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Aula: Fatorial e binomial

BINOMIAIS

E

TRIÂNGULO DE PASCAL

Professora Adriana Massucci

Fatorial e binomial

Fatorial de um número inteiro e não negativo n se define como sendo a expressão:

Indicação: n! (n fatorial)

Exemplos:

a) 2! = 2 . 1 = 2

b) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

c) 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320

n! = n(n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . (n – 4) ... 2 . 1


Observações:

Definimos: 0! = 1 e 1! = 1

Convém notar que:

7 = 7 . 6!

9 = 9 . 8 . 7!

n! = n . (n – 1)!

(n + 1)! = (n + 1) . n!

(n – 2)! = (n – 2) . (n – 3)!

Podemos desenvolver o fatorial até que ele se torne conveniente para resolvermos um exercício.


Exemplos:

1) Simplifique as expressões:

𝑎)7!

5!=7.6.5!

5!= 42

𝑏) 𝑛!

𝑛 − 2 !=𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 !

𝑛 − 2 != 𝑛. (𝑛 − 1)


𝑐)𝑛! − 𝑛 + 1 !

𝑛 − 1 !=𝑛. 𝑛 − 1 ! − 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 !

𝑛 − 1 !

𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒:𝑛 𝑛 − 1 !

𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚

− 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 !

𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚

𝑛 − 1 !

𝐸𝑛𝑡ã𝑜: 𝑛 𝑛 − 1 !. 1 − (𝑛 + 1)

𝑛 − 1 != 𝑛. −𝑛 = −𝑛2


Equações:

Resolva as equações:

𝑎) 𝑛! = 24

Solução:

𝑛! = 4! ∎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠: 24! 𝑒𝑚 4! 𝑛 = 4 𝑉 = 4


Ainda em equações...

𝑏) 𝑛 − 1 ! = 10. 𝑛 − 2 !

Solução: 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 ! = 10 𝑛 − 2 ! 𝑛 − 1 = 10 𝑛 = 11

𝑉 = 11


Números binomiais

Número binomial é todo número na forma:

𝑛𝑝 =

𝑛!

𝑝! 𝑛 − 𝑝 ! 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑛, 𝑝 ∈ 𝑁 𝑒 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛)

Obs.: n é o numerador do binomial e p é o denominador.

Exemplo: 73=

7!

3! 7−3 !=7!

3!.4!=7.6.5.4!

3.2.1.4!= 7.5 = 35


Binomais importantes:

𝑛0=

𝑛!

0!.(𝑛−0)!=𝑛!

0!.𝑛!=1

1= 1

𝑛𝑛=

𝑛!

𝑛!. 𝑛−𝑛 !=𝑛!

𝑛!0!= 1

𝑛1=

𝑛!

1!. 𝑛−1 !=𝑛.(𝑛−1)!

1! 𝑛−1 !=𝑛

1= 𝑛

Exemplos: 50= 1

71= 7

88= 1


Binomiais consecutivos:

Dois binomiais são consecutivos se têm o mesmo numerador e denominadores consecutivos. Ou seja:

𝑛

𝑝 e𝑛

𝑝 + 1⇒ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

Exemplos: 72 𝑒 73 𝑜𝑢 8

1 𝑒 82

.


Propriedades:

Relação de Stifel: a soma de dois binomiais consecutivos resulta num binomial cujo numerador é uma unidade maior que o numerador dos binomiais somados, e cujo denominador é o maior dos denominadores envolvidos na soma.

𝑛

𝑝+𝑛

𝑝 + 1=𝑛 + 1

𝑝 + 1

Exemplo: 84+ 85= 95


Ainda em propriedades...

Igualdade: dois binomiais são iguais quando:

o São “exatamente” iguais: 𝑛𝑝= 𝑛𝑝

. Ex: 53 e 53

o São complementares: Dois binomiais de mesmo numerador são complementares se a soma de seus denominadores resulta o numerador. Ex: 7

2 e 75

. Pois:

7

2=

7!

2!. 7 − 2 !=𝟕!

𝟐!. 𝟓! 𝑒 7

5=

7!

5!. 7 − 5 !=𝟕!

𝟓!. 𝟐!


Exercícios:

1. Simplifique a expressão:

15

4+15

5+16

6+17

7

16

5+16

6+17

7

17

6+17

7

18

7


2. Calcule x nas equações:

𝑎) 10

𝑥=9

2+9

3

𝑏)10

5+10

𝑥=11

6

R: a) x = 3 ou x = 7 b) x = 4 ou x = 6


Triângulo de Pascal

Quando expomos os

binomiais 𝑛𝑝 em

linhas e colunas, de modo que os de mesmo numerador fiquem em uma mesma linha e os de mesmo denominador fiquem em uma mesma coluna, estamos construindo o triângulo de Pascal: Professora Adriana Massucci

Analisando os valores dos binomiais no△:

Substituindo-se cada elemento do triângulo pelo seu resultado, o triângulo fica assim:


Propriedades do △:

O primeiro elemento de cada linha é na forma 𝑛0

,

logo é igual a 1;

O último elemento de cada linha é na forma 𝑛𝑛

, logo

é igual a 1;

Em uma linha binomiais equidistantes são iguais: 5

0

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 5 10 10 5 1


Ainda em propriedades do △...

A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado imediatamente abaixo do segundo elemento somado (relação de Stifel).


Teoremas...

Teorema das Linhas: a soma de todos os elementos de uma mesma linha do triângulo de Pascal é igual a 2𝑛 , onde n corresponde a linha do triângulo. (linha 0, linha 1 e assim por diante).


Teorema das colunas: a soma dos elementos de uma mesma coluna do triângulo de Pascal,

iniciando-se com o 𝑛𝑛

,

é igual ao elemento situado na linha imediatamente abaixo e na coluna imediatamente à direita do último elemento somado.


Teorema das Diagonais: a soma dos elementos de uma mesma diagonal do triângulo de Pascal, iniciando-se com o 𝑛0 é igual ao elemento

situado na mesma coluna e na linha imediatamente abaixo do último elemento somado.


Ampliando os horizontes.....


Somatório:

É indicado pela letra grega ∑ (sigma) e representa a soma de um determinado números de parcelas com uma característica comum. Observe:

𝑖23

𝑖=0

, 𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑖23

𝑖=0

Limite inferior

Limite superior

Isto quer dizer que....


𝑖23

𝑖=0

= 02 + 12 + 22 + 32 = 0 + 1 + 4 + 9 = 14

Mais um exemplo:

2𝑛 − 1 =

4

𝑛=1

2.1 − 1 + 2.2 − 1 + 2.3 − 1

+ 2.4 − 1 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Agora com equações...


Resolva a equação na variável n:

𝑛𝑖= 29

2

𝑖=0

⇒𝑛0+𝑛1

+𝑛2= 29

⇒ 1 + 𝑛 + 12= 29 ⇒

𝑛 + 12= 28 ⇒


⇒ 𝑛 + 1!

2! 𝑛 + 1 − 2 != 28 ⇒

𝑛 + 1!

2! 𝑛 − 1 != 28

⇒𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 !

2.1. 𝑛 − 1 != 28

⇒𝑛 + 1 . 𝑛

2= 28 ⇒ 𝑛 + 1 . 𝑛 = 56

⇒ 𝑛2 + 𝑛 = 56 ⇒ 𝑛2 + 𝑛 − 56 = 0 ⇒ 𝑛 = 7 𝑜𝑢 𝑛 = −8 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚 ⇒ 𝑉 = 7

Desenvolvimento do binômio (𝑎 + 𝑏)𝑛


(𝑎 + 𝑏)0= 1

(𝑎 + 𝑏)1= 1𝑎 + 1𝑏

(𝑎 + 𝑏)2= 1𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 1𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3= 1𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 1𝑏3

... e assim por diante...

Observe que:

Os coeficientes que aparecem nos desenvolvimentos de cada binômio acima correspondem a cada linha do triângulo de Pascal;


Enquanto que os expoentes do 1º termo do binômio (a) decrescem, os expoentes do 2º termo (b) crescem;

Cada desenvolvimento tem um termo a mais que seu

expoente. Ex: (𝑎 + 𝑏)𝟐= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝟑 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔

Isto quer dizer que....


Para determinar os termos do desenvolvimento de um binômio elevado a n, temos que:

𝑎 + 𝑏 𝑛 =𝑛0𝑎𝑛−0𝑏0 +

𝑛1𝑎𝑛−1𝑏1+

𝑛2𝑎𝑛−2𝑏2+...+

𝑛𝑛𝑎𝑛−𝑛𝑏𝑛

Logo, utilizando somatório:

(𝑎 + 𝑏)𝑛= 𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 𝐨𝐛𝐬: 𝑠𝑒 𝑎 − 𝑏 𝑛 = 𝑎 + −𝑏

𝑛𝑛

𝑘=0

Termo geral do binômio:


Se quisermos “conhecer” um termo qualquer do binômio, basta utilizarmos o termo geral do binômio:

𝑇𝑘+1 =𝑛𝑘. 𝑎𝑛−𝑘 . 𝑏𝑘 𝑜𝑛𝑑𝑒:

Para termos o 1º termo (𝑇1) k deve ser igual a zero, pois:

𝑇𝑘+1 = 𝑇1 𝑘 + 1 = 1𝑘 = 0

Fontes:

http://produvasf.webs.com/Mat_em/BINOMIO_DE_NEWTON.pdf

http://www.cci401.com.br/Util/HandlerArquivoBiblioteca.ashx?arq=129

Livro: Matemática ciência e aplicações – Gelson Iezzi.









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