notas de aula - matemática - 2ª série do ensino médio

Notas de Aula – Matemática – 2ª Série do Ensino Médio

Prof. Willians Freire Pires

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PRINCÍPIOS DO PROFESSOR

1. Enquanto um burro fala o outro abaixa a orelha. 2. O professor está presente para ajudar. 3. O professor é a autoridade dentro da sala. 4. Brincadeira tem hora. 5. A Matemática é uma ciência exata. 6. Matemática não é conta, é raciocínio. 7. A avaliação é feita pelo que se aprende, não pelo que se copia. 8. Cada um tem o seu limite. 9. Conhecimento é riqueza. 10. O aluno precisa andar sozinho. ORIENTAÇÕES PRÁTICAS PARA AS AULAS

Material: Cada um é responsável pelo seu material. A responsabilidade de chegar à aula com o material necessário é individual. Cadernos: Se possível, um para o ano todo. Apostilas: Trazer somente quando o professor pedir. Vistos: Ao final de cada tópico. Trabalhos: a critério do professor, se o assunto abordado permitir. Avaliações escritas: a critério do professor, de acordo com o assunto estudado e os recursos para a elaboração. Entrada: Não será permitida a entrada na sala fora do horário. Saída durante a aula: será permitida. Se houver abuso, será negada permanentemente. Chamadas: Quem não estiver presente na sala no momento da chamada ficará com falta. Faltas: Quem faltar tem obrigação de colocar em dia a matéria e procurar saber se existe alguma atividade extra.

CONTEÚDOS A SEREM DESENVOLVIDOS 1º Bimestre *Trigonometria - Fenômenos periódicos. - Funções trigonométricas. - Equações e inequações. - Adição de arcos. 2º Bimestre *Matrizes, determinantes e sistemas lineares - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.e 3ª Série

3º Bimestre *Análise combinatória e probabilidade - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Casos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações. - Probabilidade da reunião e/ou da intersecção de eventos. - Probabilidade condicional. - Distribuição binomial de probabilidades: o triangulo de Pascal e o Binômio de Newton. 4º Bimestre *Geometria métrica espacial - Elementos de geometria de posição. - Poliedros, prismas e pirâmides. - Cilindros, cones e esferas.

PROBLEMAS INICIAIS 1. Um senhor de 80�� e suas duas filhas com 40�� cada precisam atravessar um rio, mas possuem apenas um barco que suporta no máximo 80��. Como farão para atravessar? 2. O pai do padre é o filho único do meu pai, o que eu sou do padre? 3. Um pescador está do lado de um rio, ele tem um barco e precisa levar um saco de milho, uma galinha e uma raposa para o outro lado. O barco só o aguenta e mais alguma coisa (ou o milho ou a galinha ou a raposa). Ele não pode deixar a galinha com o milho, porque a galinha comeria o milho, e nem pode deixar a galinha com a raposa, senão a raposa comeria a galinha. O que ele deve fazer? 4. Se um tijolo pesa 1�� e meio tijolo, quanto pesa um tijolo e meio? 5. Num jarro estão sete amebas, elas se multiplicam tão rapidamente que dobram o seu volume a cada minuto. Se para encher um jarro, elas levam 40��, quanto tempo levará para encher metade do jarro?



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AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

1. Efetue: a) +8 − 3 = b) +5 − 7 = c) −2 + 4 = d) −5 + 2 = e) −1 − 6 = f) −5 − 3 = g) +4 + 7 = h) +12 + 5 = i) �+3�. �−4� = j) �−5�. �−2� = 2. Arme e efetue: a) 325 + 36 b) 35 + 126 + 12 c) 86 − 31 d) 95 − 27 e) 138 × 3 f) 35 × 23 g) 625 ÷ 5 h) 2,35 + 8,4 i) 9 − 3,5 j) 3,8 × 2,5 3. Resolva as equações: a) 3� + 12 = 27 b) 2� − 4 = 12 c) �� − 5� + 6 = 0 d) �� − 6� + 9 = 0 4. Para alimentar 5 pessoas por um mês é necessário 12�� de arroz. Quantos quilos de arroz é preciso para alimentar 8 pessoas pelo mesmo período? 5. Uma televisão custa �$750,00. Para compras à vista ela recebe um desconto de 8%. Qual o preço da televisão à vista? 6. Um aluno teve 40 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 25% das aulas? 7. Uma formiga sai de um ponto �, anda 7�� para a esquerda, 5�� para cima, 3�� para a direita, 2�� para baixo, 9�� para a direita , 2�� para baixo, 1�� para a esquerda e 1�� para baixo, chegando no ponto . Qual a distância ! entre � e ?

“O melhor conselho profissional para dar aos

jovens é: descubra de que você mais gosta e

encontre alguém que lhe pague para fazê-lo”.

Katharine Whitehorn

TRIGONOMETRIA

REVISÃO: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO O triângulo retângulo:

Num triângulo retângulo podemos estabelecer razões entre as medidas dos seus lados. Considerando um dos ângulos agudos do triângulo:

As três principais razões trigonométricas são: sin % = �&'(') )+),')ℎ�+)'(.,&

cos % = �&'(') &!1&�('(ℎ�+)'(.,&

tan % = �&'(') )+),')�&'(') &!1&�('(

%

Cateto Oposto

Cateto Adjacente

Hipotenusa

Cateto

Cateto

Hipotenusa



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Ângulos Notáveis

30° 45° 60°

Seno 12

√22 √32

Cosseno √32 √22

12

Tangente √33 1 √3

EXERCÍCIOS 1. Encontre o valor de � e 5 nos casos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) 2. Uma rampa lisa de 10� de comprimento faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros verticalmente? 3. Do alto de uma torre de 50� de altura, localizada em uma ilha, avista-se um ponto da praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da torre até esse ponto? 4. Uma escada faz um ângulo de 30° com a parede vertical de um prédio, ao tocar o topo distante 6� do solo. Determine o comprimento da escada. 5. Num campeonato de asa-delta, um participante se encontra a uma altura de 160� e vê o ponto de chegada a um ângulo de 60°. Calcular a componente horizontal � da distância aproximada em que ele está desse ponto de chegada.

30° �

5

9√3

45° 20√2

�

5

30° 5000 �

30° 6√3

�

30° �

5√3

45° 3√2

�

30° �

12



4

6. No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de � e 5 indicadas (Use: ,� 65° =0,91; �), 65° = 0,42; '& 65° = 2,14).

7. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4� dos solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros? 8. Um avião levanta voo sob um ângulo de 30°. Após percorrer 16�� em linha reta, qual a sua altura em relação ao solo? 9. Um avião levanta voo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? (Dados: sin 15° = 0,259 e tan 15° = 0,268). 10. Um guarda florestal, postado numa torre de 20� no topo de uma colina de 500� de altura, vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17°. A que distância aproximada da colina está o fogo? (Dados: sin 17° =0,292; cos 17° = 0,956 e tan 17° = 0,305). 11. Um barco atravessa um rio de 80� de largura, seguindo uma direção que forma 70° com a margem de partida. Qual a distância percorrida pelo barco? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo? (Dados: sin 70° = 0,939; cos 70° = 0,342 e tan 70° = 2,747). ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

Dados dois pontos � e na circunferência, chamamos de arco � e denominamos por � 7 o segmento delimitado pelos dois pontos.

Note que se não especificarmos o arco temos dois arcos partindo de � e terminando em .

UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS Grau�°�: Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada parte que equivale a 1/360 da circunferência chamamos de grau. Os submúltiplos do grau são os minutos�′� e os segundos�′′�, sendo que: 1° = 60: e 1: = 60′′. Radiano�;&!�: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência na qual está contido. Uma circunferência de raio 1, tem 2< ;&!. Conversão de unidades: Para fazer a conversão entre as duas unidades utilizamos a relação: 180° = < ;&! EXERCÍCIOS 12. Converter 120° em radianos.

13. Converter =>? ;&! em graus.

14. Converter em radianos. a) 45° b) 72° c) 36° d) 135° e) 240° f) 600° 15. Converter em graus. a)

>@ ;&!

b) �>A ;&!

c) >BC ;&!

d) =>? ;&!

e) 3<;&!

f) B�>= ;&!

A B

65°

� 9

5



5

O CICLO TRIGONOMÉTRICO Chamamos de ciclo trigonométrico toda circunferência orientada, em que: • o centro é a origem do plano cartesiano • o raio �;� é unitário �; = 1� • o sentido positivo é o anti-horário (sentido contrário

ao do movimento dos ponteiros de um relógio) • o ponto � é a origem do ciclo trigonométrico. A

localização da extremidade de um arco varia coforme o comprimento desse arco.

EXERCÍCIOS 16. Determinar a que quadrante pertence a extremidade do arco de: a) 235° b) −110° c) 480° d) 18° e) 141° f) 1998° g) 750° h) 1237° i) 1280° 17. Determinar a que quadrante pertence a extremidade do arco de:

a) A>? ;&!

b) BB>A ;&!

c) >@ ;&!

d) =>? ;&!

e) D>A ;&!

f) − D>? ;&!

g) − BB>? ;&!

O CICLO TRIGONOMÉTRICO E A TABELA TRIGONOMÉTRICA Montar uma tabela contendo o seno, o cosseno e a tangente dos principais arcos, de 0° à 360°. Montar o ciclo trigonométrico com os principais arcos e associar o seno e cosseno ao ciclo.

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

Sen 0 12

√22 √32 1 √32

√22 12 0

Cos 1 √32 √22

12 0 − 12 − √22 − √32 −1

Tg 0 √33 1 √3 − −√3 −1 − √33 0

210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Sen 0 12

√22 √32 1 √32

√22 12

Cos 1 √32 √22

12 0 − 12 − √22 − √32

Tg 0 √33 1 √3 − −√3 −1 − √33

QI QII

QIII QIV

Sentido

anti-horário

A



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TRABALHO Fazer o ciclo trigonométrico e a tabela trigonométrica. Data de entrega: ___/___ Avaliação: - pontualidade: -0,5 por dia - capa: 1 ponto - precisão: 3 pontos - limpeza: 1 ponto - organização: 1 ponto - Desenvolvimento: 4 pontos

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UM BREVE HITÓRICO SOBRE FUNÇÕES Introdução: O que significa o termo “função”? Noção intuitiva: “Máquina de contas” Áreas de utilização: - Matemática - Física - Química - Biologia - Engenharias - Computação - Música Aplicação: - Programação de máquinas - Estudo sobre crescimento populacional - Modelagem de fenômenos físicos Elementos - Domínio - Variáveis - Contradomínio - Gráficos - Imagem - Periodicidade Propriedades - Injetora ou Injetiva - Diferenciável - Sobrejetora ou Sobrejetiva - Integrável - Bijetora ou Bijetiva - Linear - Implícita - Polinomial - Explícita - Racional - Composta - Algébrica - Paramétrica - Trigonométrica - Contínua - Fractal - Par - Convexa - Ímpar - Côncava - Monótona - Holomorfa - Meromorfa - Inteira - Vetorial - Computável

Principais Tipos de funções:

1º grau ou afim 5 = &� + E �)� & ( E �),'&'(, & ≠ 0

2º grau ou quadrática

5 = &�� + E� + � �)� &, E ( � �),'&'(, & ≠ 0

y=k/x 5 = �� )� � �),'&'( � ≠ 0

Exponencial e Logarítmica

5 = &G ( 5 = logJ � �)� & > 0 ( & ≠ 1

Trigonométrica 5 = sin � 5 = cos � 5 = tan �

Breve Histórico:

O uso de "função" como um termo matemático foi iniciado por Leibniz, em uma carta de 1673, para designar uma quantidade relacionada a uma curva, tal como a sua inclinação em um ponto específico. As funções que Leibniz considerou são atualmente chamadas de funções diferenciáveis. Em relação a este tipo de função, pode-se falar em limites e derivadas. Estes conceitos são medidas dos valores de saída ou de sua variação em relação aos valores de entrada, e formam a base do cálculo.

A palavra função foi, posteriormente, usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos. Com o tempo foi-se ampliando a definição de funções. Os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construísse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz. Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função



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moderna. Na definição de Dirichlet, uma função é um caso especial de uma relação. Relação é um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados. Nas relações não existem restrições quanto à lei de correspondência entre os elementos dos conjuntos, já para as funções é costume introduzir restrições. Na maioria dos casos de interesse prático, entretanto, as diferenças entre as definições moderna e de Euler são desprezáveis. FENÔMENOS PERIÓDICOS O que há em comum nos fenômenos abaixo? - O dia e a noite - As fases da Lua - A temperatura terrestre - As mares - O ciclo menstrual - O som FUNÇÃO SENO - Domínio: - Contradomínio: - Imagem: - Período: - Gráfico: FUNÇÃO COSSENO - Domínio: - Contradomínio: - Imagem: - Período: - Gráfico: EXERCÍCIO 19. Estude a função a) 5 = 3 + sin � b) 5 = 2 + cos � c) 5 = −3 + sin � d) 5 = 3 − sin � e) 5 = 2. sin � f) 5 = 2. cos �

g) 5 = B� . cos �

h) 5 = 3 + 2. cos � i) 5 = 1 + 4. sin � j) 5 = −4 − 2. sin �

k) 5 = 5 + B� . sin �

l) 5 = B= . sin �

m) 5 = 8. sin � FUNÇÃO TANGENTE - Domínio: - Contradomínio: - Imagem: - Período: - Gráfico: MÚSICA PARA DECORAR A TABELA BÁSICA (Jingle Bells)

Um, dois, três Três, dois, um

Tudo sobre dois

Raiz de três sobre três Um, raiz de três

Um, dois, três Três, dois, um

Tudo sobre dois

Não se esqueça da raiz no numerador



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MATRIZES DEFINIÇÃO

Uma matriz nada mais é do que é uma tabela de números. Organizamos as matrizes em linhas e colunas. Dizemos que essa matriz com � linhas e colunas tem ordem ��. REPRESENTAÇÃO

Geralmente representamos os elementos de uma matriz entre parênteses ou colchetes, mais raramente, também se usam barras duplas para essa representação. Exemplos: � = L1 3 −64 5 8 M�GA

=NOP √2 5 0−13 12 <

120 −√15 25QRS

AGA

T = U1 00 1V�G�

W = X−2 43 5X�G�

GENERALIZAÇÃO

� =NOP &BB &B� &BA ⋯ &BZ&�B &�� &�A ⋯ &�Z&AB &A� &AA ⋯ &AZ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮&]B &]� &]A ⋯ &]ZQR

S]GZ

). � = �&^_�]GZ , ,(!) �, ∈ a∗ onde &^_ é um elemento da matriz, com � indicando a linha e 1 indicando a coluna a qual pertence o elemento. TIPOS DE MATRIZES Matriz Linha: é a matriz que possui uma única linha. Exemplo: � = �5 2 −3�BGA Matriz Coluna: é a matriz que possui uma única coluna.

Exemplo: � = c132dAGB

Matriz Nula: é a matriz que possui todos os elementos iguais a zero. A matriz nula pode ser representada por 0]GZ

Exemplo: eAG� = c0 00 00 0dAG�

Matriz Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Em uma matriz quadrada definimos a diagonal principal que são os elementos &^_ tais que � = 1, e a diagonal secundária, que são os elementos &^_ tais que � + 1 = + 1.

Exemplo: � = f 5 8 21/2 −3 012 1 √2gAGA

Note que os elementos 5, −3 e √2 formam a diagonal principal e os elementos 2, −3 e 12 formam a diagonal secundária. Matriz Identidade: é uma matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal tem valor um e os demais tem valor zero. A matriz identidade pode ser representada por h]GZ.

Exemplo: hA = c1 0 00 1 00 0 1d

Matriz Transposta: Dada uma matriz de ordem ��, chama-se matriz transposta de �, indicada por �i, a matriz cuja ordem é ��, sendo as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz �.

Exemplo: � = c4 −62 150 1 dAG� e

�i = L 4 2 0−6 15 1M�GA

IGUALDADE DE MATRIZES

Dizemos que duas matrizes � e de mesma ordem são iguais se, e somente se, todos os elementos de mesma posição são iguais. Exemplos: Para que valores de � vale as igualdades

a) L 1 0�� − 5� 2M = L 1 � − 2−6 2 M

b) L2 � + 3 −13 4 cos �?M = L2 4 −14 4 5 M



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EXERCÍCIOS 19. Dê o tipo de cada uma das seguintes matrizes:

a) � = j 1 3−7 24 2k

b) = �3 −4 2 9�

c) T = U& E� !V

d) W = c 1 5 73 1 4−2 9 6d

e) l = j112k

f) m = j1 4 2 −32 7 0 −13 9 0 −5k

20. Em cada caso, determine o valor do elemento &��, se existir:

� = j 1 0 7−5 4 3−1 2 5k

� = n 43−71 o

� = L 2 0−3 1M � = U4 10 75 1 −1V

21. Construir as matrizes � = �&^_�AGB tal que &^_ = 3� + 21 + 5 e = �E^_��GA tal que E^_ =�� + 1��. 22. Construir as matrizes: a) � = �&^_��G� tal que &^_ = 2� + 1 b) = �E^_��G� tal que E^_ = �� − 1�� c) T = ��^_��GA tal que �^_ = � + 1 − 2 d) W = �!^_�AGA tal que !^_ = �. 1

e) l = �(^_�?G? tal que (^_ = p1, ,( � = 10, ,( � ≠ 1q f) m = �r̂_�=GA tal que r̂_ = s� + 1, ,( � < 13�, ,( � = 11�, ,( � > 1 q g) u = ��^_�BG@ tal que �^_ = � h) v = �ℎ^_�@GB tal que ℎ^_ = �

23. Dadas as matrizes � = w&^_x�G�, sendo &^_ = �_

e = wE^_x�G�, sendo E^_ = 1^, determine:

a) &BB + EBB b) &B� − E�B c) &�B. E�B d) &��. �EBB + E�� 24. Escreva a matriz � = �&^_��G�, tal que: &^_ =ysin >@ , ,( � = 1cos >@ , ,( � ≠ 1q. 25. Construir a matriz z = ��^_�AGA, tal que: �^_ = p� + 1, ,( � = 1� − 1, ,( � ≠ 1q e determinar zi.

26. Determine a soma dos elementos da diagonal principal de cada matriz quadrada seguinte:

a) � = L 0 3−8 1M

b) = j1 0 34 2 −71 −6 5 k

c) T = L0,002 0,0010,340 0,023M

d) W = c−3 2 69 0 05 −9 3d

27. Em cada caso, obtenha a transposta da matriz dada:

a) � = U7 −41 0 V

b) = j6 21 04 −1k

c) T = U0 3 −90 −1 5 V

d) W = �−8 7 5�

e) l = n 0 −21 110,5 73 4,1o

f) m =NOP57103QR

S

g) u = j 2 1 −2−3 1 23 −1 2 k



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28. Quatro seleções (Rússia, Itália, Brasil e EUA) disputam a etapa final de um torneio internacional de vôlei no sistema “todos jogam contra todos” uma única vez. O campeão do torneio será a equipe que tiver mais vitórias; em caso de empate no número de vitórias, o campeão é decidido pelo resultado obtido no confronto direto entre as equipes empatadas. Na matriz seguinte, o elemento &^_ indica o número de sets que a seleção � venceu no jogo contra a seleção 1. Lembre que o jogo de vôlei termina quando uma equipe completa 3 sets.

{0 2 3 13 0 1 32 3 0 33 2 0 0|

Representando Rússia por 1, Itália por 2, Brasil por 3 e EUA por 4, determine: a) o número de vitórias da equipe norte-americana; b) o placar do jogo Brasil X Itália; c) o número de sets marcados contra a Rússia; d) o campeão do torneio. 29. Determine &, E, � e ! para que se tenha L& 14 �M = L2 E! 6M.

30. Determinar os números reais � e 5 de modo que � e sejam iguais, dadas: � = }5� − 25 61 � + 5~ e = L4 61 5M.

31. Determine �, 5 e � que satisfaçam }� + 5 24 � − 5~ = L 7 �� 1M.

OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição de Matrizes: Dadas as matrizes � = �&^_�]GZ e = �E^_�]GZ a matriz soma será a matriz T =��^_�]GZ onde cada termo �^_ é calculado por �^_ = &^_ + E^_. Subtração de Matrizes: Dadas as matrizes � =�&^_�]GZ e = �E^_�]GZ a matriz soma será a matriz T = ��^_�]GZ onde cada termo �^_ é calculado por �^_ = &^_ − E^_. Multiplicação de um número por uma matriz: Para multiplicarmos um número real em uma matriz � = �&^_�]GZ multiplicamos cada termo da matriz por .

EXERCÍCIOS

32. Dadas as matrizes � = U4 23 8V, = U2 31 −5V e T = U3 −52 0 V, calcule:

a) � + b) � − c) 3� d) � + + T e) � + 2 − T f) 5� + 3 − 4T

33. Dadas as matrizes � = U10 128 6 V, = U9 57 3V, T = U5 23 1V e W = U−2 90 7V determine:

a) � + b) � + T c) � + W d) � + + T + W e) � − f) − T g) T − W h) 4� i) 3 j) −2T k) 0W l) 2� + 3 m) 3� + 4 + 2T + W n) � − 3 + 4T − 2W

34. Dadas as matrizes � = j 5 7 9 11−2 3 0 41 −3 2 15k e

= j8 6 4 22 −3 0 −44 8 3 −10k determine:

a) � + b) � − � c) 3� − 2

35. Dadas as matrizes � = j5 −3 25 12 48 0 99k e

= j 2 −3 26 4 38−8 9 −3k calcule � + e + �. O

resultado é o mesmo? Podemos concluir que isso sempre acontece? Por quê?



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36. Dadas as matrizes � = j 2 0 −590 −12 83 100 −2k e

= j 4 5 65 4 3−1 −2 −3k calcule � − e − �. O

resultado é o mesmo? Podemos concluir que isso sempre acontece? Por quê? Produto de matrizes: Dadas as matrizes � =�&^_�]GZ e = �E^_�ZG� a matriz produto T será T = ��^_�]G�. Para calcularmos o termo o termo �^_, multiplicamos cada termo da i-ésima linha da matriz A por cada termo da j-ésima coluna da matriz B e somamos os resultados. Note que o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. EXERCÍCIOS

37. Sejam as matrizes � = j2 43 −11 0 k e =U 5 6 8−2 0 3V, calcule os produtos:

a) �. b) . � 38. Efetue as multiplicações:

a) U6 51 0V U2 41 3V

b) U5 13 2V U0 5 1 62 −1 4 −3V

c) U2 −31 4 V U 5 1−2 3V

d) U0 13 −4V U2 76 −5V

e) U 1 −1−2 2 V U3 −30 4 V

f) U2 3 14 −2 5V j 1 32 4−5 1k

g) j8 −34 53 2 k U1 2 13 −4 7V

h) U 4 0 2−2 5 6V j1 0 32 4 58 −1 4k

i) �2 5 0� c136d

j) c136d �2 5 0�

k) j1 3 62 5 14 0 2k j5 02 43 2k

39. Calcule �. e . � dadas as matrizes: � =j 1 −2−3 40 5 k e = U4 5 −10 9 −3V

40. Dadas as matrizes � = L2 35 1M e = L3 15 1M,

determine: a) ��, em que �� = �. � b) �, em que � = . c) �� + �. �� − � d) �� − �

41. Dadas as matrizes � = L2 31 4M e =L1 −12 5 M. Determine:

a) �� b) � c) � d) 2� e) �� + �� f) �� + 2� + �

42. (Cesgranrio-RJ) Se z = U1 20 1V e a = U2 01 1V,

então za − az é:

a) U2 −20 −2V d) U4 21 1V

b) U0 00 0V e) U−1 2−1 0V

c) U1 00 1V

43. (Fatec-SP) Uma indústria automobilística produz carros X e Y nas versões standard, luxo e superluxo; peças A, B e C são utilizadas na montagem desses carros. Para certo plano de montagem é dada a seguinte informação:

Carro X Carro Y Peça A 4 3 Peça B 3 5 Peça C 6 2

Standard Luxo Superluxo

Carro X 2 4 3 Carro Y 3 2 5

Em termos matriciais, temos:

�&';�� +(ç& � �&;;) = j4 33 56 2k

�&';�� &;;) � �(;,ã) = U2 4 33 2 5V

A �&';�� +(ç& � �(;,ã) é:



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44. Para a fabricação de caminhões uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação:

MODELO

COMPONENTE A B C

Eixos 2 3 4

Rodas 4 6 8

Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:

MESES

MODELO Janeiro Fevereiro

A 30 20 B 25 18 C 20 15

Usando a multiplicação de matrizes, responda: Nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessárias em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada? DETERMINANTES Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.

Notação: Dada a matriz � = U1 23 4V representamos o

determinante de � por det � ou �1 23 4�. EXERCÍCIOS 45. Calcular os determinantes das matrizes abaixo: a) �5� b) �−5�

c) U1 45 3V

d) � = w&^_x�G� onde &^_ = 3� + 1

46. Calcular os determinantes das matrizes abaixo: a) �−11� b) �0� c) �3� d) ��

e) U2 46 5V f) U5 −13 2 V

g) U2 22 2V h) U4 38 6V

i) � = w&^_x�G� onde &^_ = �� + 1�

j) = wE^_x�G� onde E^_ = �. 1

CÁLCULO DO DETERMINANTE DE ORDEM 3 (REGRA DE SARRUS) EXEMPLOS

a) �3 1 24 3 11 2 4� b) �5 2 12 3 16 4 1� c) � 5 1 210 2 41 1 1� EXERCÍCIOS 47. Calcule os determinantes, aplicando a regra de Sarrus.

a) �2 3 14 −2 12 1 1� b) �1 2 33 2 10 4 3� c) �−2 1 34 −3 12 4 1� d) �5 0 −12 3 41 2 3 � e) � 1 2 02 4 1−3 −6 0�

Respostas: a) -4, b) 20, c) 78, d) 4, e) 0

48. (UFPR) Dadas as matrizes � = j 2 −1−2 20 1 k e

= U−1 2 32 1 1V e sendo a = 50 + det��. �,

encontre o valor de a. 49. (FAAP-SP) calcule o determinante da matriz 2 ×2, cujos elementos são: &^_ = p� + 21 , ,( � ≥ 1�� − 1 , ,( � < 1q 50. Calcule o determinante da matriz 3 × 3 dado por &^_ = p� + 1 , ,( � ≠ 1�. 1 , ,( � = 1q



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ANÁLISE COMBINATÓRIA

A análise combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos, agrupamentos formados sobre certas condições. PROBLEMA INCIAL O jogo da Mega-Sena é composto por 60 dezenas e cada jogo é formado por seis delas. Quantos jogos diferentes existem? PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO EXERCÍCIOS 51. Thiago possui 3 blusas diferentes e 2 calças diferentes. De quantas maneiras ele poderá escolher uma blusa e uma calça para se vestir? 52. Quantos números de dois algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {3, 5, 7}? 53. Quantos números de dois algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 4, 7}? 54. Quantos números de três algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {5, 6,7}? 55. Quantos números de três algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos do conjunto {2, 4, 6}? 56. Quantos números de 3 algarismo distintos podem ser formados usando-se os algarismos 1,2,3,4 e 5? 57. Numa eleição de uma escola há 3 candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, 2 a secretario e 7 tesoureiros. Quantos podem ser os resultados da eleição? 58. Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio? 59. Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio utilizando, para sair, um portão diferente do que entrou?

60. Mariana desenhou uma bandeira retangular de 3 listras e deseja pintá-la, de modo que duas listras consecutivas não sejam pintadas da mesma cor. Se ela possui 4 lápis de cores diferentes, de quantas maneiras poderá pintar sua bandeira? 61. Numa prova havia 4 itens para que os alunos respondessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quantas maneiras diferentes um aluno que vai “chutar” todas as repostas poderá responder esses itens? 62. Um painel luminoso retangular é composto por 5 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes esse painel pode estar iluminado? (considera-se o painel iluminado se, pelo menos, uma de suas lâmpadas estiver acesa) 63. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, e 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada,um prato de carne,uma bebida e uma sobremesa.De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? 64. Quatro times de futebol(Vasco, Atlético, Corinthians e Internacional ) disputam um torneio. Quantos e quais são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares? 65. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar? a) 30 b) 60 c) 90 d) 120 e) 150 66. Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida? a) 128 b) 256 c) 512 d) 1024 e) 2048 67. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? a) 348 b) 448 c) 548 d) 648 e) 748



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68. Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? a) 72 b) 144 c) 200 d) 240 e) 288 69. Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesa? a) 160 b) 150 c) 120 d) 80 e) 17 70. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras distintas de se entrar nele e sair dele por um porta diferente é: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 71. Quantos números de 4 algarismos diferentes têm o algarismo da unidade de milhar igual a 3? a) 1512 b) 1008 c) 504 d) 3024 e) 2520 72. Cinco sinaleiros estão alinhados. Cada um tem três bandeiras: uma amarela, uma verde e uma vermelha. Os cinco sinaleiros levantam uma bandeira cada, ao mesmo tempo, transmitindo-se assim um sinal. A quantidade de sinais diferentes que se pode transmitir é: a) 15 b) 125 c) 243 d) 1215 e) 729

73. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles são divisíveis por 5: a) 20 números b) 30 números c) 60 números d) 120 números e) 180 números 74. Uma estrada de ferro tem 10 estações. Quantos tipos distintos de bilhetes existem em circulação, sabendo-se que cada bilhete contém impressos apenas a estação de partida e a estação de chegada? (Supondo que o trem tem vagões de apenas uma classe) a) 28 b) 45 c) 20 d) 56 e) 90 75. Mariana foi viajar e levou em sua mala 5 blusas, 4 calças e 3 sapatos. De quantas maneiras ela poderá combinar sua vestimenta, sem repetir o conjunto? a) 12 b) 60 c) 40 d) 36 e) 35 76. Um videogame, com o fim de identificar e personalizar os jogadores, permite que eles criem faces de pessoas a partir da composição de algumas características fornecidas, tais como: rosto, cabelo, olhos, boca e acessórios, conforme a tabela a seguir. ROSTO CABELO OLHOS BOCA ACESS Redonda Curto Amendoados Pequena Óculos Quadrangular Comprido Redondos Grande Boné Comprido Sem

Cabelo Aparelho

Dentário

Com esses dados pode-se concluir que o número de faces diferentes que podem ser formadas usando esse videogame é: a) 168 b) 108 c) 57 d) 13



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77. De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapato? a) 4 b) 12 c) 19 d) 60 e) 120 78. As placas de automóveis no Brasil são formadas por três letras e quatro algarismos. Com essa configuração, quantas placas diferentes podem ser formadas? 79. Até o final da década de 90, as placas dos automóveis eram formadas por duas letras e quatro números. Este aumento de uma letra, corresponde a quantas placas a mais do que no sistema antigo? 80. Quantos são os anagramas da palavra ROMA? 81. Quantos anagramas da palavra LIVRO começam com vogal? 82. Quantos anagramas da palavra SUAVE começam com V e terminam com vogal? 83. O número de anagramas da palavra BALDUINO que começam com B e terminam com O é: a) 15 b) 30 c) 180 d) 360 e) 720 84. Quais são os anagramas da palavra IVO? 85. Quais são os anagramas da palavra AMOR? 86. Quais são os anagramas das palavras: a) MÃO b) ALUNO c) EU d) ESCOLA

TRABALHO EXTRA-CLASSE Quantos e quais são os anagramas das palavras: a) EU b) NÃO c) FAÇO d) LIÇÃO e) COLEGA Entrega: até Avaliação: Prazo (-0.5 por dia) Capa (1,0) Limpeza (1,0) Organização (2,0) Desenvolvimento (6,0)

FATORIAL Seja a um número natural. ! é o produto de todos os números naturais consecutivos de 1 até , ou seja: ! = 1.2.3 … � − 1�. ! lê-se: “ene fatorial” Observações: 0! = 1 1! = 1 EXERCÍCIOS 87. Calcule: a) 2! = e) 3! + 2! =

b) 3! = f) A!�! =

c) 4! = g) B�!BC! =

d) 5! = h) @!�!.?! =

88. Calcule o valor dos números fatoriais: a) 0! = j) 0! .5! = b) 1! = k) 4! .2! =

c) 6! = l) �!�! =

d) 7! = m) B=!BA! =

e) 4! + 3! = n) ?!@! =

f) 1! + 4! = o) @!=!.�! =

g) 3! − 2! = p) �!?!.@! =

h) 0! + 1! = q) �.?!?!.?! =

i) 2! .3! =



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89. Calcule:

a) D!=! = g)

D!B!.@! =

b) �!=! = h)

BC!�!.�! =

c) BC!�! = i)

=!�!.A! =

d) @!�! = j)

�!?!.=! =

e) D!?! = k) �!.�C!@!.B�! =

f) �!�!.@! = l)

B�!.BC!BB!.�! =

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Permutação simples de elementos distintos é qualquer grupo ordenado desses elementos. Cálculo do número de permutações: �Z = ! EXERCÍCIOS 90. Considerar a palavra DILEMA e determinar: a) o número total de anagramas. b) o número de anagramas que começam com a letra D. c) o número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A. d) o número de anagramas que começam com vogal. 91. Calcule: a) �B = b) �� = c) �A = d) �? = e) �= = f) �@ = g) �D = h) �� = i) �� = 92. De quantos modos 6 pessoas podem se sentar em 6 cadeiras, em fila? 93. Da palavra LIVRO. a) Quantos são os anagramas? b) Quantos são os anagramas que começam com vogal? c) Quantos são os anagramas que começam com consoante? 94. Da palavra ADESIVO. a) Quantos são os anagramas? b) Quantos começam com D e terminam com V?

95. (FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam com vogal. (A) 24 (B) 48 (C) 96 (D) 120 (E) 144 96. (FEI-SP) Obter o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA, nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições.

ARRANJOS SIMPLES Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de + elementos que podemos formar com elementos distintos, sendo + ≤ . Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro pela ordem ou pela natureza de seus elementos. A notação para o número de arranjos simples de elementos tomados + a + é: �Z,�. Fórmula �Z,� = !� − +�!

COMBINAÇÃO SIMPLES Chamam-se combinações simples todos os agrupamentos simples de + elementos que podemos formar com elementos distintos, sendo + ≤ . Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro apenas pela natureza de seus elementos. A notação para o número de combinações simples de elementos tomados + a + é: TZ,�. Fórmula TZ,� = !+!. � − +�! EXERCÍCIOS 97. Calcular: &� �=,� = E� T=,� = 98. Uma escola possui 18 professores. Entre eles serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um coordenador. Quantas são as possibilidades? 99. Uma escola possui 18 professores. Entre eles será escolhida uma comissão com 3 professores. Quantas são as possibilidades?



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100. Quantos anagramas de 4 letras podemos formar com as letras da palavra LÓGICA? 101. Quantas partidas são jogadas em um campeonato de futebol de 20 times, sendo que cada time joga apenas uma vez com todos os outros times? 102. Calcule: a) �?,A = e) T=,A = b) �D,� = f) TD,= = c) �B�,A = g) TD,� = d) �B�,� = h) TB�,� = 103. Calcule: a) �@,C = e) �@,? = b) �@,B = f) �@,= = c) �@,� = g) �@,@ = d) �@,A = 104. Calcule: a) T@,C = e) T@,? = b) T@,B = f) T@,= = c) T@,� = g) T@,@ = d) T@,A = 105. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto l = �1,2,3,4,5�? 106. Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos 3, que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha? 107. Quantos grupos diferentes de 4 lâmpadas podem ficar acesos num galpão que tem 10 lâmpadas? 108. Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembleia de 12 participantes? 109. (Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O número total de lutas que podem ser realizadas entre os inscritos é: a) 12 d) 66 b) 24 e) 132 c) 33 110. Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?

111. Quantos jogos diferentes podem ser feitos na Megasena, sabendo que cada cartela contém 60 números dos quais devem ser escolhidos 6.

PROBABILIDADE EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Consideramos experimentos aleatórios os fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as condições sejam semelhantes. Exemplos a) lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima. b) retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o naipe. c) de uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 bolas pretas, retirar uma bola e observar sua cor. d) lançar dois dados e observar as faces voltadas para cima. ESPAÇO AMOSTRAL

É o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer num experimento aleatório. Vamos indicá-lo pela letra �. Exemplos Nos exemplos de experimentos aleatórios acima temos: a) � = ��, ��; ��, ��; ��, ��; ��, ��, � = �&;& e � = �);)& b) � = �).;),, +&.,, �)+&,, (,+&!&,� c) � = �E;&�&, +;('&�

d) S=��1,1�; �1,2�; �1,3�; �1,4�; �1,5�; �1,6�;�2,1�; �2,2�; �2,3�; �2,4�; �2,5�; �2,6�;�3,1�; �3,2�; �3,3�; �3,4�; �3,5�; �3,6�;�4,1�; �4,2�; �4,3�; �4,4�; �4,5�; �4,6�;�5,1�; �5,2�; �5,3�; �5,4�; �5,5�; �5,6�;�6,1�; �6,2�; �6,3�; �6,4�; �6,5�; �6,6�;��

��

Observação: Chamamos de �� a quantidade de elementos do conjunto �. EVENTO

É qualquer subconjunto de um espaço amostral �. Muitas vezes caracterizamos um evento através de um fato. Vamos indicá-lo pela letra l. Exemplos São eventos dos espaços amostrais anteriores a) lB: aparecer faces iguais lB = ��, ��; ��, ��



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l�: aparecer pelo menos 1 cara l� = ��, ��; ��, ��; ��, �� b) lB: sair um naipe vermelho lB = �).;),, �)+&,� l�: não sair ouros l� = �+&.,, �)+&,, (,+&!&,� c) lB: A bola ser branca lB = �E;&�&� d) lB: aparecerem números iguais lB = ��1,1�; �2,2�; �3,3�; �4,4�; �5,5�; �6,6�� l�: o primeiro número é menor que 2 l� = ��1,1�; �1,2�; �1,3�; �1,4�; �1,5�; �1,6�� lA: a soma dos números ser igual a 7 lA = ��1,6�; �2,5�; �3,4�; �4,3�; �5,2�; �6,1�� Alguns eventos recebem nomes especiais EVENTO CERTO

Possui os mesmos elementos do espaço amostral (l = �) Exemplo No lançamento de dois dados l?: a soma dos números ser menor que 13 EVENTO IMPOSSÍVEL

Igual ao conjunto vazio (l = ∅) Exemplo No lançamento de dois dados l=: o 1º número ser 7 EVENTO SIMPLES

Que possui apenas um elemento. Exemplo No lançamento de 2 dados l@: a soma dos números ser igual a 12 EVENTO COMPLEMENTAR

Se � é um evento de �, o evento complementar de �, indicado por �̅ é �̅ = � − � Exemplo �: no lançamento de duas moedas, sair faces iguais �̅: no lançamento de duas moedas, sair faces diferentes EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles implica na não ocorrência do outro. Se � e são mutuamente exclusivos então � ∩ = ∅. Exemplo �: no lançamento de um dado, a face de cima é ímpar : no lançamento de um dado, a face de cima é divisível por 4

� = �1,3,5� e = �4� são mutuamente exclusivos pois � ∩ = ∅ EXERCÍCIOS 112. Considerar o experimento aleatório: uma moeda é lançada 3 vezes. Determinar: a) espaço amostral � b) evento lB: sair duas caras e uma coroa c) evento l�: sair três caras d) evento lA: sair pelo menos uma cara e) evento l?: sair no máximo duas coroas f) evento l=: nenhuma cara 113. No lançamento simultâneo de 2 dados, considere as faces voltadas para cima e determine: a) espaço amostral � b) evento lB: números cuja soma é igual a 5 c) evento l�: números iguais d) evento lA: números cuja soma é um número par e) evento l?: números ímpares nos dois dados f) evento l=: número 2 em pelo menos um dado g) evento l@: números cuja soma é menor que 12 h) evento lD: números cuja soma é maior que 12 i) evento l�: números divisores de 5 nos dois dados 114. Um casal planeja ter 3 filhos. Determine os eventos: a) os 3 são do sexo feminino b) pelo menos 1 é do sexo masculino c) os 3 do mesmo sexo 115. Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 à 20. Escolhe-se ao acaso uma bolinha e observa-se o seu número. Determine os seguintes eventos: a) o número escolhido é ímpar b) o número escolhido é maior que 15 c) o número escolhido é múltiplo de 5 d) o número escolhido é múltiplo de 2 e de 3 e) o número escolhido é primo f) o número escolhido é ímpar e múltiplo de 7

notas de aula - matemática - 2ª série do ensino médio

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