• Fazer inferência (ou inferir) = tirar conclusões

• Inferência Estatística: conjunto de métodos de análise estatística que permitem tirar conclusões sobre uma população com base em somente uma parte dela (uma amostra)

• Os métodos de inferência podem ser agrupados em duas categorias:

o Estimação: pontual ou intervalar

o Testes de Hipóteses

INFERÊNCIA

ESTIMAÇÃO PONTUAL

Um único valor é utilizado para inferir sobre um parâmetro de interesse.

Estimador: uma função da amostra

n

x

X

n

i

i∑== 1

Estimativa: um particular valor numérico assumido por um estimador

5

10

50==X

Obs:

• Diferentes amostras levam a diferentes estimativas • Esse procedimento não permite julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo.

Propriedade dos Estimadores

É importante frisar que podem existir vários estimadores para um mesmo parâmetro populacional. Logo, a escolha do melhor estimador será feita com base em alguns critérios.

P1. Não-Tendencioso (Não-Viciado): diz-se que um estimador é não viciado quando, em média, ele fornece estimativas iguais ao parâmetro que ele está estimando

P2. Eficiente: deseja-se que o estimador seja altamente concentrado, ou seja, que tenha pequena variância amostral, ou ainda, que o estimador forneça, para diferentes amostras, estimativas que

estejam próximas entre si

P3. Consistente: dizer que um estimador é consistente significa que as estimativas fornecidas por ele estão próximas do parâmetro, ou que a diferença � � �� é pequena.

Exemplo: Suponha que alguém deseje comprar um rifle e, dentre muitos, selecione quatro (A, B, C e D). Com o objetivo de testá-los, foram dados 15 tiros com cada um deles. A representação gráfica é dada abaixo.

Alguns Estimadores Pontuais Importantes

Os estimadores apresentados a seguir possuem as propriedades: não-viesados, consistentes e eficientes.

Média: o melhor estimador para a média populacional µ é a média amostral.

n

x

X

n

i

i∑=== 1µ̂

Proporção: o estimador da proporção populacional (p) é dado pela proporção amostral

n

Sp n=ˆ

onde, Sn é o número de elementos que apresentam uma determinada característica entre os n elementos da amostra.

o Vimos que uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional.

o No entanto, a probabilidade de que uma estimativa pontual coincida com o verdadeiro valor de um parâmetro populacional é pequena. Na verdade, tal probabilidade será igual a zero caso a distribuição de T seja contínua.

o Então, seria interessante se a estimativa pontual viesse acompanhada de alguma medida de erro. É nesse sentido, que a estimativa intervalar complementa a estimação pontual.

o Assim, um intervalo de confiança (estimativa intervalar) representa uma amplitude de valores que tem alta probabilidade (grau de confiança) de conter o verdadeiro valor da população.

o O grau de confiança (ou nível de confiança) é uma medida que representa a probabilidade do intervalo conter o parâmetro populacional. Tal probabilidade é chamada de 1- αααα. Logo, αααα (nível de significância) será a probabilidade de erro ao se afirmar que o intervalo contém o verdadeiro valor do parâmetro.

ESTIMAÇÃO POR INTERVALO

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA DA POPULAÇÃO

Duas situações são consideradas quando desejamos estabelecer um intervalo de confiança para µ:

o quando 2σ é conhecida o quando 2σ é desconhecida

Suposições:

o ( )2,~ σµNX ou o n > 30

De modo geral, estamos interessados em encontrar um intervalo na forma:

][];[ 000 εεε ±=+− XXX

onde ε0 representa a semi-amplitude do intervalo de confiança, sendo chamado de ERRO de PRECISÃO em relação a µ.

Caso 1: 2σ é conhecida

Como

nNX

2

,~σ

µ , temos que

αεµεµ −=+<<− 1)( 00 XP

f(z)

Z1−α/2

α/2 α/2

Zα/2

1 - α

0

Logo,

nz

σε α 2/10 −=

Assim, a partir da expressão acima podemos também estimar, por exemplo, o tamanho da

amostra (n) (se ε0, z e σ são conhecidos).

Assim, temos que

ασ

µσ

αα −=+<<− −− 1)( 2/12/1n

zXn

zXP

Em outras palavras, isso significa que a probabilidade de que o intervalo contenha o verdadeiro valor

de µ

];[ 2/12/1n

zXn

zXσσ

αα −− +−

é igual a 1-α.

Exemplo

1) A rentabilidade das vendas de carros usados na cidade de João Pessoa foi determinada em um estudo realizado pelos empresários locais. Uma amostra de 100 vendas de carros usados forneceu um lucro médio de R$ 2.000,00. Sabe-se de estudos anteriores que o desvio padrão é de R$ 500,00.

a) A partir das informações obtidas no estudo, construa uma estimativa por intervalo de confiança de 99% do lucro médio para a população das vendas de carros usados.

b) Quantas vendas de carros usados deveriam ter sido coletadas, para que a margem de erro fosse de no máximo 2% com mesmo nível de confiança?

2) Em um estudo de subsídios de empréstimos para os estudantes, relatou-se que aqueles que tomam empréstimo do Banco do Brasil, com quatro anos de prazo, terão uma dívida de R$ 4.000,00. Considere que esse valor médio de endividamento está baseado em uma amostra de 121 empréstimos de estudantes de graduação, e que o desvio padrão da população para a quantia emprestada é de R$ 1.300,00.

a) Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 95% da quantia média devida pelos estudantes de graduação.

b) O número de empréstimos analisados é suficiente se quisermos que a margem de erro seja de no máximo 3% com o mesmo nível de confiança?

c) O que acontece com a amplitude do intervalo quando o nível de confiança é de 99%?

Caso 2: 2σ desconhecida

Neste caso, adota-se como estimador a variância amostral S2

1

)(1

2

2

−

−

=∑

=

n

xx

S

n

i

i

Agora, a estatística

)1(~/

−

−= nt

nS

XT

µ

terá distribuição t-student com “n-1” graus de liberdade, e não mais distribuição normal padrão.

Assim, quando a variância é desconhecida, a probabilidade de que o verdadeiro valor de µ pertença ao intervalo

];[ )2/,1()2/,1(n

StX

n

StX nn αα −− +−

é igual a 1-α.

Logo,

n

St n )2/,1(0 αε −=

Assim, a partir da expressão acima podemos também estimar, por exemplo, o tamanho da amostra (n) (se ε0, t e S são conhecidos).

Comparação da distribuição normal padrão com a distribuição t de Student

Exemplo

1) A associação Brasileira de Agências de Propaganda registra dados sobre minutos sem programação nos programas de meia hora no horário nobre de televisão. Em uma amostra de 20 programas de horário nobre obteve-se uma média de 6,5 minutos e um desvio padrão de 2 minutos. Considere que esta variável se comporta como uma distribuição normal.

a) Determine um intervalo de 99% de confiança para o número médio de minutos sem propaganda. b) Quantos programas deveriam ter sido selecionados para que a margem de erro fosse de no máximo 0,3 minutos?

c) Que erro se cometeria na estimação da média caso usássemos uma amostra com tamanho 20% inferior, usando o mesmo nível de confiança?

2) Sem embasamento estatístico nenhum, o prefeito de certo município deseja estimar a média de gastos dos turistas que visitam a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 25 turistas foi selecionada para a investigação e encontrou-se que a média foi igual a R$ 500,00 e desvio padrão de R$ 250,00.

a) Qual o intervalo de confiança, a 99% para a média dos gastos de turistas com a cidade? b) Qual deveria ser o tamanho da amostra, fixando uma margem de erro de 3% e um nível de confiança de 99%?

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO DA POPULAÇÃO

Vimos que a distribuição amostral de p̂ , para n suficientemente grande, é Normal com parâmetros

−

n

pppNp

)1(,~ˆ ,

O intervalo que estamos procurando é da forma ]ˆ[ 0ε±p . Assim, por um caminho semelhante ao

adotado no caso da média populacional µ, chega-se facilmente a

n

ppz

)1(2/10

−= −αε

Assim, a partir da expressão acima podemos também estimar, por exemplo, o tamanho da

amostra (n) (se ε0, z e p são conhecidos).

No entanto, na prática p é desconhecido, sendo substituído pela proporção amostral p̂ .

Assim, o intervalo de confiança para p, ao nível de confiança 1-α, é dado por

])ˆ1(ˆ

ˆ;)ˆ1(ˆ

ˆ[ 2/12/1n

ppzp

n

ppzp

−+

−− −− αα

Observações:

• Um erro comum é dizer que a probabilidade de µ estar no intervalo de 100(1-α)% é de (1-α). • µ não é uma variável aleatória, portanto não existe probabilidade sobre µ. • µ é uma constante desconhecida, sobre a qual desejamos inferir, através das quantidades amostrais X e S.

• A interpretação correta é do intervalo de confiança conter o verdadeiro valor de µ com 100(1-α)% de confiança.

Exemplo de um intervalo de confiança para proporção

Exemplo

1) Um levantamento da Globo News solicitou a 800 adultos que respondessem a uma série de questões sobre suas perspectivas em relação à situação financeira do Brasil. Um total de 560 adultos responderam Sim a questão: Você acha que as coisas estão indo bem no Brasil de hoje?

a) Determine um intervalo de confiança ao nível de 95% para a proporção de adultos que sentem que as coisas estão indo bem no Brasil. b) Quantos adultos deveriam ter sido entrevistados, para que fosse de 2 pontos percentuais a margem de erro para estimar, com 95% de confiança, a verdadeira percentagem de adultos que sentem que as coisas estão indo bem no Brasil? 2) O Instituto de Turismo do Estado da Paraíba planeja pesquisar os visitantes das maiores praias de todo o estado para estimar a proporção de visitantes que não residem na Paraíba. Observou que dos 500 visitantes 320 eram do estado.

a) Qual a estimativa da proporção de visitantes que não residem na Paraíba? b) Que tamanho de amostra deve ser tomada para se estimar a proporção de visitantes de fora do estado com uma margem de erro de 2%? Use um nível de confiança de 95%. c) Determine um intervalo de confiança ao nível de 95% para a proporção de visitantes de fora do estado da Paraíba.

FATORES DETERMINANTES DO ERRO DE ESTIMAÇÃO

];[ 2/12/1n

zXn

zXσσ

αα −− +−

O erro de estimação será menor ou maior dependendo do(a):

1) Tamanho da amostra (n): Quanto menor o tamanho da amostra, maior será o erro de estimação.

2) Variabilidade da característica na população (σ): Quanto maior for a variabilidade da característica cuja média está sendo estimada maior será o erro de estimação.

3) Nível de confiança (1-α): Se quisermos uma confiança maior no intervalo teremos um erro de estimação maior.

o O Teste de Hipóteses consiste em uma regra de decisão elaborada para rejeitar (ou não) uma afirmação (hipótese) feita a respeito de um parâmetro populacional desconhecido, com base em informações colhidas de uma amostra aleatória.

o Verificar se o salário médio de certa categoria profissional no Brasil é de R$1.500,00

o Testar se o percentual de aceitação de um determinado produto é de 40% ou mais.

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Hipótese Nula (H0): É a hipótese a ser testada.

Hipótese Alternativa (H1): É a hipótese a ser confrontada com H0.

o O teste será feito de tal forma que deverá sempre concluir na rejeição (ou não) de H0

TESTE DE HIPÓTESES

o Como estamos tomando uma decisão com base em informações de uma amostra, estaremos sujeitos a cometer dois tipos de erros:

Erro do tipo I (αααα): Rejeitarmos H0 quando H0 é verdadeira.

αααα = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H0 / H0 é verdadeira)

Erro do tipo II (ββββ): Não rejeitarmos H0 quando H0 é falsa.

ββββ = P(erro do tipo II) = P(não rejeitar H0 / H0 é falsa)

Poder do Teste( 1 −−−− ββββ) ou Potência do Teste

1 −−−− ββββ = 1 − P(não rejeitar H0 / H0 é falsa) = P(rejeitar H0 / H0 é falsa)

OBS: α é denominado de nível de significância do teste.

o Na prática, fixamos α bem pequeno, e tentamos controlar β aumentando o tamanho da amostra.

Nossas decisões em um teste de hipóteses podem ser resumidas na seguinte tabela

População

Amostra

Realidade (desconhecida)

H0 é verdadeira H0 é falsa

d e c i s ã o

Rejeitar H0

Não rejeitar H0

Erro do tipo I

Decisão correta

Decisão correta Erro do tipo II

OUTRAS DEFINIÇÕES IMPORTANTES

o Estatística do teste: É a estatística utilizada para julgar H0.

o Região crítica do teste (RC): É formada pelo conjunto de valores que levam à rejeição de H0. Ela depende do tipo de hipótese alternativa, do nível de significância (α) adotado, e da distribuição de probabilidade da estatística do teste.

o Região de aceitação do teste (RA): É formada pelo conjunto de valores que levam à aceitação de H0.

ETAPAS NA ELABORAÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES

Em suma, para a elaboração de um teste de hipóteses, devemos seguir os seguintes passos:

1- Definir as hipóteses nula(H0) e alternativa(H1); 2- Fixar o nível de significância (α); 3- Determinar a estatística do teste ; 4- Determinar a região crítica do teste; 5- Calcular o valor da estatística do teste, (com base numa amostra aleatória retirada da população de

interesse); 6- Se o valor calculado no passo anterior ∈ RC, rejeitar H0, caso contrário, não rejeitar H0; 7- Conclusão do teste.

TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA POPULACIONAL

Caso 1: 2σ conhecida

1. Definição das hipóteses:

H0: µ = µ0

H1: µ ≠ µ0

2. Fixar o nível de significância α

3. Definir a estatística do teste

Z = nσ

µX − ~ N(0,1)

4. Definir a região crítica do teste (RC)

ou H0: µ = µ0 H1: µ < µ0

ou H0: µ = µ0 H1: µ > µ0

a) H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0

b) H0: µ = µ0 H1: µ < µ0

c) H0: µ = µ0 H1: µ > µ0

5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística do Teste Z

Zc = nσ

µX 0−

6. Se Zc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (conseqüentemente aceitar H1). Se Zc ∉ RC ⇒ Não rejeitar H0 (conseq. não aceitar H1)

7. Concluir sobre a decisão tomada no passo 6.

Exemplo

1) Os Brasileiros que deram entrada na declaração do imposto de renda de 2010 antes de 31 de março de 2011 têm uma restituição média de R$ 1.056,00. Considere a população de entregadores de “última hora” que despacharam suas declarações durante os últimos cinco dias do período de entrega do imposto de renda (26 até 30 de abril). Sabe-se que o desvio padrão é de R$ 800,00. Um pesquisador sugere que uma das razões para que os indivíduos esperem até os últimos dias para entregar suas declarações é que em média eles têm uma restituição mais baixa do que os primeiros entregadores. Para uma amostra de 100 indivíduos que entregaram a declaração nos últimos 5 dias, a restituição média da amostra foi de R$ 950,00. Qual é a sua conclusão? Considere um nível de significância de 5%.

2) Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem em média 9,4 km/l, com desvio padrão de 0,79 litros. Uma revista com base em resultados preliminares desconfia da afirmação acima do fabricante e resolve testar tal hipótese analisando 32 automóveis dessa marca, obtendo 9 km/l como consumo médio. O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica ao nível de significância de 5%?

Caso 2: 2σ desconhecida

1. Definição das hipóteses:

H0: µ = µ0

H1: µ ≠ µ0

2. Fixar o nível de significância α

3. Definir a estatística do teste

T = nS

µX − ~ t(n-1)

(distr. t-Student com n-1 graus de liberdade)

4. Definir a região crítica do teste (RC)

ou H0: µ = µ0 H1: µ < µ0

ou H0: µ = µ0 H1: µ > µ0

a)H0: µ = µ0

H1: µ ≠ µ0

b) H0: µ = µ0 H1: µ < µ0

c) H0: µ = µ0 H1: µ > µ0

5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística do Teste T

Tc = nS

µX 0−

6. Se Tc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (conseqüentemente aceitar H1). Se Tc ∉ RC ⇒ Não rejeitar H0 (conseq. não aceitar H1)

7. Concluir sobre a decisão tomada no passo 6.

Observação:

o Quando n > 30, podemos ter dificuldades de achar o valor tabelado na tabela t-student que define os limites entre a região crítica e a região de aceitação do teste. Nesses casos, alguns autores sugerem definir a região crítica através da distribuição Normal padrão. o No entanto, em nossa disciplina iremos sempre usar o valor tabelado obtido da tabela t-student. o Justificativa: Os softwares computacionais (Excel, por exemplo) calculam os valores da distribuição t-student.

Exemplo

1) Um fabricante afirma que seus cigarros contêm não mais que 30 mg de nicotina. Uma amostra de 31 cigarros fornecem média de 31,5mg e desvio padrão de 3mg. Ao nível de significância de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?

2) Uma empresa paga atualmente aos seus operários um salário médio de R$ 15,00 a hora. A empresa está planejando construir uma nova fábrica e está considerando diversos locais. A disponibilidade de mão de obra a uma taxa menor que R$ 15,00 a hora é um grande fator na decisão do local. Uma amostra de 40 trabalhadores forneceu um salário horário médio atual de R$ 14,00 e um desvio padrão de R$ 2,40. Com um nível de confiança de 0,99, os dados da amostra indicam que o local tem uma taxa de salário médio significativamente abaixo da taxa de R$ 15,00 por hora?

TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL

1. Definição das hipóteses:

H0: p = p0 H1: p ≠ p0

2. Fixar o nível de significância α

3. Definir a estatística do teste

Z =

n

p)-p(1

pp̂ − ~ N(0,1)

4. Definir a região crítica do teste (RC)

ou H0: p = p0 H1: p < p0

ou H0: p = p0 H1: p > p0

a) H0: p = p0 H1: p ≠ p0

b) H0: p = p0 H1: p < p0

b) H0: p = p0 H1: p > p0

5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística do Teste Z

Zc =

n

p )1(p

pp̂

00

0

−

−

6. Se Zc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (conseqüentemente aceitar H1). Se Zc ∉ RC ⇒ Não rejeitar H0 (conseq. não aceitar H1)

7. Concluir sobre a decisão tomada no passo 6.

Exemplo

1) Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última segunda-feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação, e decide, para isso, usar uma amostra aleatória de 200 famílias, das quais 104 responderam afirmativamente. Qual deve ser o procedimento adotado para julgar a afirmação da estação? Utilize um nível de significância de 5%.

2) Até o ano passado, apenas 40% dos estudantes de uma certa cantina universitária aprovaram a qualidade das refeições servidas no seu refeitório. Após uma série de medidas corretivas, 40 estudantes foram escolhidos ao acaso, entrevistados, e o número daqueles que aprovaram a qualidade das refeições foram usados para verificar se as medidas corretivas surtiram efeito. O número dos que ficaram satisfeitos foi 22. Realize o teste de hipóteses apropriado usando o nível de significância de 5%. Podemos afirmar que as medidas corretivas surtiram efeito? E se adotarmos um nível de confiança de 99%?