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UM ESTUDO COMPARATIVO DAS TÉCNICAS

DE PERT/CPM COM SIMULAÇÃO DE MONTE

CARLO, UMA FERRAMENTA NA GESTÃO DE

RISCOS EM PROJETOS

Roberto Capparelli Marcal (PUC-GO )

[email protected]

Maria José Pereira Dantas (PUC-GO )

[email protected]

Os prazos de execução no gerenciamento de projetos vem se caracterizando

como uma significativa restrição em vários projetos. Um dos maiores

desafios do gerenciamento de projetos é planejar e controlar prazos, pois são

inúmeras as variáveis, que possuem um certo grau de variabilidade e que

possam impactar no cumprimento do cronograma previamente definido.

Muitos erros encontrados em cronogramas ocorrem na fase de planejamento

do tempo das atividades do projeto decorrentes de equívocos no

estabelecimento das estimativas e da qualificação e quantificação dos riscos

envolvidos em sua execução. Assim se torna necessário o emprego de mais

ferramentas que possam auxiliar o programador nesta fase de planejamento

do projeto. A utilização de métodos matemáticos e estatísticos podem

auxiliar o programador a lidar com estas dificuldades no processo de tomada

de decisão. Este trabalho faz uma análise comparativa dos resultados obtidos

utilizando a técnica PERT/CPM com a simulação de Monte Carlo para o

controle da variável duração de um projeto hipotético utilizando o software

@RISK. Por fim, identificar a simulação de Monte Carlo como ferramenta ágil

de apoio aos processos de tomada de decisão no gerenciamento de

cronogramas com atividades múltiplas com variabilidades,

interdependências e correlações.

Palavras-chaves: PERT/CPM, gerenciamento de projetos, gestão de riscos em

projetos, simulação Monte Carlo

XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO

Engenharia de Produção, Infraestrutura e Desenvolvimento Sustentável: a Agenda Brasil+10

Curitiba, PR, Brasil, 07 a 10 de outubro de 2014.

XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Engenharia de Produção, Infraestrutura e Desenvolvimento Sustentável: a Agenda Brasil+10


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1. Introdução

Para atender as demandas de maneira eficaz em um ambiente caracterizado pela velocidade de

mudanças, torna-se indispensável um modelo de gestão de projetos com foco nas prioridades

e objetivos. Segundo Limmer (1997), o planejamento é o processo pelo qual os objetivos e os

procedimentos de um projeto são estabelecidos; as expectativas de ocorrência de situações

previstas são discutidas; e as informações são veiculadas entre as pessoas, unidades de

trabalho, departamentos e as empresas.

A sobrevivência de qualquer empreendimento está intimamente vinculada ao conceito de

aproveitar as oportunidades dentro de um espectro de incertezas. O que torna a gestão de

riscos tão importante são os avanços da competitividade e da tecnologia, bem como as

condições econômicas, que fazem com que os riscos assumam muitas vezes proporções

incontroláveis. Para maiores detalhes ver (SALLES JUNIOR, C.A.C. et al, 2009).

A maioria dos projetos tem como principal característica a fixação dos recursos no momento

da sua contratação. Os desembolsos de recursos são regularmente acompanhados, com a

respectiva prestação de contas em cada etapa, podendo ocorrer auditagem pelo agente

financiador. Estes fatores delimitadores exigem uma sincronia entre os trabalhos técnicos e os

recursos financeiros disponíveis. Uma vez que seja verificado o não cumprimento adequado

de um destes, pode resultar em inadimplência e gerar sanções para o empreendedor, que é o

tomador do financiamento.

Os riscos são inerentes aos projetos e nenhum planejamento, por melhor que seja, pode

sobrepujá-los. Rovai (2005) afirma que muitos projetos no Brasil, quase a sua totalidade, são

desenvolvidos sem que haja adequado uso de metodologias e modelos de gerenciamento de

riscos, o que tem causado inúmeras e significativas perdas de recursos.

A preocupação com gerenciamento de riscos tornou-se mais evidente, para a comunidade de

gerenciamento de projetos, após a publicação da pesquisa de Ibbs e Kwak (2000), em que foi

reconhecida como a área de conhecimento mais carente em termos gerenciais, examinados em

três dos quatro setores econômicos estudados (CARVALHO e RABECHINI JUNIOR, 2011;



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SALLES JUNIOR et al.; 2009).

Na linha dos estudos da natureza dos riscos e seus aspectos conceituais, destacam-se os

trabalhos de Wideman (1992), Meyer,Loch (2002) e Perminova, Gustafsson e Wilkstrom

(2008). Fundamentalmente, eles tratam dos aspectos do risco e as relações com incertezas,

dos efeitos e suas implicações para os resultados do projeto, das ambiguidades e

variabilidades, entre outros assuntos que constituem as bases do conhecimento e os alicerces

deste tema.

Os métodos mais utilizados para planejar e controlar projetos são o PERT (Program

Evaluation and Review Technique) e o CPM (Critical Path Method), os quais são úteis em

situações onde os gestores responsáveis pelo acompanhamento do projeto tem a

responsabilidade pelo planejamento, programação e controle de um projeto contendo

múltiplas atividades. No entanto estas técnicas apresentam limitações para uma previsão

realista. Ver ref.

O objetivo geral deste trabalho é propor um estudo comparativo dos resultados obtidos de

uma análise da variável duração de um determinado projeto hipotético, composto de uma

série de atividades dependentes, representadas por um diagrama de redes, utilizando o método

PERT/CPM. Posteriormente, comparar os resultados obtidos com os resultados pela

simulação de Monte Carlo desta mesma rede, utilizando o software @RISK

e Excel.

Para o desenvolvimento do artigo, na seção 2 são apresentados os métodos tradicionais e na

seção 3 é apresentado um referencial teórico para estabelecer as bases para a utilização da

simulação de Monte Carlo. Na seções 4 e 5 são detalhados os modelos utilizados para fins de

comparação. Na seção 6 os resultados são apresentados e discutidos. Por fim, a seção 7

apresenta as conclusões obtidas.

2. Métodos tradicionais de gerenciamento de prazos em projetos

O projeto é um empreendimento não repetitivo caracterizado por uma sequência clara e lógica

de eventos (com início, meio e fim), que se destina a atingir um objetivo claro e definido,

sendo conduzido por pessoas, dentro de parâmetros pré-definidos de tempo, custo e recursos

envolvidos e qualidade.



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Os métodos tradicionais gerenciamento de prazos e custos em projetos são: o CPM,

desenvolvido em 1957, utilizado para projetos cujos tempos de operação podem ser

considerados determinísticos, ou seja, conhecidos com certeza; o PERT, desenvolvido em

1958, utilizado tipicamente em projetos cujas estimativas de tempo não podem ser previstas

com certeza, aplicando conceitos estatísticos.

O planejamento com método PERT é realizado através de uma rede, apresentando uma

sequência lógica do planejamento, com as interdependências entre as operações, a fim de

alcançar um determinado objetivo. São colocadas na rede as durações das tarefas para

permitir uma análise de otimização das tarefas e ou de custo e programação. As operações que

participam de um projeto, consumindo tempo e recursos, são denominadas atividades e a

ordem em que são efetuadas, é descrita pelo diagrama de rede.

No diagrama de rede, cada atividade possui um início e um fim, que são pontos no tempo,

conhecidos como eventos. As atividades são representadas por setas e os eventos ponto inicial

e final por círculos (chamados também por nós). A seta aponta para o círculo que representa o

evento final, para dar uma ideia de progressão no tempo. As atividades são representadas por

números ou letras e os círculos são numerados, em ordem crescente da esquerda para direita.

Chama-se de duração de um caminho à soma das durações de todas as atividades que o

compõe. Em um diagrama de rede, o caminho com maior duração é denominado “Caminho

Crítico” e a sua duração determina o tempo de término de um projeto. Qualquer atraso neste

caminho, automaticamente, determinará atraso no projeto. As atividades do caminho crítico

são denominadas “Atividades Críticas”.

O PERT é quase idêntico ao método do caminho crítico (CPM), exceto por presumir que a

duração de cada atividade tem uma faixa que segue uma distribuição estatística e usa três

estimativas de tempo para cada atividade:

− Estimativa Otimista (a): representa o tempo mínimo que uma atividade pode tomar,

considerando condições totalmente favoráveis na execução da atividade.

− Estimativa Mais Provável (m): representa o tempo normal que uma atividade deve

tomar e é o resultado que ocorreria mais frequentemente se a atividade fosse feita

um grande número de vezes.



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− Estimativa Pessimista (b): representa o tempo máximo que uma atividade pode

durar. Só ocorre em condições totalmente adversas.

Isso significa que a duração de cada atividade pode variar de um tempo otimista a um tempo

pessimista, e uma média ponderada pode ser calculada para cada atividade.

Uma hipótese que se faz é que os tempos de atividades são distribuídos segundo a distribuição

Beta, em que a estimativa mais provável é dada por m. A distribuição do projeto representa a

soma das médias ponderadas das atividades no(s) caminho(s) critico(s). Assumida a

distribuição Beta, a duração esperada de uma atividade qualquer i pode ser calculada

aproximadamente por:

1.0)

em que: = média ponderada,

a = tempo otimista,

b = tempo pessimista,

m = tempo mais provável.

Uma hipótese adicional que se faz é de que o desvio padrão σ da duração de

uma atividade qualquer i é dado por:

(2.0)

A duração média do projeto ( ) é a soma de todos os tempos médios da atividade ao longo do

caminho crítico, soma de , e segue uma distribuição Normal.

(3.0)

A equação a seguir é usada para calcular o valor de “Z” encontrado nas tabelas estatísticas,



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que por sua vez, irá fornecer a probabilidade de terminar o projeto em um determinado tempo

especificado (Ts):

(4.0)

A variabilidade da duração esperada do projeto é dada pela seguinte equação:

(5.0)

As limitações dos métodos tradicionais dificulta a aplicação dos mesmos em projetos reais. O

CPM trabalha com variáveis determinísticas. O PERT apesar de levar em conta a incerteza,

considera distribuições de probabilidades para a duração das atividades, assumindo

pressupostos sobre a forma destas distribuições que não se adequam à generalidade dos

projetos. O método PERT assume que a duração do projeto obedece a uma distribuição

Normal. Se o número de atividades for grande este pressuposto pode ser razoável (teorema do

limite central), mas se for pequeno, 5 ou 6 atividades, pode acontecer que a real distribuição

de probabilidades seja longe da Normal. O método admite ainda que a distribuição da

probabilidade do tempo de conclusão do projeto é igual à do caminho crítico, subestimando

constantemente o tempo previsto de conclusão do projeto além de considerar independências

entre os tempos das atividades.

Segundo Herbert (apud Leal e Oliveira, 2011), em 1963, Van Slyke, apresenta a primeira

proposta de aplicação da Simulação de Monte Carlo (SMC) em gerenciamento de projetos,

para resolver as limitações dos métodos CPM e PERT.

3. Simulação por Monte Carlo (SMC)

A simulação é uma representação da operação de um processo ou sistema real, que envolve a

geração de uma história artificial desse sistema e a observação desta para fazer inferências

relativas às características do processo real (BANKS, CARSON e NELSON; 1996). Hillier e

Liberman (1995) indicam que a realização de uma simulação inicia-se com o

desenvolvimento de um modelo que represente o sistema a ser investigado. Tal modelo, no



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entendimento de Pidd (1996), consiste em uma representação explícita e externa de um

extrato parcial da realidade, vista pela pessoa que deseja usar o modelo, para entender, mudar,

gerenciar, indicar políticas e controlar parte daquela realidade.

A simulação tem sido utilizada na engenharia para tratar situações em que se tenta

compreender características de um sistema, sendo especialmente útil em situações que

envolvem análise de riscos (LUSTOSA; PONTE; DOMINAS, 2004).

A SMC envolve o uso de números aleatórios e probabilidades para analisar e resolver

problemas (GENTLE; 2003). Esse método surgiu no Projeto Manhattan no laboratório de

armas nucleares Los Alamos, Estados Unidos, durante a Segunda Guerra Mundial,

desenvolvido pelos cientistas John Von Newmann e Stanislaw Ulam. A denominação “Monte

Carlo” foi atribuída em referência aos jogos de azar que fazem uso constante de sorteios e de

dados, uma atração popular na cidade de Monte Carlo, Mônaco.

O método de SMC pode ser aplicado em problemas de tomada de decisão a qual envolva risco

e incerteza, ou seja, em situações nas quais os comportamentos das variáveis envolvidas com

o problema não são de natureza determinística.

Law (2007) alerta para o uso adequado de modelos de simulação. Para uma correta

operacionalização da SMC, Lustosa, Ponte, Dominas (2004) indicam que a simulação seja

replicada um grande número de vezes para que se obtenha uma amostra representativa do

comportamento do sistema. Como instrução básica deve-se aplicar o maior número possível,

levando em consideração o poder de processamento do equipamento a ser utilizado, pois o

equilíbrio entre a precisão e o tempo de computação é uma característica importante das

simulações baseadas em SMC.

A cada interação, o resultado da simulação é armazenado. Ao final, a sequência de resultados

é transformada em uma distribuição de frequências, que possibilita calcular estatísticas

descritivas, como média (valor esperado), valor mínimo, valor máximo e desvio-padrão,

cabendo ainda ao executor das simulações a prerrogativa de projetar cenários futuros de

operação do sistema em análise.

3.1 Simulação por Monte Carlo aplicada ao gerenciamento de prazos em projeto e



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trabalhos correlatos

Leal e Oliveira (2011) realizaram uma pesquisa na qual fizeram uma revisão da literatura

sobre o tema nos últimos 20 anos. Os autores concluíram que as metodologias de simulação

aplicadas ao gerenciamento de projetos com maior relevância foram Simulação de Eventos

Discretos e a SMC. Outro ponto levantado pela pesquisa foi o foco da aplicação de simulação

em gerenciamento de projetos. Os autores identificaram que a simulação é aplicada

principalmente em gerenciamento de riscos, especialmente naqueles relacionados a prazos e

custos.

Um exemplo da utilização da SMC para gerenciamento de riscos de prazos foi exposto por

Galvão (2005). O autor demonstra através da utilização de uma ferramenta de Simulação de

Monte Carlo, que a probabilidade de um projeto terminar após o prazo determinado por

ferramentas determinísticas como o Método do Caminho Crítico (CPM) é alta.

Um estudo apresentado por Matias Jr. (2006) propôs a utilização da Simulação de Monte

Carlo para, mediante o atraso no cronograma, calcular o impacto financeiro deste atraso no

orçamento do projeto.

Vários estudos demonstram vantagens da Simulação de Monte Carlo, no gerenciamento de

cronogramas com atividades múltiplas, variabilidades, interdependências e correlações. Uma

boa avaliação da superioridade do método pode ser encontrada em TYSIAK, W.;

SERESEANU (2010).

JUPRI, N. & MALIM, 2013 apresentam uma comparação entre PERT e simulação de Monte

Carlo usando o software Crystal Ball, para determinar a probabilidade do projeto de

construção de um Campi do National Institute of Occupational Safety and Health (NIOSH),

ser executado dentro do prazo previsto.

Os principais softwares para Simulação de Monte Carlo operam junto a planilhas eletrônicas.

Exigem conhecimento básico de estatística e possuem muitos recursos para a realização das

simulações e análises. Neles a criação de um modelo computacional pode ser realizada de

foram simples e rápida, evitando a necessidade de desenvolver programas sofisticados em

linguagem de programação.



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Neste trabalho utilizou-se o software @RISK, que é uma ferramenta de modelagem e análise

de risco, desenvolvido pela Palisade Corporation para uso com o Microsoft Excel. Utilizou-se

aqui uma versão “demo” que pode ser obtida no site da fabricante, pelo prazo de 20 dias.

Existem softwares similares, tais como o Crystal Ball desenvolvido pela Oracle, ver Charnes,

J. (2012), e o software SIMULAR (livre), apresentado em (AGUIAR, G.; ALVES, C. C.;

HENNING, E.; 2010).

4. Modelagem PERT/CPM

Como objeto deste estudo comparativo foi utilizado uma rede PERT hipotética constituída por

diversas atividades interdependentes, representadas esquematicamente por um diagrama de

rede (Figura 1). Cada atividade proposta possui suas características específicas e seu prazo de

duração pode ser definido também de forma subjetiva com a interferência de um especialista

para atribuir as estimativas deste prazo de duração (Tabela 1).

Figura 1- Diagrama de Redes

Fonte: Adaptado de Moreira (1998, p.458)

Cada atividade possui um início e um fim, que são pontos no tempo. Estes pontos no tempo

são os eventos, ponto inicial e final representados por círculos e a seta aponta para o círculo

que representa o evento final. As atividades estão representadas por letras de A-P e os círculos

enumerados em ordem crescente da direita para a esquerda conforme a progressão do tempo.



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No caso do CPM, estas estimativas de tempo são bem acuradas e só tem uma medida

(determinística). No caso PERT o tempo destas atividades têm uma certa imprecisão na

duração e convencionalmente foram feiras três estimativas de tempo para cada atividade: a

estimativa OTIMISTA, MAIS PROVÁVEL e a PESSIMISTA.

As atividades hipotéticas estão representadas na coluna A pelas letras de A-P. A

representação das interdependências destas atividades é apresentada na coluna B.

Tabela 1-Tabela dos prazos de duração das atividades (em semanas)

Fonte: Adaptado de Moreira (1998, p. 459)

Os valores de ti e σti foram obtidos pela aplicação direta das equações (1.0) e (2.0) a partir dos

dados informados por um especialista das estimativas Otimista, Provável e Pessimista para

cada atividade da rede PERT.

Baseado no Diagrama de Rede é possível determinar a variável duração de cada atividade

( , determinar o caminho crítico, calcular a duração do projeto e a folga de cada atividade

em particular conforme tabela 2:



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Tabela 2-Tabela de cálculo do tempo de projeto e folgas CPM

Fonte: Próprio autor

Em que, DTI é a data mais atrasada em que uma atividade pode começar.

− DCI é a data mais próxima em que uma atividade pode começar, assumindo que todas

as atividades predecessoras começam tão cedo quanto possível.

− DTT é a última data em que a atividade pode terminar sem que atrase o projeto.

− DCT é a data mais próxima em que uma atividade pode terminar.

− DCT=DCI+ti

− DTI=DTT-ti

− Folga=DTI-DCI (coluna 5), Folga=DTT-DCT (coluna 8)

O caminho crítico é determinado pela sequência das atividades que apresentam folga zero.

Neste caso são dois os caminhos: B-E-G-K-N-O-P e C-J-H-G-K-N-O-P. A duração do projeto

(Ti), é determinada pela soma dos tempos médios das atividades que compõe o caminho

crítico conforme aplicação da equação (3.0):

Ti (B-E-G-K-N-O-P)=Ti (C-J-H-G-K-N-O-P)=53,332 semanas.

Determinado o caminho crítico e duração do projeto (Ti) é possível, utilizando a equação 4.0



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serem feitas inferências estatísticas para se determinar alguma condição específica, como por

exemplo, determinar a probabilidade que certo evento ocorra em um determinado tempo. Em

uma rede PERT a hipótese que se faz é a de que os prazos de duração das atividades (ti) são

variáveis distribuídas segundo uma distribuição beta e a duração do projeto (Ti) se distribui

segundo uma distribuição Normal.

5. Modelagem por SMC utilizando o @Risk

Quando um projeto apresenta uma quantidade pequena de interdependências e correlações

entre elas, é possível de se determinar a duração do projeto (Ti) de forma analítica e já quando

estas características não se verificam, fica bastante complexo este cálculo, por esta razão e

neste caso, será utilizado a SMC para a estimativa desta variável.

Para utilização do software de simulação @RISK foi implementado no software Excel o

Diagrama de Redes com as suas atividades e a sua respectiva lógica (coluna C,tabela 3). Para

as atividades de A-P, que na rede PERT que se distribuem conforme uma distribuição Beta,

foram assumidas distribuições triangulares (coluna B, tabela 3), muito similares a distribuição

Beta, Tysiak e Sereseanu (2010).

Tabela 3-Distribuições de probabilidades das atividades e Lógica da Rede



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Fonte: próprio autor

Utilizando a função @RISK “Definir Distribuições” (Figura 2) e os dados das atividades

informados na Tabela 1, obtém-se as variáveis de entrada conforme coluna B, na Tabela 3.

Na coluna C, também na tabela 3, através das fórmulas apresentadas, o tempo das atividades

são calculados para a obtenção da variável de saída.

Figura 2-Barra de comando @RISK-Definir Distribuições



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Utilizando a barra de comandos do software @RISK na função “Adicionar Output” (Figura 3),

foi nomeada a célula C55 da Tabela 3 como variável de saída, representando a variável

“Duração do Projeto”, que é variável a ser simulada.

Figura 3-Barra de comando @RISK-Adicionar Output

Fonte: próprio autor.

Definidas as variáveis de entrada, as fórmulas e a variável de saída, o número de simulações

foi estabelecido em 1 simulação com 10.000 iterações, tipo de amostragem “Monte Carlo” e o

gerador de número aleatórios fornecido pelo @RISK denominado “Mersenne Twister”, na

barra de comando do @RISK, “Iniciar Simulação”.

Figura 4-Barra de comando @RISK-Iniciar Simulação



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6. Análise dos resultados

Na rede PERT, as atividades experimentam certa variabilidade em sua duração, as quais são

assumidas como distribuindo-se segundo uma distribuição Beta, e a duração do projeto sofre a

influência destas variabilidades, isto é, variam dentro de certos limites. Calcular estas

variabilidades é particularmente importante para aquelas que compõe o caminho crítico, pois

a sua avaliação pode determinar um novo caminho crítico.

Calculando os desvios padrões, conforme aplicação da equação (2.0), valores de ,

(conforme tabela 1) e aplicando a equação (5.0), os resultados são para (B-E-G-K-N-

O-P) e (C-J-H-G-K-N-O-P), respectivamente de 4,027 e 4,034 semanas.

Apesar dos valores dos desvios padrões apresentados estarem muito próximos, o maior valor

desvio pode apresentar maior variabilidade no tempo de duração do projeto, portanto o

caminho critico adotado é determinado pela sequência das atividades críticas C-J-H-G-K-N-

O-P com a menor variabilidade. A duração estimada do projeto, utilizando PERT é de:

Ti=53,332 semanas e desvio padrão = 4,034.

Utilizando o software @RISK realizou-se a simulação com 10.000 iterações e os resultados

obtidos são apresentados na figura 5.



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Figura 5 – Simulação @RISK após 10.000 iterações


Após as iterações o valor encontrado para a duração do projeto foi:

=56,255 semanas, com desvio padrão =4,751.

Como a duração do projeto ( ) é a soma de todos os tempos médios das atividades críticas ao

longo do caminho crítico e segue uma distribuição Normal foi utilizando a função “Ajuste de

distribuição” do software de simulação @RISK foi realizado um ajuste da simulação para a

distribuição Normal com o resultado de novos parâmetros obtidos conforme a Figura 6:

Figura 6 – Ajuste da Simulação –Distribuição Normal



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O tempo ajustado de duração do projeto ajustado de acordo com uma distribuição Normal

obtido pela simulação no @RISK é:

=56,242 semanas, com desvio padrão = 4,805.

Tanto para o PERT/CPM e a simulação podemos obter outras informações através de

inferências estatísticas como por exemplo, determinar qual seria a probabilidade da duração

do projeto estar entre 50 e 65 semanas.

Aplicando-se a equação (4.0) e tabelas de estatísticas para a distribuição Normal, tem-se que

a probabilidade do projeto ter duração entre 50 e 65 semanas, é 79,2 % (PERT) e 86,9%

(SMC).

6. Conclusão

O presente estudo de caso, propôs uma análise comparativa do uso das técnicas tradicionais

PERT/CPM e SMC, para o estudo da variável duração de um projeto hipotético.

O cálculo das estatísticas PERT é realizado após a definição do caminho crítico. O caminho

crítico é obtido através de cálculos determinísticos pelo CPM, e calculadas sem levar em

conta as possíveis variabilidades destas atividades. O PERT por sua vez, utiliza modelo



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analítico com pressupostos frágeis. Com a SMC pode-se ter uma estimativa mais realista do

tempo de duração do projeto.

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