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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Campus de Aquidauana
Curso de Matematica
Thales Fernando Vilamaior Paiva
O Teorema de Stokes em Variedades
Aquidauana
2011
Thales Fernando Vilamaior Paiva
O Teorema de Stokes em Variedades
Monografia apresentada ao Curso de Matematica
da UFMS, como requisito para a obtencao parcial
do grau de LICENCIADO em Matematica.
Orientador: Elias Tayar Galante
Mestre em Matematica - IMECC
Aquidauana
2011
Thales Fernando Vilamaior Paiva
O Teorema de Stokes em Variedades
Monografia apresentada ao Curso de Matematica
da UFMS, como requisito para a obtencao parcial
do grau de LICENCIADO em Matematica.
Aprovado em 03 de Novembro de 2011
BANCA EXAMINADORA
Elias Tayar Galante
Mestre em Matematica - IMECC
Adriana Wagner
Mestre em Matematica - UEM
Fabio Dadam
Doutor em Matematica - IMECC
Resumo
Neste trabalho discutimos o teorema de Stokes, tanto para aplicacoes em R3 quanto sua
generalizacao para variedades. Inicialmente, por meio da motivacao fısica do calculo do
trabalho, tratamos das integrais de linha e, posteriormente, das integrais de superfıcie,
provando o teorema de Stokes para aplicacoes em R2 e R3. Em seguida apresentamos
alguns requisitos para a generalizacao do teorema em variedades compactas orientaveis.
Palavras-chaves: Teorema de Stokes, Analise Vetorial, Variedades.
Abstract
In this work we discuss the Stoke’s theorem, for applications in R3 and its generalization
for manifolds. Initially, motivated by the physical calculus of work, we’ll discuss about
line integrals and, after, surface integrals, proofing the Stoke’s theorem for applications
in R2 and R3. Following, we present some requirements for generalizations of theorem on
compact orientated manifolds.
Keywords: Stoke’s Theorem, Vector Analysis, Manifolds.
Agradecimentos
A Deus, por tudo.
A minha famılia, pelo apoio em todos os sentidos.
Aos meus amigos, em especial a “Santıssima Trindade”, composta pelos de-
mais vertices Fernando da Silva Batista e Renan Maneli Mezabarba, da qual tenho o
privilegio de fazer parte.
Aos frequentadores da casa da Ismara e da Jessyca, pela companhia, agradavel
conversa e especialmente pelo otimo cafe.
Ao orientador e amigo, professor Elias Tayar Galante, desde a escolha do tema
ate as muitas sugestoes e correcoes.
Aos professores Adriana Wagner e Fabio Dadam, por se disporem a fazer parte
da banca examinadora.
A professora Irene Magalhaes Craveiro, por toda ajuda e incentivo desde o
inıcio da graduacao.
Em especial, a minha noiva, que muito privou-se de minha companhia em prol
do termino deste trabalho.
A todos voces, o meu muito obrigado!
Assim perguntamos, sem parar,
Ate um punhado de terra
Cobrir a nossa boca
Mas isso sera uma resposta?
Heinrich Heine.
Sumario
1 Integrais de Linha e o Teorema de Stokes 9
1.1 Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Formas 31
2.1 Formas Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Integracao em Variedades 45
3.1 Variedades Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Conclusao e Estudos Posteriores 59
5 Apendice A - Diferenciabilidade 60
6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn 64
Referencias Bibliograficas 71
7
Introducao
Apresentamos neste trabalho um tratamento do teorema de Stokes, tanto para
aplicacoes em superfıcies do R3 quanto sua generalizacoes em superfıcies abstratas de
dimensoes arbitrariamente grandes, chamadas variedades.
No capıtulo 1 comecamos introduzindo o conceito de integral de linha, mo-
tivado pelo calculo do trabalho realizado por uma forca ao deslocar uma partıcula no
espaco. E em seguida, apresentamos os teoremas de Green, de Stokes e de Gauss.
Optamos por fazer um tratamento dos teoremas do capıtulo 1 de forma in-
dependente das formas diferenciais, pois julgamos interessante faze-lo do ponto de vista
do calculo usual para duas e tres variaveis, simplificando alguns resultados e tornando
possıvel a apresentacao dos teoremas sem muitos pre-requisitos.
No capıtulo 2 iniciamos com uma pequena introducao a algebra das aplicacoes
multilineares, enfatizando em particular as aplicacoes alternadas, motivando muitos dos
resultados a respeito das formas diferenciais, que estabelecemos na sessao 2.2. Nomeamos
a sessao 2.1 por Formas Alternadas pelo fato de que consideramos apenas aplicacoes da
forma T : V ×· · ·×V → R, isto e, com contradomınio real. E em particular, tais aplicacoes
sao comumente denominadas formas, na literatura consultada.
O capıtulo 3 fecha o texto principal, apresentando duas sessoes, onde a primeira
e dedicada ao conceito de variedade diferenciavel, e a segunda dedicada ao teorema de
Stokes.
Mostramos na sessao 3.3 as considereacoes necessarias a respeito da integral
de uma k−forma em uma variedade diferenciavel, para posteriormente fazer uso na de-
monstracao do teorema de Stokes. Entretanto, a forma em que apresentamos o teorema
restrige-se apenas para o caso em que a variedade considerada e compacta e orientavel, o
que facilita sua interpretacao e tambem a demonstracao. E um tratamento mais geral a
respeito do teorema para aplicacoes em variedades nao compactas e com singularidades
pode ser encontrado na bibliografia consultada.
O texto consta ainda de dois apendices, o primeito dedicado a uma pequena
8
revisao sobre diferenciabilidade de funcoes de varias variaveis, e o segundo sobre topologia
dos espacos euclidianos. O resultado mais importante no apendide B se da nas definicoes
e consideracoes a respeito dos espacos compactos, pois tais resultados sao admitidos no
capıtulo 3, principalmente quando tratamos das chamadas particoes diferenciaveis da
unidade e variedades compactas, usadas na demostracao do teorema de Stokes.
Apresentamos ainda ao final deste trabalho (capıtulo 4) uma breve discussao
dos resultados obtidos e tambem dos estudos posteriores, motivado pelos resultados estu-
dados na elaboracao desta monografia.
9
1 Integrais de Linha e o Teorema de Stokes
Neste primeiro capıtulo, faremos uma exposicao dos mecanismos necessarios
para o desenvolvimento, prova e aplicacoes do teorema de Stokes que, em alguns textos
e chamado de teorema fundamental do calculo de muitas variaveis, pelo seu carater de
generalizacao do teorema fundamental do calculo (em uma variavel).
Focaremos primeiramente na exposicao do teorema para aplicacoes em R2 e R3
e, nos capıtulos seguintes, iniciaremos a apresentacao dos requisitos para sua generalizacao
em variedades.
Comecaremos agora com o estudo das integrais sobre curvas no espaco, tra-
dicionalmente chamadas de integrais de linha, e logo depois faremos o caso especial do
teorema de Stokes em R2, chamado de teorema de Green e, finalmente, faremos o teorema
de Stokes para R3. Ao longo deste capıtulo baseamo-nos principalmente nas referencias
[1, 10].
1.1 Integrais de linha
Quando p e uma partıcula que se move ao longo de um segmento de reta no
espaco, com ponto inicial A e final B, e F e uma forca constante, sabemos que o trabalho
realizado por F ao deslocar p ao longo de AB e dado por
W = F · AB, (1.1)
onde “ · ” denota o produto interno.
Quando p se move ao longo de uma curva C, podemos aproxima-lo por uma
linha poligonal com vertices em C, dividindo o segmento por meio de uma particao regular,
para entao usar a equacao (1.1) e obter o Trabalho realizado no deslocamento da partıcula
ao longo de C, e essa sera nossa motivacao para a definicao de integral de linha.
Definicao 1.1.1. Uma particao P de um intevalo fechado [a, b] e uma sucessao t0, · · · , tn,
onde a = t0 < · · · < tn = b. Neste caso P e dito de ordem n, pois separa [a, b] em
1.1 Integrais de linha 10
n subintervalos. Dizemos ainda que P e regular se para qualquer j = 1, · · · , n − 1,
tj+1 − tj = b−an.
Sejam,
F : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z))
um campo vetorial1, e C uma curva em R3 definida por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].
Dividimos o intervalo I = [a, b] por meio de uma particao regular de ordem n,
a = t0 < · · · < ti < · · · < tn = b,
e obtemos uma linha poligonal de vertices σ(ti) = (x(ti), y(ti), z(ti)), i = 0, · · · , n − 1.
Como, para n grande, ∆ti = ti+1 − ti e pequeno, o deslocamento da partıcula
de σ(ti) ate σ(ti+1) e aproximado pelo vetor ∆Si = σ(ti+1)−σ(ti), e F pode ser considerada
constante e igual a F (σ(ti)) no intervalo [ti, ti+1]. Supondo que σ seja de classe C1 em
[a, b], entao, pela definicao de derivada, temos
σ′(ti) =σ(ti+1)− σ(ti)
ti+1 − ti⇒ σ′(ti) =
∆Si∆ti⇒ ∆Si ≈ σ′(ti)∆(ti). (1.2)
Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma partıcula de σ(ti) ate σ(ti+1)
e aproximadamente
F (σ(ti)) ·∆Si ≈ (F (σ(ti)) · σ′(ti)) ·∆(ti). (1.3)
Assim, o trabalho W realizado pela forca F para deslocar uma partıcula ao
longo de C e
W = limn→∞
(n−1∑i=0
(F (σ(ti)) · σ′(ti))∆ti
). (1.4)
Se σ e de classe C1 em [a, b] e o campo F (x, y, z) e contınuo em C, o limite
acima existe e e igual a
W =
∫ b
a
(F (σ(t)) · σ′(t))dt. (1.5)
Facamos entao a seguinte definicao.
Definicao 1.1.2. Consideremos uma curva C em R3 parametrizada por
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], onde σ e de classe C1, e
1Um campo vetorial trata-se de uma aplicacao F : U ⊂ Rn → Rn, que associa a cada n−upla
(x1, · · · , xn) um vetor em Rn.
1.1 Integrais de linha 11
F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo vetorial contınuo2 definido em
C. Definimos a integral de linha de F ao longo de C por
∫C
F · dr =
∫ b
a
(F (σ(t)) · σ′(t))dt.
Lembrando que F = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) e σ(t) = (x(t), y(t), z(t)),
e usando suas componentes, a equacao acima obtem a seguinte forma:∫C
F · dr =
∫ b
a
F1(σ(t))x′(t)dt+ F2(σ(t))y′(t)dt+ F3(σ(t))z′(t)dt, (1.6)
que comumente e simplificada para∫C
F · dr =
∫C
F1dx+ F2dy + F3dz. (1.7)
Se a curva C e fechada a integral de linha e denotada por∮C
F · dr. (1.8)
Podemos adaptar a definicao (1.1.2) para uma integral de linha de funcao
escalar da seguinte forma.
Sejam f : R3 −→ R uma funcao real e C uma curva em R3, definida pela
funcao
σ : I[a, b] −→ R3
t 7→ σ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Dividimos o intervalo I = [a, b], como feito anteriormente, por meio de uma
particao regular, obtendo uma decomposicao de C em curvas Ci definidas em [ti, ti+1].
Supondo que σ(t) e de classe C1, e denotando por ∆Si o comprimento da curva
Ci, tem-se, pela formula do comprimento de arco
∆Si =
∫ ti+1
ti
||σ′(t)||dt. (1.9)
Pelo teorema do valor medio para integrais, existe ui ∈ [ti, ti+1] tal que ∆Si =
||σ′(ui)||(ti+1 − ti) = ||σ′(ui)||∆ti, onde ∆ti = ti+1 − ti.2Um campo vetorial F sera contınuo se cada funcao coordenada Fi for contınua.
1.1 Integrais de linha 12
Quando n e grande, ∆Si e pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante
em Ci e igual a f(σ(ui)). Obtemos assim a soma de Riemann
n−1∑i=0
f(σ(ui))||σ′(ui)||∆ti. (1.10)
Logo, se considerarmos f(x, y, z) constante em C, obtemos
limn→∞
(n−1∑i=0
f(σ(ui))||σ′(ui)||∆ti
)=
∫ b
a
f(σ(t))||σ′(t)||dt. (1.11)
Facamos entao a seguinte definicao.
Definicao 1.1.3. Consideremos uma curva C em R3 parametrizada por
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], onde σ e de classe C1, e f(x, y, z) uma funcao real
contınua em C. Definimos a integral de linha de f ao longo de C por∫C
fds =
∫C
f(x, y, z)ds =
∫ b
a
f(σ(t))||σ′(t)||dt.
Observacao 1.1.1. Se f(x, y, z) = 1 obtemos simplesmente a formula do comprimento da
curva C ∫C
ds =
∫ b
a
||σ′(t)||dt. (1.12)
Suponha agora que uma partıcula se mova ao longo de uma curva C, para-
metrizada por uma funcao σ(t), e que exista uma parametrizacao equivalente β(t) de C.
Veremos entao a relacao entre as integrais∫Cσ
F · dr e
∫Cβ
F · dr, (1.13)
onde Cσ e a parametrizacao de C por σ(t) e Cβ e a parametrizacao de C por β(t).
Definicao 1.1.4. Sejam σ(t) (a ≤ t ≤ b) e β(t) (c ≤ t ≤ d) duas parametrizacoes de classe
C1 de uma curva C. Dizemos que σ(t) e β(t) sao parametrizacoes equivalentes se existe
uma funcao h : [c, d]→ [a, b], bijetora e de classe C1, tal que β(t) = σ(h(t)), c ≤ t ≤ d. Se
h e crescente, dizemos que h preserva a orientacao.
Teorema 1.1.1. Sejam σ(t) (a ≤ t ≤ b) e β(t) (c ≤ t ≤ d) parametrizacoes C1 por partes
e equivalentes, isto e, existe h dada pela definicao anterior. Se h preserva orientacao,
entao ∫Cβ
F · dr =
∫Cσ
F · dr.
1.1 Integrais de linha 13
Se h inverte a orientacao, entao∫Cβ
F · dr = −∫Cσ
F · dr.
Demonstracao. Se σ(t) e β(t) sao equivalentes, entao existe h tal que β(t) = σ(h(t)), t ∈
[c, d]. Entao∫Cβ
F ·dr =
∫ d
c
F (β(t))·β′(t)dt =
∫ d
c
F (σ(h(t)))·σ′(h(t))dt =
∫ d
c
F (σ(h(t)))·σ′(h(t))·h′(t)dt.
Fazendo u = h(t) obtemos du = h′(t)dt, e entao∫Cβ
F · dr =
∫ h(d)
h(c)
F (σ(u)) · σ′(u)du.
Portanto,∫Cβ
F · dr =
∫ h(d)
h(c)
F (σ(u)) · σ′(u)du =
∫ b
a
F (σ(u)) · σ′(u) =
∫Cσ
F · dr,
se h preserva a orientacao (h e crescente), e∫ h(d)
h(c)
F (σ(u)) · σ′(u)du =
∫ a
b
F (σ(u)) · σ′(u)du = −∫Cσ
F · dr,
se h inverte a orientacao (h e decrescente).
Observe que o procedimento utilizado foi possıvel pela forma com que se define
uma parametrizacao equivalente, isto e, por existir uma bijecao h : [c, d]→ [a, b].
Por serem definidas em termos de integrais ordinarias, as integrais de linha
gozam de algumas importantes propriedades das integrais ordinarias, como a linearidade
e a aditividade, como segue:
Linearidade: ∫C
(aF + bG) · dr = a
∫C
F · dr + b
∫C
G · dr. (1.14)
Aditividade: Se C admite uma decomposicao em um numero finito de curvas C1, · · · , Cnentao ∫
C
F · dr =n∑i=1
∫Ci
F · dr. (1.15)
Vimos ate agora que a integral de linha depende do caminho, isto e, da curva
C a qual estamos considerando. Passaremos a analisar em quais condicoes a integral de
1.1 Integrais de linha 14
linha depende apenas dos pontos inicial e final do caminho C. Veremos que isto esta
relacionado com as caracterısticas do campo vetorial ao qual estamos considerando.
Antes de enunciar o teorema que nos dara uma condicao para que a integral de
linha dependa somente dos pontos final e inicial, lembremo-nos do teorema fundamental
do calculo, pois alem de utiliza-lo na proxima demonstracao, poderemos observar ate certa
semelhanca com o teorema em questao.
Teorema 1.1.2. (Teorema Fundamental do Calculo). Sejam f uma funcao contınua
no intervalo fechado [a, b] e g uma funcao, com g′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]. Entao,∫ b
a
f(t)dt = g(b)− g(a).
Teorema 1.1.3. Seja F um campo vetorial contınuo definido num subconjunto aberto
U ⊂ R3 para o qual existe uma funcao real f tal que ∇f = F em U . Se C e uma curva
em U com pontos inicial e final A e B, respectivamente, parametrizada por uma funcao
σ(t), C1 por partes, entao∫C
F · dr =
∫C
∇f · dr = f(B)− f(A).
Demonstracao. Sejam A = σ(a) e B = σ(b) os pontos inicial e final de C, respectivamente.
Entao, como ∫C
F · dr =
∫ b
a
∇f(σ(t)) · σ′(t)dt
basta fazer g(t) = f(σ(t)), a ≤ t ≤ b e obtemos, pela regra da cadeia, que
g′(t) = ∇f(σ(t)) · σ′(t).
E finalmente, pelo Teorema Fundamental do Calculo,∫C
F · dr =
∫ b
a
g′(t)dt = g(b)− g(a) = f(σ(b))− f(σ(a)) = f(B)− f(A).
Definicao 1.1.5. O campo vetorial F acima e chamado de campo vetorial conservativo,
ou campo vetorial gradiente, e f e dita uma funcao potencial3.
3Este nome foi utilizado pela primeira vez pelo matematico George Green, em um trabalho publicado
em 1828.
1.2 O Teorema de Green 15
1.2 O Teorema de Green
O Teorema de Green4 trata-se de um resultado muito importante no estudo
das integrais de linha, pois as relaciona com uma integral dupla sobre a regiao limitada
pela curva a qual estamos considerando, da seguinte forma:∮∂D
F1dx+ F2dy =
∫ ∫D
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)dxdy. (1.16)
Mas para a validade de (1.16) faz-se necessario supor a veracidade de duas
condicoes. Primeiro, e necessario que as funcoes F1 e F2 sejam integraveis. E em se-
gundo lugar, temos condicoes impostas a natureza da regiao D e sua fronteira ∂D.
Sera necessario que ∂D seja uma curva fechada simples, isto e, se parame-
trizada por uma funcao σ definida em um intervalo fechado [a, b], entao σ(a) = σ(b). E
ainda, σ(t1) 6= σ(t2), para todo t1 6= t2, onde t1, t2 ∈ (a, b).
Curvas fechadas simples sao usualmente chamadas de curvas de Jordan, em
homenagem ao matemaico frances Camille Jordan (1838-1922), um dos pioneiros nos
estudos referentes a curvas fechadas e arcos.[1]
Antes de enunciar o Teorema, facamos as seguintes definicoes:
Definicao 1.2.1. Uma regiao D do plano xy e chamada de Regiao de tipo I se existem
ϕ1 e ϕ2 funcoes, tais que a regiao pode ser descrita da seguite forma:
D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b e ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}.
Definicao 1.2.2. Uma regiao D do plano xy e chamada de Regiao de tipo II se existem
ψ1 e ψ2 funcoes, tais que a regiao pode ser descrita da seguinte forma:
D = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d e ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}.
Definicao 1.2.3. Uma regiao D do plano xy e dita simples se pode ser descrita como
uma regiao do tipo I e II, simultaneamente.
Definicao 1.2.4. Dizemos que a fronteira ∂D, de uma regiao limitada D esta orientada
positivamente se a regiao D fica a esquerda, ao percorrermos a fronteira ∂D.
Definicao 1.2.5. Consideremos um campo vetorial F : U ⊂ R3 → R3. F e de classe C1
se todas as derivadas parciais ∂Fi∂xj
das funcoes coordenadas de F sao contınuas no conjunto
aberto U.4O teorema leva esse nome em homenagem ao matematico ingles George Green (1793-1841).
1.2 O Teorema de Green 16
Teorema 1.2.1. (Teorema de Green). Seja D uma regiao fechada e limitada do
plano xy, cuja fronteira ∂D esta orientada positivamente e e parametrizada por uma
funcao C1 por partes, de modo que ∂D seja percorrida apenas uma vez (∂D sera uma
curva de Jordan). Se F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) e um campo vetorial de classe C1 num
subconjunto aberto que contem D, entao∮∂D
F1dx+ F2dy =
∫ ∫D
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)dxdy.
Demonstracao. Supomos primeiramente que D e uma regiao simples, isto e, D pode ser
descrita simultaneamente por uma regiao de tipo I e de tipo II.
Observe que temos valida a seguinte identidade:∫ ∫D
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)dxdy =
∫ ∫D
∂F2
∂xdxdy +
∫ ∫D
−∂F1
∂ydxdy.
Sendo assim, se D e de tipo I, temos∫ ∫D
−∂F1
∂ydxdy =
∫ b
a
∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)
−∂F1
∂ydydx =
=
∫ b
a
[F1(x, ϕ1(x))− F2(x, ϕ2(x))] dx =
∫ b
a
F1(x, ϕ1(x))dx−∫ b
a
F1(x, ϕ2(x))dx =
=
∮∂D
F1dx
De forma analoga, supondo agora D de tipo II, obtemos∫ ∫D
∂F2
∂xdxdy =
∫ d
c
∫ ψ2(y)
ψ1(y)
∂F2
∂xdxdy =
=
∫ d
c
[F2(ψ2(y), y)− F2(ψ1(y), y)] dy =
∫ d
c
F2(ψ2(y), y)dy −∫ d
c
F2(ψ1(y), y)dy =
=
∮∂D
F2dy.
Portanto, ∫ ∫D
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)dxdy =
∮∂D
F1dx+ F2dy.
Se porem, D nao e simples, entao D pode ser descrita como uma soma de
regioes simples, isto e, D =⋃ni=1Di, onde cada Di e simples com fronteira ∂Di para-
metrizada por uma funcao C1 por partes, e sendo assim, podemos aplicar o teorema de
Green a cada regiao simples, obtendo∫ ∫D
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)dxdy =
n∑i=1
∫ ∫Di
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)dxdy =
n∑i=1
∮∂Di
F1dx+ F2dy.
1.2 O Teorema de Green 17
Observe que se uma fronteira ∂Di e percorrida duas vezes, isto e, e parte da fronteira
comum a duas regioes, entao pelo teorema 1.1.1 sera em sentidos opostos, e os resultados
serao anulados, fazendo com que somente as partes que formam a fronteira ∂D sejam
consideradas, o que garante a validade do teorema.
Definicao 1.2.6. Um subconjunto aberto U ⊂ R2 e dito um domınio se dois pontos
quaisquer de U podem ser ligados por uma poligonal totalmente contida em U.
Definicao 1.2.7. Um subconjunto aberto U ⊂ R2 e dito simplesmente conexo se, para
toda curva fechada C em U , a regiao limitada por C esta totalmente contida em U.
Teorema 1.2.2. Se z = f(x, y) e uma funcao de classe C2, entao suas derivadas mistas
sao iguais, isto e∂2f
∂x∂y=
∂2f
∂y∂x.
Teorema 1.2.3. Seja F = (F1, F2) um campo vetorial de classe C1 definido num domınio
simplesmente conexo U ⊂ R2. As seguintes condicoes sao equivalentes.
1.∮CF · dr = 0, qualquer que seja a curva fechada C,C1 por partes, contida em U
2. A integral de linha de F do ponto A ate o ponto B independe da curva C1 por partes,
contida em U que liga A a B.
3. F e um campo vetorial conservativo de alguma funcao potencial f em U.
4. ∂F2
∂x= ∂F1
∂y.
Demonstracao. Faremos a demonstracao mostrando que (1)⇒ (2)⇒ (3)⇒ (4)⇒ (1).
(1) ⇒ (2). Sejam C1 e C2 dois caminhos C1 por partes ligando A e B. Denotando por
C−i o caminho Ci com a orientacao contraria, temos que C = C1 ∪C−2 e fechada e C1 por
partes, e assim, por (1) obtemos
0 =
∮C
F · dr =
∫C1
F · dr −∫C2
F · dr ⇒
⇒∫C1
F · dr =
∫C2
F · dr.
(2)⇒ (3). Provaremos a existencia de f tal que ∂f∂x
= F1, para F2 segue-se analogamente.
Fixe (x0, y0) ∈ U, e para cada (X, Y ) ∈ U defina
f(X, Y ) =
∫ (X,Y )
(x0,y0)
F1dx+ F2dy.
1.2 O Teorema de Green 18
Esta funcao esta bem definida, pois de (2) decorre que a integral independe do caminho
que liga (x0, y0) a (X, Y ).
Tomando agora ∆x→ 0 temos
f(X + ∆x, Y )− f(X, Y ) =
∫ (X+∆x,Y )
(x0,y0)
F1dx+ F2dy −∫ (X,Y )
(x0,y0)
F1dx+ F2dy =
=
∫ (X+∆x,Y )
(X,Y )
F1dx+ F2dy.
Novamente, esta ultima integral independe do caminho entre (X, Y ) e (X + ∆x, Y ), e
entao podemos toma-lo como sendo o segmento de reta que liga esses pontos (lembrando
que por hipotese a regiao e um domınio). Assim, como a coordenada y e constante, temos∫ (X+∆x,Y )
(X,Y )
F1dx+ F2dy =
∫ (X+∆x,Y )
(X,Y )
F1dx.
Finalmente, pelo teorema do valor medio para integrais,∫ (X+∆x,Y )
(X,Y )
F1dx = ∆xF1(x+ t∆x, Y ),
0 ≤ t ≤ 1. Logo,
f(X + ∆x, Y )− f(X, Y )
∆x=
1
∆x
∫ (X+∆x,Y )
(X,Y )
F1dx+ F2dy = F1(X + t∆x, Y ),
e tomando o limite quando ∆x→ 0 obtemos
∂f
∂x(X, Y ) = F1(X, Y ).
(3) ⇒ (4). Se F = ∇f em U, entao ∂f∂x
= F1 e ∂f∂y
= F2, e ainda como F e de classe C1
imediatamente f e de classe C2. Considerando entao suas derivadas parciais de segunda
ordem obtemos ∂2f∂y∂x
= ∂F1
∂ye ∂2f∂x∂y
= ∂F2
∂x. Logo,
∂F1
∂y=∂F2
∂x.
(4) ⇒ (1). Basta aplicar o teorema de Green, pois como C e uma curva fechada em U ,
entao pelo fato de U ser simplesmente conexo, segue que a regiao D limitada por C esta
totalmente contida em U. Assim,∮C
F1dx+ F2dy =
∫ ∫D
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)dxdy = 0.
1.3 O Teorema de Stokes 19
1.3 O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes, que possui esse nome em homenagem ao matematico
irlandes G. G. Stokes (1819-1903), e uma extencao direta do teorema de Green, dado na
secao anterior. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de
uma curva fechada C no R3 com a integral sobre uma superfıcie S da qual C e bordo, da
seguinte forma: ∫ ∫S
(rotF · n)ds =
∫∂S
F · dr. (1.17)
Mas antes de enunciar e provar esse teorema, estudaremos as chamadas inte-
grais de superfıcie, a fim de compreender os mecanismos necessarios para a aplicacao e
prova do Teorema de Stokes.
Relembraremos algumas maneiras de descrever uma superfıcie:
Representacao implıcita: Podemos descrever uma superfıcie como o conjunto dos
pontos (x, y, z) que satisfazem uma equacao da forma F (x, y, z) = 0, por exemplo, a
esfera de raio 1 centrada na origem tem representacao implıcita x2 +y2 +z2−1 = 0.
Representacao explıcita: Quando temos uma representacao implıcita e e possıvel
resolver essa equacao para uma variavel, isto e, z = F (x, y), y = F (x, z) ou x =
F (y, z) obtemos a chamada representacao explıcita da superfıcie. Usando o exemplo
anterior e resolvendo a equacao para z, obtemos as representacoes explıcitas z =√1− x2 − y2 e z = −
√1− x2 − y2.
Representacao parametrica: Consideremos uma funcao ϕ : D ⊂ R2 → R3 definida
num subconjunto D ⊂ R2. A imagem de D por ϕ, ϕ(D), e dita uma superfıcie
parametrizada, e sua representacao parametrica e
ϕ(u, v) = (x, y, z) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) e (u, v) ∈ D.
A funcao ϕ e de classe C1 se x(u, v), y(u, v) e z(u, v) sao de classe C1.
Suponhamos que uma superfıcie S com representacao parametrica ϕ(u, v) =
(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D, seja diferenciavel em (u0, v0) ∈ D. Fixando u = u0,
obtemos uma funcao,
I ⊂ R→ R3
v 7→ ϕ(u0, v)
1.3 O Teorema de Stokes 20
que define uma curva v na superfıcie. Se o vetor
∂ϕ
∂v(u0, v0) =
(∂x
∂v(u0, v0),
∂y
∂v(u0, v0),
∂z
∂v(u0, v0)
)e nao nulo, entao ele e um vetor tangente a esta curva no ponto ϕ(u0, v0).
Procedendo analogamente, definimos a curva u na superfıcie, e entao, se o
vetor∂ϕ
∂u(u0, v0) =
(∂x
∂u(u0, v0),
∂y
∂u(u0, v0),
∂z
∂u(u0, v0)
)e nao nulo, ele e tangente a curva u em ϕ(u0, v0).
Quando N(u0, v0) = ∂ϕ∂u
(u0, v0)× ∂ϕ∂v
(u0, v0) e nao nulo, N(u0, v0) e normal ao
plano gerado pelos vetores ∂ϕ∂u
(u0, v0) e ∂ϕ∂v
(u0, v0).
Definicao 1.3.1. (Plano Tangente). Seja S uma supefıcie parametrizada por
ϕ : D ⊂ R2 → R3. Suponhamos que ∂ϕ∂u
e ∂ϕ∂v
sejam contınuas em (u0, v0) ∈ D. Se
N(u0, v0) = ∂ϕ∂u
(u0, v0)× ∂ϕ∂v
(u0, v0) e nao nulo, dizemos que S e regular em ϕ(u0, v0) ∈ S.
Neste caso, definimos o plano tangente a S em ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0) como sendo o plano
gerado pelos vetores ∂ϕ∂u
(u0, v0) e ∂ϕ∂v
(u0, v0), cuja equacao e dada por
N(u0, v0) · (x− x0, y − y0, z − z0) = 0
Uma superfıcie S = ϕ(D) e regular5 se e regular em todos os pontos.
Considere agora uma superfıcie parametrizada
ϕ : D ⊂ R2 → R3
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Por simplicidade, e sem perda de generalidade, suponha queD seja um retangulo,
e considere uma particao regular de D de ordem n da seguinte forma:
Para cada i, j ∈ {0, 1 · · · , n − 1}, seja Rij o retangulo de vertices (ui, vj),
(ui+1, vj), (ui, vj+1) e (ui+1, vj+1).
Para facilitar a notacao, denotamos o vetor ∂ϕ∂u
(ui, vj) por ϕui , e analogamente
∂ϕ∂v
(ui, vj) por ϕvj .
5Intuitivamente dizemos que uma superfıcie regular nao possui “bicos”.
1.3 O Teorema de Stokes 21
Seja ∆u = ui+1 − ui e ∆v = vj+1 − vj. Dessa forma os vetores ∆uϕui e ∆vϕvj
sao tangentes a superfıcie em ϕ(ui, vj) = (xij, yij, zij), e ainda, esses vetores formam um
paralelogramo Pij situado no plano tangente a superfıcie em (xij, yij, zij).
Relembrando que a area de um paralelogramo determinado por dois vetores u
e v e ||u× v||, observe que para n suficientemete grande, a area do paralelogramo Pij se
aproxima da area de ϕ(Rij).
Portanto, a area da superfıcie e aproximada por
An =n−1∑i=0
n−1∑j=0
A(Pij) =n−1∑i=0
n−1∑j=0
||ϕui × ϕvj ||∆u∆v, (1.18)
Fazendo n→∞, a sequencia An converge para a integral∫ ∫D
∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u
(u, v)× ∂ϕ
∂v(u, v)
∣∣∣∣∣∣dudv. (1.19)
Feito isso, facamos a seguinte definicao.
Definicao 1.3.2. (Area de Superfıcie). Seja S uma superfıcie parametrizada por
ϕ(u, v), (u, v) ∈ D. Definimos a area A(S) de S pela formula
A(S) =
∫ ∫D
∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ
∂v(u, v)
∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv.Se S e decomposta por um numero finito de superfıcies, entao sua area e dada pela soma
destas areas, isto e
A(S) =n∑i=1
A(Si), onde S =n⋃i=1
Si.
Integrais de superfıcie podem ser tratadas de forma analoga as integrais de
linha, pois possuem uma estreita ligacao. Enquanto uma integral de linha trata-se de
uma integral sobre uma curva no espaco, integrais de superfıcie podem ser interpretadas
como uma integral sobre uma superfıcie no espaco. Veremos a seguir a definicao de integral
de superfıcie.
Definicao 1.3.3. Seja S uma superfıcie parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D, e f(x, y, z)
uma funcao real contınua definida em S. Definimos a integral de superfıcie de f sobre S
por ∫ ∫S
fds =
∫ ∫S
f(x, y, z)ds =
∫ ∫S
f(ϕ(u, v))∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u× ∂ϕ
∂v
∣∣∣∣∣∣dudv.
1.3 O Teorema de Stokes 22
Quando a superfıcie S e definida explicitamente por uma equacao da forma
z = g(x, y), onde (x, y) ∈ D entao, sabendo que
∂z
∂x× ∂z
∂y=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
1 0 ∂z∂x
(x, y)
0 1 ∂z∂y
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1k − ∂g
∂yj − ∂g
∂xi,
temos∫ ∫S
fds =
∫ ∫S
f(x, y, g(x, y)) ·
√1 +
(∂g
∂x(x, y)
)2
+
(∂g
∂y(x, y)
)2
dxdy. (1.20)
Logo, se f(x, y, z) = 1 sobre S, a equacao acima se reduz a∫ ∫S
ds =
∫ ∫D
∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ
∂v(u, v)
∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv, (1.21)
que e igual a area de S, e por essa razao o sımbolo ds pode ser interpretado como um
elemento de area de superfıcie, e a integral de superfıcie∫ ∫
Sfds e chamada de integral
de f com respeito ao elemento de area ds, estendida sobre a superfıcie S.[10]
Seja S uma superfıcie parametrizada, entao a esta superfıcie estao associados
dois campos contınuos de vetores unitarios n1 e n2 :
n1(ϕ(u, v)) =∂ϕ∂u
(u, v)× ∂ϕ∂v
(u, v)
||∂ϕ∂u
(u, v)× ∂ϕ∂v
(u, v)||, (1.22)
n2(ϕ(u, v)) = −n1(ϕ(u, v)). (1.23)
Definicao 1.3.4. Seja S uma superfıcie parametrizada. Dizemos que S esta orientada
se fixarmos sobre ela um campo de vetores normais unitarios da forma n1 ou n2.
Definicao 1.3.5. Se F : S ⊂ R3 → R3 e um campo vetorial contınuo e n um dos campos
n1 ou n2, denotamos por Fn = F · n a funcao escalar que a cada ponto de S associa a
componente do campo F na direcao do vetor n.
Definicao 1.3.6. Seja F um campo vetorial contınuo definido numa superfıcie orientada
S parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D. Definimos a integral de superfıcie de F sobre S
por ∫ ∫S
F · ds =
∫ ∫S
(F · n)ds =
∫ ∫S
Fnds.
Assim, pela definicao de integral de superfıcie de funcao escalar obtemos, para
o caso em que n = n1,∫ ∫S
(F · n)ds =
∫∫D
[F (ϕ(u, v)) · n(ϕ(u, v))]
∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ
∂v(u, v)
∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv =
1.3 O Teorema de Stokes 23
=
∫∫D
[F (ϕ(u, v)) ·
(∂ϕ
∂u(u, v)× ∂ϕ
∂v(u, v)
)]dudv.
Observacao 1.3.1. Se considerarmos n = n2, entao apenas mudaremos o sinal da integral
de superfıcie acima.
Uma importante aplicacao da integral de superfıcie de um campo vetorial e
a interpretacao do fluxo, ou taxa de escoamento por uma superfıcie S, ao qual veremos
brevemente a seguir.
Suponhamos que um campo vetorial contınuo F : W ⊂ R3 → R3 represente
um campo de velocidade associado ao escoamento de um fluido em cada ponto da regiao
W. O fluxo ou taxa de escoamento por unidade de tempo pela superfıcie S contida em W
e dado pela integral de superfıcie de F sobre S.
De fato, se S e plana e F e um campo constante, entao o volume de um fluido
que passa por S na unidade de tempo e (F · n) · (area de (S)). Portanto o fluxo e dado
por
φ = (F · n) · (area(S)). (1.24)
Se S e uma superfıcie nao plana contida em W, a decompomos por meio de
curvas coordenadas da forma u = c1, v = c2, com c1 constante, e supomos que F e
constante em cada parte Sk de S assim formada. Aproximando S por paralelogramos
tangentes determinados pelos vetores ∂ϕ∂u
∆u e ∂ϕ∂v
∆v, obtemos que o fluxo por uma parte
Sk de S e aproximadamente
φk ≈ (F (ϕ(uk, vk)) · nk) · (area(Sk)) ≈
≈ F (ϕ(uk, vk)) ·(∂ϕ
∂u(uk, vk)×
∂ϕ
∂v(uk, vk)
)∆u∆v. (1.25)
E quando n→∞, a sequencia das somas
n∑k=1
(F (ϕ(uk, vk)) ·
(∂ϕ
∂u(uk, vk)×
∂ϕ
∂v(uk, vk)
))∆u∆v (1.26)
converge para o fluxo total de F pela superfıcie S. Assim, o fluxo total φ pode ser obtido
pela integral de superfıcie∫ ∫D
F (ϕ(u, v)) ·(∂ϕ
∂u× ∂ϕ
∂v
)dudv =
∫ ∫S
F · ds. (1.27)
Uma pergunta pertinente no estudo das integrais de superfıcie e certamente
o comportamento de uma integral quando mudamos a parametrizacao da superfıcie em
questao. Para respondermos essa pergunta, consideremos os seguintes resultados.
1.3 O Teorema de Stokes 24
Definicao 1.3.7. Sejam ϕ1(u, v), (u, v) ∈ D1, e ϕ2(s, t), (s, t) ∈ D2, duas parametrizacoes
de uma superfıcie orientada S. Dizemos que ϕ1 e ϕ2 sao parametrizacoes equivalentes se
existe uma bijecao de classe C1
G : D2 ⊂ R2 → D1 ⊂ R2
(s, t) 7→ G(s, t) = (u, v) = (u(s, t), v(s, t)) ,
tal que ϕ1 (G(D2)) = ϕ2(D2) = S, isto e, ϕ2(s, t) = ϕ1(u(s, t), v(s, t)), (s, t) ∈ D2.
Definicao 1.3.8. Considere uma aplicacao definida por ϕ(s, t) = (u(s, t), v(s, t)), onde
u e v sao funcoes de um subconjunto aberto U ⊂ R2 em R. Definimos o determinante
Jacobiano da aplicacao ϕ por
∂(u, v)
∂(s, t)= det
∂u∂s
∂v∂s
∂u∂t
∂v∂t
.
Teorema 1.3.1. Se ϕ1(u, v) e ϕ2(s, t) sao parametrizacaoes equivalentes de uma su-
perfıcie regular orientada entao
Nϕ2 = Nϕ1
∂(u, v)
∂(s, t),
onde
Nϕ1 =∂ϕ1
∂u× ∂ϕ1
∂ve Nϕ2 =
∂ϕ2
∂s× ∂ϕ2
∂t.
Demonstracao. Se ϕ1 e ϕ2 sao parametrizacoes equivalentes, entao existe uma bijecao
dada pela definicao (1.3.7) tal que
ϕ2(s, t) = ϕ1(u(s, t), v(s, t)).
Entao6
∂ϕ2
∂s=∂ϕ1
∂u
∂u
∂s+∂ϕ1
∂v
∂v
∂s,
∂ϕ2
∂t=∂ϕ1
∂u
∂u
∂t+∂ϕ1
∂v
∂v
∂t.
Logo
Nϕ2 =∂ϕ2
∂s× ∂ϕ2
∂t=
(∂ϕ1
∂u
∂u
∂s+∂ϕ1
∂v
∂v
∂s
)×(∂ϕ1
∂u
∂u
∂t+∂ϕ1
∂v
∂v
∂t
)=
=
(∂ϕ1
∂u
∂u
∂s
)(∂ϕ1
∂v
∂v
∂t
)−(∂ϕ1
∂v
∂v
∂s
)(∂ϕ1
∂u
∂u
∂t
)=
6As derivadas parciais foram obtidas usando a regra da cadeia.
1.3 O Teorema de Stokes 25
=
(∂ϕ1
∂u
∂ϕ1
∂v− ∂ϕ1
∂v
∂ϕ1
∂u
)(∂u
∂s
∂v
∂t− ∂v
∂s
∂u
∂t
)=
=
(∂ϕ1
∂u× ∂ϕ1
∂v
)∂(u, v)
∂(s, t)= Nϕ1
∂(u, v)
∂(s, t).
Teorema 1.3.2. Sejam ϕ1(u, v), (u, v) ∈ D1, e ϕ2(s, t), (s, t) ∈ D2, parametrizacoes
equivalentes de uma superfıcie regular orientada S.
1. Se f e uma funcao escalar contınua definida em S, entao∫ ∫ϕ1(D1)
fds =
∫ ∫ϕ2(D2)
fds.
2. Se F e um campo vetorial contınuo definido em S, entao∫ ∫ϕ1(D1)
(F · n)ds =
∫ ∫ϕ2(D2)
(F · n)ds,
se os vetores normais Nϕ1 e Nϕ2 tem o mesmo sentido em cada ponto de S, e∫ ∫ϕ1(D1)
(F · n)ds = −∫ ∫
ϕ2(D2)
(F · n)ds,
se os vetores normais Nϕ1 e Nϕ2 tem sentidos opostos em cada ponto de S.
Demonstracao. 1. Pela definicao (1.3.3) temos∫ ∫ϕ1(D1)
fds =
∫ ∫D1
f(ϕ1(u, v))
∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1
∂u(u, v)× ∂ϕ1
∂v(u, v)
∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv.Como por ϕ1 e ϕ2 sao parametrizacoes equivalentes, entao existe uma funcao G
dada pela definicao (1.3.7) tal que∫ ∫D1
f(ϕ1(u, v))
∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1
∂u(u, v)× ∂ϕ1
∂v(u, v)
∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv =
∫ ∫D2
f(ϕ1(u(s, t), v(s, t)))
∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1
∂u× ∂ϕ1
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∂(u, v)
∂(s, t)
∣∣∣∣ dsdt.E finalmente, pelo teorema (1.3.1) obtemos a igualdade∫ ∫
D2
f(ϕ2(s, t))
∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ2
∂s(s, t)× ∂ϕ2
∂t(s, t)
∣∣∣∣∣∣∣∣ dsdt =
∫ ∫ϕ2(D2)
fds.
2. Pela definicao (1.3.6) temos∫ ∫ϕ1(D1)
(F · n)ds =
∫ ∫D1
F (ϕ1(u, v)) ·(∂ϕ1
∂u× ∂ϕ1
∂v
)dudv =
1.3 O Teorema de Stokes 26
=
∫ ∫D2
F (ϕ1(u(s, t), v(s, t))) ·(∂ϕ1
∂u× ∂ϕ1
∂v
) ∣∣∣∣∂(u, v)
∂(s, t)
∣∣∣∣ dsdt.Portanto, se Nϕ1 e Nϕ2 tem o mesmo sentido, pelo teorema (1.3.1), a integral acima
e igual a∫ ∫D2
F (ϕ2(S, T )) ·(∂ϕ2
∂s(s, t)× ∂ϕ2
∂t(s, t)
)dsdt =
∫ ∫ϕ2(D2)
(F · n)ds.
E se Nϕ1 e Nϕ2 possuem sentidos opostos, entao∫ ∫D2
F (ϕ1(u(s, t), v(s, t))) ·(∂ϕ1
∂u× ∂ϕ1
∂v
) ∣∣∣∣∂(u, v)
∂(s, t)
∣∣∣∣ dsdt =
=
∫ ∫D2
−F (ϕ2(s, t)) ·(∂ϕ2
∂s(s, t)× ∂ϕ2
∂t(s, t)
)dsdt = −
∫ ∫ϕ2(D2)
(F · n)ds.
Definicao 1.3.9. Considere um campo vetorial F = (F1, F2, F3) com derivadas parciais
definidas num subconjunto aberto do R3. Definimos o campo vetorial rotacional de F por
rotF = ∇× F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
(∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
).
Definicao 1.3.10. Seja S uma superfıcie parametrizada por ϕ(u, v), com (u, v) ∈ D. O
bordo ∂S de S e a curva de S correspondente por ϕ a fronteira de D.
Teorema 1.3.3. (Teorema de Stokes). Sejam S uma superfıcie orientada, parametri-
zada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D, onde D e uma regiao fechada do plano uv, limitada por uma
curva C1 por partes, e ϕ uma funcao de classe C2 num subconjunto aberto de R2 contendo
D. Se F = (F1, F2, F3) e um campo vetorial de classe C1, definido num subconjunto aberto
de R3 que contem S, cujo bordo ∂S esta orientado positivamente, entao∫ ∫S
(rotF · n)ds =
∫∂S
F · dr.
Demonstracao. Consideremos S parametrizada por ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
com (u, v) ∈ D, e ainda orientada com campo de vetore normais
n =∂ϕ∂u× ∂ϕ
∂v∣∣∣∣∂ϕ∂u× ∂ϕ
∂v
∣∣∣∣ ,onde
∂ϕ
∂u× ∂ϕ
∂v=
(∂(y, z)
∂(u, v),∂(z, x)
∂(u, v),∂(x, y)
∂(u, v)
).
1.3 O Teorema de Stokes 27
Pela formula da integral de superfıcie temos,∫ ∫S
(rotF · n)ds =
=
∫ ∫D
[(∂F3
∂y− ∂F2
∂z
)∂(y, z)
∂(u, v)+
(∂F1
∂z− ∂F3
∂x
)∂(z, x)
∂(u, v)+
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)∂(x, y)
∂(u, v)
]dudv,
E para completar a demontracao basta verificar que∫∂S
F1dx =
∫ ∫D
[∂F1
∂z
∂(z, x)
∂(u, v)− ∂F1
∂y
∂(x, y)
∂(u, v)
]dudv,
∫∂S
F2dy =
∫ ∫D
=
[−∂F2
∂z
∂(y, z)
∂(u, v)+∂F2
∂x
∂(x, y)
∂(u, v)
]dudv
e ∫∂S
F3dz =
[∂F3
∂y
∂(y, z)
∂(u, v)− ∂F3
∂x
∂(z, x)
∂(u, v)
]dudv,
pois somando estas tres equacoes obtemos o teorema de Stokes. Provaremos apenas a
primeira identidade, pois as demais sao analogas.
Supomos que h(t) = (u(t), v(t)), a ≤ t ≤ b e uma parametrizacao da fronteira
deD, orientada de modo que ϕ(h(t)) seja uma parametrizacao do bordo ∂S de S, orientado
positivamente. Assim,∫∂S
F1dx =
∫ b
a
[F1(ϕ(h(t)))
d
dt(x(h(t)))
]dt =
=
∫ b
a
[F1(ϕ(h(t)))
(∂x
∂u(h(t))u′(t) +
∂x
∂v(h(t))v′(t)
)]dt =
=
∫∂D
F1(ϕ(u, v))
(∂x
∂u(u, v)du+
∂x
∂v(u, v)dv
)=
=
∫∂D
F1(ϕ(u, v))∂x
∂u(u, v)du+ F1(ϕ(u, v))
∂x
∂v(u, v)dv.
Como ϕ e de classe C2, podemos aplicar o teorema de Green a esta ultima integral,
obtendo∫∂S
F1dx =
∫ ∫D
[∂
∂u
(F1(ϕ(u, v))
∂x
∂v
)− ∂
∂v
(F1(ϕ(u, v))
∂x
∂u(u, v)
)]dudv.
Mas,∂
∂u
((F1 ◦ ϕ)
∂x
∂v
)− ∂
∂v
((F1 ◦ ϕ)
∂x
∂u
)=
=∂
∂u(F1 ◦ ϕ)
∂x
∂v+ (F1 ◦ ϕ)
∂2x
∂u∂v− ∂
∂(F1 ◦ ϕ)
∂x
∂u− (F1 ◦ ϕ)
∂2x
∂v∂u=
1.3 O Teorema de Stokes 28
∂
∂u(F1 ◦ ϕ)
∂x
∂v− ∂
∂v(F1 ◦ ϕ)
∂x
∂u=(
∂F1
∂x
∂x
∂u+∂F1
∂y
∂y
∂u+∂F1
∂z
∂z
∂u
)∂x
∂v−(∂F1
∂x
∂x
∂v+∂F1
∂y
∂y
∂v+∂F1
∂z
∂z
∂v
)∂x
∂u=
−∂F1
∂y
(∂x
∂u
∂y
∂v− ∂x
∂v
∂y
∂u
)+∂F1
∂z
(∂x
∂v
∂z
∂u− ∂x
∂u
∂z
∂v
)=
−∂F1
∂y
∂(x, y)
∂(u, v)+∂F1
∂z
∂(z, x)
∂(u, v).
Logo, ∫∂S
F1dx =
∫ ∫D
[∂F1
∂z
∂(z, x)
∂(u, v)− ∂F1
∂y
∂(x, y)
∂(u, v)
]dudv,
o que garante a validade da primeira identidade. De forma analoga provam-se as outras
duas, concluindo a demonstracao.
Observe que se a regiao S do teorema acima for uma regiao do plano xy, entao
n = (0, 0, 1), e assim obtemos o teorema de Green, isto e,∫∂S
F · dr =
∫∫S
(rotF · n) · dr =
∫∫S
(∂F2
∂x− ∂F1
∂y
)dxdy.
Como vimos, o Teorema de Stokes expressa uma relacao entre uma integral de
superfıcie e uma integral de linha sobre a curva que e o bordo da superfıcie em questao.
O proximo teorema que iremos apresentar e o Teorema da divergencia, ou Teorema de
Gauss, que relaciona uma integral tripla com uma integral de superfıcie.
Definicao 1.3.11. Seja W uma regiao limitada do R3, tendo como fronteira uma su-
perfıcie ∂W. Diremos que ∂W esta orientada positivamente se o vetor normal em cada
ponto de ∂W aponta para fora de W.
Definicao 1.3.12. Seja F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo veto-
rial de classe C1 definido num subconjunto do R3. O divergente de F,denotado por divF.
e definido por
divF (x, y, z) =∂F1
∂x(x, y, z) +
∂F2
∂y(x, y, z) +
∂F3
∂z(x, y, z).
Teorema 1.3.4. (Teorema de Gauss). Seja W uma regiao fechada e limitada de R3
cuja fronteira ∂W e uma superfıcie orientada positivamente. Se F e um campo vetorial
de classe C1 num subconjunto aberto de R3 que contem W, entao∫ ∫∂W
(F · n)ds =
∫ ∫ ∫W
divFdxdydz.
1.3 O Teorema de Stokes 29
Demonstracao. Suponhamos que W seja uma regiao simples.Se F = (F1, F2, F3), podemos
escrever∫ ∫ ∫W
divFdxdydz =
∫ ∫ ∫W
∂F1
∂xdxdydz+
∫ ∫ ∫W
∂F2
∂ydxdydz+
∫ ∫ ∫W
∂F3
∂zdxdydz.
E por outro lado,∫ ∫∂W
(F ·n)ds =
∫ ∫∂W
[(F1, 0, 0) · n] ds+
∫ ∫∂W
[(0, F2, 0) · n] ds+
∫ ∫∂W
[(0, 0, F3) · n] ds.
Portanto, para validar o teorema, basta provarmos as seguintes identidades∫ ∫ ∫W
∂F1
∂xdxdydz =
∫ ∫∂W
[(F1, 0, 0) · n] ds
∫ ∫ ∫W
∂F2
∂ydxdydz =
∫ ∫∂W
[(0, F2, 0) · n] ds∫ ∫ ∫W
∂F3
∂zdxdydz =
∫ ∫∂W
[(0, 0, F3) · n] ds.
contudo, provaremos somente a ultima, pois as demais sao analogas. Para tanto, descre-
vemos W como uma regiao do tipo I.
W ={
(x, y, z) ∈ R3|f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y) , (x, y ∈ D)}.
Essa regiao e limitada inferiormente por uma superfıcie S1 de equacao z = f1(x, y), com
(x, y) ∈ D e limitada superiormente por uma superfıcie S2 de equacao z = f2(x, y), com
(x, y) ∈ D. Possivelmente, essa regiao tambem e limitada por uma porcao de cilindro
gerada por uma reta paralela ao eixo z ao longo da fronteira de D, que denotaremos por
S3. Assim, ∫ ∫ ∫W
∂F3
∂zdxdydz =
∫ ∫D
[∫ f2(x,y)
f1(x,y)
∂F3
∂zdz
]dxdy =
=
∫ ∫D
[F3(x, y, f2(x, y))− F3(x, y, f1(x, y))]dxdy.
E ainda ∫ ∫∂W
[(0, 0, F3) · n]ds =3∑i=1
∫ ∫Si
[(0, 0, F3) · n]ds.
E como, em S3 o campo de vetores normais unitarios e paralelo ao plano xy,
entao (0, 0, F3) · n = 0, o que acarreta∫ ∫S3
[(0, 0, F3) · n]ds = 0.
1.3 O Teorema de Stokes 30
Observe agora que em S2 o campo de vetores normais que aponta para fora de
W e dado por N2 =(−∂f2
∂x,−∂f2
∂y, 1), ja em S1 o campo de vetores normais que aponta
para fora de W e dado por N1 =(∂f1∂x, ∂f1∂y,−1
). Portanto,∫ ∫
S2
[(0, 0, F3) · n]ds =
∫ ∫D
[(0, 0, F3(x, y, f2(x, y))) ·
(−∂f2
∂x,−∂f2
∂y, 1
)]dxdy =
=
∫ ∫D
F3(x, y, f2(x, y))dxdy
e ainda∫ ∫S1
[(0, 0, F3) · n]ds =
∫ ∫D
[(0, 0, F3(x, y, f1(x, y))) ·
(∂f1
∂x,∂f1
∂y,−1
)]dxdy =
=
∫ ∫D
−F3(x, y, f1(x, y))dxdy.
Assim,∫ ∫∂W
[(0, 0, F3) · n]ds =
∫ ∫D
[F3(x, y, f2(x, y))− F3(x, y, f1(x, y))]dxdy,
o que garante a validade da identidade.
Para completar a demonstracao, observe que se W nao for uma regiao simples,
entao podemos decompor W em uma uniao finita de regioes simples W =⋃ni=1 Wi, e
usando o teorema de Gauss em cada regiao simples, obtemos∫ ∫ ∫W
divFdxdydz =n∑i=1
∫ ∫∂Wi
(F · n)ds.
E como os vetores normais exteriores a fronteira comum de duas regioes simples
sao opostos, entao as integrais de superfıcie correspondentes sao simetricas, e portanto se
cancelam. Assim,n∑i=1
∫ ∫∂Wi
(F · n)ds =
∫∫∂W
(F · n)ds.
31
2 Formas
2.1 Formas Alternadas
Nesta sessao adaptamos o que e exposto por [11], fazendo uso de alguns resul-
tados obtidos em [5, 6].
Definicao 2.1.1. Seja V um R-espaco vetorial, e denote por V k o produto cartesiano
V × · · · × V. Uma funcao T : V k → R denomina-se multilinear se para cada i, com
1 ≤ i ≤ k, verificam-se
T (v1, · · · , vi + v′i, · · · , vk) = T (v1, · · · , vi, · · · , vk) + T (v1, · · · , v′i, · · · , vk);
T (v1, · · · , avi, · · · , vk) = aT (v1, · · · , vi, · · · , vk).
Uma funcao multilinear T : V k → R denomina-se um k-tensor ou tensor de
ordem k, e o conjunto de todos os tensores de ordem k, que denotaremos por Tk(V ), sera
um espaco vetorial definindo as seguintes operacoes naturais, para S, T ∈ Tk(V )
(S + T )(v1, · · · , vk) = S(v1, · · · , vk) + T (v1, · · · , vk);
(aS)(v1, · · · , vk) = a · S(v1, · · · , vk), para a ∈ R.
Definicao 2.1.2. Tomando S ∈ Tk(V ) e T ∈ Tl(V ), definimos o produto tensorial S⊗T ∈
Tk+l(V ) por
S ⊗ T (v1, · · · , vk, vk+1, · · · , vk+l) = S(v1, · · · , vk) · T (vk+1, · · · , vk+l).
O produto tensorial possui as seguintes propriedades1:
1. (S1 + S2)⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T
2. S ⊗ (T1 + T2) = S ⊗ T1 + S ⊗ T2
3. (aS)⊗ T = S ⊗ (aT ) = a(S ⊗ T )
1Sugerimos a leitura de [5] para as demonstracoes.
2.1 Formas Alternadas 32
4. (S ⊗ T )⊗ U = S ⊗ (T ⊗ U)
Teorema 2.1.1. Sejam β = {v1, · · · , vn} uma base de V , e β∗ = {ϕ1, · · · , ϕn} sua base
dual, onde ϕi(vj) = δij. Entao o conjunto de todos os produtos tensoriais de k fatores
ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik com 1 ≤ i1, · · · , ik ≤ n
e uma base para Tk(V ), e ainda dim(Tk(V )) = nk.
Demonstracao. Primeiramente, observe que
ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik(vj1 , · · · , vjk) = δi1j1 · · · δikjk .
Agora, se w1, · · · , wk ∈ V , com wi =∑n
j=1 aijvj, aij ∈ R e T ∈ Tk(V ), entao
T (w1, · · · , wk) =n∑
j1,··· ,jk=1
a1j1 · · · akjkT (vj1 , · · · , vjk) =n∑
i1,··· ,ik=1
T (vi1,··· ,vik )·ϕi1⊗· · ·⊗ϕik(w1, ..., wk).
Assim T =∑n
i1,··· ,ik=1 T (vi1 , · · · , vik) ·ϕi1⊗· · ·⊗ϕik . E portanto ϕi1 , · · ·ϕik geram Tk(V ).
Suponha agora que existam numeros ai1,··· ,ik tais que
n∑i1,··· ,ik=1
ai1,··· ,ik · ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik = 0.
Aplicando ambos os membros da equacao acima a (vj1 , · · · , vjk) obtemos que aj1,··· ,jk = 0.
Portanto ϕi1⊗· · ·⊗ϕik sao linearmente independentes. Segue tambem que dim(Tk(V )) =
nk.
Definicao 2.1.3. Uma permutacao de X e uma bijecao σ : X → X, ou seja, σ ∈ F(X),
onde F(X) denota o conjuto das aplicacoes de X em si mesmo, de forma que para cada
y ∈ X existe um unico x ∈ X com σ(x) = y. Por ser uma bijecao, cada permutacao σ
admite uma inversa σ−1, definida pela condicao
σ−1(y) = x⇔ σ(x) = y.
E naturalmente σ−1 ◦ σ = σ ◦ σ−1 = Id.
Observacao 2.1.1. O conjunto das permutacoes de X munido da operacao de composicao
de funcoes forma um grupo, chamado de grupo das permutacoes de X, denotado por
S(X), e como sabemos, se X e um conjunto finito com k elementos, entao o numero de
permutacoes de X e k!, isto e, o numero de elementos de S(X) e k!. Portanto, sendo o
conjunto Ik = {1, · · · , k} o conjunto dos inteiros de 1 a k, entao denotando2 S(Ik) por
Sk, teremos que |Sk| = k!.
2Este grupo e chamado de grupo simetrico de k elementos.
2.1 Formas Alternadas 33
Definicao 2.1.4. Uma permutacao τ ∈ Sn, n ≥ 2, chama-se uma transposicao quando
existem inteiros a 6= b em In tais que τ(a) = b, τ(b) = a e τ(i) = i para i 6∈ {a, b}. Quando
τ e uma trasposicao, tem-se τ 2 = Id, isto e, τ−1 = τ.
Teorema 2.1.2. Toda permutacao σ ∈ Sm pode ser escrita como um produto σ = τ1 · · · τkde transposicoes.
Demonstracao. Facamos por inducao sobre m.
Se m = 2 o resultado e obvio para qualquer permutacao σ ∈ S2. Supomos
entao que o resultado esteja demonstrado para m − 1, com m > 2, isto e, qualquer
permutacao σ ∈ Sm−1 e escrita como um produto de transposicoes. Temos assim que, se
por acaso, σ(m) = m, entao a restricao de σ a Im−1, σ′, e uma permutacao, e pela hipotese
de inducao temos que σ′ = σ|Im−1 e tal que existem transposicoes τ ′1, · · · , τ ′k ∈ Sm−1 tais
que σ′ = τ ′1 · · · τ ′k. E como cada transposicao τ ′i ∈ Sm−1 se estende a uma transposicao
τi ∈ Sm, com τi(m) = m, entao teremos que σ = τ1 · · · τk.
Se porem for σ(m) = n < m, basta considerar uma transposicao τ ∈ Sm, tal
que τ(n) = m, e assim teremos que τσ(m) = m, e portanto τσ = τ1 · · · τk, e pelo fato de
que τ = τ−1, segue que σ = ττ1 · · · τk
De fato, tal representacao de uma transposicao nao e unica, isto e, para uma
dada permutacao podem existir varias formas de representa-la como um produto de trans-
posicoes. Entretanto afirmamos que a paridade de k e unica3, ou seja, sendo σ = τ1 · · · τk,
onde k e par, entao qualquer outra representacao sera formada por um produto de n
fatores de transposicoes, com n tambem par. Isso nos permite a seguinte definicao.
Definicao 2.1.5. Diremos que uma permutacao σ ∈ Sk e par quando ela for o produto
de um numero par de transposicoes, e ımpar no caso contrario. Usaremos o sımbolo
sgn(σ) para representar o sinal, ou a paridade da permutacao: sgn(σ) = 1 se σ for uma
permutacao par e sgn(σ) = −1 se σ for ımpar.
De forma resumida temos
sgn(σ) =
1 se σ e par
−1 se σ e ımpar
3Apesar de nao demonstrarmos tal fato, sugerimos [6] como leitura complementar sobre permutacoes.
2.1 Formas Alternadas 34
Observacao 2.1.2. Notemos que, sendo σ e ρ duas permutacoes, entao sgn(σρ) = sgn(σ)sgn(ρ),
e em particular, sgn(σ−1) = sgn(σ). Alem disso, quando τ e uma transposicao, entao
sgn(τ) = −1.
Definicao 2.1.6. Seja ω ∈ Tk(V ) um tensor de ordem k. Chamamos ω de alternado se,
para todo v1, · · · , vk ∈ V, tem-se
ω(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) = −ω(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk).
Teorema 2.1.3. O conjunto de todos os tensores de ordem k alternados, denotado por
Λk(V ), e um espaco vetorial de Tk(V ).
Demonstracao. Sejam ω, η ∈ Λk(V ), v1, · · · , vk ∈ V e a ∈ R, entao
(a · ω + η)(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) =
= a · ω(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) + η(v1, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) =
= (−1) · a · ω(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk)− η(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk) =
(−1) · a[ω(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk) + η(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk)] =
= −a(ω + η)(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk).
Definicao 2.1.7. Seja T ∈ Tk(V ). Definimos Alt(T ) por
Alt(T )(v1, · · · , vk) =1
k!
∑σ∈Sk
sgn(σ) · T (vσ(1), · · · , vσ(k)).
Teorema 2.1.4. Se ω ∈ Tk(V ), entao Alt(ω) ∈ Λk(V ).
Demonstracao. Seja τ uma transposicao de i e j. Se σ ∈ Sk, seja σ′ = σ · τ, entao,
Alt(ω)(v1, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vn) =
=1
k!
∑σ∈Sk
sgn(σ) · ω(vσ(1), · · · , vσ(j), · · · , vσ(i),··· ,vσ(k)) =
=1
k!
∑σ∈Sk
sgn(σ) · ω(vσ′(1), · · · , vσ′(i), · · · , vσ′(j), · · · , vσ′(k)) =
=1
k!
∑σ′∈Sk
−sgn(σ′) · ω(vσ′(1), · · · , vσ′(k)) = −Alt(ω)(v1, · · · , vn).
2.1 Formas Alternadas 35
Teorema 2.1.5. Se ω ∈ Λk(V ), entao Alt(ω) = ω.
Demonstracao. Considere uma tranposicao τ de i e j, e ω ∈ Λk(V ). Observe que
ω(vτ(1), · · · , vτ(k)) = sgn(τ) · ω(v1, · · · , vk).
Pelo fato de que toda permutacao e um produto de transposicoes, segue que
Alt(ω)(v1, · · · , vk) =1
k!
∑σ∈Sk
sgn(σ) · ω(vσ(1), · · · , vσ(k)) =
=1
k!
∑σ∈Sk
sgn(σ) · sgn(σ) · ω(v1, · · · , vk) = ω(v1, · · · , vk).
Corolario 2.1.1. Se T ∈ Tk(V ), entao Alt(Alt(T )) = Alt(T ).
Definicao 2.1.8. Sejam ω ∈ Λk(V ) e η ∈ Λl(V ). Definimos a operacao ω ∧ η ∈ Λk+l(V ),
chamada de produto exterior, como sendo
ω ∧ η =(k + l)!
k!l!Alt(ω ⊗ η).
Teorema 2.1.6. Sejam S ∈ Tk(V ), T ∈ Tl(V ). Se Alt(S) = 0, entao Alt(S ⊗ T ) =
Alt(T ⊗ S) = 0.
Demonstracao.
Alt(S ⊗ T ) =1
(k + l)!
∑σ∈Sk+l
sgn(σ)S ⊗ T (vσ(1), · · · , vσ(k), vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)) =
=1
(k + l)!
∑σ∈Sk+l
sgn(σ)S(vσ(1), · · · , vσ(k)) · T (vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)).
Se σ ∈ G ⊂ Sk+l, onde G denota o conjunto das permutacoes de Sk+l que mantem todos
os k + 1, · · · , k + l fixos, entao
=1
(k + l)!
∑σ∈Sk+l
sgn(σ)S(vσ(1), · · · , vσ(k)) · T (vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)) =
[1
(k + l)!
∑σ∈G
sgn(σ)S(vσ(1), · · · , vσ(k))
]· T (vk+1, · · · , vk+l) =
Alt(S) · T (vk+1, · · · , vk+l) = 0.
Se porem σ0 6∈ G, defina G · σ0 = {σ · σ0 : σ ∈ G}, e seja
vσ0(1), · · · , vσ0(k+l) = w1, · · · , wk+l,
2.1 Formas Alternadas 36
entao1
(k + l)!
∑σ∈G·σ0
sgn(σ) · S(vσ(1), · · · , vσ(k)) · T (vσ(k+1), · · · , vσ(k+l)) =
=
[sgn(σ0) · 1
(k + l)!
∑σ′∈G
sgn(σ′) · S(wσ′(1), · · · , wσ′(k))
]· T (wk+1, · · · , wk+l) =
= Alt(S) · T (wk+1, · · · , wk+l) = 0.
A demontracao de que Alt(T ⊗ S) = 0 se faz de forma similar.
Teorema 2.1.7. Sejam ω ∈ Λk(V ), η ∈ Λl(V ) e θ ∈ Λm(V ), entao Alt(Alt(ω⊗η)⊗ θ) =
Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)).
Demonstracao. Observe que
Alt(Alt(η ⊗ θ)− η ⊗ θ) = Alt(η ⊗ θ)− Alt(η ⊗ θ) = 0,
logo, pelo teorema anterior,
0 = Alt(ω[Alt(η ⊗ θ)− η ⊗ θ]) =
= Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ))− Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
Entao
Alt(Alt(ω ⊗ η)⊗ θ) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
O caso Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) se prova de forma similar.
Teorema 2.1.8. Sejam ω ∈ Λk(V ), η ∈ Λl(V ) e θ ∈ Λm(V ), entao (ω ∧ η) ∧ θ =
ω ∧ (η ∧ θ) = (k+l+m)!k!l!m!
Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
Demonstracao.
(ω ∧ η) ∧ θ =(k + l +m)!
(k + l)!m!Alt((ω ∧ η)⊗ θ) =
=(k + l +m)!
(k + l)!m!· (k + l)!
k!l!Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) =
(k + l +m)!
k!l!m!Alt(ω ⊗ η ⊗ θ).
De fato, o que acabamos de mostrar e que vale a associatividade
ω ∧ (η ∧ θ) = (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ η ∧ θ. (2.1)
2.2 Formas Diferenciais 37
E de forma geral, temos o produto de ordem superior
ω1 ∧ · · · ∧ ωr =r∧i=1
ωi. (2.2)
Uma das principais razoes de estudar as formas alternadas trata-se de analisar
a estrutura da funcao determinante, o que nao faremos neste trabalho, pelo fato de o
mesmo ter outro objetivo. Os resultados apresentados ate aqui serao suficientes para o
desenvolvimento do que se segue. Entretanto sugerimos a leitura das referencias [5, 6, 9]
para estudos mais aprofundados sobre o tema.
2.2 Formas Diferenciais
Nesta sessao iremos definir as chamadas k−formas diferenciais em Rn, genera-
lizando a ideia que primeiramente apresentaremos para 1−formas em R3. Os resultados
sao adaptados principalmente pelo que e exposto pela referencia [3].
Convencionaremos que a partir desta sessao, quando dissermos que uma aplicacao
e diferenciavel, estaremos nos fererindo a uma aplicacao de classe C∞, e dessa forma nao
devemos confundir o termo com seu significado no calculo usual.
Definicao 2.2.1. Considere p um ponto de R3. O conjunto dos vetores q−p, para q ∈ R3,
sera chamado espaco tangente de R3 em p, e sera denotado por R3p.
Observacao 2.2.1. Lembrando que o conjunto dos vetores e1, e2, e3 formam a base canonica
de R3, e como podemos representar R3 por R30, segue que o conjunto {(e1)p, (e2)p, (e3)p}
forma uma base para o espaco tangente R3p, denotando um elemento v ∈ R3
p por vp. Este
resultado sera generalizado para um espaco tangente em Rn.
Definicao 2.2.2. Um campo de vetores em R3 e um aplicacao κ, que associa a cada ponto
p ∈ R3 um vetor κ(p) ∈ R3p. Podemos escrever κ como
κ(p) = a1(p)e1 + a2(p)e2 + a3(p)e3,
onde a1, a2 e a3 sao funcoes de R3 em R.
Diremos que um campo vetorial κ e diferenciavel se cada funcao ai : R3 → R,
i = 1, 2, 3, for diferenciavel.
2.2 Formas Diferenciais 38
Para cada espaco tangente R3p podemos associar o seu espaco dual, denotado
por (R3p)∗. Explicitamente,
(R3p)∗ = {ϕ : R3
p → R | ϕ e linear}.
Teorema 2.2.1. Considere a base canonica {(e1)p, (e2)p, (e3)p} de R3p. Defina a aplicacao
xi por
xi : R3 → R
x 7→ xi,
para i = 1, 2, 3, onde x = (x1, x2, x3).
Nestas condicoes, o conjunto {(dxi)p; i = 1, 2, 3} sera a base dual de {(ei)p; i =
1, 2, 3}.
Demonstracao. De fato, basta observar que
(dxi)p(ej) =∂xi∂xj
=
1 se i = j;
0 se i 6= j.
Definicao 2.2.3. Uma forma exterior de grau 1 em R3 e uma aplicacao ω, que associa a
cada ponto p ∈ R3 um elemento ω(p) ∈ (R3p)∗. Pelo teorema anterior, podemos representar
uma forma exterior de grau 1 como
ω(p) = a1(p)dx1 + a2(p)dx2 + a3(p)dx3 =3∑i=1
ai(p)dxi.
Omitindo (p) na expressao, obtemos simplesmente a forma ω =∑3
i=1 aidxi.
Definicao 2.2.4. Considere a forma exterior ω =∑3
i=1 aidxi. Se cada aplicacao ai : R3 →
R, i = 1, 2, 3, for diferenciavel, ω e dita uma forma diferencial de grau 1.
Definicao 2.2.5. Sejam ϕ1, ϕ2 ∈ (R3p)∗. Definimos a operacao ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ Λ2(R3
p)∗ por
(ϕ1 ∧ ϕ2)(v1, v2) = det (ϕi(vj)) .
O elemento (dxi)p ∧ (dxj)p ∈ Λ2(R3p)∗ sera denotado por (dxi ∧ dxj)p. Alem disso, temos
em particular que (dxi ∧ dxj)p = −(dxj ∧ dxi)p, e (dxi ∧ dxi)p = 0.
Teorema 2.2.2. O conjunto {(dxi ∧ dxj)p; i < j}, com i, j = 1, 2, 3, e uma base para
Λ2(R3p)∗.
2.2 Formas Diferenciais 39
Faremos a demonstracao do caso geral deste teorema (teorema 2.2.3).
Definicao 2.2.6. Um campo de formas bilineares ou forma exterior de grau 2 em R3, e
uma correspondencia ω que associa a cada p ∈ R3 um elemento ω(p) ∈ Λ2(R3p).
Pelo teorema (2.2.2) podemos escrever uma forma exterior ω como
ω(p) = a12(p)(dx1 ∧ dx2)p + a13(p)(dx1 ∧ dx3)p + a23(p)(dx2 ∧ dx3)p, (2.3)
ou simplesmente, por omissao de p, ω =∑
i<j aijdxi ∧ dxj, i, j = 1, 2, 3, onde aij sao
funcoes reais em R3.
Definicao 2.2.7. Quando temos a forma exterior ω =∑
i<j aijdxi ∧ dxj, i, j = 1, 2, 3, e
cada aij e diferenciavel, chamaremos ω de forma diferencial de grau 2 ou simplesmente
2−forma.
Ate agora definimos o conceito de 1−forma diferencial e 2−forma diferencial.
Tais definicoes tiveram o intuito de nos familiarizar com os resultados e notacoes, para a
posterior generalizacao.
Definicao 2.2.8. Considere p um ponto de Rn. O conjunto dos vetores q−p, para q ∈ Rn,
sera chamado espaco tangente de Rn em p, e sera denotado por Rnp .
Lembrando que Λk(Rnp )∗ denota o espaco das formas alternadas de (Rn
p )k em
R, isto e
Λk(Rnp )∗ = {ϕ : Rn
p × · · · × Rnp → R | ϕ e k−linear e alternada},
observamos que, tomando elementos ϕ1, · · · , ϕk ∈ (Rnp )∗, entao o elemento ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk
pertence a Λk(Rnp )∗, onde por definicao
(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk)(v1, · · · , vk) = det (ϕi(vj)) , i, j = 1, · · · , k. (2.4)
Observacao 2.2.2. Em particular, note que (dxi1)p ∧ · · · ∧ (dxik)p ∈ Λk(Rnp )∗, i1, · · · , ik =
1, · · · , n. Denotaremos este elemento por (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)p.
Teorema 2.2.3. O conjunto {(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)p; i1 < i2 < · · · < ik; ij ∈ {1, · · · , n}} e
uma base para o espaco Λk(Rnp )∗.
2.2 Formas Diferenciais 40
Demonstracao. Inicialmente, notemos que dxi1∧· · ·∧dxik sao linearmente independentes,
pois tomando ai1,··· ,ik , i1 < i2 < · · · < ik, ij ∈ {i, · · · , n} de forma que∑i1<···<ik
ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik = 0, (2.5)
e aplicando (2.5) aos vetores (ej1 , · · · , ejk), j1 < j2 < · · · < jk, com jl ∈ {1, · · · , n}, temos∑i1<···<ik
ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik(ej1 , · · · , ejk) = aj1,··· ,jk ,
e portanto ai1,··· ,ik = 0.
Devemos mostrar agora que para qualquer f ∈ Λk(Rnp )∗, f e uma combinacao
linear da forma
f =∑
i1<···<ik
ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
Para tanto, basta tomar g ∈ Λk(Rnp )∗, onde
g =∑
i1<···<ik
f(ei1 , · · · , eik)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
De fato, f(ei1 , · · · , eik) = g(ei1 , · · · , eik) para todos i1, · · · , ik.Assim, fazendo f(ei1 , · · · , eik) =
ai1,··· ,ik , obtemos a forma para f,
f =∑
i1<···<ik
ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
Definicao 2.2.9. Uma k−forma exterior em Rn e uma aplicacao ω que associa a cada
p ∈ Rn, um elemento ω(p) ∈ Λk(Rnp )∗.
Pelo teorema (2.2.3), podemos escrever uma forma exterior ω como
ω(p) =∑
i1<···<ik
ai1,··· ,ik(p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)p, (2.6)
onde ij ∈ {1, · · · , n} e todos os ai1,··· ,ik sao funcoes reais em Rn.
Definicao 2.2.10. Quando uma k−forma exterior ω =∑
i1<···<ik ai1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxike tal que, todas as funcoes aij : Rn → R sao diferenciaveis, ω sera dita uma k−forma
diferencial.
2.2 Formas Diferenciais 41
Denotando por I a k−upla (i1, · · · , ik), entao com o intuito de simplificar a
notacao, podemos denotar uma k−forma diferencial ω por
ω =∑I
aIdxI . (2.7)
Por convencao, definiremos que uma 0−forma diferencial em Rn sera uma
aplicacao diferenciavel f : Rn → R.
A partir de agora, por simplicidade, chamaremos uma k−forma diferencial
simplesmente por uma k−forma, e o nosso objetivo sera definir algumas operacoes envol-
vendo tais formas, e estudar suas propriedades.
Definicao 2.2.11. Sejam ω e η duas k−formas em Rn. Podemos definir a soma ω + η
como,
ω + η =∑I
aIdxI +∑I
bIdxI =∑I
(aI + bI)dxI
Definicao 2.2.12. Sejam ω uma k−forma e ϕ uma s−forma. Definimos o produto exte-
rior de formas diferenciais ω ∧ ϕ como
ω ∧ ϕ =∑IJ
aIbJdxI ∧ dxJ ,
onde ω =∑
I aIdxI , I = (i1, · · · , ik), com i1 < · · · < ik, e ϕ =∑
J bJdxJ , J = (ii, · · · , ij),
i1 < · · · < ij.
Observacao 2.2.3. De acordo com a definicao de produto exterior, podemos ter uma
k−forma ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk, onde cada ϕi e uma 1−forma, para i = 1, · · · , k, lembrando
que ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk(v1, · · · , vk) = det(ϕi(vj))
Teorema 2.2.4. Sejam ω uma k−forma, ϕ uma s−forma, e θ uma r−forma, entao,
(i) (ω ∧ ϕ) ∧ θ = ω ∧ (ϕ ∧ θ);
(ii) (ω ∧ ϕ) = (−1)ks(ϕ ∧ ω);
(iii) ω ∧ (ϕ+ θ) = ω ∧ ϕ+ ω ∧ θ, se r = s.
Demonstracao. Sejam ω =∑
I aIdxI , I = (i1, · · · , ik), i1 < · · · < ik, ϕ =∑
J bJdxJ ,
J = (j1, · · · , js), com j1 < · · · < js e θ =∑
L cLdxL, L = (i1, · · · , il), com i1 < · · · < il.
(i)
(ω ∧ ϕ) ∧ θ =
(∑IJ
aIbJdxI ∧ dxJ
)∧ θ =
∑IJL
aIbJcLdxI ∧ dxJ ∧ dxL =
2.2 Formas Diferenciais 42
= ω ∧
(∑JL
bJcLdxJ ∧ dxL
)= ω ∧ (ϕ ∧ θ).
(ii)
ω ∧ ϕ =∑IJ
aIbJdxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs =
=∑IJ
aIbJ(−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1∧ dxj1 ∧ dxik ∧ · · · ∧ dxjs =
=∑IJ
bJaI(−1)kdxj1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs .
Procedendo indutivamente obtemos, pelo fato de J possuir s elementos,
ω ∧ ϕ =∑JI
bJaI(−1)ksdxj1 ∧ · · · ∧ dxjs ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = (−1)ksϕ ∧ ω.
(iii) Se r = s, a operacao ϕ+ θ esta definida, e
ϕ+ θ =∑J
bJdxJ +∑J
cJdxJ =∑J
(bJ + cJ)dxJ .
Portanto,
ω ∧ (ϕ+ θ) =∑I
aIdxI ∧∑J
(bJ + cJ)dxJ =∑IJ
aI(bJ + CJ)dxI ∧ dxJ =
=∑IJ
aIbJdxI ∧ dxJ +∑IJ
aIcJdxI ∧ dxJ = (ω ∧ ϕ) + (ω ∧ θ).
Consideremos uma aplicacao diferenciavel f : Rn → Rm. Entao f induz uma
aplicacao f ∗ que associa uma k−forma em Rn a uma k−forma em Rm, pela seguinte
definicao.
Definicao 2.2.13. Sejam f : Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel e ω uma k−forma
em Rn. Definimos a aplicacao f ∗ω por
(f ∗ω)(p)(v1. · · · , vk) = ω(f(p))(dfp(v1), · · · , dfp(vk)),
onde p ∈ Rn, v1, · · · , vk ∈ Rnp e dfp : Rn
p → Rmf(p) e a diferencial da aplicacao f em p.
Observacao 2.2.4. Por convencao, quando g e uma 0−forma, definimos a aplicacao f ∗(g)
como a composta g ◦ f.
Sejam f : Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel, ω e ϕ k−formas em Rm e
g : Rm → R uma 0−forma. Assumiremos as seguintes propriedades, cuja demonstracao
pode ser encontrada em [3].
2.2 Formas Diferenciais 43
(i) f ∗(ω + ϕ) = f ∗ω + f ∗ϕ;
(ii) f ∗(gω) = f ∗(g)f ∗(ω);
(iii) se ϕ1, · · · , ϕk sao 1−formas em Rm, entao f ∗(ϕ1 ∧ · · · ∧ϕk) = f ∗(ϕ1)∧ · · · ∧ f ∗(ϕk).
Definicao 2.2.14. Seja g : Rn → R uma 0−forma, entao a diferencial
dg =n∑i=1
∂g
∂xidxi
e uma 1−forma.
Definicao 2.2.15. Seja ω =∑
I aIdxI uma k−forma em Rn. A diferencial exterior dω,
de ω, e definida por
dω =∑I
daI ∧ dxI .
Teorema 2.2.5. Sejam ω1, ω2 k−formas em Rm e ϕ uma s−forma em Rm. Entao,
(i) d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2;
(ii) d(ω ∧ ϕ) = dω ∧ ϕ+ (−1)kω ∧ dϕ;
(iii) d(dω) = d2ω = 0;
(iv) d(f ∗ω) = f ∗(dω), onde f : Rn → Rm e uma aplicacao diferenciavel.
Demonstracao. Provaremos somente as afirmacoes (ii) e (iii)
(ii)
d(ω ∧ ϕ) = d
(∑IJ
aIbJdxI ∧ dxJ
)=∑IJ
d(aIbJ) ∧ dxI ∧ dxJ =∑IJ
bJdaI ∧ dxI ∧ dxJ+
+∑IJ
aIdbJ ∧ dxI ∧ dxJ = dω ∧ ϕ+ (−1)k∑IJ
aIdxI ∧ dbJ ∧ dxJ = dω ∧ ϕ+ (−1)kω ∧ dϕ.
(iii) Assuma primeiramente que ω seja uma 0−forma, isto e, ω e uma funcao f : Rn → R
que associa cada ponto (x1, · · · , xn) ∈ Rn ao valor f(x1, · · · , xn) ∈ R. Entao,
d(df) = d
(n∑j=1
∂f
∂xjdxj
)=
n∑j=1
d
(∂f
∂xj
)∧ dxj =
n∑j=1
(n∑i=1
∂2f
∂xi∂xjdxi ∧ dxj
).
Pela hipotese de f ser uma 0−forma, segue que ∂2f∂xi∂xj
= ∂2f∂xj∂xi
(teorema 1.2.2). E como
dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi, quando x 6= j, temos
d(df) =∑i<j
(∂2f
∂xi∂xj− ∂2f
∂xj∂xi
)dxi ∧ dxj = 0.
2.2 Formas Diferenciais 44
Considere agora o caso em que ω =∑
I aIdxI . Pela afirmacao (i), podemos
restringir ao caso em que ω = aIdxI , com aI 6= 0. E por (ii), segue dω = daI ∧ dxI +
aId(dxI).
Mas observe que d(dxI) = d(1) ∧ dxI = 0. Portanto,
d(dω) = d(daI ∧ dxI) = d(daI) ∧ dxI + daI ∧ d(dxI) = 0,
lembrando que d(daI) = d(dxI) = 0.
45
3 Integracao em Variedades
Neste capıtulo iremos definir as variedades em Rn, e utilizar dos conceitos
estudados no capıtulo anterior para estabelecer a nocao de integral de uma k−forma em
Rn. Posteriormente, para a demonstracao do teorema de Stokes, iremos definir a integral
de uma k−forma definida em uma variedade diferenciavel.
3.1 Variedades Diferenciaveis
No capıtulo 1 vimos o teorema de Stokes para aplicacoes em R2 e R3, que nos
forneceu a seguinte identidade∫ ∫S
(rotF · n)ds =
∫∂S
F · dr, (3.1)
onde S e uma superfıcie em R3. Para a generalizacao deste teorema, precisaremos estender
o conceito de superfıcie para dimensoes maiores, que sao as chamadas variedades.
Intuitivamente, uma variedade e a generalizacao de curvas e superfıcies para
dimensoes arbitrariamente grandes, e como a maioria dos conceitos matematicos, sua
formalizacao nao foi fruto da pesquida de apenas um, mas de varios matematicos durante
muitos anos.
Alguns matematicos como Riemann e Gauss figuram entre os principais nomes
que contribuıram para a formalizacao do conceito de variedade. Em especial, o termo ma-
nifold1 e uma traducao direta (para o ingles) da palavra de origem alema Mannigfaltigkeit,
utilizada por Riemann em seu trabalho pioneiro intituado Uber die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre as Hipoteses Subjacentes aos Fundamentos da
Geometria).
Iremos agora definir o conceito de variedade diferenciavel, bem como mostrar
aluns teoremas envolvendo tal conceito. Os resultados apresentados nesta sessao foram
adaptados das referencias [3, 9, 11].
1Utilizamos como traducao nao literal a palavra variedade, para manifold, como e usualmente feito
na literatura nacional.
3.1 Variedades Diferenciaveis 46
Definicao 3.1.1. Seja I um conjunto, cujos elementos α chamaremos de ındices. Dado
um conjunto U, uma famılia de elementos de U com ındices em I e uma funcao u : I→ U.
O valor de u no ponto α ∈ I sera indicado com o sımbolo uα. A famılia u e representada
pela notacao (uα)α∈I, ou simplesmente uα, quando nao houver duvidas sobre o conjunto
I.
Definicao 3.1.2. Uma variedade diferenciavel n−dimensional, ou simplesmente uma
n−variedade, e um conjunto M munido com uma famılia de aplicacoes injetivas fα :
Uα ⊂ Rn →M, de abertos Uα em M , tais que
(m1)⋃α fα (Uα) = M ;
(m2) Para cada par α, β, com fα(Uα)∩ fβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos f−1α (W ) e f−1
β (W )
sao abertos em Rn, e as aplicacoes f−1β ◦ fα, f−1
α ◦ fβ sao diferenciaveis;
Definicao 3.1.3. O par (Uα, fα), com p ∈ fα(Uα), e chamado uma parametrizacao, ou
sistema de coordenadas de M em p. E fα(Uα) e chamada uma vizinhanca coordenada de
p.
Definicao 3.1.4. Uma famılia (fα, Uα) que goza das propriedades (m1) e (m2) e chamada
uma estrutura diferenciavel em M.
Segue imediatamente da definicao que o proprio conjunto Rn e uma variedade
diferenciavel de dimensao n, assim como todo subconjunto aberto A ⊂ Rn.
Observando a definicao (3.1.5) de superfıcie regular no R3 dada por [2], segue
que uma superfıcie regular no R3 e uma variedade diferenciavel de dimensao 2.
Definicao 3.1.5. Um subconjunto S ⊂ R3 e uma superfıcie regular se, para cada p ∈ S,
existe uma vizinhanca V de p em R3 e uma aplicacao x : U → V ∩ S de um aberto U de
R2 sobre V ∩ S ⊂ R3 tais que,
(i) x e diferenciavel;
(ii) x e um homeomorfismo2;
(iii) Para todo q ∈ U, a diferencial dxq : R2 → R3 e injetiva.
2Significa que a aplicacao e contınua e possui inversa tambem contınua.
3.1 Variedades Diferenciaveis 47
Observacao 3.1.1. Assumiremos a partir de agora que todas as variedades consideradas
serao de Hausdorff, e possuirao base enumeravel3. E com o intuito de simplificar a notacao,
iremos nos referir na maioria das vezes a uma variedade diferenciavel n−dimensional M
simplesmente por Mn, onde o expoente n indicara sua dimensao.
Definicao 3.1.6. Sejam Mn1 e Mm
2 variedades diferenciaveis. Uma aplicacao ϕ : Mn1 →
Mm2 e diferenciavel no ponto p ∈ Mn
1 se, dada uma parametrizacao g : V ⊂ Rm → Mm2
em uma vizinhanca de ϕ(p), existe uma parametrizacao f : U ⊂ Rn → Mn1 em uma
vizinhanca de p, tal que, ϕ(f(U)) ⊂ g(V ), e a aplicacao g−1 ◦ ϕ ◦ f :⊂ Rn → Rm e
diferenciavel em f−1(p).
Naturalmente, diremos que a aplicacao ϕ e diferenciavel em algum aberto de
Mn1 se e diferenciavel em todos os pontos deste conjunto.
Precisamos agora definir os conceitos de curva diferenciavel e vetor tangente
em uma variedade diferenciavel, para poder estender os conceitos usuais do calculo em
superfıcies no R3.
Lembremos da definicao de curva diferenciavel.
Definicao 3.1.7. Uma curva diferenciavel parametrizada e uma aplicacao diferenciavel
α : I → Rn de um intervalo aberto I = (−ε, ε) da reta real R em Rn.
Observacao 3.1.2. A palavra diferenciavel na definicao acima significa que α e uma cor-
respondencia que leva cada t ∈ I em um ponto (x1(t), · · · , xn(t)) ∈ Rn, de modo que as
funcoes reais x1, · · · , xn sao diferenciaveis. E importante notar ainda que nao excluımos
o caso em que o intervalo I = (−∞,∞).
Consideremos a aplicacao α : (−ε, ε) → Rn, que descreve uma curva dife-
renciavel em Rn, com α(0) = p ∈ Rn, e escrevemos
α(t) = (x1(t), · · · , xn(t)), t ∈ (−ε, ε), (x1, · · · , xn) ∈ Rn.
Entao α′(0) = (x′1(0), · · · , x′n(0)) = v ∈ Rn. Considere agora uma funcao
ϕ : Rn → R, diferenciavel em uma vizinhanca de p. Dessa forma a derivada de ϕ na
direcao de v, no ponto p e dada por
d
dt(ϕ ◦ α)
∣∣t=0
=n∑i=1
∂ϕ
∂xi
dxidt
∣∣t=0
=
(n∑i=1
x′i(0)∂
∂xi
)ϕ. (3.2)
3Tais definicoes encontram-se no apemdice B.
3.1 Variedades Diferenciaveis 48
Portanto, a derivada direcional na direcao do vetor v e um operador sobre
funcoes diferenciaveis que depende apenas de v. Por meio dessa propriedade podemos
definir o conceito de vetor tangente a uma variedade e, posteriormente definir um espaco
tangente a uma variedade diferenciavel.
Consideremos um variedade diferenciavel Mn e D o conjunto das funcoes em
Mn que sao diferenciaveis em p, e escolha uma parametrizacao f : U ⊂ Rn → Mn em
uma vizinhanca de p = f(0, · · · , 0). Entao a curva α : I → Mn, e uma funcao ϕ ∈ D
podem ser escritas respectivamente como
f−1 ◦ α(t) = (x1(t), · · · , xn(t));
ϕ ◦ f(q) = ϕ(x1, · · · , xn), q = (x1, · · · , xn).
Entao, por (3.2) podemos escrever
α′(0)ϕ =d
dt(ϕ ◦ α)
∣∣t=0
=d
dtϕ(x1(t), · · · , xn(t))
∣∣t=0
=
(n∑i=1
x′i(0)
(∂
∂xi 0
)0
)ϕ. (3.3)
Logo o vetor tangente α′(0) em p pode ser escrito como
α′(0) =n∑i=1
x′i(0)
(∂
∂xi
)0
. (3.4)
Estas consideracoes feitas anteriormente servem para podermos observar que,
chamando de TpM ao espaco tangente em p de uma variedade diferenciavel M, entao
a escolha de uma parametrizacao ao redor de p servira para determinar uma base para
TpM, que de fato sera um espaco vetorial. Detalhes a respeito desta construcao podem
ser encontrados na referencia [3].
De forma resumida, assumiremos a seguinte definicao.
Definicao 3.1.8. Seja Mn uma variedade diferenciavel e p ∈Mn. Chamaremos de espaco
tangente a Mn em p ao conjunto TpM. E a base{(
∂∂xi
)0
; i = 1, · · · , n}
para TpM sera
chamada base associada a parametrizacao f.
Agora que definimos o espaco tangente a uma variedade, podemos definir a
diferencial de uma aplicacao ϕ : Mn1 →Mm
2 , utilizando destes conceitos.
Definicao 3.1.9. Sejam Mn1 e Mm
2 variedades diferenciaveis, e ϕ : Mn1 → Mm
2 uma
aplicacao diferenciavel. Para cada p ∈Mn1 , a diferencial de ϕ em p e a aplicacao linear
dϕp : TpMn1 → Tϕ(p)M
m2 ,
3.1 Variedades Diferenciaveis 49
que associa cada vetor v ∈ TpMn1 ao vetor dϕp(0) ∈ Tϕ(p)M
m2 , que e definida escolhendo
uma curva diferenciavel α : (−ε, ε) → Mn1 , com α′(0) = v, o que nos permite a repre-
sentacao
dϕp(v) = (ϕ ◦ α)′(0).
Observe que para fazer sentido a definicao (3.1.9), ela tem que ser independente
da escolha de α. E este resultado e garantido pelo seguinte teorema.
Teorema 3.1.1. Na definicao (3.1.9), dado v ∈ TpMn1 , o vetor dϕp(v) = (ϕ ◦ α)′(0) nao
depende da escolha de α.
Demonstracao. Sejam f1(x1, · · · , xn) e f2(y1, · · · , yn) parametrizacoes em vizinhancas de
p e ϕ(p), respectivamente, e suponha que ϕ seja expressa nestas coordenadas por
ϕ(x1, · · · , xn) = (ϕ1(x), · · · , ϕn(x)), onde x = (x1, · · · , xn).
Considere α(t) = (x1(t), · · · , xn(t)), t ∈ (−ε, ε). Dessa forma obtemos,
(ϕ ◦ α)(t) = ϕ(x1(t), · · · , xn(t)) = (ϕ1(x1(t), · · · , xn(t)), · · · , ϕn(x1(t), · · · , xn(t))) .
E a expressao de (ϕ ◦ α)′(0) na base {∂f2∂xi} e
(ϕ ◦ α)′(0) =
(∂ϕ1
∂x1
x′1(0) + · · ·+ ∂ϕ1
∂xnx′n(0), · · · , ∂ϕn
∂x1
x′1(0) + · · ·+ ∂ϕn∂xn
x′n(0)
).
O que nos mostra que (ϕ ◦ α)′(0) depende apenas da aplicacao ϕ e das coordenadas de
(x′1(0), · · · , x′n(0)) na base {∂f1∂xi}.
Definicao 3.1.10. Uma aplicacao ϕ : Mn1 → Mm
2 entre variedades diferenciaveis e dita
um difeomorfismo se e bijetora, diferenciavel, e possui inversa tambem diferenciavel. Di-
remos ainda que uma aplicacao ϕ sera um difeomorfismo local em um ponto p, se satisfaz
a condicao de difeomorfismo em uma vizinhanca de p. Isto e, existem abertos U e V, com
p ∈ U tais que ϕ : U → V e um difeomorfismo.
Definiremos agora as formas diferenciais em variedades difereciaveis.
Definicao 3.1.11. Considere uma variedade diferenciavel Mn. Uma k−forma exterior ω
em Mn e a escolha, para cada p ∈Mn, de um elemento ω(p) ∈ Λk(TpM)∗.
3.1 Variedades Diferenciaveis 50
Definicao 3.1.12. Dada uma k−forma exterior ω em uma variedade diferenciavel Mn,
e uma parametrizacao fα : Uα → Mn em uma vizinhanca de p ∈ fα(Uα), definimos a
representacao de ω nesta parametrizacao como a k−forma exterior ωα em Uα ⊂ Rn, dada
por
ωα(v1, · · · , vk) = ω(dfα(v1), · · · , dfα(vk)), com v1, · · · , vk ∈ Rn.
Observe na definicao acima que, se mudarmos o sistema de coordenadas para
fβ : Uβ →Mn, p ∈ fβ(Uβ), obtemos
(f−1β ◦ fα)∗ωβ(v1, · · · , vk) = ωβ
(d(f−1β ◦ fα
)(v1), · · · , d
(f−1β ◦ fα
)(vk)
)(3.5)
= ωβ((dfβ ◦ d
(f−1β ◦ fα
))(v1), · · · ,
(dfβ ◦ d
(f−1β ◦ fα
))(vk)
)= ωα(v1, · · · , vk). (3.6)
E temos a relacao (f−1β ◦ fα)∗ωβ = ωα, motivando a seguinte definicao.
Definicao 3.1.13. Uma k−forma diferencial em uma variedade diferenciavel Mn e uma
forma exterior que possui representacao diferenciavel em algum sistema de coordenadas.
Observacao 3.1.3. Pelas equacoes (3.5) e (3.6), e pela definicao acima, podemos concluir
que se uma k−forma exterior possuir representacao diferenciavel em algum sistema de
coordenadas, entao possuira em todos.
De forma resumida observamos que, sendo ω uma k−forma diferencial em
Mn, entao para uma parametrizacao (Uα, fα) de Mn, ω e a escolha de uma k−forma
diferencial ωα em Uα, de forma que, para alguma outra parametrizacao (Uβ, fβ) de Mn,
com fα(Uα) ∩ fβ(Uβ) 6= ∅, tenha-se
ωα =(f−1β ◦ fα
)∗ωβ. (3.7)
Afirmamos ainda que todas as consideracoes feitas a respeito de formas diferen-
ciais em Rn podem ser estendidas para formas diferenciais em uma variedade diferenciavel
Mn, tomando uma representacao local.
De fato, a diferencial de uma k−forma em uma variedade diferenciavel Mn
esta bem definida, pois por (3.7) tem-se
dωα = d(f−1β ◦ fα
)∗ωβ =
(f−1β ◦ fα
)∗dωβ. (3.8)
Definicao 3.1.14. Uma variedade diferenciavel M e dita orientavel se possui uma es-
trutura diferenciavel {(Uα, fα)}, tal que para cada par α, β, com fα(Uα) ∩ fβ(Uβ) 6= ∅,
a diferencial da mudanca de coordenadas f−1β ◦ fα, possui determinante positivo. Caso
contrario, M e dita nao orientavel.
3.2 Teorema de Stokes 51
3.2 Teorema de Stokes
Nesta sessao, nossa meta sera a demonstracao do teorema de Stokes em vari-
edades compactas4 e orientaveis. E por este motivo todas as variedades consideradas a
partir de agora serao compactas e orientaveis, salvo apenas mencao contraria.
Para as primeiras consideracoes, limitaremos ao caso em que Mn = Rn, isto e,
consideraremos a variedade diferenciavel n−dimensional (nao compacta) Rn.
Definicao 3.2.1. Seja ω uma forma diferencial definida em um conjunto aberto U ⊂Mn,
definimos o suporte K de ω como o fecho5 do conjunto A = {p ∈Mn | ω(p) 6= 0}.
Considerando ω uma n−forma diferencial em Rn, entao podemos escrever ω
como
ω = a(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn. (3.9)
E supondo que o suporte K de ω seja compacto e esteja contido em U, entao
definimos a integral de ω sobre U por∫U
ω =
∫K
adx1 · · · dxn, (3.10)
onde no lado direito da igualdade temos uma integral multipla em Rn.
Observaremos agora as estreitas relacoes entre a integral de uma n−forma
definida em Rn e uma n−forma definida em uma variedade diferenciavel qualquer Mn.
Consideremos ω uma n−forma definida em uma variedade diferenciavel Mn,
e suponha que o suporte K de ω esteja contido em alguma vizinhanca coordenada Vα =
fα(Uα). entao, sendo a representacao local de ω, ωα em Uα dada por
ωα = aα(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn, (3.11)
e dessa forma podemos definir a integral∫M
ω =
∫Vα
ωα =
∫Uα
aαdx1 · · · dxn, (3.12)
onde o lado direito da igualdade expressa uma integral multipla usual em Rn.
4Aqui o termo compacto tera o mesmo significado que o empregado na topologia geral, uma vez que
uma variedade e um espaco topologico. Vide definicao (6.0.19) e o teorema (6.0.13) no apendice B.5Trata-se do conjunto dos pontos aderentes. Ver definicao (6.0.17) no apendide B.
3.2 Teorema de Stokes 52
Mas observe que para a validade de (3.12), precisamos mostrar que ela inde-
pende da escolha de uma vizinhanca coordenada em particular. Na verdade, para mostrar
este resultado, sera fundamental nossa hipotese inicial de que Mn e orientavel, isto e, a
diferencial da mudanca de coordenadas possui determinante positivo.Tal resultado sera
garantido pelo teorema a seguir.
Teorema 3.2.1. Seja ω uma n−forma em Mn, e fα, fβ dois sistemas de coordenadas em
Mn. Entao assumindo que Mn seja orientavel, e valida a igualdade∫Vα
ωα =
∫Vβ
ωβ.
Demonstracao. Tome ωα e ωβ formas diferenciais em Mn, com representacoes em Uα e
Uβ, respectivamente, e vizinhancas coordenadas {Vα} e {Vβ}.
Considere a mudanca de coordenadas f = f−1α ◦ fβ : Uα → Uβ. Fazendo
xi = fi(y1, · · · , yn), i = 1, · · · , n e (x1, · · · , xn) ∈ Uα, com (y1, · · · , yn) ∈ Uβ, e lembrando
que ωβ = f ∗(ωα), obtemos
ωβ = det(df)aβdy1 ∧ · · · ∧ dyn,
onde aβ = aα(f1(y1, · · · , yn), · · · , fn(y1, · · · , yn)).
Dessa forma, o resultado segue pela formula da mudanca de variaveis na inte-
gral multipla em Rn, isto e,∫Uα
aαdx1 · · · dxn =
∫Uβ
det(df)aβdy1 · · · dyn.
Pois pela hipotese de que Mn e orientavel, segue que det(df) > 0, e portanto∫Vα
ωα =
∫Vβ
ωβ.
Observe que as consideracoes feitas a respeito da integral de uma n−forma
em Mn foram todas feitas supondo que o suporte K de ω estivesse contido em alguma
vizinhanca coordenada. Iremos agora explorar o caso em que isso nao se verifica.
Para tanto, considere uma cobertura {Vα} para uma variedade diferenciavel
compacta Mn. Iremos construir uma famılia (finita) de funcoes ϕ1, · · · , ϕn, que satisfacam
as seguintes condicoes:
3.2 Teorema de Stokes 53
(p1)∑n
i=1 ϕi = 1;
(p2) 0 ≤ ϕi ≤ 1, e o suporte de ϕi estara contido em algum Vαi = Vi.
Definicao 3.2.2. A famılia {ϕi} que satisfaz as propriedades (p1) e (p2), listadas acima,
sera chamada uma particao diferenciavel da unidade, ou simplesmente particao da uni-
dade, subordinada a cobertura {Vα}.
Observacao 3.2.1. De fato, ainda nao apresentamos garantia da existencia de uma particao
diferenciavel da unidade, entretanto tal resultado e valido pelo teorema (3.2.2), que apenas
enunciaremos.
Assumindo a existencia de uma famılia {ϕi}, entao o suporte da forma ϕiω
em uma variedade Mn esta contido em Vi, para algum i, e pelas caracterısticas da famılia
{ϕi}, temos a identidade ∫M
ω =m∑i=1
∫M
ϕiω. (3.13)
Mas observe que para a validade de (3.13), precisamos garantir que ela inde-
pende das escolhas feitas.
Com efeito, considere uma outra cobertura {Wβ} de M , que induz a mesma
orientacao que a cobertura {Vα}, e seja {ψj} uma particao da unidade subordinada ao
recobrimento {Wβ}.
Entao {Vα ∩Wβ} ainda recobrira M, e a famılia {ϕiψj} sera uma particao da
unidade subordinada a esse recobrimento. Assim,
m∑i=1
∫M
ϕiω =m∑i=1
∫M
ϕi
(s∑j=1
ψj
)ω =
∑ij
∫M
ϕiψjω. (3.14)
E analogamente,
s∑j=1
∫M
ψjω =s∑j=1
∫M
(m∑i=1
ϕi
)ψjω =
∑ij
∫M
ϕiψjω. (3.15)
O que nos garante que a validade de (3.13) nao depende das escolhas feitas, tanto do
recobrimento quanto da particao da unidade subordinada a ele.
Teorema 3.2.2. (Existencia da particao diferenciavel da unidade). Sejam
Mn uma variedade diferenciavel compacta e orientavel, e {Vα} uma cobertura de Mn por
vizinhancas coordenadas. Entao existem funcoes diferenciaveis ϕ1, · · · , ϕm tais que,
3.2 Teorema de Stokes 54
(p1)∑m
i=1 ϕi = 1;
(p2) 0 ≤ ϕi ≤ 1, e o suporte de ϕi esta contido em algum Vαi de da cobertura {Vα}.
A demonstracao deste teorema pode ser encontrada nas referencias [3, 9, 11].
Para as consideracoes posteriores precisaremos definir um tipo especial de va-
riedade, chamada variedade diferenciavel com fronteira, e para isso necessitamos da de-
finicao de um semi-espaco em Rn.
Definicao 3.2.3. Chama-se semi-espaco em Rn ao conjunto
Hn = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn | x1 ≤ 0}.
Diremos que uma funcao f : V → R, definida em um aberto V ⊂ Hn e
diferenciavel, se existem um conjunto U ⊂ Rn que contem V, e uma funcao diferenciavel
f em U , tal que a restricao de f a V seja igual a f . E neste caso, a diferencial dfp, de f
em p ∈ V, e definida como
dfp = dfp. (3.16)
Definicao 3.2.4. Uma variedade diferenciavel n−dimensional com fronteira e um con-
junto M, munido com uma famılia de aplicacoes injetivas fα : Uα ⊂ Hn →M, de abertos
de Hn em M tais que,
(m′1) Uαfα(Uα) = M ;
(m′2) Para todo par α, β, com fα(Uα)∩ fβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos f−1α (W ) e f−1
β (W )
sao abertos em Hn, e as aplicacoes f−1β ◦ fα, f−1
α ◦ fβ sao diferenciaveis;
(m3) A famılia {(Uα, fα)} e maximal com relacao a (m′1) e (m′2).
Definicao 3.2.5. Um ponto p de uma variedade diferenciavel Mn e dito um ponto de
fronteira de M, se para alguma parametrizacao f : U ⊂ Hn →M em alguma vizinhanca
de p, tenha-se f(0, x2, · · · , xn) = p.
Para que a definicao anterior de ponto de fronteira de uma variedade faca sen-
tido, precisamos garantir que ela independe da parametrizacao utilizada. E tal resultado
e exibido pelo proximo teorema.
Teorema 3.2.3. A definicao de ponto de fronteira nao depende da parametrizacao.
3.2 Teorema de Stokes 55
Demonstracao. Seja f1 : U2 →M uma parametrizacao em uma vizinhanca de p, de forma
que f1(q) = p, com q = (0, x2, · · · , xn).
Suponha por absurdo que exista outra parametrizacao f2 : U2 → M, em uma
vizinhanca de p, tal que f−12 (p) = q2 = (x1, · · · , xn), com x1 6= 0.
Seja W = f1(U1) ∩ f2(U2). Temos entao a aplicacao f−11 ◦ f2 : f−1
2 (W ) →
f−11 (W ), que sera um difeomormismo, isto e, bijetora, diferenciavel e que possui inversa
tambem diferenciavel.
Como supomos x1 6= 0, existira uma vizinhanca U de q2, U ⊂ f−12 (W ), que
nao intersepta o eixo x1, e restringindo f−11 ◦ f2 a U, temos ainda um difeomorfismo, dado
por
f−11 ◦ f2 : U → Hn,
e alem disso, det(d(f−11 ◦ f2)) 6= 0.
Finalmente, pelo teorema da funcao inversa, podemos garantir que a aplicacao
f−11 ◦ f2 : V ⊂ U → U1 ⊂ Hn
sera um difeomorfismo, o que nos leva a uma contradicao, uma vez que se isso se verificasse
terıamos pontos da forma (x1, · · · , xn), com x1 > 0, sendo levados em Hn por f−11 ◦ f2.
Portanto garantimos que p sera um ponto de fronteira mesmo com outra pa-
rametrizacao.
Sem ambiguidades, podemos entao definir o conjunto dos pontos de fronteira
de uma variedade diferenciavel Mn.
Definicao 3.2.6. Sendo Mn uma variedade diferenciavel, denotamos por ∂M o conjunto
dos pontos de fronteira de Mn, chamado simplesmente de fronteira de M .
Observacao 3.2.2. Se ∂M = ∅, entao naturalmente a variedade nao possui fronteira, e
portanto e definida segundo a definicao (3.1.2).
Teorema 3.2.4. A fronteira ∂M de uma n−variedade diferenciavel M com fronteira, e
uma (n− 1)−variedade diferenciavel.
Demonstracao. Tome um ponto p ∈ ∂M, e considere a parametrizacao fα : Uα ⊂ Hn →
Mn, em alguma vizinhanca de p.
3.2 Teorema de Stokes 56
Dessa forma, f−1α (p) = (0, x2, · · · , xn) ∈ Uα. Chamando Uα = Uα∩{(x1, · · · , xn) ∈
Rn | x1 = 0}, podemos observar que Uα sera um aberto em Rn−1. Basta entao considerar
fα a restricao de fα a Uα e, pelo teorema (3.2.3), segue que fα(Uα) ⊂ ∂M. E ainda, a
famılia {(Uα, fα)} sera uma estrutura diferenciavel em ∂M.
Se Mn e uma variedade diferenciavel orientavel com fronteira, entao a ori-
entacao de Mn induz uma orientacao em ∂M, e dizemos que ∂M possui a orientacao
induzida por M. E a demonstracao deste resultado pode ser encontrada na referencia [3].
Finalmente, com as definicoes e resultados anteriores, podemos enunciar e
provar o teorema de Stokes em uma variedade.
Teorema 3.2.5. (Teorema deStokes). Sejam Mn uma variedade diferenciavel com
fronteira, compacta e orientavel, ω uma (n−1)−forma diferenciavel em M e i : ∂M →M
uma aplicacao inclusao6. Entao ∫∂M
i∗ω =
∫M
dω.
Demonstracao. Consideremos K o suporte de ω, e iremos dividir a demonstracao em dois
casos:
(Caso 1). Se K esta contido em alguma vizinhanca coordenada V = f(U) de uma
parametrizacao f : U ⊂ Hn →M, entao tomando a representacao local de ω em U, temos
ω =n∑j
ajdx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · dxn,
onde aj = aj(x1, · · · , xn) e uma funcao diferenciavel em U, e a notacao dxj significa que
o termo dxj esta sendo omitido. Assim, a diferencial dω obtem a forma
dω =n∑j=1
daj ∧ dxj =
(∑j
(−1)j−1 ∂aj∂xj
)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
Agora observe que podemos subdividir o caso 1 em dois subcasos, um para o caso em que
f(U) ∩ ∂M = ∅ e outro para quando f(U) ∩ ∂M 6= ∅.
(i).
Se considerarmos f(U)∩∂M = ∅, entao o valor de ω sera zero em ∂M, e consequentemente
6Trata-se simplesmente de uma aplicacao da forma i(x) = x, e o nome inclusao e motivado pelo fato
de que ∂M ⊂M .
3.2 Teorema de Stokes 57
i∗ω tambem ira se anular em ∂M. Portanto∫∂M
i∗ω = 0.
Por outro lado, estendendo a definicao de aj em Hn, por aj(x1, · · · , xn) = aj(x1, · · · , xn), se (x1, · · · , xn) ∈ U
aj(x1, · · · , xn) = 0, se (x1, · · · , xn) ∈ Hn \ U
temos f−1(K) ⊂ U, e aj e diferenciavel em Hn.
Considere entao Q ⊂ Hn um paralelepıpedo, definido por
x1j ≤ xj ≤ x0
j , j = 1, · · · , n
e que contenha f−1(K) em seu interior. Assim,∫U
dω =
∫U
(∑j
(−1)j−1 ∂aj∂xj
)dx1 · · · dxn =
=∑j
(−1)j−1
∫Q
[aj(x1, · · · , xj−1, x0j , xj+1, · · · , xn)−
−aj(x1, · · · , xj−1, x1j , xj+1, · · · , xn)]dx1 · · · dxj · · · dxn = 0,
pois aj(x1, · · · , x0j , · · · , xn) = aj(x1, · · · , x1
j , · · · , xn) = 0, para todo j = 1, , · · · , n. E
portanto, ∫∂M
i∗ω =
∫M
dω.
(ii).
Se porem, f(U) ∩ ∂M 6= ∅, entao a aplicacao i pode ser escrita como
i =
x1 = 0;
xj = xj, se j 6= 1
e usando a orientacao induzida em ∂M, temos
i∗ω = a1(0, x2, · · · , xn)dx2 ∧ · · · ∧ dxn.
Estendendo novamente aj a Hn, e considerando o paralelepıpedo Q′ dado por
x11 ≤ x1 ≤ 0 ; x1
j ≤ xj ≤ x0j , j = 1, · · · , n,
de forma que a uniao de Q′ com o hiperplano x1 = 0 contenha f−1(K). Entao,∫M
dω =n∑j=1
(−1)j−1
∫Q′
∂aj∂xj
dx1 · · · dxn =
3.2 Teorema de Stokes 58
=
∫Q′
[a1(0, x2, · · · , xn)− a1(x11, x2, · · · , xn)]dx2 · · · dxn+
+n∑j=2
∫Q′
[aj(x1, · · · , x0j , · · · , xn)− aj(a1, · · · , a1
j , · · · , xn)]dx1 · · · dxj · · · dxn.
E como aj(x1, · · · , x0j , · · · , xn) = aj(x1, · · · , x1
j , · · · , xn) = 0,
para j = 2, · · · , n, e a1(x11, x2, · · · , xn) = 0, temos∫
M
ω =
∫a1(0, x2, · · · , xn)dx2 · · · dxn =
∫∂M
i∗ω.
garantido a validade do teorema nestas condicoes.
(Caso 2). Suponha agora que K nao esteja contido em alguma vizinhanca coordenada.
Iremos utilizar da construcao de uma particao diferenciavel da unidade para a demons-
tracao.
Seja {Vα} uma cobertura de M por vizinhancas coordenadas, compativeis com
a orientacao em M. Tome ϕ1, · · · , ϕm uma particao diferenciavel da unidade subordinada
ao recobrimento {Vα}.
Observando que as formas ωj = ϕjω, j = 1, · · · ,m satisfazem as condicoes do
primeiro caso considerado (caso 1), e que∑
j dϕj = 0, seguem,∑j
ωj = ω e∑j
dωj = dω.
E portanto, ∫M
dω =m∑j=1
∫M
dωj =m∑j=1
∫∂M
i∗ωj =
∫∂M
i∗∑j
ωj =
∫∂M
i∗ω.
59
4 Conclusao e Estudos Posteriores
Neste trabalho vemos a generalizacao dos teoremas de Green e de Stokes para
variedades compactas orientaveis, o que nos forneceu uma visao mais ampla dos teoremas
fundamentais do calculo. Percebe-se que este teorema fornece uma generalizacao ate
mesmo para o teorema fundamental do calculo em sua forma classica, para funcoes de
uma variavel em R.
Um prosseguimento natural desta monografia poderia ser feito estudando o
teorema de Stokes para aplicacoes em variedades com singularidades, o que nao e feito
neste trabalho, pois observa-se grande aplicabilidade de tais resultados em muitas areas,
tanto da matematica pura quanto da aplicada.
Resultados especıficos de analise em variedades tambem podem ser uma boa
forma de continuacao do exposto. Conceitos como mergulho e imersao, que motivam
varios teoremas fundamentais para esse tipo de analise. Por exemplo, analisar sob quais
condicoes uma variedade diferenciavel pode ser imersa em uma espaco euclidiano.
Uma extensao deste tambem podera ser feita considerando aplicacoes dos te-
oremas apresentados, como por exemplo a interpretacao do fluxo eletrico, envolvendo
integrais de superfıcie, conhecida como Lei de Gauss, alem de muitas outras intepretacoes
fısicas possıveis.
Tambem seria possıvel uma revisao do capıtulo 1, incluindo a linguagem das
formas diferenciais, introduzidas somente no capıtulo 2. Com elas poderia-se perceber com
mais clareza a relacao intrınseca dos resultados do capıtulo 1 com os da sessao 3.3. Tratam-
se os resultados do capıtulo 1 de casos particulares da sessao 3.3, considerando superfıcies
regulares como variedades diferefenciaveis de dimensao 2, e as formas ω = Pdx + Qdy
como 1−formas no R3.
60
5 Apendice A - Diferenciabilidade
Definicao 5.0.7. Uma funcao f : Rn → Rm e diferenciavel em a ∈ Rn, se existe uma
transformacao linear λ : Rn → Rm tal que
limh→0
|f(a+ h)− f(a)− λ(h)||h|
= 0.
Teorema 5.0.6. Se f : Rn → Rm e diferenciavel em a ∈ Rn existe uma unica trans-
formacao linear λ : Rn → Rm tal que
limh→0
|f(a+ h)− f(a)− λ(h)||h|
= 0.
Demonstracao. Suponha que exista µ : Rn → Rm tal que
limh→0
|f(a+ h)− f(a)− µ(h)||h|
= 0
Chamando d(h) = f(a+ h)− f(a), entao
limh→0
|λ(h)− µ(h)||h|
= limh→0
|λ(h)− d(h) + d(h)− µ(h)||h|
≤ limh→0
|λ(h)− d(h)||h|
+ limh→0
|d(h)− µ(h)||h|
≤ limh→0
| − 1||f(a+ h)− f(a)− λ(h)||h|
+ limh→0
|f(a+ h)− f(a)− µ(h)||h|
= 0
Observe que, para x ∈ Rn, t 7→ 0, entao tx 7→ 0, logo, tomando x 6= 0 obtemos
0 = limt→0
|λ(tx)− µ(tx)||tx|
=|λ(x)− µ(x)|
|x|,
e entao λ(x) = µ(x).
Definicao 5.0.8. A transformacao linear λ e chamada de diferencial de f em a, e e
denotada por dfa.
Observacao 5.0.3. Assim como no caso das funcoes reais em R, diferenciabilidade implica
em continuidade para funcoes de varias variaveis. Entretanto a recıproca nao se verifica,
assim como para funcoes de uma variavel.
Pelas definicoes apresentadas, podemos observar os seguintes resultados.
5 Apendice A - Diferenciabilidade 61
Teorema 5.0.7. Se f : Rn → Rm e uma funcao constante, entao dfa = 0. E se f e uma
transformacao linear, entao df = f.
Demonstracao. Basta observar que
limh→0
|f(a+ h)− f(a)− 0||a|
= limh→0
|c− c||h|
= 0,
onde c ∈ Rm e uma constante tal que f(x) = c para todo x ∈ Rn.
E para o segundo caso,
limh→0
|f(a+ h)− f(a)− f(h)||h|
= limh→0
|f(a) + f(h)− f(a)− f(h)||h|
= 0
Definicao 5.0.9. Uma funcao f : Rn → Rm e dita diferenciavel se e diferenciavel em
todos os pontos do seu domınio.
Definicao 5.0.10. Considere um aplicacao f : Rn → Rm, a um ponto do Rn e v um
vetor em Rn. Definimos a derivada direcional de f na direcao de v em a, como o vetor
Dvf(a) = limh→0
f(a+ hv)− f(a)
h.
O interesse especial das derivadas direcionais sera quando v = ei, onde {ei; i =
1, · · · , n} e a base canonica do Rn. E estas serao chamadas derivadas parciais de f.
Usaremos as seguintes notacoes equivalentes para as derivadas direcionais:
Deif(a), Dif(a),∂f
∂xi(a),
∂f
∂xi
∣∣a.
Dessa forma, sendo a = (a1, · · · , an), temos
∂f
∂xi(a) = lim
h→0
f(a+ hei)− f(a)
h= lim
h→0
f(a1, · · · , ai + h, · · · , an)− f(a1, · · · , an)
h.
E percebe-se que ∂f∂xi
(a) e o resultado da derivada de f em relacao a variavel xi, mantendo
as outras constantes.
Naturalmente, temos as derivadas parciais de segunda ordem,
∂
∂xi
(∂f
∂xi
)=∂2f
∂x2i
, ou
∂
∂xi
(∂f
∂xj
)=
∂2f
∂xi∂xj.
5 Apendice A - Diferenciabilidade 62
E de forma geral tem-se,∂
∂xi· · · ∂f
∂xi=∂kf
∂xki, e
∂
∂x1
· · · ∂f∂xk
=∂kf
∂x1 · · · ∂xk.
Os proximos dois teoremas desempenham importante papel no estudo das
funcoes difereciaveis, sendo suas consequencias alem dos assuntos tratados neste trabalho.
Tratam-se da regra da cadeia e do teorema da funcao inversa, que apenas enunciaremos,
pois os utilizamos em algumas justificativas no decorrer do texto.
Teorema 5.0.8. (Regra da Cadeia). Se f : Rn → Rm e diferenciavel em a e g :
Rm → Rp e diferenciavel em f(a) entao a composta g ◦ f : Rn → Rp e diferenciavel em
a, e
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a).
Teorema 5.0.9. (Teorem da Funcao Inversa). Seja f : U ⊂ Rn → Rn uma
aplicacao diferenciavel, e suponha que em p ∈ U , a diferencial dfp : Rn → Rn e um
isomorfismo1. Entao existe uma vizinhanca V de p em U e uma vizinhanca W de f(p)
em Rn tal que f : V → W tem inversa diferenciavel f−1 : W → V.
Podemos interpretar a diferencial de uma aplicacao diferciavel da seguinte
forma.
Definicao 5.0.11. Seja f : U ⊂ Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel. Associamos a
cada a ∈ U uma aplicacao linear dfa : Rn → Rm (diferencial de f em a), e a definimos
como:
Sejam w ∈ Rn e α : (−ε, ε) → U uma curva diferenciavel2 tal que α(0) = a e
α′(0) = w. Pela regra da cadeia, a curva β = f ◦α : (−ε, ε)→ Rm e tambem diferenciavel.
Entao
dfa(w) = β′(0).
Observacao 5.0.4. De fato, a definicao dada para dfa nao depende da escolha da curva
que passa por a com vetor tangente w. E a demontracao pode ser vista em [2], p. 150.
Definicao 5.0.12. A matriz de dfa : Rn → Rm nas bases canonicas de Rn e Rm, isto
e, a matriz(∂fi∂xj
), i = 1, · · · ,m e j = 1, · · · , n, e chamada a matriz jacobiana de f em
1Trata-se de uma transformacao linear bijetora.2Ver definicao (3.2.7).
5 Apendice A - Diferenciabilidade 63
a. Quando m = n, a matriz e quadrada e o seu determinante e chamado o determinante
jacobiano, e e denotado por
det
(∂fi∂xj
)=∂(f1, · · · , fn)
∂(x1, · · · , xn).
64
6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn
Por ser um espaco vetorial, e possuir uma estrutura metrica induzida pelo
produto interno usual, o espaco Euclidiano Rn possui uma estrutura topologica que, dentre
outras coisas, nos permite definir certos tipos de conjuntos e estudar suas propriedades.
Definicao 6.0.13. Sejam a, b pontos do Rn. Denotamos por d(a, b) ∈ R a distancia
do ponto a ao ponto b. No nosso contexo usaremos a distancia euclidiana dada por:
|a− b| =√∑n
i=1(ai − bi)2, onde a = (a1, ..., an) e b = (b1, ..., bn).
Definicao 6.0.14. Chamamos de bola aberta, bola fechada e esfera, de centro a ∈ Rn e
raio r ∈ R, respectivamente aos conjuntos
B(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r};
B[a, r] = {x ∈ Rn : d(x, a) ≤ r};
S(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) = r}.
Observacao 6.0.5. Veja que a bola fechada e a uniao disjunta da bola aberta com a esfera,
isto e,
B[a, r] = B(a, r) ∪ S(a, r).
Definicao 6.0.15. Uma topologia num conjunto U e uma colecao τ de partes de U ,
chamados de abertos da topologia, com as seguintes propriedades:
1. ∅ e U pertencem a τ ;
2. Se A1, · · · , An ∈ τ entao A1 ∩ · · · ∩ An ∈ τ ;
3. Dada uma famılia arbitraria (Aλ)λ∈L comAλ ∈ τ para cada λ ∈ L, tem-se⋃λ∈LAλ ∈
τ.
Diremos entao que um espaco topologico e um par (U, τ), onde U e um conjunto
e τ e uma topologia em X. Entretanto, usaremos na maioria das vezes apenas o termo
espaco topologico, ficando subentendido a topologia τ. Ressaltamos ainda que apesar da
definicao pertencer a um contexto mais geral da topologia, nosso interesse neste trabalho
se restringe aos espacos topologicos euclidianos.
6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn 65
Definicao 6.0.16. Um subconjunto A ⊂ Rn e dito aberto se para todo ponto a ∈ A
existe um raio r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.
Definicao 6.0.17. Um ponto a ∈ A ⊂ Rn e um ponto de acumulacao de A se toda
visinhanca de a em Rn contem um ponto de A distinto de a, isto e,
A ∩B(x, r) \ {x} 6= ∅, ∀r > 0.
Observacao 6.0.6. Tambem chamamos um ponto de acumulacao de um conjunto de ponto
aderente. E sendo A ⊂ Rn, denotaremos por A o conjunto de todos os pontos x ∈ Rn,
tais que x e ponto aderente em A.
Definicao 6.0.18. Um conjunto A ⊂ Rn e fechado se todo ponto de acumulacao de A
pertence a A. Equivalentemente, podemos dizer que A ⊂ Rn e fechado se toda sequencia
convergente (an)n∈N de pontos distintos de A possui limite em A, ou seja, a sequencia
converge para um ponto pertencente ao conjunto A.
Teorema 6.0.10. A ⊂ Rn e fechado se, e somente se,seu complementar Rn \A e aberto.
Demonstracao. Suponha que A seja fechado, e seja p ∈ Rn \ A. Como p nao e ponto de
acumlacao de A, existe r > 0 tal que B(p, r) nao contem pontos de A, isto e B(p, r) ⊂
Rn \ A, logo Rn \ A e aberto.
Reciprocamente, suponha que Rn \ A seja aberto e que p seja um ponto de
acumulacao de A. Provaremos entao que p ∈ A.
Suponha que p 6∈ A, entao existe r > 0 tal que B(p, r) ⊂ Rn\A. Isto implica em
B(p, r) nao conter pontos de A, contrariando a hipotese de p ser um ponto de acumulacao.
Segue que p ∈ A.
Ate agora definimos e observamos algumas caracterısticas de conjuntos abertos
e fechados em Rn, como por exemplo um intervalo aberto, ou mais geral, uma bola aberta
em Rn sao exemplos de conjuntos abertos, e ainda um intervalo fechado ou, analogamente,
uma bola fechada sao alguns exemplos de conjuntos fechados em Rn.
Mas em um contexto mais amplo da topologia, a caracterizacao de conjuntos
nao se restringe simplesmente em abertos ou fechados como, pois podem existir conjuntos
que nao sejam abertos nem fechados, como por exemplo o conjunto Q do numeros racionais
como subconjunto de R, ou ainda conjuntos que sejam caracterizados abertos e fechados,
simultaneamente.
6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn 66
Observacao 6.0.7. Em Rn, os unicos conjuntos que sao abertos e fechados, sumultanea-
mente, e o conjunto vazio ∅ e o proprio Rn.
Teorema 6.0.11. A funcao f : Rn → Rm e contınua se, e somente se, para qualquer
conjunto aberto U ⊂ Rm, a imagem inversa f−1(U) e aberta em Rn.
Demonstracao. Observe que o conjunto f−1(U) e expresso por
f−1(U) = {x ∈ Rn : f(x) ∈ U}.
Suponha que f e contınua. Se U ⊂ Rn e eberto, e a ∈ f−1(U), entao existe ε > 0 tal que
B(f(a), ε) ⊂ U . Como f e contınua, existe δ > 0 tal que f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε) ⊂ U.
Como B(a, δ) ⊂ f−1(U), entao segue que f−1(U) e aberto.
Suponha agora que f−1(U) e aberto para todo connjunto aberto U ⊂ Rm. Seja
a ∈ U e ε > 0. Entao A = f−1(B(f(a), ε)) e aberto. Assim, esxiste um δ > 0 tal que
B(a, δ) ⊂ A. Portanto, f(B(p, δ)) ⊂ f(A) ⊂ B(f(a), ε), e f e contınua em a.
Corolario 6.0.1. A funcao f : Rn → Rm e contınua se, e somente se, para qualquer
subconjunto fechado U ⊂ Rm a imagem inversa f−1(U) ⊂ Rn e subconjunto fechado.
Definicao 6.0.19. Um conjunto A ⊂ Rn e dito compacto se, e somente se, todo subcon-
junto infinito B de A possui um ponto de acumulacao em B. Essa afirmacao e equivalente
a dizer que toda sequencia de pontos em A possui uma subsequencia que converge para
um ponto de A.
Como exemplo de subconjuntos que nao sao compactos em Rn, podemos citar
o subconjunto R, pois Z ⊂ R e infinito e nao possui subsequencia convergente.
Outro exemplo de conjunto nao compacto e o intervalo aberto (0, 1) ⊂ R,pois
a sequencia { 1n
: n ∈ N} e um subconjunto infinito de (0, 1) que nao possui subsequencia
convergente porque { 1n
: n ∈ N} possui apenas um ponto de acumulacao, a saber o zero,
que nao pertece ao conjunto.
De forma natural, podemos generalizar o exemplo acima e afirmar que bolas
abertas em Rn nao sao conjuntos compactos1.
Se um conjunto A contido em Rn e finito, entao automaticamente A e compacto
pois, pela nossa definicao, para mostarmos que A nao e compacto terıamos que exibir um
1Ver demonstracao em [7].
6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn 67
subconjunto infinito que nao possuısse sequencia convergente dentro do proprio conjunto,
mas isso e impossıvel uma vez que A e finito.
Definicao 6.0.20. Um subconjunto A ⊂ Rn e limitado se ele esta contido em bola do
Rn.
Definicao 6.0.21. Uma cobertura aberta de um conjunto A ⊂ Rn e uma famılia de
conjuntos abertos {Uα}, α ∈ I tal que⋃α Uα = A. Quando ha apenas um numero finito
na famılia, dizemos que a cobertura e finita. Se a subfamılia {Uβ}, β ∈ I ′ ⊂ I, ainda
cobre A, isto e,⋃β Uβ = A, dizemos que {Uβ} e uma subcobertura de {Uα}.
Teorema 6.0.12. Para um conjunto K ⊂ Rn as seguintes afirmacoes sao equivalentes:
1. K e compacto.
2. (Heine - Borel). Toda cobertura de K tem uma subcobertura finita.
3. (Bolzano - Weierstrass). Todo subconjunto infinito de K tem um ponto de
acumulacao em K.
Demonstracao. Mostraremos as implpicacoes (1)⇒ (2)⇒ (3)⇒ (1).
(1) ⇒ (2) : Seja {Uα}, α ∈ A, uma cobertura de aberta do compacto K, e suponha que
{Uα} nao tenha subcobertura finita.
Como K e compacto, ele esta contido em uma regiao retangular
B = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn | aj ≤ xj ≤ bj, j = 1, · · · , n}.
Entao dividimos B pelos hiperplanos2 xj =aj+bj
2. E obtemos assim 2n retangulos fechados
menores. Por hipotese, pelo menos uma das regioes retangulares menores, digamos B1,
e tal que B1 ∩ K nao e coberta por um numero finito de conjuntos abertos de {Uα}.
Dividimos agora B1 de forma analoga e, repetindo este processo, obtemos uma sequencia
de regioes retangulares fechadas
B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bi ⊃ · · ·
tal que nenhum Bi ∩K e coberto por um numero finito de conjuntos abertos de {Uα} e
o comprimento do maior lado de Bi converge para zero.
2Em suma estamos subdividindo B em retangulos menores, por exemplo, se K ⊂ R2, entao ultilizando
este metodo iremos dividir K em 22 retangulos.
6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn 68
Afirmamos que existe p ∈ ∩iBi. De fato, projetando cada Bi sobre o eixo j de
Rn, j = 1, · · · , n, obtemos uma sequencia de intervalos fechados
[aj1, bj1] ⊃ [aj2, bj2] ⊃ · · · ⊃ [aji, bji] ⊃ · · ·
Como (bji, aji) e arbitrariamnente pequeno, vemos que aj = sup{aji} = inf{bji} = bj,
donde aj ∈ ∩i[aji, bji]. Assim, p = (a1, · · · , an) ∈ ∩iBi, como afirmamos.
Observe que qualquer vizinhanca de p contem algum Bi, para i suficiente-
mente grande, logo, ela contem um infinidade de pontos de K. Assim, p e um ponto de
acumulacao de K, e como K e fechado, p ∈ K.
Seja U0 um elemento da famılia {Uα} que contem p, como U0 e aberto, existe
uma bola B(p, ε) ⊂ U0. Por outro lado, para i suficientemente grande, Bi ⊂ B(p, ε) ⊂ U0,
contrariando o fato de que nenhum Bi ∩ K pode ser coberto por um numero finito de
elementos de {Uα}, e portanto temos que K possui uma subcobertura finita.
(2)⇒ (3) : Suponha que A e um subconjunto infinito de K, e que nenhum ponto de K e
um ponto de acumulacao de A. Entao e possıvel, para cada p ∈ K, p 6∈ A, escolher uma
vizinhanca3 Vp de p tal que Vp∩A 6= ∅, e para cada q ∈ A escolher uma vizinhanca Wq de
q tal que Wq∩A = q. Assim, a famılia {Vp,Wq}, p ∈ K \A, q ∈ A, e uma cobertura aberta
de K. Como A e infinito e a omissao de qualquer Wq da famılia deixa o ponto q sescoberto,
a famılia {Vp,Wq} nao tem uma subcobertura finita, e isso contradiz a afirmacao (2).
(3) ⇒ (1) : De fato K e fechado, pois se p e um ponto de acumulacao de K, tomando
bolas concentricas B(p, 1i) = Bi, obtemos uma sequencia
p1 ∈ B1 −B2, p2 ∈ B2 −B3, · · · , pi ∈ Bi −Bi+1 · · ·
E essa sequencia p como ponto de acumulacao, e logo p ∈ K.
Corolario 6.0.2. Todo subconjunto A ⊂ Rn e compacto se, e somente se e fechado e
limitado.
Corolario 6.0.3. Todo subconjunto fechado de um conjunto compacto em Rn e compacto
Teorema 6.0.13. Se A e um subconjunto compacto de Rm e B e um subconjunto compacto
de Rn, entao A×B e um subconjunto compacto de Rm+n.
3Trata-se de uma bola aberta com centro em p.
6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn 69
Demonstracao. Tome uma sequencia (c1)i∈N = (ai, bi)i∈N de pontos de A × B. Como
A e compacto, a sequencia (ai)i∈N possui uma subsequencia (aij)j∈N que converge para
um ponto a ∈ A. Analogamente, como B e compacto, a sequencia (bi)i∈N possui uma
subsequencia (bij)j∈N que converge para um ponto b ∈ B. Basta entao pbservar que a
sequencia (aij , bij)j∈N e uma subsequencia da sequencia (ai, bi)i∈N que converge para o
ponto (a, b) ∈ A×B.
Lema 6.0.1. Seja f : Rn → Rm uma funcao contınua em a ∈ Rn. Se (ai)i∈N e uma
sequencia que converge para a, entao a sequencia (f(ai))i∈N converge para o ponto f(a).
Teorema 6.0.14. Se A e um subconjunto compacto de Rn, e f : Rn → Rm e contınua,
entao f(A) ⊂ Rm e compacto.
Demonstracao. Se f(A) e finito nao ha o que provar. Suponha entao que f(A) nao seja
finito e tome um subconjunto infinito T ⊂ f(A). Temos que provar que T contem uma
sequencia de pontos que converge para um pono em f(A). Para tanto, tome o conjunto
infinito S = f−1(A) de pontos de A, e como, por hipotese, A e compacto, S contem uma
sequencia (ai)i∈N que converge para um ponto a em A. Como f e contınua, pelo lema
anterior temos que (f(ai))i∈N −→ f(a) e o resultado esta provado.
Teorema 6.0.15. De D e um subconjunto compacto de Rn e f : D → R e uma funcao
contınua, entao f atinge valor maximo e mınimo em pontos de D, isto e, existe pontos a
e b em D tais que f(a) ≤ f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D.
Demonstracao. Faremos a demonstracao somente para o valor maximo, pois para o valor
mınimo o argumento e similar.
Pelo teorema anterior sabemos que f(D) e um subconjunto compacto de R, isto e, f(D)
e fechado e limitado, e assimm existe sup f(D) = b tal que t ≤ b ∀t ∈ f(D). Queremos
provar que b ∈ f(D). Para isso observe que, para todo n ∈ N, existe um ponto tn ∈ f(D)
com b − 1n< tn < b. Mas entao a sequencia (tn)n∈N −→ b e o ponto b e um ponto
de acumulacao de f(D) logo, pela compacidade de f(D), b ∈ f(D) e o teorema esta
provado.
Definicao 6.0.22. Um espaco topologico U e dito de Hausdorff se, para quaisquer dois
ponto distintos p, q ∈ U, existem abertos A1, A2, com p ∈ A1 e q ∈ A2 tais que A1∩A2 = ∅.
Definicao 6.0.23. Uma colecao B de abertos de um espaco topologico U chama-se uma
base quando todo aberto A ⊂ U se exprime como reuniao de conjuntos Bα ∈ B, isto e,
6 Apendice B - Topologia Elementar do Rn 70
A =⋃αBα. Equivalentemente, dados arbitrariamente A aberto, e p ∈ A, entao existe
B ∈ B tal que p ∈ B ⊂ A.
Definicao 6.0.24. Dizemos que um espaco topologico U possui base enumeravel, quando
existe uma colecao enumeravel B = {B1. · · · , Bn, · · · } de abertos em U tais que, todo
aberto em U e a reuniao de conjuntos Bα.
Referencias Bibliograficas
[1] APOSTOL, T., Calculus. vol. II. 2a ed. New York: Jhon Wiley, 1969.
[2] DO CARMO, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfıcies. 3a ed.
Rio de Janeiro: SBM, 2008.
[3] DO CARMO, M. P., Differential Forms and Applications. 1a ed. Germany:
Springer - Verlag, 1994.
[4] EDUARDS Jr., C. H. Advanced Calculus of Several Variables. 1a ed. New York:
Dover, 1994.
[5] KOSTRIKIN, A. I.; MANIN, Y. I. Linear Algebra and Geometry. New York:
Gordon and Breach, 1981.
[6] LIMA, E. L. Algebra Exterior. 1a ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009.
[7] LIMA, E. L., Elementos de Topologia Geral. Rio de Janeiro: Ao Livro Tecnico,
1970.
[8] LIMA, E. L. Espacos Metricos. 4a ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009.
[9] MARDSEN, J. E.; R, T.; ABRAHAM, R., Manifolds, Tensor Alalysis and Ap-
plications. 3a Ed. New York: Springer - Verlag, 2001.
[10] PINTO, D; MORGADO, M. C. F. Calculo Diferencial e Integral de Funcoes
de Varias Variaveis. 3a ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2008.
[11] SPIVAK, M. Calculus on Manifolds. Massachusetts: Addison - Wesley, 1965.
Indice Remissivo
aplicacao multilinear, 31
base, 69
enumeravel, 70
bola
aberta, 64
fechada, 64
campo vetorial, 10, 11, 37
conservativo, 14
diferenciavel, 37
divergente, 28
rotacional, 26
unitario, 22
cobertura aberta, 67
conjunto
aberto, 65
compacto, 66
domınio, 17
fechado, 65
limitado, 67
simplesmente conexo, 17
curva, 10
diferenciavel, 47, 62
fechada, 11
parametrizada, 10
derivada
direcional, 61
parcial, 61
determinante
jacobiano, 24
difeomorfismo, 49
local, 49
diferencial, 60
diferencial exterior, 43
distancia euclidiana, 64
esfera, 64
espaco
de Hausdorff, 69
tangente, 37, 39, 48
topologico, 64
estrutura diferenciavel, 46
formula, 11
comprimento de arco, 11, 12
mudanca de variaveis, 52
famılia, 46
fluxo, 23
forca, 9, 10
forma diferencial, 40
de grau 0, 41
em variedade, 50
de grau 2, 39
forma exterior, 40
de grau 1, 38
de grau 2, 39
em uma varirdade, 49
representacao local, 50
fronteira
regiao, 15
funcao
contınua, 66
72
INDICE REMISSIVO 73
diferenciavel, 60
escalar, 11
potencial, 14
homeomorfismo, 46
integral
de linha, 11
de superfıcie, 21
forma diferencial, 51
k-tensor, 31
alternado, 34
parametrizacao
equivalente, 12, 24
orientacao, 12
particao da unidade, 53
subordinada, 53
particao regular, 9
permutacao, 32
representacao, 33
sinal, 33
plano tangente, 20
ponto
aderente, 65
de acumulacao, 65
de fronteira, 54
produto exterior, 35, 41
produto tensorial, 31
de ordem superior, 37
regiao
de tipo I, 15
de tipo II, 15
simples, 15
regra da cadeia, 62
semi - espaco, 54
sistema de coordenadas, 46
superfıcie
area, 21
bordo, 26
elemento de area, 22
orientada, 22
orientada positivamente, 28
regular, 20, 46
representacao explıcita, 19
representacao implıcita, 19
representacao parametrica, 19
suporte, 51
teorema
Bolzano - Weierstrass, 67
da funcao inversa, 62
de Gauss, 28
de Green, 16
de Stokes, 26, 56
fundamental do calculo, 14
Heine - Borel, 67
topologia, 64
trabalho, 9, 10
transposicao, 33
variedade
com fronteira, 54
compacta, 47
diferenciavel, 46
fronteira, 55
orientavel, 50
vetor tangente, 20