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Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão

Disciplina de Matemática

Trabalho sobre o Número de Ouro na Natureza

Juliana Vidas nº 12 e Radassa Vedoveli nº 14

30 de Maio de 2005

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Índice Pág. Introdução...................................................................................... 4 Desenvolvimento........................................................................... 5

- O número de ouro (razão de Fibonacci) - O número de ouro na natureza(curiosidades) - A sucessão de Fibonacci na Natureza - A espiral de Fibonacci - Geometria na Natureza

Conclusão....................................................................................... 12 Construção elaborada no Sketchpad............................................... 12 Bibliografia..................................................................................... 13

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Introdução Este trabalho tem como objectivo saber o que representa o número de ouro na Natureza. O número de ouro é um número irracional que nos surge numa grande quantidade de elementos da Natureza, na forma de uma razão. A designação adoptada para este número é a letra Φ (phi maiúsculo), é a inicial do nome Fídias, escultor e arquitecto em Atenas e encarregado da construção do Parthénon. Desde a antiguidade que este número é conhecido. Por exemplo no Egipto as Pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind refere-se a uma razão sagrada que se julga ser o Φ . Hoje sabemos que esta razão ou secção áurea pode ser obtida por construção de figuras geométricas conhecidas por figuras de ouro.

ladodiagonalC

GF

D

E

H

I

Dois pentágonos inscritos numacircunferência.

Primeira estrelação dodecágono inscritonuma circunferência.

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Desenvolvimento O número de ouro (razão de Fibonacci) Um dos grandes nomes da matemática que surge inevitavelmente quando se fala da ligação da Matemática com a Natureza é o de Fibonacci. Há relativamente pouco tempo começou-se a dar importância aos números de Fibonacci e descobriu-se que são muito frequentes e podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na Natureza, sendo o seu aparecimento não um acaso, mas o resultado de um processo físico de crescimento das plantas e dos frutos. Há números que nos surpreendem, um desses números é o chamado número de ouro, também conhecido como rácio dourado ou proporção divina. È um número irracional, dado pela dízima infinita não periódica 1,61803398... e também pode ser representado pela metade da soma de 5 com a unidade. Uma das ocorrências mais espantosas do número de ouro encontra-se na disposição das pétalas das rosas. Elas separam-se por ângulos que são partes fraccionárias de Φ e essa disposição permite "arranjar" as pétalas de forma compacta e maximizar a sua exposição à luz. O número de Ouro na Natureza (curiosidades) O mistério e o encanto que está associado a este número ultrapassa todo o horizonte do que é humano!

- No corpo humano Uma das áreas que Leonardo da Vinci estudou foi as proporções do corpo humano e aqui uma vez mais temos a razão de ouro:

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As proporções do corpo humano contêm a relação de ouro. Neste caso pode-se ver a simetria na face de um homem. Baseado na razão de ouro, nos números de Fibonacci e nas dimensões médias humanas, o arquitecto Le Corbusier construiu, em 1946, um esquema de proporções relativas ao corpo humano chamado “Modulor”. Trata-se duma sequência de medidas que Le Corbusier usou para encontrar harmonia nas suas composições.

Já Leonardo Da Vinci estudou exaustivamente as proporções da forma humana de onde resultou o famoso desenho onde o corpo humano se encontra inserido na forma ideal do circulo e nas perfeitas proporções do quadrado.

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Este esquema foi construído com base no número de ouro.

- Nas plantas A presença da razão áurea pode ser directa ou encontrar-se camuflada ou ainda associada à sucessão de Fibonacci.

Nos girassóis da família Compositae as sementes formam dois conjuntos de espirais logarítmicas com sentidos diferentes. Cada conjunto tem um número de sementes e os dois conjuntos tem dois números de sementes que são consecutivos de Fibonacci.

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O mesmo acontece com as pinhas

Podemos afirmar que o modelo de desenvolvimento das plantas pode ser relacionada com os números de Fibonacci. Existe, por exemplo, uma planta de nome Euforbia, que tem duas sépalas grandes, três pequenas, cinco pétalas e oito estames.

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A sucessão de Fibonacci na Natureza

Já reparou que muitas flores têm 5 pétalas, que nós temos 2 mãos, cada uma com 5 dedos e cada dedo se divide em 3 partes?

...e que o ananás tem 8 diagonais num sentido e 13 noutro?

Porque será que as margaridas têm geralmente 34, 55 ou 89 pétalas?

Coincidência ou não todos estes números fazem parte da sucessão de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,34,55,89), sequência onde cada termo (a partir do segundo) é a soma dos dois precedentes.

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Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na Natureza. O modo como as sementes estão dispostas no centro de diversas flores é um desses exemplos.

A natureza "arrumou" as sementes do girassol sem intervalos, na forma mais eficiente possível formando espirais que tanto curvam para a esquerda como para a direita. O curioso é que os números de espirais em cada direcção são quase sempre números de Fibonacci . Se desenharmos um rectângulo cujos lados tenham uma razão entre si igual ao número de ouro (rectângulo de ouro), este pode ser dividido num quadrado e noutro rectângulo de ouro.

Se unirmos os quartos de circunferência de todos os quadrados vamos obter uma espiral, chamada espiral dourada. Na natureza há á espirais como esta, relacionadas com o número de ouro, como, por exemplo, nos moluscos náuticos ou numa simples couve –flor.

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Geometria na Natureza Há muito tempo que as manifestações da geometria têm intrigado muitas pessoas. Na regularidade do crescimento das árvores, nas proporções do corpo humano e dos animais, na frequência do nas cimento de coelhos, na forma da concha da Nautilus, na regularidade do girassol aparece a razão áurea.

Crescimento em espiral da concha está relacionado com o número de ouro.

A regularidade na espiral da pinha está relacionada com o número de ouro.

A razão entre o comprimento da falange mais falanginha e da falanginha mais falangeta é o número de ouro.

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Conclusão Após a realização deste trabalho, constatou-se que a existência do número de ouro é constatada em muitos exemplos da Natureza. . O corpo humano é de facto uma ilustração notável e obvia da presença da regra de ouro. E como vimos , quer no reino animal quer animal a sua presença é constante. Muito ficou por dizer , pois decerto que novas descobertas se farão futuramente. Construção elaborada no Sketchpad

Construimos um triângulo isósceles [ABC] . Os ângulos internos de vértices A e B têm cada um 72º de amplitude . Depois construimos novos triângulos no interior da figura, todos eles com dois ãngulos internos com 72º de amplitude. Por fim desenhamos a espiral equiangular

BA

C

E

m AB = 6,22 cm

m ABC = 72°

m CA = 10,06 cm

m CA)(m AB)( = 1,618

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Eis a espiral dourada que obtemos após esconder os triângulos: Bibliografia www. Educ.fc.pt/icm/icm99/icm17/curiosidouro.htm www.educ.fac.ul,pt./icm/icm2002/icm203/números.htm