Slide 1

Prof. Ilydio Pereira de S UERJ - USS RAZO DE OURO OU NMERO DE OURO

Slide 2

INTRODUO Durante muito tempo os artistas devem se ter perguntado qual era a mais perfeita e harmoniosa maneira de se dividir um objeto em duas partes iguais. Durante muito tempo os artistas devem se ter perguntado qual era a mais perfeita e harmoniosa maneira de se dividir um objeto em duas partes iguais. Tambm devem se ter perguntado qual a relao entre as partes que constituem um objeto para que ele seja considerado belo. Tambm devem se ter perguntado qual a relao entre as partes que constituem um objeto para que ele seja considerado belo. Um objeto pode ser dividido ao meio ou de forma que uma parte seja o dobro da outra ou mesmo que uma parte seja igual a da outra...podemos at dizer que podemos fazer qualquer partio ou diviso de um objeto. Um objeto pode ser dividido ao meio ou de forma que uma parte seja o dobro da outra ou mesmo que uma parte seja igual a da outra...podemos at dizer que podemos fazer qualquer partio ou diviso de um objeto.

Slide 3

Na antiguidade clssica, o grego Plato observou uma forma de dividir um segmento de uma forma harmnica e agradvel vista. Ele a chamou de A Seo. Na antiguidade clssica, o grego Plato observou uma forma de dividir um segmento de uma forma harmnica e agradvel vista. Ele a chamou de A Seo.

Slide 4

Cerca de 300 anos antes de Cristo, outro grego, Euclides, encontrou geometricamente a forma de se fazer essa diviso harmnica e agradvel vista. Ele a chamou de Seo urea. Cerca de 300 anos antes de Cristo, outro grego, Euclides, encontrou geometricamente a forma de se fazer essa diviso harmnica e agradvel vista. Ele a chamou de Seo urea. Euclides

Slide 5

Euclides escreveu em seus Elementos: Euclides escreveu em seus Elementos: Para que um segmento seja dividido em seo urea, a razo entre o segmento e a parte maior deve ser igual razo entre a parte maior e a parte menor.

Slide 6

Vamos agora ver como foi que Euclides definiu tal diviso: Temos um segmento AB que foi dividido, pelo ponto C, em duas partes iguais: AC e CB. Vamos supor que AC > CB. Euclides descobriu que essa diviso mais harmoniosa vista ocorre quando a razo entre o segmento todo e a parte maior a mesma que existe entre a parte maior e a parte menor.

Slide 7

Essa forma de particionarmos um segmento constituiu-se na base para a arte e a arquitetura grega. Essa forma de particionarmos um segmento constituiu-se na base para a arte e a arquitetura grega. O Partenn, templo dos Deuses Gregos

Slide 8

Vamos agora determinar o valor dessa razo urea, conhecida como nmero de ouro. Para essa determinao vamos usar a definio de Euclides, associada uma equao do segundo grau. Para essa determinao vamos usar a definio de Euclides, associada uma equao do segundo grau.

Slide 9

Vamos representar o segmento AB e as partes da diviso da seguinte forma: AC = a, CB = b, AB = a + b. Vamos representar o segmento AB e as partes da diviso da seguinte forma: AC = a, CB = b, AB = a + b. CB = b o segmento menor dessa diviso. CB = b o segmento menor dessa diviso. Pela definio de Euclides, teremos: Pela definio de Euclides, teremos: ab

Slide 10

Pelo teorema fundamental das propores, teremos: Ou ainda:

Slide 11

Vamos resolver essa equao na incgnita b. Arrumando seus termos, teremos:

Slide 12

Aplicando a frmula de Bskara, teremos: operando,

Slide 13

Colocando o termo a em evidncia, teremos: ou ainda: Ou dividindo amos os membros da igualdade por a:

Slide 14

Ou ainda, invertendo a razo obtida:

Slide 15

Temos duas solues: ou

Slide 16

Como sabemos que, um nmero irracional e maior que 1 Teremos: um nmero POSITIVO um nmero NEGATIVO Como estamos lidando com medidas de segmentos de reta, a soluo negativa no nos interessa.

Slide 17

O nmero vale, aproximadamente 2,236067 logo: Este valor, que se chama razo ou nmero de outro, ficou representado pela letra grega (phi). (se pronuncia Fi) Essa escolha foi uma homenagem ao escultor e arquiteto grego Fdeas, que construiu o Partenon usando a razo de ouro.

Slide 18

ONDE ENCONTRAMOS A RAZO DE OURO? O Homem Vitruviano -Leonardo Da Vinci- A razo entre a distncia do umbigo aos ps e a distncia da cabea ao umbigo o nmero de ouro. Da mesma forma, a razo entre a altura do homem e a distncia do umbigo aos ps tambm esse mesmo nmero.

Slide 19

Vejamos alguns exemplos em pessoas famosas:

Slide 20

J conhecemos o valor da razo urea; J conhecemos o valor da razo urea; J sabemos dividir um segmento na razo de ouro; J sabemos dividir um segmento na razo de ouro; Podemos tambm construir qualquer figura geomtrica onde exista tambm essa razo; Podemos tambm construir qualquer figura geomtrica onde exista tambm essa razo; Usando alguns conhecimentos de geometria podemos construir a mais famosa dessas formas que o RETNGULO DE OURO. Usando alguns conhecimentos de geometria podemos construir a mais famosa dessas formas que o RETNGULO DE OURO.

Slide 21

CONSTRUO DO RETNGULO DE OURO Um retngulo de ouro simplesmente um retngulo cuja razo entre o lado maior e o lado menor o nmero de ouro Um retngulo de ouro simplesmente um retngulo cuja razo entre o lado maior e o lado menor o nmero de ouro a b

Slide 22

COMO PODEMOS CONSTRU-LO?

Slide 23

Quer ver a justificativa matemtica?

Slide 24

Slide 25

Onde podemos encontrar o nmero de ouro? Na vida cotidiana: Tambm so bem prximas do retngulo de ouro algumas telas das modernas TVs de LCD. Geralmente os retngulos usados na fabricao dos cartes de crdito so retngulos de ouro, ou seja, a razo entre o lado maior e o menor igual a.

Slide 26

Mona Lisa -Leonardo Da Vinci- Seo urea - Mondrian- A RAZO DE OURO NA ARTE

Slide 27

Duas composies com retngulos de ouro de Piet Mondrian

Slide 28

Em muitas obras de artistas do Renascimento eles usaram a razo de ouro. Sir Theodore Cook (sc. XIX) descobriu uma escala simples de divises ureas aplicvel figura humana, que se encaixa surpreendentemente bem nas obras de alguns pintores, como Boticelli. O nascimento de Venus -Boticelli-

Slide 29

H muitos outros exemplos do uso do retngulo de ouro nas artes. Ele era mesmo usado para a diviso espacial da rea onde a obra era pintada. Temos um belo exemplo dessa diviso espacial em O martrio de So Bartolomeu, do espanhol Ribera.

Slide 30

O Partenn Os gregos usaram a razo urea como base arquitetnica de monumentos e prdios em honra de seus Deuses. O Partenn, templo dos Deuses gregos Na fachada do Prtenon temos um retngulo de ouro. Em Monumentos e arquitetura

Slide 31

4) Na natureza A espiral maravilhosa Existe, por exemplo, na concha do caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de circunferncia concordantes, construdos a partir de sucessivos retngulos de ouro. A espiral maravilhosa Existe, por exemplo, na concha do caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de circunferncia concordantes, construdos a partir de sucessivos retngulos de ouro.

Slide 32

Na natureza: Na concha do cefalpode marinho Nautilus

Slide 33

Slide 34