ it θηθη coscos 12 =

||Bi θθ =(ângulo de Brewster)

ti nn θθ sinsin 21 =

( )221

2112||

2

1

1sin

εεεµεµ

θ−

−=B

3. se meio 2 for condutor perfeito, 00 =tE1

0

||

||

−=Γ

=τ

21 µµ =quando

coeficiente de reflexão

coeficiente de transmissão

it

it

θηθηθηθη

coscoscoscos

12

12|| +

−=Γ

it

i

θηθηθη

τcoscos

cos2

12

2|| +

=

( )21||

11

sinεε

θ+

=B

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr

rHr

nta

tEr

tHr

OpE 0708OnEl 14

Faculdade de Engenharia

( ) yxjk

iiyrajk

i uezkEjueE ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11 θθτ −⊥

⋅−⊥ Γ+=

r

Campo eléctrico no meio 1 – polarização perpendicular

ri EEErrr

+=1

⊥⊥ =Γ+ τ1

( )[ ] yxjkzjkzjk

i ueeeEE iii ˆsincoscos01

111 θθθτ −⊥

−⊥⊥ Γ+Γ−=

r

onda em propagaçãosegundo

onda em propagação segundo x,com amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr rH

r

nta

tEr

tHr

yrajk

ryrajk

i ueEueE nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11rr

⋅−⋅− +=

zxra

zxra

iinr

iini

θθθθ

cossinˆcossinˆ

−=⋅+=⋅

r

r

( ) yxjkzjkzjk

iyrajk

i ueeeEueE iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111 θθθτ −−⊥

⋅−⊥ −Γ+=

r

nia

8

OpE 0708OnEl 15

Faculdade de EngenhariaIncidência num condutor ideal – polarização perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

iθ

rθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr rH

r

( ) yzjkzjkxjk

i ueeeEE iii ˆcoscossin01

111 θθθ −= −−r

máximos:

mínimos:

( )i

MAX kn

zθπ

cos212

1

+=

ikn

zθ

πcos1

min =

01 2 iMAXEE =

r

0min1 =E

r

( )∞=2σ0

1=

−=Γ

⊥

⊥

τ

02 =Er

( ) yixjk

i uzkeEj i ˆcossin2 1sin

01 θθ−−=

meio 2 condutor ideal

onda em propagação segundo x,com amplitude dependente de z

e

e

OpE 0708OnEl 16

Faculdade de EngenhariaCampo eléctrico no meio 1 – polarização paralela

ri EEErrr

+=1

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr

rHr

nta

tEr

tHr

( ) ( )zixirajk

rzixirajk

i uueEuueE nrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ0

ˆ0

11 θθθθ ++−= ⋅−⋅−rr

=Γ+

i

t

θθ

τcoscos

1 ||||

( )

( ) ( )zixirajk

izixirajk

i

zixirajk

ii

t

uueEuueE

uueE

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

θθθθ

θθθθ

τ

+Γ+−Γ−

−=

⋅−⋅−

⋅−

rr

r

( )

( )( ) zi

zjkzjkxjki

xizjkzjkxjk

i

zixirajk

ii

t

ueeeE

ueeeE

uueEE

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

θ

θ

θθθθ

τ

θθθ

θθθ

+Γ+

−Γ+

−=

−

−

⋅−rr

( )

( )( ) zii

xjki

xiixjk

i

zixirajk

ii

t

uzkeE

uzkeEj

uueE

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

θθ

θθ

θθθθ

τ

θ

θ

−

−

⋅−

Γ+

Γ+

−=r

9

OpE 0708OnEl 17

Faculdade de EngenhariaCampo eléctrico no meio 1 – polarização paralela

ondas em propagação segundo x,com amplitudes dependente de z

onda em propagaçãosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr

rHr

nta

tEr

tHr

( )zixirajk

ii

t uueEE ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11 θθ

θθ

τ −= ⋅−rr

( ) xiixjk

i uzkeEj i ˆcoscossin2 1sin

0||1 θθθ−Γ+

( ) ziixjk

i uzkeE i ˆsincoscos2 1sin

0||1 θθθ−Γ+

OpE 0708OnEl 18

Faculdade de Engenharia

condutor ideal

Incidência num condutor ideal – polarização paralela

máximos de E1x:( )

iMAX

nz

θβπ

cos212

1

+=

i

nz

θβπ

cos1min =

iiMAXx EE θcos2 01 =

0min1 =xE

( )∞=2σ0

1

||

||

=

−=Γ

τ

02 =Er

meio 2 condutor ideal

ondas em propagação segundo x,com amplitudes dependente de z

meio 1

z

x

iθ

rθ

iEr

iHr

nia

nra

y

rEr

rHr

( ) ( )[ ]zirajkrajk

xirajkrajk

i ueeueeEE nrninrni ˆsinˆcos ˆˆˆˆ01

1111 θθrrrrr

⋅−⋅−⋅−⋅− +−−=

( )( ) zii

xjki

xiixjk

i

uzkeE

uzkeEji

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

1sin

0

1sin

0

1

1

θθ

θθθ

θ

−

−

−

−=

mínimos de E1x: e

e

10

OpE 0708OnEl 19

Faculdade de Engenharia

condutorideal

Guias de onda metálicos

meio 1

z

x

iθ

rθ

y

polarização perpendicular:ik

nz

θπ

cos1

=01 =Er

( ) yixjk

i uzkeEjE i ˆcossin2: 1sin

011 θθ−−=⊥

r

( )( ) zii

xjki

xiixjk

i

uzkeE

uzkeEjEi

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2:||

1sin

0

1sin

01

1

1

θθ

θθθ

θ

−

−

−

−=r

em

polarização paralela:ik

nz

θπ

cos1

=01 =xE em

para ambas polarizações, um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em , sem alterar o campo no meio 1ik

nz

θπ

cos1

= ikn

zθ

πcos1

=

OpE 0708OnEl 20

Faculdade de Engenharia

condutorideal

Guias de onda metálicos

meio 1

z

x

iθ

rθ

y

i

nz

θβπ

cos1

=

onda electromagnética é guiada

pelas duas superfícies condutoras

princípio de funcionamento dos guias de onda metálicos

será possível guiar uma onda electromagnética

com meios dieléctricos?

11

OpE 0708OnEl 21

Faculdade de EngenhariaGuias de onda dieléctricos

dieléctrico 1

iθ

rθ

caso geral:

em cada incidência parte da onda é transmitida para o dieléctrico 2

ao fim de alguma distância já a onda no dieléctrico

interior se atenuou consideravelmente

a solução seria garantir que não há

energia transmitida para o meio 2

dieléctrico 2dieléctrico 2

no caso geral, materiais dieléctricos não permitem conduzir

ondas electromagnéticas de forma eficiente

será isto possível?

OpE 0708OnEl 22

Faculdade de EngenhariaReflexão interna total

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn θθ sinsin 21 =

21 nn >

Lei de Snell da refracção

it θθ >

Ângulo crítico

não há onda transmitida para o meio 2ci θθ ≥

º90quetal == tic θθθ1

2arcsinnn

c =θ

Reflexão interna total

cit nn

nn

θθθ sinsinsin2

1

2

1 ≥=

1sin ≥tθ 1sinsin1cos 22 −±=−±= ttt j θθθ

12

OpE 0708OnEl 23

Faculdade de EngenhariaReflexão interna total

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexão interna total

ti

ti

θηθηθηθη

coscoscoscos

12

12

+−

=Γ⊥it

it

θηθηθηθη

coscoscoscos

12

12|| +

−=Γ

1sin ≥tθ

1sincos 2 −±= tt j θθ

Meios não magnéticosεµ

η 0=

rn ε=

n0η

=

ti

ti

nnnn

θθθθ

coscoscoscos

21

21

+−

=Γ⊥

Coeficientes de reflexão

it

it

nnnn

θθθθ

coscoscoscos

21

21|| +

−=Γ

( )( ) 1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

−±

−=Γ⊥

inn

i

inn

i

jnn

jnn

θθ

θθ m ( )( ) 1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

−±

−±−=Γ

inn

i

inn

i

jnn

jnn

θθ

θθ1|| =Γ=Γ⊥

OpE 0708OnEl 24

Faculdade de EngenhariaReflexão interna total – campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 −±= tt j θθ

ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=

rajk nter

⋅− ˆ2

onda que se propaga segundo +x

amplitude decresce exponencialmente com z

tt xjkzk ee θθ sin1sin 22

2 −−−

( )zxjk tte θθ cossin2 +−

dependência espacial dos campos no meio 2:

campos evanescentes

13

OpE 0708OnEl 25

Faculdade de EngenhariaReflexão interna total – campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

iθ

tθrθ

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarização perpendicular

−+−= −−−

xtztxjkzk

tt ujueeEE tt ˆ1sinˆsin 2sin1sin0

22

2 θθθθr

Polarização paralela

yxjkzk

tt ueeEE tt ˆsin1sin0

22

2 θθ −−−=r

−+= −−−

xtztxjkzkt

t ujueeE

H tt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2 θθη

θθr

yxjkzkt

t ueeE

H tt ˆsin1sin

2

0 22

2 θθ

η−−−=

r

{ } xzk

tt

tttmed ueE

HES t ˆsin2

Re21 1sin

2

20*

,

22 −−=×= θθ

η

rrr

{ } xzk

tt

tttmed ueE

HES t ˆsin2

Re21 1sin

2

20*

,

22 −−=×= θθ

η

rrr

energia propaga-se ao longo do guia, não havendo perdas para o dieléctrico 2

OpE 0708OnEl 26

Faculdade de EngenhariaExercício

A região do espaço definida por encontra-se preenchida com um material não magnético e nela

propaga-se uma onda plana de frequência 1.5 GHz caracterizada pelo fasor

Esta onda incide obliquamente na interface com a região , a qual está preenchida com ar.

a) Classifique o estado de polarização desta onda relativamente ao plano de incidência.

b) Determine a direcção de propagação e o ângulo de incidência.

c) Determine a permitividade relativa do meio 1.

d) Obtenha o fasor do campo magnético desta onda.

e) Determine os coeficientes de reflexão e de transmissão.

f) Obtenha os fasores dos campos eléctricos da onda reflectida e da onda no ar.

( ) ( ) ( )V/mˆ, 3440 z

yxji ueEyxE +−= π

r

0<y

0>y

14

OpE 0708OnEl 27

Faculdade de EngenhariaPróxima aula

4ª feira

Incidência em múltiplas interfaces