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O USO DAS PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL COMO
ATIVIDADES INVESTIGATIVAS NO ENSINO DE ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Christiano Otávio de Rezende Sena1
1Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – CEFET-MG/ Coordenação de Matemática e
Desenho Básico, [email protected]
Resumo
Esse artigo apresenta resultados de uma Pesquisa de Mestrado Profissional em Ensino de
Ciências e Matemática realizada com a elaboração, aplicação e análise de Atividades
Investigativas relativas ao Triângulo de Pascal, suas propriedades e seus padrões. O objeto
de estudo e investigação consistiram na análise da contribuição deste conteúdo para o
ensino e aprendizagem de Análise Combinatória. As propriedades do Triângulo de Pascal
podem ser interpretadas em situações-problema e serem justificadas tanto algebricamente
como por argumentos combinatórios. Foram trabalhadas sete atividades na Pesquisa, mas
neste artigo foi tratada apenas referente à Relação de Stifel. Os referenciais teóricos
metodológicos que alicerçam essa investigação são a Resolução de Problemas, as
Atividades Investigativas e Análises de Erros.
Palavras-chave: Análise Combinatória, Triângulo de Pascal, Resolução de Problemas,
Atividades Investigativas, Análise de Erros.
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO COTIDIANO E A SUA INSERÇÃO NO CONTEXTO ESCOLAR
A aprendizagem do indivíduo em formular e resolver problemas começa na sua
experiência escolar, no universo da sala de aula. Diante de alguns insucessos obtidos no
passado, como a ênfase nas deduções, no rigor matemático e na linguagem formal que
foram propostos à época do Movimento da Matemática Moderna, a resolução de
problemas pode ser vista, atualmente, como uma nova experiência para diminuir as taxas
de insucesso nas avalições a respeito da aprendizagem, não somente em Matemática como
nas demais áreas do conhecimento.
Entretanto, resolver problemas tem sido um grande desafio na escola. Na maior
parte das situações se dá mais valor à forma que ao conteúdo. Toma-se um problema como
referência, o professor apresenta uma solução para esse problema e em seguida o aluno
repete o procedimento de maneira mecânica em outros problemas do mesmo tipo. Dessa
forma, o aluno não desenvolve a estratégia de raciocínio para a resolução de um problema,
ou seja, o aluno não aprende com significado de aprendizagem. E a consequência disso é
que pouco tempo depois esse “conhecimento” se perde.
Considerar a prática educativa com a metodologia de Resolução de Problemas vai
muito além de seguir uma receita mencionada no parágrafo anterior. Segundo D’Ambrosio
(1997), o professor não pode circunscrever a sua prática a resolver ele mesmo os
problemas, mas antes desenvolver um processo no qual haverá o questionamento e o
consequente debate que será desenvolvido com a construção de um plano de ação. E o
processo de construção de conhecimento dos alunos ocorre a partir das experiências
pessoais por parte de cada indivíduo. Assim, sustentada por uma metodologia de
aprendizagem por descoberta e não por repetição, o conteúdo não é apresentado aos alunos
de forma pronta, acabada, mas passam por um estágio de plena discussão, estabelecendo
entre as partes (professor e alunos) uma relação dialógica.
Em seu livro “A arte de resolver Problemas”, Polya (1994) esclarece que os
procedimentos repetitivos e mecânicos na resolução de um problema dificultam e até
mesmo paralisam o processo de desenvolvimento intelectual dos alunos. O autor propõe
um método, dividido em quatro etapas para a Resolução de Problemas, para que esses
sejam desenvolvidos pelos alunos. Dessa forma, as quatro etapas citadas por Polya (1994)
tem o objetivo de contribuir para o desenvolvimento no processo de resolução de um
determinado problema. No decorrer das etapas, os alunos deverão fazer os
questionamentos necessários para que haja uma organização do pensamento de uma
maneira mais sistemática e eficiente.
Portanto, é nesse contexto de dúvidas e questionamentos, o qual também envolve
pesquisa e estudo por novas ideias que torne possível uma melhor compreensão de como se
podem estabelecer condições favoráveis para que os alunos aprendam Matemática de
modo eficiente e verdadeiramente com significado, pesquisa-se para que o foco se volte
para análises que apresentem a elaboração de uma reflexão sobre o sentido da Resolução
de Problemas no contexto da prática escolar.
A INVESTIGAÇÃO NO ENSINO DE MATEMÁTICA
A educação passa por um processo de profunda transformação, onde se pode
constatar no número cada vez maior de pesquisas sobre ensino em todas as áreas do
conhecimento e, particularmente, na Educação Matemática. A escola reflete de modo
imediato essas transformações, na qual se percebe o crescente volume dos conteúdos nos
currículos das disciplinas, o que de certa forma distancia cada vez mais o pensamento
crítico e as experiências das práticas escolares, pois não há tempo e espaço suficientes para
refletir ou vivenciar uma aquisição de conhecimento, pois este é rapidamente substituído
por outro, as transformações são contínuas e há uma constante desatualização das
informações.
Ensinar Matemática através de processos investigativos passa pela mudança de foco
na prática escolar, fazendo com que a aula deixe de ser simplesmente uma transmissão de
conteúdo. E, nessa mudança há consequências naturais como, por exemplo, a reflexão
sobre as diferentes estratégias metodológicas que podem ser adotadas em determinadas
situações. Assim, nessa proposta didática o professor participa e incentiva discussões,
propõe novos questionamentos conduzindo o processo de ensino com maior dinamismo.
Um exemplo dessa situação pode ser visto nos softwares voltados à educação. Há
vários programas gráficos, como Winplot, Geogebra, Mathlab, dentre outros, de Geometria
dinâmica que possuem a grande facilidade de permitir a criação e movimentos de objetos
na tela. Uma de suas várias ferramentas é o de apresentar o gráfico quando o aluno insere
uma função. Segundo Borba e Villareal (2005), ressalta-se o apelo visual desses softwares
de Geometria dinâmica proporcionando diferentes estratégias em complemento ao lápis e
papel. É possível, por exemplo, analisar o comportamento de uma função variando seus
parâmetros e, fazer uma comparação mais clara da relação entre o algébrico e o gráfico.
Assim, ampliam-se significativamente as possibilidades de investigação e de
experimentação matemática oferecida por essas mídias, uma vez que tais possibilidades
permitem aos alunos fazerem construções que se fossem feitas com régua e compasso, não
haveria a possibilidade de interação com o desenho, por ele ser estático. Os recursos
apresentados pelos softwares dá aos alunos a possibilidade de fazer simulações para
confirmar ou refutar conjecturas, fazendo, assim, descobertas através do processo
investigativo.
O termo Investigação se caracteriza por determinado contexto. A terminologia
utilizada pelos educadores pode variar conforme a época, o lugar e até mesmo o autor. Para
Ponte, Brocado e Oliveira (2005, p.13): “[...] para os matemáticos profissionais, investigar
é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando
identificar as respectivas propriedades”. Porém, independente da formalidade de como se
define o conceito de Investigação Matemática, o fato é que as questões abertas, ou seja, as
situações no qual as questões não estão totalmente formuladas tem potencial para que o
aluno exerça a Investigação desde o primeiro momento.
Na prática escolar, com a abordagem metodológica baseada em Atividades
Investigativas e Resolução de Problemas, alguns pesquisadores também apontam diversas
semelhanças e diferenças entre as metodologias, uma vez que há muitos pontos de
convergência bem como características peculiares de cada uma delas. Segundo Ernest
(1996), um ponto de divergência pode ser observado na formulação das questões: enquanto
na Resolução de Problemas a questão já é previamente formulada, na Investigação esse
será o passo inicial a ser trabalhado. Outra diferença, é que na Resolução de Problemas
procura-se alcançar determinado objetivo, não acessível imediatamente, ao passo que na
Investigação o propósito está na própria exploração do problema.
Ainda de acordo com o mesmo autor, há diferenças mais claras acerca da
comparação dos processos metodológicos quanto ao papel tanto do professor quanto do
aluno. Na metodologia baseada na Resolução de Problemas, o professor propõe a questão e
cabe ao aluno encontrar uma maneira de solucioná-la, em contraste com a metodologia de
Investigação, no qual o professor discute com o aluno sobre a situação de partida, cabendo
a ele determinar esse ponto de partida, formulando as questões e determinando quais são os
problemas surgidos a partir da situação proposta. Por isso, muitas são as pesquisas que
destacam a abordagem metodológica de Investigação, por caracterizar um enorme
potencial educacional, conduzindo o aluno a um pleno desenvolvimento de sua capacidade
criativa.
Segundo Ponte (2003), uma atividade centrada na Investigação Matemática, os
alunos se deparam com situações que necessitam a criação de hipóteses, a elaboração de
conjecturas, a verificação dos resultados, para que busquem falhas no processo ou apoio de
fundamentos que os confirmem.
Em uma Atividade de Investigação, é necessário que a experiência possibilite o
aluno arriscar, conjecturar, sem temores ou receio do fracasso. No desenvolvimento da
atividade surge naturalmente a descoberta de relações entre elementos matemáticos e
propriedades desses elementos e suas relações. Para Ponte e outros (1998) uma
Investigação Matemática se inicia com uma situação que possa ser compreendida e
posteriormente descrita com termos matemáticos. Os autores salientam a importância de
observar as informações disponíveis, fazer suposições, testá-las, argumentar em termos
plausíveis sua veracidade. Para o autor, todas essas ações tornam-se indispensáveis em
uma atividade investigativa constituindo mesmo a própria essência desta. E, nessa tarefa,
assume o professor papel decisivo de sustentar o equilíbrio entre manter a autonomia do
aluno como investigador e orientar em medida, para que o trabalho flua naturalmente de
maneira satisfatória. O trabalho de Ponte (2003) mostra que é possível encontrar, de acordo
com o autor, quatro aspectos principais em uma Investigação Matemática. O primeiro
refere-se à identificação da situação, sua exploração preliminar e formulação das questões.
O segundo aspecto remete a Investigação à formulação de conjecturas. O terceiro inclui a
um refinamento das conjecturas obtidas anteriormente após a realização de testes. E o
quarto e último aspecto numa Investigação Matemática é o da argumentação e avaliação do
trabalho.
Segundo Ponte (2003), pode-se sempre programar o modo de começar uma
investigação, mas não se sabe como ela irá acabar. A variedade de percursos que os alunos
podem seguir é enorme, podendo ocorrer avanços, recuos e divergências. Erros conceituais
são esperados, numa rica multiplicidade de situações.
O PAPEL DO ERRO NA PRÁTICA ESCOLAR
A análise de erros, após a correção de avaliações e atividades propostas, não é algo
exatamente novo entre os professores, e isso é facilmente observado nos diálogos de
professores com seus pares ou mesmo com seus alunos, quando há um questionamento
sobre os critérios para as correções. O que se pode perceber atualmente é a capacidade,
como pesquisa e estratégia de ensino, de se examinar com mais profundidade essas
investigações, para que essas possam trazer análises mais precisas e intervenções
pedagógicas mais adequadas.
Nas pesquisas sobre Educação, mais especificamente na Educação Matemática, fica
bastante evidente a preocupação a respeito dos processos de avaliações, e sendo assim,
cada vez mais se faz necessário investigar e analisar os erros cometidos pelos alunos. A
preocupação sobre esse importante aspecto da prática pedagógica ainda é muito recente, o
que se pode comprovar através do trabalho de Fiorentini (1994), que analisou 204
dissertações e teses sobre Educação Matemática, escritas até 1990, no qual mostra que
apenas nove delas apresentam uma discussão a respeito dos erros cometidos pelos alunos
no processo de aprendizagem.
No trabalho de Cury (2007), há um retrospecto das pesquisas sobre análises de
erros em que a autora defende ser a investigação e análise de erros não somente uma linha
de pesquisa, como também uma metodologia de ensino, desde que seja trabalhada no
sentido de promover o debate entre os alunos pelo questionamento e reflexão de seus erros.
Segundo a autora, essas discussões devem fazer parte de disciplinas de cursos de formação
de professores, dadas a sua importância e dificuldade.
Para Souza (2002), devem ser refutadas todas as ideias de fracasso que se assumem
diante de algum erro cometido por um aluno, segundo o modelo pedagógico tradicional.
De acordo com a autora, é fundamental a análise do erro, no sentido de se planejar
intervenções de forma que essa análise leve a uma compreensão ampla sobre onde e
porque foi cometido o erro, dando continuidade ao processo de construção do
conhecimento. A partir disso, a autora divide os erros em duas categorias: erros gerais e
locais. Em relação aos erros gerais, são classificados assim os erros decorrentes de cálculo
como escolha inadequada de operações ou interpretações mal feitas por parte do aluno. Já
em relação à segunda categoria, a autora menciona os erros que podem ser específicos de
acordo com o tema. Erros locais podem abranger as seguintes classificações como erros
por assimilação deficiente dos conceitos, erros por incapacidade de relacionar os dados
obtidos ou erros por inaptidão de agregar novos conhecimentos na estrutura cognitiva,
devido a lacunas presentes de conteúdos anteriores.
Já de acordo com Davis e Espósito (1990), podemos considerar os seguintes tipos
de erros: erros de procedimento, que acontecem quando o aluno possui a capacidade
cognitiva para formular uma resolução correta mas escolhe inadequadamente o
procedimento, por simples distração ou falta de treinamento; erros construtivos,
decorrentes de lacunas os quais comprometem a relação entre os dados apresentados e uma
resolução adequada ou erros por limites na estrutura do pensamento, que ocorrem quando
há uma falta de compreensão do que foi proposto ou mesmo na interpretação dos dados
disponíveis.
Astolfi (1999) mostra um detalhamento nos tipos de erros que podem ser
encontrados como erros devido à incompreensão de enunciado; erros de tentativa de
“adaptação” da resolução, de acordo com o que o aluno acredite ser a resposta, ou seja, há
uma troca em que a resolução vem de acordo com a resposta e não o contrário, como
podemos supor mais comumente; erros decorrentes de raciocínios intuitivos, sem relação
com o conteúdo proposto; erros operacionais; erros de discordância entre o entendimento
do professor e o exposto pelo aluno; erros de sobrecarga cognitiva ou erros devido à
complexidade do conteúdo.
As diversas características citadas pelos autores para especificar os variados tipos
de erros podem contribuir significativamente para um melhor desenvolvimento na questão
do aproveitamento escolar, fornecendo as condições necessárias para superar as
adversidades. Tais condições, referentes aos métodos e processos de aprendizagem, devem
ser selecionadas criteriosamente em função da avaliação que se faz quanto aos tipos de
erros na aprendizagem.
Assim, é papel do professor fazer com que o erro consiga ser percebido pelo aluno,
conscientizando-se do mesmo. E ao ter essa consciência, os erros passam a ser indicativos
na construção do conhecimento, pois possibilita o diagnóstico dos problemas existentes no
processo tanto de ensino como também de aprendizagem. Na etapa de ensino, os erros
permitem por parte do professor, identificar uma estratégia inadequada e a necessidade de
uma mudança metodológica. Na aprendizagem, os erros podem ser encarados como
objetos de reflexão por parte do aluno, como uma bússola indicando a necessidade de uma
mudança de rota nas suas ações.
Há também um componente de subjetividade na avaliação do erro que o professor
não pode desconsiderar. As diversas realidades dos alunos, culturais, acadêmicas e sociais
devem ser também objetos de análise. Segundo Pinto (2000, p. 164 e 165), “O mais
importante é o professor adotar uma atitude reflexiva diante do erro do aluno, procurando,
não apenas, compreender o erro no interior de um contexto de ensino, mas também
compreender o aluno que erra”.
Na busca por um melhor desempenho por parte dos alunos, combatendo o fracasso
escolar, cabe ao professor reposicionar o papel do erro nesse ambiente. Não significando o
erro como uma derrota, não há razão para encará-lo de forma punitiva. De outra forma, o
erro deve ser observado como uma atitude de experimentação, onde o aluno sugere
hipóteses, elabora conjecturas, planeja estratégias de ação e as coloca em prática. E, nessa
perspectiva, as avaliações se tornam mais produtivas, pois também essas devem ser
encaradas de outro modo. Para Haydt (2000, p. 28), uma das formas para que isto aconteça
é considerar que a avaliação “não é um fim, mas um meio: para o aluno é um meio de
corrigir os erros e fixar as respostas certas; para o professor, é um meio de aperfeiçoar seus
procedimentos de ensino”.
Analisar os erros dos alunos permite uma abertura de múltiplas possibilidades e
transformações: da negação para o estudo em aberto; da repetição de modelos à atividade
de pensar, da alienação à conscientização. Assim, fazendo o exercício da reflexão dos
erros, é possível criar alternativas para superá-los, tornado o erro dessa forma, uma
possibilidade como suporte à construção do conhecimento.
QUESTÃO DA PESQUISA
Assim, a partir da experiência de vários anos lecionando no ensino médio, do
contato com colegas, da participação em cursos, das inúmeras leituras e reflexões pessoais,
foi elaborada essa pesquisa, que pretende responder à seguinte questão: Que contribuições
a metodologia baseada na Resolução de Problemas, na Atividade Investigativa e na
Análise de Erros em sala de aula pode trazer para o ensino e a aprendizagem de Análise
Combinatória?
A ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES
As atividades presentes nessa Pesquisa foram elaboradas de tal forma a possibilitar
ao aluno, além de participar de uma experiência Matemática, o sabor de vivenciar a
descoberta de propriedades, promovendo a aquisição de informações e conhecimento. Tal
elaboração seguiu a abordagem teórico-metodológica das Investigações Matemáticas e
Resolução de Problemas. Também foram seguidas as orientações dos Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática, no sentido de promover o desenvolvimento do
pensamento lógico-dedutivo, a fim de motivar o aluno a compreender situações diversas,
resolver problemas e aplicar o conhecimento matemático às variadas situações do
cotidiano.
Há, assim, o objetivo de oferecer ao aluno uma sequência didático-metodológica,
no intuito de facilitar o processo de aprendizagem do conteúdo e conduzi-lo a refletir,
compreender e analisar as mais diversas situações-problemas presentes, principalmente, na
Análise Combinatória. Isso contribui para uma ampliação dos métodos de Resolução de
Problemas como linha metodológica de aprendizagem, valorizando não somente os
conteúdos dentro dessa área de conhecimento, mas também a capacidade de mobilizá-los
nas diferentes situações, as quais se fazem necessárias, desenvolvendo, dessa forma,
habilidades e competências necessárias e indispensáveis na formação dos estudantes.
Como o Triângulo de Pascal é um objeto com um extraordinário e vasto campo de
observação de padrões, o desenvolvimento da elaboração das atividades foi feito com o
cuidado de promover várias aquisições matemáticas, como por exemplo, a interpretação e
resolução de situações em determinado contexto e também, a capacidade de analisar
informações para resolver e formular problemas, bem como a capacidade de generalizar
padrões e elaborar argumentações matemáticas relacionadas a problemas de contagem.
Dessa maneira, faz-se nesse artigo uma descrição da elaboração de cada uma das
atividades, observando o que se espera do aluno e, quais os objetivos principais a serem
atingidos no decorrer da experiência.
Cada atividade explora uma propriedade do Triângulo, sem ter a pretensão de
esgotá-las, o que mostra a possibilidade de tais atividades serem estendidas para um
número muito superior, uma vez que número de propriedades do Triângulo é bastante
significativo, variando em diferentes graus de complexidade. No presente artigo será
apresentada apenas uma atividade principal seguida de uma situação-problema relacionada
a essa atividade.
EXEMPLO DE ATIVIDADE: A RELAÇÃO DE STIFEL
Uma das propriedades mais conhecidas e de fácil percepção no Triângulo de Pascal
é a Relação de Stifel, que diz:
“A soma de dois elementos consecutivos de cada linha é igual ao elemento localizado na
próxima linha situado entre esses dois que foram somados.”
Pode-se observar a propriedade ilustrada na figura a seguir.
Figura 1: A relação de Stifel (2)
Fonte do autor
Na atividade proposta, não há uma apresentação formal dessa propriedade, mas
uma descoberta guiada. Inicialmente, tem-se a ilustração do Triângulo (na forma binomial)
destacando alguns grupos de binômios que satisfazem a relação, como 2
0
,2
1
e 3
1
ou 4
2
,
4
3
e 5
3
. Sem uso de palavras, faz-se a observação de que 2
0
+2
1
= 3
1
e 4
2
+4
3
= 5
3
.
Assim, como descoberta guiada, a primeira questão da atividade pede que seja
indicado qual binômio está localizado à direita de 4
3
, na quinta linha. Na sequência, a
próxima questão pede que seja identificado qual o binômio da sexta linha se localiza entre
eles. O objetivo das duas primeiras questões é estabelecer a escolha o trio de binômios que
serão relacionados.
A próxima questão pede que seja explicitada a relação entre os binômios, a qual
afirma que a soma dos binômios da linha de cima é igual ao valor do binômio da linha
abaixo. Após essa questão, é destacado que a relação estabelecida pelo aluno é conhecida
como Relação de Stifel. A seguir, ao explorar a capacidade de verbalização dos alunos, é
pedido como atividade que a Relação de Stifel seja enunciada com palavras, sem cálculos
ou exemplos. Isto é , usando a representação na língua natural.
Na sequência das questões, uma vez que o aluno tenha a habilidade de reconhecer o
grupo de binômios e estabelecer a relação entre eles é, então, cobrado que o aluno
apresente a Relação de Stifel para o binômio 5
2
e seu consecutivo. Para fixação do
conceito, é pedido posteriormente que o mesmo seja feito para 8
4
e seu consecutivo.
Observando que ao calcular os valores dos binômios, pode-se facilmente justificar a
Relação de Stifel por meio dos cálculos nessas duas últimas questões, para que se
estabeleça uma regra geral. Após isso, pede-se ao aluno que, na sequência, faça o mesmo
para o binômio 35
12
. Observa-se que ainda não há um processo de generalização, pois
ainda se utiliza de valores específicos para o binômio. Porém como há no caso do binômio 35
12
uma dificuldade natural de se fazer os cálculos, já há um processo de generalização
intuitivo por parte do aluno, o qual acredita ser verdadeira a propriedade, sem, no entanto,
realizar os cálculos. Dessa forma, na sequência da atividade, pede-se na última questão que
seja escrita a Relação de Stifel para n
k
e seu consecutivo, criando assim, a regra geral.
Na continuação da atividade cria-se uma proposta para resolver uma situação-problema
envolvendo a Relação de Stifel. O problema compara todas as comissões que podem ser
formadas a partir de um grupo de pessoas com comissões formadas com ou sem
determinada pessoa. O objetivo da atividade é guiar o aluno à descoberta, pois o princípio
que caracteriza a situação-problema é exatamente a Relação de Stifel. Em um primeiro
momento, nos exercícios 1 a 4, a situação é abordada por meio de um caso particular.
Assim, a partir de um grupo de oito pessoas, pergunta-se:
1) Quantas comissões podem ser formadas escolhendo quatro dentre essas pessoas?
2) Suponha que uma das oito pessoas da turma seja Leonardo e que por alguma razão ele
não possa entrar no grupo das quatro pessoas. Portanto, quantos grupos podem ser
formados sem Leonardo?
3) Suponha agora o contrário, que Leonardo tenha que ser um dos quatro escolhidos.
Dessa forma, quantos são os grupos em que Leonardo é sempre uma das pessoas
escolhidas?
Para se estabelecer uma regra geral, explorar a capacidade de argumentação do
aluno e contribuir para fazê-lo compreender e utilizar um argumento combinatório, segue-
se o mesmo princípio das questões apresentadas anteriormente, porém numa tentativa de
generalizar o raciocínio. Dessa forma, foi elaborada a seguinte situação: considere um
grupo de k + 1 pessoas que devem ser escolhidas dentre n + 1 pessoas. E assim, são feitas
então as mesmas perguntas:
1) quantas são as comissões possíveis de serem formadas?
2) quantas comissões excluem determinada pessoa?
3) quantas comissões incluem determinada pessoa?
Por meio dos resultados obtidos nessas três questões, pede-se ao aluno não apenas
que observe a Relação de Stifel, como crie um argumento combinatório que o justifique.
A primeira questão dessa última atividade não teve qualquer erro encontrado. Na
segunda questão, foi verificado um único erro de resposta objetiva errada, por se tratar uma
resposta direta, cujo resultado apresentado foi o binômio ( ). A terceira questão
apresentou dois erros estruturais, um erro de descrição por falha, sendo que o aluno
descreveu a Relação de Stifel para outros binômios que não os indicados. Percebe-se que
alguns alunos responderam ao questionamento indicando a equação que relaciona os
binômios, ou seja, ( ) + (
) = (
).
A próxima questão exigia que o aluno apresentasse uma descrição para a Relação
de Stifel escrita com palavras, mas não precisaria justificá-la. Ao analisar as respostas
foram encontrados três erros de argumentação e também três erros de argumentação
desconexa.
Alguns alunos conseguiram argumentar corretamente, atingindo o objetivo
proposto. Para ilustrar isso, têm-se dois exemplos de argumentações objetivas e claras,
conforme mostram as figuras a seguir.
Figura 2: Registro de aluno
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 3: Registro de aluno
Fonte: Dados da pesquisa
Na questão seguinte, no qual foi pedido ao aluno que apresentasse a Relação de
Stifel para o binômio ( ) e seu consecutivo, foram verificados três erros estruturais e três
erros de atenção, sendo que nesses os alunos aplicaram corretamente a Relação de Stifel,
mas não para os binômios pedidos. É importante ressaltar os mesmos três alunos que
cometeram os erros de atenção procederam igualmente na questão seguinte, quando foi
pedido que o aluno apresentasse a Relação de Stifel para o binômio ( ) e seu consecutivo,
ou seja, uma repetição da questão anterior para efeito de fixação da propriedade. Na
sequência das análises, foram encontrados ainda três erros estruturais. A sétima questão
dessa atividade repetia os procedimentos das duas anteriores para o binômio ( ) e
também se repetiram os três erros estruturais e os três erros de atenção, pelos mesmos
motivos.
Na oitava questão, foi explorada mais uma vez a capacidade de generalização.
Assim, foi pedido que os alunos enunciassem a Relação de Stifel para um binômio
qualquer, do tipo ( ). Na análise das respostas foram verificados seis erros estruturais,
sendo que desses, dois deixaram em branco a questão. Foi encontrado ainda um erro de
descrição por falha, ilustrado a seguir na figura 33, onde se pode observar que o aluno teve
dificuldade em expressar a forma geral da Relação de Stifel por não descrever
corretamente a relação de consecutivos.
Na última parte da atividade, em relação a situação-problema, os erros mais comuns
foram os erros estruturais e erros de argumentação desconexa, como é ilustrado na resposta
a seguir.
Figura 4: Registro de aluno
Fonte: Dados da pesquisa
1) Escreva na forma binomial quantos são os grupos que não incluem essa pessoa
Nessa questão foram verificadas quatro erros de resposta objetiva errada, sendo que três
escreveram ( ).
2) Escreva na forma binomial quantos são os grupos que incluem essa pessoa.
Assim, nessa questão foi encontrado um erro estrutural e um erro de resposta objetiva
errada. Um aluno respondeu ( ) e o outro deixou em branco.
3) Qual a relação entre os grupos obtidos nas duas questões anteriores e o total dos
grupos?
Foram verificados quatro erros estruturais. Todos deixaram a questão em branco. Foi
encontrado ainda um erro de resposta objetiva errada e quatro erros de argumentação
desconexa.
4) Tente através do raciocínio obtido nas três questões anteriores dar um argumento
combinatório que justifique a Relação de Stifel.
Foram verificados nessa questão, oito erros estruturais, sendo que dentre eles sete deixaram
a questão em branco. Foram encontrados na análise nove erros de argumentação e apenas
um aluno argumentou com clareza o que foi pedido. A figura a seguir ilustra a resposta
desse aluno.
Figura 5: Registro de aluno
Fonte: Dados da pesquisa
Ao finalizar as análises das respostas dos alunos, em todas as atividades propostas,
classificando os erros com a finalidade de detectar as possíveis causas que comprometeram
os objetivos de cada atividade, chega-se a conclusão de que, para esse grupo de alunos o
qual realizou as atividades, que
é necessário concentrar esforços na escrita algébrica, como a generalização de padrões
para que a falha na escrita não prejudique outros objetivos mais amplos;
é imperativo que se trabalhe a capacidade de argumentação dos alunos, ampliando
assim as possiblidades de justificativas de certas propriedades;
deve-se estimular os alunos a se arriscar nas formulações das respostas. As muitas
respostas deixadas em branco evidenciam o receio dos alunos de escreverem uma
resposta errada.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após a elaboração, aplicação e análise dos resultados das atividades, tal sequência
de atividades se mostrou apta a contribuir para o ensino de Análise Combinatória no
sentido de estabelecer uma reflexão a respeito de temas relacionados a este, como o ensino
de álgebra e as demonstrações em Matemática, bem como potencializar o aprendizado do
conteúdo em si, o qual permite a visualização de situações-problema que contribuem para
o processo de construção do conhecimento.
Em relação a questão que essa Pesquisa se propunha a responder: “Que
contribuições a metodologia baseada na Resolução de Problemas e na Atividade
Investigativa em sala de aula pode trazer para o ensino e a aprendizagem de Análise
Combinatória?” Pode-se afirmar que o conjunto de Atividades tem o mérito de organizar
sistematicamente propriedades importantes do Triângulo de Pascal, relacioná-las ao estudo
de Análise Combinatória propiciando um aprendizado do conteúdo com significado e,
contextualizando o estudo às diversas situações-problema, permitindo a percepção da
relação teoria-prática do ensino.
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SOUZA, Sueli Spolador Simões. Erros em Matemática: um estudo diagnóstico com
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Marília, 2002.