Níveis de energia do átomo de Hélio

PPGFIS – Estágio Supervisionado em Prática de Docência

Leticia da Silva Maioli

21 de Novembro de 2019

H = H0 +W

H0 =𝑷𝟏2

2𝑚𝑒+

𝑷𝟐2

2𝑚𝑒+ 𝑉𝑐 𝑅1 + 𝑉𝑐(𝑅2)

W = −2𝑒2

𝑅1−2𝑒2

𝑅2+

𝑒2

𝑹𝟏 − 𝑹𝟐− 𝑉𝑐 𝑅1 − 𝑉𝑐(𝑅2)

O Hamiltoniano

𝑉𝑐 𝑟 é escolhido de modo que 𝑊 seja uma pequena correção de 𝐻0.

Os níveis de energia de 𝐻0 definem as configurações eletrônicas.

onde

++

−

−

𝑹𝟏

𝑹𝟐

𝑹𝟏 − 𝑹𝟐

Ec = E𝑛,𝑙 + 𝐸𝑛′,𝑙′

Estado fundamental

1º estado excitado

2º estado excitado

E

Estados fundamental e excitados

Um estado pertencente a dada configuração é definido por (𝑛, 𝑙, 𝑚, 휀) e

(𝑛′, 𝑙′, 𝑚′, 휀′).

| 𝑛, 𝑙,𝑚, 휀; 𝑛′, 𝑙′, 𝑚′, 휀′ =1

21 − 𝑃21 | 1: 𝑛, 𝑙, 𝑚, 휀; 2: 𝑛′, 𝑙′, 𝑚′, 휀′

Princípio de Pauli exclui os estados do sistema onde ambos os elétrons

encontram-se em mesmo estado quântico individual (𝑛 = 𝑛′, 𝑙 = 𝑙′,𝑚 = 𝑚′, 휀 = 휀′ ).

A degenerescência das configurações

A degenerescência da configuração 𝑛 𝑙 , 𝑛′ 𝑙′

𝑛 ≠ 𝑛′ e 𝑙 ≠ 𝑙′ :

2 2𝑙 + 1 × 2 2𝑙′ + 1 = 4(2𝑙 + 1)(2𝑙′ + 1)

Configuração 1s, 2s Degenerescência = 4

Configuração 1s, 2p Degenerescência = 12

𝑛 = 𝑛′, 𝑙 = 𝑙′ :

𝐶2(2𝑙+1)2 = (2𝑙 + 1)(4𝑙 + 1)

Configuração 1𝑠2 não é degenerado.

| 1𝑠2 = | 1: 1, 0, 0 ; 2: 1, 0, 0 ⨂1

2(| 1: + ; 2: − − | 1:− ; 2: +

A degenerescência das configurações

𝑊,𝑳 =𝑒2

𝑅12, 𝑳 = 0 𝑊, 𝑺 = 0

Usando teoria de perturbação estacionária, buscamos diagonalizar a

matriz de 𝑊 no subespaço ℰ 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ . Seus autovalores correspondem

às correções na Energia da configuração 𝐸𝑐.

Os operadores 𝑳𝟐, 𝑺𝟐, 𝐿𝑧, 𝑆𝑧 comutam entre si e com 𝑊.

Formam C.C.O.C. no subespaço ℰ 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ?

| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 = 𝑐 1 − 𝑃21 { 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛′, 𝑙′ ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆 }

{ 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛′, 𝑙′ ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆 }

Considerando a base do subespaço ℰ𝑛,𝑙 1 ⨂ℰ𝑛′,𝑙′ 2

𝑳𝟐, 𝑺𝟐, 𝐿𝑧, 𝑆𝑧formam C.C.O.C. no subespaço ℰ 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ? Sim.

𝑃21𝑆| 1: 휀 ; 2: 휀′ = | 1: 휀′ ; 2: 휀

𝑃21𝑆| 𝑆 ;𝑀𝑆 = −1 𝑆+1| 𝑆 ;𝑀𝑆

𝑃21 = 𝑃21(0)

⨂𝑃21𝑆

| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 =

= 𝑐 1 − −1 𝑆+1 𝑃210 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛′, 𝑙′ ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆

Operador permutação:

Capítulo X:

Nem sempre a dimensão do subespaço ℰ(𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ) é igual a dimensão

de ℰ𝑛,𝑙 1 ⨂ ℰ𝑛,′ 𝑙′ 2 .

𝑛 ≠ 𝑛′ e 𝑙 ≠ 𝑙′

Todos os valores de L e S são possíveis.

Configuração 1𝑠2𝑠𝑆 = 0 e 𝐿 = 0𝑆 = 1 e 𝐿 = 1

Configuração 1𝑠2𝑝

Nem sempre a dimensão do subespaço ℰ(𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ) é igual a dimensão

de ℰ𝑛,𝑙 1 ⨂ ℰ𝑛,′ 𝑙′ 2 .

𝑛 = 𝑛′ e 𝑙 = 𝑙′

𝑙, 𝑙 ;𝑚,𝑚′ | 𝐿 ,𝑀𝐿 = −1 𝐿 𝑙, 𝑙 ;𝑚′, 𝑚 | 𝐿 ,𝑀𝐿

𝑃21(0)

| 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛, 𝑙 ; 𝐿,𝑀𝐿 = −1 𝐿| 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛, 𝑙 ; 𝐿,𝑀𝐿

| 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛′, 𝑙′ ; 𝐿,𝑀𝐿 =

𝑚

𝑚′

𝑙, 𝑙 ; 𝑚,𝑚′ | 𝐿 ,𝑀𝐿 | 1: 𝑛, 𝑙, 𝑚 ; 2: 𝑛,′ 𝑙′, 𝑚′

Do Capítulo X, sabemos que:

Nem sempre a dimensão do subespaço ℰ(𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ ) é igual a dimensão

de ℰ𝑛,𝑙 1 ⨂ ℰ𝑛,′ 𝑙′ 2 .

𝑛 = 𝑛′ e 𝑙 = 𝑙′

| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛 , 𝑙 ; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 =

= 𝑐 1 − −1 𝑆+𝐿+1 1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛 , 𝑙 ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆

| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛 , 𝑙 ; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 = 0, se 𝐿 + 𝑆 for ímpar

1: 𝑛, 𝑙 ; 2: 𝑛 , 𝑙 ; 𝐿,𝑀𝐿 ⨂ 𝑆 ,𝑀𝑆 , se 𝐿 + 𝑆 for par

Configuração 1𝑠2 tem 𝐿 = 0, mas 𝑆 = 1 não é permitido.

𝛿(𝐿, 𝑆) = 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆|𝑊| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆

W diagonal na base {| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 } com autovalores:

Cada configuração 𝑛 𝑙, 𝑛′ 𝑙′ tem níveis de energia 𝐸𝑐 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ +𝛿 𝐿, 𝑆 com degenerescência igual a 2𝐿 + 1 2𝑆 + 1 .

Termos Espectrais

2𝑆 + 1

L

Termos Espectrais

𝛿(𝐿, 𝑆) = 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆|𝑊| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆

W diagonal na base {| 𝑛 , 𝑙 ; 𝑛′, 𝑙′; 𝐿 ,𝑀𝐿 ; 𝑆 ,𝑀𝑆 } com autovalores:

Cada configuração 𝑛 𝑙, 𝑛′ 𝑙′ tem níveis de energia 𝐸𝑐 𝑛, 𝑙; 𝑛′, 𝑙′ +𝛿 𝐿, 𝑆 com degenerescência igual a 2𝐿 + 1 2𝑆 + 1 .

Termos Espectrais

2𝑆 + 1

L

Configuração 1𝑠2 S

Configuração 1𝑠2𝑠 S , S

Configuração 1𝑠2𝑝 P , P

1

1 3

31

Termos Espectrais

Configuração 𝟏𝒔𝟐𝒔

𝑙 = 𝑙′ = 𝐿 = 0

| 1: 𝑛 = 1, 𝑙 = 0 ; 2: 𝑛′ = 2 , 𝑙′ = 0 ; 𝐿 = 𝑀𝐿 = 0 = |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠

𝛿 𝑆 =1

2 1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠|(1 − 𝑃21

0) 𝑊(1 − 𝑃21

0) |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠

𝛿 𝑆 =1

2 1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠|(1 + 𝑃21

0) 𝑊(1 + 𝑃21

0) |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠

3

1

Como 𝑃210,𝑊 = 0, temos que:

1 ± 𝑃210

𝑊 1± 𝑃210

= 1 ± 𝑃210

2𝑊 = 2 1 ± 𝑃21

0𝑊

Configuração 𝟏𝒔𝟐𝒔

𝛿 𝑆 = 1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠| 1 − 𝑃210

𝑊 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠 =

= 1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠|𝑊 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠 − 1: 2𝑠 ; 2: 1𝑠|𝑊 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠

3

𝑲 𝓙

𝛿 𝑆 = 𝐾 − 𝒥

𝛿 𝑆 = K + 𝒥

3

1

Configuração 𝟏𝒔𝟐𝒔

Configuração 𝟏𝒔𝟐𝒔

1: 2𝑠 ; 2: 1𝑠|𝑉𝑐 𝑅1 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠 = 1: 2𝑠|𝑉𝑐 𝑅1 |1: 1𝑠 2: 1𝑠 |2: 2𝑠 = 0

A integral de troca 𝒥

Similarmente para 𝑉𝑐(𝑅2), −2𝑒2/𝑅1 e −2𝑒2/𝑅2.

𝒥 = 1: 2𝑠 ; 2: 1𝑠|𝑒2

𝑅12 |1: 1𝑠 ; 2: 2𝑠

𝜑𝑛,𝑙,𝑚 𝒓 = 𝒓 |𝑛, 𝑙, 𝑚

𝒥 = 𝑑3𝒓𝟏 𝑑3𝒓𝟐 𝜑200∗ 𝒓𝟏 𝜑100

∗ 𝒓𝟐𝑒2

𝑅12𝜑100(𝒓𝟏)𝜑200(𝒓𝟐)

Estrutura Fina e Multipletos

[𝐻𝑆𝐹 , 𝑱] = 0

𝐻𝑆𝐹 , 𝑳 = − 𝐻𝑆𝐹 , 𝑺 ≠ 0

𝐽 = 𝐿 + 𝑆, 𝐿 + 𝑆 − 1,… , |𝐿 − 𝑆|