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Matemática Financeira Matemática Financeira

Prof. Ilydio Pereira de SáProf. Ilydio Pereira de Sá

ilydio@gmail.com ilydio@gmail.com

2. VALOR DO DINHEIRO NO 2. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPOTEMPO

2) O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

Na Matemática Financeira, no regime de JUROS COMPOSTOS (ou juros sobre juros), todos os problemas são resolvidos através da importante noção de VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

Numa data futura (n períodos), o dinheiro fica multiplicado por Fn . Numa data anterior, fica dividido por Fn.

B = A . Fn B = A : Fn

Exemplo 1: Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2009. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra e resolveu pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2009. Quanto Lídia teve de pagar?

soluçãosolução

Como Lídia está pagou com uma antecipação de 1 mês, basta DIVIDIR 80,00 por 1,05 (fator de correção).

Logo, 80 : 1,05 = 76,19

Lídia pagou R$ 76,19

Exemplo 2. Certa pessoa aceitou um empréstimo garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas:

R$ 10 000, prazo de 1 mês;

R$ 20 000, prazo de 3 meses;

R$ 40 000, prazo de 6 meses.

No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o primeiro título, entrou em acordo com o credor para efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o pagamento global a ser feito na referida data?

10 000 20 000

40 000

0 1 2 3 4 5 6

W

0 1 2 3 4 5 6

10 000 20 000

40 000

455,72 63 (1,05)

000 40

1,05

000 20 1,15 . 000 10 W

411

Fácil, não ?

soluçãosolução

Exemplo 3) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos).

soluçãosolução

0 1 2 3

5000

2500x

2500 . 1,05 + x = 5000 . (1,05)3

2625 + x = 5788,13x = 3163,13

Exemplo 4. Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

0 1 2

400

220 220

Sugerimos “empurrar” todos os valores para a data 2 e igualar as entradas (valor à vista) com as saídas (pagamentos mensais).

400 . F2 = 220 . F + 22040 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0

40

64,3111

40

100111

40

)11.(20.412111F

Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40

Logo, F = 1 + i 1,067 ou i 0,067 ou ainda i 6,7%

Para alunos de 8ª série do ensino fundamental (9º ano), podemos usar esse tipo de problema (levando anúncios de jornais ou revistas) nas aulas de equação do segundo grau. Poderíamos usar o seguinte roteiro:

1)Suponha que você tem os R$ 400,00 e aplicou numa poupança que rende, exatamente a mesma taxa de juros cobrada pela loja. Um mês após a compra, o seu dinheiro estará valendo 400 . X (X é o fator de correção correspondente a essa taxa.2)Após o pagamento da primeira prestação, você ainda terá 400 . X – 220. 3)Um mês após o pagamento da primeira prestação, seu dinheiro estará valendo (400 . X – 220). X. 4)Após o pagamento da segunda prestação, você terá:

(400 . X – 220). X – 220. É claro que esse valor, como a taxa do financiamento é a mesma do investimento na poupança, terá de ser igual a zero. Perceba que recaímos na mesma equação do segundo grau da solução anterior.

400 X2 – 220 X – 220 = 0

Exemplo 5. Cálculo do tempo... Aplicando logaritmos.

Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês, para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈ 0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021

soluçãosolução

580 x (1,05) n = 900(1,05) n = 1,55 ou entãon . log (1,05) = log (1,55)n = log (1,55) / log (1,05)

n = 0,1903 / 0,021n 9 meses

i = 8 % a.a.

12.000

5.000

0 n

log(1,08)

log(2,4) n (2,4) log (1,08) log .n

2,4 1,08

2,4 5000

000 12 1,08

000 12 1,08 x 5000

n

n

n

0,38021 1 - 0,47712 0,30103 . 3

10 log - 3 log 2 log . 3

10 log - 3)x (2 log 10

24 log (2,4) log 3

0,03342 2 - 3.0,47712 0,30103 . 2

100 log - 3 3.log 2 log . 2

100 log - )3x (2 log 100

108 log (1,08) log 32

anos 11,3767 0,03342

0,38021

log(1,08)

(2,4) log n

Exemplo 6. Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2 0,30103 e log 3 0,47712

CONCLUSÃO:

Com o entendimento das duas noções principais da Matemática Financeira: Fatores de correção e valor do dinheiro no tempo, qualquer pessoa estará apta a resolver os problemas que aparecem em nosso cotidiano, nessa área.

Texto para análise: Duas vezes 100 é igual a 200? Fonte: RPM 70

Prof. Ilydio Pereira de Sá

ilydio@gmail.com

http://magiadamatematica.com

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