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2016/2 – IC / UFF
aula 11Superfícies
Superfícies
representações não paramétricas
Por equações tri-dimensionais :
Por equações tri-dimensionais :
Quádricas
Por equações tri-dimensionais :
Representações não paramétricas, implicita
Por equações tri-dimensionais :
exemplos
Representações paramétricas
Formas de geração:
Revolução
Geradas por interpolação
Lofting – interpolando as curvas
Patches
Superfície de Bezier
Superfície B-Splines
• Superficie que pode ser considerada como uma NURBS na qual uma seqüência de pontos de controle determina a superfície, que lembra a letra "T".
• Esse tipo de superfície facilita a fusão de pedaços .
T-spline surface
Nurbs
Mapeamentos
Curvas de NívelExiste uma outra técnica útil, para descrever o comportamento
de uma função de duas variáveis.
O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das
equações f(x, y) = k para diferentes valores de k.
Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de
nível da função f.
Curvas de Nível
Curva de nível tal que .
Exemplo
f(x,y) = z = altura em relação ao nível do mar.
Essas curvas de nível correspondem às linhas de contorno
topográfico.
As curvas de nível são os gráficos das equações .
Exemplo
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
z = x2
+ y2
z = 9
z = x2
+ y2
z = 4
z = 2
z = 0
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
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Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
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-1
1
2
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5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível
Curvas de nível: .
3.
Exemplo
Superfície de Nível
Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as
superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para
diferentes valores de k.
Superfícies de nível tal que .
Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no
ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas
superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas
são chamadas superfícies equipotenciais.
Superfície de Nível
Exemplo
Superfície de Nível
A superfície
É o gráfico de f.
Uma curva de nível típica no domínio da função
Parabolóide
A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75
é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75.
A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 éa circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy.
Plano z = 75
Curvas de Nível X Curvas de Contorno
Traço: é a curva definida pelo encontro da superfícief(x,y) com os planos xy, xz e yz.
Curvas de Nível
Bibliografia
• Abel Gomes, Irina Voiculescu, Joaquim Jorge, Brian Wyvill, Callum GalbraithImplicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures andAlgorithms, Springer, 2009
• “Computer Graphics: Principles andPractice”, Foley,van Dam, Feiner andHughes; Capítulo 11
• “3D Computer Graphics”, A. Watt, Capítulo 6