1 Demonstrações: linguagem

O trabalho dos matemáticos, de um modo geral, é descobrir e comunicar cer-

tas verdades e uma demonstração é um argumento cujo objetivo é convencer

outras pessoas de que algo é verdade. As demonstrações que aparecem em

artigos de periódicos de matemática, e até em livros didáticos, são apresen-

tadas para alguém que já conhece a linguagem da matemática. A linguagem,

propriamente dita, usada nas demostrações, é uma linguagem natural como

o português e o inglês, porém tais linguagens podem levar a ambiguidades e

paradoxos1. Para evitar ambiguidades, na matemática usamos palavras como

“ou”, “se” e outras com um significado muito específico e que nem sempre é

o significado usual. Além disso, há uma certa gramática subjacente, algumas

construções baseadas em princípios lógicos, que estão presentes nas demons-

trações. Enfim, se corretamente apresentada, uma demonstração não contêm

ambiguidade, não deixa dúvidas quanto ao sua correção o que dá a linguagem

matemática a propriedade notável da sua precisão.

O estudo formal das deduções matematicamente válidas é feito na lógica

matemática. Os lógicos constroem linguagens formais, rigorosas e livres de

ambiguidades e de contexto, adequadas para lidar com a relação de consequên-

cia. Essas linguagens possuem duas dimensões relevantes, a sintática que de-

fine os símbolos da linguagem e as regras de combinação às quais estão sujeitos

para a construção dos termos e fórmulas e a semântica define precisamente o

significado das fórmulas. Além disso, um sistema lógico especifica os axiomas

e as regras de inferência que independem da semântica e são usados para de-

duzir os teoremas lógicos.

1Um desses paradoxos é o famoso paradoxo de russell, de 1901, que leva a uma contradição

no sistema que formalizava a teoria dos conjuntos na época: seja U o conjunto formado pelos

conjuntos que não pertencem a eles mesmos, { X : X �∈ X }. o conjunto U pertence a ele mesmo?

Esse e outros problemas culminaram, no início do século 20, na crise dos fundamentos da

matemática.

1

Nós não utilizamos essa linguagem formal no dia-a-dia em Matemática,

isso deixaria tudo muito árido mas, como já dissemos, existe uma convenção

linguística quase universal na escrita em linguagem natural nas proposições

matemáticas que nos faz aceitar as formas como rigorosas e não ambíguas.

Neste capítulo abordamos tal linguagem matemática trazendo alguns con-

ceitos da lógica de primeira ordem mas de modo não-formal2.

1.1 Sentenças, conectivos e operadores lógicos

Definição 1. Uma sentença é uma frase declarativa que assume um, e só um, de

dois valores: VERDADEIRO que passamos a denotar por V ou FALSO que passamos

a denotar por F. O valor de uma sentença é chamado de valor-verdade ou valor-

lógico da sentença.

Por exemplo, são sentenças:

1. O time joga bem.

2. O céu está limpo.

3. A grama é verde.

4. Os torcedores estão felizes.

Do ponto de vista da linguagem natural isso é bastante restritivo, mas estamos

mais interessado nos enunciados matemáticos:

5. 1+1 = 2.

6. 3 > 5.

7. Uma sequência limitada de de números reias é convergente.

2Em oposição ao formal da linguagem da lógica.

2

8. 27 é um quadrado perfeito.

9. O conjunto vazio é único.

Não são sentenças:

10. x2 é positivo.

11. x é a soma de quatro quadrados perfeitos.

12. Essa frase é falsa.

13. Vá estudar Matemática Discreta.

Toda linguagem permite construir sentenças mais complexas a partir de

outras sentenças.

Definição 2. Uma sentença é dita atômica se a ela corresponde, individual-

mente, um desses valores-verdade. Sentenças compostas são construídas com

os conectivos “não”, “e”, “ou”, “se,então”, “se, e somente se,” que chamamos co-

nectivos lógicos.

São sentenças atômicas o caso de “O time ganhou o campeonato” e o “O

técnico é culpado” mas não é o caso de “O time ganhou o campeonato ou o

técnico é o culpado”, essa última é composta. Vejamos mais alguns exemplos:

1. Os torcedores estão felizes e o técnico foi demitido.

2. Samuel virá para a festa e Maximiliano não virá, ou Samuel não virá para

a festa e Maximiliano vai se divertir.

3. Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato.

4. Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado.

5. 27 não é um quadrado perfeito.

3

6. O conjunto vazio não é único.

O valor lógico de uma sentença composta depende do valor lógico das sen-

tenças atômicas que a compõem e da maneira como elas são combinadas pelos

conectivos de acordo com as regras abaixo. A cada conectivo corresponde um

operador lógico.

Definição 3. As letras A e B denotam sentenças. A negação de A é a sentença

“não A” cujo valor-verdade é ¬A dado pela tabela 1. A disjunção de A e B é a

A ¬A

V F

F V

Tabela 1: operador negação.

sentença “A ou B” cujo valor-verdade é A∨B dado pela tabela 2. A conjunção é

a sentença “A e B” cujo valor-verdade é A∧B dado pela tabela 2. A condicional

A B A∨B A∧B A → B A ↔ B

V V V V V V

V F V F F F

F V V F V F

F F F F V V

Tabela 2: operadores conjunção, disjunção e bicondicional.

é a sentença “se A então B” cujo valor-verdade é A → B dado pela tabela 2. A

bicondicional é a sentença “A se, e somente se B” cujo valor-verdade é A ↔ B

dado pela tabela 2.

Esse é o modo como interpretamos essas palavras chaves e essa interpre-

tação as vezes entra em conflito com interpretações coloquiais. O “e”, em ge-

ral, não causa confusão exceto, possivelmente, pelo estilo de escrita. As vezes

4

pode ocorrer uma confusão por abreviações na escrita. Por exemplo, quando

dizemos que “5 é um natural primo e ímpar” significa que 5 tem as duas pro-

priedades, porém o conectivo “e” com sentido lógico conecta sentenças (não

objetos ou propriedades deles) de modo que tal sentença expressa “n é um na-

tural primo e n é um natural ímpar”. A sentença a “se 7 é primo e divide 28 ·9,

então 7 divide 28 ou divide 9” está melhor exprimida por “se 7 é primo e 7 divide

28 ·9, então 7 divide 28 ou 7 divide 9”.

No caso do “ou” o equivoco comum é considerar o “ou exclusivo” no sentido

de que a disjunção é verdadeira quando ou uma ou a outra sentença é verda-

deira, não ambas. O “não”, por sua vez, é mal interpretado quando mudamos o

significado na negação. Por exemplo, a rigor a negação de “o natural n é par” é

“o natural n não é par” que não pode, em princípio, ser tomada como “o natural

n é ímpar”, essa equivalência só vale como consequência do teorema da divisão

que garante que se um natural não é da forma 2k, então é da forma 2k +1.

Veremos que “A está contido em B” significa que “todo elemento de A é

elemento de B” cuja negação não é “nenhum elemento de A é elemento de

B”, a sentença negada é “A não está contido em B” e significa que “nem todo

elemento de A é elemento de B” ou “algum elemento de A não é elemento de

B”.

1.1.1 O condicional

É no conectivo condicional que se dá a maior diferença entre os significados

em matemática e o coloquial.

Se os pais dizem ao seu filho “se não comer toda a refeição, então não ganha

a sobremesa” a única situação em que os pais ficam desmoralizados é quando

o filho não come toda a refeição e ganha a sobremesa. A confusão aqui nor-

malmente se dá quando “se não comer toda a refeição, então não ganha a so-

bremesa” é interpretado também como “se comer toda a refeição, então ganha

a sobremesa” o que a rigor não está dito. Não foi estabelecido o que ocorre

5

quando o filho come toda a refeição de modo que se ele ganha a sobremesa,

está tudo correto, os pais estão sendo verdadeiros e se ele não ganha a sobre-

mesa também está tudo correto. Certamente, se o filho não comer toda a refei-

ção e não ganhar a sobremesa também os pais foram honestos.

Outro problema ocorre quando interpretamos a condicional como uma con-

sequência, uma relação de causa-efeito entre as sentenças, o que não é.

Exercício 1. Quais das condicionais a seguir são verdadeiras?

se�

2 ∈Q, então 2 é par.

se�

2 ∈Q, então 2 é ímpar.

se�

2 �∈Q, então 2 é par.

se�

2 �∈Q, então 2 é ímpar.

Definição 4. Em A → B chamamos A de antecedente e B de consequente da

condicional. A recíproca de A → B é B → A. Observe que que há casos em que

A → B tem valor lógico diferente de B → A. A contrapositiva de A → B é (¬B) →(¬A). Pode-se verificar que contrapositiva tem sempre o mesmo valor lógico que

a sentença que a originou.

Em português, “se A então B” pode ser expresso de muitas formas. Algumas

delas estão descritos abaixo.

• B sempre que A.

• B se A.

• A é suficiente para B .

• B é necessário para A.

O “se e somente se” também pode ser expresso de várias maneiras, dentre

elas

6

• A é condição necessária e suficiente para B .

• A e B são equivalentes.

• se A então B , e se B então A.

As vezes usamos a abreviação ”A sse B”.

1.1.2 Tautologia e Contradição

Tautologia e contradição é como chamamos as sentenças compostas com valor-

lógico constante.

Definição 5. Uma tautologia é uma sentença composta que é sempre verda-

deira. Uma contradição é uma sentença composta que é sempre falsa.

Por exemplo A ∨ (¬A) e (A → B) ↔ ((¬A)∨B) são tautologias e A ∧¬A é

uma contradição. Uma tautologia qualquer, genérica, é denotada por V e uma

contradição qualquer, genérica, por F.

1.1.3 Predicados

Uma sentença aberta é uma sentença parametrizada por uma ou mais variá-

veis. Cada variável deve estar associada a um domínio não-vazio de onde em-

presta valores. Uma sentença aberta não tem valor lógico, porém quando às

variáveis são atribuídos valores de seu domínio a sentença deixa de ser aberta

e passa a ser um sentença com valor lógico.

Entendemos por predicado uma declaração a respeito de uma ou mais va-

riáveis. Por exemplo, “x é primo”, “x é maior que 0”, “x é menor ou igual a y”,

“x, y, z são vértices de um triângulo”, “x < 1” é predicado enquanto que “x +1”

não é predicado.

Usamos a notação funcional para sentenças predicativas, letras minúscu-

las x, y, z, . . . denotam variáveis e letras maiúsculas P,Q,R, . . . os predicados, os

7

quais são seguidas por uma lista de variáveis distintas entre parênteses, usados

para denotar sentenças abertas que dependem dessas variáveis, por exemplo

O(x): representa x � x2.

P (x): representa x é primo.

Q(x, y): representa x � y2.

Nesse casos, uma instanciação de uma variável troca todo ocorrência da va-

riável pela instância: O(1) é “1 � 12”, P (4) é “4 é primo” e Q(1,2) e “1 � 22”. A

senteça Q(1, y) é “1 � y2”, portanto aberta. Se instanciamos todas as variáveis

de uma sentença aberta ela deixa de ser aberta e passa a ter valor-verdade, por

exemplo, R(x, y) dada por x > y é uma sentença verdadeira se os valores de x e

y forem 7 e 4 (i.e., R(4,7) é verdadeiro), mas é falsa se os valores forem x = 1 e

y = 2 (i.e., R(1,2) é falso).

De um modo geral, dado um predicado P (x1, x2, . . . , xn), usamos a notação

P (v1, v2, . . . , vn) para indicar a substituição de todas as ocorrências da variável

xi pelo valor vi , para todo i = 1,2, . . . ,n.

Podemos combinar predicados usando os conectivos lógicos para formar

outros predicados.

1.1.4 Quantificadores

A substituição de variáveis por valores do domínio D não é a única maneira de

transformar uma sentença aberta em uma sentença. Outra maneira é a cha-

mada quantificação. A quantificação permite expressar conceitos como “todos

os elementos de D” ou “alguns elementos de D”. O primeiro é chamado quan-

tificação universal e segundo de quantificação existencial.

Definição 6. A quantificação universal de P (x) é a sentença

par a todo x ∈ D, P (x) (1)

8

que é verdadeira se P (x) é verdadeiro para toda instanciação de x com valores de

um domínio D �=∅. Caso P (x) seja falsa para um ou mais valores atribuídos a x

então a sentença (1) é falsa. A sentença (1) é, simbolicamente, denotada por

∀x ∈ D, P (x).

Um elemento de D para o qual P é falso um contraexemplo para (1)

Por exemplo, “para todo x ∈ Z, x < x +1” é verdadeira enquanto que “para

todo x ∈N, x é primo” é falsa pois, por exemplo, 4 ∈ N e 4 não é primo. Nesse

caso, dizemos que 4 é um contraexemplo para “para todo x ∈N, x é primo”.

Omissão de quantificadores As vezes, infelizmente, há textos que omitem

quantificadores que deveriam estar presentes. Estes estão implícitos, por exem-

plo, nos seguintes exemplos. No domínio do reais a afirmação “se x é inteiro,

então x é racional” é uma sentença implicitamente quantificada universalmente

que, simbolicamente, pode ser escrita como ∀x ∈ R, (x ∈ Z → x ∈ Q) assim

como a identidade trigonométrica sin2(x)+ cos2(x) = 1 que deve ser expressa

como para todo x ∈R, sin2(x)+cos2(x) = 1.

Definição 7. A quantificação existencial da sentença aberta P (x) é a sentença

exi ste x ∈ D, P (x) (2)

que é verdadeira se P (x) é verdadeiro para pelo menos uma instanciação de x

com valores de D �=∅. Caso P (x) seja falsa para todos os valores de D atribuídos

a x então a sentença existe x ∈ D, P (x) é falsa. Simbolicamente, usamos

∃x ∈ D, P (x)

para expressar (2).

Por exemplo, existe x ∈Z, x = x+1 é falsa enquanto que existe x ∈N, x é primo

é verdadeira.

9

Exemplo 1. São exemplos de sentenças quantificadas e em símbolos.

1. Todo o número inteiro que não é ímpar é par

∀n ∈Z,¬(n é impar) → (n é par)

ou ainda,

∀n ∈Z(¬∃k ∈Z,n = 2k +1 →∃k ∈N,n = 2k).

2. Para cada número real x, existe um número real y para o qual y3 = x

∀x ∈R, ∃y ∈R, y3 = x.

3. Dado qualquer dois números racionais a e b, segue-se que ab é racional

∀a ∈Q, ∀b ∈Q, ab ∈Q.

4. Existe um natural n para o qual n2 = 2

∃n ∈N, n2 = 2.

Defina os predicados P (x) : x ≥ 0, Q(x) : x2 ≥ 0 e R(x) : x2 > 3.

1. ∀x ∈R, se x ≥ 0 então x2 ≥ 0, ou

∀x ∈R(P (x) →Q(x)).

2. existe x ∈R, se x ≥ 0 então x2 ≥ 0, ou

∃x ∈R(P (x) →Q(x)).

Ambas as sentenças anteriores são verdadeiras. Agora

∀x ∈R(P (x) → R(x))

é falso e para mostrar isso basta exibirmos um contraexemplo, um valor a do

domínio (a ∈R) para o qual P (a) → R(a) é falso, como o 0.

10

Múltiplos quantificadores Se uma sentença aberta menciona mais de uma

variável, é preciso um quantificador para cada variável distinta para transformá-

la numa sentença fechada. Por exemplo, no domínio dos inteiros há oito ma-

neiras de transformar a sentença aberta x+y = y+x em uma sentença fechada:

1. ∀x ∈Z, ∀y ∈Z(x + y = y +x)

2. ∀x ∈Z, ∃y ∈Z(x + y = y +x)

3. ∃x ∈Z, ∀y ∈Z(x + y = y +x)

4. ∃x ∈Z, ∃y ∈Z(x + y = y +x)

5. ∀y ∈Z, ∀x ∈Z(x + y = y +x)

6. ∀y ∈Z, ∃x ∈Z(x + y = y +x)

7. ∃y ∈Z, ∀x ∈Z(x + y = y +x)

8. ∃y ∈Z, ∃x ∈Z(x + y = y +x)

Em sentenças com mais de uma variável a ordem em que os quantificadores

aparece é importante. Por exemplo, se x e y são inteiros

para todo x ∈Z, existe y ∈Z, (x + y = 0) (3)

não é logicamente equivalente a

existe y ∈Z, para todo x ∈Z, (x + y = 0) (4)

pois (3) é verdadeiro enquanto que (4) é falso. Entretanto, em alguns casos vale

a equivalência. Por exemplo,

para todo x ∈N, existe y ∈N, x divide y

é verdadeira, assim como

existe y ∈N, para todo x ∈N, x divide y

11

pois, no segundo caso todo x ∈N divide o 0.

Sempre podemos trocar a ordem de dois ou mais quantificadores do mesmo

tipo.

Ao escrever (e ler) demonstrações de teoremas nós devemos estar sempre

atentos à estrutura lógica e ao significados das sentenças. Às vezes é necessário

(ou ao menos útil) escrevê-las em expressões que envolvem símbolos lógicos.

Isso pode ser feito mentalmente ou em papel de rascunho, ou ocasionalmente,

mesmo explicitamente dentro do corpo de uma prova. Entretanto, deve-se ter

em mente que simbolizar uma sentença não a torna mais formal ou mais cor-

reta, apena ajuda na compreensão da sua estrutura lógica.

Exercício 2. Escreva a seguintes sentenças em português e diga se são verdadeiras

ou falsas.

1. ∀x ∈R, x2 > 0.

2. ∀x ∈R, ∃n ∈N, xn � 0

3. ∃a ∈R, ∀x ∈R, ax = x.

4. ∀n ∈Z, ∃m ∈Z, m +n = 5.

5. ∃m ∈Z, ∀n ∈Z, m +n = 5.

1.2 A implicação lógica

Intuitivamente, as duas sentenças a seguir parecem corretas.

1. “Se a sentença ‘Joaquim é alto e Manoel é baixo’ é verdadeira, então a

sentença ‘Joaquim é alto’ é verdadeira”.

2. “A sentença ‘A é um conjunto finito ou f é uma função contínua’ sendo

verdadeira é equivalente à sentença ‘ f é uma função contínua ou A é um

conjunto finito’ ser verdadeira.”

12

Formalmente são metassentenças, sentenças que diz algo respeito de sen-

tenças. Na prática, do ponto de vista informal que adotamos, a distinção entre

sentenças e meta-sentenças é simples.

P →Q é uma sentença composta construída a partir de Pe Q.

P ⇒Q é uma metassentença que é uma abreviação da expressão em português

“P implica Q” e significa que P →Q é uma verdade que não depende dos

valores lógicos de P e de Q.

Definição 8. Sejam A e B sentenças. Dizemos que A implica logicamente B se

A → B é uma tautologia e escrevemos A ⇒ B. Nesse caso, dizemos também que

B é uma consequência lógica de A.

Mais geralmente, sejam P1,P2, . . . ,Pn e Q sentenças. Dizemos que essas sen-

tenças P1,P2, . . . ,Pn implicam logicamente Q se P1 ∧P2 ∧ · · ·∧Pn → Q é uma

tautologia e escrevemos P1 ∧P2 ∧ · · ·∧Pn ⇒Q.

Por exemplo, se A → B é verdadeira, sua conclusão B pode ser verdadeira

ou falsa; mas se tanto a implicação quanto a hipótese A são verdadeiras, então

a conclusão B deve ser verdadeira, isto é

A∧ (A → B) ⇒ B.

Notemos que se A ⇔ B então A ↔ B é tautologia, portanto, A → B é tauto-

logia e B → A é tautologia, ou seja A ⇒ B e B ⇒ A. Reciprocamente, se A ⇒ B e

B ⇒ A então A → B é tautologia e B → A é tautologia, ou seja, A ↔ B é tautolo-

gia, logo A ⇔ B .

Exemplo 2. Considere as sentenças

A é “Mané estuda”

B é “Mané joga futebol”

C é “Mané passa em discreta”

Então A →C , (¬B) → A, (¬C ) têm como consequência lógica B.

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Adição A ⇒ A → B

SimplificaçãoA∧B ⇒ A

A∧B ⇒ B

Modus ponens A∧ (A → B) ⇒ B

Modus tollens (A → B)∧ (¬B) ⇒¬A

Silogismos(A → B)∧ (B →C ) ⇒ A →C

(A∨B)∧ (¬A) ⇒ B

Contradição A → F ⇒¬A

Distributiva para

quantificadores

(∀xP (x))∨ (∀xQ(x)) ⇒ ∀x (P (x)∨Q(x))

∃x (P (x)∧Q(x)) ⇒ (∃xP (x))∧ (∃xQ(x))

Tabela 3: Consequências lógicas notáveis.

A tabela 3 a seguir lista algumas consequências lógicas notáveis.

Além dessas, há ainda consequências lógicas para quantificadores. Sejam

P (x) e Q(x) sentenças abertas

1. (∀xP (x))∨ (∀xQ(x)) ⇒∀x (P (x)∨Q(x)).

2. ∃x (P (x)∧Q(x)) ⇒ (∃xP (x))∧ (∃xQ(x)).

14

No exemplo 2

1. A →C premissa

2. ¬C premissa

3. ¬B → A premissa

4. ¬C →¬A contrapositiva de 1

5. ¬A Modus ponens de 2 e 4

6. ¬A →¬(¬B) contrapositiva de 3

7. ¬(¬B) modus ponens de 5 e 6

8. B dupla negação

A partir da linha 4, cada linha é consequência lógica das linhas anteriores, por-

tanto, B é consequência lógica das premissas.

1.2.1 Equivalência lógica

Definição 9. Duas sentenças A e B são logicamente equivalentes se assumem o

mesmo valor-verdade. A notação é A ⇔ B.

As sentenças abertas P (x) e Q(x) são logicamente equivalentes se P (a) ↔Q(a) é tautologia para todo a ∈ D, e escrevemos ∀x(P (x) ⇔Q(x)).

A ⇔ B é o mesmo que dizer que A ↔ B é tautologia. Note que ↔ é um

conectivo, ele “conecta” sentenças enquanto que ⇔ é uma abreviação, conecta

frases que assertam sobre sentenças que chamamos de metassentenças.

Por exemplo (A → B) ⇔ (¬A ∨B) e (A ↔ B) ⇔ (A → B)∧ (B → A). As leis

de equivalências dadas na tabela 4 a seguir são leis básicas usadas para deduzir

outras.

Exercício 3. Verifique usando as leis da tabela 4 que (A ∨B)∧¬(¬(A)∧B) é lo-

gicamente equivalente a A.

15

IdentidadeA∧V ⇔ A

A∨F ⇔ A

IdempotênciaA∨ A ⇔ A

A∧ A ⇔ A

DistributivaA∧ (B ∨C ) ⇔ (A∧B)∨ (A∧C )

A∨ (B ∧C ) ⇔ (A∨B)∧ (A∨C )

ComutativaA∨B ⇔ B ∨ A

A∧B ⇔ B ∧ A

AssociativaA∨ (B ∨C ) ⇔ (A∨B)∨C

A∧ (B ∧C ) ⇔ (A∧B)∧C

AbsorçãoA∨ (A∧B) ⇔ A

A∧ (A∨B) ⇔ A

De Morgan¬(A∨B) ⇔ ¬A∧¬B

¬(A∧B) ⇔ ¬A∨¬B

DominaçãoA∨V ⇔ V

A∧F ⇔ F

InversasA∨ (¬A) ⇔ V

A∧ (¬A) ⇔ F

Dupla negação ¬(¬(A)) ⇔ A

Contrapositiva A → B ⇔ (¬B) → (¬A)

Contradição A → B ⇔ (A∧ (¬B)) → F

Distributiva para

quantificadores

∀x (P (x)∧Q(x)) ⇔ (∀xP (x))∧ (∀xQ(x))

∃x (P (x)∨Q(x)) ⇔ (∃xP (x))∨ (∃xQ(x))

Negação¬(∀x, P (x)) ⇔ ∃x, ¬(P (x))

¬(∃x, P (x)) ⇔ ∀x, ¬(P (x))

Tabela 4: Equivalências lógicas notáveis.

16

Resolução.

(A∨B)∧¬(¬(A)∧B) motivo

⇔ (A∨B)∧ (¬¬(A)∨¬(B)) De Morgan

⇔ (A∨B)∧ (A∨¬(B)) dupla negação

⇔ (A∨ (B ∧¬(B)) distributiva

⇔ (A∨F) inversa

⇔ A identidade

Exercício 4. Verifique que ¬(A → B) ⇔ A∧¬(B).

1.2.2 Regras de Inferência e Argumentos válidos

Definição 10. labeldef:argumento Um argumento é uma sequência P1,P2, . . . ,Pn

de sentenças, ditas premissas que terminam com uma sentença dita conclusão

Q (o que indicamos pelo símbolo ∴, que lê-se portanto)

P1

P2...

Pn

∴Q

O argumento é válido se, e só se, (P1∧P2∧· · ·∧Pn) ⇒Q, isto é, equivalentemente

(P1 ∧P2 ∧ · · ·∧Pn) →Q é verdadeiro.

Regras de inferência são esquemas de argumentos válidos simples que usa-

mos para para construir argumentos válidos mais complexos.

Por exemplo,

17

Se você tem uma senha, então você pode fazer logon no facebook.

Você tem uma senha.

Portanto, você pode fazer logon no facebook.

é um argumento válido porque se encaixa na lei de modus ponens dada na ta-

bela 3, o argumento

P →Q

P

∴Q

é uma regra de inferência chamada Modus Ponens. Cada caso lei dada na ta-

bela 3 nos dá uma regra de inferência:

1. Regra da Adição Se P é uma premissa, podemos derivar P ∨Q

P

∴ P ∨Q

2. Regra da Simplificação Se P ∧Q é uma premissa, podemos derivar P

P ∧Q

∴ P

3. Modus ponens

P →Q

P

∴Q

4. Modus tollens Se P →Q e¬Q são duas premissas, podemos usar o modus

tollens para derivar ¬P

P →Q

¬Q

∴¬P

18

Por exemplo

Se você tem uma senha, então você pode fazer logon no facebook.

Você não pode fazer logon no facebook.

Portanto, você não tem uma senha.

5. Regra do silogismo hipotético Se P → Q e Q → R são duas premissas,

podemos usar o silogismo hipotético para derivar P → R

P →Q

Q → R

∴ P → R

6. Regra do silogismo disjuntivo Se ¬P e P ∨Q são duas premissas, pode-

mos usar o silogismo disjuntivo para derivar Q

P ∨Q

¬P

∴Q

7. Regra da contradição Se ¬P → F então deduzimos P

¬P → F

∴ P

8. Regra da conjunção Se temos P e temos Q então temos P ∧Q

P

Q

∴ P ∧Q

Podemos usar essa regras para escrever outras regras, ou argumentos váli-

dos. O seguinte é um argumento válido

19

¬P →Q

Q → S

P → R

∴¬R → S

Resolução. Vejamos

passo proposição justificativa

1. ¬P →Q premissa

2. Q → S premissa

3. P → R premissa

4. ¬R →¬P contrapositiva de 3

5. ¬R →Q Silogismo hipotético de 4 e 1

6. ¬R → S Silogismo hipotético de 5 e 2

Exercício 5. Preste atenção nesse caso:

se�

2 > 3/2 então 2 > 9/4�

2 > 3/2

∴ 2 > 9/4

o argumento é válido?

Regras de inferência para quantificadores

9. Instanciação universal Se ∀x, P (x) então P (c) sempre que c é um ele-

mento do domínio

∀x,P (x)

∴ P (c)

10. Generalização universal Se P (c) para um elemento c arbitrário do domí-

nio então ∀x, P (x)

20

P (c) para c arbitrário

∴∀x,P (x)

11. Instanciação existencial Se ∃x, P (x) então P (c) para algum elemento c

do domínio

∃x,P (x)

∴ P (c)

12. Generalização existencial Se P (c) para algum c particular, então ∃x, P (x)

P (c) para algum c particular

∴ ∃x, P (x).

Exemplo 3. Consideremos a sentença aberta n2 = n. Usando a generalização

universal para c = 0

02 = 0

∴∀n ∈N, n2 = n

o que não é válido porque 0 não é um natural arbitrário.

Por exemplo, o seguinte argumento é válido

∀x(P (x) →Q(x))

∀x(Q(x) → R(x))

∴∀x(P (x) → R(x))

Vejamos

passo proposição justificativa

1. ∀x(P (x) →Q(x)) premissa

2. ∀x(Q(x) → R(x)) premissa

3. P (c) →Q(c) instanciação universal de 1

4. Q(c) → R(c) instanciação universal de 2

5. P (c) → R(c) Silogismo hipotético de 3 e 4

6. ∀x(P (x) → R(x)) generalização universal.

21

Da regra da conjunção podemos mostrar que ∃x ∈ D, (P (x)∧Q(x)) ⇒ (∃x ∈D,P (x))∧ (∃x ∈ D,Q(x)). Vejamos

passo proposição justificativa

1. ∃x, (P (x)∧Q(x)) premissa

2. P (c)∧Q(c) instanciação existencial de 1

3. P (c) simplificação de 2

4. Q(c) simplificação de 2

5. ∃x,P (x) generalização existencial de 3

6. ∃x,Q(x) generalização existencial de 4

7. (∃x,P (x))∧ (∃x,Q(x)) conjunção.

No próximo exercício suponha que há um domínio associado sem se preo-

cupar com o que de fato é tal conjunto (pode ser o conjunto de todos os animais

conhecidos, por exemplo).

Exercício 6 (Lewis Carrol). Verfique se o seguinte argumento é válido:

Todos os leões são selvagens.

Alguns leões não bebem café

Portanto, alguma criatura selvagem não bebe café.

Solução. Consideremos Matata um elemento do domínio.

passo proposição justificativa

1. ∀x, (L(x) → S(x)) premissa

2. ∃x, (L(x)∧¬C (x)) premissa

3. L(M at at a)∧¬C (M at at a)) instanciação universal de 2

4. L(M at at a) simplificação de 3

5. ¬C (M at at a) simplificação de 3

6. (L(M at at a) → S(M at at a)) instanciação universal de 1

7. S(M at at a) Modus Ponens de 4 e 6

8. S(M at at a)∧¬C (M at at a) conjunção de 5 e 7

9. ∃x(S(x)∧¬C (x)) generalização existencial

22

Exercício 7 (Modus ponens universal). Verifique se o seguinte argumento que

combina instanciação universal com Modus Ponens é válido:

∀x(P (x) →Q(x))

P (a)

∴Q(a)

Exercício 8. Verifique a validade das seguintes regras de inferência:

1. Resolução

P ∨Q

¬P ∨R

∴Q ∨R

2. Prova por casos

P →Q

R →Q

P ∨R

∴Q

Exercícios

1. Sejam P e Q as sentenças “a eleição foi decidida” e “os votos foram con-

tados”, respectivamente. Expresse cada uma das sentenças simbólicas

abaixo como uma sentença em português

(a) ¬P

(b) ¬(P )∧Q

(c) (¬P ) → (¬Q)

(d) (¬Q)∨ ((¬P )∧Q)

2. Considere que P , ¬Q e R sejam sentenças verdadeiras. Verifique quais

das afirmações são verdadeiras.

(a) P →Q

23

(b) Q → P

(c) P → (Q ∨R)

(d) P ↔Q

(e) P ↔ R

(f) (P ∨Q) → P

3. Verifique que

(a) há casos em que P → Q é verdadeira, mas sua recíproca Q → P é

falsa; e vice-versa;

(b) há casos em que P → Q é verdadeira, mas sua inversa (¬P ) → (¬Q)

é falsa;

(c) a sentença P → Q e sua contrapositiva (¬Q) → (¬P ) têm sempre o

mesmo valor lógico.

4. A sentença (A → B)∧ (A →¬B) é uma contradição?

5. Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica, definindo e atribuindo

símbolos aos predicados e definido os domínios dos quantificadores.

(a) Todos os estudantes gostam de lógica.

(b) Alguns estudantes não gostam de lógica.

(c) Cada pessoa tem uma mãe.

(d) Entre todos os inteiros exitem alguns que são primos.

(e) Um dia do próximo mês é domingo.

(f) Alguns inteiros são pares e divisíveis por 3.

(g) Alguns inteiros são pares ou divisíveis por 3.

(h) x2 −14 = 0 tem uma solução positiva.

24

(i) Toda solução de x2 −14 = 0 é positiva.

(j) Nenhuma solução de x2 −14 = 0 é positiva.

(k) Existe algum estudante de direito que não é brasileiro.

(l) Todo estudante de direito tem um celular.

(m) Ninguém é perfeito.

(n) Alguém é perfeito.

(o) Todos os nossos amigos são perfeitos.

(p) Algum de nossos amigos é perfeito.

(q) Todos são nossos amigos e são perfeitos.

(r) Ninguém é nosso amigo ou alguém não é perfeito.

6. SejamN o conjunto dos números naturais, e suponha que P (x) significa “

x é par”, Q(x) significa “x e divisível por 3”, R(x) significa “x e divisível por

4” e S(x, y) é “x + 2 > y”. Escreva em português cada uma das sentenças a

seguir, e determine seu valor-verdade:

(a) (∀x ∈N)P (x).

(b) (∀x ∈N)(P (x)∨Q(x)).

(c) (∀x ∈N)(P (x) →Q(x)).

(d) (∀x ∈N)(P (x)∨R(x)).

(e) (∀x ∈N)(P (x)∧R(x)).

(f) (∀x ∈N)(R(x) → P (x)).

(g) (∀x ∈N)(P (x) →¬Q(x)).

(h) (∀x ∈N)(P (x) → P (x +2)).

(i) (∀x ∈N)(R(x) → R(x +4)).

(j) (∀x ∈N)(Q(x) →Q(x +1)).

(k) (∃x ∈N)R(x)

(l) (∃x ∈N)(P (x)∨Q(x)).

(m) (∃x ∈N)(P (x) →Q(x)).

(n) (∃x ∈N)(Q(x) →Q(x +1)).

(o) (∃x ∈N)(P (x) →Q(x +1)).

(p) (∃x ∈N)(∀y ∈N)S(x, y).

(q) (∃x ∈N)(∃y ∈N)S(x, y).

(r) (∃y ∈N)(∀x ∈N)S(x, y).

25

7. Verifique as equivalências e implicações lógicas notáveis, dadas nas ta-

belas 4 (página 16) e 3 (página 14).

8. Verifique as seguintes equivalência lógicas, para provas por contradição.

(P →Q) ⇔ ((P ∧¬Q) → (R ∧¬R))

(P →Q) ⇔ ((P ∧¬Q) →¬P )

(P →Q) ⇔ ((P ∧¬Q) →Q)

9. Para cada sentença determine o valor verdade e a negação. Na negação,

expresse em símbolos a sentença usando as equivalências lógicas para a

negação de quantificadores.

(a) (∀n ∈N)(∃m ∈N)(n2 < m).

(b) (∃n ∈N)(∀m ∈N)(n < m2).

(c) (∀x ∈R)(∃y ∈R)(x = y2).

(d) (∀n ∈N)(∃m ∈N)(n +m = 0).

(e) (∃n ∈N)(∃m ∈N)(n2 +m2 = 25).

(f) (∃n ∈N)(∃m ∈N)(n +m = 4∧n −m = 2).

(g) (∀n ∈N)(∀m ∈N)(∃p ∈N)(p = n+m2 ).

(h) (∃x ∈R)(∀y ∈R)(x y = 0)

(i) (∀x ∈R)(x �= 0) → (∃y ∈R)(x y = 1).

(j) (∃x ∈R)(∀y ∈R)(y �= 0 → (x y = 1)).

(k) (∃x ∈R)(∃y ∈R)(x +2y = 2∧2x +4y = 5).

(l) (∀x ∈R)(∃y ∈R)(x + y = 2∧2x − y = 1).

10. Considere G(x, y) como “x gosta de y”. Expresse em símbolos as senten-

ças

26

(a) todo mundo gosta de todo mundo

(b) todo mundo gosta de alguém

(c) alguém gosta de todo mundo

(d) alguém gosta de alguém

11. A sentença ∀x ∈ X , A(x) é falsa se e somente se ∃x ∈ X , ¬A(x) é verda-

deira, ou seja, a sentença ∀x ∈ X , A(x) é falsa se e somente se podemos

encontrar um x0 ∈ X tal que A(x0) é uma sentença falsa. Tal x0 é cha-

mado de contraexemplo para ∀x ∈ X , A(x). Determine um contraexem-

plo para:

(a) ∀x ∈R, |x| �= 0;

(b) ∀x ∈R, x2 > x;

(c) ∀x ∈N, x2 � x;

(d) ∀x ∈ {3,5,7,9}, x +3 � 7;

(e) ∀x ∈ {3,5,7,9}, x é primo.

12. Verifique se cada argumento abaixo é um argumento válido.

(a)

A → B

A →C

∴ A → (B ∧C )

(b)

¬R(c)

∀t ∈ D(P (t ) →Q(t ))

∀t ∈ D(Q(t ) → R(t ))

∴ ¬P (c)

13. Dê a justifcativa para cada passo dos argumentos abaixo para que seja

válido.

(a) (P ∧ (P →Q)∧ (S ∨R)∧ (R →¬Q)) ⇒ (S ∨T )

(b) ((P →Q)∧ (¬R ∨S)∧ (P ∨R)) ⇒ (¬Q → S)

27

(c)

passo justificativa

1) P

2) P →Q

3) Q

4) R →¬Q

5) Q →¬R

6) ¬R

7) S ∨R

8) S

9) S ∨T

(d)

passo justificativa

1) ¬(¬Q → S)

2) ¬Q ∧¬S

3) ¬S

4) ¬R ∨S

5) ¬R

6) P →Q

7) ¬Q

8) ¬P

9) P ∨R

10) R

11) ¬R ∧R

12) ¬Q → S

14. Uma argumento não é válido se é possível que as premissas sejam verda-

deiras e a conclusão falsa. Mostre que os seguintes argumentos não são

válidos exibindo valores-lógicos para as sentenças P,Q,R,S de modo que

as premissas são verdadeiras mas a conclusão é falsa.

(a)

P ↔Q

Q → R

R ∨¬S

¬(S) →Q

∴ S

(b)

P

P → R

P → (Q ∨¬R)

¬(Q)∨¬(S)

∴ S

15. Verifique que valem as equivalências e consequências lógicas abaixo.

(a) ∀x ∈ D(P (x)∧Q(x)) ⇔ (∀x ∈ D,P (x))∧ (∀x ∈ D,Q(x)).

28

(b) (∀x ∈ D,P (x))∨ (∀x ∈ D,Q(x)) ⇒∀x ∈ D(P (x)∨Q(x)).

(c) ∃x ∈ D, (P (x)∨Q(x)) ⇔ (∃x ∈ D,P (x))∨ (∃x ∈ D,Q(x)).

(d) ∃x ∈ D, (P (x)∧Q(x)) ⇒ (∃x ∈ D,P (x))∧ (∃x ∈ D,Q(x)).

16. Escreva os seguinte argumentos na forma simbólica, estabeleça sua vali-

dade ou dê um contraexemplo para mostrar que é inválido.

(a) “Se Raquel consegue posto de supervisor e trabalha duro, ela ga-

nhará um aumento. Se ela receber o aumento, então ela vai com-

prar um carro novo. Ela não comprou um carro novo. Portanto, ou

Raquel não conseguiu o posto de supervisor ou ela não trabalhou

duro.”

(b) “Se Dominic for para a pista, Helen ficará louca. Se Ralph jogar car-

tas a noite toda, então Carmela ficará louca. Se Helen ou Carmela

ficarem loucas, então Veronica (a advogada delas) será notificada.

Verônica não teve notícias de nenhum desses dois clientes. Por-

tanto, Dominic não chegou à pista e Ralph não jogou cartas a noite

toda.”

(c) “Se há uma possibilidade de chuva ou sua camisa vermelho está la-

vando, Luiz não cortará sua grama. Sempre que a temperatura é

superior a 25ºC, não há chance de chuva. Hoje a temperatura é de

30ºC e Luiz está usando sua camisa vermelha. Portanto, hoje Luiz

cortará a grama.”

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