nÚmeros e operaÇÕes – nÚmeros decimais · ... chama-se média aritmética ponderada ao valor:...

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“Multiplicarei tua posteridade como as estrelas do céu, dar-lhe-ei todas estas regiões, e nelas serão benditas

todas as nações da terra.” Gênesis 26:4

ÍNDICE ESTATÍSTICA .................................................................................................................................................. 2

NÚMEROS E OPERAÇÕES – FRAÇÕES ....................................................................................................... 8

NÚMEROS E OPERAÇÕES – NÚMEROS DECIMAIS .................................................................................. 13

NÚMEROS E OPERAÇÕES – 3ª PARTE ...................................................................................................... 16

MATEMÁTICA COMERCIAL – 1ª PARTE ..................................................................................................... 30

MATEMÁTICA COMERCIAL – 2ª PARTE ..................................................................................................... 37

CÁLCULO ALGÉBRICO ................................................................................................................................ 46

EQUAÇÕES, SISTEMAS E PROBLEMAS .................................................................................................... 51

SISTEMAS MÉTRICOS.................................................................................................................................. 58

CONJUNTOS E PROBLEMAS ...................................................................................................................... 64

PROGRESSÃO ARITMÉTICA ....................................................................................................................... 70

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ..................................................................................................................... 74

RELAÇÕES E FUNÇÕES .............................................................................................................................. 78

FUNÇÃO DO 1º GRAU................................................................................................................................... 83

FUNÇÃO QUADRÁTICA................................................................................................................................ 89

FUNÇÃO EXPONENCIAL .............................................................................................................................. 98

LOGARITMO ................................................................................................................................................ 103

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ESTATÍSTICA Você encontrará mais material para estudo, revisão e aprofundamento em relação a esse assunto em livros

atuais de Matemática do Ensino Médio que abordam o tema “Estatística”.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Representam os conjuntos de dados por seus valores médios, em torno dos quais esses dados tendem a se concentrar. São assim chamadas por serem valores que tendem a se agrupar em torno do centro. Por meio delas podemos caracterizar o fenômeno pesquisado e comparar as diversas populações. Estudaremos as seguintes medidas de tendência central: média aritmética, média aritmética ponderada, moda e mediana.

Média aritmética ( )x

É a medida de tendência central mais utilizada, sendo familiar para a maioria das pessoas. Dizemos que a

média aritmética ( x ) dos valores x1, x2, x3, ..., xn é determinada pelo quociente entre a soma desses valores e a quantidade deles.

nx...xxx

x n321 ++++=

Média aritmética ponderada ( )px

Dados os elementos n21 x,...x,x com os pesos n21 p...p,p , respectivamente, chama-se média aritmética

ponderada ao valor: px , tal que:

n21

nn2211p p...pp

px...pxpxx

+++

+++=

Mediana (Md) É representada pelo “valor central” entre os dados obtidos, estando esses em ordem crescente ou decrescente, dividindo essa distribuição exatamente em duas metades. Para calcular a mediana, primeiramente arranja-se os dados em ordem crescente ou decrescente e em seguida, encontra-se o valor central.

Para os conjuntos com número ímpar de observações, a mediana é encontrada pela fórmula 2

1n +, onde n é

o número de observações. O valor encontrado através da fórmula indica a ordem do termo da distribuição que representa a mediana. Para os conjuntos com quantidade par de termos, a mediana está entre os dois termos centrais. Após identificar esses dois termos, deve-se somá-los e dividir a soma por dois. Moda (Mo) É um valor que se repete o maior número de vezes, entre os dados obtidos. Existem conjuntos bimodais, trimodais, plurimodais... E também existem conjuntos amodais. MEDIDAS DE DISPERSÃO Ao estudar os cálculos de média, mediana e moda, pudemos observar que são medidas de tendência central, ou ainda, são valores em torno dos quais os dados se distribuem. Em Estatística, podemos ter uma idéia de como os dados se distribuem em torno da média, ou seja, se estão muito ou pouco dispersos. Para tanto, basta calcular as medidas de dispersão, a saber, variância e desvio padrão.

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Variância ( )arV

Considerando-se um conjunto de dados, cada dado isolado pode ter um desvio (dispersão) em relação à média. Essa dispersão é a diferença entre o valor individual e a média aritmética do conjunto de dados. Para se avaliar o grau de dispersão de todo o conjunto de dados, utiliza-se a variância, que é a soma dos quadrados dos desvios dividida pela quantidade de termos do conjunto.

( ) ( ) ( ) ( )n

xx...xxxxxxV

2

n

2

3

2

2

2

1ar

−++−+−+−=

Desvio padrão (S) Na variância, os desvios são elevados ao quadrado, por isso a ela é expressa em unidades quadradas, o que tona difícil a sua interpretação. Mais importante que a variância, é o desvio padrão, que indica a dispersão nas mesmas unidades de medidas dos dados originais. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Esse valor indica quanto estão dispersos os dados do conjunto, ou seja, o quanto são diferentes da média. Vale observar que, quanto menor for o desvio padrão, mais próximos estarão os valores do conjunto de dados.

( )arVS =

EXERCÍCIOS

1. (ENEM) No primeiro semestre de 2006, o Movimento Global pela Criança, em parceria com o UNICEF, divulgou o relatório Salvando vidas: o direito das crianças ao tratamento de HIV e AIDS. Nesse relatório, conclui-se que o aumento da prevenção primária ao vírus deverá reduzir o número de novos casos de infecção entre jovens de 15 a 24 anos de idade, como mostra o gráfico a seguir.

Com base nesses dados, analise as seguintes afirmações. I. Ações educativas de prevenção da transmissão do vírus HIV poderão contribuir para a redução, em 2008, de mais de 20% dos novos casos de infecção entre os jovens, em relação ao ano de 2005. II. Ações educativas relativas à utilização de preservativos nas relações sexuais reduzirão em 25% ao ano os novos casos de AIDS entre os jovens. III. Sem o aumento de medidas de prevenção primária, estima-se que, em 2010, o aumento de novos casos de infecção por HIV entre os jovens será, em relação ao ano de 2005, 50% maior. É correto apenas o que se afirma em A) I. B) II. C) III. D) I e II. E) II e III.

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2. (ENEM) A produção agrícola brasileira evoluiu, na última década, de forma diferenciada. No caso da cultura de grãos, por exemplo, verifica-se nos últimos anos um crescimento significativo da produção da soja e do milho, como mostra o gráfico.

Pelos dados do gráfico e possível verificar que, no período considerado, A) a produção de alimentos básicos dos brasileiros cresceu muito pouco. B) a produção de feijão foi a maior entre as diversas culturas de grãos. C) a cultura do milho teve taxa de crescimento superior a da soja. D) as culturas voltadas para o mercado mundial decresceram. E) as culturas voltadas para a produção de ração animal não se alteraram. 3. (PUC-SP adaptada) O gráfico abaixo apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa pequena empresa.

Com os dados disponíveis, é correto concluir que a média desses salários é, aproximadamente, A) R$ 420,00. B) R$ 536,00. C) R$ 562,00. D) R$ 640,00. E) R$ 708,00. 4. (Faap-SP) Nas eleições em 1º turno em todo o país, no dia 3 de outubro de 1996, inaugurou-se o voto eletrônico. Numa determinada seção eleitoral, cinco eleitores demoraram para votar, respectivamente: 1min 04s, 1min 32s, 1min 12s, 1min 52s e 1 min 40s. A média aritmética do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores é A) 1min 28s. B) 1 min 58s. C) 1 min. D) 1 min 04s. E) 2 min 04s.

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5. (UFScar-SP) Em uma pesquisa, foram consultados 600 consumidores sobre sua satisfação em relação a uma certa marca de sabão em pó. Cada consumidor deu uma nota de 0 a 10 para o produto, e a média final das notas foi 8,5. O número mínimo de consumidores que devem ser consultados, além dos que já foram, para que essa média passe para 9, é igual a A) 250. B) 300. C) 350. D) 400. E) 450. 6. (UFJF-MG) Um professor de matemática elaborou, através do computador, um histograma das notas obtidas pela turma em uma prova cujo valor era 5 pontos. Entretanto, o histograma ficou incompleto, pois esse professor esqueceu-se de fornecer o número de alunos que obtiveram notas iguais a 2, 4 ou 5. Veja a ilustração abaixo.

A moda dessas notas é A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. 7. (UFSCar-SP) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte.

Com base nos dados do gráfico, é correto afirmar que A) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos desse mesmo

intervalo de idade. B) o número total de alunos é 19. C) a média da idade das meninas é 16 anos. D) o número de meninos é igual ao número de meninas. E) o número de meninos com idade maior que 15 anos é maior que o número de meninas nesse mesmo

intervalo de idades.

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8. (UFMG) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times era 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68 m de altura. No segundo tempo, outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, foi expulso. Ao terminar a partida, a altura média dos 10 jogadores desse time era A) 1,69 m. B) 1,70 m. C) 1,71 m. D) 1,72 m. 9. Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de freqüências. Nº obtido Freqüência

1 4 2 1 4 2 5 2 6 1

A média, a mediana e a moda dessa distribuição de freqüências são, respectivamente, A) 3, 2 e 1. B) 3, 3 e 1. C) 3, 4 e 2. D) 5, 4 e 2. E) 6, 2 e 4. 10. (UFPR) Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas. Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas. 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se

apresentaram mais heterogêneas. 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente. 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média. IDENTIFIQUE a alternativa correta. A) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. B) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. C) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. D) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. E) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 11. (UFPI) Um professor da disciplina Cálculo I da UFPI observou que a média das notas da turma estava baixa, por isso resolveu aumentar em 1,0 (um) ponto cada nota dos seus alunos. O que se pode afirmar sobre a nova média e o novo desvio padrão dessa turma? A) A média e o desvio padrão permaneceram inalterados. B) Não houve alteração na média, porém o desvio padrão se alterou em 1,0 (um) ponto. C) A média se alterou em 1,0 (um) ponto e não houve alteração no desvio padrão. D) Nada se pode afirmar, pois não se sabe o número de alunos dessa turma. E) Ambas se alteraram em 1,0 (um) ponto.

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12. (ENEM – 2013) O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média.

Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é A) Finlândia. B) Holanda. C) Israel. D) México. E) Rússia.

GABARITO 1. A 2. A 3. E 4. A 5. B 6. D 7. D 8. C 9. B 10. D 11. C 12. C

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NÚMEROS E OPERAÇÕES – FRAÇÕES Você encontrará mais material para estudo, revisão e aprofundamento em relação a esse assunto em livros

de Matemática dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental.

1. Sabe-se que nm

é uma fração na qual m e n são números naturais. Existe um número natural que não

pode ser colocado no lugar de n. Qual é esse número? A) 1000 B) 100 C) 10 D) 1 E) 0

2. Quatro jarros têm o mesmo volume e há água em todos eles: no primeiro, até 43

do seu volume; no

segundo até 32

do seu volume; no terceiro, até 85

do seu volume e no quarto, até 127

do seu volume. Os dois

jarros que contêm maior quantidade de água são A) 1º e 3º. B) 2º e 3º. C) 2º e 4º. D) 1º e 4º. E) 1º e 2º. 3. (Unitau-SP) Numa cidade, a idade média dos homens é de 60 anos. Um garoto de 12 anos já viveu que fração dessa média de idade? A) 1/10. B) 3/20. C) 9/20. D) 1/5. E) 1/20.

4. Do tempo para executar o projeto e a construção de uma casa, 51

foi empregado na elaboração do projeto

e 154

no levantamento de paredes e cobertura. Nessas condições, a fração do tempo correspondente ao

acabamento foi de A) 8/15. B) 17/30. C) 9/15. D) 19/30. E) 23/30.

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5. O valor da expressão 3

74

23

272

31

+−

++

é

A) 3/2. B) 110/213. C) 86/165. D) 9/20. E) 2/3. 6. (PUC-MG) Dividindo-se a quinta parte de três quintos pela terça parte de seis sétimos obtemos a fração A) 3/5. B) 7/18. C) 10/3. D) 18/5. E) 21/50. 7. As fábricas A, B e C despejam diariamente, num rio, um total de 170 quilogramas de certo poluente. A

fábrica A despeja 103

dessa quantidade e a fábrica B despesa o dobro de A. Qual é a quantidade despejada

pela fábrica C, em kg? A) 153 B) 68 C) 17 D) 102 E) 65

8. Um número racional x é expresso por

−

+

××

×

76

1:131

321

23

4

2

3 .Então, x é igual a

A) 45. B) 46. C) 47. D) 49. E) 51.

9. Para cobrir 75

de um pátio empregaram-se 46 360 pisos. Quantos pisos seriam necessários para cobrir

83

do mesmo pátio?

A) 24 339 B) 23 399 C) 22 399 D) 25 399 E) 27 399

10



10. Uma pessoa está pintando um muro. No primeiro dia ela pintou 81

do total e, no segundo dia, pintou o

triplo do que havia feito no primeiro dia. Qual a quantidade do muro que essa pessoa já pintou? A) 40% B) 45% C) 50% D) 55% E) 60%

11. Qual o valor da expressão numérica

×+×

−×

41

152

74

257

101

2516

31

2

?

A) 1/7. B) 7/27. C) 7/10. D) 7/3.

12. Um número x é expresso por 161

21

:7

1921

+

−

× . Esse número racional x está situado entre quais

números naturais? A) 2 e 3. B) 3 e 4. C) 4 e 5. D) 5 e 6. E) 6 e 7. 13. (UNESP-SP) Um prêmio da Sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta cidade, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um contribuído com a mesma importância para fazer a aposta. Nessas condições, a fração do prêmio total que cada apostador da cidade B receberá é A) 1/6. B) 1/8. C) 1/9. D) 1/10. E) 1/12.

14. (PUC-MG) Três operários executaram uma obra. O primeiro fez 41

dessa obra, o segundo fez 32

do

restante e o terceiro fez o que faltava para completar o trabalho. Qual a fração do trabalho executada pelo terceiro? A) 1/12. B) 1/2. C) 1/4. D) 1/6. E) 1/3.

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15. Certo dia, o comparecimento às aulas, em uma classe, foi de 80%. Como faltaram 9 alunos nesse dia, podemos dizer que a classe tem A) 36 alunos. B) 45 alunos. C) 40 alunos. D) 48 alunos. E) 42 alunos.

16. (PUC-MG) O número de segundos contidos em 43

de um dia é

A) 21 600. B) 64 800. C) 32 800. D) 84 000. E) 56 000.

17. Para pintar 85

de uma parede, utilizei 25 litros de tinta. Mantendo esse gasto e sabendo que cada lata

contém 21

2 litros de tinta, quantas latas vou usar para pintar a parede toda?

A) 16 B) 20 C) 17 D) 24 E) 18

18. Um professor de Educação Física fez uma pesquisa e verificou que 43

dos alunos da escola praticavam

esportes. Dentre estes alunos esportistas, apenas 61

gostava de jogar voleibol. Sabendo que 150 alunos

gostavam de jogar voleibol, quantos alunos dessa escola praticavam esportes? A) 1200 B) 1000 C) 900 D) 800 E) 300

19. Durante um torneio de futebol, uma equipe venceu 53

dos jogos que disputou, empatou 31

e perdeu

apenas 2 jogos. Se cada vitória vale 2 pontos e cada empate vale 1 ponto, quantos pontos a equipe acumulou nesse torneio? A) 49. B) 46. C) 45. D) 44. E) 41.

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20. Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um

texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos 1611

do dia, então ele iniciou a digitação do texto às

A) 13h40min. B) 13h20min. C) 13h. D) 12h20min. E) 12h10min. 21. Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3). Sabe-se que o número de

funcionários do setor (2) é igual a 52

do número dos de (3). Se os funcionários do setor (1) são

numericamente iguais a 83

do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a quantidade de

funcionários do setor A) (1) é 284. B) (2) é 150. C) (2) é 180. D) (3) é 350. E) (3) é 380.

22. Suponha que, no instante em que a água de um bebedouro ocupava 85

os de sua capacidade, uma

mesma garrafa foi usada sucessivamente para retirar toda a água do seu interior. Considerando que tal

garrafa equivale a 43

de litro e foram necessárias 45 retiradas de garrafas totalmente cheias d'água até que o

bebedouro ficasse completamente vazio, a capacidade do bebedouro, em metros cúbicos, era A) 0,054. B) 0,06. C) 0,54. D) 0,6. E) 5,4. 23. (PUC – 2013) Somente dois quintos dos 2 500 habitantes de certo bairro têm Ensino Médio completo. Uma pesquisa mostra que de cada 100 pessoas com Ensino Médio, apenas 54 conseguem emprego. Com base nesses dados, pode-se estimar que o número de pessoas desse bairro que completaram o Ensino Médio e que conseguiram emprego é A) 460. B) 540. C) 620. D) 780.

GABARITO 1. E 2. E

3. D 4. A

5. E 6. E

7. C 8. D

9. A 10. C

11. B 12. D

13. E 14. C

15. B 16. B

17. A 18. C

19. B 20. A 21. D 22. A 23. B

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NÚMEROS E OPERAÇÕES – NÚMEROS DECIMAIS Você encontrará mais material para estudo, revisão e aprofundamento em relação a esse assunto em livros

de Matemática dos 6º, 7º e 9º anos do Ensino Fundamental.

1. Um número x é dado por ( ) 32 10:1006,012 ×× . Então x é igual a

A) 0,72. B) 0,0072. C) 7,2. D) 0,072. E) 0,00072 2. O número que representa a expressão (2 : 0,002) é A) 10. B) 10². C) 10³. D) 104. E) 105.

3. Dentre os números 1% 101

;(0,1)²; 0,2; 0,02 e 10%, quantos são iguais a 0,1?

A) 4. B) 3. C) 2. D) 1. E) 0. 4. Um pacote tem 3,5 quilogramas. Um segundo pacote tem a metade dessa massa. Quantos quilogramas tem o segundo pacote? A) 1,75. B) 1,05. C) 17,5. D) 7. E) 1,25. 5. (UNESP-SP) Uma pipa de vinho enche 63 garrafas de 0,7 litro cada uma. Quantas garrafas de 0,9 litro a pipa pode encher? A) 40 B) 49 C) 54 D) 72 E) 81 6. Sabe-se que 8:)221,07,0(x ×+= . Quanto vale 10x?

A) 11,2. B) 0,14. C) 1,4. D) 0,014. E) 1,12.

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7. Qual é o valor da expressão 2)4,0(:)2,14,12,3(10 ×−− ?

A) 0,5. B) 0,05. C) 5. D) 1,5. 8. Um reservatório de 6 metros cúbicos de capacidade está com 50% de seu volume de água ocupados. Na base do reservatório há uma válvula que escola 0,02 metro cúbico de água por minuto. Quantos minutos a válvula deve ficar aberta para escoar toda a água que há nesse reservatório? A) 150 B) 100 C) 90 D) 120 E) 180 9. Qual é o próximo termo da sequência 40; 10; 2,5;...? A) 1,25. B) 0,0625. C) 0,625. D) 0,125. E) NA. 10. Quanto são 5/6 (cinco sextos) de uma distância de 52,032 km? A) 8,672 km B) 26,016 km C) 4,336 km D) 43,36 km E) 34,36 km 11. Se )25,142:9(x ×+= e )4:4,605,12(y −×= , então a expressão xy vale

A) 47,5. B) 4,75. C) 45,7. D) 3,75. E) 0,475.

12. A representação decimal da expressão 200

123

)2,0(03,085 3

−+−+ é

A) 2,142. B) 1,142. C) 21,42. D) 11,42. E) 0,2142. 13. Um número x vale [ ]63,0:)52,13(4,1 −×+× . Esse número x representa o quadrado do número natural

A) 4. B) 5. C) 6. D) 8. E) 18.

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14. O valor da expressão 1,17,02

2,03,1+×

+é

A) 6. B) 0,6. C) 0,06. D) 0,006. 15. Um colégio tem 2100 alunos, dos quais 55% têm menos de 12 anos. Quantos alunos têm menos de 12 anos? A) 1055. B) 1245. C) 1255. D) 1145. E) 1155. 16. Um rolo de fio tem 9,9 kg. Um metro desse mesmo fio tem 0,55 kg. Se esse fio é usado para fazer peças de 0,72 metro de comprimento, quantas peças podem ser feitas com o rolo completo de fio? A) 18. B) 20. C) 21. D) 25. E) 30. 17. (ENEM – 2013) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:

O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de A) 8,35. B)12,50. C) 14,40. D) 15,35. E) 18,05.

GABARITO 1. D 2. C

3. D 4. A

5. B 6. C

7. A 8. A

9. C 10. D 11. B 12. A 13. C 14. B 15. E 16. D 17. D

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NÚMEROS E OPERAÇÕES – 3ª PARTE MÚLTIPLOS E DIVISORES • Sendo a e b (b ≠ 0) números naturais, numa divisão exata de a e b, é correto afirmar que

o b é divisor de a o a é divisível por b o a é múltiplo de b

• Múltiplos: Para acharmos os múltiplos de um número, devemos multiplicá-los por cada elemento do

conjunto dos números naturais. • Números primos: São números naturais maiores que 1, que só admitem dois divisores naturais distintos. • Números compostos: São números naturais maiores que 1, que admitem mais de dois divisores nautrais

distintos. • Números primos entre si: Se o maior divisor comum entre números naturais é o 1, eles são primos entre

si. • Observações:

o Para verificar se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos ordenados sucessivamente até obtermos um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhuma das divisões for exata, o número é primo.

o 0 e 1 não são primos nem compostos. DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

Ex: Fatorar o número 120

DETERMINAÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO • Quais são os divisores de 120?

• Quantos são os divisores de 120?

120 = 2 3 x 3 x 5. Portanto, o número de divisores de 120 será (3 + 1)x(1 + 1)x(1 + 1) = 16 divisores.

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MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) • MDC de 2 ou mais números é o maior dos elementos da intersecção dos conjuntos divisores desses

números. • Cálculo do MDC pela decomposição em fatores primos: Fatoram-se os números. O MDC será igual ao

produto dos fatores comuns, elevados aos menores expoentes. • Cálculo do MDC pelas divisões sucessivas (Algorítmo de Euclides)

Ex: Calcular o MDC de 64 e 10

MDC (64, 10) = 2 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) • O MMC de dois ou mais números é o menor dos elementos (excluindo o zero) da interseção dos

conjuntos dos múltiplos desses números. • Cálculo do MMC pela decomposição em fatores primos: Fatoram-se os números dados e o MMC será

igual ao produto dos fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. • Cálculo do MMC pela Decomposição Simultânea

Ex.: Calcular o MMC de 10, 18 e 24

mmc (10, 18, 24) = 360532 23=⋅⋅

• Propriedades do MMC

1) mmc (a, b) = mmc (b, a) 2) mmc (a, b) = a . b � a e b são primos entre si 3) Se a é múltiplo de b � mmc (a, b) = a 4) Os múltiplos comuns de dois ou mais números são múltiplos de seu mmc.

• Relação entre MDC e MMC

O produto do MDC pelo MMC de dois números é igual ao produto desses números. ba)b,a(MMC)b,a(MDC ⋅=⋅

POTENCIAÇÃO

Se a ( )1nNneR >∈∈ , então:

a...aaaan⋅⋅=

n fatores

Casos particulares

1a

aa0

1

=

=

• Potência de expoente negativo

( )0aa1

an

n≠=

−

• Potência de expoente fracionário

*n mnm

nem,aa Ζ∈Ζ∈=

18



• Propriedades das potências

Dados: Ζ∈∈⋅ n,meRba temos:

1) nmnm aaa +=⋅

2) nmnm aa:a −=

3) ( )nnn baba ⋅=⋅

4) n

n

n

ba

b

a

=

5) ( ) nmnm aa ⋅=

Atenção!

( ) 96323

33

22porque22

278

38

porque32

32

2

≠≠

≠

≠

RADICIAÇÃO • Definição

Dados 2neRb,Ra ≥∈∈

abba nn =⇔=

• Propriedades

Dados :temos,NneRb,a **∈∈

1) nnn baba ⋅=⋅

2) nn

n

ba

b

a=

3) n pmp

n m aa ⋅=

4) mnn m aa ⋅=

• Potência de expoente racional

n mnm

aa =

• Radicais semelhantes: Dois ou mais radicais são semelhantes quando possuem o mesmo índice e

radicando. • Redução de radicais ao mesmo índice

Ex.: 43 2,2,2 ; mmc ( ) 124,3,2 =

1212 43 1622 == ; 1212 34 822 == ; 1212 6 6422 == OPERAÇÕES COM RADICAIS • Adição e Subtração: Só podemos somar e subtrair radicais semelhantes • Multiplicação e Divisão: Só podemos multiplicar e dividir radicais com mesmo índice. • Racionalização do denominador de uma fração

o 1º caso: 3

32

33

32

3

2=

⋅=

o 2º caso: 2

45

2

45

22

25

2

5 3

3 3

3

3 23

3 2

3==

⋅

⋅=

Atenção!

�� Não existe em R raiz de índice par de números negativos ( )R4 ∉−

�� 39nãoe39 ±==

19



o 3º caso: ( )

( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

23524

23524

252524

52

524

5252

524

52

422

−−=

−

−=

−

−=

−

−=

−+

−=

+

Você encontrará mais material para estudo, revisão e aprofundamento em relação a esse assunto em livros

de Matemática dos 6º, 7º, 8º e 9º anos do Ensino Fundamental.

EXERCÍCIOS

1. Sabe-se que 2 x x 5 y x 9 = 180 000. Portanto, os valores de x e y são, respectivamente, A) 4 e 3. B) 4 e 6. C) 5 e 3. D) 5 e 4. E) 5 e 6. 2. (UFMG) Um número é da forma “3a7b”. Sabendo-se que este número é divisível por 25 e por 9, os algarismos a e b são respectivamente A) 3 e 5. B) 6 e 5. C) 3 e 7. D) 0 e 8. E) 5 e 3.

3. (UFMG) Sejam os conjuntos { } { }zn,n3x:zxBezn,3n6x:zxA ∈=∈=∈+=∈= . Então, BA ∩ é igual a

A) 3demúltiploeímparéx:zx ∈ .

B) 3demúltiploeparéx:zx ∈ .

C) 3demúltiploéx:zx∈ .

D) .9demúltiploéx:zx ∈

E) ímparéx:zx ∈ .

4. (UFMG) Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. DETERMINE o maior valor possível para x + y. A) 36 B) 34 C) 30 D) 25 E) 33 5. (FUVEST-SP) Seja A o conjunto dos 2009 primeiros números naturais estritamente positivos. Quantos múltiplos de 15 pertencem ao conjunto A? A) 105 B) 125 C) 133 D) 142

20



6. (FUVEST-SP) Quantos elementos do conjunto A, do exercício 5, não são múltiplo nem de 3 nem de 5? A) 1203 B) 1072 C) 1070 D) 937

7. (UFMG) Sabe-se que o número 213 -1 é primo. Seja .162n 17−= No conjunto dos números naturais, o

número de divisores de n é A) 6. B) 10. C) 5. D) 8.

8. Se a é um número real estritamente positivo e ( ) ( )

2aaaaaa

y23

23323223

++

+++= então

A) y = a. B) y = 4a³. C) y = a5. D) y = 2a². E) y = a6. 9. (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é A) 9. B) 7. C) 8. D) 10. 10. (UFMG) O menor número inteiro n pelo qual se deve multiplicar 1188 para se obter um número divisível por 504 é tal que A) 6n1 <≤ . B) 10n7 <≤ . C) 20n10 <≤ . D) 30n20 <≤ . 11. (UFMG) Dois terrenos de 21.600 m² e 16.800 m² são loteados em lotes iguais com a maior área possível e sem perda de terreno. O número de lotes obtidos é A) 8. B) 16. C) 24. D) 32. E) 48.

12. (UFMG) Simplificando a expressão 36 10.5,20049,0109 ⋅⋅⋅− obtém-se

A) 0,0105. B) 0,00105. C) 0,105. D) 0,000105.

21



13. 4222 +++ é igual a

A) 3 .

B) 2± .

C) 22+ . D) 2.

14. 432 equivale a

A) 24 .

B) 2916 .

C) 4 24 .

D) 192 .

15. Racionalizando 5 23

4 tem-se

A) 5 54 .

B) 5 33

4.

C) 332 3

.

D) 3345 3

.

16. Simplificando a expressão 23

2

23

1

+−

− obtemos

A) 1.

B) 323 − .

C) 23 .

D) 33 .

17. Uma forma simplificada de ( )9999 4444 +++ é

A) 364 .

B) 104 .

C) 184 .

D) 294 .

18. (UFMG) Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é 125, o resto é A) 4. B) 5. C) 6. D) 7. E) 8.

22



19. (UFMG) Dois ciclistas percorrem a pista circular de um velódromo no mesmo sentido. O primeiro percorre-a em 36 s e o segundo, em 30 s. Se os ciclistas partiram juntos, encontrar-se-ão novamente, pela primeira vez, no ponto de partida, depois de terem dado, respectivamente, o seguinte número de voltas: A) 5 e 6. B) 6 e 5. C) 10 e 12. D) 12 e 10. E) 30 e 36. 20. (UFMG) A partir de 7 horas, as saídas de ônibus de BH para Itabira, Barbacena e Patos de Minas obedecem ao seguinte horário:

• Para Itabira, de 20 em 20 minutos. • Para Barbacena, de 30 em 30 minutos. • Para Patos, de 50 em 50 minutos.

Depois de quanto tempo, após as 7 horas, saem simultaneamente, pela primeira vez, os três ônibus? A) 4 h 30 minutos. B) 5 horas. C) 12 horas. D) 1 hora.

21. (PUC) O valor da expressão 33 3 105108y −−

⋅⋅⋅= é

A) 40. B) 40 x 10². C) 40-2. D) 4 x 10-3. E) 40 x 10-3.

22. (UFMG) O valor de ( ) ( )

1

2

2,1...333,02

m−

−⋅−= é

A) -8/3. B) -4/3. C) -2/3. D) 5/2. E) 8/3. 23. (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é A) 10. B) 17. C) 17². D) 1 + 2 + 3 + ... + 17. E) 1² + 2²+ ... + 17².

23



24. (FUVEST) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é A) 4. B) 5. C) 6. D) 7. E) 8.

25. (UFF) Com o desenvolvimento da tecnologia, novos dispositivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou mesas de jogos. Um desses dispositivos, conhecido como "dado eletrônico", é um circuito elétrico que, de forma lógica, executa o seguinte procedimento: partindo de um número natural N, transforma-o em um número natural R que corresponde ao resto da divisão de N por sete; a seguir, apresenta no visor o número R como sendo o número sorteado. Ao apertar o botão do "dado eletrônico", uma pessoa gerou um pulso correspondente ao número natural N formado por 2002 algarismos, todos iguais a 1. Assim sendo, o número R que aparecerá no visor é A) 0. B) 1. C) 2. D) 4. E) 5. 26. Os números inteiros estão dispostos de acordo com a tabela. Os números 1992 e 1997 ocuparão respectivamente as colunas A) 1 e 4. B) 3 e 4. C) 3 e 2. D) 1 e 2. 27. (UFMG) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Matemática valendo 100 pontos. A nota média da turma foi de 70 pontos e apenas 15 alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Então é correto afirmar que o valor de M é A) 53. B) 50. C) 51. D) 52. 28. Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos. Com isso, a média das idades dos professores diminui de 2 anos. A idade, em anos, do professor que se aposentou é A) 52. B) 54. C) 56. D) 58. E) 60.

24



29. Se x e y são números naturais em que m.m.c (y, x) = 115 e m.d.c (y, x) = 214, podemos dizer que o resto da divisão de xy por 23 é A) É um número primo. B) é um número par. C) é maior que 100. D) é 214. E) é 115. 30. Se x e y são números naturais em que m.m.c (y, x) = 154 e m.d.c (y, x) = 2, podemos dizer que xy A) é um número primo. B) é um número ímpar. C) é maior que 500. D) é divisível por 11. E) é múltiplo de 15. 31. Se x é um número natural em que m.m.c (140, x) = 2.100 e m.d.c (140, x) = 10, podemos dizer que x A) é um número primo. B) é um número par. C) é maior que 150. D) é divisível por 11. E) é múltiplo de 14. 32. Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 1,2 minutos. Já outro ciclista completa o mesmo percurso em 1,6 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos segundos se encontrarão no mesmo ponto de partida? A) 120 B) 240 C) 280 D) 288 E) 360 33. Se o mdc (máximo divisor comum) entre dois números naturais é 1 e o produto entre eles é 14, então o mmc (mínimo múltiplo comum) entre os dois números naturais é A) 1400. B) 140. C) 14. D) 1. E) 0. 34. Um tanque tem 210 litros e outro tanque tem 475 litros. Qual seria a capacidade máxima, em litros, de um balde (totalmente cheio) que pudesse completar o volume dos dois tanques? A) 1 L B) 2 L C) 3 L D) 5 L E) 15 L

25



35. Ao longo de um dia, um supermercado fez vários anúncios dos produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de duração. Os tempos totais de aparição dos produtos A, B e C foram, respectivamente, iguais a 90s, 108s e 144s. Se a duração de cada anúncio, em segundos, foi a maior possível, então, a soma do número de aparições dos três produtos,nesse dia, foi igual a A) 14. B) 15. C) 17. D) 18. E) 19. 36. Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organizados em pacotes, contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo. Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará A) 8,3 kg. B) 8,4 kg. C) 8,2 kg. D) 8,1 kg. E) 8 kg. 37. Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um centro de tratamento em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após A) 45 dias. B) 60 dias. C) 10 dias. D) 15 dias. E) 30 dias. 38. Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em A) 9 de dezembro de 2010. B) 15 de dezembro de 2010. C) 14 de janeiro de 2011. D) 12 de fevereiro de 2011. E) 12 de março 2011. 39. Duas polias conectadas por uma correia têm comprimentos de 12 cm e 22 cm. O menor número de voltas completas que a polia menor deve dar para que a polia maior dê um número inteiro de voltas é A) 7. B) 8. C) 9. D) 10. E) 11.

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40. Um agente administrativo foi incumbido de tirar cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só dispõe de uma impressora que apresenta o seguinte defeito: apenas nas páginas de números 8, 16, 24, 32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha falha. Considerando que em todas as páginas do texto aparecem destaques na cor vermelha, então, ao tirar uma única cópia do texto, o número de páginas que serão impressas sem essa falha é A) 226. B) 225. C) 224. D) 223. E) 222. 41. Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi A) 18/11/02. B) 17/09/02. C) 18/08/02. D) 17/07/02. E) 18/06/02. 42. (ENEM – 2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é A) 6. B) 7. C) 8. D) 11. E) 12. 43. (ENEM – 2013) Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d’água tem volume de 0,2 mL. Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros? A) 0,2 B) 1,2 C) 1,4 D) 12,9 E) 64,8

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44. (ENEM – 2013) O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:

Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a A) Malhada. B) Mamona. C) Maravilha. D) Mateira. E) Mimosa.

45. (PUC – 2013) Se m = 2–1 + 3–1, n = ²4²3 + e 25

32

p += , então o valor de m + 2n + p é igual a

A) 14. B) 16. C) 18. D) 20. 46. (PUC – 2013) Certo eletricista dispõe de R$3.000,00 para comprar kits com três peças A, B e C, que não são vendidas em separado e custam, respectivamente, R$12,80, R$25,30 e R$41,90 cada uma. Nessas condições, o número máximo de peças que esse eletricista pode comprar com a quantia de que dispõe é A) 111. B) 129. C) 141. D) 153.

28



47. (PUC – 2013) A tabela abaixo apresenta a produção de moedas de 1 centavo entre 1998 e 2004.

Considere que, de acordo com o Banco Central do Brasil, para fazer uma moeda de 1 centavo, gastam-se 13 centavos: 38% (5 centavos) são os custos do material e 62% (8 centavos) são os custos de mão de obra, estrutura de produção, margem de lucro do fabricante e impostos. Com base nessa consideração e nos dados da tabela, pode-se estimar que o custo do material gasto com a produção das moedas de 1 centavo no ano de 2004, em milhões de reais, foi aproximadamente igual a A) 0,84. B) 8,36. C) 83,6. D) 836. 48. (PUC – 2013) Uma placa retangular de metal com 105cmde largura e 280cm de comprimento deve ser totalmente recortada em placas quadradas, todas com o mesmo tamanho e cada uma com a maior área possível. O perímetro de cada uma dessas placas, em centímetros, é A) 120. B) 140. C) 160. D) 180. 49. (PUC – 2013) Um dos quartos de certa residência tem 4m de comprimento por 3m de largura e suas paredes têm 3m de altura. Para se acarpetar o piso, a mão de obra é R$300,00 e o material sai por R$32,00 o metro quadrado; a pintura do teto e das paredes, contando-se o material necessário e a mão de obra, sai por R$8,00 cada metro quadrado. Nessas condições, para se acarpetar o piso e se pintar as paredes e o teto desse quarto, serão necessários a) R$684,00. b) R$868,00. c) R$1.116,00. d) R$1.210,00. 50. (PUC – 2013) Certa microempresa confecciona diariamente p calças e q camisas. Sabendo-se que p e q são números naturais consecutivos e que p³ – q³ = 91, é CORRETO afirmar que o número de peças que essa microempresa confecciona em cinco dias é igual a A) 55. B) 65. C) 75. D) 85.

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51. (PUC – 2013) Em um treinamento numa pista circular, certo ciclista gasta 25 min para completar cada volta, passando sempre pelos pontos A, B, C e D da pista e nessa ordem. Em cada volta, nos trechos entre A e B, entre B e C e entre C e D, ele gasta, respectivamente, o dobro, o triplo e o quádruplo do tempo gasto no trecho entre D e A. Se esse ciclista passou por B às 09h 00 mim, às 11h 40 min ele estará entre A) A e B. B) B e C. C) C e D. D) D e A. 52. (UEMG – 2013) Uma pessoa escolherá um plano de telefonia celular entre duas opções: A e B.

Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: I. Se a pessoa exceder 30 minutos de ligações para a mesma operadora, o plano A ficará mais vantajoso que o plano B. II. Se a pessoa usar apenas 60 minutos no mês, o melhor plano será o B. III. Se a pessoa exceder 10 minutos de ligações para a mesma operadora, os planos A e B ficarão equivalentes. Assinale a alternativa CORRETA. A) Somente II e III são verdadeiras. B) Somente II é verdadeira. C) Somente I e III são verdadeiras. D) Somente III é verdadeira. 53. (CEFET – 2013) No contexto dos números naturais e inteiros, afirma-se: I) Se Na ∈ , com a ≠ 1 e seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio a, então a é dito primo. II) Se Na ∈ é ímpar, então o conjunto {a, a + 2, a + 5} contém um múltiplo de 3. III) Se a,b Z∈ e mdc(a,b) ≠ mmc(a,b), então a ≠ b. IV) Se a,b N∈ são ímpares, então 3a + 2b é par. Estão corretas apenas as afirmações A) I e II. B) I e III. C) II e III. D) II e IV. E) III e IV.

GABARITO 01. D 02. A 03. A 04. C 05. C

06. B 07. B 08. E 09. B

10. C 11. B 12. A 13. D

14. C 15. D 16. B 17. B

18. C 19. A 20. B 21. D

22. A 23. A 24. C 25. E

26. A 27. D 28. D 29. B

30. D 31. B 32. D 33. C

34. D 35. E 36. B 37. B

38. B 39. E 40. C 41. D

42. C 43. C 44. D 45. A

46. A 47. D 48. B 49. C

50. A 51. C 52. B 53. B

30



MATEMÁTICA COMERCIAL – 1ª PARTE RAZÃO • Razão entre duas grandezas é o quociente dos números que medem essas grandezas numa mesma

unidade.

Notação: ba

ou a : b, onde a é o antecedente e b é consequente ( 0b ≠ )

RAZÕES ESPECIAIS

• Velocidade media → td

Vm =

• Escala → real.Comp

desenhono.CompE =

• Densidade demográfica → área

habdeºnD =

• Densidade → volumemassa

d =

PROPORÇÃO • Uma igualdade entre duas razões chama-se proporção.

Notação: d:cb:aoudc

ba

== , onde, extremosdea → ; meiosceb →

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES • Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Assim: 0debonde,cbdaoudc

ba

≠⋅=⋅=

DIVISÃO PROPORCIONAL • Divisão diretamente proporcional a “a, b e c”

kcz

by

ax

=== , onde k é a constante de proporcionalidade.

Ex: Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.

⇒=== k4z

3y

2x

k4z

k3y

k2x

=

=

=

Como

20180k9

180k4k3k2

180zyx

⇒=

=++

=++

Logo ,

80z

60y

40x

=

=

=

• Divisão inversamente proporcional a “a, b e c”

k

c1z

b1y

a1x

===

GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS • Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são diretamente proporcionais quando

aumentam ou diminuem na mesma razão. Ex. quantidade de peças e preço.

31



• Grandezas inversamente proporcionais: Duas grandezas são inversamente proporcionais se, quando uma aumenta, a outra diminui na mesma razão. Ex: velocidade e tempo.

REGRA DE TRÊS • Regra de três simples (direta): Para fazer 20 cortinas foram gastos 400m de tecido. Quando sera gasto

para fazer 35 cortinas iguais?

20 ____ 400 35 ____ x x

4003520

= 20 x = 400 . 35

x = m70020

35400=

⋅

• Regra de três simples (inversa): Para fazer um muro, 15 operários gastam 3 dias. Se forem contratados

mais 5 operários, quantos dias eles gastarão? 15_____3 20_____x

45x20x3

1520

=→= dias25,22045

x ==

• Regra de três composta

Se para alimentar 50 durante 15 dias são necessários 90kg de ração. Quantos dias durarão 240 kg de ração para alimentar 100 animais?

A D R 50 15 90 100 i X d 240 x

1543

x15

83

2x

1524090

50100

=→=⋅→=⋅ 3x = 60

x = 20 dias



EXERCÍCIOS

1. (PUC) A razão entre as arestas de dois cubos é 1:3. A razão entre o volume do maior e do menor é A) 1:9. B) 1:3. C) 9. D) 27. E) 1:24. 2. Três números são proporcionais a 1, 3 e 5. Sabendo-se que o seu produto é igual a 960, é CORRETO afirmar que sua soma é A) 20. B) 12. C) 40. D) 9. E) 36.

3. (PUC-PR) Uma construtora edificou 6 residências com as seguintes áreas construídas, em 2m : 110, 112,

120, 116, 120 e 102, e destinou uma área comum para lazer de 51 2m , que deve ser dividida em partes

proporcionais à área de cada residência. Assim, a área corresponde à residência de 110 2m é, em 2m , igual a A) 9,00. B) 8,70. C) 8,40. D) 8,25.

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4. Num navio havia víveres para alimentar uma tripulação de 20 homens durante 16 dias. No fim de sexto dia de viagem, este navio recolheu 5 náufragos. Quantos dias mais deverá durar o alimento existente a bordo? A) 10 B) 8 C) 12 D) 6 E) 4 5. (UCMG) Empregaram-se 8 operários durante 15 dias de 6 horas para asfaltar certa rua. Para fazer o mesmo serviço com 6 operários trabalhando 10 horas por dia, quantos dias serão necessários? A) 12 B) 10 C) 8 D) 14 E) 13 6. Um viajante quer fazer em 8 dias o trajeto já feito em 12 dias de 10 horas. O número de horas que ele deverá andar por dia se aumentou de 2/5 (dois quintos). A sua velocidade é A) 10h 40min. B) 08h 42min.

C) 10h 42min s751

.

D) 10h 42min 7

360s.

E) 10h 42min 7

352s.

7. (PUC – 2013) Observe este quadro:

Nesse quadro, estão registrados os horários em que os carros 1 e 2 participantes de um rallye, passaram pelos postos A e B, em direção ao posto C. Os dois carros mantiveram constantes suas velocidades no percurso de A para C, e o mais veloz nesse percurso passou por C às 15 horas. O outro carro passou por C às A) 15 horas e 15 minutos. B) 15 horas e 20 minutos. C) 15 horas e 30 minutos. D) 15 horas e40 minutos. 8. Admitindo que 9 tratores, trabalhando 5 horas por dia, gastam 7 dias para arar 180 hectares de terra, e supondo que as condições sejam as mesmas, quantos dias serão necessários para que 5 tratores, trabalhando 6horas por dia, arem 240 hectares de terra? A) 12 dias. B) 14 dias. C) 10 dias. D) 15 dias. E) 12,5 dias.

Posto A Posto B Carro 1 12 horas 13 horas Carro 2 12 horas e 15 minutos 13 horas

33



9. (PUC) Um carro faz 13,8 km por litro de combustível. Seu tanque tem capacidade para 56 litros, e seu

marcador está exatamente entre 43

e21

. A distância que é possível percorrer, antes de reabastecer o carro,

em quilômetros, é de aproximadamente A) 285. B) 326. C) 384. D) 410. E) 483. 10. (UFMG) Com um grupo de 40 alunos, em 10 aulas práticas de laboratório, um colégio gastou R$ 500,00. Quanto gastará, para o mesmo fim, em 18 aulas práticas com 25 alunos? A) 360,00. B) 562,50. C) 465,80. D) 480,50. E) 400,00. 11. (UFMG) No ano passado, uma equipe de 13 professores, com um ritmo de trabalho suposto constante, corrigiu 3000 provas em 6 dias. Este ano, o número de provas aumentou para 5500 e a equipe foi ampliada para 15 professores. Para se obter uma estimativa do número n de dias necessários para totalizar a correção, suponha que, durante todo o período de correção, o ritmo de trabalho da equipe deste ano será o mesmo da equipe do ano passado. O número n satisfaz a condição

A) n ≤ 8.

B) 8 < n ≤ 10.

C) 10 < n ≤ 12. D) n > 12. 12. (PUC) Numa prova de Matemática, João ganhou 15 pontos a mais que Pedro. A diferença entre a média

aritmética e a média geométrica desses pontos é 25

. Então, o número de pontos obtidos Por João, nessa

prova, foi A) 20. B) 25. C) 30. D) 35. 13. (UFMG) Uma firma é constituída por dois sócios A e B, cujos capitais investidos são 200 milhões e 350 milhões de reais, respectivamente. Todo lucro, ou prejuízo, da firma é dividido, entre os dois, proporcionalmente ao capital investido. A firma acusou um prejuízo de 121 milhões de reais. As parcelas do prejuízo, em milhões de reais, correspondentes a cada sócio são, respectivamente A) 20 e 101. B) 40 e 70. C) 44 e 77. D) 79 e 72. E) 100 e 21.

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14. (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se a empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a A) 10. B) 12. C) 15. D) 18. E) 20. 15. (UFMG-2003) Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse caso, é CORRETO afirmar que, para o pagamento de diárias, esse estudante reservou A) R$300,00. B) R$ 600,00. C) R$350,00. D) R$450,00. 16. (ENEM – 2013) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.

A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é A) 17/70. B) 17/53. C) 53/70. D) 53/17. E) 70/17. 17. (ENEM – 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a A) 2. B) 4. C) 5. D) 8. E) 9.

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18. (ENEM – 2013) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar no máximo 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão? A) 300 tijolos B) 360 tijolos C) 400 tijolos D) 480 tijolos E) 600 tijolos 19. (ENEM – 2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é A) menor que 10. B) maior que 10 e menor que 20. C) maior que 20 e menor que 30. D) maior que 30 e menor que 40. E) maior que 40. 20. (PUC – 2013) Um automóvel, modelo flex, consome 20 litros de gasolina, comercializada a R$2,80 o litro, para percorrer 280 km . Quando abastecido com álcool, esse veículo consome 25 litros desse combustível para percorrer 245 km. Com base nessas informações, é correto afirmar que o preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse carro seja o mesmo, usando somente gasolina ou somente álcool como combustível, deve ser igual a A) R$1,40. B) R$1,58. C) R$1,85. D) R$1,96. 21. (PUC – 2013) Na dissolução de uma empresa, os sócios A e B devem dividir R$280.000,00 em partes proporcionais a suas cotas. Se A tem 40% e B tem 60% das quotas dessa empresa, o valor que A deverá receber, em reais, é A) R$112.000,00. B) R$126.000,00. C) R$152.000,00. D) R$168.000,00.

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22. (UEMG – 2013) Numa pesquisa de opinião feita para verificar o nível de satisfação com a administração de um certo prefeito, foram entrevistadas 1.200 pessoas, que escolheram uma, e apenas uma, entre as possíveis respostas: excelente, ótima, boa e ruim. O gráfico a seguir mostra o resultado da pesquisa.

De acordo com o gráfico, é CORRETO afirmar que o percentual de entrevistados que consideram a administração do prefeito ótima ou boa é de, aproximadamente, A) 62,6%. B) 69,3%. C) 71,6%. D) 82,4%.

GABARITO 01. D 02. E

03. D 04. B

05. A 06. D

07. D 08. B

09. E 10. B

11. B 12. A

13. C 14. C

15. D 16. A

17. C 18. D

19. D 20. D 21. A 22. C

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MATEMÁTICA COMERCIAL – 2ª PARTE PORCENTAGEM • Números como: 30%, 50%, 72% indicam taxas centesimais ou porcentagens, pois expressam a razão

entre um número e o número 100.

30% = 3,010030

= 5% = 05,0100

5= 72% = 72,0

10072

=

JURO • Denomina-se juro a quantia que se recebe ou se paga, quando se deposita ou se empresta numa

instituição financeira um certo valor, comumente chamado de capital. • Juro simples: Esse tipo de juro é calculado unicamente sobre a aplicação inicial. • Juro Composto: O juro produzido a partir do segundo período financeiro é calculado sobre o montante

relativo ao período anterior. FATOR MULTIPLICATIVO • Acréscimo de x%: (1 + x%), sendo que o valor da porcentagem deve ser representado na forma decimal.

Exemplo: Um aumento de 13% gera um fator multiplicativo de (1 + 13%) = (1 + 0,13) = 1,13.

• Decréscimo de x%: (1 – x%), sendo que o valor da porcentagem deve ser representado na forma decimal. Exemplo: Um desconto de 8% gera um fator multiplicativo de (1 – 8%) = (1 – 0,08) = 0,92.


de Matemática do Ensino Médio que abordam o assunto “Matemática Comercial” ou “Matemática Financeira”.

EXERCÍCIOS

1. (UFMG) Um investidor aplicou R$ 500.000,00 em poupança. As taxas de juros foram 25% no primeiro mês e 28% no segundo mês. Nessas condições, o valor acumulado ao final desses 2 meses é A) R$ 765.000,00. B) R$781.250,00. C) R$ 800.000,00. D) R$819.200,00. 2. (FUVEST-SP) A cada ano que passa, o valor de um carro diminui 30% em relação ao seu valor no ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano no oitavo ano o seu valor será

A) (0,7) 2 V.

B) (0,3) 8 V.

C) (0,7) 7 V.

D) (0,3) 7 V. 3. (UFMG) Num grupo de jovens, 25% têm estatura superior a 1,80m, 45% medem entre 1,65m e 1,70m e os 12 restantes têm estatura inferior a 1,64. É CORRETO afirmar que o número de jovens que medem entre 1,65m e 1,70m é A) 8. B) 10. C) 16. D) 18.

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4. (UFMG) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, o percentual de redução foi de A) 0%. B) 60%. C) 75%. D) 100%. E) 150%. 5. (UFRS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal), para se obter uma solução salina a 3% (sal) é A) 90 g. B) 94 g. C) 97 g. D) 100 g. 6. (UFMG) A quantia de R$15.000.000,00 é emprestada a uma taxa de juros de 20% ao mês. Aplicando-se juro composto, o valor que deverá ser pago para quitação da dívida, três meses depois é A) R$24.000.000,00. B) R$25.920.000,00. C) R$40.920.000.00. D) R$42.000.000,00. E) R$48.000.000,00. 7. (PUC-SP) Um equipamento de som está sendo vendido em uma loja por R$1020,00 para pagamento à vista. Um comprador pode pedir um financiamento pelo plano (1 + 1) pagamentos iguais, isto é, o primeiro pagamento deverá ser feito no ato da compra e o segundo, um mês após aquela data. A taxa de juros praticada pela empresa é de 4% ao mês. O valor de cada uma das prestações será de A) 535,00. B) 522,75. C) 515,00. D) 529,12. E) 520,00. 8. (UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos a ser vendida é A) 75%. B) 80%. C) 83,33%. D) 87,5%. 9. (UFMG-98) Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o salário dos restantes, fazendo que o valor de sua folha de pagamentos diminuísse 10%. O salário médio da empresa – valor da folha de pagamentos dividido pelo número de empregados – teve um aumento percentual de A) 15%. B) 12,5%. C) 17,5%. D) 10%.

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10. (MACK) Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado em 100%, à área do círculo ficará aumentada em A) 300%. B) 400%. C) 250%. D) 100%. 11. (PUC-2003) Um operário gastou 60% de seu salário mensal e, do que restou, aplicou 25%, ficando ainda com R$ 159,00. O salário mensal desse operário é A) R$ 240,00. B) R$ 320,00. C) R$ 410,00. D) R$ 530,00. 12. (Fuvest-SP) Numa barraca de feira, uma pessoa comprou maçãs, bananas, laranjas e peras. Pelo preço normal da barraca o valor pago pelas maçãs, bananas, laranjas e peras corresponderia a 25%, 10% , 15% e 50% do preço total, respectivamente. Em virtude de uma promoção essa pessoa ganhou um desconto de 10% no preço das maçãs e de 20% no preço das peras. O desconto, assim obtido, no valor total de sua compra foi de A) 7,5%. B) 10%. C) 12,5%. D) 15%. 13. (UFMG) Um capital de R$30.000,00 foi dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de 12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi de A) RS 8 000,00. B) R$ 4 000,00. C) R$ 6000,00. D) R$ 10000,00. 14. (PUC-2000) Para estabelecer o preço P de venda do produto A, um comerciante usa a seguinte fórmula: P(m) = 2m – 13, onde m = R$20,00 é o preço que o comerciante paga ao fornecedor do produto A. O percentual de lucro do comerciante, na venda do produto A, é A) 15%. B) 20%. C) 25%. D) 30%. E) 35%. 15. (UFMG-2003) Um fabricante de papel higiênico reduziu o comprimento dos rolos de 40m para 30m. No entanto o preço dos rolos de papel higiênico, para o consumidor, manteve-se constante. Nesse caso, é CORRETO afirmar que, para o consumidor, o preço do metro de papel higiênico teve um aumento A) inferior a 25%. B) superior ou igual a 30%. C) igual a 25%. D) superior a 25% e inferior a 30%.

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16. (UFMG) O preço à vista de uma blusa é de R$ 10,00. Um comprador pagou R$ 5,00 de entrada e R$ 6,00 após um mês. A taxa mensal de juros cobrada pelo loja é A) 5%. B) 10%. C) 15%. D) 20%. E) 25%. 17. (UFMG) Um comerciante tem um ponto em uma região do centro da cidade por onde passam 5000 pessoas por dia, sendo que 40% passam pela manhã, 52% à tarde e 8% à noite. A frequência de pessoas no período da manhã e tarde é, respectivamente, A) 52 e 40. B) 200 e 260. C) 1250 e 961. D) 1250 e 9615. E) 2000 e 2600. 18. (Unesp-SP) No ano passado, a extensão da camada de gelo no Ártico foi 20% menor em relação à de 1979, uma redução de aproximadamente 1,3 milhão de quilômetros quadrados (Veja, 21/06/2006). Com base nesses dados, é correto afirmar que a extensão da camada de gelo no ártico em 1979, em milhões de quilômetros quadrados, era A) 5. B) 5,5. C) 6. D) 6,5.

19. (Fuvest-SP) Que número deve ser somado ao numerador e ao denominador da fração 32

para que ela

tenha um aumento de 20%? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. 20. (UFG-GO) Uma indústria consome mensalmente 150m³ de um certo reagente. Uma unidade dessa indústria passou a produzir esse reagente e, no primeiro mês de produção, produziu 10% do seu consumo mensal. Se a unidade aumenta a produção do reagente em 3 m³ por mês, quantos meses serão necessários, a partir do início da produção, para que a unidade produza, em um único mês, 70% do volume mensal desse reagente consumido pela indústria? A) 21. B) 24. C) 28. D) 31. E) 36.

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21. (PUC-RS) De 1960 a 1970, a população brasileira cresceu 33%, mas nos dez anos seguintes cresceu apenas 28%. Portanto, de 1960 a 1980, a população brasileira cresceu A) 9,24%. B) 30,50%. C) 61,00%. D) 70,24%. E) 92,40%. 22. (UFMG) Uma pessoa compra mensalmente 8 quilos de arroz e 5 quilos de feijão. Em um dado mês, o preço do quilo de arroz e o do quilo de feijão eram, respectivamente, R$ 2,20 e R$ 1,60. No mês seguinte, o preço do quilo de arroz teve um aumento de 10% e o do quilo de feijão teve uma redução de 5%. Assim sendo, o gasto mensal dessa pessoa com a compra de arroz e feijão teve um aumento percentual A) maior que 5% e menor ou igual a 6%. B) maior que 6% e menor ou igual a 7%. C) maior que 7%. D) menor ou igual a 5%. 23. (Fuvest-SP) Uma fazenda estende-se por dois municípios A e B. A parte da fazenda que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a A) 2/9. B) 3/9. C) 4/9. D) 5/9. E) 7/9. 24. (Fuvest-SP) Certa mercadoria que custava R$ 12,50 teve um aumento, passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo foi de A) 1,0%. B) 10%. C) 12,5%. D) 8,0%. E) 10,8%. 25. (Unimontes-MG) Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e concedeu aos que permaneceram um aumento que elevou a folha de pagamento em 10%. Em quanto variou o salário médio da empresa? A) 30%. B) 17,5%. C) 20%. D) 37,5%. 26. (Unimontes-MG) Nos últimos 3 meses, a inflação em Matilândia foi, respectivamente, de 5%, 4% e 6%. É correto afirmar que a inflação acumulada em Matilândia, nesses três últimos meses, foi de A) 15%. B) 15,752%. C) 15,75%. D) 15,7%.

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27. (UFMG) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é correto afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem A) R$ 3672,00. B) R$ 3780,00. C) R$ 3792,00. D) R$ 3900,00. 28. (UFV-MG) Mona verificou que o preço de um televisor era R$ 840,00. Após uma semana, retornou à mesma loja e constatou que o preço da mesma televisão fora reajustado em mais 15%. O desconto que Mona deve receber para que o valor da televisão retorne ao preço anterior é, aproximadamente, de A) 13%. B) 13,5%. C) 14%. D) 14,5%. 29. (UERGS) O custo de um determinado objeto é de P reais. Considere, sobre esse preço, as seguintes possibilidades: I. um acréscimo de 10% e, em seguida, um desconto de 10%. II. um desconto de 10% e, em seguida, um acréscimo de 10%. Analisando-se as possibilidades acima em relação ao custo inicial P, é correto afirmar que, em ambas, A) o preço não se altera. B) o preço aumenta 10%. C) há um desconto de 10%. D) há um acréscimo de 1%. E) há um desconto de 1%. 30. (UFRJ) João está à procura de um imóvel para adquirir. Após várias pesquisas de mercado, achou o imóvel de seus sonhos, porém, por não ter a quantia suficiente para pagar o valor solicitado, pechinchou com o vendedor, obtendo dois descontos sucessivos de 20% e 5% no valor inicial do imóvel. O valor da taxa única que representa esses dois descontos é A) 23%. B) 24%. C) 25%. D) 26%. E) 27%. 31. (Fuvest-SP) O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 100,00, daqui a três anos o preço será A) R$ 300,00. B) R$ 400,00. C) R$ 500,00. D) R$ 800,00. E) R$ 1000,00.

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32. (Fuvest-SP) Atualmente, 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são cinzentas. Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano, e a da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será, aproximadamente, a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois anos? A) 50%. B) 38%. C) 26%. D) 14%. E) 9%. 33. (UFJF-MG) Um investidor aplica, por um ano, metade do seu capital, a juros de 8% ao ano, a quinta parte a 9%, e o restante a 10%. Se ele decidisse aplicar o mesmo capital durante o mesmo tempo, em um único investimento, visando obter igual rendimento, a taxa anual de juros deste investimento seria de A) 9%. B) 9,5%. C) 8,5%. D) 9,2%. E) 8,8%. 34. (ENEM – 2013) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.

Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias? A) 75,28 B) 64,09 C) 56,95 D) 45,76 E) 30,07 35. (ENEM – 2013) O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações (Disponível em. wwwl.folha.uol.com.br Acesso em. 26 abr. 2010 – adaptado). Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de A) R$ 900,00. B) R$ 1 200,00. C) R$ 2 100,00. D) R$ 3 900,00. E) R$ 5 100.00.

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36. (ENEM – 2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de A) 15,00. B) 14,00. C) 10,00. D) 5,00. E) 4,00. 37. (ENEM – 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça (Disponível em. www.arq.ufsc.br Acesso em: 3 mar. 2012). Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em A) 4% B) 20% C) 36%. D) 64%. E) 96% 38. (ENEM – 2013) Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado.

Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, A) A, A, A, A. B) A, B, A, B. C) A, B, B, A. D) B, A, A, B. E) B, B, B, B. 39. (PUC – 2013) O número de indivíduos de uma criação de coelhos, iniciada em janeiro de 2012, duplicou a cada 4 meses. Em janeiro de 2013, parte dessa criação foi vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorresse, a porcentagem da população vendida foi de A) 70,0%. B) 76,5%. C) 82,0%. D) 87,5%.

45



40. (UEMG – 2012) Um feirante inicia sua manhã de trabalho às 7h, quando começa a vender abacaxis ao preço unitário de R$ 5,00. A partir das 11h, reduz o preço do abacaxi em 10% . Sabendo que a exposição dos feirantes termina às 13h, o feirante, para não perder sua mercadoria, a partir de 12h resolve vender o abacaxi ao preço unitário de R$ 2,70. Com base nesses dados, pode-se afirmar CORRETAMENTE que, das 11h às 13h, o preço do abacaxi foi reduzido em A) 40%. B) 56%. C) 30%. D) 34%. 41. (UEMG – 2012) Vendas de veículos sobem 0,61% em julho ante junho

“Os emplacamentos de veículos novos no mercado brasileiro somaram 306.202 unidades em julho, ante

304.332 unidades em junho, o que representou uma ligeira alta de 0,61%, segundo informou hoje a

Federação Nacional da Distribuição de Veículos Automotores (Fenabrave)” (...) (Fonte: em.com.br . Acesso em 1º/8/2011). Considerando que a alta de 0,61% na venda de veículos seja constante nos próximos meses, pode-se afirmar CORRETAMENTE que o número y de emplacamentos de veículos novos, no período de x meses, a partir de julho, é representado pela função A) y = 0,61x + 306 202 B) y = 1 870x + 306 202 C) y = 304 332 + 1 870x D) y = 306 202 – 1 870x 42. (CEFET – 2014) Uma pessoa investiu R$ 20.000,00 durante 3 meses em uma aplicação que lhe rendeu 2% no primeiro mês e 5% no segundo mês. No final do terceiro mês, o montante obtido foi suficiente para pagar uma dívida de R$ 22.000,00. Assim sendo, a taxa mínima de juros, no terceiro mês, para esse pagamento, em %, foi, aproximadamente, de A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. 43. (CEFET – 2013) Se 20% de a equivale a 30% de b e 20% de c é 70% de b, então, a porcentagem de a

que equivale a 10% de (a + b + c) é A) 10. B) 15. C) 20. D) 35. E) 40.

GABARITO 1. C 2. C 3. D 4. B

5. D 6. B 7. E

8. D 9. B 10. B

11. D 12. C 13. C

14. E 15. B 16. D

17. E 18. D 19. B

20. D 21. D 22. A

23. C 24. D 25. D

26. B 27. C 28. A

29. E 30. B 31. D

32. B 33. E 34. C

35. B 36. E 37. C

38. D 39. D 40. A

41. B 42. C 43. E

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CÁLCULO ALGÉBRICO PRODUTO NOTÁVEIS

• Quadrado da soma de dois termos: ( ) 222 ba2aba ++=+

• Quadrado da diferença de dois termos: ( ) 222 bab2aba +−=−

• Produto da soma pela diferença de dois termos: ( ) ( ) 22 bababa −=−⋅+

• Cubo da soma de dois termos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32232223 bab3ba3ababab2abababa +++=+⋅++=+⋅+=+

• Cubo da diferença de dois termos: ( ) 32233 bab3ba3aba −+−=−

FATORAÇÃO • Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto indicado. • 1º caso – Fator comum: Se um polinômio possui um fator comum, podemos colocá-lo em evidência, ou

seja, dividir cada termo do polinômio pelo fator comum. Ex.: ( )cbaxcxbxax ++=++

• 2º caso – Agrupamento:

Ex.: ( ) ( ) ( )( )yxba5ba5yba5xbyay5bxax5 ++=+++=+++

• 3º caso – Diferença de dois quadrados:

( ) ( )bababa 22−⋅+=−

• 4º caso – Trinômio Quadrado Perfeito:

( )222 babab2a +=++

( )222 babab2a −=+−

• 5º caso – Soma ou diferença de dois cubos:

( ) ( )( ) ( )2233

2233

babababa

babababa

++⋅−=−

+−⋅+=+



EXERCÍCIOS

1. (VUNESP) O valor da expressão 21

5 1−

− é

A) 0,3. B) – 0,3. C) – 0,2. D) 0,2.

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2. O valor de 2

yxyx

−

+, para

43

ye32

x == será

A) 217− .

B) 217 .

C) 217− .

D) 217− .

3. A expressão equivalente ao radical a16a8a 23++ , sendo a

+∈Ra , é

A) a4a + .

B) aa4 + .

C) ( ) a4a + .

D) ( ) a2a + .

E) a2a + .

4. A expressão 222 baax2x −+− é o produto de dois fatores. A soma desses fatores é igual a A) 2x – 2a. B) 2x – 2b. C) x – a. D) x – b. E) x + a.

5. (PUC-MG) A expressão 2

21

21

ba

+ é equivalente a

A) ab5a ++ .

B) a + b + 2 ab .

C) baba ++ .

D) a 2 + b 2 . E) a + b.

6. O valor de 1xx

1xxxxx611

671112

++

+++++ para x = 12 é

A) 11. B) 12. C) 13. D) 14.

7. Fatorando a expressão 100m4− , obtemos

A) ( ) ( )10m10m −⋅+ .

B) ( ) ( )10m10m 22+⋅− .

C) ( )22 10m + .

D) ( )22 10m − .

48



8. (MED-SANTOS) Calculando 934287 2 – 934286 2 , obtemos A) 1. B) 2. C) 1868573. D) 1975441. 9. (UFMG) A diferença dos cubos de dois números naturais consecutivos é 91. Esses números pertencem a A) { }3n7:INn ≤≤−∈ .

B) { }7n3:INn ≤<∈ .

C) { }10n7:INn ≤<∈ .

D) { }10n:INn >∈ .

10. (UFMG) O valor da expressão: ( 11 ba −−+ ) 2− é

A) ( )2ba

ab

+.

B) ( )222 ba

ab

+.

C) 22 ba + .

D) ( )2

22

ba

ba

+.

11. A expressão 4x

3x2x3x

4x5x 22

−

−+⋅

+

+−, para 4xe3x ≠−≠ é igual a

A) x 2 – 1.

B) (x – 1) 2 . C) x – 1. D) 1. E) (x 2 – 1) 2 (x – 3). 12. A única afirmativa verdadeira é A) ( ) 12xou1xentão,12xx =−==− .

B) 25172517 22+=+ .

C) ( )[ ] 17231 23

22

=−−

−

.

D) ( )1xxxx 321

21

23

−=− .

13. (PUC) Se a + a 1− = 9, então, o valor de a 2 + a 2− é equivalente a A) 79. B) 80. C) 81. D) 83. E) 85.

49



14. (PUC-MG) Simplificando a expressão 4x4x

x2xx3

x3x32

2

2

2

+−

−⋅

+ sendo 2xe0x ≠≠ encontra-se

A) 1x

x3−

.

B) 2x1x

−

+.

C) 1x2x

+

−.

D) 1x1x2

−

+.

15. (UFMG) Se ( ) ( )898932ye32x −=+= , então, o produto yx ⋅ é

A) 1.

B) ( )89324 − .

C) 290.

D) 1982 .

E) ( )89324 + .

16. (UFMG) Fatorando a expressão x 4 – y 4 + 2x 3 y – 2xy 3 obtém-se

A) (x + y) 2 (x – y) 2 . B) (x + y)(x - y). C) (x 2 + y 2 )(x – y) 2 .

D) (x + y) 4 . E) (x + y)³(x – y).

17. (UFMG) O valor numérico da expressão 2233 xy3yx3yx +−− quando é3

12ye

3

12x

3

3

3

3 −=

+=

A) 31

.

B) 38

.

C) 3

16.

D) 123− .

E) 123+ .

18. (UFMG) Sejam x e y números reais não nulos tais que: 2xy

yx 2

2 −=+ . Então, é CORRETO afirmar que

A) 0yx2=− .

B) 0yx 2=+ .

C) 0yx2=+ .

D) 0yx 2=− .

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19. (UFMG) Sabe-se que a1

aa1

a2

2+=− para todos os valores não nulos de a. É CORRETO afirmar que o

valor de

−

a1

a é:

A) a 2 – 1. B) –1. C) 0. D) 1. E) 1 – a 2 . 20. (ENEM – 2013) “Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o “cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. (HUGHES-HALLETT, et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Bücher, 1999 – adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão A) MkS ⋅= .

B) 31

MkS ⋅= .

C) 31

31

MkS ⋅= .

D) 32

31

MkS ⋅= .

E) 231

MkS ⋅= . 21. (CEFET – 2013) Perdeu-se parte da informação que constava em uma solução de um problema, pois o papel foi rasgado e faz-se necessário encontrar três dos números perdidos que chamaremos de A, B e C na equação abaixo.

O valor de A + B + C é A) –3. B) –2. C) 4. D) 5. E) 7.

GABARITO 01. B 02. B

03. C 04. A

05. B 06. C

07. B 08. C

09. B 10. D

11. B 12. C

13. A 14. B

15. A 16. E

17. B 18. B

19. D 20. D 21. D

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EQUAÇÕES, SISTEMAS E PROBLEMAS SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO • Método da substituição • Método da adição • Método da comparação • Escalonamento



1. (Fac.Batista-MG) Um comerciante dispõe de algumas caixas para guardar suas garrafas de vinho. Se ele colocar oito delas em cada caixa, sobram quatro garrafas. Se, porém, ele colocar nove garrafas em cada caixa, sobra uma caixa. Nesse caso, somando-se o número de caixas com o número de garrafas de vinho, é CORRETO afirmar que o comerciante dispõe de um total de A) 72 unidades. B) 80 unidades. C) 108 unidades. D) 121 unidades.

2. (PUC-SP) Se aigualéyxentão1

7y1

11x8

27y8

11x3

+

−=−

=+

A) 77

5−.

B) 771

.

C) 1.

D) 77

1−.

E) 2.

3. (FUVEST) O dobro de um número mais a sua terça parte, mais sua quarta parte somam 31. O número é A) 10. B) 11. C) 12. D) 13. E) 14.

4. (UF-SE) O número que somado aos seus 32

resulta 30 é

A) ímpar. B) múltiplo de 9. C) divisor de 30. D) primo. E) quadrado perfeito.

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5. “O dobro de um número mais um terço de sua metade resulta no triplo do número” pode ser equacionado por

A) x36x

x2 =+ .

B) x32x3

x2 =+ .

C) x33x

x2 =+ .

D) x33x2

x2 =+ .

E) 36x

x2 =+ .

6. (PUC-SP) O quociente entre dois números naturais consecutivos é igual a 1,0909... ( 09,1= ). A soma

desses números é igual a A) 19. B) 21. C) 23. D) 25. E) 230. 7. (F.G.V.) A soma de 3 números inteiros e consecutivos é 60. ASSINALE a afirmação verdadeira. A) O quociente do maior pelo menor é 2. B) O produto dos 3 números é 8.000. C) Não existem números nessa condição. D) Falta informação para encontrar os 3 números E) O produto dos 3 números é 7980. 8. (UFMG) Durante o período de exibição de um filme, foram vendidos 2000 bilhetes, e a arrecadação foi de R$7600,00. O preço do bilhete para adulto era de R$ 5,00 e, para criança, era de R$ 3,00. A razão entre o número de crianças e o de adultos que assistiram ao filme nesse período foi A) 1.

B) 23

.

C) 85

.

D) 2. 9. (PUC) Sete copos do suco A são obtidos diluindo, em água, três copos de concentrado. Para se produzir treze copos de suco B, diluem-se cinco copos de concentrado em água. O volume de água que se deve adicionar a 700 m l de suco A para obter suco B, em mililitro, é A) 60. B) 70. C) 80. D) 90.

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10. (FUVEST) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o nº de irmãos igual ao nº de irmãs. Cada filha tem o nº de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. O total de filhos e filhas do casal é A) 3. B) 4. C) 5. D) 7.

11. (UFMG) Um quarto da população de um povoado é constituído de índios. Da população indígena, a metade é constituída de adultos do sexo feminino e dois quintos é constituído de crianças. No total da população, a porcentagem de índios adultos do sexo masculino é A) 2,5%. B) 3%. C) 5%. D) 25%. E) 30%. 12. (UFMG) Dois tipos de arroz A e B, com preços de R$ 30,00 e R$ 24,00 o quilo, respectivamente, foram misturados, perfazendo um total de 1500 kg. Para não ter prejuízo e nem dar prejuízo aos fregueses, o comerciante vendeu o quilo da mistura a R$ 26,20. As quantidades de arroz, em quilos, dos tipos A e B que foram misturados são, respectivamente A) 250 e 1250. B) 350 e 1150. C) 450 e 1050. D) 550 e 950. E) 650 e 850. 13. (UFMG) Um operário recebe R$ 16,00 por dia, quando almoça no restaurante da empresa, e recebe R$ 20,00, quando não almoça lá. Se ao fim de 30 dias ele recebeu R$ 560,00, É CORRETO afirmar que o número de dias que ele almoçou no restaurante da empresa foi A) 5. B) 7. C) 10. D) 12. E) 20. 14. (UFMG) Um comerciante vendeu 1/5 das laranjas que possuía. Em seguida, vendeu 3/8 das que restaram, tendo ficado com 30 laranjas. O número de laranjas que possuía era A) 60. B) 100. C) 120. D) 240. E) 400.

15. (PUC-MG) A soma das idades de duas pessoas é hoje 14 anos. O tempo necessário para que a soma das idades seja 22 anos, é em anos A) 4. B) 6. C) 8. D) 10.

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16. (PUC-MG) 40 pessoas alugaram um ônibus para uma excursão por R$ 800,00. No momento da partida, algumas pessoas desistiram e, assim, o preço da passagem foi aumentado em R$ 5,00 para cada passageiro. O número de desistentes foi de A) 8. B) 10. C) 15. D) 30. 17. (PUC-MG) A quantia de R$ 48.000,00 foi dividida desigualmente entre duas pessoas. A primeira gastou 4/5 de sua parte; a segunda, 6/7 e, assim, ficaram com quantias iguais. A importância recebida pela primeira, em reais, foi A) R$ 8.000,00. B) R$ 12.000,00. C) R$ 20.000,00. D) R$ 28.000,00. 18. (FUVEST) Duas garotas realizam um serviço de digitação. A mais experiente consegue fazê-lo em 2 horas, a outra em 3 horas. Se dividirmos esse serviço de modo que as duas possam fazê-lo no menor tempo possível, esse tempo será A) 1,5 h. B) 2,5 h. C) 72 min. D) 1h. 19. (Fatec-SP) João tinha B balas. Comeu uma e deu metade do que sobrou para Mário. Depois de comer mais uma, deu metade do que sobrou para Felipe e ainda ficou com 7 balas. O número B é tal que A) 10 < B < 20. B) 20 < B < 30. C) 30 < B < 40. D) 40 < B < 50. E) B > 50. 20. A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + 3n)x² - 5nx + (m – 2) = 0 valem, respectivamente, 5/8 e 3/32. Então, m + n é igual a A) 9. B) 8. C) 7. D) 6. E) 5. 21. Uma gaveta contém somente lápis, canetas e borrachas. A quantidade de lápis é o triplo da quantidade de canetas. Se colocarmos mais 12 canetas e retirarmos 2 borrachas, a gaveta passará a conter o mesmo número de lápis, canetas e borrachas. Quantos objetos havia na gaveta inicialmente? A) 34. B) 44. C) 54. D) 64. E) 74.

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22. (FUVEST-SP) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes teria de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? A) R$ 136,00. B) R$ 138,00. C) R$ 140,00. D) R$ 142,00. E) R$ 144,00. 23. Uma videolocadora classifica seus 1000 DVDs em lançamentos e catálogo (não lançamentos). Em um final de semana, foram locados 260 DVDs, correspondendo a quatro quintos do total de lançamentos e um quinto do total de catálogo. Portanto, o número de DVDs de catálogo locados foi A) 80. B) 100. C) 130. D) 160. E) 180. 24. (PUC-MG) Em uma caixa e em uma cesta estavam guardadas 210 laranjas. Passando-se 8 laranjas da cesta para a caixa, cada um desses recipientes ficou com o mesmo número de laranjas. O número de laranjas que estavam guardadas na caixa, inicialmente, era A) 91. B) 97. C) 105. D) 113. 25. (UFMG) Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou certa quantia em dinheiro para o pagamento de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a pousada A, com diária de R$ 25,00, e a pousada B, com diária de R$ 30,00. Se escolher a pousada A, em vez da pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse caso, é CORRETO afirmar que, para o pagamento das diárias, esse estudante reservou A) R$ 300,00. B) R$ 600,00. C) R$ 350,00. D) R$ 450,00. 26. (UFMG) O quadrado da diferença entre o número natural x e 3 é acrescido da soma de 11 e x. O resultado é, então, dividido pelo dobro de x, obtendo-se quociente 8 e resto 20. A soma dos algarismos de x é A) 2. B) 3. C) 4. D) 5.

27. (UFLA-MG) Para que o sistema de equações

=−+

=+−

0ay²x

05yx2 admita apenas uma solução real, o valor de

a deve ser A) 2. B) -5. C) -2. D) 4.

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28. (UFMG) Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes. Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda. Considerando-se essas informações é CORRETO afirmar que o comprimento dessa piscina é A) 21 m. B) 27 m. C) 33 m. D) 54 m. 29. (ENEM – 2013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz

verde permaneça acesa seja igual a 32

do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa,

em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? A) 5X – 3 Y + 15 = 0 B) 5X – 2Y + 10 = 0 C) 3X – 3Y + 15 = 0 D) 3X – 2Y + 15 = 0 E) 3X – 2Y + 10 = 0 30. (ENEM – 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = – + 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? A) 19,0 B) 19,8 C) 20,0 D) 38,0 E) 39,0 31. (PUC – 2013) Durante os n dias de uma excursão, o grupo de turistas almoçou ou jantou fora nove vezes. No dia em que almoçava fora, o grupo não jantava fora. Houve sete dias nessa excursão em que os turistas não almoçaram fora e seis dias em que não jantaram fora. Com base nessas informações, pode-se estimar que o valor de n é igual a A) 10. B) 11. C) 12. D) 13. 32. (PUC – 2013) Certa loja colocou à venda um estoque de 800 calças jeans femininas. No primeiro mês, cada calça foi vendida a R$60,00; no mês seguinte, o preço da calça baixou 10% e, com isso, a loja vendeu o restante do estoque. Sabendo-se que a loja faturou R$45.000,00 com a venda dessas 800 calças, pode-se afirmar que o número de calças vendidas no segundo mês foi A) 200. B) 300. C) 400. D) 500.

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33. (CEFET – 2014) Para um evento com a duração de 3h40min foram tocados, sem repetição, dois gêneros musicais: clássico e popular (MPB). A duração de cada música clássica foi de 5min e a de MPB, 4min. Sabendo-se que 40% das músicas selecionadas são clássicas, então o total de músicas populares tocado foi de A) 20. B) 23. C) 26. D) 30. E) 33.

GABARITO 01. D 02. C 03. C

04. B 05. A 06. C

07. E 08. B 09. C

10. D 11. A 12. D

13. C 14. A 15. A

16. A 17. C

18. C 19. C

20. A 21. B

22. E 23. E

24. B 25. D

26. B 27. D

28. C 29. B

30. D 31. B

32. D 33. D

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SISTEMAS MÉTRICOS COMPRIMENTO

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm 1000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

• Para mudarmos de uma unidade para outra, procedemos da seguinte maneira:

o Multiplicamos por 10 a cada casa deslocada para a direita. o Dividimos por 10 a cada casa deslocada para a esquerda.

MASSA

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg hg dag g dg cg mg 1000 g 100 g 10 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

CAPACIDADE

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kL hL daL L dL cL mL 1000 L 100 L 10 L 0,1 L 0,01 L 0,001 L

ÁREA

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

1 000 000 m² 10 000 m² 100 m² 0,01 m² 0,0001 m² 0,0000001 m² • Para mudarmos de uma unidade para outra, procedemos da seguinte maneira:

o Multiplicamos por 10² a cada casa deslocada para a direita. o Dividimos por 10² a cada casa deslocada para a esquerda.

VOLUME

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

• Para mudarmos de uma unidade para outra, procedemos da seguinte maneira:

o Multiplicamos por 10³ a cada casa deslocada para a direita. o Dividimos por 10³ a cada casa deslocada para a esquerda.

• Observações

o 1 L = 1 dm³ o 1000 L = 1 m³ o 1 mL = 1 cm³

MEDIDAS AGRÁRIAS

• 1ha (hectare) = 1 2hm

• 1 a (are) = 1 2dam

• 1 ca (centiare) = 1 2m • 1 milha = 152m

• 1 pé = 305 mm • 1 jarda = 3 pés

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TEMPO • 1 ano = 360 dias (ano comercial) • 1 ano = 12 meses • 1 mês = 30 dias (mês comercial)

• 1 dia = 24 horas • 1 hora = 60 minutos • 1 minuto = 60 segundos


de Matemática dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental e da 2ª série do Ensino Médio.

EXERCÍCIOS

1. (UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxílio de uma régua.

Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15 cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5 cm para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a A) 240. B) 235. C) 225. D) 220. E) 245. 2. (UFJF-MG) A densidade demográfica de certa cidade é 0,002 habitantes por metro quadrado. Se essa cidade ocupa uma área de 180 km², o número de seus habitantes é A) 36 milhões. B) 9 milhões. C) 3,6 milhões. D) 360 mil. E) 60 mil. 3. (PUC-MG) Na maquete de uma casa, feita na escala 1:500, uma sala tem 8 mm de largura, 10 mm de comprimento e 8 mm de altura. A capacidade, em litros, dessa sala é A) 640. B) 800. C) 6 400. D) 8 000. E) 80 000. 4. (UFMG) De um tecido de 1,2 m de largura, Maria cortou 780 quadrados de 24 cm de lado. O comprimento do tecido gasto, em metros, é A) 3,774. B) 15,6. C) 22,46. D) 37,44. E) 156.

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5. (UFMG) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 90 cm, 2 m e 7,5 dm é A) 1,35 x 10-2 m³. B) 1,35 x 10-1 m³. C) 1,35 m³. D) 1,35 x 102 m³. E) 1,35 x 103 m³. 6. (UFOP-MG) Certa região foi mapeada de tal maneira que 10 km correspondem, na escala do mapa, a 4

cm. Um quadrado de área 1,6 km² corresponde, no mapa, a um quadrado de lado, em cm, igual a

A) 0,16 .10

B) 0,16.

C) 0,4 .10

D) 0,4. 7. (UERJ) Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o auditor deparou-se com a seguinte situação.

Quantidade Mercadorias Preço unitário Total * Metros Cetim 21,00 * 56,00

Não era possível ver o número de metros vendidos, mas sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira. Com as informações anteriores, o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi A) 16. B) 26. C) 36. D) 46. 8. (PUC-MG) Um reservatório tem as seguintes dimensões: 500cm de comprimento 18 dm de largura e 0,8m de altura. Se esse reservatório contém 5000L, para encher o reservatório, faltam A) 7200 L. B) 2700 L. C) 2200 L. D) 2000L. 9. Um esportista dá 50 passos em 1 minuto, sendo que cada passo mede 0,80m. Para percorrer 5,6km, ele gastará A) 1 h 40 min. B) 2 h 40 min. C) 2 h 20 min. D) 2 h. 10. (Fac.Batista de MG) Sabe-se que 1l de água pesa 1kg e que a massa de uma molécula de água é

2610x3 − kg. Nesse caso, o número de moléculas de água que cabem numa garrafa de 1,5l é

A) 2310x5 .

B) 2410x5 .

C) 2510x5 .

D) 2610x5 .

E) 2710x5 .

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11. (UFMG) Uma fazenda tem área de 0,4Km 2 . Suponha que essa fazenda seja um quadrado, cujo lado mede I metros. O número I satisfaz a condição A) 180 < I < 210. B) 210 < I < 250. C) 400 < I < 500. D) 600 < I < 700. 12. Uma solução homogênea de água e sal está contida num recipiente cujo volume é de 800cm³ e contém 200g de sal. Outra solução homogênea de água e sal está contida em outro recipiente cujo volume é de 1,2dm³ e contém 0,4kg de sal. Misturando-se as duas soluções, a massa de sal contida em 500cm³ da mistura é A) 300 g. B) 203,4 g. C) 200,5 g. D) 200 g. E) 150 g. 13. (PUC) Um mapa está desenhado em uma escala em que 1cm corresponde a 3km. Uma fazenda assinalada nesse mapa tem a forma de um retângulo de 1,5 cm de largura por 2,5 cm de comprimento. A área real dessa fazenda, em quilômetros quadrados, é A) 11,25. B) 18,45. C) 23,65. D) 33,75. 14. (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30cm de altura e área da base igual a 1200cm², está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5cm. Então, o volume das pedras é A) 1200 cm³. B) 2100 cm³. C) 1500 cm³. D) 1800 cm³. 15. (PUC) Uma travessa retangular feita com material refratário tem, quando medida internamente, 36 cm de comprimento, 22 cm de largura e 6 cm de altura. A capacidade dessa travessa, em litros, é A) 4,75. B) 5,22. C) 6,48. D) 7,92. 16. (FCCMG) Embalou-se, em frascos de 300 ml, 1,2m³ de um líquido. O número de frascos usados foi A) 360. B) 400. C) 3600. D) 4000.

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17. (UFMG) Tomando-se como unidade de área um quadrado de 2m de lado, qual será a medida de 0,1km²?

A) 4105 ⋅ unidades

B) 21025 ⋅ unidades

C) 3105,12 ⋅ unidades

D) 31025 ⋅ unidades 18. (UFMG) Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. O número de tacos necessários parra essa substituição foi A) 1029. B) 1050. C) 1470. D) 1500. E) 1874. 19. (FJP – MG) Projetou-se a construção de um galpão retangular, medindo 28m de comprimento por 16m de largura. Antes de ser construído, o engenheiro percebeu que o terreno permitia a construção de um outro

galpão, com uma área correspondente a 1415

da área do primeiro galpão projetado, mas com o mesmo

perímetro. Para tanto, bastava diminuir no comprimento e aumentar na largura, inicialmente calculados, a mesma quantidade em metros. Nessas condições, a diferença entre as medidas do galpão de maior área é de A) 2m. B) 3m. C) 4m. D) 5m. E) 6m. 20. (ENEM – 2013) Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (floz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cL). Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL. Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 mL, em onça fluida (floz), é mais próxima de A) 0,83. B) 1,20. C) 12,03. D) 104,73. E) 120,34.

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21. (ENEM – 2013) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1:25 000, por um período de cinco dias.

Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 40

GABARITO 1 – C 2 – D

3 – E 4 – D

5 – C 6 – A

7 – C 8 – C

9 – C 10 – C

11 – D 12 – E

13 – D 14 – D

15 – A 16 – D

17 – D 18 – C

19 – C 20 – C

21 – E

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CONJUNTOS E PROBLEMAS CONJUNTOS – OPERAÇÕES • }BxouAx|x{BA ∈∈=U

• }BxeAx|x{BA ∈∈=I

• }BxeAx|x{BA ∉∈=−

CONJUNTOS NUMÉRICOS

• O Conjunto IR dos números irracionais é formado por números cujas formas decimais não são exatas nem

periódicas, como, por exemplo, ...141592,3...;732,13...;414,12 =π==

• O Conjunto IR dos números reais é formado pela reunião do conjunto dos números racionais Q com o conjunto dos números irracionais IR.

CONJUNTOS NUMÉRICOS – DIAGRAMAS

INTERVALOS REAIS Dados os números reais a e b, tais que a < b:


de Matemática da 1ª série do Ensino Médio.

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EXERCÍCIOS 1. (Cesgranrio-RJ) A interseção do conjunto de todos os inteiros múltiplos de 6 com o conjunto de todos os

inteiros múltiplos de 15 é o conjunto de todos os inteiros múltiplos de A) 3. B) 18. C) 30. D) 45. E) 90. 2. (Mack-SP) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam os produtos A ou B, sendo

que algumas delas utilizam A e B. O produto A é usado por 12 dessas pessoas e o produto B, por 10 delas. O número de pessoas que utilizam ambos os produtos é

A) 5. B) 3. C) 6. D) 8. E) 7. 3. (Mack-SP) Se da soma de todos os números ímpares positivos de 2 algarismos subtrairmos a soma de

todos os números pares positivos de 2 algarismos, o resultado será A) 55. B) 51. C) 50. D) 45. E) 46. 4. Se o dobro de um número inteiro é igual ao seu triplo menos 4, então a raiz quadrada desse número é A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. 5. (Vunesp-SP) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa passagem, foi A) 1 800. B) 1 500. C) 1 400. D) 1 000. E) 800. 6. (FGV-SP) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é A) 46. B) 47. C) 48. D) 49. E) 50.

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7. (Mack-SP) Paula digita uma apostila em 2 horas, enquanto Ana o faz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitando nos primeiros 50 minutos, o tempo necessário para Ana terminar a digitação da apostila é, em minutos, A) 120. B) 110. C) 105. D) 95. E) 90. 8. (Mack-SP) Sabe-se que o quadrado de um número natural k é maior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é maior do que o seu quadrado. Dessa forma, k² – k vale A) 6. B) 8. C) 10. D) 12. E) 20. 9. (Mack-SP) Três restaurantes “por quilo”, A, B e C, apresentam seus preços de acordo com a tabela abaixo.

Se uma pessoa consumir 400 g de alimentos, então pagará A) mais em B do que em A. B) mais em C do que em B. C) mais em A do que em C. D) valores iguais em A e em C. E) valores iguais em B e em C. 10. (Mack-SP) Um feirante comprou 33 caixas de tomate e cada uma custou R$ 20,00. Se na compra seguinte o preço de cada caixa aumentou em 10%, o feirante, com a mesma quantia gasta na primeira vez, pode comprar um número de caixas igual a A) 32. B) 31. C) 30. D) 29. E) 28. 11. (Efoa-MG) Em uma cidade com 40 000 habitantes há três clubes recreativos: Colina, Silvestre e Campestre. Feita uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 20% da população frequenta o Colina; 16%, o Silvestre; 14%, o Campestre; 8%, o Colina e o Silvestre; 5%, o Colina e o Campestre; e 4%, o Silvestre e o Campestre. Somente 2% frequentam os três clubes. O número de habitantes que não frequentam nenhum desses três clubes é A) 26 000. B) 28 000. C) 30 000. D) 32 000. E) 34 000.

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12. (UFSCar-SP) Nas eleições do dia 1º de outubro passado, dos eleitores que compareceram às urnas em uma determinada cidade, 29% deles votaram, para prefeito, no candidato U, 36% no candidato V, 25% no candidato W e os 20 000 eleitores restantes votaram em branco ou anularam seus votos. Com base nesses dados, o número de eleitores que votou no candidato V foi A) 50 000. B) 58 000. C) 72 000. D) 180 000. E) 200 000. 13. (Esal-MG) Foi consultado certo número de pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 assistem ao canal B, das quais 150 assistem a ambos os canais, A e B, e 80 assistem a outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas é A) 800. B) 720. C) 600. D) 570. E) 500. 14. (Furg-RS) Em uma pesquisa feita a 30 alunos sobre o tipo de revista que costumam ler, 14 responderam que leem a revista X, cinco responderam que leem a revista Y e sete responderam que leem a revista Z. Sabendo-se que três leem as revistas X e Y, dois leem as revistas X e Z, dois leem as revistas Y e Z e somente um lê as três revistas, o número dos que leem pelo menos uma dessas três revistas é A) 8. B) 12. C) 19. D) 20. E) 26. 15. (UNI-Rio-RJ) Numa pesquisa para se avaliar a leitura de três revistas, A, B e C, descobriu-se que 81 pessoas leem, pelo menos uma das revistas; 61 pessoas leem somente uma delas e 17 pessoas leem duas das três revistas. Assim sendo, o número de pessoas mais bem informadas entre as 81 é A) 3. B) 5. C) 12. D) 29. E) 37. 16. Durante uma viagem choveu 5 vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuvas. Quantos dias durou a viagem? A) 6. B) 7. C) 8. D) 9. E) 10.

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17. Em uma pesquisa sobre a leitura dos jornais editados na capital de um estado, 45% dos entrevistados afirmaram ler o jornal A, 65% afirmaram ler o jornal B, e 26% afirmaram ler somente outros jornais. A percentagem dos leitores que leem o jornal A e B é A) 20%. B) 26%. C) 30%. D) 36%. E) 45%. 18. (UFMG) Em uma escola 5000 alunos inscreveram-se para cursar as disciplinas A e B. Desses alunos, 2825 matricularam-se na disciplina A e 1027 na disciplina B. Por falta de condições acadêmicas 1324 alunos não puderam matricular-se em nenhuma das disciplinas. O número de alunos matriculados, simultaneamente, nas duas disciplinas é A) 156. B) 176. C) 297. D) 1027. E) 1798. 19. (UFBH) Um colégio ofereceu cursos de Inglês e Francês, devendo os alunos se matricularem em, pelo menos, um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto Inglês quanto Francês; em Francês, matricularam-se 22 alunos e, em Inglês A) 09 alunos. B) 23 alunos. C) 32 alunos. D) 35 alunos. E) 36 alunos.

20. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: • 40% dos entrevistados leem o jornal A. • 55% dos entrevistados leem o jornal B. • 35% dos entrevistados leem o jornal C. • 12% dos entrevistados leem os jornais A e B.

• 15% dos entrevistados leem os jornais A e C. • 19% dos entrevistados leem os jornais B e C. • 7% dos entrevistados leem os três jornais. • 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos

três jornais. Considerando-se esses dados, o número total de entrevistados foi A) 1200. B) 1500. C) 1250. D) 1350. 21. (UFOP) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez, conclui-se, portanto, que A) 31 são mulheres. B) 29 são homens. C) 29 são mulheres não jogam xadrez. D) 23 homens não jogam xadrez. E) 9 homens não jogam xadrez.

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22. (ENEM – 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? A) 1/2. B) 5/8. C) 1/4. D) 5/6. E) 5/14. 23. (PUC – 2013) Em certa região, das 1.200 pessoas que têm acesso à internet, 60% usam o Facebook, 32% utilizam o Twitter e 26% fazem uso dessas duas redes de relacionamento. Com base nessas informações, pode-se estimar que, dentre essas 1.200 pessoas, o número das que não participam de nenhuma dessas redes de relacionamento é A) 358. B) 382. C) 408. D) 480. 24. (PUC – 2013) Em certa cidade de 10.000 moradores, são lidos os jornais A e B. Sabendo-se que 45% da população leem o jornal A, 15% leem os dois jornais e 20% não leem jornal, pode-se estimar que o número de leitores do jornal B é igual a A) 3.500. B) 4.000. C) 4.500. D) 5.000. 25. (CEFET – 2013) Em uma enquete realizada com pessoas de idade superior a 30 anos, pesquisou-se as que estavam casadas ou não, se tinham ou não filhos. Constatou-se que 45 pessoas não eram casadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam casadas e com filhos. Sabendo-se que 180 pessoas responderam a essa enquete, o número das que se declararam não casadas e sem filhos foi de A) 13. B) 23. C) 27. D) 32. E) 36.

GABARITO 1 – C 2 – E 3 – D

4 – B 5 – D

6 – D 7 – C

8 – D 9 – C

10 – C 11 – A

12 – C 13 – E

14 – D 15 – A

16 – B 17 – D

18 – B 19 – E

20 – B 21 – C

22 – A 23 – C

24 – A 25 – A

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROGRESSÃO ARITMÉTICA • P.A. (a1, a2, a3, ..., an) • Razão: determinamos a diferença entre um termo e seu antecessor: a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = r

• Termo geral: r)1n(aa 1n ⋅−+=

• Soma dos termos: 2

n)aa(S n1

n⋅+

=

• Três termos em P.A.: (x – r, x, x + r)


de Matemática das 1ª ou 2ª séries do Ensino Médio, que abordam o tema “Progressões”.

EXERCÍCIOS

1. (VUNESP) Uma P.A. de 51 termos tem o vigésimo sexto termo igual a -38; então, a soma dos termos dessa progressão é A) -900. B) -1 938. C) 969. D) 0. E) -969 2. (Mack-SP) Entre os inteiros x, tais que |x| < 60, aqueles que não são divisíveis por 4 são em número de A) 90. B) 91. C) 92. D) 93. E) 94. 3. (FUVEST-SP) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:

O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A “linha” e a “coluna” em que o número 500 se encontra são, respectivamente, A) 2 e 2. B) 3 e 3. C) 2 e 3. D) 3 e 2. E) 3 e 1.

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4. (UNESP) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez foi A) 15. B) 16. C) 17. D) 18. E) 26. 5. (UEL-PR) Uma decoradora usou 210 garrafas plásticas de 33 cm de altura para confeccionar uma árvore de Natal em forma de triângulo. Para isso, usou uma placa triangular na qual colou as garrafas da seguinte forma: uma garrafa na primeira fila, duas na segunda fila, e assim sucessivamente, acrescentando uma garrafa a cada fila. Qual deve ser a altura da placa, sabendo que não há sobreposição de garrafas, não há espaço entre uma fila e outra e que sobram 10 cm no tipo e 10 cm na base da árvore? A) 3,8 m. B) 5,4 m. C) 6,6 m. D) 6,8 m. E) 7,13 m. 6. (FGV-SP) Uma empresa projetou as receitas mensais para o ano 2010 do seguinte modo: • A receita para janeiro é R$ 1 250 000,00. • Em cada mês, a receita é R$ 40 000,00 superior à do mês anterior. Nessas condições, a receita prevista para todo o ano de 2010 é A) R$ 17 520 000,00. B) R$ 17 560 000,00. C) R$ 17 680 000,00. D) R$ 17 600 000,00. E) R$ 17 640 000,00. 7. Para arrecadar doações, uma entidade beneficente usou uma conta telefônica do tipo 0800. O número de pessoas que ligaram, por dia, variou de acordo com uma progressão aritmética de razão 4. Sabendo-se que cada doação foi de R$ 0,40 e que no primeiro dia duas pessoas ligaram, o número MÍNIMO de dias para que o total arrecadado atingisse R$ 81 920,00 foi A) 230. B) 280. C) 250. D) 320. E) 300. 8. (UFV-MG) As medidas dos lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética de razão r. Se o cateto menor mede x – r e a área do triângulo é 30, então o valor de r é

A) 3 .

B) 7 .

C) 2 .

D) 5 .

72



9. (UNESP) Um fazendeiro plantou 3 960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação foi feita mês a mês em progressão aritmética. No primeiro mês, foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x + r) árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2 160 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês foi A) 50. B) 75. C) 100. D) 150. E) 165. 10. (PUC-Campinas) Um pai resolve depositar todos os meses certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro mês, e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de A) R$ 150,00. B) R$ 250,00. C) R$ 400,00. D) R$ 520,00. E) R$ 600,00. 11. (PUC-MG) O tempo destinado à propaganda eleitoral gratuita é dividido entre três coligações partidárias em partes diretamente proporcionais aos termos da progressão aritmética; t, t + 6, t². Nessas condições, de cada hora de propaganda eleitoral gratuita, a coligação partidária à qual couber a maior parte do tempo t, medido em minutos, ficará com A) 26 min. B) 28 min. C) 30 min. D) 32 min. 12. (UFU-MG) Sabe-se que a soma dos dez primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 500. A soma do terceiro e do oitavo termos dessa progressão é igual a A) 50. B) 100. C) 25. D) 125. 13. As quantias, em reais, de cinco pessoas, estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui A) R$ 200,00. B) R$ 180,00. C) R$ 150,00. D) R$ 120,00. E) R$ 100,00.

73



14. (UFG) Deseja-se pintar com tintas de cores preta e amarela, alternadamente, um disco no qual estão marcados círculos concêntricos, cujos raios estão em P.A. de razão 1m. Pinta-se no primeiro dia o círculo central do disco, de raio 1 m, usando 0,5 L de tinta preta. Nos dias seguintes, pinta-se a região delimitada pela circunferência seguinte ao círculo pintado no dia anterior. Se a tinta usada, não importando a cor, tem sempre o mesmo rendimento, a quantidade total de tinta amarela gasta até o 21º dia, em litros, será de A) 100,0. B) 105,0. C) 115,5. D) 199,5. E) 220,5. 15. (ENEM – 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de A) 497,25. B) 500,85. C) 502,87. D) 558,75. E) 563,25. 16. (ENEM – 2013) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados (Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013). No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número A) 32. B) 34. C) 33. D) 35. E) 31. 17. (CEFET – 2013) Durante o mesmo período, dois irmãos depositaram, uma vez por semana, em seus respectivos cofrinhos uma determinada quantia, da seguinte forma: o mais novo, depositou, na primeira semana, R$ 1,00, na segunda R$ 2,00, na terceira, R$ 3,00 e assim, sucessivamente, enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00 semanalmente até que ambos atingissem a mesma quantidade de dinheiro. Não havendo retirada em nenhum dos cofrinhos, a quantia que cada irmão obteve ao final desse período, em R$, foi de A) 19. B) 21. C) 190. D) 210. E) 290.

GABARITO 1 – B 2 – A

3 – A 4 – B

5 – D 6 – E

7 – D 8 – D

9 – A 10 – E

11 – D 12 – B 13 – A 14 – B 15 – D 16 – A 17 – C

74



PROGRESSÃO GEOMÉTRICA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA • P.G. (a1, a2, a3, ..., an), ai ≠ 0 e ni1 ≤≤

• Razão: efetuamos a divisão entre um termo e seu antecessor: qaa

...aa

aa

aa

1n

n

3

4

2

3

1

2 ====−

• Termo geral: 1n1n qaa −

⋅=

• Soma dos termos: 1q,q1q1

aSn

1n ≠

−

−⋅=

• Soma dos termos de uma P.G. infinita: 1q1,q1

aS 1 <<−

−=

•

• Três termos em P.G.:

⋅ qx,x,

qx


de Matemática das 1ª ou 2ª séries do Ensino Médio, que abordam o tema “Progressões”.

EXERCÍCIOS

1. (UFPE) Supondo-se que numa progressão geométrica o 1º termo é 1 e o 6º termo é 32, qual alternativa corresponde ao produto dos 6 primeiros termos dessa progressão? A) 1 024. B) 4 096. C) 5 120. D) 10 000. E) 32 768. 2. (UEL-PR) Para testar o efeito da ingestão de uma fruta rica em determinada vitamina, foram dados pedaços dessa fruta a macacos. As doses da fruta são arranjadas em uma sequência geométrica, sendo 2g e 5g as duas primeiras doses. Qual a alternativa correta para continuar essa sequência? A) 7,5 g; 10,0 g; 12,5 g... B) 125 g; 312 g; 619 g... C) 8 g; 11 g; 14 g... D) 6,5 g; 8,0 g; 9,5 g... E) 12,500 g; 31 250 g; 78 125 g...

3. (Unimontes-MG) Considerando uma infinidade de quadrados de lados medindo ,...,2

1,

³2

1,

²2

1,

2

1,1

4em

centímetros, a soma das áreas de todos esses quadrados é, em cm², igual a A) 1/4. B) 1/2. C) 4. D) 2.

75



4. (UNIFEI-MG) Considere uma progressão geométrica (P.G.) de 8 termos, em que a soma dos termos de ordem par é 510 e a soma dos termos de ordem ímpar é 255. Então, a razão q dessa P.G. vale A) 1/3. B) 1/2. C) 2. D) 3.

5. (PUC-MG) O valor de x na igualdade 12...9x

3x

x =+++ , na qual o primeiro membro é a soma dos termos

de uma progressão geométrica infinita, é igual a A) 8. B) 9. C) 10. D) 11. 6. (UFRGS) Os termos x, x + 9 e x + 45 estão em progressão geométrica, nessa ordem. A razão dessa progressão é A) 45. B) 9. C) 4. D) 3. E) 4/3. 7. (UEL-PR) Um automóvel zero km é comprado por R$ 32 000,00. Ao final de cada ano, seu valor diminui 10% em função da depreciação do bem. O valor aproximado do automóvel, após seis anos é de A) R$ 12 800,00. B) R$ 15 006,00. C) R$ 16 006,00. D) R$ 17 006,00. E) R$ 19 006,00. 8. (UFJF-MG) Uma progressão aritmética e uma geométrica têm o número 2 como primeiro termo. Seus quintos termos também coincidem e a razão da P.G. é 2. Sendo assim, a razão da P.A. é A) 8. B) 6. C) 32/5. D) 4. E) 15/2.

76



9. (UFU-MG) Cubos são colocados uns sobre os outros, do maior para o menor, para formar uma coluna, como mostra a figura a seguir.

O volume do cubo maior é 1 m³ e o volume de cada um dos cubos é igual a 1/27 do volume do cubo sobre o qual está apoiado. Se fosse possível colocar uma infinidade de cubos, a altura da coluna seria, em metros, igual a A) 27/26. B) 2. C) 1,5. D) 4,5. 10. (UFOP-MG) O primeiro termo de uma progressão geométrica vale ¼ e o segundo termo vale 2. O vigésimo termo vale A) 258. B) 255. C) 141/4. D) 67/2. 11. (PUC-MG) O número de assinantes de uma revista de circulação na grande BH aumentou, nos quatro primeiros meses de 2005, em progressão geométrica, conforme assinalado na tabela a seguir.

Com base nessas informações, de fevereiro para abril, o número de assinantes dessa revista teve um aumento igual a A) 1 050. B) 1 155. C) 1 510. D) 1 600. 12. (PUC-MG) Depois de percorrer um comprimento de arco de 12 m, uma criança deixa de empurrar o balanço em que está brincando. Se o atrito diminuir a velocidade do balanço de modo que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a 80% do anterior, a distância total percorrida pela criança, em metros, até que o balanço pare completamente, é dada pela expressão ...)1280,0(80,01280,012D +⋅⋅+⋅+= .

Observando-se que o segundo membro dessa igualdade é a soma dos termos de uma progressão geométrica, estima-se corretamente que o valor de D, em metros, é igual a A) 24. B) 36. C) 48. D) 60.

77



13. (UFSM-MT) A sequência de números reais (x, y, z, t) forma, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 160; a sequência de números reais (x, y, w, u) forma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 3. Assim, a soma t + u é A) 440. B) 340. C) 240. D) 140. E) 40. 14. (Unifor-CE) O 2º e o 5º termos de uma progressão geométrica são, respectivamente, 1/6 e 1/48. O 6º termo dessa progressão é A) 1/56. B) 1/72. C) 1/85. D) 1/96. E) 1/144. 15. (UFRGS) Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês, passará a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento, serão lançados juros de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos, a dívida, em reais, será A) zero. B) x/12. C) (0,88)12x. D) (0,92)12x. E) (1,1)12x. 16. (PUC – 2013) Os números inteiros não nulos a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão cinco. Os números a, bx e c, nessa ordem, formam uma progressão aritmética. O valor de x é A) 13/5. B) 17/5. C) 15. D) 25.

GABARITO 1 – E 2 – E

3 – D 4 – C

5 – A 6 – C

7 – D 8 – E

9 – C 10 – B 11 – B 12 – D 13 – B 14 – D 15 – C 16 – A

78



RELAÇÕES E FUNÇÕES FUNÇÕES

ByeAxquedado),x(fyouBA:f ∈∈=→

• Adotando dois conjuntos, A e B, não vazios, e uma relação binária de A em B, dizemos que essa relação é função de A em B se, e somente se, a cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B. Assim sendo, temos que

o Domínio da função: A)f(D =

o Contradomínio da função: B)f(CD =

o Imagem da função: B)fIm( ⊂

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL • 1º CASO: Quando a variável aparece no denominador da fração.

Condição: O denominador de uma fração deve ser diferente de zero

• 2º CASO: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par. Condição: O radicando de um radical de índice par deve ser um número maior ou igual a zero.

• 3º CASO: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par e esse radical está no denominador de uma fração. Condição: este caso é a reunião dos dois primeiros; logo, o radicando deve ser maior que zero.



EXERCÍCIOS

1. (UFPA) Dada a função f de { } { }2,1,0,1,2Bem2,1,0A −−== definida por f (x) = x – 1, qual o conjunto imagem

de f? A) { }1,0,1−

B) { }2,1,0,1,2 −−

C) { }2,1,0

D) { }0,1,2 −−

E) { }2,1,0 −

2. (UFMG) Considerando-se a função definida por ( )

−=

irracionaléxsex1

racionaléxsexxf

2

. O valor de

( ) ( ) é21

f42f22f

−+

A) 224 − .

B) 225 − .

C) 22 .

D) 23 . E) 7 .

79



3. (PUC-MG) Seja a função f(x) = 2x3x4

+

−O domínio de f(x) é

A) R.

B) R + .

C) R - {-2}. D) R - {4}.

E) R -

23

.

4. (MACK-SP) Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [-5,4] pelo gráfico a seguir.

Então o valor de f(f(-3)) é A) -2. B) 0. C) -1 D) 1. E) 2. 5. (Fac.Batista-MG) Considere a função dada por f(x) = x² + 2. Então, o conjunto de todos os valores de a para os quais f(1 – a) = f(2a) é

A)

−31

,1 .

B) 31

.

C) {-1} . D) {1}.

E)

31

,1 .

6. (UFMG) Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido para um

camundongo percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função f(n) =

+

n12

3 minutos. Com

relação a essa experiência, é CORRETO afirmar que um camundongo A) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. B) gasta 5 minutos e 40 segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. C) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. D) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. E) percorre o labirinto, numa das tentativas, em três minutos e 30 segundos.

80



7. (PUC-RS) Seja f : R*�R a função definida por f(x) x5

3x2 −= . O elemento do domínio que tem

52

− como

imagem é A) -15. B) -3. C) zero.

D) 52

.

E) 43

.

8. (UFMG) Observe o gráfico da função f.

Com base neste gráfico é CORRETO afirmar que A) f assume o valor máximo em x = c. B) f assume o valor mínimo em { }exd;Rxx <≤∈∈ .

C) o conjunto imagem de f é { }nxm;Rx <≤∈ .

D) o domínio de f é { }exa;Rx ≤<∈ .

E) f não está definida em a. 9. (MACK) O gráfico abaixo representa uma função definida em R por y = f(x).

O valor de f(2) + f(f(- 5)) é A) – 2. B) – 1. C) 0. D) 1. E) 2.

81



10. (UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.

Esse gráfico representa a relação entre ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia. A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é A) para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. B) a razão entre a quantidade absorvida e quantidade ingerida é constante. C) para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do

composto ingerido. D) a absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20

mg/dia.

11. (UFGO) Se f (x) = x – 3, o conjunto de valores de x tais que ( ) ( )xfxf 2= é

A) { }1,0 .

B) { }0,1− .

C) {1}. D) { }3,2− .

E) {3,4}.

12. (AMAN) Se ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]1fg1gfentão,x2xge1x3xf 2−−−=+= é igual a

A) -1. B) 1. C) 15. D) 0.

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13. (Santa Casa) Num município, pesquisou-se durante um ano o número de casos registrados de certa doença, encontrando-se os dados representados no gráfico abaixo.

É CORRETO afirmar que A) este gráfico representa uma função crescente. B) o menor número de casos ocorreu no mês de julho. C) o número total de casos registrados nos 3º trimestre foi maior que o total de casos registrados no 1°

semestre. D) a maior diferença de números de casos registrados ocorreu do mês de outubro para o mês de novembro. E) a incidência de casos registrados decresceu nos meses de maio, junho e julho. 14. (ENEM – 2013) A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de

atração entre duas massas. Ela é representada pela expressão: 211

dmm

GF = , onde m1 e m2 correspondem às

massas dos corpos, d à distância entre eles, G à constante universal da gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o outro. O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra.

Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?

GABARITO 01. A 02. E 03. B 04. C 05. B 06. B 07. A 08. C 09. D 10. B 11. A 12. A 13. E 14. B

83



FUNÇÃO DO 1º GRAU DEFINIÇÃO • ,RR:f → sendo f(x) = ax + b, com a, b ∈ R e a ≠ 0.

o a é o coeficiente angular; o b é o coeficiente linear.

ZERO DA FUNÇÃO

f(x) = ax + b se anula para ab

x −= .

CRESCENTE DECRESCENTE

SINAL DA FUNÇÃO a > 0

• f(x) > 0, se ab

x −>

• f(x) = 0, se ab

x −=

• f(x) < 0, se ab

x −<

a < 0

• f(x) > 0, se ab

x −<

• f(x) = 0, se ab

x −=

• f(x) < 0, se ab

x −>

INEQUAÇÃO – RESOLUÇÃO 1º. Obter a inequação equivalente tal que o 2º membro seja zero. 2º. Fazer o estudo do sinal da função cuja lei é dada pela expressão que ficou no 1º membro, representando-o graficamente em um eixo. 3º. Determinar o conjunto dos valores de x que tornam a inequação uma sentença verdadeira.

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INEQUAÇÃO PRODUTO – RESOLUÇÃO 1º. Fazer o estudo dos sinais das funções dadas pelos fatores. 2º. Determinar para cada x o sinal do produto, aplicando a regra de sinais. 3º. Determinar o conjunto dos valores de x que tornam a inequação verdadeira. INEQUAÇÃO QUOCIENTE – RESOLUÇÃO O procedimento é análogo ao da inequação-produto, lembrando que devemos excluir os valores de x que anulam o denominador. Você encontrará mais material para estudo, revisão e aprofundamento em relação a esse assunto em livros


EXERCÍCIOS

1. Uma função real do 1º grau é tal que f(0) = 1 + f(1) e f(-1)= 2 - f(0). Então f(3) é A) – 3.

B) 25

− .

C) -1. D) 0.

E) 27

.

2. (CESCEM) A figura representa a função baxy += . O valor da função no ponto 31

x −= é

A) 2,8. B) 2,6. C) 2,5. D) 1,8. E) 1,7. 3. (VUNESP) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico, resulta a figura ao lado. Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura, a planta terá, no 30° dia, uma altura, em cm, igual a

A) 5. B) 6. C) 3. D) 15. E) 30.

85



4. (ESPC) Sendo f uma função real tal que f(x – 2) = ax + b, x∈R. Se f (2) = 5 e f (3) = 8, o valor de ba ⋅ é A) – 32. B) – 23. C) – 21. D) 12. E) 36. 5. (UFPl) A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a) x + 2, é crescente quando A) a > 0. B) a < 3/2. C) a = 3/2. D) a > 3/2.

6. (PUC) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e f(3) = -3. Então f(0) é igual a A) 0. B) 2. C) 3. D) 4. E) -1.

7. A solução do sistema

( ) ( )

−−>−−

+<

−<+

5x313x211

10x3x48

x272x3

é o conjunto de todos os números reais x tais que

A) -1 < x < 0. B) -1 < x < 1.

C) -1< x < 92

.

D) 31

x1 <<− .

E) 94

x1 <<− .

8. O conjunto verdade da inequação ≥+

−

x53x

0 é dado por

A) { }3x5eRx ≤<−∈ .

B) { }3xe5xeRx >−<∈ .

C) ( ){ }3xou5xeRx ≥−<∈ .

D) { }5xeRx −≠∈ .

E) { }3xou5xeRx ≥≤∈ .

9. (UFMG) Considere a função ( )3x2x2

xf−

+= . O Conjunto dos valores de x para os quais

f(x) { }4y0:Ry ≤<∈∈ é

A) { }7x:Rx ≥∈ .

B) { }7xou1x:Rx ≥−<∈ .

C) { }7x1:Rx ≤<−∈ .

D) { }1x:Rx −<∈ .

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10. (PUC-MG) O domínio da função f(x) = 1x

x−

é o intervalo

A) )[ ( )+∞∪ ,11,0 .

B) )[ ∞+− ,0 .

C) ( ) ( )+∞∪∞− ,11, .

D) ( )1,1− .

E) ( )∞∞− , .

11. (UFMG) Se f(x + 1) = 2x + 4, então f(5) é igual a A) 14. B) 12. C) 10. D) 8. E) 6.

12. (MACK) Considere um quadrado de lado l , diagonal d e perímetro p. A função que define a diagonal em termos do perímetro do quadrado é dada pela expressão

A) ( )4

p2pd = .

B) ( )2

ppd = .

C) ( )4

2ppd = .

D) ( )2

2ppd = .

E) ( )4

2ppd

2

= .

13. Os valores de k que fazem com que a função f(x) = x + k -k8

corresponda ao gráfico são

A) 2 e -2. B) -1 e -2. C) 3 e 4. D) -2 e -1. E) 2 e -4.

87



14. (PUC) Considere as funções ( ) ( ) ( )[ ]gffxge1x2xf =−= . O ponto do gráfico de y = g (x) que tem

ordenada 5 é A) (2,5). B) (17,5). C) (9,5). D) (5,9). E) (5,17).

15. (UFMG) Para alimentar seus pássaros, um criador compra, mensalmente, ração e milho num total de 1000 kg. A ração custa R$ 400,00 o quilograma e o milho, R$ 250,00. Se x representa a quantidade, em quilogramas, de ração comprada, é CORRETO afirmar que a função gasto, em reais, é dada por A) g(x) = 150 x, 0 < x < 1000. B) g(x) = 400 x, 0 < x < 1000. C) g(x) = 150 x + 250 000,0 < x < 1000. D) g(x) = 250 x + 400000,0 < x < 1000. E) g(x) = 400 x - 250000,0 < x < 1000. 16. (U.F.Uberlândia) No gráfico estão representadas as funções (I) e (II), definidas por y = 3 – x e y = kx + t, respectivamente.

Os valores de k e t são, respectivamente, A) 2 e 1. B) - 2 e 1. C) 2 e 0. D) - 1/2 e 0. E) 1/2 e 0. 17. (UFMG) Observe a figura.

As duas retas representam equações de primeiro grau com duas variáveis. É CORRETO afirmar que o sistema representado por essas equações A) não tem solução. B) tem como solução o conjunto {(-1, 0), (1,0)}. C) tem como solução o conjunto {(0, -2), (0, 2)}. D) tem infinitas soluções. E) tem uma única solução.

88



18. (UFMG) Suponha-se que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de

luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função f(x) =x150

x300−

. Se o

número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é A) 25. B) 30. C) 40. D) 45. E) 50.

19. (UFMG) Observe a figura.

O gráfico da função f(x) = ax + b está representado nessa figura. O valor de a + b é A) -2. B) 2.

C) 27

.

D) 29

.

E) 6.

GABARITO 01. B 02. C

03. B 04. C

05. B 06. C

07. C 08. C

09. B 10. A

11. B 12. C 13. E 14. A 15. C 16. E 17. A 18. B 19. B

89



FUNÇÃO QUADRÁTICA DEFINIÇÃO • ,RR:f → sendo f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0.

o a é o coeficiente angular; o b é o coeficiente linear.

ZEROS DA FUNÇÃO

f(x) = ax² + bx + c se anula para a2

bx

∆±−= , em que ∆ = b² – 4ac.

asintdistreaisraízes2

0>∆

iguaisreaisraízes2

0=∆

realraiznenhuma

0<∆

• 0a > → Concavidade voltada para cima

• 0a < → Concavidade voltada para baixo

VÉRTICE E CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO

a2b

xv −= a4

yv∆

−=

a > 0 → ponto de mínimo a < 0 → ponto de máximo

∆

−≥∈=a4

y|Ry)fIm(

∆

−≤∈=a4

y|Ry)fIm(

90



SINAL DA FUNÇÃO

0a

0

>

>∆

0a

0

>

=∆

0a

0

>

<∆

0a

0

<

>∆

0a

0

<

=∆

0a

0

<

<∆

0>∆ 0=∆ 0<∆

INEQUAÇÃO – RESOLUÇÃO 1º. Obter a inequação equivalente tal que o 2º membro seja zero. 2º. Fazer o estudo do sinal da função cuja lei é dada pela expressão que ficou no 1º membro, representando-o graficamente em um eixo. 3º. Determinar o conjunto dos valores de x que tornam a inequação uma sentença verdadeira. INEQUAÇÃO PRODUTO – RESOLUÇÃO 1º. Fazer o estudo dos sinais das funções dadas pelos fatores. 2º. Determinar para cada x o sinal do produto, aplicando a regra de sinais. 3º. Determinar o conjunto dos valores de x que tornam a inequação verdadeira. INEQUAÇÃO QUOCIENTE – RESOLUÇÃO O procedimento é análogo ao da inequação-produto, lembrando que devemos excluir os valores de x que anulam o denominador.



91



EXERCÍCIOS 1. (UFMG) Observe a figura, que representa o gráfico de y = ax² + bx + c.

ASSINALE a única afirmativa FALSA em relação a esse gráfico. A) ac é negativo. B) b² - 4ac é positivo. C) b é positivo. D) c é negativo.

2. (PUC) A reta bx2y += e a parábola 3x2xy 2+−= têm um único ponto comum. O valor de b é

A) -1,5. B) -1. C) 1. D) 1,5. E) 2.

3. O domínio (campo de definição) da função: é,x4

xy

2−

=

A) { }2x2/Rx <<−∈ .

B) { }2x2/Rx ≤≤−∈ .

C) { }2x0e2x/Rx <≤−<<∞−∈ .

D) { }2x0ou2x/Rx <≤−<<∞−∈ .

4. O valor de x para que ( ) ( ) 06x5x4x4x 22≤+−⋅−+− , é

A) (- ∞ , 3). B) (2,3). C) (2, 3). D) ] [( )∞∞− ,3,2,

5. O valor de m para que a desigualdade x²+ 2x + m – 10 > 0 seja verificada para qualquer valor de x é A) m < 11. B) m > 11. C) m = 4. D) m < -11 ou m > 5.

92



6. (PUC) Na equação 4x² – 4px + p – 16 = 0, para que uma das raízes seja o inverso da outra, o valor de “p” deve ser A) 16. B) 22. C) 18. D) 24. E) 20. 7. (PUC) Se a equação (m – 1) x² + 2mx – (m + 1) = 0 admite uma raiz real dupla, o valor positivo de m é

A) 32

.

B) 22

.

C) 2 .

D) 2 2 . E) NA. 8. (UFMG) A soma e o produto das raízes da equação px² + 2 (q - 1) x + 6 = 0 são, respectivamente, -3 e 3. O valor de “q” é A) -4. B) -2. C) 0. D) 2. E) 4.

9. Após várias experiências em laboratório, observou-se que a concentração de certo antibiótico, no sangue de cobaias, varia de acordo com a função y = 12x – 2x², em que x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, o tempo necessário para atingir o nível máximo de concentração desse antibiótico, no sangue dessas cobaias é A) 4. B) 32. C) 3. D) 18.

10. (UFMG) O maior valor inteiro de K, para o qual 2kx² + 3x – 1 = 0, não tem raízes reais é A) -2. B) -1. C) 0. D) 1. E) 2.

11. (UFMG) Sejam a e b raízes da equação 3x² – 5x + p = 2. Se 25

b1

a1

=+ é CORRETO afirmar que o valor

de p é A) -2.

B) 58

− .

C) 0. D) 2. E) 4.

93



12. (CESGRANRIO) O gráfico do trinômio do 2º grau y = x² + bx + c é o da figura.

É CORRETO concluir que A) b = -1 e c = 0. B) b = 0 e c = -1. C) b = 1 e c = 1. D) b = -2 e c = 0. E) b = 4 e c = 0.

13. (UFMG) Seja f(x) = 2ax + bx + c uma função real com duas raízes reais e distintas. Sabendo-se que f(1) > 0, é CORRETO afirmar que A) se a > 0, então as raízes são maiores que 1. B) se a > 0, então x = 1 está entre as raízes de f(x). C) se a < 0, então x = 1 está entre as raízes de f(x) D) se a > 0, então as raízes são menores que 1.

14. (UFMG) A solução da inequação 2x1

1x ≤+ é

A) { }1xou1x;Rx =−≤∈ .

B) { }1xou0x;Rx =<∈ .

C) { }1x;Rx =∈ .

D) { }1x;Rx ≤∈ .

E) { }0x;Rx <∈ .

15. (PUC-MG) O gráfico representa a função f(x) = ax² + bx + c.

A afirmativa correta é A) a > 0 B) b² - 4ac < 0. C) e) f(x) ∈ [4,+ ∞ [. D) f(x) > 0 se x ∈ ] 0, 4 [. E) a função não possui raízes reais.

94



16. (PUC) O ponto (2, 7) é o ponto de maior ordenada do gráfico de f(x) = ax² + 8bx – 1. O valor de f(3) é A) 4. B) 5. C) 6 . D) 7. E) 8.

17. (PUC-MG) O domínio da função f(x) = 1x

4x5x2

−

−+− é o intervalo

A) (1,4]. B) [1,4]. C) (1,4). D) [1,4). E) (- ∞∞, ).


Nessa figura está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de 2° grau cuja expressão é

A) x25x

y2

−= .

B) x10xy 2−= .

C) x10xy 2+= .

D) x105x

y2

−= .

E) x105x

y2

+= .

19. (ESPC) Considere m, n e p números reais não nulos e as funções f e g de variável real, definidas por

pnxmx)x(f 2++= e g(x) = mx + p. A alternativa que melhor representa os gráficos de f e g é

95



20. (PUC-2000) O gráfico representa as funções nmxyecbxaxy 2+=++= .

Se ( ) ( )1,1Be4,2A − são seus pontos de interseção, o valor da expressão 4a – 2b + c + m + n é

A) 5. B) 7. C) 8. D) 10. E) 13. 21. (ENEM – 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei Cxxxf +−= 623

)( 2 ,

onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é A) 1. B) 2. C) 4. D) 5. E) 6. 22. (PUC – 2013) Na comercialização de certo produto, a receita é dada por R(q) = -q2 + 27q , o custo, pela equação C(q) = q + 48 e o lucro, pela igualdade L(q) = R(q) – C(q) . Nessas funções, o lucro, o custo e a receita são medidos em milhares de reais e a variável q indica o número de peças comercializadas. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número q de peças que devem ser comercializadas, de modo que o lucro seja máximo, é igual a A) 13. B) 14. C) 15. D) 16.

96



23. (PUC – 2013) O lucro L de certa revenda de carros, em milhares de reais, é dado pela função L(n) = n2 – n – 2, em que n é o número de veículos vendidos em uma semana. Nessas condições, essa revenda tem lucro quando, em uma semana, vende pelo menos A) dois veículos. B) três veículos. C) quatro veículos. D) cinco veículos. 24. (UEMG – 2013) Na figura a seguir, o gráfico da função y = 8 – x² contém três vértices de um losango, A, B e C. O vértice B tem coordenadas (0,8), e o ponto D tem coordenadas na origem.

Com base nas informações dadas, as coordenadas do vértice C, o perímetro e a área do losango são, respectivamente,

A) (4,2); 8 5 u.c; 32 u.a.

B) (2,4); 8 5 u.c; 16 u.a.

C) (4,2); 2 5 u.c; 32 u.a.

D) (2,4); 2 5 u.c; 16 u.a.

25. (CEFET – 2013) Sobre a função descrita por

>−−

≤+−=

2x,5x4²x

2x,6x3)x(f , afirma-se que

I – a composição f(f(f(1))) é 31. II – a soma das raízes de f é 7. III – o menor valor que f assume é –9. IV – a imagem de f é Imf = (–9, +∞). Estão corretos apenas os itens A) I e II. B) I e III. C) I e IV. D) II e III. E) II e IV.

97



26. (CEFET – 2012) Os gráficos de f(x) = ax2 + bx + 12 e g(x) = mx + n estão representados abaixo, fora de

escala.

O produto nb ⋅ vale A) – 4. B) – 1. C) 2. D) 8. E) 10.

GABARITO 01. C 02. B

03. A 04. D

05. B 06. E

07. B 08. E

09. C 10. A

11. E 12. D

13. C 14. B

15. D 16. B

17. A 18. A

19. E 20. A

21. E 22. A

23. B 24. D

25. E 26. D

98



FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÕES EXPONENCIAIS • Uma equação é denominada exponencial quando apresenta incógnitas no expoente. Se duas potências

de mesma base a, (0 < a ≠ 1), são iguais, então seus expoentes também são iguais.

kxaa kx=⇒=

FUNÇÃO EXPONENCIAL f(x) = ax para todo x real com a > 0 e a ≠ 1. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS • São inequações que envolvem funções exponenciais.

1a >

21xx xxaa 21 >⇔>

21xx xxaa 21 <⇔<

1a0 <<

21xx xxaa 21 <⇔>

21xx xxaa 21 >⇔<



EXERCÍCIOS

1. (PUC-SP) A função real definida por f(x) = a x , com a > 0 e a ≠ 1, A) só assume valores positivos. B) assume valores positivos se x > 0. C) assume valores negativos se x < 0. D) é crescente para 0 < a < 1. E) é decrescente para a > 1.

2. (PUC-SP) As funções y = bae0b,0acom,byea xx≠>>= , têm gráficos que se encontram em

A) 1 ponto. B) 2 pontos. C) 4 pontos. D) 3 pontos. E) nenhum ponto.

99



3. (FGV) Assinale o gráfico correspondente à função: y = a x− (a > 1).

4. A equação 2 x + 2 x1− = 3 tem duas raízes reais. O produto delas é A) 0. B) 1. C) 2. D) 3.

5. (UFMG) O conjunto dos valores reais de x que satisfazem a equação 3

1031

3x

x=+ é

A) {1}. B) {0}. C) {- 1,1}.

D) {3,31

}.

E) {3,-31

}.

6. (PUC-MG) Se 102428 1x2=⋅

+ , então o valor de x é A) -2. B) 2. C) 4. D) 3. E) -3.

7. (FGV-SP) A raiz da equação ( )( ) 50355355 xx=+− é

A) – 2/3. B) – 3/2. C) 3/2. D) 2/3. E) 1/2.

8. (PUC-MG) O número de raízes reais da equação 022323 23 2 xx2

=+⋅− é A) 1. B) 2. C) 3. D) 5.

100



9. (UFMG) A soma das raízes da equação 87

17

xx1

=++ , é

A) 0. B) -1. C) 1. D) 7. E) 8.

10. A solução da equação ( )x2x

27811

=

−

pertence ao intervalo

A) ]1,1[. B) ]1,2[. C) ]2,3[. D) ]3,4[.

11. (CEFET-MG) Se yy3 5devaloroentão,645 −= é

A) 51− .

B) 21− .

C) 61 .

D) 51 .

E) 41 .

12. O domínio da função f(x) = é,

24331

1x

−

A) ] [5,−∞− .

B) ] [5,+∞− .

C) ] [+∞− ,5 .

D) ] [+∞+ ,5 .

13. (FUMEC) A soma das raízes da equação ( ) 288234xx3x2x

=⋅⋅ é

A) 2. B) -2. C) 3. D) 1. E) 0.

101




Nela figura está representando o gráfico de f(x) = xka , sendo k e a constantes positivas. O valor de f(2) é

A) 83

.

B) 21

.

C) 43

.

D) 1.

15. (UNIMONTES) Dispondo em ordem crescente as potências 2 700 , 6004 , 5005 e 9 200 , obteremos

A) 600500700200 4529 <<< .

B) 500700600200 5249 <<< .

C) 200500600700 9542 <<< .

D) 200700500600 9254 <<< . 16. Num laboratório é realizada uma experiência com material volátil, cuja velocidade de volatização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula

10833m 1tt2+−−=

+ . Assim sendo, o tempo máximo que o cientista dispõe para utilizar este material antes que ele se volatize totalmente é A) inferior a 15 minutos. B) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos. C) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos. D) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos. E) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos. 17. (PUC-RS) Se 3x – 32 – x = 23, então 15 – x2 vale A) 16. B) 15. C) 14. D) 11. 18. Inicia-se a criação de certa espécie de peixe em um lago. Estudos indicam que o número N de peixes,

decorridos m meses, é dado pela fórmula: m1,023 2105105N ⋅⋅−⋅= . Assim, nesse lago, haverá aproximadamente 4000 peixes para m igual a A) 2. B) 4. C) 6. D) 8. E) 10.

102



19. (Unesp-SP) As soluções de 210

)44( 2x

=+

são

A) todas negativas. B) um zero e outra negativa. C) uma negativa e outra positiva. D) positivas, mas menores que 3. E) positivas e uma delas igual a 3. 20. (UECE) Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que

( )t5,021640N ⋅−−= seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias do início do

processo de fabricação. Para N = 635, t é igual a A) 10. B) 12. C) 14. D) 16.

GABARITO 01. A 02. A

03. A 04. A

05. C 06. D

07. C 08. C

09. B 10. B

11. E 12. A

13. E 14. A

15. A 16. E

17. D 18. E 19. E 20. C

103



LOGARITMO LOGARITMOS

sendo a e b números reais, com

bacblog ca =⇔=

>

≠<

0b

1a0

aritmologoéc

baseaéa

aritmandologoéb

•

malog

1alog

01log

ma

a

a

=

=

=

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS • P1) clogblog)cb(log aaa +=⋅

• P2) clogblogcb

log aaa −=

• P3) blogkblog ak

a ⋅=

MUDANÇA DE BASE

• alogblog

blogc

ca =

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS • São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando ou na base do logaritmo. FUNÇÃO LOGARÍTMICA • xlogy a=

•

=

= +

R)fIm(

R)f(D *

1a > → Função crescente

1a < → Função decrescente



EXERCÍCIOS

1. Resolvendo a expressão M = 4log:16log64log 222 − encontramos

A) 5. B) 4. C) 3. D) 2.

2. (UFMG) Seja ( )0a43

8loga >−

= . O valor da base a é

A) 161

.

B) 81

.

C) 2. D) 10. E) 16.

104



3. (UFMG) Considerando 47,03loge30,02log 1010 == , é CORRETO afirmar que o valor de 60log10 , é

A) 0,141. B) 0,77. C) 1,41. D) 1,77. E) 10,77.

4. (PUC) A solução do sistema

=+

=+

3ylogxlog

9yx

22

é

A) 3 e 6. B) 1 e 8. C) 2 e 7. D) 4 e 5. E) 0 e 9. 5. (ESPC) A figura abaixo fornece a representação gráfica da função xlogy b= .

Nessas condições, o valor de b é A) 1/4. B) 2. C) 3. D) 4. E) 10.

6. (UFMG) O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a equação é1011

xlog1xlog2 1010

++=

A) { }11,1− .

B) { }6,5 .

C) { }10 .

D) { }11 .

7. (FUVEST) Sabendo-se que 25p= , é CORRETO concluir que 100log2 é igual a

A) p2 .

B) 2p.

C) 2p2 + .

D) 2 + 2 p.

E) p

p22 +.

105



8. (UFMG) Seja n = 45log15log2 228 −

Então. o valor de n é

A) 5 2 . B) 8 3 .

C) 2 5 .

D) 5 3 .

9. (PUC-MG) O domínio da função y = )x10(log10 − , para x real é

A) x = 10. B) x < 10. C) x > 10. D) x > – 10. E) -10 < x < 10. 10. (UFMG) Observe a figura.

Nessa figura está representado o gráfico da função f(x) = bax

1log2

+. Então, f(1) é igual a

A) -3. B) -2. C) -1.

D) 21

− .

E) 31

− .

11. A figura abaixo mostra a função f(x) = log b x.

O valor de b é A) 5. B) 4. C) 3. D) 2.

106



12. (PUC-MG) Sendo a > 0 e 1a ≠ , o valor de x em ( ),aalog51

alogx 4⋅=⋅ é

A) a.

B) 2a

.

C) 3a2

.

D) 41

.

E) 25

.

13. (UFMG) Os valores de x que satisfazem a equação Iog x (ax + b) = 2 são 2 e 3. Nessas condições, os

respectivos valores de a e b são A) 4 e -4. B) 1 e -3. C) -3 e 1. D) 5 e -6. E) -5 e 6. 14. Se x512log

22= , então x vale

A) 6.

B) 23

.

C) 9. D) 3.

E) 32

.

15. (UFOP) Se ( ) ( )

−

+=−=+

baba

logentão,qbalogepbalog 22 é igual a

A) p - q. B) p - 2q. C) 2p + q. D) p 2 - q. E) 2p - q.

16. A equação 25logxlog45x

log28x

log5 −=+ tem para solução

A) x = 16. B) x = 64. C) x = 32. D) x = 150. E) x = 225.

107



17. Sabendo que é16log,a2log 612 =

A) a

a

−1

4

.

B) a2

a−

.

C) ( )a12

a2+

.

D) a32

a5+

.

E) a2

a6−

.

18. A reta de equação 01y6x =−− intercepta o gráfico de xlogby a+= nos pontos de abscissa 1 e 7.

Então, os valores de a e b são respectivamente A) 7 e 6. B) 6 e 7. C) 0 e 7. D) 7 e 0. 19. (ENEM – 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante

de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão kt)7,2(A)t(M ⋅= , onde A é a

massa inicial e k uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para 2log10 .

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? A) 27 B) 36 C) 50 D) 54 E) 100

20. O valor de

4log2

log16

4 é

A) 4. B) 0,5. C) 10. D) 1. E) 16.

108



21. (UFSCar-SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: )1t(log5,1)t(h 3 ++= , com h(t) em

metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de A) 9. B) 8. C) 5. D) 4. E) 2. 22. (FGV-SP) É consenso, no mercado de veículos usados, que o preço de revenda de um automóvel

importado decresce exponencialmente com o tempo, de acordo com a função txKV ⋅= . Se 18 mil dólares é o preço atual de mercado de um determinado modelo de uma marca famosa de automóvel importado, que foi comercializado há 3 anos por 30 mil dólares, depois de quanto tempo, a partir da data atual, seu valor de revenda será reduzido a 6 mil dólares? (É dado que 4,03log15 = ).

A) 5 anos B) 7 anos C) 6 anos D) 8 anos E) 3 anos

23. (AFA-SP) A raiz da equação ( ) 2log2

)7xlog(1xlog =

+−− é

A) – 9. B) – 3. C) 3. D) 9. 24. (Ufal) A solução real da equação log2x + 2log4x + 3log8x = – 3 é um número real m tal que m² é igual a A) 16. B) 4. C) 1. D) 1/4. E) 1/2. 25. (ITA-SP) Log216 – log432 é igual a A) 1/2. B) 3/2.

C) 2log2

1

4

D) 1. 26. (PUC – 2013) Estima-se que o número de células do corpo humano é 10n, sendo 10n

246. Considerando-se que log102 = 0,30, é CORRETO afirmar que o maior valor inteiro de n é A) 12. B) 13. C) 14. D) 15.

109



27. (CEFET – 2014) O conjunto dos valores de x∈ IR para que log(1 – 2x)(2 – x – x²) exista como número real é A) { }1xou2x|Rx >−<∈ .

B)

<<−∈21

x2|*Rx .

C)

>−<∈21

xou2x|Rx .

D) { }1x2|Rx <<−∈ .

E)

<∈21

x|*Rx .

28. (CEFET – 2013) O conjunto solução da inequação e2log x – ⋅11 elog x + 28 < 0 é o intervalo A) ]4, 7[. B) ]104, 107[. C) ]log4, log7[. D) ]10ln4, 10ln7[. E) ]elog4, elog7[. 29. (CEFET – 2013) A tensão na descarga de um capacitor elétrico é expressa em função do tempo por

τ

−

⋅=

t

0 eV)t(V , em que V0 e τ são constantes e o número "e" é a constante de Euler. Nessas condições, é

correto afirmar que o tempo para que a tensão caia pela metade é expresso por: A) ln2τ.

B) ln2τ

.

C) ln2τ.

D) ln 2 .

E) ln τ .

GABARITO

01. B 02. A 03. D

04. B 05. D

06. D 07. E

08. D 09. B

10. B 11. A

12. D 13. D

14. A 15. E

16. C 17. A

18. D 19. E

20. D 21. B

22. C 23. D

24. D 25. B

26. B 27. B

28. A 29. A

nÚmeros e operaÇÕes – nÚmeros decimais · ... chama-se média aritmética ponderada ao valor:...

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