NHI2049-13 — Lógica BásicaLógica Clássica de Primeira Ordem

Jair Donadelli

jair.donadelli@ufabc.edu.br

6 de dezembro de 2017

SUMÁRIO

1. Apresentação 1

1.1. Um breve histórico 2

1.2. Sistema Lógico 5

2. Linguagem 7

Paradoxo de Zenão (490–430a.c.) 7

Paradoxo do mentiroso 8

Outros paradoxos 8

2.1. Linguagem×Metalinguagem 8

Parte 1. Lógica proposicional 9

3. Linguagem da lógica proposicional 9

3.1. Discussão informal 9

3.2. Linguagem formal da lógica proposicional 10

3.3. Omissão de parênteses 13

Exercícios 14

4. Sistemas dedutivos para a lógica proposicional 17

4.1. Sistema de Hilbert 18

4.2. Exemplos de dedução 19

4.3. Propriedades de ` 22

4.4. Metateorema da Dedução 22

Exercícios 25

5. A semântica da lógica proposicional 25

5.1. Interpretação e Valoração 25

ii

5.2. Tabela-verdade 28

5.3. Tautologia 30

5.4. Contradição 31

5.5. Consequência semântica (ou consequência lógica) 31

Exercícios 37

6. Consistência, correção e completude 42

6.1. Correção 42

6.2. Consistência 43

6.3. Completude 46

Exercícios 46

Parte 2. Lógica de Predicados de Primeira Ordem 48

7. Linguagens da lógica de primeira ordem 48

7.1. Discussão informal 48

7.2. Linguagem formal da lógica de predicados 51

7.3. Linguagens de primeira ordem para a Aritmética 54

7.4. Outros exemplos de linguagens de primeira ordem 55

7.5. Variáveis livres e ligadas 55

7.6. Substituição de variáveis 56

7.7. Metateoremas de leitura única e indução 57

Exercícios 58

8. Sistema dedutivo 59

8.1. Axiomas 61

8.2. Regras de inferência 62

8.3. Teorema e Prova 63

8.4. Axiomas não-lógicos e uma dedução na Aritmética 72

Exercícios 74

9. Semântica da lógica de predicados 75

9.1. Estrutura e valoração 75

iii

9.2. Satisfazibilidade, valor-verdade e modelo 79

9.3. Consequência lógica e equivalência semântica 84

9.4. Consistência, correção e completude 85

Exercícios 86

purposely blank

1

1. APRESENTAÇÃO

O que é lógica?

• substantivo feminino

1. fil parte da filosofia que trata das formas do pensamento em geral (dedução, indução,

hipótese, inferência etc.) e das operações intelectuais que visam à determinação do que

é verdadeiro ou não.

2. p.met. tratado, compêndio de lógica.

3. p.ext. (da acp. 1) maneira rigorosa de raciocinar. Ex.: "lógica implacável"

4. p.ext. forma por que costuma raciocinar uma pessoa ou um grupo de pessoas ligadas

por um fato de ordem social, psíquica, geográfica etc. Ex.: "a lógica do louco"

5. p.ext. maneira por que necessariamente se encadeiam os acontecimentos, as coisas

ou os elementos de natureza efetiva. Ex.: "a lógica das paixões"

6. p.ext. encadeamento coerente de alguma coisa que obedece a certas convenções ou

regras. Ex.: "a lógica do discurso musical"

7. inf organização e planejamento das instruções, assertivas etc. em um algoritmo, a fim

de viabilizar a implantação de um programa.

• Análise dos métodos de raciocínio. (Folclore)

• Ciência que estuda as leis do raciocínio e as condições de verdade em vários domínios

do conhecimento. (Enciclopédia Barsa)

• É a ciência que estuda princípios e métodos de inferência com o objetivo de determi-

nar em que condições certas coisas são consequência (ou não) de outra. (Mortari, C.

Introdução à lógica, Ed. da Unesp, 2001.)

• Estuda a relação de consequência dedutiva, tratando entre outras coisas das inferências

válidas; ou seja, das inferências cujas conclusões têm que ser verdadeiras quando as

premissas o são. (D’Ottaviano & Feitosa, 2003)

De modo geral, a Lógica é a disciplina que se ocupa do estudo sistemático das formas de argu-

mento, a ideia de que a validade de um argumento é determinada pela sua forma lógica, não pelo

seu conteúdo. Um argumento válido é aquele em que existe uma relação específica de suporte

lógico entre os pressupostos do argumento e sua conclusão.

Especificamente, a Lógica Matemática estuda as formas de argumentos matemáticos por meio

de uma linguagem formal criada artificialmente. Como parte disso, a Lógica Simbólica estuda

as abstrações simbólicas que capturam as características formais dos argumentos da linguagem

natural. A Lógica clássica de primeira ordem é uma lógica simbólica para a qual daremos uma

introdução neste texto.

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Atualmente, a Lógica Matemática é uma disciplina da qual fazem parte a Teoria dos Modelos,

Teoria da Prova, Teoria dos Conjuntos, Teoria da Recursão e Computabilidade e a recente Teoria

de Tipos.

1.1. Um breve histórico.

Aristóteles: a lógica como conhecemos hoje tem origem na Grécia antiga com a Teoria do Silo-

gismo de Aristóteles (384–322 a.C.), a qual aparece no livro III (intitulado Analytica Priora) da

sua obra Organon, um conjunto de tratados sobre como conduzir uma reflexão. O título do livro

significa “instrumento de trabalho” e constitui uma contraposição ao estoicismo para a qual a

lógica faz parte da filosofia. O trabalho de Aristóteles foi um dos primeiros sistemas dedutivos já

propostos, é um fragmento da lógica de primeira ordem que apresentaremos aqui. Os historia-

dores da lógica a consideram a mais importante descoberta em toda a história da lógica formal.

Aristóteles foi o primeiro a notar que certos raciocínios são corretos em virtude unicamente da

sua forma e foi o primeiro a escrever de forma sistemática sobre lógica como ferramenta para

disciplinar a argumentação. Com isso criou uma ciência inteiramente nova, capaz de estudar e

classificar as formas de raciocínio válidos. Além disso, foi ele quem introduziu artifícios como o

uso de letras mudas para denotar os termos, bem como termos fundamentais tais como “válido”,

“não válido”, “contraditório”, “universal” e “particular”.

No silogismo aristotélico

Premissa Todo homem é mortal

Premissa Sócrates é homem

Conclusão Sócrates é mortal

o que interessa é a forma

Premissa Todo A é B

Premissa C é A

Conclusão C é B

Por exemplo, em

Premissa Todo carro é Ferrari

Premissa Fusca é carro

Conclusão Fusca é Ferrari

o argumento é válido se as premissas o forem. A veracidade das premissas isoladamente é in-

teresse do “usuário” da forma, não têm importância na legitimidade do argumento. A lógica

está interessada na forma, o que é importante é que a conclusão sempre seja verdadeira se as

premissas o forem.

3

Aristóteles caracteriza a lógica como uma ciência do raciocínio, posteriormente entendida como

estabelecedora das formas válidas de raciocínio, a qual repousava sobre três princípios funda-

mentais: (1) princípio da identidade: todo objeto é idêntico a si mesmo; (2) Princípio da não

contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo; e (3) Princípio

do terceiro excluído: toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outra possibilidade.

Estóicos: mais avanços foram feitos pelo filósofo estóico grego Crisipo de Solis, que desenvolveu

o básico do que chamamos lógica proposicional. Zenão de Cítio (333–263 a.C.) e Crisipo de

Solis (280–208 a.C.) trataram de princípios do Cálculo Proposicional, incluindo aí um sistema

dedutivo. Estudaram a implicação “se A então B” e regras de inferência

Regra 1 Regra 2 Regra 3 Regra 4 Regra 5

Premissa A não A A A A

Premissa A → B A → B não A e B ou A ou B ou A ou B

Conclusão B não A não B não B não B

Durante muitos séculos o estudo da lógica concentrou-se principalmente em diferentes inter-

pretações das obras de Aristóteles e em muito menor grau de Crisipo, cujo trabalho foi esque-

cido. No entanto, todas as formas de argumento foram descritas em linguagem natural e ca-

recem de maquinaria formal que criasse um cálculo lógico de dedução com o qual seria fácil

trabalhar.

Leibiniz: Leibniz (1646-1716) foi precursor da metodologia da lógica contemporânea, foi um dos

primeiros a perceber a necessidade de formalizar formas de argumento lógico.

Buscava a construção de uma linguagem simbólica universal, baseada em um alfabeto do pen-

samento e a construção de um cálculo da razão que reduziria todas as disputas filosóficas a uma

questão de mero cálculo, reformulando o raciocínio em tais disputas nesta linguagem.

A maioria das contribuições de Leibniz para a lógica permaneceram não publicadas durante sua

vida, tendo ficado desconhecidas até o princípio do século XX. Historicamente, apenas genera-

lidades do programa de Leibniz teriam influenciado os lógicos que o sucederam.

Lógica contemporânea: na sua forma contemporânea a lógica é vista como um sistema formal

dedutivo edificado sobre uma linguagem formal a qual teria a incumbência de eliminar dubieda-

des interpretativas. Os primeiros passos reais nesta direção foram levados em meados do século

XIX pelo matemático inglês George Boole (1815–1864), que desenvolveu um sistema algébrico

(a Álgebra Booleana) para discutir a lógica. O trabalho de Boole inaugurou uma revolução na

lógica, que avançou ainda mais pelas mãos dos matemáticos e filósofos: Augustus De Morgan

(1806–1871), Charles Peirce (1839–1914), Giuseppe Peano (1858–1932), Bertrand Russel (1872–

1970), Alfred Whitehead (1861–1947), David Hilbert (1862–1943), Kurt Gödel (1906–1978).

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Século 19: a grande figura do inicio da lógica contemporânea foi Gottlob Frege (1848–1925) que

desenvolveu o Cálculo de Predicados, uma linguagem simbólica para o estudo das deduções ló-

gicas como tentativa de fundamentar a Matemática. Giuseppe Peano (1889), que desconhecia

o trabalho de Frege na época, publicou um conjunto de axiomas para a aritmética usando uma

variação do sistema lógico de Boole, mas adicionando quantificadores. Em meados do século

19 as falhas nos axiomas de Euclides para a geometria tornaram-se conhecidas. David Hilbert

(1899) desenvolveu um conjunto completo de axiomas para a geometria. O sucesso na axio-

matização da geometria motivou Hilbert a buscar axiomatizações completas de outras áreas da

matemática. Em 1874, Cantor desenvolveu os conceitos fundamentais da Teoria dos Conjun-

tos infinitos e um dos seus primeiros resultados foi a formalização da noção de cardinalidade,

com ele provou que os reais e os números naturais têm cardinais diferentes. Em 1897 Cantor

publica seus principais trabalhos sobre números ordinais e números cardinais, resultado de três

décadas de pesquisa. Para Cantor, um conjunto era, intuitivamente, uma seleção de elementos

de um todo satisfazendo uma dada propriedade. Essa aceitação ingênua de qualquer coleção

como um conjunto propiciou o aparecimento de paradoxos. Cesare Burali–Forti (1897) foi o pri-

meiro a apresentar um paradoxo: o paradoxo de Burali–Forti mostra que a coleção de todos os

números ordinais não pode formar um conjunto. Pouco tempo depois, Bertrand Russell desco-

briu o paradoxo de Russell em 1901, e Jules Richard (1905) apresentou o paradoxo de Richard.

Século 20: a descoberta de paradoxos na teoria ingênua de conjuntos fez com que alguns pes-

quisadores se perguntassem se a própria matemática seria inconsistente e procuram provas de

consistência. Em 1900, Hilbert colocou uma famosa lista de vinte e três problemas para o pró-

ximo século e o trabalho subsequente para resolver esses problemas moldou a direção da ló-

gica matemática. Ernest Zermelo (1908) forneceu o primeiro conjunto de axiomas para a teoria

dos conjuntos. Esses axiomas, juntamente com o axioma adicional de substituição proposto

por Abraham Fraenkel, são agora denominados axiomas da teoria de Zermelo–Fraenkel (ZF).

Em 1910, o primeiro volume de Principia Mathematica de Russell e Alfred North Whitehead foi

publicado. Este trabalho seminal desenvolveu a teoria das funções e cardinalidade em uma es-

trutura completamente formal da teoria do tipo, que Russell e Whitehead desenvolveram em

um esforço para evitar os paradoxos. Principia Mathematica é considerada uma das obras mais

influentes do século 20. Em sua tese de doutorado, Kurt Gödel (1929) provou o teorema da com-

pletude, que estabelece uma correspondência entre sintaxe e semântica na lógica de primeira

ordem. Seus resultados ajudaram a estabelecer a lógica de primeira ordem como a lógica do-

minante usada pelos matemáticos. Em 1931, Gödel publicou os teoremas de incompletude de

Gödel, estabelecendo severas limitações em fundações axiomáticas para a matemática, dando

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um forte golpe ao programa de Hilbert. O teorema de Gödel mostra que uma prova de consis-

tência de um sistema axiomático suficientemente forte e eficaz não pode ser obtida no próprio

sistema, se o sistema for consistente, nem em qualquer sistema mais fraco.

A década de 1930 testemunhou a chegada de uma nova geração de lógicos ingleses e ameri-

canos, incluindo Alonzo Church, Alan Turing, Stephen Kleene, Haskell Curry e Emil Post, que

contribuíram grandemente para a definição do conceito de algoritmo e o desenvolvimento da

teoria da computabilidade e da teoria da complexidade de algoritmos. No período pós-guerra

a lógica matemática também sofre uma revolução devido ao surgimento da informática. Em

parte o computador eletrônico foi inspirado pelo modelo de computação descrito por Alan Tu-

ring. Na lógica tivemos, por exemplo, a descoberta da correspondência de Curry–Howard, que

liga as provas formais à programação de computadores desencadeando um extenso programa

de pesquisa.

Os lógicos contemporâneos

(1) constroem linguagens simbólicas, rigorosas e livres de ambiguidades e de contexto, ade-

quadas para lidar com a relação de consequência. As linguagens possuem duas compo-

nentes relevantes:

(a) a sintática: os símbolos da linguagem (cahamdo alfabeto) e as regras gramaticais de

combinação de símbolos, às quais estesestão sujeitos, para a construção das fórmu-

las da linguagem;

(b) a semântica: define precisamente o significado das fórmulas.

(2) constroem um cálculo, ou sistema dedutivo, especificando os axiomas dentre as fórmu-

las e as regras de inferência que independem da semântica (é um aparato sintático).

E assim temos um sistema lógico, ou uma lógica.

A principal característica das fórmulas e deduções (sequências de fórmulas obtidas dos axiomas

e regras de inferência) é que eles são objetos finitos. Além disso, cada um dos conjuntos de

fórmulas e deduções é recursivo, ou seja, existe um algoritmo que determina se um determinada

cadeia de símbolos é uma fórmula correta ou uma dedução correta do sistema.

1.2. Sistema Lógico. Ao aparato sintático descrito acima dado pelo alfabeto com uma gramá-

tica, um conjunto de axiomas e as regras de inferência chamamos de sistema formal. Um sistema

lógico consiste de um sistema formal munido de uma semântica, em geral dada por uma inter-

pretação da teoria dos modelos, a qual atribui um valor-verdade (por exemplo, verdadeiro ou

falso) para as sentenças da linguagem formal.

As propriedades fundamentais dos sistemas de dedução são:

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Correção: afirma que os teoremas são válidos em todos os modelos, significa que os axio-

mas e as regras de inferência formalizam corretamente o raciocínio nesses modelos.

Consistência: o sistema de dedução admite um modelo ou, o que equivale ao mesmo, se

não for possível deduzir toda e qualquer fórmula.

Completude: qualquer proposição válida em todos os modelos é um teorema. Em suma,

um sistema está completo se tudo o que for verdadeiro é deduzível.

Exemplos de sistemas lógicos.

Lógica proposicional (ou sentencial): mais elementar lógica simbólica. Semântica tem como

base os princípios do terceiro excluído — uma sentença é verdadeira ou falsa — e da

não-contradição — nenhuma sentença é verdadeira e falsa. A sintaxe é dada a partir de

fórmulas atômicas, parênteses e conectivos. É simples e sem força expressiva para for-

malizar a matemática mas tem muita aplicações (e.g., circuitos digitais).

Lógica de primeira ordem: é usada para formalizar a matemática e o tema principal desta

disciplina. Sintaxe da lógica proposicional acrescida de quantificadores e as variáveis,

além de símbolos específicos que dependem do assunto que a linguagem aborda. Mais

difícil a construção da sintaxe e da semântica mas ganha muito em expressividade.

Lógica de segunda ordem: possui quantificadores sobre classes de indivíduos, e não ape-

nas sobre indivíduos. Porém, alguns teoremas importantes que valem na lógica de pri-

meira ordem não valem na lógica de segunda ordem. Ademais, a Teoria dos Conjuntos

consegue contornar essa limitação da lógica de primeira ordem na formalização da ma-

temática.

Teoria dos tipos: de Bertrand Russell, extrapola a ideia da lógica de segunda ordem; quan-

tificamos quantificamos os indivíduos, as classes de indivíduos, as classes de classes de

indivíduos, e assim por diante Para fazer isso, classificamos as variáveis por tipos (variá-

veis de primeiro tipo, variáveis de segundo tipo, e assim por diante).

Lógica modal: estende a lógica proposicional acrescendo os operadores “necessariamente”

(uma sentença é necessária se e somente se ela é não possivelmente falsa) e “possivel-

mente” (uma proposição é possível se e somente se ela é não necessariamente falsa, in-

dependente de ser realmente verdadeira ou falsa). Usa a semântica dos mundos possí-

veis e o valor lógico de uma sentença depende de qual dos “mundos possíveis” ela está

sendo analisada.

Lógica descritiva: pode ser considerada como um fragmento da lógica de primeira ordem

com uma sintaxe mais simples e sem uso de variáveis, tornou-se uma ferramenta útil em

ciência da computação.

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Lógica paraconsistente: permite contradições, nega o princípio da não-contradição tor-

nando possível que uma sentença e sua negação sejam simultaneamente aceitas como

verdadeiras. Newton da Costa é um dos precursores. Diversas aplicações em inteligência

artificial.

Lógica intuicionista: nega o princípio do terceiro excluído, permitindo que uma fórmula

e sua negação sejam ambas falsas. É a lógica dos matemáticos construcionistas, nela a

dupla negação não se anula e não há provas por absurdo.

Lógica fuzzy: permite valorar uma fórmula com qualquer valor real no intervalo [0,1] de

números reais, possibilitanto “verdades parciais”, se aproxima de alguns problemas reais,

que necessitam lidar com incertezas. Pode ser interpretada do ponto de vista estatístico,

onde a valoração das fórmulas representam a probabilidade de um evento ocorrer.

2. LINGUAGEM

Por que precisamos criar uma linguagem para formalizar as formas de raciocínio? Para evitar

os paradoxos e imprecisões da linguagem natural. É importante quando estudamos assuntos

mais restritos, com menos complexidade, porém com maior exigência de rigor. Porém, tem

poder expressivo inferior à linguagem natural. Quanto mais próxima a lógica está da linguagem

natural, ganhando um pouco da expressividade dela sem perder o rigor daquela, mais complexa

fica. É o caso das lógicas não-clássicas.

Paradoxo de Zenão (490–430a.c.) Afirmava não haver movimento

(1) A flecha que voa nunca sai do lugar, pois, em cada instante de tempo ocupa uma posição

no espaço que é igual ao seu volume. Isso se aplica para todos os instantes, assim, a

flecha está sempre parada e não poderia estar se movendo.

(2) O corredor Aquiles nunca alcança a tartaruga, quando postos a correr simultaneamente,

com a tartaruga à frente. Pois, cada vez que Aquiles alcança a posição onde a tartaruga

estava anteriormente, essa última, por sua vez, já avança um pouco, de modo que nunca

será possível alcançá-la.

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(3) Entre dois pontos há infinitos pontos. Ninguém pode atravessar infinitos pontos. Logo,

não há movimento.

Paradoxo do mentiroso.

Esta afirmação é falsa.

Outros paradoxos. burali-forti, rusel e richard

Havia, no vilarejo, um barbeiro que só fazia a barba de todas as pessoas que não faziam a

própria barba(Paradoxo do Barbeiro).

O menor número natural que não pode ser definido com menos de vinte palavras (Paradoxo de

Richard).

O conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos (Paradoxo de Russel).

O objetivo de analisar argumentos impõe implicitamente a utilização de uma linguagem artifi-

cial que tenha certas estruturas lógicas.

2.1. Linguagem×Metalinguagem. A lógica matemática é uma linguagem utilizada para descre-

ver e demonstrar com rigor os fatos matemáticos. Mas a lógica matemática é, em si, parte da ma-

temática e como qualquer outra parte da matemática, há resultados e teoremas sobre ela. Mas se

a linguagem da matemática é a própria lógica, qual linguagem utilizaremos quando construímos

a lógica?

A princípio, utilizamos a linguagem natural, mas de forma controlada, para que, após definida

a linguagem lógica, possamos transferir o que foi feito para a linguagem lógica. Assim, traba-

lhamos com a lógica em dois níveis: aquela sobre a qual estamos provando teoremas e fazendo

definições, e aquela que utilizamos para escrevê-los. A essa linguagem que usamos para escre-

ver sobre a linguagem chamamos de metalinguagem. Por exemplo, um teorema sobre números

naturais, escrito na linguagem da lógica, é um teorema matemático. O teorema de Gödel, que

diz que em certos tipos de sistemas lógicos sempre existe uma sentença que não pode ser pro-

vada nem verdadeira nem falsa, é um resultado que fala diretamente da lógica, e por isso é um

teorema metamatemático.

Os principais teoremas metamatemáticos, isto é, aqueles resultados que dizem respeito à pró-

pria lógica, apesar de também poderem ser provados dentro da lógica: teoremas da correção e

completude, teorema da dedução, teorema da compacidade, teorema de Löweinheim-Skolem e

os teoremas de incompletude de Gödel.

9

Parte 1. Lógica proposicional

3. LINGUAGEM DA LÓGICA PROPOSICIONAL

3.1. Discussão informal. Embora seja possível construir uma linguagem simbólica sem uso

prático imediato, um sistema formal tem sua origem na utilidade de seus membros protótipos

em alguma prática. Em certo sentido há situações descritas em linguagem natural que queremos

parafrasear na linguagem simbólica.

Queremos uma linguagem simbólica que capture formas de dedução, a lógica proposicional tem

como objetivo modelar o raciocínio humano, partindo de frases declarativas. Observamos que

não há a pretensão de traduzir uma linguagem natural para uma linguagem formal, isso não é

possível. Faremos uso da possibilidade de tradução conhecendo que existem limitações.

As proposições ou sentenças são frases declarativas que podem assumir um dos valores VERDA-

DEIRO ou FALSO. Em lógica, o importante não é o valor-verdade que uma proposição possa tomar

num determinado contexto interpretativo, mas a possibilidade de que “em princípio” seja pos-

sível atribuir um valor de verdade, e que seja possível raciocinar com estas proposições. A lógica

proposicional estuda como raciocinar com afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas, ou

ainda como construir a partir de um certo conjunto de hipóteses (proposições verdadeiras num

determinado contexto) uma demonstração de que uma determinada conclusão é verdadeira no

mesmo contexto.

Uma sentença atômica corresponde indivudualmente a um desses valores-verdade, por exem-

plo

(1) O time joga bem

(2) O time ganhou o campeonato.

(3) O técnico é o culpado.

(4) Os torcedores estão felizes.

(5) Samuel virá para a festa.

(6) Maximiliano vai se divertir.

(7) O suborno será pago.

(8) As mercadorias são entregues.

Do ponto de vista da linguagem natural é bastante restritivo. Mas, estamos mais interessado nos

enunciados matemáticos

(9) Uma sequência limitada é convergente.

(10) x2 é positivo.

(11) 27 é um quadrado perfeito.

10

(12) O conjunto vazio é único.

(13) x é a soma de quatro quadrados perfeitos.

onde sentenças interrogativas ou imperativas não são importantes.

Além disso, queremos poder construir proposições mais complexas a partir de outras, para sen-

tenças α e β

• (não α) expressa a negação da sentença α,

• (α e β) representa a conjunção das sentenças α e β,

• (α ou β) representa a disjunção inclusiva,

• (se α, então β) representa uma forma de condicional,

• (α se, e somente se β) representa a bicondicional.

(14) Os torcedores estão felizes e o técnico foi demitido.

(15) Samuel virá para a festa e Maximiliano não virá, ou Samuel não virá para a festa e Maxi-

miliano vai se divertir.

(16) Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato.

(17) Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado.

(18) Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes.

(19) O suborno será pago se, e somente se, as mercadorias são entregues.

(20) Se x é positivo, então x2 é positivo.

(21) 27 não é um quadrado perfeito.

(22) O conjunto vazio não é único.

(23) Os torcedores não estão felizes.

3.2. Linguagem formal da lógica proposicional. O alfabeto é o conjunto dos símbolos que

compõem linguagem, agora formados por:

Símbolos proposicionais atômicos: V = p1, p2, p3, . . .

Conectivos lógicos: ¬, ∨, ∧Pontuação: (, )

Lemos ¬, ∨, ∧ como não, disjunção e conjunção, respectivamente.

As “palavras” da linguagem são as sequências finitas de símbolos tomados de desse alfabeto

V ∪ ¬,∧,∨, (, ) chamadas de fórmulas. Por exemplo (p1 ∨ p7)∧ p100 é uma fórmula e ())p5 é

outra fórmula.

Usamos (metalinguagem) letras gregas para denotar fórmula

α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω

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eventualmente tais símbolos são indexados com números naturais. Representamos (metalin-

guagem) os símbolos atômicos por algumas das letras do final do alfabeto da Língua Portuguesa,

por exemplo p, q,r, s, t ,u, v, x, z. Sempre que precisamos de muitas símbolos atômicos usamos

os símbolos formais (os elementos de V ) ou as letras finais do alfabeto da Língua Portuguesa

indexadas com números naturais.

Uma fórmula bem formada ou simplesmente FBF é qualquer expressão que pode ser formada

aplicando-se um número finito de vezes as regras:

(F1) os símbolos atômicos são FBF, chamadas fórmulas atômicas;

(F2) se α é FBF, então (¬α) é FBF;

(F3) se α e β são FBFs, então (α∨β) é FBF e (α∧β) é FBF;

(F4) não há outras FBFs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3).

A última regra não há outras FBFs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) nos asse-

gura que todas as FBFs podem ser construídas passo-a-passo pelas regras anteriores.

LP é definido como o menor conjunto formado pelas sequências de símbolos da alfabeto que

satisfaz as propriedades a seguir1:

(1) p1, p2, · · · ∈LP ,

(2) se α,β ∈LP então (α∧β), (α∨β), (¬α) ∈LP

i.e., é o conjunto das fórmulas bem formadas da lógica proposicional.

Exemplo 1. São exemplos de fórmulas bem formadas:

• p, (¬p), (p ∨ (q ∧ (¬q)));

• Seα,β,γ denotam FBF então (α∧(β∧γ)) denota uma FBF que é diferente da FBF denotada

por ((α∧β)∧γ).

É fácil mostrar que uma sequência de símbolos é uma fórmula, mais difícil é provar que, por

exemplo, p1¬∧p2 e ))¬p1 não são fórmulas.

Metateorema 1 (Princípio de indução para fórmulas). Suponha que uma propriedade de fórmu-

las

(1) vale para toda fórmula atômica e

(2) se vale para a fórmula α então também vale para (¬α) e

(3) se vale para as fórmulas α e β, então também vale para (α∧β) e para (α∨β).

Então essa propriedade vale para todas FBFs de LP .

1isso quer dizer que se X é um conjunto de fórmulas que satisfaz as duas propriedades então X ⊇LP

12

Demonstração. Seja X o conjunto de todas as fórmulas de LP que tenha uma dada propriedade

de fórmulas. As fórmulas atômicas estão em X pela hipótese (1). Se seα,β ∈ X então (α∧β), (α∨β),¬α,¬β ∈ X por (2) e por (3). Portanto LP ⊂ X , donde concluímos que Lp = X .

Exemplo 2. Vamos provar usando a indução que TODA FBF TEM UM QUANTIDADE PAR DE PA-

RÊNTESES. Cada fórmula atômica tem 0 parênteses. Para todo al pha que tem um número par,

digamos 2n, de parênteses, (¬α) tem 2n +2 = 2(n +1) parênteses, portanto par. Suponha que α

e β tenham, respectivamente, 2n e 2m parênteses, então (α∧β) tem 2n + 2m + 2 = 2(n +m + 1)

parênteses (o caso (α∨β) é idêntico). Pelo Princípio de indução para fórmulas toda FBF tem um

quantidade par de parênteses.

Exemplo 3 (Grau de complexidade). As vezes é conveniente medir a complexidade de uma FBF

pelo seu grau dado por:

(1) grau(α) = 0 se α é fórmula atômica;

(2) grau(¬α) = grau(α)+1; e

(3) grau(α∧β) = maxgrau(α),grau(β)

+1;

(4) grau(α∨β) = maxgrau(α),grau(β)

+1.

Pelo metateorema 1 o grau de complexidade está definido para toda fórmula de LP . Esse é um

exemplo de definição recursiva.

O leitor atento pode perguntar se as definições dos símbolos e a regra de formação das fórmulas

garantem que a as fórmulas de LP não são ambíguas no sentido de que uma dada fórmula não

pode ser podem ser lida de mais de uma maneira de acordo com as regras estabelecidas. De fato,

pode se provar (mas não faremos aqui) que uma fórmula de LP deve satisfazer exatamente uma

dentre as condições (F1), (F2) e (F3) que regem a formação de fórmulas.

Metateorema 2 (Teorema da unicidade da representação). Para toda FBF α, uma, e apenas uma,

das afirmações abaixo é verdadeira:

• α é uma fórmula atômica;

• existe uma única FBF β tal que α é a fórmula (¬β);

• existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β∧γ);

• existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β∨γ).

Exemplo 4. A fórmula((

p1 ∧p2)∧ (

(¬p3)∨ (p4 ∨p5)))

pode ser lida de uma única maneira, re-

presentada pelo seguinte diagrama

13((p1 ∧p2

)∧ ((¬p3)∨ (p4 ∨p5)

))

(p1 ∧p2)

p1 p2

((¬p3)∨ (p4 ∨p5))

(¬p3)

p3

(p4 ∨p5)

p4 p5

Subfórmulas. As fórmulas intermediárias que aparecem no processo de construção de uma fór-

mula através das regras (F1)–(F3) são chamadas de subfórmulas.

Exemplo 5. p, q, (¬p) e (q ∧ (¬p)) são subfórmulas de (p ∨ (q ∧ (¬p))).

Formalmente, a definição do conjunto das subfórmulas de uma fórmula é recursiva

(1) Sf(pi ) = pi ;

(2) Sf(¬α) = Sf(α)∪ (¬α);

(3) Sf(α∧β) = Sf(α)∪Sf(β)∪ (α∧β);

(4) Sf(α∨β) = Sf(α)∪Sf(β)∪ (α∨β).

Abreviaturas. Usamos daqui em diante

símbolo uso

→ (p → q) abrevia ((¬p)∨q)

↔ (p ↔ q) abrevia ((p → q)∧ (q → p))

⊥ abrevia (p1 ∧ (¬p1))

> abrevia (¬⊥)

Lemos →, ↔, ⊥ ou falsum, > ou verum como implicação, bi-implicação, bot, top, respectiva-

mente.

Ademais, representamos (metalinguagem) os conectivos ∨, ∧, → e ↔ genericamente, por ä

3.3. Omissão de parênteses. Regras para omissão de parênteses para simplificar notação e fa-

cilitar a leitura:

(1) omitimos os parênteses mais externos: ¬α deve ser como (¬α) eαäη deve ser lido como

(αäη).

14

(2) Adotamos a seguinte ordem de precedência para os conectivos: ¬, ∧, ∨, →, ↔. Assim,

p∨q∧r deve ser lido como (q∨(q∧r )); ¬p∨r deve ser lido como ((¬p)∨r ); ¬p∨r → q∧s

deve ser lido como (((¬p)∨ r ) → (q ∧ s)).

(3) As repetições de um mesmo conectivo são aninhadas pela direita: p → q → r → s deve

ser lido como (p → (q → (r → s))).

São regras informais, nos momentos que exigem resultados mais rigorosos, não devemos consi-

derar essas simplificações.

Por exemplo,

• ¬α∨β lê-se ((¬α)∨β),

• ¬¬¬α∧β lê-se ((¬(¬(¬α)))∧β),

• α∨β→ γ lê-se ((α∨β) → γ),

• δ→α∨ (β→ γ) lê-se (δ→ (α∨ (β→ γ))).

Exercícios.

(1) Queremos com uma linguagem simbólica capturar formas de dedução ou argumenta-

ção. Em certo sentido há situações descritas em linguagem natural que queremos sim-

bolizar na linguagem artificial. Observamos que não há a pretensão de traduzir uma

linguagem natural para uma linguagem formal, isso não é possível, faremos uso da pos-

sibilidade de tradução conhecendo que existem limitações. Comecemos com os casos

mais simples. As proposições ou sentenças são frases declarativas que podem assumir

um dos valores-verdade VERDADEIRO ou FALSO. Uma sentença atômica (no sentido de

indecomponível) corresponde individualmente a um desses valores-verdade, por exem-

plo

(a) O time joga bem

(b) O time ganhou o campeonato.

(c) O técnico é o culpado.

(d) Os torcedores estão felizes.

as quais são simbolizadas usando os símbolos proposicionais atômicos. Além disso, que-

remos poder construir proposições mais complexas a partir de outras, para sentenças α

e β

• – não α – expressa a negação da sentença α, que simbolizamos por ¬α;

• – α e β – representa a conjunção das sentenças α e β, que simbolizamos por α∧β;

• – α ou β – representa a disjunção, que simbolizamos por α∨β;

• – se α, então β – representa uma forma de condicional, que simbolizamos por α→β;

• – α se, e somente se β – representa a bicondicional, que simbolizamos por α↔β.

15

Por exemplo

• p : O time joga bem

• q : O time ganha o campeonato.

• r : O técnico é o culpado.

• s : Os torcedores estão felizes.

• p → q : Se o time joga bem, então ganha o campeonato.

• (¬p) → r : Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado.

• q ∨¬s : O time ganha o campeonato ou os torcedores não ficam felizes.

Escreva as seguintes frases como fórmulas bem formadas da Linguagem da Lógica Pro-

posicional usando símbolos proposicionais para as frases atômicas. Para fazer alguns

dos itens será necessário pesquisar2 como os termos “necessário”, “suficiente”, “necessá-

rio e suficiente”, “somente se” são traduzidos para os conectivos lógicos.

(a) Se há motivação para o estudo, então o estudante estuda muito ou não aprende a

matéria.

(b) Se o estudante estuda muito, então, se não há motivação para o estudo, o estudante

não aprende a matéria.

(c) Não há motivação para o estudo se, e somente se, o estudante estuda muito e não

aprende a matéria.

(d) Se o Sr. Jones está feliz, Sra. Jones não está feliz, e se o Sr. Jones não é feliz, Sra. Jones

não é feliz.

(e) Ou Sam virá para a festa e Max não vai, ou Sam não vai vêm para a festa e Max vai se

divertir.

(f) Uma condição suficiente para x para ser estranho é que x é primo.

(g) Uma condição necessária para uma sequência convergir é ser limitada.

(h) A condição necessária e suficiente para o sheikh para ser feliz é ter vinho, mulheres

e música.

(i) Fiorello vai ao cinema somente se uma comédia está jogando.

(j) O suborno será pago se e somente se as mercadorias são entregues.

(k) Karpov vai ganhar o torneio de xadrez, a menos que Kasparov vença hoje.

(2) Adicione parênteses nas seguintes expressões de modo que fiquem fórmulas bem for-

madas. Quando houver mais de uma possibilidade, faça pelo menos duas delas.

(a) ¬p → q

(b) p ∧¬q ∧ r ∧¬s

(c) p → q → r → p ∧q ∧ r

(d) ¬α∨α(e) ¬(¬¬¬α∧β)

(f) α→α∨ (β→ γ)

2o livro do Hegenberg de Lógica e o livro de Matemática Discreta do Rosen são lugares pra se começar.

16

(3) Para as fórmulas bem formadas encontradas no exercício anterior, determine as subfór-

mulas. (As subfórmulas dependem do modo que os parênteses foram colocados?)

(4) (comprimento de uma fórmula) Use o Princípio de Indução para fórmulas e defina a

função ` : LP →N, para toda fórmula α da linguagem LP da lógica proposicional. Cha-

mamos `(α) de comprimento da fórmula α e é o número de símbolos da fórmula que

não são de pontuação. Por exemplo `((¬p1)) = 2, `((p1 ∨p2)) = 3, `((p1 ∧ (p1 → p2)∨(¬p2))) = 8.

(5) Use o Princípio de Indução para fórmulas e defina, para toda fórmula α da linguagem,

a função atomos(α) que descreve o conjunto das variáveis proposicionais que ocorrem

em α. Por exemplo atomo(p1) = p1, atomo((p1 ∨ p2)) = p1, p2, atomo((p1 ∧ (p1 →p2)∨ (¬p2))) = p1, p2.

(6) Use o Princípio de Indução para fórmulas e defina a seguinte função para toda fórmulaα

da linguagem L da lógica proposicional: t (α) descreve o conjunto das variáveis proposi-

cionais que ocorrem em α. Por exemplo t (p1) = p1, t ((p1∨p2)) = p1, p2, t ((p1∧(p1 →p2)∨ (¬p2))) = p1, p2.

(7) Demonstre que para toda fórmula α vale que grau(α) é no máximo o número de conec-

tivos lógicos que aparecem em α. Demonstre também que grau(β) < grau(α) para toda

subfórmula β da fórmula α.(8) Leia com atenção a descrição dada a seguir e responda ao enunciado que segue.

Regras para a omissão de parentes

(a) omitimos os parênteses mais externos: ¬α é entendido como (¬α) e αäη deve ser lido como (αäη).

(b) Adotamos a seguinte ordem de precedência para os conectivos: ¬, ∧, ∨, →. Assim, p∨q ∧r deve ser lido como

(q ∨ (q ∧ r )); ¬p ∨ r → q deve ser lido como (((¬p)∨ r ) → q).

(c) As repetições de um mesmo conectivo são aninhadas pela direita: p → q → r → s deve ser lido como (p → (q →(r → s))).

Refaça o exercício 2 tendo em mente que os parênteses das fórmulas foram omitidos

de acordo com a descrição acima.

(9) A expressão ’quadrado’ é o nome da palavra quadrado a qual dá nome a forma geomé-

trica. Assim, em quadrado tem quatro lados a palavra ’quadrado’ está sendo usada para

falar da forma geométrica. Em ’quadrado’ tem seis letras não estamos falando mais da

forma geométrica, mas da palavra que é o nome dessa forma. Aqui, o uso de ’ e ’ é

uma convenção para distinguir quando de menciona a expressão de quando se fala dela.

Identifique abaixo o uso correto ou não dessa convenção

(a) O numeral ’3’ expressa o resultado da operação 2+1.

(b) ’2’ é o numeral que dá nome ao número 2.

(c) 2+2 é igual a 3+1 mas ’2+2’ não é igual a ’3+1’.

(d) A expressão ’rosa’ permite falar sobre a rosa.

(e) ’Dois’ não é o nome de 1+1.

17

(f) ’Sócrates’ é o nome de um filósofo grego.

(g) Sócrates é o nome de um ex-jogador do Corinthians.

4. SISTEMAS DEDUTIVOS PARA A LÓGICA PROPOSICIONAL

O propósito de um sistema dedutivo é formalizar o raciocínio matemático. Informalmente, um

raciocínio é uma sequência de afirmações das quais uma – a conclusão – deve ser consequên-

cia das restantes – as premissas. A conclusão é uma consequência lógica das premissas, se for

verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Neste caso temos uma raciocínio válido.

Num raciocínio válido se as premissas forem verdadeiras, o raciocínio é integro. A matemática

moderna é expressa em um estilo que pode ser caracterizada como “o raciocínio informal for-

malizado” — as provas são expressas em linguagem natural, mas existem convenções quanto às

formas de raciocínio que são permitidas.

São conhecidos alguns sistemas dedutivos para a linguagem proposicional: Sistema de Hilbert,

Dedução Natural, Tableaux, Cálculo de sequentes, por exemplo. Eles são equivalentes no sentido

de deduzirem as mesmas proposições.

Um sistema dedutivo consiste de um conjunto finito de axiomas axiomas lógicos (ou esquemas

de axiomas) e um conjunto finito de regras de inferência que são usados para derivar os teore-

mas do sistema. Esse aparato é sintático, os axiomas são premissas e a regras nos dão fórmulas

novas a partir dos axiomas e dos teoremas.

Apresentaremos o Sistema de Hilbert para a lógica proposicional. Ele contém um conjunto de

axiomas (não usaremos o menor conjunto possível) e uma única regra de inferência; provas são

construídos como uma sequência de fórmulas, cada um dos quais é ou um axioma (ou uma

fórmula que tenha sido anteriormente provada) ou uma derivação de uma fórmula de fórmulas

anteriores na sequência usando a regra de inferência.

Prova. Sejam α uma fórmula e Γ⊂LP . Uma prova de α a partir de Γ é uma sequência finita de

fórmulas

⟨ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn⟩

tal que ϕn =α e, para i < n, ϕi é

(1) ou um axioma

(2) ou uma fórmula de Γ

(3) ou uma fórmula obtida de ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕi−1 por regra de inferência.

Γ`α e lê-se “α é deduzível de Γ”, ou “Γ prova α”, ou α é consequência sintática de Γ.

18

Nesse caso, Γ é chamado de antecedentes ou hipóteses e α é chamado de consequente ou con-

clusão.

`α e lê-se “α é teorema” , que escrevemos quandoα é uma fórmula para a qual existe uma prova

a partir dos axiomas lógicos e regras de inferência ou é um axioma.

Simplificações de notação:

• Ao invés de α `β escrevemos α`β .

• Ao invés de α1, . . . ,αn `β escrevemos α1, . . . ,αn `β .

• Ao invés de Γ∪ α `β escrevemos Γ,α`β .

Esquemas de axiomas e de teoremas. No que segue, chamaremos de axioma uma fórmula como

a seguinte:

(1) α→ (β→α)

e de teorema uma fórmula como a seguinte:

(2) α→α

o que, a rigor, não são. São esquemas de axiomas e de teoremas, pois usam variáveis da meta-

linguagem. Os axiomas são obtidos quando substituímos tais variáveis por fórmulas nas quais

figuram apenas símbolos do alfabeto, sendo que todas as ocorrências da mesma variável corres-

pondem a mesma fórmula da linguagem.

Exemplo 6. A FBF ((p1 ∨¬p2) ↔ p3) → (¬(p2 ∧¬p3) → ((p1 ∨¬p2) ↔ p3)) é uma das fórmulas do

esquema (1), isto é, é um dos axiomas

((p1 ∨¬p2) ↔ p3)︸ ︷︷ ︸α

→ (¬(p2 ∧¬p3)︸ ︷︷ ︸β

→ ((p1 ∨¬p2) ↔ p3)︸ ︷︷ ︸α

)

e ((p1 ∨¬p2) ↔ p3) → ((p1 ∨¬p2) ↔ p3) é um dos teoremas do esquema (2)

((p1 ∨¬p2) ↔ p3)︸ ︷︷ ︸α

→ ((p1 ∨¬p2) ↔ p3︸ ︷︷ ︸α

)

4.1. Sistema de Hilbert. Axiomas lógicos do Sistema de Hilbert:

(A1) α→ (β→α)

(A2) (α→ (β→ ξ)) → ((α→β) → (α→ ξ))

(A3) (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4) α→ (β→ (α∧β))

(A5) α∧β→α

(A6) α∧β→β

19

(A7) α→α∨β(A8) β→α∨β(A9) (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A10) ¬¬α→α

Regras de inferência do Sistema de Hilbert:

Modus Ponens:α, α→β

β

Usualmente, escrevemos uma prova como

1. ϕ1 [justificativa]

2. ϕ2 [justificativa]...

n-1. ϕn−1 [justificativa]

n. ϕn [justificativa]

em que justificativa explicita qual dos 3 itens que são permitidos em cada passo (axioma,

hipótese ou inferência).

4.2. Exemplos de dedução. A seguir daremos provas para alguns teorema da Lógica Proposi-

cional. Vamos observar a seguinte nomeclatura, reservamos a palavra prova para a sequência

dedutiva formal que estabelece um teorema e reservamos a palavra demonstração para a dedu-

ção em metalinguagem de um metateorema.

Teorema 1. `α→α

Prova.

1. (α→ ((α→α) →α)) → ((α→ (α→α)) → (α→α)) (por A2)

2. α→ ((α→α) →α)) (por A1)

3. α→ (α→α)) (por A1)

4. (α→ (α→α)) → (α→α) (por MP 2,1)

5 α→α (por MP 3,4)

Um conjunto de fórmulas é dito inconsistente se alguma fórmula e sua negação podem ser pro-

vadas. O seguinte resultado diz que, nesse caso, tudo pode ser provado.

Lei de Duns Scotus. α,¬α`β

Prova.

20

1. α (por hipótese)

2. ¬α (por hipótese)

3. α→ (¬β→α) (por A1)

4. ¬α→ (¬β→¬α) (por A1)

5. ¬β→α (por MP 1,3)

6. ¬β→¬α (por MP 2,4)

7. (¬β→α) → ((¬β→¬α) →¬¬β) (por A3)

8. (¬β→¬α) →¬¬β (por MP 5,7)

9. ¬¬β (por A1)

10. ¬¬β→β (por A10)

11. ¬¬β (por MP 9,10)

Teorema 2. α→β,β→ γ`α→ γ

Prova.

1. α→β (por hipótese)

2. β→ γ (por hipótese)

3. (β→ γ) → (α→ (β→ γ)) (por A1)

4. (α→ (β→ γ) (por MP 2,3)

5. (α→ (β→ γ)) → ((α→β) → (α→ γ)) (por A2)

6. (α→β) → (α→ γ) (por MP 4,5)

7. α→ γ (por MP 1,6)

Teorema 3. θ→ (φ→ ξ) `φ→ (θ→ ξ)

Prova.

1. θ→ (φ→ ξ) (por hipótese)

2. (θ→ (φ→ ξ)) → ((θ→φ) → (θ→ ξ)) (por A2)

3. (θ→φ) → (θ→ ξ) (por MP 1,2)

4. φ→ (θ→φ) (por A1)

5. φ→ (θ→ ξ) (por Teor.2 4,3)

A rigor, a dedução anterior não é uma prova por causa da linha 5

21

5. φ→ (θ→ ξ) (por Teor.2 4,3)

mas podemos transformá-la numa prova imitando a prova do Teorema 2

Prova do Teorema 3.

1. θ→ (φ→ ξ) (hipótese)

2. (θ→ (φ→ ξ)) → ((θ→φ) → (θ→ ξ)) (A2)

3. (θ→φ) → (θ→ ξ) (MP 1,2)

4. φ→ (θ→φ) (A1)

5. ((θ→φ) → (θ→ ξ)) → (φ→ ((θ→φ) → (θ→ ξ))) (A1)

6. (φ→ ((θ→φ) → (θ→ ξ)) (MP 3,5)

7. (φ→ ((θ→φ) → (θ→ ξ))) → ((φ→ (θ→φ)) → (φ→ (θ→ ξ))) (A2)

8. (φ→ (θ→φ)) → (φ→ (θ→ ξ)) ( MP 6,7)

9. φ→ (θ→ ξ) (MP 4,5)

A partir de agora, vamos permitir uso de teoremas nas provas de modo que uma prova da fór-

mula α a partir de Γ é uma sequência finita de fórmulas

⟨ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn⟩

tal que ϕn =α e, para i < n, ϕi é

(1) ou um axioma

(2) ou uma fórmula de Γ

(3) ou uma fórmula obtida de ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕi−1 por regra de inferência

(4) ou um teorema que já foi provado.

Teorema 4. `α→¬¬α

Prova.

1. ¬¬¬α→¬α (A10)

2. (¬¬¬α→α) → ((¬¬¬α→¬α) →¬¬¬¬α) (A3)

3. (¬¬¬α→¬α) → ((¬¬¬α→α) →¬¬¬¬α) (Teor.3,2)

4. (¬¬¬α→α) →¬¬¬¬α (MP 1,3)

5. ¬¬¬¬α→¬¬α (A10)

6. (¬¬¬α→α) →¬¬α (Teor.2, 4,5)

7. α→ (¬¬¬α→α) (A1)

8. α→¬¬α (Teor.2,7,6)

22

Teorema 5. α→ (β→ γ),α∧γ` γ

Prova.

1. α∧γ (hipótese)

2. (α∧γ) → γ (A6)

3. γ (MP 1,2)

4.3. Propriedades de `. Valem as seguintes propriedades

(1) Γ`α para todo α ∈ Γ.

(2) Se Γ`α então Γ∪Σ`α.

(3) Se Γ`αi para i = 1,2, . . . ,k e α1, . . . ,αk `β então Γ`β.

(4) (Regra do destacamento) Se Γ`α e Γ`α→β então Γ`β.

Demonstração. Vamos demonstrar a regra do destacamento. Suponha Γ`α e Γ`α→β.

De Γ`α temos uma prova ⟨θ1,θ2, . . . ,θn−1,α⟩ de α a partir de Γ. De Γ`α→β temos uma prova

⟨φ1,φ2, . . . ,φm−1,α→β⟩ de α→β a partir de Γ.

A seguinte prova

1. θ1...

...

n-1. θn−1

n. α

n+1. φ1...

...

n+m-1. φm−1

n+m. α→β

n+m+1. β ( por MP n,n+m)

estabelece Γ`β.

4.4. Metateorema da Dedução.

Metateorema 3 (Teorema da Dedução).

(3) Γ,α`β se, e somente se, Γ`α→β.

23

Em particular

α`β se, e somente se, `α→β.

Se aplicarmos o Metateorema da Dedução aos teoremas 2, 3 e 5 dados anteriormente obtemos

Teorema 2’. ` (α→β) → (β→ γ) → (α→ γ).

Teorema 3’. ` (θ→ (φ→ ξ)) → (φ→ (θ→ ξ)).

Teorema 5’. ` (α→ (β→ γ)) → (α∧γ→ γ).

Vamos usar o metateorema da dedução para provar os seguintes teoremas.

Teorema 6. ` (¬β→¬α) → ((¬β→α) →β).

Teorema 7. ` (¬β→¬α) → (α→β).

Pelo Teorema da Dedução, basta provar o Teorema 6’.

Teorema 6’. ¬β→¬α, ¬β→α`β

Prova:

1. ¬β→α (hipótese)

2. ¬β→¬α (hipótese)

3. (¬β→α) → ((¬β→¬α) →¬¬β) (A3)

4. (¬β→¬α) →¬¬β (MP 1,3)

5. ¬¬β (MP 2,4)

6. ¬¬β→β (A10)

7. β (MP 5,6)

Pelo Teorema da Dedução, basta provar o Teorema 7’.

Teorema 7’. ¬β→¬α, α`β

Prova:

1. ¬β→¬α (hipótese)

2. α (hipótese)

3. (¬β→¬α) → ((¬β→α) →β) (Teor 6)

4. (¬β→α) →β (MP 1,3)

5. α→ (¬β→α) (A1)

6. α→β (Teor 2 5,4)

7. β (MP 2,6)

24

Demonstração do Metateorema da Dedução. Primeiro, vamos demonstrar que se Γ` α→ β en-

tão Γ,α`β.

Suponha que Γ`α→β. Então

Γ,α`α→β

pela propriedade 2 de `. Trivialmente, vale

Γ,α`α.

Agora, pela regra do destacamento temos Γ,α`β.

Vamos demonstrar que se Γ,α`β então Γ`α→β. Suponha que Γ,α`β e seja

⟨θ1,θ2, . . . ,θn−1,β⟩

uma prova de β a partir de Γ,α. Vamos demonstrar por indução em i que Γ` α→ θi para todo

1 ≤ i ≤ n com θn =β.

Base: θ1 ou é um axioma ou uma fórmula de Γ.

Se é axioma ou hipótese (de Γ) então

1. θ1 (axioma ou hipótese)

2. θ1 → (α→ θ1) (por A1)

3. α→ θ1 (por MP 1,2)

Se é α

α→ θ1 (por Teor 1)

Em ambos os casos Γ`α→ θ1.

Hipótese indutiva: Assuma que Γ`α→ θ j para todo j = 1,2, . . . , i −1.

Passo indutivo: Vamos demonstrar que a hipótese indutiva implica Γ`α→ θi .

θi ou é uma axioma ou fórmula de Γ, ou é α, ou é resultado de (por MP j,k) com j ,k < i . Nos três

primeiros casos Γ` α→ θi , a prova é similar ao caso feito na base da indução. Resta verificar o

caso θi é resultado de (por MP j,k) com j ,k < i .

Se θi é resultado de (por MP j,k) com j ,k < i então na linha j temos θ j e na linha k temos θ j → θi .

Pela hipótese indutiva Γ`α→ θ j e Γ`α→ (θ j → θi )

25

1. α→ θ j (por hipótese)

2. α→ (θ j → θi ) (por hipótese)

3. (α→ (θ j → θi )) → ((α→ θ j ) → (α→ θi )) (por A2)

4. (α→ θ j ) → (α→ θi ) (por MP 2,3)

5. α→ θi (por MP 1,4)

o que completa o passo indutivo da indução.

Portanto, pelo princípio da indução matemática Γ`α→ θi , para todo i , ou seja Γ`α→β.

Exercícios.

(1) Escreva uma demonstração para as propriedades 1,2 e 3 de `.

(2) Que propriedade de ` foi usada na prova do Teorema α→β,β→ γ`α→ γ ?

(3) Seja ⟨θ1,θ2, . . . ,θn⟩ uma prova.

A sequência ⟨θ1,θ2, . . . ,θ`⟩ para todo ` com 1 ≤ `≤ n é uma prova?

(4) Demonstre o caso geral do Teorema da dedução.

(5) Demonstre que se α ∈ Γ e Γ`β então Γ`α→β.

(6) Prove os seguintes teoremas para quaisquer fórmulas α e B

(a) ` (β∨α) → (α∨β).

(b) ` (¬β→¬α) → (α→β).

(c) ` (α→β) → (¬β→¬α).

(d) ` (β→¬α) → (α→¬β).

(e) ` (¬β→α) → (¬α→β).

(f) `α→ (¬β→¬(α→β)).

(g) ` (α→β) → ((¬α→β) →β).

(h) `¬δ→ (¬β→¬(δ∨β)).

(i) `¬α∨α(j) Dê uma prova de 4 linhas para ` (¬α→α) →α. Consegue com 3?

5. A SEMÂNTICA DA LÓGICA PROPOSICIONAL

5.1. Interpretação e Valoração. Os objetos fundamentais da lógica simbólica são as fórmulas

que modelam declarações matemáticas, as deduções que modelam o raciocínio matemático e a

semântica que define o “significado” das fórmulas. Uma interpretação das fórmulas é uma fun-

ção que associa a qualquer fórmula um objeto em uma estrutura abstrata chamada modelo que

permite definir a validade das fórmulas. No nosso caso, a lógica proposicional, as fórmulas as-

sumem um de dois valores, 0 ou 1 (’falso’ ou ’verdadeiro’), a que chamamos de valores-verdade

26

(o modelo é a álgebra booleana). O valor-verdade de uma fórmula depende dos valores de seus

componentes proposicionais atômicos.

Note-se que não nos comprometemos com uma interpretação particular. Atribuímos valores

para as formulas atômicas e estudamos os valores das fórmulas e suas relações lógicas.

Uma interpretação de uma fórmula α é definida por uma atribuição de valor-verdade 0 ou 1

para cada uma das suas fórmulas atômicas. Por exemplo, uma interpretação de p → (q ∨ s) é

dada por

p = 0, q = 1, s = 0

veremos que nessa caso a fórmula tem valor-verdade 1 nessa interpretação.

Uma interpretação é uma função

v : V → 0,1

a qual estenderemos para toda fórmula de Lp

v : LP → 0,1

i.e., v é tal que v(p) = v(p) para todo p ∈V ⊂LP .

Uma valoração de LP é uma função w : LP → 0,1 que atribui valor-verdade para as todas

fórmulas bem formadas da linguagem e que satisfaz as seguintes condições:

• w(¬α) = 1−w(α).

α= 0 α= 1

w(¬α) 1 0

• w(α∧β) = minw(α), w(β).

w(α∧β) α= 0 α= 1

β= 0 0 0

β= 1 0 1

• w(α∨β) = maxw(α), w(β).

w(α∨β) α= 0 α= 1

β= 0 0 1

β= 1 1 1

Nas abreviaturas ficamos com

• w(⊥) = 0 e w(>) = 1.

• w(α→β) = w(¬α∨β) = max1−w(α), w(β) = 0 se, e só se, w(α) = 1, w(β) = 0.

27

w(α→β) α= 0 α= 1

β= 0 1 0

β= 1 1 1

• w(α↔β) = 1 se, e só se, w(α) = w(β).

Desse modo, dada um interpretação v : V → 0,1 definimos v : LP → 0,1 por v(α) := v(α) se

α é atômica; se α = ¬β e v(β) está definido, então v(α) := 1− v(β); se α = β∨γ, v(β) e v(γ)

estão definidos, então v(α) := maxv(β), v(γ); se α = β∧γ, v(β) e v(γ) estão definidos, então

v(α) := minv(β), v(γ). Portanto, uma interpretação v pode ser estendida para uma valoração

v .

Exercício 1. Tome uma valoração v tal que v(p4) = v(p2) = 1 e v(p1) = v(p3) = 0. Determine v(α)

para α dado por:

(1) ¬p2 →¬p3.

(2) ¬p2 → p3.

(3) ¬(¬p4 → p1).

(4) p4 ∨p1.

(5) p4 ∧p1.

O valor de uma fórmula numa valoração depende exclusivamente do valor das suas subfórmulas

atômicas:

Metateorema 4. Sejam v e w duas valorações de LP . Seα ∈LP uma fórmula tal que v(p) = w(p)

para toda fórmula atômica p ∈ Sf(α), então v(α) = w(α).

Demonstração. A demonstração é por indução (metateorema 1). Sejam v e w duas valorações

de LP . Seja α ∈LP uma fórmula tal que v(p) = w(p) para toda fórmula atômica p ∈ Sf(α).

Se α é atômica então é imediato que v(α) = w(α).

Se α=¬β e v(β) = w(β) então v(α) = 1− v(β) = 1−w(β) = w(α).

Se α=β∨γ e v(β) = w(β) e v(γ) = w(γ) então v(α) = maxv(β), v(γ) = maxw(β), w(γ) = w(α).

Se α=β∧γ e v(β) = w(β) e v(γ) = w(γ) então v(α) = minv(β), v(γ) = minw(β), w(γ) = w(α).

Portanto, pelo princípio de indução para fórmulas, para toda FBF α tal que v e w coincidem nas

subfórmulas atômicas vale que v(α) = w(α).

Portanto, para analisarmos os possíveis valores-verdade de uma fórmula, podemos analisar to-

das as interpretações de um conjunto finito de fórmulas atômicas e estendê-las para as subfór-

mulas. Ademais, se v e w coincidem em V então coincidem em toda fórmula de LP , ou seja,

28

Corolário 8. Dada um interpretação v : V → 0,1, existe uma única valoração v : LP → 0,1 tal

que v(p) = v(p) para toda fórmula atômica p ∈V .

5.2. Tabela-verdade. É um método baseado no metateorema 4 para estudar os possíveis valores-

verdade de uma fórmula.

(1) O primeiro passo para montar a tabela-verdade de uma fórmula é destrinchá-la nas sub-

fórmulas.

(2) Em seguida, montamos uma coluna para cada subfórmula, colocando as mais elemen-

tares à esquerda, e as mais complexas à direita, partindo das fórmulas atômicas até a

fórmula toda.

(3) Escrevemos uma linha para cada possível interpretação (valoração das fórmulas atômi-

cas) e usamos as regras dos conectivos para completar a tabela.

Exemplo 7. Tabelas-verdade para p ∨¬p, ¬(p ∧¬p), ¬(p → (q → p)) e ¬p ∨q

(1)

p ¬p p ∨¬p

0 1 1

1 0 1portanto essa fórmula é ’verdadeira’ independentemente da interpretação.

(2)

p q q → p p → (q → p) ¬(p → (q → p))

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

1 0 1 1 0

1 1 1 1 0portanto essa fórmula é ’falsa’ independentemente da interpretação.

(3)

p ¬p p ∧¬p ¬(p ∧¬p)

0 1 0 1

1 0 0 1portanto essa fórmula é ’verdadeira’ independentemente da interpretação.

(4)

p q ¬p ¬p ∨q

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 1portanto o valor-verdade dessa fórmula depende da interpretação.

29

Na prática, a viabilidade desse método depende da quantidade de subfórmulas atômicas da fór-

mula pois o tamanho da tabela cresce exponencialmente nesse parâmetro. Uma fórmula sobre

n átomos tem uma tabela com 2n linhas. Uma fórmula com 10 átomos resulta numa tabela com

1.024 linhas, certamente muito trabalhoso para um humano mas facilmente resolvido por um

computador. Entretanto, deve ficar claro que mesmo para um computador há um limite. Se

há 30 átomos, a tabela irá conter mais de um bilhão de combinações de valores. Embora haja

atalhos como, por exemplo, se se atribui o valor 0 para p pode-se atribuir o valor 0 para p ∧q in-

dependentemente do valor atribuído ao q , o que reduz o número de cálculos a serem realizados,

em tese.

Mas tais atalhos não mudam fundamentalmente a dificuldade do problema. Estamos, na se-

guinte situação: dada uma proposiçãoα, queremos determinar seα é sempre verdadeira ou não,

i.e., há valores-verdade atribuídos às variáveis proposicionais de α que a torna falsa/verdadeira.

O problema da satisfatibilidade, ou seja, encontrar uma interpretação que dá 1 como o valor-

verdade da proposição é chamado SAT. Determinar via força-bruta se alguma interpretação sa-

tisfaz a proposição toma tempo exponencial no número de átomos e não se sabe se é possível

tomar algum atalho que seja efetivo para toda proposição e que diminua consideravelmente a

quantidade computação. Ainda, dada uma valoração podemo verificar fácil e rapidamente o

valor-verdade da proposição. Isso uma característica da família de problemas computacionais

ditos NP. O problema SATdesempenha um papel fundamental na Teoria da Complexidade Com-

putacional uma vez que podemos mostrar que a descoberta de um algoritmo eficiente para este

problema implica em algoritmos eficientes para todos os problemas computacionais do tipo NP.

De fato, dentre os problemas NP, esse é um dos mais difíceis, num certo sentido muito preciso,

ou seja, é um problema computacional NP-completo.

Exemplo 8. Tabela-verdade para α= (p1 ∧p2

)→ ((¬p3)∨ (p4 ↔ p5)

)

30

p1 p2 p3 p4 p5 p1 ∧p2 ¬p3 p4 ↔ p5 (¬p3)∨ (p4 ↔ p5) α

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 1 0 1 1

0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1 1 1

0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0 1 1 1

0 1 1 0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0 0 0 0 1

1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

1 1 0 0 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1

5.3. Tautologia. Dizemos que uma fórmula é uma tautologia (ou fórmula válida) se o valor

verdade da fórmula é sempre 1, i.e., se for ’verdadeira’ para qualquer valoração.

As tautologias mais simples que conhecemos são >, que abrevia ¬(p∧¬p), p∨¬p, e p → p. Dos

exemplos anteriores temos que p → (q → p), ¬(p ∧¬p) e (¬p ∨q) ↔ (p → q) são tautologias.

É fácil verificar a partir da interpretação do ’implica’ que a fórmula ⊥ → α é tautologia para

qualquer que seja a fórmula α, assim como a fórmula α→>.

Exercício 2. Verifique que todos os (esquemas) axiomas do sistema de Hilbert são tautologias.

Veremos que qualquer teorema nesse sistema (Hilbert) é uma tautologia! Intuitivamente isso é

fácil de perceber pois os axiomas são ssempre ’verdadeiros’ e se α é ’verdadeiro’ e implicação

α→ β é sempre ’verdadeira’, independentes de valoração, então a fórmula β é sempre ’verda-

deira’de modo que toda linha escrita numa prova é tautologia. Esse fato será abordado de modo

apropriado mais a frente. A lógica proposicional também tem a propriedade de que tudo o que

é tautologia tem prova no sistema dedutivo.

31

Tautologias notáveis. São tautologias as seguintes fórmulas

Dupla negação: α↔¬(¬α)

Não contradição: ¬(α∧ (¬α))

Terceiro excluído: α∨ (¬α)

Comutatividade: (α∨β) ↔ (β∨α),

(α∧β) ↔ (β∧α),

(α↔β) ↔ (β↔α)

Associatividade: ((α∨β)∨γ) ↔ (α∨ (β∨γ)),

((α∧β)∧γ) ↔ (α∧ (β∧γ)),

((α↔β) ↔ γ) ↔ (α↔ (β↔ γ))

Distributividade: (α∧ (β∨γ)) ↔ ((α∧β)∨ (α∧γ)),

(α∨ (β∧γ)) ↔ ((α∨β)∧ (α∨γ))

Contrapositiva: (α→β) ↔ ((¬β) → (¬α))

Leis de De Morgan: ¬(α∨β) ↔ ((¬α)∧ (¬β)),

¬(α∧β) ↔ ((¬α)∨ (¬β))

Modus Ponens: (α∧ (α→β)) →β

Modus Tollens: ((¬β)∧ (α→β)) →¬αSilogismo disjuntivo: ((α∨β)∧¬α) →β

Silogismo hipotético: ((α→β)∧ (β→ γ)) → (α→ γ)

Redução ao absurdo: ((α∧ (¬β)) → (γ∧ (¬γ))) → (α→β)

5.4. Contradição. Dizemos que uma fórmula é uma contradição se for falsa para qualquer va-

loração.

Certamente, as fórmulas ⊥, ¬(p ∨¬p) e ¬(p → p) são contradições. Também, a negação de uma

tautologia é uma contradição.

Lema 9. α é uma tautologia se, e só se, ¬α é uma contradição.

Demonstração. Exercício.

5.5. Consequência semântica (ou consequência lógica). Comecemos com um exemplo.

Exemplo 9. Considere as seguintes sentenças atômicas

p: O time joga bem

q : O time ganha o campeonato.

r : O técnico é o culpado.

s: Os torcedores estão felizes.

32

com as quais formamos as sentenças compostas

p → q : Se o time joga bem︸ ︷︷ ︸p

, então o time ganha o campeonato︸ ︷︷ ︸q

.

¬p → r : Se o time não joga bem︸ ︷︷ ︸¬p

, então o técnico é o culpado︸ ︷︷ ︸r

.

q → s: Se o time ganha o campeonato︸ ︷︷ ︸q

então os torcedores estão felizes︸ ︷︷ ︸s

.

¬s: Os torcedores não estão felizes.

As 16 interpretações com as respectivas valorações são dadas abaixo

p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s

0 0 0 0 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1 0

0 0 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 0

0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 0

p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s

1 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 0

1 1 0 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1 1 0

1 1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 0donde concluímos que só há uma interpretação que satisfaz as sentenças compostas

p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s...

......

......

......

...

0 0 1 0 1 1 1 1...

......

......

......

...disso concluímos a sentença r , ou seja, “o técnico é culpado”. Também concluímos as sentenças

¬p e ¬q, respectivamente, “o time não joga bem” e “o time não ganha o campeonato”.

Daqui em diante usamos letras gregas maiúsculas Γ, Λ, Σ, Ψ, ∆, Ω, Θ, Π, Φ são usadas para

denotar conjunto de fórmulas tomadas de LP .

Dizemos que uma valoração w satisfaz a fórmula α se w(α) = 1, e dizemos que α é satisfazível.

Uma valoração v satisfaz o conjunto Γ se satisfaz cada elemento do conjunto, isto é, w(α) = 1

para todo α ∈ Γ.

No exemplo acima, uma valoração que satisfaz o conjunto Γ = p → q,¬p → r, q → s,¬s tam-

bém satisfaz Σ= ¬p,¬q,r,¬s.

Exercício 3. Sejam w uma valoração de LP e Γ= γ1,γ2, . . . ,γn.

(1) Se w satisfaz o conjunto Γ então w satisfaz a fórmula γ1 ∧γ2 ∧·· ·∧γn?

33

(2) Se w satisfaz a fórmula γ1 ∧γ2 ∧·· ·∧γn então w satisfaz o conjunto Γ?

Uma fórmula α é consequência semântica (ou consequência lógica) das fórmulas de Γ se toda

valoração w que satisfaz Γ também satisfaz α e denota-se esse fato por ΓÍα.

• ΓÍα lê-se “alfa é consequência lógica de gama”.

• Íα significa que α é uma tautologia.

• ΓÍ⊥ significa que Γ não é satisfazível.

Exemplo 10. No caso do exemplo temos que p → q,¬p → r, q → s,¬s Í r .

Exemplo 11.

(p ∨q) → r Í p → r

p q r (p ∨q) → r p → r

0 0 0 1 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

(p ∧q) → r 6Í p → r

p q r (p ∧q) → r p → r

0 0 0 1 1

0 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 1 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

Simplificações de notação:

• Ao invés de α Íβ escrevemos αÍβ .

• Ao invés de α1, . . . ,αn Íβ escrevemos α1, . . . ,αn Íβ .

• Ao invés de Γ∪ α Íβ escrevemos Γ,αÍβ .

Exemplo 12. Algumas consequências e não-consequências semânticas são:

(1) p3, p3 →¬p7 ͬp7

(2) p8, p5 → p8 6Í ¬p5

(3) α,βÍα∧β(4) α1,α2, . . . ,αn Íα1 ∧α2 ∧·· ·∧αn

(5) α→βͬα∨β(6) ¬α∨βÍα→β

(7) α→β,β→ γÍα→ γ?

Lema 10. Para a consequência semântica valem

34

(1) αÍβ se, e só se, Íα→β.

(2) (Teorema da dedução, semântico) Γ,αÍβ se, e só se, ΓÍα→β.

(3) α1,α2 . . . ,αn Íβ se, e só se, Í (α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn) →β.

Demonstração. (1) Assumamos αÍβ e provemos Íα→β. Seja w uma valoração.

Se w(α) = 0 então w(α→ β) = 1, por definição de valoração. Se w(α) = 1 então w(β) = 1, pois

assumimos αÍβ, portanto, w(α→β) = 1. Logo a implicação é uma tautologia.

Agora, assumamos Íα→β. Se w satisfaz α então w(β) = 1, pois α→β é tautologia.

A prova de (2) é análoga e é deixada como exercício.

(3) Suponha que α1,α2 . . . ,αn Í β e seja w uma valoração. Se w(α1 ∧α2 ∧ ·· · ∧αn) = 0 então

w((α1∧α2∧·· ·∧αn) →β) = 1. Se w(α1∧α2∧·· ·∧αn) = 1 então w(β) = 1, portanto, w((α1∧α2∧·· ·∧αn) →β) = 1. Logo (α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn) →β é tautologia.

Por outro lado, se (α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn) → β é tautologia e w é uma valoração tal que w(α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn) = 1, então, pela interpretação de ’→’ necessariamente w(β) = 1.

Em particular, segundo o Teorema da dedução semântico temos a partir das tautologias notáveis

que

Modus Ponens: α, (α→β) ÍβModus Tollens: (¬β),α→βͬα

Silogismo disjuntivo: α∨β,¬αÍβPodemos usar o lema acima para deduzir tautologias

(1) de α∨β,α→ γ,β→ γÍ γ temos Í (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

e vice versa;

(2) de Í (α∧ (α→β)) →β temos α, (α→β) Íβ.

Teoria. A consequência lógica é conceito central na matemática. Por exemplo, Euclides assumiu

cinco fórmulas sobre a geometria e deduziu um extenso conjunto de consequências semânticas.

Seja T um conjunto de fórmulas. T é fechado sob consequência semântica se, e somente se,

para toda fórmula α

se T Íα então α ∈T

e nesse caso T é uma teoria e seus elementos são teoremas.

Teorias são construídas, selecionando um conjunto de fórmulas chamados axiomas e deduzindo

suas consequências lógicas.

35

T é axiomatizável se existe um conjunto de fórmulas Γ tal que

T = α : ΓÍα.

Por exemplo, a Aritmética (Teoria Elementar dos Números) é axiomatizável, há um conjunto

de axiomas desenvolvido por Giuseppe Peano, cujas consequências lógicas são os teoremas da

Aritmética. Mas isso precisa de uma lógica mais poderosa.

Equivalência semântica (ou equivalência lógica). Notemos que se αÍβ então para toda valora-

ção w

se w(α) = 1 então w(β) = 1

Agora, se βÍα então para toda valoração w

se w(α) = 0 então w(β) = 0

ou seja,de αÍβ e βÍα concluímos que w(α) = w(β) para toda w .

As FBF α e β são semanticamente (ou logicamente) equivalentes se

v(α) = v(β) para toda interpretação v.

Denotamos esse fato por α≡β.

Exemplo 13. São exemplos de equivalência semântica

(1) α≡¬¬α,

(2) γ→ δ≡ (¬γ)∨δ,

(3) ¬(γ∧δ) ≡ (¬γ)∨ (¬δ),

(4) ¬(γ∨δ) ≡ (¬γ)∧ (¬δ),

(5) ((α∨β)∨γ) ≡ (α∨ (β∨γ)),

(6) ((α∧β)∧γ) ≡ (α∧ (β∧γ)),

(7) ((α↔β) ↔ γ) ≡ (α↔ (β↔ γ)),

(8) (α→β) ≡ ((¬β) → (¬α)).

Observemos que, em particular, toda tautologia notável que é uma bi-implicação, ou seja, é da

forma α↔β, também é uma equivalência semântica. De fato, esses exemplos se enquadram no

resultado (1) abaixo.

Lema 11. São propriedades da equivalência

(1) α≡β se, e só se, α↔β é uma tautologia.

(2) Se α é tautologia então α≡>, ou seja, α→> é tautologia.

36

Demonstração. (1) Usando a interpretação da bi-implicação e a definição de equivalência se-

mântica temos que α≡ β se, e somente se, v(α) = v(β) para qualquer valoração v , se e somente

se, α↔β é uma tautologia.

(2) Segue da definição da abraviatura >.

Exemplo 14. A sequência de equivalências abaixo estabelece ¬(p ∨ (¬p ∧q)) ≡¬(p ∨q)

¬(p ∨ (¬p ∧q)) ≡ ¬p ∧¬(¬p ∧q)) por De Morgan

≡ ¬p ∧ (¬¬p ∨¬q) por De Morgan

≡ ¬p ∧ (p ∨¬q) por dupla negação

≡ (¬p ∧p)∨ (¬p ∧¬q) por dupla negação

≡ 0∨ (¬p ∧¬q) pela conjunção

≡ (¬p ∧¬q) pela disjunção

≡ (¬p ∧¬q) pela disjunção

≡ ¬(p ∨q) por De Morgan

Exemplos de formalização de sentenças da linguagem natural. Abaixo damos alguns exemplos

de formalização de sentenças da linguagem natural. Os problemas de lógica conhecidos das

revistas de passatempo (veja aqui) podem ser formalizados e resolvidos na lógica proposicional.

Exemplo: Sócarates diz: “Se eu sou culpado, eu devo ser punido. Eu sou culpado. Logo eu devo

ser punido.” Esse argumento é logicamente correto pois se o formalizamos com

p : “eu sou culpado” e q : “eu devo ser punido”

então (p → q)∧q Í q (Modus Ponens).

Exemplo: Sócarates diz: “Se eu sou culpado, eu devo ser punido. Eu não sou culpado. Logo eu

não devo ser punido.”

Esse argumento é não é logicamente correto pois (p → q)∧¬q 6Í ¬q , basta tomar v com v(p) = 0

e v(q) = 1.

Exemplo: Aladdin encontra dois baús A e B em uma caverna. Ele sabe que cada um deles con-

tém, exclusivamente, ou um tesouro ou uma armadilha fatal. No baú A está escrito: “Pelo menos

um desses dois baús contém um tesouro.” No baú B está escrito: “No baú A há uma armadilha

fatal.” Aladdin sabe que ambas as inscrições são verdadeiras, ou ambas são falsas. É possível

Aladdin escolher um baú com a certeza de que ele vai encontrar um tesouro? Se este for o caso,

qual baú ele deve abrir?

Seja a : “o baú A contém o tesouro” e b : “o baú B contém o tesouro”. Observemos que ¬a : “o

baú A contém a armadilha” e ¬b : “o baú B contém a armadilha”.

37

A inscrição no baú A é a ∨b e no baú B é ¬a. Ademais, v(a ∨b ↔¬a) = 1.

a b a ∨b ↔¬a

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 0

portanto v(a) = 0 e v(b) = 1,ou seja, Aladin deve abrir o baú B .

Exemplo: Três caixas são apresentadas a você. Uma contém ouro, as outras duas estão vazias.

Cada caixa tem estampada nela uma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são: CAIXA 1: “O ouro

não está aqui”. CAIXA 2: “O ouro não está aqui”. CAIXA 3: “O ouro está na caixa 2”. Apenas uma

mensagem é verdadeira, as outras são falsas. Qual caixa tem o ouro?

Seja øi o átomo proposicional que representa “a caixa i tem ouro” para cada i = 1,2,3. “Uma

caixa tem ouro e as outras estão vazias” é formalizado por

(4) (ø1 ∧¬ø2 ∧¬ø3)∨ (¬ø1 ∧ø2 ∧¬ø3)∨ (¬ø1 ∧¬ø2 ∧ø3)

e “uma pista é verdadeira as outras duas são falsas”

(5) (¬ø1 ∧¬¬ø2 ∧¬ø2)∨ (¬¬ø1 ∧¬ø2 ∧¬ø2)∨ (¬¬ø1 ∧¬¬ø2 ∧ø2) ≡ (ø1 ∧¬ø2)∨ (ø1 ∧ø2)

ø1 ø2 ø3 (4) (5)

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 0 1

portanto a única interpretação que satisfaz (4) e (5) é v(ø1) = 1 e v(ø2) = v(ø3) = 0, na quinta

linha da tabela.

Exercícios.

(1) Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando

uma tabela-verdade:

(A) Três caixas são apresentadas a você. Uma contém ouro, as outras duas estão

vazias. Cada caixa tem estampada nela uma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são:

CAIXA 1: “O ouro não está aqui”. CAIXA 2: “O ouro não está aqui”. CAIXA 3: “O ouro está

38

na caixa 2”. Apenas uma mensagem é verdadeira, as outras são falsas. Qual caixa tem o

ouro?

(B) Suponha que sabemos que: (1) ”Se Paulo é magro, então Carlo não é loiro ou Ro-

berta não é alta”. (2) “Se Roberta é alta, então Sandra é adorável”. (3) “Se Sandra adorável

e Carlo é loiro, então Paulo é magro”. (4) “Carlo é loiro”. Podemos deduzir que “Roberta

não é alta”?

(C) Você está andando em um labirinto e de repente se depara com três caminhos

possíveis: o caminho à sua esquerda é por uma via pavimentada com ouro, o caminho

em frente é pavimentado com mármore, o caminho à direita é por uma via feita de pe-

quenas pedras. Cada caminho é protegido por um guardião. Você conversa com os guar-

diões e isso é o que eles dizem:

• O guardião da via de ouro: “Esta via irá levá-lo direto para o centro. Além disso, se as

pedras levá-lo para o centro, em seguida, também o mármore leva-o para o centro.”

• O guardião da via de mármore: “Nem a via de ouro nem a de pedras leva-o para o

centro.”

• O guardião da rua de pedra: “Siga a via de ouro e você vai chegar ao centro, siga a de

mármore e você estará perdido.”

Dado que você sabe que todos os guardiões são mentirosos, é possível escolher um ca-

minho com a certeza de que ele vai levar você para o centro do labirinto? Se esse é o caso,

o caminho que você escolher?

(D) Huguinho, Zezinho e Luizinho se encontram presos em um calabouço escuro e

frio (como eles chegaram lá é outra história). Depois de uma rápida pesquisa os meninos

encontram três portas, a primeira vermelha, a segunda azul, e a terceira verde. Atrás

de uma das portas há um caminho para a liberdade. Atrás das outras duas portas, no

entanto, há um maldoso dragão que cospe fogo. Abrindo uma porta do dragão a morte é

certa. Em cada porta há uma inscrição:

• Na porta vermelha: “A liberdade está atrás desta porta.”

• Na porta azul: “A liberdade não está atrás desta porta.”

• Na porta verde: “A liberdade não está atrás da porta azul.”

Os meninos sabem que pelo menos uma das três inscrições é verdadeira e pelo menos

uma é falsa, qual porta levaria os meninos para a liberdade.

(2) Construa a tabela-verdade das fórmulas e verifique se cada uma é tautologia, contradi-

ção ou contingência (isto é, nem tautologia nem contradição)

(a) p → (¬(p ∨q)).

(b) p → (¬(p ↔ q)).

(c) (r → q) → ((p ↔ q) → (p → q)).

(d) ((p → q)∧ (q ∧ r )) → (p → r )

(e) (p ∨ (q ∧ r )) ↔ ((¬q ∨¬r ) → p)

(f) p ∨ (q ∧ (p ∨ (¬q ∧ r )))

39

(g) ((p → q)∧ (q ∧ r )) ↔ (p → r )

(3) Determine o grau de complexidade das fórmulas do exercício anterior.

(4) Verifique que os 15 axiomas do sistema de Hilbert (veja notas de aula) e os teoremas que

foram deduzido nele são tautologias.

(5) Mostre que as fórmulas abaixo são tautologias.

(a) ¬(¬p) ↔ p

(b) ¬(p ∧q) ↔ (¬p ∨¬q)

(c) ¬(p ∨q) ↔ (¬p ∧¬q)

(d) ¬(p → q) ↔ (p ∧¬q)

(e) ¬(p ↔ q) ↔ (p ∧¬q)∨ (¬p ∧q)

(6) Use o exercício anterior para escrever uma fórmula na qual só há fórmulas atômicas ne-

gadas e que seja logicamente equivalente à negação de cada fórmula abaixo.

(a) (p ∧q) → r

(b) p → (p ∧q)

(c) p ↔ (q ∨ r )

(d) p ∨ (q ∧ (r ∨ s))

(e) p → (q → r )

(f) ¬p → (q ∨ r )

(g) (p ∨q) → (r ∧ s)

(h) p ∨ (q → r )

(i) (p → q) → (r → s)

(j) (p → q) → r

(7) Escreva a negação das sentenças da língua portuguesa (use o exercício anterior):

(a) Se a canoa não virar então eu chego lá.

(b) Se eu fizer faculdade, eu vou cursar Matemática ou Física.

(c) Se chover ou fizer frio, eu vou ficar em casa ou vou para o cinema.

(d) Se eu estudar física, eu não vou estudar história, a menos que eu também estude

português.

(e) Eu não ouço Beethoven quando leio Kafka, a menos que esteja chovendo e eu esteja

deprimido.

(8) Se((φ→ τ)∧(φ→¬τ)

)é uma fórmula verdadeira então o que pode ser dito a respeito do

valor-verdade de τ?

(9) Prove que: (i ) α≡α; (i i ) se α≡β então β≡α; (i i i ) se α≡β e β≡ γ então α≡ γ.

(10) Determine se é verdadeiro ou falso (e justifique):

(a) Í (p ∧ (¬p)) → p.

(b) p ∧q Í p.

(c) p ∨q, ¬p Í q.

(d) p Í p ∨q .

(e) p → q, q → r Í p → r .

(f) p → q, ¬q) ͬp.

(g) p → q, p → r Í p → (q ∧ r ).

(h) ¬(p → q) ≡ (¬q)∧p

(i) (p → q) ≡ ((p ∧¬q) → (s ∧¬s)).

(j) (p → q) ≡ ((p ∧¬q) →¬p).

(k) (p → q) ≡ ((p ∧¬q) → q).

40

(11) Dê um exemplo de fórmulasφ1 eφ2 tais queφ1 Íφ2 mas queφ2 6Íφ1 (φ2 é consequência

de φ1 mas φ1 não é consequência de φ2).

(12) Responda com justificativa:

(a) Se ΓÍφ e ΓÍ τ então ΓÍφ∨τ?

(b) Se ΓÍφ∨τ então ΓÍφ e ΓÍ τ?

(c) Se ΓÍφ e ΓÍ τ então ΓÍφ∧τ?

(d) Se ΓÍφ∧τ então ΓÍφ e ΓÍ τ?

(e) Se ΓÍφ→ τ e ΓÍφ então ΓÍ τ?

(f) Se ΓÍφ→ τ então ΓÍ (γ→φ) → (γ→τ)?

(13) Verifique a equivalência

α1 →α2 →···→αn ≡α1 ∧α2 ∧·· ·∧αn−1 →αn

(14) Use o Teorema da Dedução para justificar a tautologia p → q → p. Faça o mesmo para

(p → q → r ) → (p → q) → (p → r ) e para (p → q) → (q → r ) → (p → r ). (atenção com a

regra de omissão de parênteses)

(15) O conectivo lógico c é definível a partir dos conectivos c1,c2, · · · ,ck se a fórmula pcq

é semanticamente equivalente a uma fórmula escrita com os conectivos c1,c2, · · · ,ck e

só envolve as variáveis proposicionais p e q . Por exemplo, os conectivos ∨, → e ↔ são

definíveis a partir de ¬ e ∧ pois

(a) p ∨q ≡¬(¬p ∧¬q)

(b) p → q ≡¬(p ∧¬q)

(c) p ↔ q ≡¬(p ∧¬q)∧¬(q ∧¬p)

Mostre que os conectivos ∨, ∧ e ↔ são definíveis a partir de ¬ e →.

Mostre que os conectivos ∨, → e ↔ são definíveis a partir de ¬ e ∧.

Mostre que os conectivos ∧, → e ↔ são definíveis a partir de ¬ e ∨.

nand, denotado por⊗, é um conectivo lógico com a seguinte interpretação:

p q p ⊗q

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0Mostre que todos os outros conectivos (∧,∨,¬,→,↔) são definíveis a partir do nand.

(16) Quais argumentos abaixo são logicamente corretos? Justifique

(a) Se eu sou culpado, eu devo ser punido. Eu devo ser punido. Logo eu sou culpado.

(b) Se Carlos ganhou a competição, então Mario ficou em segundo lugar ou Sergio ficou

em terceiro lugar. Sergio não ficou em terceiro lugar. Logo, se Mario não chegou em

segundo lugar, então Carlos não ganhou a competição.

41

(c) Se Carlo ganhou a competição, então Mario ficou em segundo lugar ou Sergio ficou

em terceiro lugar. Mario não ficou em segundo lugar. Logo, se Carlos ganhou a

competição então Sergio não ficou em terceiro lugar ".

(17) (Enderton) Você está em uma terra habitada por pessoas que sempre dizem a verdade

ou sempre falam falsidades. Você chega numa bifurcação na estrada e você precisa saber

qual das dois caminhos leva à capital. Há um nativo nas proximidades, mas ele tem

tempo apenas para responder a uma pergunta sim-ou-não. O que você para elea fim de

saber por qual a estrada seguir?

(18) Há três suspeitos de assassinato: Adams, Brown e Clark. Adams diz: “Eu não fiz isso. A

vítima era um velho conhecido de Brown. Mas Clark odiava.” Brown afirma que “eu não

fiz isso. Eu não conhecia o cara. Além disso, eu estava fora da cidade tudo a semana.”

Clark diz: “Eu não fiz isso. Eu vi ambos Adams e Brown no cidade com a vítima naquele

dia; um deles deve ter feito isso.” Suponha que os dois homens inocentes estão falando a

verdade, mas que o homem culpado pode não estar flando a verdade.

Escreva os fatos como sentenças na Lógica Proposicional resolva o crime.

(19) Considere as seguintes sentenças: “Eu só estudo matemática à noite ou em dias chuvo-

sos. O cachorro só late em dias ensolarados ou em noite de lua cheia. O cachorro nunca

late quando o gato mia. O gato mia a noite toda. Minha irmã sempre toca piano quando

o cachorro não late.” A partir dessas premissas, diga se cada uma das conclusões abaixo

é um argumento válido ou uma falácia (argumento não válido). Justifique.

(a) Eu nunca estudo matemática em noite de lua cheia.

(b) Eu estudo matemática sempre que minha irmã toca piano.

(c) Minha irmã toca piano sempre que eu estudo matemática.

(20) Brown, Jones e Smith são suspeitos de um crime. Eles testemunham do seguinte modo:

• Brown: “Jones é culpado e Smith é inocente”.

• Jones: “Se Brown é culpado então também é Smith”.

• Smith: “Eu sou inocente, mas pelo menos um dos outros é culpado”.

Sejam B , J e S as declarações “Brown é culpado”, “Jones é culpado” e “"Smith é culpado”,

respectivamente.

(a) Expresse o testemunho de cada suspeito como uma fórmula proposicional.

(b) Faça uma tabela de verdade para os três testemunhos.

(c) Use a tabela a verdade acima de responder às seguintes perguntas:

(i) Existe uma valoração que satisfaz, concometantemente, os três testemunhos?

(ii) O testemunho de um dos suspeitos segue (é consequência lógica) da de outro.

Qual a partir do qual?

(iii) Supondo que todo mundo é inocente, quem cometeu perjúrio?

42

(iv) Supondo que todos os testemunhos são verdadeiros, quem é inocente e quem

é culpado?

(v) Supondo que o inocente disse a verdade e os culpados disseram mentiras,

quem é inocente e quem é culpado?

(21) Determine quem é culpado de doping. Os suspeitos são: Silvia Danekova, Michael O’Reilly,

Kleber Ramos, Adrian Zielinski, Chen Xinyi.

1) Silvia disse: Michael ou Kleber tomaram drogas, mas não os dois.

2) Michael disse: Adrian ou Silvia tomaram drogas, mas não os dois.

3) Kleber disse: Xinyi ou Michael tomaram drogas, mas não os dois.

4) Adrian disse: Kleber ou Xinyi tomaram drogas, mas não os dois.

5) Xinyi disse: Kleber ou Adrian tomaram drogas, mas não os dois.

6) Tom disse: se Adrian tomasse drogas, então Kleber tomou drogas.

Das 5 primeira declarações, 4 são verdadeiras e uma é falsa. A última declaração é

verdadeira.

6. CONSISTÊNCIA, CORREÇÃO E COMPLETUDE

Um sistema dedutivo de uma lógica é correto se qualquer teorema nesse sistema dedutivo é tau-

tologia em todas as interpretações da teoria semântica da linguagem sobre a qual esse sistema

se baseia. O sistema formal é chamado completo com respeito a semântica, ou semanticamente

completo, se cada fórmula válida pode ser deduzida usando esse sistema, ou seja, toda tautolo-

gia é um dos seus teoremas. Um conjunto de fórmulas é consistente se não é possível deduzir

uma contradição, o que equivale a dizer que não é possível deduzir uma fórmula e deduzir sua

negação.

6.1. Correção. Vamos mostrar que todo teorema no sistema de Hilbert é uma tautologia.

Metateorema 5 (Teorema da correção). Se `α então Íα.

Em um sistema axiomático a prova de correção se resume a verificar a validade dos axiomas e

que as regras de inferência preservam a validade. Para demonstrar o Teorema da correção vamos

assumir as hipóteses

(1) os axiomas são tautologias;

(2) se Íα e Íα→β então Íβ.

A primeira é facilmente verificável, embora seja trabalhoso e a segunda hipótese segue da versão

semântica de Modus Ponens α,α→βÍβ a qual já verificamos.

43

Demonstração do Teorema da correção. Suponha ` α e seja ⟨θ1,θ2, . . . ,θn⟩ uma prova de α. Va-

mos provar usando indução em j que Í θ j .

Base: Í θ1 pois este é um axioma.

Hipótese indutiva: Assumimos que Í θ1, Í θ2, . . . , Í θi−1.

Passo indutivo: Provamos que Í θi .

Se θi é um axioma então Í θi , senão θi é resultado de uma inferência (MP j,k) com j ,k < i . Pela

hipótese indutiva Í θ j e Í θk com θk da forma θ j → θi . Logo temos Í θ j e Í θ j → θi , portanto,

temos Í θi .

Pelo princípio da indução matemática Í θ j para todo j , em particular, Íα.

Com isso estabelecemos que todo teorema deduzido na sistema de Hilbert é uma tautologia da

Lógica Proposicional.

Exercício 4. Prove a correção forte do sistema de Hilbert: se Γ`α, então ΓÍα.

6.2. Consistência. No lógica clássica, uma teoria é consistente se não é possível derivar uma

contradição `⊥.

Metateorema 6 (Teorema da constência). Não existe uma fórmula β ∈LP tal que `β e `¬β no

sistema de Hilbert.

Demonstração. Se para alguma fórmula β da linguagem temos ` β e ` ¬β então Í β e Í ¬β, o

que é um absurdo pelo lema 9.

Um conjunto de fórmulas Γ é inconsistente se para alguma fórmula β da linguagem temos Γ`βe Γ ` ¬β. Dizemos que Γ é consistente se não for inconsistente. Por exemplo, para qualquer

fórmula α o conjunto α,¬α é inconsistente.

Lema 12. Se um conjunto de fórmulas Γ é inconsistente, então

(1) Γ não é satisfazível;

(2) Γ`α para toda fórmula α;

(3) existe ∆⊂ Γ finito e inconsistente.

Demonstração. Seja Γ um conjunto inconsistente de fórmulas.

Para demonstrar o item 1 basta observarmos que de Γ ` β e Γ ` ¬β, algum β, temos pelo exer-

cício 4 acima, Γ Í β e Γ Í ¬β de modo que se Γ é satisfazível então β e ¬β são satisfatíveis, um

absurdo.

44

Para demonstrar o item 2 observamos que se Γ é inconsistente então, por definição, Γ` β e Γ`¬β, para algum β. Ainda β,¬β `α, por Duns Scotus. Usando a Propriedade 3 de ` concluímos

que Γ`α para qualquer fórmula α.

Para demonstrar o item 3 tomamos ⟨θ1,θ2, . . . ,θn⟩ uma prova para Γ`¬(α→ (β→α)), a negação

do axioma A1. O subconjunto ∆ formado por todas as fórmulas θi da prova é finito, ∆ ` ¬(α→(β→α)) e, por ser axioma, temos∆`¬(α→ (β→α)), portanto é um conjunto inconsistente.

Lema 13. Se Γ é consistente e Γ 6`α então Γ∪ ¬α é consistente.

Demonstração. Suponha que Γ é consistente e Γ 6` α. Defina Γ′ = Γ∪ ¬α e suponha que Γ′ é

inconsistente. Por (2) do lema acima Γ′ `β para qualquer fórmula β, em particular, Γ′ `α. Pelo

Teorema da Dedução Γ ` ¬α→ α e pelo exercício 6j temos Γ ` (¬α→ α) → α, logo por Modus

Ponens, Γ`α, uma contradição.

Conjuntos consistentes maximais. Um conjunto de fórmulas Γ é consistente maximal se é con-

sistente mas Γ∪ β é inconsistente para todo β 6∈ Γ.

Metateorema 7. Se Γ é consistente então existe ∆⊇ Γ consistente maximal.

Demonstração. Seja θ1,θ2, . . . uma enumeração das fórmulas de LP (pense por quê isso pode

ser feito).

Definimos a sequência de de conjuntos de fórmulas L0 := Γ e

Li+1 :=Li se Li ` θi

Li ∪ ¬θi se Li 6` θi

e tome ∆ :=⋃i≥0 Li . Pela construção e pelo lema 13 temos que cada Li é consistente.

∆ é consistente pois, caso contrário, ∆`β e ∆`¬β, para algum β. Mas, então, Li `β e Li `¬β,

para algum i , uma contradição.

Ainda, seα 6∈∆, então comoα= θ j para algum j , temosα 6∈ L j+1 e ¬α ∈ L j+1, portanto, L j+1∪α

é inconsistente, portanto, ∆∪ α também será.

Lema 14. Se Γ é consistente maximal então

(1) se Γ`α se, e só se, α ∈ Γ;

(2) ¬α ∈ Γ se, e só se, α 6∈ Γ;

(3) α∨β ∈ Γ se, e só se, α ∈ Γ ou β ∈ Γ.

(4) α∧β ∈ Γ se, e só se, α ∈ Γ e β ∈ Γ.

45

Demonstração. Seja Γ consistente maximal.

Para demonstrar o item 1 notemos que se α ∈ Γ então Γ`α, como já vimos. Agora, suponha que

Γ`α e α 6∈ Γ. De α 6∈ Γ temos que Γ∪ α é inconsistente, isto é, Γ,α`β e Γ,α`¬β, para alguma

fórmula β. Pelo Teorema da Dedução Γ`α→β e Γ`α→¬β e pela regra do destacamento com

Γ`α obtemos Γ`β e Γ`¬β contrariando o fato de Γ ser consistente.

Na demonstração dos próximos itens usaremos essa equivalência entre ` e ∈ para conjuntos

consistentes maximais.

Para demonstrar o item 2 primeiro suponha que ¬α ∈ Γ. Se α ∈ Γ então Γ ` δ para qualquer

δ, contrariando a consistência do conjunto. Agora, suponha que α 6∈ Γ, então Γ 6` α pelo item

anterior. Pelo lema 13 Γ∪ ¬α é consistente e como a consistência é maximal devemos ter ¬α ∈Γ.

Para demonstrar o item 3 suponha que Γ`α∨β. Se Γ 6`α então dos itens 1 e 2 deduzimos que

Γ`¬α. De Γ`α∨β ser o mesmo que Γ`¬α→β, em função do que ’→’ abrevia, temos Γ`¬αe Γ ` ¬α→ β, portanto, Γ ` β pela a regra do destacamento. Por outro lado, se Γ ` α ou Γ ` β,

usamos os axiomas (A7) α→ (α∨β) e o axioma (A8) β→ (α∨β) para concluir, pela regra do

destacamento, que Γ`α∨β.

Para demonstrar o item 4 suponha que Γ`α∧β. Do axioma (A5)α∧β→α, temos Γ`α∧β→α,

portanto Γ`α e do axiomas (A6) α∧β→ β, concluímos de modo análogo que Γ` β. Por outro

lado, se Γ ` α e Γ ` β, usamos o axioma (A4) e temos Γ ` α→ (β→ α∧β) donde concluímos

Γ`α∧β, por destacamento.

Metateorema 8. Se Γ é consistente então Γ é satisfazível.

Demonstração. Suponha que Γ é consistente e tome ∆ ⊇ Γ consistente maximal. Se ∆ for satis-

fazível, Γ o será.

Tome uma valoração v tal que v(p) = 1 se, e somente se p ∈ ∆. Vamos provar por indução para

fórmulas que α ∈∆ se, e só se, α é satisfazível.

Se α é atômica então α ∈∆ se, e só se, α é satisfazível, por definição.

Sejam β e γ fórmulas de LP tais que β ∈ ∆ se, e só se, β é satisfazível e γ ∈ ∆ se, e só se, γ é

satisfazível.

¬β é satisfazível se, e somente se, β não é satisfazível (por definição); β não é satisfazível se, e

somente se, β 6∈ ∆ (pela hipótese indutiva); β 6∈ ∆ se, e somente se, ¬β ∈ ∆ (pelo item 2 do lema

14). Logo ¬β ∈∆ se, e só se, ¬β é satisfazível.

46

β∨γ é satisfazível se, e somente se, β é satisfazível ou γ é satisfazível (por definição); β é satis-

fazível se, e somente se, β ∈ ∆ assim como γ é satisfazível se, e somente se, γ ∈ ∆ (pela hipótese

indutiva); logo β é satisfazível ou δ é satisfazível se, e somente se, β ∈ ∆ ou γ ∈ ∆; finalmente,

β ∈ ∆ ou γ ∈ ∆ se e somente se β∨γ ∈ ∆ (pelo item 3 do lema 14). Logo β∨γ é satisfazível se, e

somente se, β∨γ ∈∆.

β∧γ é satisfazível se, e somente se,β é satisfazível eγ é satisfazível (por definição);β é satisfazível

se, e somente se,β ∈∆ assim comoγ é satisfazível se, e somente se, γ ∈∆ (pela hipótese indutiva);

logo β é satisfazível e δ é satisfazível se, e somente se, β ∈∆ e γ ∈∆; finalmente, β ∈∆ ou γ ∈∆ se

e somente se β∧γ ∈∆ (pelo item 4 do lema 14). Logo β∧γ é satisfazível se, e somente se, β∧γ ∈∆.

Pelo Princípio de indução para fórmulas, metateorema 1, para todo α ∈LP , α ∈∆ se, e só se, α é

satisfazível.

Pelo lema 12, Γ é consistente se, e só se, Γ é satisfazível.

6.3. Completude. Um sistema formal é semanticamente completo se toda tautologia é um te-

orema.

Metateorema 9 (Teorema da Completude). Se Íα então `α.

Demonstração. Suponha queÍαmas 6`α. Se 6`α então ¬α é consistente, portanto satisfazível,

uma contradição.

Exercícios.

(1) Como se obtém o Teorema 6 do Teorema 6’?

(2) Como se obtém o Teorema 7 do Teorema 7’?

(3) Reescreva a demonstração do Teorema 6’ subsitituindo as linhas 3 e 6 pela demonstração

da fórmulas que ocorrem nelas.

(4) (correção forte) Um sistema dedutivo é fortemente correto se qualquer sentença α da

linguagem sobre a qual o sistema dedutivo é baseado que é deduzível a partir de um con-

junto Γ de sentenças da linguagem é também uma consequência lógica desse conjunto.

Em símbolos: se Γ`α, então ΓÍα. O sistema de Hilbert é fortemente correto?

(5) (completude forte) Um sistema dedutivo é fortemente completo se cada fórmulaα que é

uma consequência semântica de um conjunto Γ pode ser deduzida no sistema dedutivo.

Em símbolos: se ΓÍα então Γ`α. O sistema de Hilbert é fortemente completo?

(6) Mostre que se w é uma valoração de LP então φ : w(φ) = 1 é consistente maximal.

47

(7) (completude sintática) Um sistema formal é sintaticamente completo se para cada fór-

mula ϕ da linguagem do sistema, temos ` ϕ ou ` ¬ϕ. Isto é mais forte do que comple-

tude semântica. Em outro sentido, um sistema formal é sintaticamente completo se, e

somente se, nenhuma sentença não deduzível pode ser adicionado a ele sem introduzir

uma inconsistência. O sistema de Hilbert é sintaticamente completo?

(8) Demonstre que Se Γ é consistente então existe ∆⊇ Γ consistente e sintaticamente com-

pleto.

(9) Demonstre que Γ`α se, e só se, Γ∪ ¬α é inconsistente.

(10) Demonstre que Γ`¬α se, e só se, Γ∪ α é inconsistente.

(11) Prove que Γ é consistente maximal então para todo α, β, γ,

Γ`¬α se, e só se, Γ 6`α.

β→ γ ∈ Γ se, e só se, se β ∈ Γ então γ ∈ Γ(12) Verifique quais dos seguintes conjuntos são consistentes

(a) ¬p1 ∧p2 → p0, p1 → (¬p1 → p2), p0 ↔¬p2,

(b) p0 → p1, p1 → p2, p2 → p3, p3 →¬p0,

(c) p0 → p1, p0 ∧p2 → p1 ∧p3, p0 ∧p2 ∧p4 → p1 ∧p3 ∧p5, . . . .

(13) ϕ é independente de Γ se Γ 6`ϕ e Γ 6` ¬ϕ. Mostre que p1 → p2 é independente de p1 ↔p0 ∧¬p2, p2 → p0.

(14) Demonstre que σ ∈ LP : Γ ` σ é maximalmente consistente se, e só se, Γ é sintatica-

mente completo.

(15) Demonstre que Γ é maximalmente consistente se, e só se, existe uma única valoração

que satisfaz Γ, onde Γ é uma teoria.

(16) Demonstre que Γ 6`α se, e só se, existe uma valoração que satisfaz Γmas não satisfaz α.

48

Parte 2. Lógica de Predicados de Primeira Ordem

A lógica de predicados de primeira ordem ou, simplesmente, lógica de primeira ordem, também

conhecida como lógica de predicados, é uma coleção de sistemas formais. O adjetivo “primeira

ordem” distingue as linguagens da lógica de primeira ordem das linguagens da lógica de ordem

superior na qual existem predicados cujos argumentos são predicados ou funções. A lógica de

primeira ordem quantifica apenas as variáveis (elementos do domínio do discurso) enquanto

que a lógica de segunda ordem, por exemplo, também quantifica sobre as relações. Por exemplo,

a frase de segunda ordem ∀P ∀x(x ∈ P ∨ x ∉ P ) diz que para cada relação unária P de indivíduos

e cada indivíduo x, ou x está em P ou não está. Nas teorias de primeira ordem, os predicados

são freqüentemente associados a conjuntos enquanto que nas teorias de ordem superior, os pre-

dicados podem ser interpretados como conjuntos de conjuntos. Há vários sistemas dedutivos

para a lógica de primeira ordem que são ambos corretos e completos.

A lógica de primeira ordem é o padrão para a formalização axiomática da matemática. A Aritmé-

tica de Peano, por exemplo, e a Teoria de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel são axiomatizações da

Teoria dos Números e da Teoria de Conjuntos, respectivamente, na Lógica de Primeira Ordem.

Os fundamentos da lógica de primeira ordem foram desenvolvidos de forma independente por

Gottlob Frege e Charles Sanders Peirce.

7. LINGUAGENS DA LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

7.1. Discussão informal. O que queremos formalizar com a Lógica de predicados? Sentenças

como

• Todos os pássaros têm pena.

• Nem todos os passáros voam.

• Todos os pássaros são mais leves que algum mamífero.

• Todo aluno é mais novo que algum professor.

podem ser simbolizadas no cálculo sentencial, mas o dito não captura toda estrutura da sen-

tença. Os alvos do discurso (sujeito e objeto gramaticais) têm qualidade e mantêm relações.

Além disso, os argumentos como

(1)

Premissa Todos os felinos são mamíferos

Premissa Alguns felinos são ferozes

Conclusão Alguns mamíferos são ferozes

49

(2)

Premissa Qualquer amigo de Maria é amigo de João

Premissa Pedro não é amigo de João

Conclusão Pedro não é amigo de Maria

(3)

Premissa O sucessor de um inteiro par é ímpar

Premissa 2 é um inteiro par

Conclusão O sucessor de 2 é ímpar

(4)

Premissa O quadrado de qualquer inteiro é positivo

Premissa 9 é um quadrado

Conclusão 9 é positivo

do ponto de vista da lógica proposicional são da forma α∧β→ γ que não são validados pela

lógica proposicional.

O que procuramos? Uma linguagem mais rica que leva em conta a estrutura interna das senten-

ças

sujeito – predicado – objeto

na qual sujeito e objetos de quem se fala são elementos de um universo do discurso e são repre-

sentados por constantes, por objetos genéricos e não especificados (pronomes) que são repre-

sentados por variáveis; os predicados e as relações são explicitados. Incorpora o “para todo” e

o “existe” como primitivas da linguagem.

Exemplo 15. Num universo (de discurso) far, far away ....

Constantes: a para ’Armando’, d para ’Daniel’ e j para ’Jair’.

Predicados: P para ’é professor’ e A para ’é aluno’.

Relações: J para ’lecionam juntos’ e N para ’é mais novo’.

P (a) simboliza a sentença ’Armando é professor’.

¬A( j ) simboliza a sentença ’Jair não é aluno’.

J (a,d) simboliza a sentença ’Armando e Daniel lecionam juntos’.

M(d , a) simboliza a sentença ’Daniel é mais novo que Armando’.

Obervemos que, considerando o significado natural das sentenças, J (a,d) e J (d , a) têm o mesmo

significado, mas M(a,d) e M(d , a) não têm o mesmo significado.

Variáveis: usamos x, y, z . . . para representar membros genéricos do universo.

50

P (x) simboliza ’x é professor’ e M(x, y) simboliza ’x é mais novo que y’. Nem P (x) nem M(x, y) têm

valor lógico, não são sentenças no sentido da lógica proposicional vimos na Parte 1 destas notas.

São chamadas de sentenças abertas.

As sentenças abertas tornam-se sentenças lógicas quando substituímos as variáveis por constantes

ou se quantificamos.

Quantificadores: o quantificador ∀ é lido “para todo” e o quantificador ∃ é lido “existe”.

∀x P (x) simboliza a sentença ’para todo x, x é professor’ a qual pode ser atribuída valor lógico:

significa que todo elemento do universo do discurso é professor.

∃x P (x) simboliza a sentença ’existe x, x é professor’ a qual pode ser atribuída valor lógico: significa

que pelo menos um elemento do universo do discurso é professor.

Notemos que, por exemplo

(1) ∀x M(x, y) é uma sentença aberta

(2) ∃y ∀x M(x, y) e ∀x ∃y M(x, y) têm significados diferentes.

A sentença ’Todo aluno é mais novo que algum professor’ pode ser simbolizada por

∀x ∃y(A(x)∧P (y) → M(x, y))

A sentença ’Há um professor tal que todo aluno aprende algo com ele’, considerando as relações

B(x, y, z) para ’y aprende z com x’ e H(x) para ’x é um assunto’, pode ser simbolizada por

∃x(P (x)∧∀y

(A(y) →∃z (H(z)∧B(x, y, z))

))Em matemática, muitas vezes tratamos de estruturas que consistem em um conjunto de ele-

mentos com várias operações sobre eles e relações entre eles. Por exemplo, na Teoria Elemen-

tar de Números o conjunto de elementos em discussão é o conjunto de números inteiros Z =0,±1,±2, . . . Pode-se precisar de símbolos para alguns números, para variáveis, para funções

(como · e +) e para as relações (como =, <, e |). A sentença “Para todo x, se x é inteiro igual a zero

ou maior que zero e todo inteiro é divisível por x, então x é igual a um” considerando que

• 0 e 1 são constantes;

• >(x, y) simboliza a relação “x é maior que y”;

• =(x, y) simboliza a relação “x é igual a y” e

• | (x, y) simboliza a relação “x divide y”,

é simbolizada como

∀x((>(x,0)∨=(x,0)

)∧∀y (| (x, y)) →=(x,1)).

51

7.2. Linguagem formal da lógica de predicados. Há várias linguagens lógicas de primeira or-

dem, praticamente uma para cada assunto na matemática. Há símbolos comuns a todas e outros

específicos (e.g., ∈, +). A seguir descrevemos a linguagem L genérica de primeira ordem.

Alfabeto genérico. Os símbolos permitidos para as expressões numa linguagem de primeira or-

dem incluem

Variáveis: x1, x2, x3, . . .

Conectivos lógicos: ¬ (não), → (implica)

Quantificador: ∀ (universal)

Pontuação: abre parênteses, fecha parênteses e vírgula.

Símbolo de igualdade: =Constantes: c1,c2,c3, . . .

Símbolos relacionais: para cada inteiro n ≥ 0, temos os símbolos relacionais n-

ários Rn1 ,Rn

2 ,Rn3 , . . .

Símbolos funcionais: para cada inteiro n ≥ 1, temos os símbolos funcionais n-

ários F n1 ,F n

2 ,F n3 , . . .

As constantes, os símbolos relacionais e funcionais são específicos de cada linguagem de pri-

meira ordem e um ou mais deles pode ser vazio, isto é, o conjunto das constantes pode ser vazio,

o conjuntos dos símbolos relacionais pode ser vazio e o conjunto símbolos funcionais pode ser

vazio. Os símbolos relacionais de aridade 0 são usados como símbolos proposicionais.

Os símbolos descritos nos quatros primeiros itens do alfabeto são os símbolos lógicos da lingua-

gem. Os símbolos lógicos são compartilhados por toda linguagem de primeira ordem. O símbolo

de igualdade é um símbolo relacional binário especial. Há autores que tratam a igualdade como

um símbolo símbolo lógico e outros que tratam como não-lógico de modo a distinguir-se as lin-

guagens de primeira ordem com igualdade e sem igualdade. Aqui não faremos essa distinção,

não o chamaremos de lógico mas consideraremos que toda linguagem de primeira ordem tem

o símbolo de igualdade. As constantes e os simbolos relacionais e funcionais são os símbolos

não-lógicos da linguagem, os quais, geralmente, dependem do uso pretendido.

As constantes devem ser nomes para elementos particulares do universo da estrutura em discus-

são. Símbolos da função n-ária são para funções específicas que mapeiam n-úplas de elementos

do universo da estrutura aos elementos do universo da estrutura. Símbolos de relação n-ária

destinam-se a designar relações particulares dentre n elementos do universo da estrutura. O

símbolo quantificador destina-se a representar “para todos” em referência à todos os elementos

do universo e é usado usado com variáveis.

Termos: são as cadeias finitas de símbolos do alfabeto obtidas a partir das regras abaixo.

52

(1) Constantes são termos.

(2) Variáveis são termos.

(3) Para qualquer natural n, se t1, t2, . . . , tn são termos então F ni t1t2 . . . tn é termo para todo i .

(4) Não há outros termos além dos obtidos pela aplicação das regras acima.

Exemplo 16. São termos: c1, x101, F 12 x1, F 2

2 x1c8, F 41 c1c2x1x2. Note que F 2

2 x1 não é termo (por

quê?). A cadeia de símbolos F 11 F 2

1 x1x2 é um termo? F 11 F 2

1 F 11 x1x2 é um termo?

Fórmulas: ou fórmulas bem formadas, são as cadeias finitas de símbolos do alfabeto obtidas a

partir das regras abaixo.

(1) Se t e s são termos, então (= t s) é uma fórmula. Também, para qualquer natural n,

se t1, . . . , tn são termos então Rni t1t2 . . . tn é uma fórmula para todo i . As fórmulas da

linguagem obtidas por aplicação exclusiva dessa regra são ditas atômica.

(2) Se α e β são fórmulas, então (¬α) e (α→β) são fórmulas.

(3) Se α é fórmula e x é uma variável, então (∀xα) é fórmula.

(4) Não há outras fórmulas além daquelas obtidas pela aplicação das regras acima.

Exemplo 17.((

R11 x1 → R3

2 x4x2c1)→ (∀x1((∀x2 R3

2c4x2c1) → (¬(= F 11 x1F 1

1 c1)))))

.

Simplificações, abreviaturas e omissão de parênteses. Vamos assumir algumas convenções de no-

tação para facilitar nossa vida.

Simplificações. No uso dos símbolos admitimos algumas simplificações na escrita, como já fize-

mos logo acima.

53

Fórmulas: α,β,γ, . . . .

Termos: s, t ,u, v .

Variáveis: x, w, y, z.

Constantes: a,b,c,d ,e, f .

Símbolos relacionais: Ao invés de Rni escrevemos R e também usamos

outros símbolos como P,Q,R,S,<,≺. Ainda, ao

invés de Rn t1t2 . . . tn escrevemos R(t1, t2, . . . , tn).

Para as relações R binárias escrevemos (a R b) ao

invés de R(a,b), como em (a < b), em particu-

lar, escrevemos (t = s) ao invés de = (t , s), como

é usual.

Símbolos funcionais: Ao invés de F ni escrevemos F e também usamos

outros símbolos como F,G , H ,+, ·. Ainda, ao invés

de F n t1t2 . . . tn escrevemos F (t1, t2, . . . , tn). Para as

operações binárias F escrevemos (a F b) ao invés

de F (a,b), como em (a +b).

Abreviaturas. Para resultados teóricos (metamatemáticos) é vantajoso possuirmos o mínimo

possível de símbolos, entretanto, para expressarmos de maneira clara e sucinta quanto mais

símbolos, melhor. Tratando alguns símbolos como abreviaturas de outros ganhamos dos dois

lados.

símbolo lê-se uso

∧ conjunção (α∧β) abrevia (¬(α→ (¬β)))

∨ disjunção (α∨β) abrevia ((¬α) →β)

↔ bi-implica (α↔β) abrevia ((α→β)∧ (β→α))

∃ existe (∃xα) abrevia (¬(∀x(¬α)))

Ø não existe ( 6 ∃xα) abrevia (¬(∃xα)) ou seja (¬(¬(∀x(¬α))))

6= diferente (s 6= t ) abrevia (¬(s = t ))

⊥ falsum abrevia (α∧ (¬α))

> verum abrevia (¬⊥)

Ademais, representamos os conectivos lógicos ∨, ∧, → e ↔ genericamente, por ä. Também,

representamos os quantificadores ∀ e ∃ genericamente por ©.

Omissão de parênteses.

• Omitimos os parênteses externos de uma fórmula, recolocando quando a usamos para

compor outras fórmulas. Por exemplo, escrevemos α∧β no lugar de (α∧β), mas recolo-

camos os parênteses quando escrevemos, por exemplo, ∀x(α∧β).

54

• ∀ tem precedência sobre ¬ que tem precedência sobre →; considerando as abreviações

ordem de precedência é ∀,∃,¬,∧,∨,→,e ↔.

• Em sequências de conjunções e em sequências de disjunções, omitimos o uso sucessivo

de parênteses. Isto é, escrevemosα∧β∧γ no lugar deα∧(β∧γ), o mesmo valendo para o

conectivo ∨. Conectivos são agrupados pela direita, por exemplo,α→β→ γ é lido como

(α→ (β→ γ)).

• Quando não houver riscos de más interpretações, omitimos os parênteses externos em

subfórmulas do tipo ∀xα, ∃xα e ¬α. Por exemplo, escrevemos ¬∀x∃yα, em vez de

¬(∀x(∃yα)).

Exemplo 18. De volta ao exemplo 17

((R1

1 x1 → R32 x4x2c1

)→ (∀x1((∀x2 R32c4x2c1) → (¬(= F 1

1 x1F 11 c1)))

))que simplificando fica escrito como

(R(x) → S(z, y,c)) → ∀x(∀yS(a, y,c) → (F (x) 6= F (c))

).

7.3. Linguagens de primeira ordem para a Aritmética. Vejamos um exemplo de linguagem de

primeira ordem para a Aritmética que consiste do estudo dos números naturais e suas proprie-

dades. Denotaremos essa linguagem por LN cujo alfabeto contém, além dos símbolos lógicos,

os não-lógicos

• a constante 0,

• o símbolo funcional unário S e os símbolos funcionais binários + e · e

• o símbolo relacional binário <.

São exemplos de termos dessa linguagem+·0x1 x2, SSSS0, +x1S0, = ·x1+S0SS0 ·x1SSS0. Usando

as convenções de simplificação reescrevemo-os (0·x)+y , S(S(S(S(0)))), x+S(0), x·(S(0)+S(S(0))) =x ·S(S(S(0))).

Os termos 0,S0,SS0,SSS0,SSSS0, . . . intencionam descrever os números naturais. Nos axiomas

dessa teoria pedimos que a função “S” seja injetiva e que o “0” não esteja na imagem.

São fórmulas da linguagem:

(1) < ·S0S0 +S0S0 ou, simplesmente, S(0) ·S(0) < S(0)+S(0).

(2) (∀x1 =+0x1x1) ou, simplesmente, ∀x(x +0 = x).

(3)(∀x1

(∀x2(=+S0x1 +x2S0 →= x1x2)))

ou ∀x∀y (x +S(0) = y +S(0) → x = y).

(4) Já simplificado ∀x∀y ∃z(y = x + z → (x < y ∨x = y)

).

55

Exemplo 19. ’Não existe raiz de 2’ é expresso por Øx(x · x = S(S(0))) que reescrita usando somente

símbolos do alfabeto fica (¬(¬(∀x1(¬(= ·x1x1SS0))))). Também podemos expressar a mesma ideia

usando (∀x1(¬(= ·x1x1SS0))).

Exercício 5. Expresse em LN a sentença ’existem infinitos números primos’.

7.4. Outros exemplos de linguagens de primeira ordem. Uma linguagem de primeira ordem

tem os símbolos lógicos (comum às linguagens) e os símbolos extralógicos (específicos de cada

linguagem). Abaixo, para definir uma linguagem explicitamos só os símbolos extralógicos.

Exemplo 20. A linguagem da igualdade pura, L=:

Não há símbolos não-lógicos.

Ainda assim conseguimos expressar certas ideias, por exemplo, ’existe um único sujeito’ ∃x∀y(y =x), ou ’existem somente dois sujeitos’ ∃x ∃y((x 6= y)∧∀z (z = x ∨ z = y)).

Exemplo 21. Uma linguagem para Teoria dos Conjuntos LC :

Símbolo relacional binário: ∈

A intenção das variáveis é representar conjuntos e x ∈ y diria que o conjunto x é elemento do

conjunto y. A Teoria de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel é escrita nessa linguagem. A existência

do conjunto vazio é expressa por ∃x∀y¬(y ∈ x). A existência do conjunto definido no paradoxo de

Russel (página 8) é expresso por ∃x∀y (y ∈ x ↔¬(y ∈ y)). Veremos que a negação dessa sentença é

uma tautologia.

Exemplo 22. Uma linguagem para a Teoria dos Grupos tem uma constante, denotada por e, e

uma função binária, denotada por . Essa teoria é a coleção dos teoremas que podem ser provados

a partir dos seguintes axiomas

(G1) ∀x ((x e = x)∧ (e x = x));

(G2) ∀x∃y (x y = e);

(G3) ∀x∀y∀z (x (y z) = (x y) z).

7.5. Variáveis livres e ligadas. Dizemos que uma variável x ocorre livre em uma fórmula α se

(1) α é atômica e x ocorre em α;

(2) α é da forma (¬β) e x ocorre livre em β;

(3) α é da forma (βäγ) e x ocorre livre em β ou γ;

(4) α é da forma ©yψ e x é diferente de y e x ocorre livre em ψ.

56

Uma ocorrência de x emα que não é livre é dita ligada. O item 4 acima é a chave para classificar-

mos a ocorrência de uma variável como livre ou ligada: a ocorrência de uma variável x é ligada

se ela está no escopo de uma ocorrência de um quantificador. O escopo de um quantificador

numa fórmulaα é a subfórmula β na qual o quantificador se aplica (quando a regra de formação

de fórmula quantificada foi aplicada, isto é, em (∀xβ) o escopo de x é β).

Cada ocorrência de uma variável x é livre ou ligada, mas não ambas. Entretanto, a variável pode

ocorrer livre e ligada na mesma fórmula. Por exemplo,

(1) Em ∀x7(x5 = x7) a ocorrência de x5 é livre e a ocorrência de x7 é ligada.

(2) Em ∀x0 ((x0 = F (x6)) → (¬∀x6 R(x6))) a primeira ocorrência de x6 é livre e a última ocor-

rência é ligada.

(3) Em ∀z (∀x (P (x) → R(z))) → (Q(y) → P (x)) a variável x é livre e ligada, y é livre e z é

ligada.

Uma fórmula α sem ocorrência de variáveis livre é dita sentença.

7.6. Substituição de variáveis. Se t e s são termos e x é uma variável, definimos [t ]sx o termo

obtido substituindo toda ocorrência da variável x pelo termo s. Formalmente, definimos a subs-

tituição em termos recursivamente:

• [x]sx é o termo s;

• se c é uma constante, [c]sx é o termo c;

• se v é uma variável diferente de x, [v]sx é o termo v ;

• se t é da forma F (t1, . . . , tn), então [t ]sx é o termo F ([t1]s

x , . . . , [tn]sx ).

Se α é uma fórmula, x é uma variável e t é um termo, definimos [α]tx a fórmula obtida substi-

tuindo todas as ocorrências livres da variável x pelo termo t .

Formalmente, definimos a substituição em fórmulas recursivamente:

• se α é (s = t ) então [α]tx é ([s]t

x = [t ]tx );

• Se α é R(t1, t2, . . . , tn) então [α]tx é R([t1]t

x , [t2]tx , . . . , [tn]t

x );

• Se α é ¬β então [α]tx é ¬[β]t

x ;

• Se α é γ→β então [α]tx é [γ]t

x → [β]tx ;

• Se α é ∀xβ então [α]tx é α e se α é ∀y β então [α]t

x é ∀y [β]tx sempre que y 6= x.

Por exemplo:

(1) [(x = y)]xy é (x = x).

(2) [(x = y)]yx é (y = y).

(3) [∀x (x = y)]yx é ∀x (x = y).

57

(4) [∀x (x = y)]xy é ∀x (x = x).

(5) [(∀x P (x)) → P (x)]τx é ∀x P (x) → P (τ).

(6) [∀x (¬∀y (x = y)) → (¬∀y (x = y))]yx é ∀x (¬∀y (x = y)) → (¬∀y (y = y)).

(7) [∀x (P (x, y) → (¬Q(y)∨∃y P (x, y)))]F (y,z)y é ∀x (P (x,F (y, z)) → (¬Q(F (y, z))∨∃y P (x, y))).

Exemplo 23. Considere em LN a fórmula ∃x(y = S(S(0)) · x) para ’y é par’. Se substituímos y

pelo termo S(S(S(0))) temos ∃x (S(S(S(0))) = S(S(0)) ·x). Se substituímos por x então temos ∃x(x =S(S(0)) · x)

7.7. Metateoremas de leitura única e indução.

Metateorema 10 (Teorema da unicidade de representação dos termos). Se t é um termo de uma

linguagem, então uma, e apenas uma, das asserções abaixo é verdadeira:

• t é uma variável;

• t é uma constante;

• t é da forma F (t1, . . . , tn), onde t1, . . . , tn são termos e F é um símbolo funcional n-ário.

Além disso, se t é da forma F (t1, . . . , tn) e, ao mesmo tempo, é da forma G(s1, . . . , sm) então:

• n = m;

• F e G são o mesmo símbolo funcional;

• ti é o mesmo termo que si , para todo i ≤ n.

Metateorema 11 (Teorema da unicidade de representação das fórmulas). Seja α uma fórmula

de uma linguagem. Então α satisfaz uma, e apenas uma, das condições abaixo

• α é uma fórmula atômica da forma R(t1, . . . , tn), onde R é um símbolo relacional n-ário e

t1, . . . , tn são termos;

• α é uma fórmula atômica da forma (s = t ) onde s e t são termos;

• α é da forma ¬β, para uma única fórmula β;

• α é da forma β→ γ para únicos β e γ fórmulas;

• α é da forma ∀xβ, para uma única fórmula β e uma única variável x.

Além disso, valem:

• α é é da forma (s = t ) e, ao mesmo tempo, é da forma (u = v) então s é o mesmo que u e t é

o mesmo que v;

• se α é da forma R(t1, . . . , tn) e, ao mesmo tempo, é da forma S(s1, . . . , sm) então:

– n = m;

– R e S são o mesmo símbolo relacional;

– ti é o mesmo termo que si , para todo i ≤ n.

58

Metateorema 12 (Princípio de indução para termos). Seja Γ um conjunto de termos de uma lin-

guagem de primeira ordem L e suponha que

(1) as variáveis e as constantes de L pertencem a Γ;

(2) se t1, t2, . . . tn pertencem a Γ então F (t1, t2, . . . tn) pertencem a Γ para qualquer que seja o

símbolo funcional F .

Então Γ é o conjunto de todas as fórmulas da linguagem.

Metateorema 13 (Princípio de indução para as fórmulas). Seja Γ um conjunto de fórmulas de

uma linguagem de primeira ordem L e suponha que

(1) as fórmulas atômicas de L pertencem a Γ;

(2) se α pertence a Γ então ¬α pertence a Γ;

(3) se α e β pertencem a Γ então α→β pertence a Γ;

(4) se α pertence a Γ e x é uma variável, então ∀xα pertence a Γ.

Então Γ é o conjunto de todas as fórmulas da linguagem.

Exercícios.

(1) Simbolize as seguintes sentenças (abertas ou não) na linguagem da Aritmética.

(a) Todo número par maior do que dois pode ser escrito como soma de dois números

primos.

(b) x possui exatamente três divisores.

(c) Todo número positivo admite raiz quadrada.

(d) z é o máximo divisor comum de x e y .

(e) Existem infinitos números primos.

(2) Defina uma linguagem de primeira ordem F que trata das relações familiares e escreva

em símbolos as sentenças abaixo.

(a) Ana é irmã de José.

(b) Maria é irmã de Ana.

(c) Pedro é pai de Ana.

(d) Pedro é pai de Maria e de José.

(e) Ana é irmã de José e Maria é irmã de Ana, então Maria é irmã de José.

(f) Tarso é irmão de Pedro e tio de Ana.

(g) Tarso é irmão de Pedro então é tio de José.

(h) Tarso é tio de Maria.

(i) Tarso é tio de Maria e de Ana, que são irmãs de José, logo Tarso é tio de José.

(j) Ele é primo de Maria.

59

(k) Maria possui uma avó que tem quatro filhos(as).

(3) Identifique as ocorrências livres e não-livres de variáveis nas fórmulas abaixo.

(a) (∃x((1+ y) = x))∧∀y(y < x).

(b) (∃x(x · x = 2)) → (x +1 = 0).

(c) ∀x∃y(z < 1).

(d) (∃x((1+ y) = x))∧ (∀y(y < x)).

(e) ∀x(((x < 6)∧ (0 < x)) →∃y(x · y = z)).

(f) (∀y∃z(x + y = z)) → (x = 0).

(g) (x < y +1) →∀x∃y(x 6= y).

(h) ∀x((x = 0)∨ (0 < x))∧∃y(y · (1+1) = x).

(i) ∀x(x > (1+1) → y < (x +x)).

(j) ∀y∀z((y ·z = x) → ((y¬z)∧((y = 1)∨(z =1)))).

(4) Subfórmulas: Seja α uma fórmula. O conjunto das subfórmulas de α é Sf(α) dado por:

(a) Se α é uma fórmula atômica então Sf(α) =;;

(b) Se α é da forma ¬β ou da forma ∀xβ então Sf(α) = Sf(β);

(c) Se α é da forma β→ γ então as subfórmulas então Sf(α) = Sf(γ)∪Sf(β).

Exiba as subfórmulas de cada uma das fórmulas que você encontrou no exercício 1.

(5) Use indução para definir o grau de complexidade de uma fórmula (veja exercício 6 da

lista 1). Por exemplo grau(s = t ) = 0, grau(R2(x, y)) = 0, grau(¬(s = t )) = 1, grau(∀x R2(x, y)) =1, grau(∀y ∀x R2(x, y)) = 2.

(6) Restabeleça os parênteses de acordo com as regras dadas abaixo

(a) ∀x1R11 x1 ∧¬R1

1 x2.

(b) ∀x2R11 x2 ↔ R1

1 x2.

(c) ∀x2∃x1R21 x1, x2.

(d) ∀x1∀x3∀x4R11 x1 → R1

1 x2 ∧¬R11 x1

(e) ∃x1∀x2∃x3R11 x1 ∨∃x2¬∀x3R2

1 x3, x2.

(f) ∀x2¬R11 x1 → R3

1 x1, x1, x2 ∨∀x1R11 x1.

(g) ¬∀x1R11 x1 →∃x2R1

1 x2 → R21 x1, x2 ∧R1

1 x2.

8. SISTEMA DEDUTIVO

São conhecidos alguns sistemas dedutivos para o cálculo de predicados que são equivalentes

no sentido de deduzirem os mesmos teoremas. Apresentaremos o Sistema de Hilbert para a

linguagem L da lógica de primeira ordem. Tal sistema é axiomático, consiste numa lista finita

de axiomas e outra de regras de inferência que podem ser usados para derivar os teoremas do

sistema.

Variáveis livres. Antes de irmos adiante, definimos recursivamente o conjunto V L das variáveis

livres de uma fórmula:

60

(1) se t é termo então

V L(t ) :=

;, se t é c

x, se t é x

V L(t1)∪·· ·∪V L(tn), se t é F (t1, . . . , tn)

(2) se α é fórmula então

V L(α) :=

V L(t1)∪V L(t2), se α é t1 = t2

V L(t1)∪·· ·∪V L(tn), se α é R(t1, . . . , tn)

V L(β), se α é ¬βV L(β)∪V L(γ), se α é βäγV L(β) \ x, se α é ∀xβ ou ∃xβ

Lembremos que se ϕ é uma fórmula, x uma variável e t um termo, então [ϕ]tx é a fórmula que

obtemos depois de substituir todas as ocorrências livres da variável x por t ; esse processo é

chamado de substituição.

Agora, a substituição da variável x pelo termo t na fórmulaϕ é admissível se nenhuma ocorrên-

cia livre de x emϕ estiver no escopo de um quantificador que liga qualquer variável que aparece

em t . Isto é, para cada variável y que aparece em t , nenhum lugar onde x ocorre livre em ϕ está

no escopo de ’∃y ’ ou ’∀y ’.

Por exemplo, se x 6∈ V L(ϕ), então [ϕ]tx é admissível para qualquer termo t e, nesse caso, as fór-

mulas ϕ e [ϕ]tx são idênticas. Uma variável x sempre é admissível para ela mesmo em qualquer

fórmula e [ϕ]xx é a fórmula ϕ. A variável y não é uma substituição admissível para x na fórmula

∀y (x = y) porque se substituímos x por y a nova ocorrência de y seria ligada. Isso fará diferença

no valor verdade de uma sentença, enquanto que ∀y (y = y) será uma tautologia em qualquer

interpretação, a fórmula ∀y (x = y) tem valor verdade que dependerá da interpretação.

Exercício 6. É x uma substituição admissível para z em ϕ se ϕ é z = x → ∀z (z = x)? Em caso

afirmativo, o que é [ϕ]xz ?

Generalização. Se α é uma fórmula então uma generalização de α é a fórmula

∀x1∀x2 · · ·∀xnα

para quaisquer coleção de variáveis x1, x2, . . . , xn , independente delas ocorrerem ou não em α.

Exemplo 24. São generalizações de x = y as fórmulas: ∀x (x = y), ∀y (x = y), ∀y∀x (x = y),

∀z∀y∀x (x = y), ∀w∀z∀y∀x (x = y).

61

Esquemas de axiomas e de teoremas. No que segue, chamaremos de axioma, por exemplo

α→ (β→α)

e

∀x (α→β) → (α→∀xβ)

o que, propriamente, não são como já alertamos anteriormente na lógica proposicional. São

esquemas de axiomas e de teoremas pois usam variáveis da metalinguagem. Os axiomas são

obtidos quando substituímos tais variáveis por fórmulas nas quais figuram apenas símbolos do

alfabeto de modo que toda ocorrência da mesma (meta)variável é substituída pela mesma fór-

mula.

8.1. Axiomas. Um sistema dedutivo para uma linguagem de primeira ordem tem duas classes

de axiomas, os lógicos comuns a todas as linguagens e os não-lógicos específicos da teoria.

Os axiomas não-lógicos são os axiomas específicos das teorias, como os axiomas G1, G2 e G3 da

Teoria dos Grupos do exemplo 22.

Os axiomas lógicos são:

(A0) α→α

(A1) α→ (β→α)

(A2) (α→ (β→ ξ)) → ((α→β) → (α→ ξ))

(A3) (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4) α→ (β→ (α∧β))

(A5) α∧β→α

(A6) α∧β→β

(A7) α→α∨β(A8) β→α∨β(A9) (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A10) ¬α→ (α→β)

(A11) (∀x (α→β)) → (∀xα→∀xβ).

(A12) (∀xα) → [α]tx sempre que t é admissível para x em α.

(A13) α→∀xα sempre que x 6∈V L(α).

(A14) t = t

(A15) t1 = t2 → t2 = t1

(A16) (t1 = t2 ∧ t2 = t3) → t1 = t3

(A17) (t1 = t ′1 ∧·· ·∧ tn = t ′n) → (R(t1, . . . , tn) → R(t ′1, . . . , t ′n)

)(A18) (t1 = t ′1 ∧·· ·∧ tn = t ′n) → (

F (t1, . . . , tn) = F (t ′1, . . . , t ′n))

62

em que α,β,γ,ξ são fórmulas, x é variável, t e t1, t2, t3, . . . , tn são termos da linguagem L .

Exemplo 25. Caso não houvesse restrição sobre a substituição de variável, é possível (e.g., numa

interpretação onde o universo tem mais de um elemento) que a fórmula ∀x ∃y (x 6= y) seja válida.

De (AQ) incondicional teríamos o axioma∀x ∃y (x 6= y) → [∃y (x 6= y)]xy , ou seja, teríamos o axioma

∀x ∃y (x 6= y) →∃y (y 6= y) que,intuitivamente, deveria ser falso.

Exemplo 26. Temos que

¬P (x) → (P (x) →¬∀y ¬P (y))

é uma instância de ¬α→ (α→β) portanto é um axioma do esquema (A10). A fórmula

(R(x, y) → (∃y (y = 0)∨R(x, y))

é uma instância de β→ (α∨β), portanto é um axioma do esquema (A8).

Ademais, as generalizações desses axiomas, como

∀x(¬P (x) → (P (x) →¬∀y ¬P (y))

)∀y

(¬P (x) → (P (x) →¬∀y ¬P (y)))

∀x∀y(¬P (x) → (P (x) →¬∀y ¬P (y))

)são teoremas devido à regra de generalização.

Exemplo 27. A fórmula

∀x(¬∀y (x = y)

)→ (¬∀y (z = y))

é um axioma do esquema (AQ). Também é a fórmula

∀x (A(x) →∀y A(y)) → (A(y) →∀y A(y))

porém a fórmula

∀x(∀y B(x, y)

)→∀y B(y, y))

não é um axioma desse esquema porque viola a condição de admissibilidade.

Exercício 7. A fórmula (x = y) → ((x +x = 0) → (x + y = 0)) é um axioma do esquema (A3I)?

8.2. Regras de inferência. As regras de inferência (de fato esquemas) do sistema são

Modus Ponens (MP): se então α é teorema e α→β é teorema, então β é teorema.

α, α→β

β

Generalização (G): se α é teorema então ∀xα é teorema.

α

∀xα

63

8.3. Teorema e Prova. Teorema é qualquer fórmula para a qual existe uma prova a partir dos

axiomas lógicos e regras de inferência. Observemos que qualquer fórmula que ocorre numa

prova formal de um teorema também é um teorema. Axioma também é um teorema.

Sejam α uma fórmula da linguagem de primeira ordem L e Γ⊂L (em geral são sentenças) um

conjunto de hipóteses ou premissas. Uma prova de α a partir de Γ é uma sequência finita de

fórmulas

⟨ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn⟩tal que ϕn =α e, para i < n, ϕi é

(1) ou um axioma lógico

(2) ou uma fórmula de Γ

(3) ou uma fórmula obtida de ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕi−1 por regra de inferência.

Γ`α e lê-se “α é deduzível de Γ”, ou “Γ prova α”, ou α é consequência sintática de Γ.

No caso Γ vazio escrevemos `α e, nesse caso, α é um teorema.

Simplificações de notação:

• Ao invés de α `β escrevemos α`β .

• Ao invés de α1, . . . ,αn `β escrevemos α1, . . . ,αn `β .

• Ao invés de Γ∪ α `β escrevemos Γ,α`β .

Propriedades de`. As seguintes propriedades valem exatamente como na lógica de proposições.

Metateorema 14. Se Γ é um conjunto de fórmulas de L

(1) Γ`α para todo α ∈ Γ.

(2) Se Γ`α e Σ⊇ Γ então Σ`α.

(3) Se Γ`αi (i = 1,2, . . . ,k) e α1, . . . ,αk `β então Γ`β.

(4) Regra do destacamento: Se Γ`α e Γ`α→β então Γ`β.

(5) Teorema da Dedução: se nas provas não for usado a regra de generalização,

Γ`α→β se e só se Γ,α`β.

Deduzir um teorema a partir da lista de axiomas pode não ser uma tarefa fácil. Porém, cada vez

que provamos um teorema, podemos colocá-lo diretamente dentro de uma outra dedução sem

precisarmos prová-lo novamente. Na prática, eles funcionam como novos axiomas e regras de

inferências que deduzimos, e, a partir de então, podemos utilizá-los nas próximas deduções.

Teorema 15. α`α

64

Demonstração. Segue de (A0) e do Teorema da Dedução.

Teorema 16 (Redução ao absurdo (RA)). α→β, α→¬β`¬α

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A3).

Teorema 17 (Introdução da conjunção (IC)). α, β`α∧β

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A4).

Teorema 18 (Eliminação da conjunção (EC1)). α∧β`α

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A5).

Teorema 19 (Eliminação da conjunção (EC2)). α∧β`β

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A6).

Teorema 20 (Introdução da disjunção (ID1)). α`α∨β

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A7).

Teorema 21 (Introdução da disjunção (ID2)). β`α∨β

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A8).

Teorema 22 (Duns Scotus (DS)). α, ¬α`β

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A10).

Teorema 23 (Instanciação universal (IU)). ∀xα` [α]tx , para todo termo t admissível para x.

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A12).

Teorema 24 (Generalização universal (G)). α`∀xα, se x 6∈V L(α).

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A13).

Teorema 25 (Modus Tollens (MT)). α→β,¬β`¬α

Prova.

65

1. α→β (hip.)

2. ¬β (hip.)

3. (α→β) → ((α→¬β) →¬α) (A3)

4. ¬β→ (α→¬β) (A1)

5. α→¬β (MP 2,4)

6. (α→¬β) →¬α (MP 1,3)

7. ¬α (MP 5,6)

Teorema 26 (Contra-positiva (CP1)). α→β`¬β→¬α

Demonstração. Segue de Modus Tollens por aplicação do Teorema da Dedução.

Teorema 27 (Silogismo hipotético (SH)). α→β,β→ γ`α→ γ

Prova.

1. α→β (hipótese)

2. β→ γ (hipótese)

3. (β→ γ) → (α→ (β→ γ)) (A1)

4. (α→ (β→ γ) (MP 2,3)

5. (α→ (β→ γ)) → ((α→β) → (α→ γ)) (A2)

6. (α→β) → (α→ γ) (MP 4,5)

7. α→ γ (MP 1,6)

Teorema 28 (Silogismo disjuntivo (SD)). α∨β, ¬α`β

Prova.

1. α∨β (hip.)

2. ¬α→β (reescrita de 1)

3. ¬α (hip.)

4. β (por MP 2,3)

Teorema 29 (Troca condicional (TC)). θ→ (φ→ ξ) `φ→ (θ→ ξ)

Prova.

66

1. θ→ (φ→ ξ) (hipótese)

2. (θ→ (φ→ ξ)) → ((θ→φ) → (θ→ ξ)) (A2)

3. (θ→φ) → (θ→ ξ) (MP 1,2)

4. φ→ (θ→φ) (A1)

5. ((θ→φ) → (θ→ ξ)) → (φ→ ((θ→φ) → (θ→ ξ))) (A1)

6. (φ→ ((θ→φ) → (θ→ ξ)) (MP 3,5)

7. (φ→ ((θ→φ) → (θ→ ξ))) → ((φ→ (θ→φ)) → (φ→ (θ→ ξ))) (A2)

8. (φ→ (θ→φ)) → (φ→ (θ→ ξ)) ( MP 6,7)

9. φ→ (θ→ ξ) (MP 4,5)

Teorema 30 (Dupla negação (DN1)). ¬¬α`α.

Prova.

1. ¬¬α (hipótese)

2. ¬¬α→ (¬α→α) (A10)

3. ¬α→α (MP 1,2)

4. (¬α→α) → ((¬α→α) → (α∨¬α→α)) (A9)

5. (¬α→α) → (α∨¬α→α) (MP 3,4)

5. α∨¬α→α (MP 3,5)

5. (¬α→¬α) →α (definição de ∨)

6. ¬α→¬α (A0)

7. α (MP 5,6)

Regras de inferências derivadas. Agora podemos levar as abreviaturas um passo adiante. Uma

regra de inferência derivada é uma regra de inferência não dada a nós como parte do sistema

dedutivo, mas que constitui uma abreviatura usando um teorema previamente comprovado. Em

particular, suponha que tenhamos Γ ` α com Γ = γ1, . . . ,γk um conjunto finito de teoremas.

Então sempre que deduzimos, digamos numa prova de Σ ` β, os teoremas de Γ, podemos usar

Γ`α para deduzir α. Assim, acrescentamos a regra

γ1, . . . ,γk

α

à nossa lista de regras de inferência.

Teorema 31 (Dupla negação (DN2)). `α→¬¬α

67

Prova.

1. ¬¬¬α→¬α (DN1)

2. (¬¬¬α→α) → ((¬¬¬α→¬α) →¬¬¬¬α) (A3)

3. (¬¬¬α→¬α) → ((¬¬¬α→α) →¬¬¬¬α) (TC)

4. (¬¬¬α→α) →¬¬¬¬α (MP 1,3)

5. ¬¬¬¬α→¬¬α (DN1)

6. (¬¬¬α→α) →¬¬α (SH 4,5)

7. α→ (¬¬¬α→α) (A1)

8. α→¬¬α (SH 7,6)

Teorema 32 (Generalização existencial (GE)). ` [α]tx →∃xα, se t é admissível para x.

Prova. Seja t uma substituição admissível para x em α.

1. ∀x¬α→¬[α]tx (A12)

2. (∀x¬α→¬[α]tx ) → (¬¬[α]t

x →¬∀x¬α) (CP1)

3. ¬¬[α]tx →¬∀x¬α (MP 1,2)

4. [α]tx →¬¬[α]t

x (DN2)

5. [α]tx →¬∀x¬α (SH 3,4)

6. [α]tx →∃xα (def. de ∃)

Teorema 33 (Contra-positiva (CP2)). ¬β→¬α`α→β

Prova.

1. ¬β→¬α (hip.)

2. (¬β→¬α) → (¬¬α→¬¬β) (CP1)

3. ¬¬α→¬¬β (MP 1,2)

4. α→¬¬α (DN2)

5. ¬¬β→β (DN1)

6. α→¬¬β (SH 4,3)

7. α→β (SH 6,5)

Teorema 34. `∀xα→∃xα

68

Prova.

1. ∀xα→ [α]tx (AQ)

2. [α]tx →∃xα (GE)

3. ∀xα→∃xα (SH 1,2)

Com a notação usual temos:

(RA)α→β,α→¬β

¬α

(IC)α,β

α∧β

(EC1)α∧βα

(EC2)α∧ββ

(ID1)α

α∨β

(ID2)β

α∨β

(DS)α,¬αβ

(IU)∀xα

[α]tx

, para todo t admissível para x.

(Gen)α

∀xα, se x 6∈V L(α).

(MT)α→β,¬β

¬α

(CP1)α→β

¬β→¬α

(SH)α→β,β→ γ

α→ γ

(TC)θ→ (φ→ ξ)

φ→ (θ→ ξ)

(DN1)¬¬αα

(GE)[α]t

x

∃α , se t é admissível para x.

(CP2)¬β→¬αα→β

(DN2)α

¬¬α

(∀/∃)∀xα

∃xα

Teorema 35. ∀x(α→β) ` (α→∀xβ), se x 6∈V L(α).

Prova.

1. ∀x(α→β) (hip.)

2. ∀x(α→β) → (∀xα→∀xβ) (A11)

3. ∀xα→∀xβ (MP 1,2)

4. α→∀xβ (SD 3,4)

69

O Teorema da Dedução. Na linguagem LN temos

1. x = S0 (hip.)

2. ∀x(x = S0) (G)

donde concluímos ` (x = S0) →∀x(x = S0), o que, intuitivamente, não deveria ser verdade.

Metateorema 15. Teorema da Dedução: Seja Γ subconjunto de fórmulas de uma linguagem de

primeira ordem. Se Γ ` α→ β então Γ,α ` β. Se Γ,α ` β e na dedução não foi usada a regra (G)

com uma variável livre de α então Γ`α→β.

Em particular, Γ`α→β se e só se Γ,α`β sempre que α for uma sentença.

Demonstração. Primeiro, vamos demonstrar que

se Γ`α→β então Γ,α`β.

Suponha que Γ`α→β. Então

Γ,α`α→β

pela propriedade 2 de `. Trivialmente, vale

Γ,α`α.

Agora, pela regra do destacamento temos Γ,α`β.

Agora, vamos demonstrar que

se Γ,α`β e (G) que torna uma variável livre de α em ligada não ocorre nessa dedução então

Γ`α→β.

Suponha que Γ,α`β e seja

⟨θ1,θ2, . . . ,θn−1,β⟩uma prova de β a partir de Γ,α. Vamos demonstrar por indução em i que Γ` α→ θi para todo

1 ≤ i ≤ n com θn =β.

Base: θ1 ou é um axioma ou uma fórmula de Γ∪ α. Se é axioma ou fórmula de Γ então

1. θ1 (axioma ou hipótese)

2. θ1 → (α→ θ1) (A1)

3. α→ θ1 (MP 1,2)

e notemos que se θ1 for α então Γ`α→α por (A0). Portanto, em todos os casos Γ`α→ θ1.

Hipótese indutiva: Assuma que Γ`α→ θ j para todo j = 1,2, . . . , i −1.

70

Passo indutivo: Vamos demonstrar que sob a hipótese indutiva, vale que Γ`α→ θi .

A fórmula θi ou é uma axioma ou fórmula de Γ, ou éα, ou é resultado de uma regra de inferência:

(MP j,k) ou (G j) com j ,k < i . Nos três primeiros casos Γ ` α→ θi , a prova é similar ao caso

feito na base da indução. Resta verificar o caso θi é obtida por regra de inferência.

Se θi é resultado de (MP j,k) com j ,k < i então na linha j temos θ j e na linha k temos θ j → θi .

Pela hipótese indutiva Γ`α→ θ j e Γ`α→ (θ j → θi )

1. α→ θ j (hipótese)

2. α→ (θ j → θi ) (hipótese)

3. (α→ (θ j → θi )) → ((α→ θ j ) → (α→ θi )) (A2)

4. (α→ θ j ) → (α→ θi ) (MP 2,3)

5. α→ θi (MP 1,4)

Agora, se θi é resultado de (G j) com j < i então na linha j temos θ j e na linha i temos ∀xθ j com

x 6∈V L(α). Pela hipótese indutiva Γ`α→ θ j

1. α→ θ j (hipótese)

2. ∀x (α→ θ j ) (G)

3. ∀x (α→ θ j ) → (∀xα→∀xθ j ) (A11)

4. ∀xα→∀xθ j (MP 2,3)

5. α→∀xα (A13)

6. α→∀xθ j (SH 4,5)

Portanto, pelo princípio da indução matemática Γ`α→ θi , para todo i , ou seja Γ`α→β.

Há axiomas redundantes. Observamos aqui que os axiomas que estabelecemos para o sistema

dedutivo não é o menor conjunto possível, dentre eles há várias redundâncias. Por exemplo,

podemos retirar o axioma (A0) e provar

(6) `α→α

e com respeito a igualdade, também podemos provar a propriedade simétrica (A2I) usando os

outros axiomas

(7) ` (x = y) → (y = x)

As provas são dadas a seguir.

Prova.

71

1. (α→ ((α→α) →α)) → ((α→ (α→α)) → (α→α)) (por A2)

2. α→ ((α→α) →α)) (por A1)

3. α→ (α→α)) (por A1)

4. (α→ (α→α)) → (α→α) (por MP 2,1)

5 α→α (por MP 3,4)

Vejamos que x = y ` y = x.

Prova.

1. x = y (hipótese)

2. (x = y ∧x = x) → (x = x → y = x) (A3I)

3. (x = y ∧x = x) → (x = x) (A6)

4. ((x = y ∧x = x) → (x = x → y = x)) → (((x = y ∧x = x) → (x = x)) → ((x = y ∧x = x) → y = x)) (A2)

5. ((x = y ∧x = x) → (x = x)) → ((x = y ∧x = x) → y = x) (MP 3,4)

6. (x = y ∧x = x) → y = x) (MP 4,5)

7. x = x (A1I)

8. x = x → (x = y → (x = y ∧x = x)) (A4)

9. x = y → (x = y ∧x = x) (MP 7,8)

10. x = y ∧x = x (MP 1,9)

11. y = x (MP 1,10)

Existem várias axiomatizações da lógica de predicados, uma vez que, para qualquer lógica, há li-

berdade na escolha de axiomas e regras de inferência que caracterizam essa lógica. Descrevemos

aqui um sistema Hilbert com 18 axiomas e duas regras de inferência. Poderímos ter restringido

os 10 primeiros axiomas a

(1) φ→ (ψ→φ

)(2)

(φ→ (

ψ→ ξ))→ ((

φ→ψ)→ (

φ→ ξ))

(3)(¬φ→¬ψ)→ (

ψ→φ)

Esses axiomas descrevem a lógica proposicional clássica. Para manipular quantificadores uni-

versais basta

(4) ∀xφ→ [φ]tx onde t é admissível para x em φ

72

dos três esquemas de axioma lógico que usamos (aqui em outra ordem)

• ∀xφ→ [φ]tx onde t é admissível para x em φ

• ∀x(φ→ψ

)→ (∀xφ→∀xψ)

• φ→∀xφ onde x não é uma variável livre de φ.

os dois últimos são redundante em função da regra (G) de inferência. Com esses três axiomas

podemos adotar somente modus ponens como regra de inferência. Notemos que, nesse caso o

Teorema da Dedução vale plenamente, sem hipóteses adicionais. Ademais, podemos acrescen-

tar

Metateorema 16. Teorema da Generalização: Seja Γ tal que a variável x não ocorre livre em

nenhuma fórmula de Γ. Se Γ`α então Γ`∀xα.

Dos esquemas de axioma para a igualdade, basta

(5) x = x para cada variável x

(6)(x = y

)→ ([φ]x

z → [φ]yz)

Como os sistemas dedutivos do estilo de Hilbert têm poucas regras de dedução, é comum provar

metateoremas que mostram que as regras de dedução adicionais não adicionam nenhum poder

dedutivo, no sentido de que uma dedução usando as novas regras de dedução pode ser conver-

tida em uma dedução usando apenas a dedução com as regras originais. Acima vimos várias

delas as quais acrescentamos o teorema da generalização.

8.4. Axiomas não-lógicos e uma dedução na Aritmética. À linguagem LN acrescentamos, além

dos axiomas lógicos, os seguintes axiomas não-lógicos específicos da teoria elementar de núme-

ros:

(PA0) ¬∃x (Sx = 0)

(PA1) ∀x∀y(Sx = Sy → x = y)

(PA2) ∀x (x +0 = x)

(PA3) ∀x∀y (x +Sy = S(x + y))

(PA4) ∀x (x ·0 = 0)

(PA5) ∀x∀y (x ·Sy = (x · y)+x)

(PA6) Se ϕ ∈LN com x ∈V L(ϕ), então([ϕ]0

x ∧∀x(ϕ→ [ϕ]Sx

x

))→∀xϕ

Notemos que PA0 – PA5 são axiomas, i.e. fórmulas da linguagem, enquanto que PA6 é um es-

quema de axioma, é o esquema de axioma da indução. Além desses, os axiomas de ordem

73

(OA0) ¬(x < 0)

(OA1) x < Sy ↔ x < y ∨x = y

(OA2) x < y ∨x = y ∨ y < x .

Na linguagem aritmética, por exemplo, teríamos o axioma lógico

(x < y) → (∃y (y = 0)∨ (x < y))

do esquema β→ (α∨β). Agora, vamos provar que a soma é comutativa

PA `∀x∀y (x + y = y +x).

A prova é por indução em x com ϕ sendo a fórmula ∀y (x + y = y +x).

A estratégia da prova é dividida em cinco passos. O primeiro é verificar a base da indução. O caso

base consiste em deduzir a fórmula [ϕ]0x , ou seja, ∀y (0+ y = y +0), a qual é provada por indução

em y . O segundo passo, o passo indutivo, consiste em provar ∀x(ϕ→ [ϕ]Sx

x

)que, no presente

caso é a fórmula ∀x((∀y (x + y = y +x)) → (∀y (Sx + y = y +Sx)

). O restante segue da seguinte

maneira:

C1. ∀y (0+ y = y +0) (base)

C2. ∀x((∀y (x + y = y +x)) → (∀y (Sx + y = y +Sx)

)(passo)

C3. ∀y (0+ y = y +0)∧∀x((∀y (x + y = y +x)) → (∀y (Sx + y = y +Sx)

)(IC)

C4.(∀y (0+ y = y +0)∧∀x

((∀y (x + y = y +x)) → (∀y (Sx + y = y +Sx)

))→∀x(∀y (x + y = y +x)) (PA6)

C5. ∀x(∀y (x + y = y +x)) (MP C3,C4)

Para provar C1, começamos com

(8) PA `∀y (0+ y = y).

cuja prova será feita por indução em y . Isso é suficiente pois de 0 + y = 0 e y + 0 = 0 temos

0+ y = y +0, ou seja, PA `∀y (0+ y = y +0) (Exercício: escreva a prova formal).

A base da indução consiste em provar 0+0 = 0 e a passo indutivo consiste em provar ∀y (0+ y =y → 0+Sy = Sy). A conclusão é como na estratégia acima:

B1. 0+0 = 0 (base)

B2. ∀y (0+ y = y → 0+Sy = Sy) (passo)

B3. (0+0 = 0)∧∀y (0+ y = y → 0+Sy = Sy) (IC)

B4.((0+0 = 0)∧∀y (0+ y = y → 0+Sy = Sy)

)→∀y (x + y = y +x) (PA6)

B5. ∀y (0+ y = y) (MP B3,B4)

A seguir, detalhamos os passos B1 – B5 da sequência acima. A prova formal de (8) é

Prova.

74

1. ∀x(x +0 = 0) (PA2)

2. ∀x(x +0 = 0) → 0+0 = 0 (A1I)

3. 0+0 = 0 (MP 1,2)

4. ∀x∀y(x +Sy = S(x + y)) (PA3)

5. ∀x∀y(x +Sy = S(x + y)) →∀y(0+Sy = S(0+ y)) (A1I)

6. ∀y(0+Sy = S(0+ y)) (MP 4,5)

7. ∀y(0+Sy = S(0+ y)) → 0+Sy = S(0+ y) (A1I)

8. 0+Sy = S(0+ y) (MP 6,7)

9. 0+ y = y → S(0+ y) = Sy (A5I)

10. 0+ y = y → (0+Sy = S(0+ y)∧S(0+ y) = Sy) (* 8,9)

11. (0+Sy = S(0+ y)∧S(0+ y) = Sy) → (0+Sy = Sy) (A16)

12. 0+ y = y → 0+Sy = Sy (SH 10,11)

13. ∀y (0+ y = y → 0+Sy = Sy) (G 12)

12. (0+0 = 0)∧ (∀y(0+Sy = S(0+ y))) (IC 1,13)

13. (0+0 = 0∧∀y ((0+ y = 0) → (0+Sy = 0))) →∀y(0+ y = y) (PA6)

14. ∀y(0+ y = 0) (MP 12,13)

(*) β, α→ γ`α→ (β∧γ)

Prova. Do teorema de dedução e

1. β (hip.)

2. α→ γ (hip.)

3. α (hip.)

4. γ (MP 2,3)

5. β∧γ (IC 1,5)

Com isso temos [ϕ]0x ou seja [∀y (x + y = y + x)]0

x . Agora, precisamos provar ∀x(ϕ→ [ϕ]Sx

x

), ou

seja,

Exercício 8. ∀x((∀y (x + y = y +x)) → (∀y (Sx + y = y +Sx)

)Exercício 9. PA `∀x(x = 0∨∃y(x = Sy)).

Exercícios.

(1) Para cada uma das fórmulas abaixo determine se é um axioma lógico.

(a) ∀x∀z (x = y → (x = c → x = y))

(b) x = y → (y = z → z = x)

(c) ∀z (x = y → (x = c → y = c))

75

(d) ∀w∃x (P (w, x) → P (w, w)) →∃x (P (x, x) → P (x, x))

(e) ∀x(∀x (c = f (x,c) →∀x∀x (c = f (x,c))))

(f) (∃x P (x) →∃y ∀zR(z, f (y))) → ((∃xP (x) →∀y¬∀z R(z, f (y))) →∀x¬P (x))

(g) ∀x∃y (¬(y = x)) →∃y (¬(y = 0))

(h) ∀x∃y (¬(x = y))

(i) ∀x∃y(y < x) →∃y(y < y)

(j) ∀x ((0 < x) → (0 < x +x)) → ((0 < x) →∀x(0 < x +x))

(k) ∀x∀y ((x +1 = 0) → ((y = 1) → (x +1 = 0)))

(2) Escreva uma prova para

(a) ` (∀x1(R11(x1)∨R1

2(x1))) → (R12(x1)∨R1

1(x1)).

(b) ` R11(c1) → (R1

1(c2) → (R11(c1)∧ r 1

1 (c2))).

(c) `∀x1(∀x2(R11(x1) → (R1

1(x2) → R11(x1)))).

(d) Q(x),∀y (Q(y) →∀z P (z)) `∀x P (x)

(e) ` (α→∃xβ) ↔∃x (α→β) se x não ocorre livre em α

(f) ` (∀xβ→α) ↔∃x (β→α) se x não ocorre livre em α

(g) ` P (y) ↔∀x (x = y → P (x))

(3) Demonstre as propriedades de `.

(4) Use indução para mostrar que x é substituível para x em ϕ, para qualquer variável x e

qualquer fórmula ϕ, e [ϕ]xx é a fórmula ϕ.

(5) Sejam t é um termo e α uma sentença. O termo t é uma substituição admissível em α

para qualquer variável x? Qual é o resultado da substiuição?

(6) Escreva uma prova para PA ` S0+SS0 = SSS0 e para PA ` 0 < S0.

(7) Escreva uma prova para PA `∀x(0 · x = 0).

9. SEMÂNTICA DA LÓGICA DE PREDICADOS

9.1. Estrutura e valoração. Para interpretar as fórmulas de uma linguagem de primeira ordem,

precisamos estabelecer um universo de discurso, também chamado de domínio; os símbolos

funcionais n-ários correspondem à operações n-árias nesse domínio; os símbolos relacionais n-

ários serão interpretados como relações n-árias sobre o domínio e as constantes são elementos

do domínio.

Exemplo 28. Intuitivamente, para

∀x1 R21(x1, x1)

76

se o domínio é N e R21 representa a relação de divisibilidade então a fórmula é verdadeira, nos diz

que “todo número natural é divisível por ele mesmo”. Se o domínio é Z e R21 representa a rela-

ção menor que então a fórmula é falsa, não é verdade que “todo número inteiro é menor que ele

mesmo”.

Para

∃x1 (R21(x2, x1)∧R2

1(x1, x3))

no domínio Z e R21 a relação menor que, também devemos interpretar as variáveis livres x2, x3.

Se interpretamos x2 como 5 e x3 como 8 obtemos a sentença verdadeira “existe um inteiro n tal que

5 < n e n < 8”.

Se interpretamos x2 como 5 e x3 como 6 obtemos a sentença falsa “existe um inteiro n tal que 5 < n

e n < 6”.

Exemplo 29. Intuitivamente, para a linguagem da teoria dos grupos, exemplo 22, com domínioZ

e interpretando a constante e como o 0 ∈Z e interpretando a operação como a soma de inteiros

temos, intuitivamente, que os axiomas G1, G2 e G3 são verdadeiros. Por outro lado, com domí-

nio N e interpretando a constante e como o 1 ∈ Z e interpretando a operação como a soma de

números naturais o axioma G3 é falso.

Uma interpretação é dada por uma estrutura matemática e uma valoração da varíáveis.

Estruturas matemáticas. Uma estrutura matemática E é dada por uma sequência

E= (E ,c1,c2, . . . ,c`,R1, . . . ,Rm ,F1, . . . ,Fn)

em que E é um conjunto não vazio, c1,c2, . . . ,c` são alguns elementos tomados de E , R1, . . . ,Rm

relações sobre E e F1, . . . ,Fm funções sobre E .

O conjunto E é denominado domínio ou universo de E. Um exemplo é (0,1,∧,∨,¬). Aqui

∧,∨,¬ têm seus significados habituais no domínio 0,1, e não há relações ou constantes. Outro

exemplo é (N,0,1,<,+, ·) é um exemplo com universo N e 0,1,<,+, · têm o seu significado usual.

Também (R,0,1,+, ·,−1) é o corpo dos números reais e (N,<) é o conjunto totalmente ordenado

dos números naturais.

Se E não contém funções ou constantes, então E também é chamou de estrutura relacional,

como em (N,<). SeEnão tem relações é chamado de estrutura algébrica, como em (0,1,∧,∨,¬)

e em (Z,0,+).

Uma estrutura para uma linguagem será formado por um conjunto não-vazio (chamado de do-

mínio ou universo), uma operação n-ária para cada símbolo funcional n-ário da linguagem,

77

uma relação n-ária para cada símbolo relacional n-ário e um elemento do domínio para cada

constante da linguagem.

Uma estrutura E= (E , (cEi )`i=1, (RE

j )mj=1, (FE

k )nk=1

)para a linguagem L consiste de

(1) um conjunto não vazio E chamado de domínio ou universo;

(2) cada constante c da linguagem corresponde a um elemento cEi de E ;

(3) cada símbolo relacional n-ário R da linguagem corresponde a uma relação n-ária REj em

E (isto é, REj ⊆ E n);

(4) cada símbolo funcional n-ário F corresponde a uma função FE de E n em E (isto é, FE :

E n → E).

Exemplo 30. Consideremos a linguagem LO com símbolo relacional binário < como o único sím-

bolo extralógico.

São estruturas para LO

(1) (N,<E) com <E:= (a,b) ∈N2 : a +n = b para algum natural n 6= 0.

(2) (Z,≤E) com ≤E:= (a,b) ∈N2 : a +n = b para algum natural n.

(3) (N,N2).

(4) (℘(R),⊂E). com ⊂E:= (a,b) ∈℘(R)2

: a ⊂ b.

Exemplo 31. Consideremos a linguagem LN da aritmética, com os símbolos extralógicos 0, 1, <,

S, +, ·, com a seguinte interpretação. Definimos U= (E ,0U,1U,<U,SU,+U, ·U) onde

• E := 1,2,3, 0U := 1 e 1U := 2; SU =;;

• A relação binária é dada por <U:= (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3);

• as operações são dadas pelas seguintes tabelas (na linha i coluna j lê-se i +U j

+U 1 2 3

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 2

·U 1 2 3

1 1 1 1

2 1 2 3

3 1 3 2

Exemplo 32. Na linguagem LN da aritmética, com os símbolos extralógicos 0, 1, <, S, + e ·, temos

a interpretação usual N= (N,0N,1N,<N,SN,+N, ·N) onde 0N := 0 ∈N, 1N := 1 ∈N; SU(n) = n +1,

a relação binária é dada por <N:= (a,b) ∈N2 : a+n = b para algum natural n 6= 0 e as operações

são a soma e produto usuais de números naturais.

Valoração. Uma valoração para uma estrutura E = (E , (cEi )`i=1, (RE

j )mj=1, (FE

k )nk=1

)é uma atribui-

ção v : x1, x2, . . . → E . Dados uma estruturaE e uma valoração v , a interpretação de termos sob

a valoração é uma função v que estende a função v a todos os termos da linguagem, conforme

as seguintes condições:

78

(1) se x é variável, v(x) = v(x);

(2) se c é uma constante, v(c) = cE;

(3) se F é um símbolo funcional n-ário e t1, . . . , tn são termos, então a interpretação do termo

F (t1, . . . , tn) é dada por v(F (t1, . . . , tn)) = FE(v(t1), . . . , v(tn)).

Exemplo 33. Com a estrutura U do exemplo 31 e com v tal que v(x) = 1 e v(y) = 2 o valor do termo

+(·(0, x), y) é

v(+(·(0, x), y)) = +U(·U(v(0), v(x)), v(y))

= +U(·U(0U,1),2)

= +U(·U(1,1),2)

= +U(1,2)

= 2

Para a fórmula +(x, y) = 1:

v(+(x, y)) =+U(v(x), v(y)) =+U(1,2) = 2

O valor do termo 1 é v(1) = 1U = 2, de modo que a fórmula é, intuitivamente, verdadeira na in-

terpretação dada por U com valoração v (a noção de verdade será definida precisamente mais

adiante).

Exemplo 34. Na linguagem aritmética LN com a interpretação usual, a saber N tamos v(0) =0N ∈N, v(1) = 1N ∈N

v(0) = 0, v(1) = 1, v(+(1,1)) = 2, v(+(1,+(1,1))) = 3, v(+(1,+(1,+(1,1)))) = 4, . . .

Notemos que

• os números usados como argumentos de v são símbolos da linguagem;

• a imagem de v são objetos do domínio do modelo e, portanto, pertencem à metalingua-

gem.

Exercício 10. Intuitivamente, ∀x (+(x, y) = 1) é verdadeira no contexto do exemplo 33?

Exercício 11. Escreva e demonstre um teorema de indução para termos de uma linguagem.

Exercício 12. Use o exercício 11 para definir comprimento de um termo como o número de sím-

bolos do alfabeto que ocorrem no termo, exceto os de pontuação.

Exercício 13. Use o exercício 12 para provar que a extensão v de uma valoração v a todos os termos

de uma linguagem é única.

79

Exercício 14. Use o exercício 12 para demonstrar:

(1) Seja E uma estrutura para a linguagem L . Para todo termo t de L , se v e w duas valora-

ções que coincidem nas variáveis que ocorrem em t, então v(t ) = w(t ).

(2) Seja (E, v) uma interpretação para uma linguagem L . Suponha que para variáveis x e y

temos que v(x) = v(y). Use indução para termos para demonstrar que se t é termo e s é

obtido de t substituindo-se uma ou mais ocorrências de x por y então v(s) = v(t ).

Valoração x-variante. Se v é uma valoração na estrutura E, então definimos a valoração [v]x 7→a ,

para qualquer a no domínio E de E pondo

[v]xi 7→a(x j ) =a se j = i

v(x j ) se j 6= i .

Por exemplo, se E =N e v(x j ) = j então [v]x3 7→0 é

[v]x3 7→0(x j ) =0 se j = 3

j se j 6= 3.

9.2. Satisfazibilidade, valor-verdade e modelo. Sejam L um linguagem de primeira ordem, E

e v uma estrutura e uma valoração para a linguagem L , respectivamente, e α uma fórmula de

L . Escrevemos

(E, v) Íα

para dizer que (E, v) satisfaz α, ou ainda, α é verdadeira na interpretação dada por (E, v). Satis-

fazibilidade é definida recursivamente do seguinte modo:

(1) (E, v) Í (t1 = t2) se e só se v tem o mesmo valor em t1 e t2;

(2) (E, v) Í R(t1, . . . , tn) se e só se (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ RE;

(3) (E, v) ͬγ se e só se (E, v) 6Í γ;

(4) (E, v) Í γ→β se e só se (E, v) Íβ sempre que (E, v) Í γ.

(5) (E, v) Í∀xβ se e só se (E, [v]x 7→a) Íβ para todo a ∈ E ;

em que R é um símbolo relacional n-ário da linguagem formal, t1, . . . , tn são termos, x é variável

e γ e β fórmulas da linguagem.

Das abreviaturas adotadas deduzimos que

(6) (E, v) Í γ∨β se e só se (E, v) Í γ ou (E, v) Íβ(7) (E, v) Í γ∧β se e só se (E, v) Í γ e (E, v) Íβ;

(8) (E, v) Í∃xγ se e só se (E, [v]x 7→a) Í γ para algum a ∈ E .

80

Exemplo 35. Por exemplo, com U do exemplo 31 de domínio 1,2,3 e v tal que v(y) = 2.

(N , v) Í∀x (x + y = 1) sse ∀a ∈ 1,2,3 (N , [v]x 7→a) Í (x + y = 1)

sse ∀a ∈ 1,2,3 [v]x 7→a(x + y) = [v]x 7→a(1)

sse ∀a ∈ 1,2,3 [v]x 7→a(x)+N [v]x 7→a(y) = 2

sse ∀a ∈ 1,2,3 a +N 2 = 2

como 2+N 2 = 3 a fórmula ∀x (x + y = 1) não é satisfeita por essa interpretação, ou seja

(N , v) 6Í ∀x (x + y = 1).

Exemplo 36. A linguagem para Corpos LF tem símbolos extralógicos 0, 1,+, ·. Tomemos a estru-

tura R= (R,0R,1R,+R, ·R) e valoração v(xn) := n +1. Então

(R, v) Í∀x1((0 · x1 = x3) → (x3 = 0)

)pois (R, v) Í∀x1

((0 · x1 = x3) → (x3 = 0)

)sse (R, [v]x1 7→a) Í (

(0 · x1 = x3) → (x3 = 0))

para todo a ∈Rsse (R, [v]x1 7→a) ͬ(0 · x1 = x3) ou (R, [v]x1 7→a) Í (x3 = 0) para todo a ∈Rsse (R, [v]x1 7→a) Í (0 · x1 6= x3) ou (R, [v]x1 7→a) Í (x3 = 0) para todo a ∈Rsse [v]x1 7→a(0 · x1) 6= [v]x1 7→a(x3) ou [v]x1 7→a(x3) = [v]x1 7→a(0) para todo a ∈Rsse [v]x1 7→a(0) ·R [v]x1 7→a(x1) 6= [v]x1 7→a(x3) ou [v]x1 7→a(x3) = [v]x1 7→a(0) = para todo a ∈Rsse 0R·Ra 6= 4 ou 4 = 0 para todo a ∈R

portanto a interpretação dada pela estrutura e pela valoração satisfaz a fórmula já que, em N,

vale que 0 ·a 6= 4.

Valor-verdade com respeito a uma valoração. Para cada fórmula α atribuímos um valor-verdade

V (α) ∈ 0,1 de acordo com a interpretação (E, v) que é definido recursivamente por

(1) V (s = t ) = 1 sse v(s) é o mesmo elemento do domínio que v(t );

(2) Vv (R(t1, . . . , tn)) = 1 sse (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ RE;

(3) Vv (¬α) = 1 sse Vv (α) = 0;

(4) Vv (β→ γ) = max1−Vv (β),Vv (γ);

(5) Vv (∀xα) = mina∈E V[v]x 7→a(α).

Ademais Vv (⊥) = 0 e Vv (>) = 1.

81

Modelo. Dizemos que a estrutura E é uma modelo para α se

(E, v) Íα para todo v

e então escrevemos

EÍα.

Dizemos que α é verdadeira na interpretação E se esse é um modelo para α; se nenhuma valo-

ração de E satisfaz α, dizemos que α é falsa na interpretação E.

Observemos que

• uma fórmula não pode ser verdadeira e falsa num modelo;

• se for verdadeira num modelo então a negação será falsa no mesmo modelo;

• uma fórmula com variáveis livres pode não ser nem verdadeira e nem falsa num modelo.

Agora, se vale

(E, v) Íα para todo (E, v)

então α é uma tautologia, ou uma verdade lógica, e escrevemos

Íα

como, por exemplo, em Í∀x (x = x).

Exemplo 37. Í∀x (x = x) sse (M, v) Í∀x (x = x) sse (M, [v]x 7→a) Í (x = x) para qualquer a no do-

mínio M deM (recordemos que qualquer domínio deve ser não vazio). Mas [v]x 7→a(x) = [v]x 7→a(x)

para qualquer valoração v e qualquer a no domínio M, portanto (M, [v]x 7→a) Í (x = x).

Exemplo 38. Seja D uma estrutura cujo domínio D tenha pelo menos dois elementos. Então

DÍ∀x ∃y (x 6= y).

De fato, seja a ∈ D um elemento arbitrário. Como D tem pelo menos 2 elementos

dado a ∈ D, podemos escolher b ∈ D com b 6= a de modo que (E, [v]x 7→a,y 7→b) Í x 6= y.

Como a foi arbitrário (E, v) Í∀x ∃y (x 6= y).

Exemplo 39. Se a variável x não ocorre no termo t então EÍ∃x (x = t ).

Seja v uma valoração em E.

(E, v) Í∃x (x = t ) sse((E, [v]x 7→a) Í (x = t )

)para algum a ∈ E

sse ([v]x 7→a(x) = [v]x 7→a(t )) para algum a ∈ E

sse (a = v(t )) para algum a ∈ E

82

em que [v]x 7→a(t )) = v(t ) decorre o fato de x não ocorrer em t. Como v(t ) ∈ E vale que (a =v(t )) para algum a ∈ D, portanto, EÍ∃x (x = t ).

Metateorema 17. Se MÍα e MÍα→β então MÍβ.

Demonstração. Seja v uma valoração qualquer. Então (M, v) Í α e, (M, v) Í ¬α ou (M, v) Í β.

Então (M, v) Íβ.

Metateorema 18. Se MÍα então MÍ∀xα.

Demonstração. Se MÍα então (M, v) Íα para toda valoração v , em particular, (M, [v]x 7→a) Íαpara todo a no domínio de M.

Exercício 15. Verifique que Í∀x ∃y (x = y).

Exercício 16. Em LO , linguagem com um só símbolo extralógico, <, considere a estrutura Q =(Q,<Q) com <Q a relação menor que usual entre racionais. Então

(1) Q Í∀x1 (∃x2 (x1 < x2)).

(2) Q Í∃x3 (∃x4 (x3 < x4 → x3 = x4)).

Notemos que enquanto para qualquer interpretação (E, v) temos que (E, v) Í α ou (E, v) Í ¬αpara qualquer fórmula α, no caso de modelo temos E Í α ou E Í ¬α somente para sentenças,

como provamos a seguir. Lembremos que fórmula α sem ocorrência de variáveis livre é dita

sentença.

Teorema 36. Sejam E uma estrutura para uma linguagem L . Para toda fórmula α ∈L , se v e w

são valorações tais que v(y) = w(y), para toda variável y que ocorre livre em α, então

(E, v) Íα se, e somente se, (E, w) Íα.

Corolário 37. Se α é uma sentença de L e E é uma estrutura par L , então EÍα ou Eͬα.

Demonstração do Teorema. A demonstração é por indução na fórmula α.

O teorema vale para fórmulas atômicas: se α é da forma t1 = t2, então toda variável da fórmula é

livre portanto v(t1) = w(t1) e v(t2) = w(t2) de modo que

(E, v) Íα se, e somente se, (E, w) Íα.

Se α é da forma R(t1, . . . , tn), então toda variável da fórmula é livre portanto v(ti ) = w(ti ) para

todo i de modo que (v(t1), . . . , v(tn)) = (w(t1), . . . , w(tn)) portanto (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ RE se, e só

se, (w(t1), . . . , w(tn)) ∈ RE logo

(E, v) Íα se, e somente se, (E, w) Íα.

83

Se o teorema vale para α então vale para ¬α: se

(E, v) Íα se, e somente se, (E, w) Íα

então

(E, v) 6Íα se, e somente se, (E, w) 6Íα

portanto

(E, v) ͬα se, e somente se, (E, w) ͬα.

Se o teorema vale para α e β então vale para α→β:

(E, v) Íα→β sse

(E, v) ͬα ou (E, v) Íβ sse

(E, w) ͬα ou (E, w) Íβ sse

(E, w) Íα→β

portanto

(E, v) Íα→β se, e somente se, (E, w) Íα→β

Se o teorema vale para α então vale para ∀xα: suponha (E, v) Í ∀xα. Fixado um b ∈ E , temos

que (E, [v]x 7→b) Íα. Agora, se y é uma variável livre em α e y 6= x então

[v]x 7→b(y) = [w]x 7→b(y)

pois v(y) = w(y); se y = x

[v]x 7→b(y) = [w]x 7→b(y) = b.

Portanto, (E, [w]x 7→b) Íα pois o teorema vale paraα. Como b é arbitrário, o argumento vale para

todo b, ou seja,

(E, w) Í∀xα.

A recíproca (se (E, w) Í∀xα então (E, v) Í∀xα) é demonstrada com argumentação análoga.

Pelo Princípio da Indução para fórmulas, o Teorema vale para toda fórmula de L .

Demonstração do corolário. Seja α uma sentença e E uma estrutura.

Se E 6Í α então, para algum v , (E, v) 6Í α. Assim, para alguma valoração v , (E, v) Í ¬α. Como α

não tem variáveis livres (E, w) ͬα, para qualquer valoração w . Portanto Eͬα. A recíproca é

análoga.

84

Exemplo 40. A sentença ∀x∀y (x = y) é falsa em qualquer modelo com pelo menos dois elementos

pois, se não for falsa será verdadeira e se esse é o caso então (M, v) Í ∀x∀y (x = y) sse caso então

(M, [v]x 7→a,y 7→b) Í x = y para todo a e todo b. Se o modelo tem pelo menos dois elementos então

podemos tomar a e b distintos, o que torna a sentença falsa.

Exercício 17. Demonstre usando indução para fórmula que se t é uma substituição admissível

para x em α então

(M , v) Í [α]tx sse (M , [v]x 7→v(t )) Íα.

Exercício 18. Verifique que os axiomas do sistema de Hilbert são verdades lógicas.

9.3. Consequência lógica e equivalência semântica. Sejam L uma linguagem, (E, v) uma es-

trutura para L e Γ⊂L um conjunto de fórmulas. Escrevemos

(E, v) Í Γ

e dizemos que (E, v) satisfaz Γ, se e só se,

(E, v) Íα para todo α ∈ Γ.

Numa linguagem L a fórmula α é consequência lógica (ou consequência semântica) de Γ, e

escrevemos

ΓÍαse para todo (E, v) tal que (E, v) Í Γ tem-se (E, v) Íα.

Exemplo 41. α,α→β ÍβSe (E, v) Í α,α→β então (E, v) Íα e (E, v) Íα→β ou seja

(1) (E, v) Íα e

(2) (E, v) ͬα ou (E, v) Íβ

mas (E, v) ͬα se, e só se, (E, v) 6Íα, portanto (E, v) Íβ.

Exercício 19. ∀xα,∀xα→β Í∀xβ

Exercício 20. ∀xαÍ [α]tx sempre que a substituição é admissível.

Metateorema 19. Sejam Γ um conjunto de fórmulas e α e β fórmulas, todos de uma linguagem

L .

Γ,αÍβ se, e só se, ΓÍα→β.

Demonstração. Assumimos a hipótese que Γ,αÍβ e provaremos ΓÍα→β.

Se (E, v) Í Γ temos

85

(1) (E, v) Íα: nesse caso, pela hipótese, (E, v) Íβ; ou

(2) (E, v) 6Íα: nesse caso, por definição (E, v) ͬα.

porém, (E, v) Íβ ou (E, v) 6Íα sse (E, v) Íα→β,

Portanto, ΓÍα→β.

Agora, assumimos que ΓÍα→β e provaremos Γ,αÍβ.

Se (E, v) Í Γ∪ α então (E, v) Íα→β. Pela consequência do exemplo anterior acima (E, v) Íβ.

Portanto, Γ,αÍβ.

Numa linguagem L α é semanticamente equivalente a β

α≡β

se

β Íα e α Íβequivalentemente

(E, v) Íα sse (E, v) Íβpara qualquer interpretação (E, v)

Exemplo 42.

∀x∀yα≡∀y∀xα

∀x(α∧β) ≡∀xα∧∀xβ

∃x∃yα≡∃y∃xα

∃x(α∨β) ≡∃xα∨∃xβ

¬(∀xα) ≡∃x¬α¬(∃xα) ≡∀x¬α

Exercício 21. Prove que α≡β é equivalente a Íα↔β.

9.4. Consistência, correção e completude. A correção do sistema de Hilbert afirma que todo

teorema da lógica de primeira ordem é logicamente válido. Seja Γ um conjunto de fórmulas da

lógica de primeira ordem.

Metateorema 20. Se Γ`α então α é verdadeira em todo modelo de Γ.

Um conjunto de fórmulas é consistente se não é possível deduzir uma contradição, o que equi-

vale a dizer que não é possível deduzir uma fórmula e deduzir sua negação.

Metateorema 21. Γ admite um modelo sse Γ é consistente.

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Um sistema dedutivo é chamado completo com respeito a semântica, ou semanticamente com-

pleto, se cada fórmula válida pode ser deduzida usando esse sistema.

Metateorema 22 (Teorema de completude de Gödel). ΓÍα sse Γ`α.

Exercícios.

(1) Na linguagem da aritmética LN com a estrutura canônica N e valoração v(x) = 2

(a) Verifique que (N, s) Í x =+(1,1).

(b) Diga para quais valorações a seguinte fórmula é verdadeira: (∃x(x+x = y)) → (∃y(y+x = y))

(2) Seja L uma linguagem de primeira ordem com constante a, função unária G , relação

unária R e relações binárias P,Q. Seja A a estrutura definida por

• D :=N• aA := 2;

• GA(n) := n +1;

• RA(n) := n ∈N : n é par;

• PA := (n,m) ∈N×N : n ≤ m;

• QA =;.

Para cada uma das proposições, indique se é verdadeira ou falsa na estrututra.

(a) ¬R(a) →∀x∀yQ(x, y); (b) ∀x(R(x) →∀xR(G(G(x)));

(3) Seja LF a linguagem dos corpos com constantes 0 e 1, símbolos funcionais + e ·. Chama-

remos de axiomas de corpo o seguinte conjunto de sentenças da linguagem LF :

(C1) 0 6= 1;

(C2) ∀x (x +0 = x);

(C3) ∀x ((x 6= 0) → (x ·1 = x));

(C4) ∀x∀y (x + y = y +x);

(C5) ∀x∀y (x · y = y · x);

(C6) ∀x∀y∀z ((x + y)+ z = x + (y + z));

(C7) ∀x∀y∀z ((x · y) · z = x · (y · z));

(C8) ∀x∃y (x + y = 0);

(C9) ∀x ((x 6= 0) →∃y (x · y = 1));

(C10) ∀x∀y∀z (x · (y + z) = (x · y)+ (x · z).

(3.1) Considere a estrutura U do exemplo proposto em aula (E = 1,2,3). Mostre

que U satisfaz todos os axiomas de corpo.

(3.2) Considere a estrutura do exercício anterior e v uma valoração satisfazendo

v(x) = 1, v(y) = 2 e v(z) = 3. Verifique quais das seguintes fórmulas abaixo são verda-

deiras na interpretação (U, v)

(a) x + y = 0; (b) ∀y((y 6= 0) → (y · x =y));

(c) ∀x(x ·0 = 0);

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(3.3) Para cada fórmula α contendo variáveis livres do exercício anterior, considere

o fecho universal de α a sentença ∀x∀y∀z(α). Verifique se essas sentenças são verda-

deiras no modelo N do exercício 3.1.

(3.4) Verifique que a estrutura R= (R,0,1,+, ·) satisfaz os axiomas de corpo.

(4) Seja LG a linguagem dos grupos com constante e e símbolo funcional e axiomas

(G1) ∀x ((x e = x)∧ (e x = x));

(G2) ∀x∃y (x y = e);

(G3) ∀x∀y∀z (x (y z) = (x y) z).

(a) Seja α a sentença ∀x (x x = e).

Mostre que a sentença α é independente dos axiomas de grupo mostrando uma

interpretação para G1,G2,G3,α e outra interpretação para G1,G2,G3,¬α.

(b) Tome G a seguinte estrutura para LG

• D := 1,2;

• eG := 1;

•G 1 2

1 1 2

2 2 1Verifique se os axiomas são verdadeiros nesse modelo.

(5) Justifique as equivalências

∀x(φ∧ψ) ≡ ∀xφ∧∀xψ

∃xφ∨∃xψ ≡ ∃x(φ∨ψ)

∀x∀yϕ ≡ ∀y∀xϕ

∃x∃yϕ ≡ ∃y∃xϕ

(6) Considere a linguagem de primeira ordem com o predicados unários r, p, o predicado

binário q , as constantes a,b,c e os símbolos funcionais f e g , unário e binário, respecti-

vamente.

(a) Indentifique quas das expressões a seguir são fórmulas:

(i) r (a);

(ii) r ( f );

(iii) r (g (x, f (a)))∧ r ( f (y)) → x = y ;

(iv) r (x) →∀y(t (y));

(v) ∀x(∃y(r ( f (x)) →¬r (g (y, x))))

(b) Considere a estrutura E dada por

• E = 1;

• r E = pE = 1 ;

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• qE = (1,1) ;

• aE = bE = cE = 1;

• f E : E → E , f E (x) = 1;

• g E : E ×E → E , g E (x, y) = x.

Verificar se as sentenças a seguir são verdadeiras

(i) ∀x1(∃x2(q(x1, x2) → (r (x2)∧ (x1 = g (x2,c))))).

(ii) ∀x(r (x));

(iii) ∀x(r (x) → r (x));

(iv) ∀x(q(x, x) → q(x, x));

(v) ∃x(p( f (x)) → r (x));

(c) Construa, se possível, uma estrutura para cada sentença ϕ acima de modo que E 6Íϕ.

(7) Podemos dividir as fórmulas de uma linguagem de primeira ordem L em

primitiva: formada pelas fórmulas atômicas de L e as fórmulas da forma ∀xα de L .

Denote por V P o conjunto das fórmulas primitivas.

não-primitiva: formada pelas fórmulas da forma ¬α de L e as fórmulas da forma

α∧β e α∨β de L (os outros conectivos são abreviações).

Assim, qualquer fórmula de L é construída a partir das fórmulas primitivas pelas ope-

rações de negação, conjunção e disjunção.

Agora, considerando a Lógica Proposicional e tomando para as variáveis proposici-

onais as fórmulas primitivas do conjunto V P temos que as fórmulas da linguagem L

também são fórmulas da Lógica Proposicional.

Por exemplo, (∀y ¬P (y) →¬P (x)) → (P (x) →¬∀y ¬P (y)) é uma tautologia proposici-

onal∀y ¬P (y) P (x) ¬∀y ¬P (y) ¬P (x) (∀y ¬P (y) →¬P (x)) → (P (x) →¬∀y ¬P (y))

0 0 1 1 1

0 1 1 0 1

1 0 0 1 1

1 1 0 0 1

Por outro lado, ∀x(P (x) → P (x)) não é tautologia (é uma fórmula atômica proposicio-

nal).

(a) Justifique que ∀x P (x) Í P (a) na semântica dos predicados mas que ∀x P (x) 6Í P (a)

na semântica das proposições.

(b) Dado (M , v) para L defina uma interpretação (da lógica proposicional)

v : V P → 0,1

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que atribui um valor-verdade para cada fórmula primitiva pondo

v(α) = 1 sse (M , v) Íα.

Demonstre que a (única) valoração V : L → 0,1 que estende v satisfaz

V (α) = 1 sse (M , v) Íα.

(c) Use o exercício anterior para provar que se

ΓÍα na semântica proposicional

então

ΓÍα na semântica dos predicados.

Vale a recíproca?

(8) Pelo teorema da Completude cada sentença ou tem um prova ou tem um contra-modelo

(um modelo no qual a sentença é falsa). Para cada sentença dê uma prova ou um contra-

modelo:

(a) ∀x (Q(x) →∀y Q(y))

(b) (∃x P (x) →∀y Q(y)) →∀z (P (z) →Q(z))

(c) ∀z (P (z) →Q(z)) → (∃x P (x) →∀y Q(y))

(d) ¬∃y∀x(P (x, y) →¬P (x, x))