calculo iii – poli´ teoremas de stokes e gauss (ou da

Calculo III – Poli

Teoremas de Stokes e Gauss (ou da Divergencia)

Edson de Faria

Departamento de Matematica

IME-USP

15/07/2020

Introducao

Nesta aula apresentaremos os seguintes topicos:

Operadores diferenciais: gradiente, laplaciano, divergente e

rotacional

Teorema de Stokes

Teorema de Gauss, tambem conhecido como Teorema da

Divergencia

Algumas aplicacoes

Edson de Faria (IME-USP) Calculo III – Poli Teoremas de Stokes e Gauss (ou da Divergencia) 15/07/2020 2 / 38

Operadores diferenciais

Existem quatro operadores diferenciais de grande importancia no

calculo a varias variaveis e aplicacoes. Dois deles atuam em funcoes

escalares, enquanto os outros dois atuam em funcoes vetoriais. Sao

eles:

Operador gradiente. Este e nosso velho conhecido: dada uma funcao

escalar diferenciavel φ(x1, x2, . . . , xn), seu gradiente e a funcao

vetorial denotada por grad(φ) ou ∇φ e definida assim:

grad(φ) = ∇φ =

(

∂φ

∂x1

,∂φ

∂x2

, . . . ,∂φ

∂xn

)

.

Operador laplaciano. Dada uma funcao escalar φ(x1, x2, . . . , xn) de

classe C2 (ou no mınimo duas vezes diferenciavel), seu laplaciano e

a funcao escalar denotada por ∆φ ou ∇2φ e definida assim:

∆φ = ∇2φ =

∂2φ

∂x21

+∂2φ

∂x22

+ · · ·+ ∂2φ

∂x2n

.


Operador divergente. Se F = (F1 , F2 , . . . , Fn) e um campo de

vetores, onde cada Fi e uma funcao diferenciavel em n variaveis, seu

divergente e a funcao escalar denotada por div(F) ou ∇ · F e

definida assim:

div(F) = ∇ · F =∂F1

∂x1

+∂F2

∂x2

+ · · ·+∂Fn

∂xn.

A notacao ∇ · F e mais sugestiva, pois indica que o divergente e o

produto escalar (simbolico) do operador ∇ = (∂x1, . . . , ∂xn

) pelo

campo F . (Aqui, usamos a abreviacao ∂xi= ∂/∂xi.)

Operador rotacional. Este ultimo so esta definido em dimensao tres

(n = 3). Se F = Pi + Qj + Rk e um campo de vetores, onde cada

componente P,Q,R e uma funcao diferenciavel a tres variaveis, seu

rotacional e a funcao vetorial denotada por rot(F) ou ∇ × F e

definida assim:

rot(F) = ∇ × F =(

Ry − Qz

)

i + (Pz − Rx) i +(

Qx − Py

)

i .

A notacao ∇ × F e mais sugestiva, pois indica que o rotacional e o

produto vetorial (simbolico) do operador ∇ = (∂x , ∂y , ∂z) pelo

campo F .Edson de Faria (IME-USP) Calculo III – Poli Teoremas de Stokes e Gauss (ou da Divergencia) 15/07/2020 4 / 38

De fato, e facil verificar que, simbolicamente,

∇ × F =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂x ∂y ∂z

P Q R

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Observacoes:

Os quatro operadores diferenciais introduzidos acima sao

extremamente uteis na formulacao sintetica de algumas das

equacoes fundamentais da Fısica.

Entre os exemplos, citamos as equacoes de Maxwell do

eletromagnetismo, a equacao do calor, a equacao da onda, as

equacoes basicas da mecanica dos fluıdos (entre as quais as

equacoes de Navier-Stokes).


Exemplo 1: Seja φ : R3 \ (0, 0, 0) → R a funcao escalar

φ(x , y , z) =1

√

x2 + y2 + z2.

Entao

∇φ(x , y , z) =

(

−x

(x2 + y2 + z2)3/2,

−y

(x2 + y2 + z2)3/2,

−z

(x2 + y2 + z2)3/2

)

.

Alem disso, temos

∂2φ

∂x2=

2x2 − y2 − z2

(x2 + y2 + z2)5/2,

∂2φ

∂y2=−x2 + 2y2 − z2

(x2 + y2 + z2)5/2,

∂2φ

∂z2=−x2 − y2 + 2z2

(x2 + y2 + z2)5/2,

e portanto ∇2φ = 0, ou seja, o laplaciano de φ e identicamente nulo. Uma

funcao com esta propriedade e chamada de funcao harmonica, e a

equacao ∇2φ = 0 e conhecida como equacao de Laplace.


Considere agora o campo vetorial F = ∇φ (um campo com esta

propriedade e chamado de campo gradiente). Um calculo direto mostra

que

∇ × F(x , y , z) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂x ∂y ∂z

−x(x2+y2+z2)3/2

−y

(x2+y2+z2)3/2−z

(x2+y2+z2)3/2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (0, 0, 0) ,

ou seja, o rotacional de F e identicamente nulo. Um campo com esta

propriedade e denominado um campo irrotacional.

Observacoes:

O que ocorre com o campo F no exemplo acima e geral: todo campo

gradiente de classe C1 e irrotacional (exercıcio!).

Outro fato geral que esta por tras desse exemplo e a identidade

∇2φ = ∇ · (∇φ), ou seja, o laplaciano de uma funcao (de classe C2)

e o divergente de seu gradiente. Para mais identidades deste tipo,

veja o livro de T.M.Apostol, Calculo, vol. II, §12.14.


Teorema de Stokes

O teorema de Stokes e uma generalizacao do teorema de Green:

relaciona a integral de superfıcie do rotacional de um campo de

vetores ao longo de uma superfıcie limitada por uma curva com a

integral de linha do campo ao longo desta curva.

Teorema

Sejam F : Ω→ R3 um campo de vetores de classe C1 e S ⊂ Ω uma

superfıcie parametrica orientada cujo bordo ∂S ⊂ Ω e uma curva suave.

Seja n : S → R3 a normal unitaria, e suponha que a curva ∂S esta

orientada com a orientacao induzida por n. Entao temos:

,

∂S

F · dr =

"S

(∇ × F) · n dA (1)

Observacao: O teorema ainda e valido se o bordo ∂S e uniao de duas ou

mais curvas fechadas; neste caso o lado esquerdo de (1) e a soma das

integrais de linha sobre cada curva, com a orientacao induzida.Edson de Faria (IME-USP) Calculo III – Poli Teoremas de Stokes e Gauss (ou da Divergencia) 15/07/2020 8 / 38

Demonstracao: Escrevamos F = P i + Q j + R k , como de praxe. Com

essa notacao, queremos mostrar que:,

∂S

P dx + Q dy + R dz

=

"S

(Ry − Qz) dy∧dz + (Pz − Rx) dz∧dx + (Qx − Py) dx∧dy .

E suficiente provarmos as seguintes tres igualdades:,

∂S

P dx =

"S

−Py dx ∧ dy + Pz dz ∧ dx ,

,

∂S

Q dy =

"S

−Qz dy ∧ dz + Qx dx ∧ dy , (2)

,

∂S

R dz =

"S

−Rx dz ∧ dx + Ry dy ∧ dz .

De fato, somando essas tres igualdades obtemos (1).


Basta demonstrar a primeira das igualdades em (2); as outras duas sao

totalmente analogas. Seja σ : W → R3 a parametrizacao da superfıcie S ,

onde W ⊂ R2 e uma regiao do plano, e escrevamos σ em termos de suas

componentes:

σ(u, v) = X(u, v) i + Y(u, v) j + Z(u, v) k .

Assumiremos que X ,Y ,Z sao funcoes de classe C2. Com essa notacao,

temos

"S

−Py dx ∧ dy + Pz dz ∧ dx =

"W

[

−Py

∂(X ,Y)

∂(u, v)+ Pz

∂(Z ,X)

∂(u, v)

]

dudv .

(3)

A ideia da prova e aplicar o teorema de Green a esta ultima integral dupla.

Mas para tanto, precisamos reescrever o integrando. Observe que as

derivadas parciais Py e Pz sao calculadas no ponto σ(u, v). Isto nos

motiva a considerar a funcao de duas variaveis

φ(u, v) = P(X(u, v) , Y(u, v) , Z(u, v)) .


Afirmamos que o integrando na integral dupla acima e igual a

∂

∂u(φXv) −

∂

∂v(φXu) .

Utilizando a regra da cadeia (e a regra de Leibniz), temos

∂

∂u(φXv) = φuXv + φXuv =

[

PxXu + PyYu + PzZu

]

Xv + φXuv . (4)

∂

∂v(φXu) = φvXu + φXvu =

[

PxXv + PyYv + PzZv

]

Xu + φXvu . (5)

Subtraindo (5) de (4) e tendo em conta que Xuv = Xvu (pois X e de classe

C2), concluımos que

∂

∂u(φXv) −

∂

∂v(φXu) = −Py [XuYv − XvYu] + Pz [ZuXv − ZvXu]

= −Py

∂(X ,Y)

∂(u, v)+ Pz

∂(Z ,X)

∂(u, v),

o que estabelece nossa afirmacao.


Portanto, podemos escrever

"W

[

−Py

∂(X ,Y)

∂(u, v)+ Pz

∂(Z ,X)

∂(u, v)

]

dudv =

"W

[

∂

∂u(φXv) −

∂

∂v(φXu)

]

dudv .

(6)

Aplicando o teorema de Green a esta ultima integral, obtemos

"W

[

∂

∂u(φXv) −

∂

∂v(φXu)

]

dudv =

,

∂W

(φXu) du + (φXv) dv . (7)

O que podemos dizer sobre esta ultima integral? Seja r(t) = (u(t), v(t)),a ≤ t ≤ b, uma parametrizacao da curva ∂W , e escreva

x(t) = X(u(t), v(t)), y(t) = Y(u(t), v(t)), z(t) = Z(u(t), v(t)) .

Observe que, novamente pela regra da cadeia,

dx

dt= Xu

du

dt+ Xv

dx

dt.


Alem disso, temos φ(u(t), v(t)) = P(x(t), y(t), z(t)). Juntando esses

fatos, podemos escrever,

∂W

(φXu) du + (φXv) dv

=

∫ b

a

φ(u(t), v(t))

[

Xu(u(t), v(t))du

dt+ Xv(u(t), v(t))

dx

dt

]

dt

=

∫ b

a

P(x(t), y(t), z(t))dx

dtdt =

,

∂S

P(x , y , z) dx . (8)

Substituindo (8) em (7) e a expressao resultante em (6), deduzimos que"W

[

−Py

∂(X ,Y)

∂(u, v)+ Pz

∂(Z ,X)

∂(u, v)

]

dudv =

,

∂S

P dx . (9)

E finalmente, substituindo (9) em (3), obtemos"S

−Py dx ∧ dy + Pz dz ∧ dx =

,

∂S

P dx .


Isto estabelece a primeira formula em (2). Como observamos antes, a

demonstracao das outras duas formulas e inteiramente analoga. E como

tambem observamos antes, somando as tres formulas em (2), obtemos a

formula (1) do enunciado. Isto conclui a demonstracao do teorema de

Stokes.

Observacoes:

A integral de linha no lado esquerdo de (1) e as vezes chamada de

circuitacao do campo F ; ja a integral de superfıcie no lado direito de

(1) e o fluxo do campo ∇ × F . Portanto, o teorema de Stokes diz que

a circuitacao de um campo ao longo de uma curva fechada que e

fronteira de uma superfıcie orientada S e igual ao fluxo do rotacional

do campo atraves de S . (Aqui, assume-se que a orientacao da curva

∂S e a induzida pela orientacao de S .)

Em particular, o teorema de Stokes possui como corolario imediato,

enunciado no slide a seguir, um criterio bastante util no calculo de

certas integrais de superfıcie.


Corolario

Sejam S1 e S2 duas superfıcies orientadas por normais ni : Si → R3,

i = 1, 2, tendo como fronteira comum uma curva C = ∂S1 = ∂S2. Seja F

um campo C1 definido numa regiao que contem as duas superfıcies e a

curva C. Se as orientacoes induzidas por n1 e n2 em C coincidem, entao

"S1

(∇ × F) · n1 dA1 =

"S2

(∇ × F) · n2 dA2 , (10)

onde dAi e o elemento de area da superfıcie Si (i = 1, 2).

A demonstracao do corolario acima e obvia: pelo teorema de Stokes,

ambos os lados da igualdade (10) sao iguais a integral de linha,

C

F · dr.

Apresentaremos agora um exemplo tıpico de aplicacao do corolario

acima.


Exemplo 2: Seja F : R3 → R3 o campo dado por

F(x , y , z) = (x2z , −xy2 , yz sin z) .

Seja S a parte do paraboloide z = x2 + y2 que fica abaixo do plano

z = y + 4 (veja a figure 1 no slide a seguir), orientada pela normal unitaria

n cuja componente z e positiva. Queremos calcular o fluxo de ∇ × F

atraves de S . O primeiro passo e, naturalmente, calcular o rotacional de

F . Temos:

∇ × F(x , y , z) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

x2z −xy2 yz sin z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (z sin z , x2 , −y2) .

No entanto, calcular diretamente a integral de superfıcie deste rotacional

sobre S e uma tarefa um tanto ingloria...


Figura 1: O paraboloide z = x2 + y2 e o plano z = y + 4.


Ao inves disto, observe que o bordo da superfıcie S e a curva γ = ∂S

obtida como a intersecao do paraboloide z = x2 + y2 com o plano

z = y + 4 (veja a figura (1)). A projecao ortogonal dessa curva sobre o

plano z = 0 e o cırculo

C : x2 +

(

y −1

2

)2

=17

4.

A curva γ tambem e o bordo de outra superfıcie S ′, a saber, a regiao do

plano z = y + 4 que e limitada por γ (cuja projecao ortogonal sobre o

plano z = 0 e o disco limitado pelo cırculo C). Seja n′ a normal unitaria ao

plano z = y + 4 cuja componente na direcao do eixo z e positiva. Pelo

corolario acima, temos

"S

(∇ × F) · n dA =

"S′(∇ × F) · n′ dA ′

Portanto basta calcularmos esta ultima integral. Para tanto, consideramos

a parametrizacao de S ′ dada por r(x , y) = (x , y , z + 4).


Temos:

n′ =

∂r

∂x× ∂r

∂y∥

∥

∥

∥

∥

∂r

∂x× ∂r

∂y

∥

∥

∥

∥

∥

=1√

2(0 , −1 , 1) ; dA ′ =

∥

∥

∥

∥

∥

∂r

∂x× ∂r

∂y

∥

∥

∥

∥

∥

dxdy =√

2 dxdy .

A primeira dessas igualdades nos diz em particular que

(∇ × F) · n′ = −1√

2(x2 + y2) .

Portanto, temos:

"S′(∇ × F) · n′ dA ′ = −

"D

(x2 + y2) dxdy ,

onde D e o disco x2 + (y − 12)2 ≤ 17

4.


Para calcular esta ultima integral dupla, usamos a mudanca de

coordenadas r = r cos θ , y = 12+ r sin θ, onde 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ r ≤ 1

2

√17.

Obtemos entao:

"D

(x2 + y2) dxdy =

∫

√172

0

∫ 2π

0

r2 cos2 θ +

(

1

2+ r sin θ

)2

dθ rdr

=

∫

√172

0

∫ 2π

0

[

r3 + r2 sin θ]

dθ dr

= 2π

∫

√172

0

r3 dr =289π

32.

Portanto, temos finalmente:

"S

(∇ × F) · n dA =

"S′(∇ × F) · n′ dA ′ = −

289π

32.

[Disto tambem segue que+C

x2z dx − xy2 dy + yz sin z dz = −289π/32,

cujo calculo direto seria bem mais trabalhoso.]


Teorema de Gauss (ou da Divergencia)

Suponhamos dados um solido W ⊂ R3 limitado por uma superfıcie

fechada suave S , e um campo de vetores F definido numa regiao do

R3 que contem W e S em seu interior.

O teorema de Gauss estabelece uma igualdade entre duas integrais,

a saber, a integral de superfıcie que fornece o fluxo de F atraves de

S e a integral de volume do divergente de F sobre o solido W . Mais

precisamente:

Teorema

Seja F : Ω→ R3 um campo de vetores C1 numa regiao Ω ⊂ R3 e seja

W ⊂ Ω um solido cuja fronteira ∂W e uma superfıcie suave (fechada)

inteiramente contida em Ω. Assuma que ∂W esta orientada pela normal

unitaria n exterior a W. Entao temos:"

∂W

F · n dA =

$W

∇ · F dV . (11)


Demonstracao: Faremos a demonstracao supondo que o solido W e

especial, no seguinte sentido. Dizemos que W e de tipo I se existem duas

funcoes suaves ϕ(x , y) e ψ(x , y), ambas definidas numa mesma regiao

Ωxy ⊂ R2 e satisfazendo ϕ ≤ ψ, tais que

W =

(x , y , z) : (x , y) ∈ Ωxy , ϕ(x , y) ≤ z ≤ ψ(x , y)

.

(Veja a figura 2 no slide a seguir). Em outras palavras, W e a regiao do

espaco limitada pelos graficos das duas funcoes ϕ, ψ. De maneira

inteiramente analoga definimos solidos de tipos II e III. (Estas definicoes

ja foram vistas em aula, quando discutimos integrais triplas.)

Vamos supor que W e simultaneamente um solido de tipos I, II e III. E

possıvel reduzir o caso geral a este, mas nao o faremos aqui.

O primeiro passo e reescrever ambos os lados da igualdade desejada

(11) de maneira mais explıcita.


0

x

y

z

n0

n−

n+

S0

S− : z = ϕ(x , y)

S+ : z = ψ(x , y)

Ωxy

W

Figura 2: Teorema de Gauss: W e um solido de tipo I.


Em termos das componentes do campo, o lado esquerdo da equacao (11)

pode ser escrito como segue:

"∂W

F · n dA =

"∂W

P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy

Ja o lado direito se escreve:$

W

∇ · F dV =

$W

[

∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

]

dxdydz .

Assim, para provarmos a igualdade (11), e suficiente mostrarmos as

seguintes tres igualdades:

"∂W

P dy ∧ dz =

$W

∂P

∂xdxdydz

"∂W

Q dz ∧ dx =

$W

∂Q

∂ydxdydz (12)

"∂W

R dx ∧ dy =

$W

∂R

∂zdxdydz .


Vamos demonstrar apenas uma das tres formulas em (12), a saber, a

terceira; as outras duas provam-se da mesma forma.

Como W e um solido de tipo I (figura 2), podemos escrever, utilizando

Fubini:

$W

∂R

∂zdxdydz =

"Ωxy

∫ ψ(x ,y)

ϕ(x ,y)

∂R

∂zdz

dxdy

=

"Ωxy

[R(x , y , ψ(x , y)) − R(x , y , ϕ(x , y))] dxdy .

(13)

Por outro lado, sabemos que

"∂W

R dx ∧ dy =

"∂W

R(k · n) dA

Alem disso, ∂W = S− ∪ S0 ∪ S+, onde S− e o grafico de z = ϕ(x , y), S+ e

o grafico de z = ψ(x , y), e S0 = ∂W \ (S− ∪ S+), a parte lateral de ∂W , e

a superfıcie regrada formada pela uniao de segmentos verticais (figura 2).


Assim, temos:

"∂W

R dx∧dy =

"S−

R (k ·n−) dA+

"S0

R (k ·n0) dA+

"S+

R(k ·n+) dA ,

(14)

onde n−,n0,n+ sao as restricoes de n as superfıcies S−,S0,S+,

respectivamente. Observe que k · n0 = 0, pois em S0 o vetor unitario

normal e paralelo ao plano xy. Logo a segunda integral do lado direito da

expressao acima se anula.

Como S− e o grafico de z = ϕ(x , y) e a normal unitaria n− deve apontar

para baixo do grafico (veja a figura 2), um calculo simples nos diz que

n− =(ϕx , ϕy ,−1)

√

1 + ϕ2x + ϕ2

y

,

de modo que

k · n− =−1

√

1 + ϕ2x + ϕ2

y

.


Alem disso, o elemento de area de S− e dA =√

1 + ϕ2x + ϕ2

y dxdy.

Juntando esses fatos, deduzimos que"S−

R (k · n−) dA = −"

Ωxy

R(x , y , ϕ(x , y)) dxdy . (15)

Analogamente, usando que S+ e o grafico de z = ψ(x , y) e que a normal

unitaria n+ deve apontar para cima (veja novamente a figura 2),

concluımos que

n+ =(−ψx ,−ψy , 1)√

1 + ψ2x + ψ2

y

,

de modo que

k · n+ =1

√

1 + ψ2x + ψ2

y

.

Como o elemento de area de S+ e dA =√

1 + ψ2x + ψ2

y dxdy, deduzimos

que "S+

R (k · n+) dA =

"Ωxy

R(x , y , ψ(x , y)) dxdy . (16)


Substituindo (15) e (16) em (14), obtemos:"∂W

R dx ∧ dy =

"Ωxy

[R(x , y , ψ(x , y)) − R(x , y , ϕ(x , y))] dxdy . (17)

Juntando (17) com (13), deduzimos finalmente a terceira das formulas em

(11). Como ja dissemos, as outras duas formulas demonstram-se da

mesma forma. Isto conclui a demonstracao do teorema de Gauss.

Observacao: O teorema de Gauss tambem e valido quando a fronteira

do solido W e a uniao de duas ou mais superfıcies duas a duas disjuntas.

Basta escrever a integral de superfıcie sobre ∂W como soma da integrais

sobre as componentes, levando em conta a orientacao. Por exemplo, seja

B0 ⊆ R3 uma bola contendo outras bolas B1,B2, . . . ,Bn, duas a duas

disjuntas, e seja W o solido B0 \ (B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn). Entao

∂W = ∂B0 ∪ ∂B1 ∪ · · · ∪ ∂Bn. Se n e a normal exterior a W e ni,

i = 0, 1, . . . , n, sao as normais exteriores as bolas Bi, entao temos n = n0

em B0, e n = −ni em Bi, i = 1, . . . , n, e portanto:"∂W

F · n dA =

"∂B0

F · n0 dA −n

∑

i=1

"∂Bi

F · ni dA


Exemplo 3: Seja F : R3 → R3 o campo de vetores dado por

F(x , y , z) = (x2 + e−yz2

) i + (y − sin xz) j + (2z(1 − x) +√

1 + y2) k .

Suponhamos que nossa tarefa seja calcular o fluxo deste campo atraves

da superfıcie S que e a esfera de centro na origem e raio 2, que

assumimos orientada pela normal unitaria exterior. Calcular a integral de

superfıcie diretamente seria extremamente penoso. Mas utilizando o

teorema da divergencia, nossa tarefa torna-se praticamente trivial. De

fato, o divergente de F e constante:

∇ ·F =∂

∂x

[

x2 + e−yz2]

+∂

∂y[y − sin xz]+

∂

∂z

[

2z(1 − x) +√

1 + y2

]

= 3 .

Logo, denotando por B a bola de centro na origem e raio 2 e aplicando o

teorema de Gauss:

"S

F · n dA =

"B

∇ · F dV =

"B

3 dV = 3vol(B) = 3 ·4π · 23

3= 32π .


Exemplo 4: A equacao do calor.

Uma aplicacao interessante do teorema da divergencia e a deducao da

chamada equacao do calor. Consideremos um solido W ⊂ R3 com

densidade ρ = ρ(x , y , z), feito de um certo material condutor termico.

Denotemos por u = u(t , x , y , z) a temperatura deste solido no ponto

(x , y , z) ∈ W no instante t . O problema fısico que se coloca e entender

como a temperatura em cada ponto do solido evolui com o tempo.

Para tanto, utilizaremos a lei do resfriamento de Fourier, que diz algo

intuitivamente bastante simples, a saber: o calor sempre flui “do mais

quente para o mais frio”, ou seja, o fluxo de calor num ponto e

diretamente proporcional ao gradiente de temperatura naquele ponto, mas

tem o sentido oposto ao mesmo.

Ao mesmo tempo, sabemos que a quantidade de calor presente num

pequeno elemento de volume ∆V do solido e diretamente proporcional a

temperatura ali, bem como diretamente proporcional a massa daquele

elemento. O fator de proporcionalidade, que denotamos por c, e chamado

de calor especıfico; para solidos homogeneos, c e constante, e e o que

assumiremos aqui.


Assim, denotando por Q(t) a quantidade de calor total presente numa

parte Ω ⊂ W do solido no instante t , temos

Q(t) =

$Ω

c ρ(x , y , z)u(t , x , y , z) dxdydz .

A derivada Q′(t) mede a taxa de variacao do calor no sub-solido Ω no

instante t . Tal taxa de variacao deve ser igual a quantidade de calor que

entra em Ω no instante t , ou seja, ao fluxo de calor atraves da fronteira

∂Ω. Pela lei do resfriamento de Fourier, tal fluxo e igual a

−"

∂Ω(−κ∇u) · n dA ,

onde, como de praxe, n e a normal unitaria exterior a Ω, e κ e o que

chamamos de condutibilidade termica do corpo, que pode ou nao ser

constante.

Importante: Aqui e na sequencia, os operadores aplicados a u, tais como

∇u, sao relativos apenas as variaveis espaciais x, y , z.


Assim sendo, podemos escrever:

∂

∂t

$Ω

c ρ(x , y , z)u(t , x , y , z) dxdydz =

"∂Ω(κ∇u) · n dA .

Passando a derivada em relacao a t para dentro da integral no primeiro

membro, e aplicando o teorema da divergencia a integral de superfıcie no

segundo membro, obtemos:

$Ω

c ρ(x , y , z)∂u

∂t(x , y , z) dxdydz =

$Ω∇ · (κ∇u) (t , x , y , z) dxdydz

Subtraindo o segundo membro do primeiro e omitindo as variaveis de

integracao, podemos reescrever esta igualdade sob a forma:

$Ω

[

c ρ∂u

∂t−∇ · (κ∇u)

]

dV = 0 . (18)


Mas como Ω ⊂ W e um pedaco arbitrario do solido, a unica forma de (18)

ser verdadeira e se o integrando for identicamente nulo, ou seja, devemos

ter:

c ρ∂u

∂t−∇ · (κ∇u) = 0 .

Normalmente, lidamos com situacoes em que a densidade e a

condutibilidade termica sao constantes. Neste caso, escrevendo

k = κ/(cρ) e tendo em conta que ∇ ·∇u = ∇2u, obtemos a equacao

∂u

∂t= k ∇

2u .

Esta e a forma classica da equacao do calor, descoberta por Fourier em

1822. A constante k e chamada de coeficiente de difusibilidade termica

do material, ou simplesmente coeficiente de difusao. Materiais isolantes

termicos, tais como amianto, borracha ou madeira, possuem um k baixo,

enquanto materiais condutores termicos, sobretudo metais como

alumınio, aco, cobre, ouro, etc, possuem um k alto.


Exemplo 5: Lei de Gauss

Seja E o campo eletrico gerado por uma distribuicao finita de cargas

q1, q2, . . . , qN localizadas em pontos do espaco cujos vetores-posicao sao

r1, r2, . . . , rN respectivamente, e seja S ⊆ R3 uma superfıcie fechada que

contem todas essas cargas em seu interior. A lei de Gauss do

eletromagnetismo afirma que o fluxo do campo eletrico E atraves de S e

igual a uma constante universal multiplicada pela carga total no interior de

S . Mais precisamente:

"S

E · n dA = 4π (q1 + q2 + · · ·+ qN) ,

onde, como de praxe, n e a normal unitaria exterior a S e dA e o elemento

de area. Vamos demonstrar essa lei (partindo da lei de Coulomb) com o

auxılio do teorema da divergencia e da observacao que fizemos logo apos

a prova daquele teorema. Para comecar, lembremos que E = −∇φ, onde

φ e o potencial eletrostatico.1

1Assumimos a ausencia de campo magnetico, o que inviabilizaria essa relacao.


O potencial eletrostatico, ou de Coulomb, e dado por

φ(r) =N

∑

i=1

qi

‖r − ri‖.

(Aqui, adotamos unidades em que a constante de Coulomb e igual a 1.)

Logo, podemos escrever E = −∇φ = E1 + E2 + · · ·+ EN, onde

Ei(r) = −qi∇

(

1

‖r − ri‖

)

, i = 1, 2, . . . ,N .

Escrevamos r = (x , y , z) e ri = (xi , yi , zi) (i = 1, 2, . . . ,N). Com esta

notacao, temos ‖r − ri‖ =√

(x − xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2. Assim, pelos

mesmos calculos que efetuamos no Exemplo 1, podemos ver facilmente

que

∇

(

1

‖r − ri‖

)

= −r − ri

‖r − ri‖3. i = 1, 2, . . . ,N .


Em particular, temos para todo i = 1, 2, . . . ,N:

∇ · Ei(r) = −qi ∇2

(

1

‖r − ri‖

)

= qi∇ ·(

r − ri

‖r − ri‖3

)

= 0 , ∀ r , ri ,

novamente pelos calculos do Exemplo 1.

Sejam agora B1,B2, . . . ,BN bolas centradas nos pontos onde se situam as

cargas q1, q2, . . . , qN respectivamente, suficientemente pequenas para

que estejam inteiramente situadas no interior da regiao limitada por S e

sejam duas a duas disjuntas. Para cada i, seja ni a normal unitaria

exterior a Bi. Seja W o solido limitado pelas superfıcies S e ∂Bi,

i = 1, 2, . . . ,N. Pelo teorema da divergencia (e mais a observacao que

fizemos logo apos sua demonstracao), temos

"S

E · n dA =N

∑

i

"∂Bi

E · ni dA +

$W

∇ · E dV . (19)

Mas em W , temos ∇ · Ei = 0 para todo i, e portanto ∇ · E = 0. Logo a

integral tripla no segundo membro de (19) se anula.


Por outro lado, para cada i fixado temos

"∂Bi

E · ni dA =

"∂Bi

N∑

j=1

Ej

· ni dA =N

∑

j=1

"∂Bi

Ej · ni dA . (20)

Para cada j , i, sabemos que a carga qj esta fora da bola Bi, e portanto

∇ · Ej = 0 no interior desta bola. Logo, novamente pelo teorema da

divergencia, podemos escrever

"∂Bi

Ej · ni dA =

$Bi

∇ · Ej dV = 0 , ∀ j , i .

Para j = i, como a carga qi esta localizada no centro de Bi, o campo Ei e

singular ali. Portanto nao podemos aplicar diretamente o teorema da

divergencia neste caso. Ao inves disso, calculamos a integral de

superfıcie explicitamente.


Lembrando que em Bi temos ‖r − ri‖ = Ri, onde Ri e o raio de Bi, e que a

normal unitaria e ni = (r − ri)/‖r − ri‖, concluımos que

"∂Bi

Ei · ni dA = qi

"∂Bi

(

r − ri)

‖r − ri‖3

)

· ni dA

= qi

"∂Bi

1

R2i

dA =qi

R2i

Area(∂Bi) = 4πqi . (21)

Levando esses fatos para (20), deduzimos que

"∂Bi

E · ni dA = 4πqi , ∀ i = 1, 2, . . . ,N . (22)

Finalmente, substituindo (22) em (19), obtemos

"S

E · n dA = 4π

N∑

i=1

qi .

Isto conclui a prova da lei de Gauss.


calculo iii – poli´ teoremas de stokes e gauss (ou da

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