제 12장 전자기학과 상대론

12.1 특수 상대성 이론 12.1.1 아인슈타인의 가설

12.1.2 상대론의 기하학 (i) 동시성의 상대성.

(ii) 시간지연.

(iii) 로렌츠 수축.

12.1.3 로렌츠 변환식

12.1.4 시공간의 구조 (i) 네 성분벡터.

(ii) 불변간격

(iii) 시공간 그림

12.2 상대론적 역학 12.2.1 고유시간과 고유속도

12.2.2 상대론적 에너지와 운동량

12.2.3 상대론적 운동학

12.2.4 상대론적 동역학

12.3 상대론적 전자기학 12.3.1 자성: 상대론적 현상

12.3.2 장의 변환

12.3.3 장 텐서

12.3.4 텐서로 쓴 전기 동역학

12.3.5 상대론적 전위

12.1 특수 상대성 이론

12.1.1 아인슈타인의 가설

상대성 원리

“모든 관성 기준틀(inertial frame of reference)에서는 물리현상에 대해 똑같은 법칙이 적용된다.”

⇒ “모든 관성 기준틀(inertial frame of reference)에서는 같은 조건에서 같은 물리현상이 나타난다.”

보기 1. 관성기준틀: 직선궤도를 따라 등속으로 달리는 기차에 실린 당구대 (그 위의 당구알의 운동)

2. 가속기준틀: 원궤도를 따라 등속원운동하는 기차에 실린 당구대 (그 위의 당구알의 운동)

전기역학에서의 상대성 원리?

를 지나가는 도선고리에 기전력이 생겨남:

1) 기차에 탄 사람의 해석: 기전력은 패러데이 유도법칙에 의한 것

2) 땅에 서있는 사람의 해석: 기전력은 로렌츠 힘에 의한 것

전혀 다른 두 해석이 똑같은 결과를 내는 까닭 = 전자기 현상에서도 상대성 원리가 성립

상대성에 관한 아인슈타인의 두 가설

1. 상대성 원리: 물리법칙은 모든 관성 기준틀에서 똑같다.

2. 빛의 속력의 보편성: 진공에서의 빛의 속력은 모든 관성 기준틀에서 똑같다.

12.1.2 상대론의 기하학

(i) 동시성의 상대성

달리는 기차의 천정 가운데 매달린 등을 켤 때, 빛이 양끝에 이르는 시각

1) 기차에 탄 사람 같은 시각

2) 땅에 서있는 사람 뒤 끝에 먼저 이르고, 앞 끝은 그 다음에

결론: 어떤 기준틀에서 동시에 일어난 두 사건이 다른 기준틀에서는 다른 시각에 일어날 수 있다.

(ii) 시간지연

달리는 기차의 천정 가운데 매달린 등을 켤 때, 빛이 바닥에 이르는데 걸리는 시간

1) 기차에 탄 사람

2) 땅에 서있는 사람 ⇒

결론: (움직이는 시계는 느리게 간다.)

모순? 상대성 이론에 따르면 기차에서 볼 때, 땅에 있는 시계가 느리게 가는 것으로 보이지 않는가?

대답: 그렇다

핵심: 움직이는 시계(C)의 빠르기를 알려면

1) 시각을 맞춘 시계 두 개(A, B)를 마련하여 벌려 놓고,

2) C가 A와 B를 차례로 지나가는 순간의 두 시각을 재어 구한 시간을 비교한다.

⇒

(iii) 로렌츠 수축.

기차가 앞쪽에 거울, 뒤쪽에 등을 달고 달릴 때 빛이 가서 반사되어 오는데 걸리는 시간

1) 기차에 탄 사람

2) 땅에 서있는 사람 ⇒

결론: (움직이는 물체는 짧아진다; 속도와 직각방향의 길이는 짧아지지 않는다.)

※

12.1.3 로렌츠 변환식

갈릴레오 변환식 (갈릴레오 상대론의 시공간 좌표 변환식: 시공간의 원점이 일치하는 조건)

(i) 로렌츠 수축과 어긋남 ⇒

(iv) 동시성의 상대성, 시간 지연 등과 어긋남 ⇒

로렌츠 변환식 (아인슈타인 상대론의 시공간 좌표 변환식)

예제 12.6 아인슈타인 속도 덧셈규칙

,

,

※ 로렌츠 변환식

12.1.4 시공간의 구조

(i) 네 성분벡터

변수 기호 도입: ;

로렌츠 변환 행렬식 또는

4-벡터 ≡ 로렌츠 변환에 대해 처럼 변환되는 성분이 넷인 양의 집합

또는

4차원 점곱 ≡ 두 4-벡터의 점곱

1) 정의:

2) 성질: (로렌츠 변환에 대해 불변)

반변 4-벡터와 공변 4-벡터

1) 반변 4-벡터:

2) 공변 4-벡터:

3) 4차원 점곱의 다른 표현

(ii) 불변간격

두 사건 A와 B의 시공간 변위 4-벡터 및 간격

1. 시공간 좌표 4-벡터

,

2. 변위 4-벡터

3. 두 사건의 간격

4. 분류 1) 시간같은 간격 (두 사건이 같은 곳에서 시차를 두고 생기는 기준틀이 있음)

2) 공간같은 간격 (두 사건이 동시에 생기는 기준틀이 있음)

3) 빛같은 간격 (두 사건이 빛신호로 연결됨)

※ 인과율로 연결된 사건은 언제나 시간같고, 그 시간적 순서는 어느 기준틀에서도 같다.

(iii) 시공간 그림

민코프스키 그림 (Minkowski diagram):

가로축을 공간, 세로축을 시간()으로 잡아 물체의 시공간 궤적을 나타낸 그림

세계곡선(world line)

민코프스키 그림에서의 입자의 궤적

- 현재:

- 과거: 뒤쪽 빛원뿔

- 미래: 앞쪽 빛원뿔

12.2.1 고유시간과 고유속도

고유시간, 보통시간: 속도 로 움직이는 물체에 붙은 시계가 를 갈 때, 벽걸이 시계는 를 간다

: 고유시간 [불변량]

: 보통시간 [기준틀에 따라 값이 다름]

보통속도, 고유속도, 4-속도(고유속도 4-벡터)

1. 정의 보통속도 고유속도

4-속도

2. 변환식 보통속도 4-속도

⇒

12.2.2 상대론적 에너지와 운동량

운동량의 상대론적 확장? 운동량 ≡ 질량 x 속도 (보통/고유? 속도)

선택의 근거: 운동량 보존법칙

상대론적 운동량 4-운동량 (에너지-운동량 4-벡터)

상대론적 질량

4-운동량의 크기의 제곱(자체 점곱)

상대론적 에너지

●

※1. 정지 에너지

※2. 운동 에너지

“고립계에서는 총 상대론적 에너지와 운동량이 보존된다.”

※ 보존량 vs 불변량?

보존량: 모든 기준틀에서 값이 똑같은 양 (다른 기준틀 끼리 비교)

불변량: 물리, 화학적 변화과정 전․후에 값이 똑같은 양 (한 기준틀 속에서, 변화과정 전․후의 값 비교)

보존량 불변량

전하 ○ ○

질량 × ×

에너지 ○ ×

속도 × ×

운동량 ○ ×

⇒

⇒

12.2.3 상대론적 운동학

입자의 붕괴에 충돌

예제 12.7 완전비탄성 충돌

Q: 충돌 후의 복합체의 질량 ?

운동량 보존:

에너지 보존: (질량이 늘었음!)

※ 미시적인 에너지는 물체의 질량으로 나타난다: 용수철을 압축하면 더 무거워진다.

예제 12.8 입자의 붕괴

Q: 뮤온의 에너지 ? ( 으로 가정)

운동량 보존:

에너지 보존: (※ )

⇒

예제 12.9 콤프턴 산란

Q: 산란된 광자의 에너지 ?

운동량 보존:

수직방향

수평방향

에너지 보존:

산란된 광자의 에너지와 운동량 사이의 관계:

⇒

광자의 파장으로 나타내면

※

Compton wavelength

12.2.4 상대론적 동역학

뉴턴의 운동법칙의 상대론적 확장

• 제 1 법칙 (관성의 법칙) 그대로 적용된다.

• 제 2 법칙 (운동의 법칙) 다음 꼴이면 그대로 적용된다:

• 제 3 법칙 (작용-반작용의 법칙) 일반적으로는 그대로 적용되지 않는다.

두 힘이 같은 곳에 작용할 때(접촉력)만 적용된다.

일-에너지 정리의 상대론적 확장

힘 벡터의 상대론적 변환

고유 힘 (민코프스키 힘)

※ 공간성분:

※ 시간성분: (에너지 증가율 [일률])

⇒

예제 12.12 숨겨진 운동량

고른 전기장 속에 있는, 정상전류가 흐르는 네모꼴 도선 고리의 전하의 총운동량?

풀이

전기장의 방향 때문에 위에서는 전하밀도가 높고 속력은 느리며,

아래에서 전하밀도가 낮고 속력은 빠르다.

키르히호프 법칙(정상전류): ⇒

운동량 1) 왼쪽과 오른쪽 토막의 전하의 운동량을 더한 값은 대칭성에 따라 0.

2) 위쪽과 아래쪽

※ : 에너지 이득(전기력이 해준 일) ⇒

12.3 상대론적 전자기학

12.3.1 자성: 상대론적 현상

자성 = 정전기학 + 상대론

Q: 전류가 흐르는 도선 주위에서 움직이는 전하가 받는 힘?

: 도선에 고정된 기준틀

- 도선: 양/음전하는 각각 오른/왼쪽으로 속력 로 움직이며, 전기적으로 중성

- 전하 : 오른쪽으로 속력 로 움직임

가 받는 전기력은 0, 자기력은

: 전하 에 고정된 기준틀

- 도선: ±전하의 속력:

⇒ 로렌츠 수축의 차이: ≠ ⇒ 전하밀도 차이: ≠ ⇒ 알짜전하:

가 받는 자기력은 0, 전기력은

12.3.2 장의 변환

Q: 전자기장의 상대론적 변환규칙?

상황 1. 고른 전기장에 대해 직각으로 움직일 때

: 극판에 고정된 기준틀

전하: 표면전하 ; 전류: 표면전류

전기장 자기장

: 극판에 대해 속도 로 가는 기준틀

전하: 표면전하 ; 전류: 표면전류

전기장 자기장

결론 1: 운동방향과 직각인 전기장 성분의 변환 ●

상황 2. 고른 전기장과 나란히 움직일 때

표면전하밀도는 같고, 전극의 간격만 좁아진다 (로렌츠 수축).

결론 2: 운동방향과 나란한 전기장 성분은 변하지 않는다: ●

상황 3. 직교하는 고른 전기장과 자기장에 대해 직각으로 움직일 때 (1)

: 에 대해 속도 로 가는 기준틀

전하: 표면전하 ; 전류: 표면전류

전기장 자기장

: 에 대해 속도 로 가는 기준틀 (에 대해 )

전하: 표면전하 ; 전류: 표면전류 ± ∓ ※

전기장 자기장

※

결론 3: ●

상황 4. 직교하는 고른 전기장과 자기장에 대해 직각으로 움직일 때 (2)

: 에 대해 속도 로 가는 기준틀

전하: 표면전하 ; 전류: 표면전류 ± ∓

전기장

자기장

: 에 대해 속도 로 가는 기준틀 (에 대해 )

전하: 표면전하 ; 전류: 표면전류 ± ∓

전기장

자기장

결론 4: ●

⊥ ⊥ ×⊥

⊥ ⊥

×⊥

상황 5. 고른 자기장에 대해 나란히 움직일 때

: 코일에 고정된 기준틀

: 에 대해 속도 로 가는 기준틀

(로렌츠 수축) (시간 팽창)

⇒ ● 결론 5: 운동방향과 나란한 전기장 성분은 변하지 않는다.

모음

특별한 경우

1. 에서 일 때: ⊥,

×⊥

×

2. 에서 일 때: ⊥, ×⊥ ×

12.3.3 장 텐서

전자기장의 변환식 ⇒ 전자기장은 4-벡터의 공간성분이 아니다.

반대칭 2차 4-텐서(독립성분이 6개: [4x4 - 4]÷2=6)

로렌츠 변환행렬, 4-벡터와 4-텐서의 변환식

1) 축을 따라 속력 로 움직일 때의 변환행렬

2) 4-벡터의 변환식

3) 2차 4-텐서의 변환식

반대칭 2차 4-텐서

1) 반대칭성:

2) 일반적인 꼴:

3) 변환의 보기: 축을 따라 속력 로 움직이는 기준틀에서의 값

정리: ,

,

,

,

,

,

장텐서

1) 정의

2) 짝텐서 → → →

12.3.4 텐서로 쓴 전기 동역학: 전기역학 법칙의 상대론적 형식

1) 전기장과 자기장 ⇒ 반대칭 이차 4-텐서

2) 전하와 전류 ⇒ 전류밀도 4-벡터

≡ ,

∇⋅ (전하보존법칙)

3) 맥스웰 방정식 ⇒ 의 발산

∇⋅

; ∇×

∇⋅ ; ∇×

※

⇔

4) 로렌츠 힘 ⇒ 민코프스키 힘

≡

⋅

; ×

12.3.5 상대론적 전위

4-벡터 전위

1) 정의 ≡

2) 장텐서

3) 로렌츠 게이지

4) 파동 방정식