O Nascimento do ClculoPara realizar um estudo completo sobre as origens, desenvolvimento e conseqncias do Clculo, necessitaramos de uma pesquisa muito extensa cujo resultado final seria, sem dvida, um texto longo que estaria alm do propsito deste trabalho como um todo. O nosso intuito o de dar uma apresentao geral que contenha alguns fatos importantes que permeiam os acontecimentos histricos relacionados com a construo desta poderosa ferramenta da Matemtica: o Clculo. Alm disso, gostaramos que ficasse claro que essa construo o resultado de diversas contribuies de muitos personagens, como ocorre, de modo geral, com o conhecimento humano.Convidamos tambm o usurio a apreciar alguns fatos interessantes que esto presentes no site, assim como encoraj-lo na visita s pginas dos matemticos que aqui aparecem para conhecer um pouco a histria de cada um.As contribuies dos matemticos para o nascimento do Clculo so inmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou no rigorosa, j utilizavam conceitos do Clculo para resolver vrios problemas - por exemplo,Cavalieri,Barrow,FermateKepler. Nesse tempo ainda no havia uma sistematizao, no sentido de uma construo logicamente estruturada.A unio das partes conhecidas e utilizadas at ento, aliada ao desenvolvimento e aperfeioamento das tcnicas, aconteceu comNewtoneLeibnizque deram origem aos fundamentos mais importantes do Clculo: as Derivadas e as Integrais.O Clculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada s derivadas, ouClculo Diferencial,e outra parte relacionada s integrais, ouClculo Integral.O Clculo Integral: alguns fatos histricosOs primeiros problemas que apareceram na Histria relacionados com as integrais so os problemas dequadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medio de superfcies a fim de encontrar suas reas. Quando os antigos gemetras comearam a estudar as reas de figuras planas, eles as relacionavam com a rea do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse rea igual da figura em questo.A palavraquadratura um termo antigo que se tornou sinnimo do processo de determinar reas.Quadraturas que fascinavam os gemetras eram as de figuras curvilneas, como o crculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. Aslnulas- regies que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas porHipcrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da Histria.Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do crculo atravs de uma seqncia infinita de polgonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octgono, em seguida um hexadecgono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqncia nunca poderia ser concluda. Apesar disso, essa foi uma idia genial que deu origem ao mtodo da exausto.Nesse contexto, uma das questes mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuies gregas para o Clculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema deArquimedespara a quadratura da parbola.Arquimedes descobriu que a rea da regio limitada por uma parbola cortada por uma corda qualquer, igual a 4/3 da rea do tringulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Esse clculo pode ser encontrado no livro doSimmons, volume 2.

Arquimedes gerou tambm uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o mtodo da exausto, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.Outra contribuio de Arquimedes foi a utilizao do mtodo da exausto para encontrar a rea do crculo, obtendo uma das primeiras aproximaes para o nmero.Outras "integraes" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a rea da superfcie esfrica, o volume do cone e a rea da superfcie cnica, a rea da regio limitada por uma elipse, o volume de um parabolide de revoluo e o volume de um hiperbolide de revoluo. Em seus clculos, Arquimedes encontrava somas com um nmero infinito de parcelas. O argumento utilizado era a duplareductio ad absurdumpara "escapar" da situao incmoda. Basicamente, se no podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.A contribuio seguinte para o Clculo Integral apareceu somente ao final do sculo XVI quando a Mecnica levou vrios matemticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma,Luca ValeriopublicouDe quadratura parabolaeonde utilizou o mesmo mtodo grego para resolver problemas de clculo de reas desse tipo.Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as reas de vrios setores de uma regio elptica. O mtodo de Kepler consistia em pensar na superfcie como a soma de linhas - mtodo este que, na prtica, apresentava muita impreciso. Analogamente, para calcular volumes de slidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos slidos formados pela revoluo de uma regio bidimensional ao redor de um eixo. Para o clculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o slido em vrias fatias, chamadas infinitsimos, e a soma desses infinitsimos se aproximava do volume desejado.Os prximos matemticos que tiveram grande contribuio para o nascimento do Clculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida,Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na rea como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisveis". Ele mostrou, usando os seus mtodos, o que hoje em dia escrevemos:.Todo o processo geomtrico desenvolvido por Cavalieri foi ento aritmetizado porWallis. Em 1655, em seu trabalhoArithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princpios de induo e interpolao que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipao de parte do trabalho deEulerdobre a funo gamma.Fermat desenvolveu uma tcnica para achar a rea sob cada uma das, ento chamadas, "parbolas maiores": curvas do tipo, onde constante e n2,3,4, etc. Empregou ento uma srie geomtrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo, ondee n2,3,4,etc. Por volta de 1640, a frmula geral da integral das parbolas maiores era conhecida por Fermat,Blaise Pascal,Descartes,Torricellie outros.O problema do movimento estava sendo estudado desde a poca deGalileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distncia era a velocidade e a operao inversa, partindo da velocidade, levava distncia. A partir desse problema envolvendo movimento, a idia de operao inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a idia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente oTeorema Fundamental do Clculo, estava trabalhando em direo a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direo, formulou o teorema.Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Clculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os mtodos dasfluxions- derivao - efluents- integrao - e utilizou-os na construo da mecnica clssica. Para Newton, a integrao consistia em acharfluentspara um dadofluxionconsiderando, desta maneira, a integrao como inversa da derivao. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a acelerao e a integral da acelerao era a velocidade.Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questo, por exemplo, a integral deyera representada por`y.Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integrao como uma soma, de uma maneira bastante parecida de Cavalieri. Da vem o smbolo- um 's' longo - para representarsumma. Segundo ele, "represento a rea de uma figura pela soma das reas de todos os retngulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenas entre as abscissas... e portanto eu represento em meu clculo a rea da figura por".Ambos desenvolveram o Clculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Clculo como geomtrico, enquanto Leibniz o via mais como analtico.Leibiniz acreditava que a notao era de fundamental importncia e, de fato, a sua notao foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada at os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma. Newton escrevia para si prprio e no foi feliz em encontrar uma notao consistente.Os trabalhos de Leibniz sobre o Clculo Integral foram publicados em 1684 e em 1686 sob o nomeCalculus Summatorius. O nome Clculo Integral foi criado porJohann Bernoullie publicado pela primeira vez por seu irmo mais velhoJacques Bernoulliem 1690.Principalmente como conseqncia do Teorema Fundamental do Clculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma poca da publicao das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemticos para integrar todas as funes racionais, que chamado mtodo das fraes parciais. Essas idias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.Aps o estabelecimento do Clculo, Euler daria continuidade ao estudo de funes - ainda prematuro na poca - juntamente comCauchy,GausseRiemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento at ento desenvolvido e criou os fundamentos da Anlise.Hoje em dia o Clculo Integral largamente utilizado em vrias reas do conhecimento humano e aplicado para a soluo de problemas no s de Matemtica, mas de Fsica, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Qumica, por exemplo.