5 알짜힘과 2차원 운동

1922년, 유명한 서커스단 집안인 짜키니 집안의 한 사람이

처음으로 사람 포탄으로서 포에서 발사되어 운동장을 가로질러

안전망에 떨어졌다. 이 사람들은 짜릿함을 더 하려고 점차 비행

고도와 거리를 늘려 1939년 또는 1940년 마침내 에마누엘

짜키니가 큰 바퀴 관람차 세 개를 넘어 총 수평거리 69m를

날아갔다.

이 사람은 어떻게 안전망을 어디에 두어야 할지 알았고, 큰 바퀴 관람차와 부딪치지 않을 것을 확신할 수 있었을까?

5-2 발사체 운동

발사체 운동: 땅에서 쏘아 올린 물체가 올라갔다가 다시 떨어지는 운동

1) 공의 경로가 왜 이런 모양이 되는가?

2) 이 곡선은 어떤 종류인가?

※ 물체가 알짜힘을 받지 않으면 등속 직선운동을 한다.

※ 물체는 땅 가까이에서 아래로 9.8 m/s의 가속도가 생긴다.

갈릴레오 가설

마찰이 없는 수평면으로 발사된 물체의 운동

- 수평 방향: 등속 운동

- 수직 방향: 등가속 운동

실험적 근거

0.40 s

≈ - 0.85 m

≈ s

m

-10.6 m/s (9.8 m/s)

결론: 발사체 운동의 수평, 수직 성분은 서로 독립적이고,

경로는 포물선 꼴이다.

이상적인 발사체 운동

물체가 중력만 받을 때, 이상적인 발사체 운동을 한다.

생각 5-1위의 오른쪽 그림에 밝은 색으로 나타 낸 골프공의 운동에서(a) 수평 속도 성분이 수직 가속도와 수직 속도 성분을 변화시키는가?(b) 공이 떨어진다는 사실이 수평 방향 속도 성분에 영향을 주는가?

생각 5-2오른쪽 그림의 스케이트 보드꾼이 뛰어 올랐다가 내려오는 동안 수직 가속도와 수직 속도가 수평 속도에 어떤 영향을 주는가?

따라 5-1 골프공

높이 1.0 m, ⟨⟩ = 1.3 m/s, = 0.10 s

(a) 공이 바닥에 떨어지는 시각?

(b) 그 때의 수평 위치?

풀이

(a) 수직 방향은 등가속 운동

= -1.0 m, = 0.0 m; = 0.0 m/s; = (-9.8 m/s)j

msm

0.45 s

(b) 수직 방향은 등속 운동 ⇒ 평균 속도 = 순간 속도

= 0.0 m, = ⟨⟩ =1.3 m/s, = 0.45 s

ms s = 0.59 m

5-3 이상적인 발사체 운동 분석

속도 성분과 발사 각도

발사각 , 처음 속력

처음 속도의 , 성분 cos, sin시간 대 위치 및 속도

힘과 가속도 gj ⇒ g j (수평 방향 등속, 수직 방향 등가속)

속도 i g j 위치 i

g j

수평 및 수직 방향 운동

수레 위에 똑바로 세운 대포에서 쏘아올린 발사체의 운동

수평 방향: 등속 운동

수직 방향: 등가속 운동

생각 5-3이상적인 발사체 경로가 오른쪽 그림과 같을 때, 세 점에서의 다음 벡터를 그려라: (a) 알짜 힘 벡터(b) 가속도 벡터(c) 속도 벡터와 수평 및 수직 성분 벡터

생각 5-4: 오른쪽 그림에 보인 발사체를 살펴보자. (a) 처음 속도의 성분이 = 2.3 m/s, = +3.5 m/s 이다.

발사각을 구하라. (b) 발사각을 각도기로 재고, 셈한 값과 비교하라.

생각 5-5: 야구공이 외야로 날아가 올라갔다 내려오는 동안 그리고 가장 높은 곳에서 (공기의 영향은 무시) (a),(b) 속도의 수평 및 수직 성분은 어떻게 되는가? (c) 가속도의 수평 및 수직 성분을 구하라.

따라 5-2: 인명 구조기

구조기: 고도 = 500m, 속도 = (198km/h)i구명 를 생존자 가까운 곳에 떨어뜨려야 함.

(a) 구명 를 떨어뜨려야 할 때의 각도 ?

(b) 구명 가 물에 닿을 때의 속도 ? (단위벡터, 크기와 각도)

※ 구명 의 운동: 수평 방향: 등속 운동 ( = ),

수직 방향: 등가속 운동 ( g)풀이

(a) 각도 는, 생존자까지의 수평거리를 라 하면 tan

구명 를 떨어뜨릴 때를 =0 s, 생존자가 받을 때를 라 하면

수직 방향 운동: g ⇒

g

수평 방향 운동: ⇒ g

tan g tan ⋅× s

m⋅ ms m

49 도

(b) 직각좌표성분

i gj

i gg j ⋅× s

m i ⋅msgm j = (55.0 m/s)i + (-99.0 m/s)j

크기와 방위각

ms ms 113 m/s

tan

tanmsms - 61 도

따라 5-3 대포알 곡예사 재키니

처음 속력 = 26.5 m/s, 발사각 = 53, 처음 높이 = 3 m

(a) 첫째 바퀴 관람차를 넘겠는가?(b) 곡예사의 최고 높이?(c) 안전망은 어디에?

※ 수평운동: 등속 운동 ( cos) 수직운동: 등가속 운동 ( sin, g)풀이

(a) 수평 위치 cos ⇒ cos

수직 위치 sin g

tan g cos

m tan m ms

mscos

m

= 23.3 m

(c) 떨어지는 곳: ⇒ sin g

⇒ (쏘아 올릴 때), g sin

(떨어질 때)

cos g sin

ms

ms sin = 69 m

5-4 2차원에서의 변위

직각 좌표

위치 벡터 i j 보기: m i m j

변위 벡터 ≡ i j i j i j

i j

생각 5-6

(a) = (-2 m, 4 m), = (6 m, -2 m); ?

(b) 이 어느 좌표축과 나란한가?

극 좌표

cos, sin

, tan

따라 5-4 변위

m i m j , m i m j?

풀이 ≡ i j

m m i m m j m i m j따라 5-5 토끼의 발자취

ms ms m ms ms m

(a) s(b) s에서 s 까지의 자취?

풀이

(a) s ms s mss m 66 m

s ms s mss m -57 m

(b) 오른쪽 그림

5-5 평균 및 순간 속도

평균 속도 ⟨⟩ ≡

i j

⟨⟩i ⟨⟩j

순간 속도 ≡ lim→

i j

i j

생각 5-7 msi msj(a) 시계방향으로 돌 때의 위치?

(b) 반시계방향으로 돌 때의 위치?

따라 5-6 토끼의 속도

ms ms m ; ms ms m s (직교좌표 식, 극좌표 식)?

풀이

ms ms,

ms ms

직교좌표 식: i j s ms s ms -2.1 m/s

s ms s ms -2.5 m/s

s msi ms j극좌표 식:

s ms ms 3.3 m/s

s tan

s tan ms

ms 50 도, -130 도

5-6 평균 및 순간 가속도

평균 가속도 ⟨⟩ ≡

i j ⟨⟩i ⟨⟩j

순간 가속 ≡ lim→

i j i j

생각 5-8오른쪽 그림에서 입자가 곡선 경로를 따라 움직이는데,

가속도 는 경로의 접선 방향이 아니다.

어느 때 가 경로의 접선 방향이 되는가?

따라 5-7 토끼의 가속도

s (직교좌표 식, 극좌표 식)?

풀이

ms ms, ms ms

-0.62 m/s,

0.44 m/s

직교좌표 식

msi msj (일정 가속도)

극좌표 식:

s ms ms 0.76 m/s

s tan

s tan ms

ms -35 도, 145 도

따라 5-8 속도 변화

처음 속도: = 0 s, (-2.0 m/s)i + (4.0 m/s)j ; 가속도 : = 3.0 m/s, = 130 도 s? (직교좌표 식, 극좌표 식)?

풀이

운동의 특성: 등가속 운동 , ??? ,

가속도의 직각좌표 성분 cos ms cos -1.93 m/s

sin ms sin +2.30 m/s

속도의 직각좌표 성분 s ms ms s -11.7 m/s

s ms ms s 15.5 m/s

msi msj속도의 극좌표 성분 ms ms 19.4 m/s ≈ 19 m/s

tan -53 도 , 127 도

5-7 등속 원운동

등속 원운동: 일정한 속력으로 원둘레를 따라 가는 운동

구심력

힘의 방향과 운동 상태의 변화 속도와 나란한 힘 = 운동 방향 불변, 속력 변화(가속 또는 감속)

속도와 수직한 힘 = 운동 방향 변화, 속력 불변

줄에 매달려 등속 원운동하는 공이 받는 힘

수직 방향: 위치 불변 ⇒ 알짜힘 = 0: 줄

중력

수평 방향: 등속 원운동 ⇒ 알짜힘: 원의 중심쪽 ⇒ 가속도: 원의 중심쪽 (구심 가속도)

구심 가속도 (방향, 크기?)

⟨⟩

: 이 값을 구하려면 를 의 함수로 알아야 함

방향? 원의 중심 방향

크기? ∝ ∝ , 비례상수? △(

)와 △(

)이 닮음꼴

⇒

구심력의 보기

구심력: (구심) 가속도 ⇒ (구심) 력: 구심 구심

급회전 자동차

자동차가 왼쪽으로 돌면, 차에 탄 사람은 오른쪽으로 밀리는 까닭?

인공위성

우주선이 궤도 비행을 할 때, 우주인들은 우주선 안에서 둥둥 떠다니는 까닭? (무중력인가?)

생각 5-9

따라 5-9