O efeito interacção emmodelos de equações estruturais

Maria de F atima Salgueiro - ISCTE Business School, Lisboa

fatima.salgueiro@iscte.pt

XIV Congresso Anual da SPE - Covilh a 2006

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 1/20

Estrutura da Apresentação

Motivação para o presente estudo;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 2/20

Estrutura da Apresentação

Motivação para o presente estudo;

Objectivo da apresentação;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 2/20

Estrutura da Apresentação

Motivação para o presente estudo;

Objectivo da apresentação;

Principais abordagens propostas na literaturapara estudar o efeito de interacção emmodelos de equações estruturais (SEM);

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 2/20

Estrutura da Apresentação

Motivação para o presente estudo;

Objectivo da apresentação;

Principais abordagens propostas na literaturapara estudar o efeito de interacção emmodelos de equações estruturais (SEM);

Exemplo de aplicação de duas abordagens;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 2/20

Estrutura da Apresentação

Motivação para o presente estudo;

Objectivo da apresentação;

Principais abordagens propostas na literaturapara estudar o efeito de interacção emmodelos de equações estruturais (SEM);

Exemplo de aplicação de duas abordagens;

Breve discussão.

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 2/20

Motivação para o presente estudo

O efeito interacção entre 2 variáveis, epossível efeito moderador . . . , é por ex. muitoutilizado na Psicologia e no Marketing;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 3/20

Motivação para o presente estudo

O efeito interacção entre 2 variáveis, epossível efeito moderador . . . , é por ex. muitoutilizado na Psicologia e no Marketing;

a interacção entre 2 variáveis quantitativasX1 e X2 é usualmente estimada com MRLM:

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 3/20

Motivação para o presente estudo

O efeito interacção entre 2 variáveis, epossível efeito moderador . . . , é por ex. muitoutilizado na Psicologia e no Marketing;

a interacção entre 2 variáveis quantitativasX1 e X2 é usualmente estimada com MRLM:

Y = α + β1X1 + β2X2 + β3X1X2 + e

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 3/20

Motivação para o presente estudo

O efeito interacção entre 2 variáveis, epossível efeito moderador . . . , é por ex. muitoutilizado na Psicologia e no Marketing;

a interacção entre 2 variáveis quantitativasX1 e X2 é usualmente estimada com MRLM:

Y = α + β1X1 + β2X2 + β3X1X2 + e

E se as variáveis estiverem sujeitas a erro demedida, i.e., forem latentes? O MRLM deixade ser apropriado. . .

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 3/20

Motivação para o estudo (cont.)É então recomendado um SEM que estimesimultâneamente os parâmetros do modelode medida e do (de regressão) estrutural;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 4/20

Motivação para o estudo (cont.)É então recomendado um SEM que estimesimultâneamente os parâmetros do modelode medida e do (de regressão) estrutural;

Nos últimos anos tem sido crescente ointeresse em generalizar os SEM a modeloscom relações não lineares, em particularmodelos com efeitos interacção;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 4/20

Motivação para o estudo (cont.)É então recomendado um SEM que estimesimultâneamente os parâmetros do modelode medida e do (de regressão) estrutural;

Nos últimos anos tem sido crescente ointeresse em generalizar os SEM a modeloscom relações não lineares, em particularmodelos com efeitos interacção;

A interacção entre ξ1 e ξ2 será dada por

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 4/20

Motivação para o estudo (cont.)É então recomendado um SEM que estimesimultâneamente os parâmetros do modelode medida e do (de regressão) estrutural;

Nos últimos anos tem sido crescente ointeresse em generalizar os SEM a modeloscom relações não lineares, em particularmodelos com efeitos interacção;

A interacção entre ξ1 e ξ2 será dada por

η = α + γ1ξ1 + γ2ξ2 + γ3ξ1ξ2 + ζ

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 4/20

Motivação para o estudo (cont.)É então recomendado um SEM que estimesimultâneamente os parâmetros do modelode medida e do (de regressão) estrutural;

Nos últimos anos tem sido crescente ointeresse em generalizar os SEM a modeloscom relações não lineares, em particularmodelos com efeitos interacção;

A interacção entre ξ1 e ξ2 será dada por

η = α + γ1ξ1 + γ2ξ2 + γ3ξ1ξ2 + ζ

Como especificar tal modelo? É complexo enão consensual . . .

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 4/20

Exemplo motivador

Objectivo: estimar a interacção ξ1 ∗ ξ2. Mascomo criar ou medir a variável latente deinteracção inter12 ? . . .

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 5/20

Exemplo motivador

Objectivo: estimar a interacção ξ1 ∗ ξ2. Mascomo criar ou medir a variável latente deinteracção inter12 ? . . .

Path Diagram do modelo conceptual:X1

X2

X3

X6

X5

X4

ksi1

ksi2

etainter12

Y1

Y2

Y3

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 5/20

Objectivo desta Apresentação

Apresentar resumidamente algumas dasabordagens propostas na literatura;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 6/20

Objectivo desta Apresentação

Apresentar resumidamente algumas dasabordagens propostas na literatura;

Ilustrar como utilizar duas dessasabordagens: parametrização, restriçõesimpostas e implementação em LISREL 8.8(Julho de 2006);

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 6/20

Objectivo desta Apresentação

Apresentar resumidamente algumas dasabordagens propostas na literatura;

Ilustrar como utilizar duas dessasabordagens: parametrização, restriçõesimpostas e implementação em LISREL 8.8(Julho de 2006);

Comparar os resultados obtidos (estimativase standard errors para o exemplo motivadorapresentado).

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 6/20

Principais abordagens na literatura

Diferentes estratégias para criar a variávellatente de interacção e impôr restrições nãolineares ao modelo têm sido propostas;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 7/20

Principais abordagens na literatura

Diferentes estratégias para criar a variávellatente de interacção e impôr restrições nãolineares ao modelo têm sido propostas;

Marsh et al. (2004) e Schumacker & Lomax(2004) - 2 abrangentes revisões de literatura;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 7/20

Principais abordagens na literatura

Diferentes estratégias para criar a variávellatente de interacção e impôr restrições nãolineares ao modelo têm sido propostas;

Marsh et al. (2004) e Schumacker & Lomax(2004) - 2 abrangentes revisões de literatura;

Não existência de consenso na abordagemseguir + difícil implementação nos softwares= muito poucos aplicações publicados,apesar do crescente interesse . . . ;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 7/20

Principais abordagens na literatura

Diferentes estratégias para criar a variávellatente de interacção e impôr restrições nãolineares ao modelo têm sido propostas;

Marsh et al. (2004) e Schumacker & Lomax(2004) - 2 abrangentes revisões de literatura;

Não existência de consenso na abordagemseguir + difícil implementação nos softwares= muito poucos aplicações publicados,apesar do crescente interesse . . . ;

originariamente LISREL = linear structuralrelationships . . .

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 7/20

Multiple-group approach

a relação linear entre a variável independentee a dependente é especificada para asdiferentes categorias da variável moderadora- categorial vs. contínua discretizada . . .

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 8/20

Multiple-group approach

a relação linear entre a variável independentee a dependente é especificada para asdiferentes categorias da variável moderadora- categorial vs. contínua discretizada . . .

vantagem: muito fácil de implementar -análise multigrupos em SEM: o mesmomodelo é testado nas sub-amostras, asestimativas obtidas são comparadas;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 8/20

Multiple-group approach

a relação linear entre a variável independentee a dependente é especificada para asdiferentes categorias da variável moderadora- categorial vs. contínua discretizada . . .

vantagem: muito fácil de implementar -análise multigrupos em SEM: o mesmomodelo é testado nas sub-amostras, asestimativas obtidas são comparadas;

desvantagens: não é possível obterestimativa directa do efeito interacção;sub-amostras demasiado pequenas parapermitir conclusões.

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 8/20

Product indicant approach

Incorporar no modelo uma variável latenteque represente o efeito interacção;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 9/20

Product indicant approach

Incorporar no modelo uma variável latenteque represente o efeito interacção;

Como escolher os indicadores de medida?Produtos de pares de indicadores? Quais?Todos ⇒ muitos parâmetros a estimar;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 9/20

Product indicant approach

Incorporar no modelo uma variável latenteque represente o efeito interacção;

Como escolher os indicadores de medida?Produtos de pares de indicadores? Quais?Todos ⇒ muitos parâmetros a estimar;

Contudo os novos indicadores produtodeixam de ter distribuição normal, comimplicações nos standard errors estimados;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 9/20

Product indicant approach

Incorporar no modelo uma variável latenteque represente o efeito interacção;

Como escolher os indicadores de medida?Produtos de pares de indicadores? Quais?Todos ⇒ muitos parâmetros a estimar;

Contudo os novos indicadores produtodeixam de ter distribuição normal, comimplicações nos standard errors estimados;

Dificuldade de parametrização do modelo ⇒

impôr restrições “à mão” no ficheiro desintaxe - o que pode desencorajar muitosutilizadores. . . XIV CONGRESSO DA SPE – p. 9/20

Latent variable scores approach

Sugerido por Jöreskog (2000, 2006). Paraestimar os scores das variáveis latentes oLISREL 8.8 usa o método proposto porAnderson & Rubin (1956) para obterestimativas individuais das variáveis latentesdo modelo e estimativas dos erros de medidae das relações estruturais. Os latent variablescores obtidos têm matriz de var/cov idênticaà estimada para as variáveis latentes domodelo de medida;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 10/20

Latent variable scores approach (cont.)Uma das possíveis utilizações dos latentvariable scores é estimar relações nãolineares entre variáveis latentes;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 11/20

Latent variable scores approach (cont.)Uma das possíveis utilizações dos latentvariable scores é estimar relações nãolineares entre variáveis latentes;

É mais fácil de implementar do que o productindicant approach; não é preciso especificarrestrições não lineares; o que é tanto maisimportante quanto mais complexo for omodelo em estudo.

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 11/20

Latent variable scores approach (cont.)Uma das possíveis utilizações dos latentvariable scores é estimar relações nãolineares entre variáveis latentes;

É mais fácil de implementar do que o productindicant approach; não é preciso especificarrestrições não lineares; o que é tanto maisimportante quanto mais complexo for omodelo em estudo.

Usaremos em seguida o exemplo motivadoratrás apresentado para ilustrar,comparativamente, duas abordagens.

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 11/20

Exemplo de aplicaçãoDados simulados: 9 variáveis comdistribuição NMV(0,Σ); 500 observações;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 12/20

Exemplo de aplicaçãoDados simulados: 9 variáveis comdistribuição NMV(0,Σ); 500 observações;

Equações do modelo:X = τX + ΛXξ + δ; Θδ = var(δ)

Y = τY + ΛY η + ǫ Θǫ = var(ǫ)

η = α + γ1ξ1 + γ2ξ2 + γ3ξ1ξ2 + ζ Φ = var(ξ)

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 12/20

Exemplo de aplicaçãoDados simulados: 9 variáveis comdistribuição NMV(0,Σ); 500 observações;

Equações do modelo:X = τX + ΛXξ + δ; Θδ = var(δ)

Y = τY + ΛY η + ǫ Θǫ = var(ǫ)

η = α + γ1ξ1 + γ2ξ2 + γ3ξ1ξ2 + ζ Φ = var(ξ)

X1

X2

X3

X6

X5

X4

ksi1

ksi2

etainter12

Y1

Y2

Y3

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 12/20

Exemplo - Product indicant approachIndicadores da variável latente inter12:X14 = X1 ∗ X4; X25 = X2 ∗ X5; X36 = X3 ∗ X6;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 13/20

Exemplo - Product indicant approachIndicadores da variável latente inter12:X14 = X1 ∗ X4; X25 = X2 ∗ X5; X36 = X3 ∗ X6;

Testes de Normalidade UnivariadaSkewness Kurtosis Skewness & Kurtosis

Variable Z-Score P-Value Z-Score P-Value Chi-Square P-Value

X1 -1.638 0.101 -0.215 0.830 2.730 0.255

X2 -0.031 0.975 0.829 0.407 0.688 0.709

X3 0.926 0.355 1.990 0.047 4.816 0.090

X4 -0.746 0.456 -1.865 0.062 4.034 0.133

X5 1.165 0.244 0.513 0.608 1.620 0.445

X6 0.531 0.595 2.039 0.041 4.438 0.109

X14 6.845 0.000 6.934 0.000 94.943 0.000

X25 12.103 0.000 9.622 0.000 239.070 0.000

X36 12.897 0.000 10.887 0.000 284.857 0.000

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 13/20

Ex. Product indicant approach (cont.)

Especificação dos parâmetros do modelo:

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 14/20

Ex. Product indicant approach (cont.)

Especificação dos parâmetros do modelo:

Y1

Y2

Y3

=

τY

1

τY

2

τY

3

+

1

λY

2

λY

3

η +

ǫ1

ǫ2

ǫ3

; com Θǫ = diag

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 14/20

Ex. Product indicant approach (cont.)

Especificação dos parâmetros do modelo:

Y1

Y2

Y3

=

τY

1

τY

2

τY

3

+

1

λY

2

λY

3

η +

ǫ1

ǫ2

ǫ3

; com Θǫ = diag

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X1X4

X2X5

X3X6

=

τ1

τ2

τ3

τ4

τ5

τ6

τ1τ4

τ2τ5

τ3τ6

+

1 0 0

λ2 0 0

λ3 0 0

0 1 0

0 λ5 0

0 λ6 0

τ4 τ1 1

τ5λ2 τ2λ5 λ2λ5

τ6λ3 τ3λ6 λ3λ6

ξ1

ξ2

ξ1ξ2

+

δ1

δ2

δ3

δ4

δ5

δ6

δ1τ4 + δ4τ1

δ2τ5 + δ5τ2

δ3τ6 + δ6τ3

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 14/20

Ex. Product indicant approach (cont.)

Θδ =

θ1

0 θ2

0 0 θ3

0 0 0 θ4

0 0 0 0 θ5

0 0 0 0 0 θ6

τ4θ1 0 0 τ1θ4 0 0 θ7

0 τ5θ2 0 0 τ2θ5 0 0 θ8

0 0 τ6θ3 0 0 τ3θ6 0 0 θ9

;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 15/20

Ex. Product indicant approach (cont.)

Θδ =

θ1

0 θ2

0 0 θ3

0 0 0 θ4

0 0 0 0 θ5

0 0 0 0 0 θ6

τ4θ1 0 0 τ1θ4 0 0 θ7

0 τ5θ2 0 0 τ2θ5 0 0 θ8

0 0 τ6θ3 0 0 τ3θ6 0 0 θ9

;

com θ7 = τ2

4θ1 + τ2

1θ4 + φ11θ4 + φ22θ1 + θ1θ4;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 15/20

Ex. Product indicant approach (cont.)

Θδ =

θ1

0 θ2

0 0 θ3

0 0 0 θ4

0 0 0 0 θ5

0 0 0 0 0 θ6

τ4θ1 0 0 τ1θ4 0 0 θ7

0 τ5θ2 0 0 τ2θ5 0 0 θ8

0 0 τ6θ3 0 0 τ3θ6 0 0 θ9

;

com θ7 = τ2

4θ1 + τ2

1θ4 + φ11θ4 + φ22θ1 + θ1θ4;

θ8 = τ2

5θ2 + τ2

2θ5 + λ2

2φ11θ5φ22θ2 + θ2θ5;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 15/20

Ex. Product indicant approach (cont.)

Θδ =

θ1

0 θ2

0 0 θ3

0 0 0 θ4

0 0 0 0 θ5

0 0 0 0 0 θ6

τ4θ1 0 0 τ1θ4 0 0 θ7

0 τ5θ2 0 0 τ2θ5 0 0 θ8

0 0 τ6θ3 0 0 τ3θ6 0 0 θ9

;

com θ7 = τ2

4θ1 + τ2

1θ4 + φ11θ4 + φ22θ1 + θ1θ4;

θ8 = τ2

5θ2 + τ2

2θ5 + λ2

2φ11θ5φ22θ2 + θ2θ5;

θ9 = τ2

6θ3 + τ2

3θ6 + λ2

3φ11θ6 + λ2

6φ22θ3 + θ3θ6;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 15/20

Ex. Product indicant approach (cont.)

Θδ =

θ1

0 θ2

0 0 θ3

0 0 0 θ4

0 0 0 0 θ5

0 0 0 0 0 θ6

τ4θ1 0 0 τ1θ4 0 0 θ7

0 τ5θ2 0 0 τ2θ5 0 0 θ8

0 0 τ6θ3 0 0 τ3θ6 0 0 θ9

;

com θ7 = τ2

4θ1 + τ2

1θ4 + φ11θ4 + φ22θ1 + θ1θ4;

θ8 = τ2

5θ2 + τ2

2θ5 + λ2

2φ11θ5φ22θ2 + θ2θ5;

θ9 = τ2

6θ3 + τ2

3θ6 + λ2

3φ11θ6 + λ2

6φ22θ3 + θ3θ6;

E[ξ] =

0

0

φ21

; Φ =

φ11

φ21 phi22

0 0 φ11φ22 + φ2

21

.

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 15/20

Ex. Product indicant approach (cont.)Depois de especificar manualmente estasrestrições no ficheiro de sintaxe . . . ,finalmente as estimativas:

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 16/20

Ex. Product indicant approach (cont.)Depois de especificar manualmente estasrestrições no ficheiro de sintaxe . . . ,finalmente as estimativas:

γ1 γ2 γ3

Estimativa 0.093 0.147 -0.03Stand Error 0.028 0.028 0.027

t-value 3.271 5.162 -1.118

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 16/20

Ex. Product indicant approach (cont.)Depois de especificar manualmente estasrestrições no ficheiro de sintaxe . . . ,finalmente as estimativas:

γ1 γ2 γ3

Estimativa 0.093 0.147 -0.03Stand Error 0.028 0.028 0.027

t-value 3.271 5.162 -1.118

Depois de todo este trabalho γ3 não ésignificativa, indício de que não existe efeitointeracção!

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 16/20

Ex. Latent variable scores approachi) Estimar o modelo de medida

Y1

Y2

Y3

X1

X2

X3

X4

X5

X6

eta

ksi1

ksi2

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 17/20

Ex. Latent variable scores approachi) Estimar o modelo de medida

Y1

Y2

Y3

X1

X2

X3

X4

X5

X6

eta

ksi1

ksi2

ii) obter e gravar os latent variable scores deksi1 e ksi2 e computar a variável latente deinteracção (como um produto de scores);

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 17/20

Ex. LV scores approach (cont.)

iii) Estimar os coeficientes γ do modelo deregressão, com base nos latent variablescores anteriormente obtidos.

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 18/20

Ex. LV scores approach (cont.)

iii) Estimar os coeficientes γ do modelo deregressão, com base nos latent variablescores anteriormente obtidos.

É uma metodologia muito fácil deimplementar em LISREL, mas . . . osparâmetros do modelo não são todosestimados simultaneamente.

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 18/20

Comparação das duas abordagensComparação das estimativas obtidas pelasduas abordagens - coeficientes de regressão

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 19/20

Comparação das duas abordagensComparação das estimativas obtidas pelasduas abordagens - coeficientes de regressão

γ1 γ2 γ3

Product indicant Estimativa 0.093 0.147 -0.03approach Stand Error 0.028 0.028 0.027

LV scores Estimativa 0.10 0.150 -0.029approach Stand Error 0.023 0.019 0.022

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 19/20

Comparação das duas abordagensComparação das estimativas obtidas pelasduas abordagens - coeficientes de regressão

γ1 γ2 γ3

Product indicant Estimativa 0.093 0.147 -0.03approach Stand Error 0.028 0.028 0.027

LV scores Estimativa 0.10 0.150 -0.029approach Stand Error 0.023 0.019 0.022

As estimativas obtidas para os γs são muitosemelhantes mas os standard errors. . .

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 19/20

Discussão

A robustez dos standard errors merece sermais investigada . . . não há normalidade dealguns dos indicadores, a estimação MLfalha. . . ;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 20/20

Discussão

A robustez dos standard errors merece sermais investigada . . . não há normalidade dealguns dos indicadores, a estimação MLfalha. . . ;

A forma funcional de interacção pode não sernecessariamente um efeito multiplicativo -outro tipo de efeitos de interacção em SEM éuma área de investigação em aberto;

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 20/20

Discussão

A robustez dos standard errors merece sermais investigada . . . não há normalidade dealguns dos indicadores, a estimação MLfalha. . . ;

A forma funcional de interacção pode não sernecessariamente um efeito multiplicativo -outro tipo de efeitos de interacção em SEM éuma área de investigação em aberto;

A comparação das estimativas do LISRELcom as de outros softwares de SEM mereceser analisada.

XIV CONGRESSO DA SPE – p. 20/20