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Cenas da 2a semana Um sistema dedutivo para Logica Proposicional Consistencia

Sumario da semana

1 Cenas da 2a semana

2 Um sistema dedutivo para Logica Proposicional

3 Consistencia

Professor : [email protected]

Logica Basica


Vimos na 2a semana – pg. I

p → q: Se o time joga bem︸︷︷︸p

, entao o time ganha o campeonato︸︷︷︸q

.

¬p → r : Se o time nao joga bem︸︷︷︸¬p

, entao o tecnico e o culpado︸︷︷︸r

.

q → s: Se o time ganha o campeonato︸︷︷︸q

entao

os torcedores estao felizes︸︷︷︸s

.

¬s: Os torcedores nao estao felizes.

O tecnico e culpado?

Sao 16 interpretacoes possıveis.


Logica Basica


Vimos na 2a semana – pg. II

p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 00 0 1 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 00 1 0 0 1 0 0 10 1 0 1 1 0 1 00 1 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 0 1 1 11 0 0 1 0 1 1 01 0 1 0 0 1 1 11 0 1 0 0 1 1 01 1 0 0 1 1 0 11 1 0 0 1 1 1 01 1 1 0 1 1 0 11 1 1 0 1 1 1 0


Logica Basica


Vimos na 2a semana – pg. III

So ha uma interpretacao que satisfaz p → q, ¬p → r ,q → s , ¬s

p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s...

......

......

......

...0 0 1 0 1 1 1 1...

......

......

......

...

donde concluımos que e verdade r (“o tecnico e culpado”).


Logica Basica


Vimos na 2a semana – pg. IV

Se sao verdadeiras as premissas

Se o time joga bem entao o time ganha o campeonato.Se o time nao joga bem entao o tecnico e o culpado.Se o time ganha o campeonato entao os torcedores estao felizes.Os torcedores nao estao felizes.

entao uma conclusao logica e

o tecnico e culpado.


Logica Basica


Alternativamente....

Podemos obter a conclusao sem usar tabela-verdade usandoconsequencias semanticas notaveis

1. p → q, q → s sao premissas2. p → s por silogismo hipotetico a partir de 13. ¬p ∨ s pela equivalencia da implicacao em 24. ¬s premissa5. ¬p por silogismo aditivo de 3 e 46. ¬p → r premissa7. r por modus ponens com 5 e 6

Assim, {p → q,¬p → r , q → s,¬s} � r .


Logica Basica


Sistema dedutivo para Logica Proposicional

Um sistema dedutivo (ou formal) e um componente

sintatico

de uma logica.

Sao conhecidos varios: Sistema axiomatico a Hilbert, DeducaoNatural, Tableaux, Calculo de sequentes de Gentzen, por exemplo.


Logica Basica

https://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o_natural

https://pt.wikipedia.org/wiki/Dedu%C3%A7%C3%A3o_natural

https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_Tableaux

https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_sequentes


A linguagem proposicional revisitada I

Alfabeto:

Sımbolos proposicionais atomicos p1 p2 p3 · · ·Conectivos logicos ¬ →Sımbolos de pontuacao ( )

Uma fbf e qualquer expressao que pode ser formada aplicando-se as regras:

(F1) os sımbolos atomicos sao fbf, chamadas formulas atomicas;

(F2) se α e fbf, entao (¬α) e fbf;

(F3) se α e β sao fbfs, entao (α→ β) e fbf;

(F4) nao ha outras fbfs alem das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) umnumero finito de vezes.


Logica Basica


A linguagem proposicional revisitada II

As mesmas notacoes e simplificacoes

Formulas α, β, γ, . . . .

Conjuntos de formulas Σ, Γ,Θ, . . . .

Sımbolos proposicionais atomicos p, q, r , s

Regras para omissao de parenteses


Logica Basica


A linguagem proposicional revisitada III

Definicoes

sımbolo le-se uso∧ conjuncao (α ∧ β) abrevia (¬(α→ (¬β)))∨ disjuncao (α ∨ β) abrevia ((¬α)→ β)↔ biimplica (α↔ β) abrevia ((α→ β) ∧ (β → α))⊥ falsum abrevia (α ∧ (¬α))> verum abrevia (¬⊥)


Logica Basica


Sistema de Kleene I

Axiomas

(A1) α→ (β → α)

(A2) (α→ (β → ξ))→ ((α→ β)→ (α→ ξ))

(A3) (α→ β)→ ((α→ ¬β)→ ¬α)

(A4) α→ (β → (α ∧ β))

(A5) α ∧ β → α

(A6) α ∧ β → β

(A7) α→ α ∨ β(A8) β → α ∨ β(A9) (α→ γ)→ ((β → γ)→ (α ∨ β → γ))

(A10) ¬¬α→ α


Logica Basica


Sistema de Kleene II

Regras de inferencias

(MP)α, α→ β

β


Logica Basica


Exemplos de deducao I

Teorema (1)

` α→ α

Prova.

1. α→ ((α→ α)→ α)) (A1)2. (α→ ((α→ α)→ α))→ ((α→ (α→ α))→ (α→ α)) (A2)3. α→ (α→ α)) (A1)4. (α→ (α→ α))→ (α→ α) (MP 2,1)5 α→ α (MP 3,4)

�


Logica Basica


Exemplos de deducao II

Teorema (Lei de Duns Scotus)

¬α, α ` β

Prova.1. α (premissa)2. ¬α (premissa)3. α→ (¬β → α) (A1)4. ¬α→ (¬β → ¬α) (A1)5. ¬β → α (MP 1,3)6. ¬β → ¬α (MP 2,4)7. (¬β → α)→

((¬β → ¬α)→ ¬¬β

)(A3)

8. (¬β → ¬α)→ ¬¬β (MP 5,7)9. ¬¬β (MP 6,8)10. ¬¬β → β (A10)11. β (MP 9,10)


Logica Basica


Exemplos de deducao III

�


Logica Basica


Exemplos de deducao IV

Teorema (2)

α→ β, β → γ ` α→ γ

Prova.1. α→ β (premissa)2. β → γ (premissa)3. (β → γ)→ (α→ (β → γ)) (A1)4. (α→ (β → γ) (MP 2,3)5. (α→ (β → γ))→ ((α→ β)→ (α→ γ)) (A2)6. (α→ β)→ (α→ γ) (MP 4,5)7. α→ γ (MP 1,6)

�


Logica Basica


Exemplos de deducao V

Teorema (3)

θ → (φ→ ξ) ` φ→ (θ → ξ)

Prova.1. θ → (φ→ ξ) (hipotese)2.

(θ → (φ→ ξ)

)→((θ → φ)→ (θ → ξ)

)(A2)

3. φ→ (θ → φ) (A1)4. (θ → φ)→ (θ → ξ) (MP 1,2)5.

((θ → φ)→ (θ → ξ)

)→(φ→

((θ → φ)→ (θ → ξ)

))(A1)

6. φ→((θ → φ)→ (θ → ξ)

)(MP 3,5)

7.(φ→

((θ → φ)→ (θ → ξ)

))→((

φ→ (θ → φ))→(φ→ (θ → ξ)

))(A2)

8.(φ→ (θ → φ)

)→(φ→ (θ → ξ)

)( MP 6,7)

9. φ→ (θ → ξ) (MP 4,5)�


Logica Basica


Exemplos de deducao VI

Teorema (3)

θ → (φ→ ξ) ` φ→ (θ → ξ)

Prova.1. θ → (φ→ ξ) (hipotese)2.

(θ → (φ→ ξ)

)→((θ → φ)→ (θ → ξ)

)(A2)

3. φ→ (θ → φ) (A1)4. (θ → φ)→ (θ → ξ) (MP 1,2)5.

((θ → φ)→ (θ → ξ)

)→(φ→

((θ → φ)→ (θ → ξ)

))(A1)

6. φ→((θ → φ)→ (θ → ξ)

)(MP 3,5)

7.(φ→

((θ → φ)→ (θ → ξ)

))→((

φ→ (θ → φ))→(φ→ (θ → ξ)

))(A2)

8.(φ→ (θ → φ)

)→(φ→ (θ → ξ)

)( MP 6,7)

9. φ→ (θ → ξ) (MP 4,5)�


Logica Basica


Exemplos de deducao VII

As linhas 1–7 da prova do teorema (2) sao “semelhantes” as linhas3–9 na prova do teorema (3).

Na linha 3, teo. (3), temos φ→ (θ → φ) e na 4 temos(θ → φ)→ (θ → ξ); o que precisamos e concluir queφ→ (θ → ξ), que e essencialmente o que o teorema (2) faz.

Para evitar esse trabalho extra permitimos que se justifique passosde uma prova com teoremas ja provados. Para dar um exemplo, aprova acima e re-escrita abaixo.


Logica Basica


Exemplos de deducao VIII

Para evitar esse trabalho extra permitimos que se justifique passosde uma prova com teoremas ja provados. Para dar um exemplo, aprova acima e re-escrita abaixo.

1. θ → (φ→ ξ) (hipotese)2.

(θ → (φ→ ξ)

)→((θ → φ)→ (θ → ξ)

)(A2)

3. φ→ (θ → φ) (A1)4. (θ → φ)→ (θ → ξ) (MP 1,2)5. φ→ (θ → ξ) (Teo. (2) 3,4)


Logica Basica


Exemplos de deducao IX

Teorema (4)

¬α→ ¬¬α ` α

Prova.1. ¬α→ ¬¬α (premissa)2. ¬α→ ((¬α→ ¬α)→ ¬α) (A1)3. (¬α→ ((¬α→ ¬α)→ ¬α))→ ((¬α→

→ (¬α→ ¬α))→ (¬α→ ¬α)) (A2)4. ¬α→ (¬α→ ¬α) (A1)5. (¬α→ (¬α→ ¬α))→ (¬α→ ¬α) (MP 2,3)6. ¬α→ ¬α (MP 4,5)7. (¬α→ ¬α)→ ((¬α→ ¬¬α)→ ¬¬α) (A3)8. (¬α→ ¬¬α)→ ¬¬α (MP 6,7)9. ¬¬α→ α (A10)


Logica Basica


Exemplos de deducao X

Continuacao10. ((¬¬α)→ α)→ ((¬α→ ¬¬α)→

((¬¬α)→ α)) (A1)11. ((¬α→ ¬¬α)→ ((¬¬α)→ α) (MP 9,10)12. ((¬α→ ¬¬α)→ ((¬¬α)→ α))→

(((¬α→ ¬¬α)→ (¬¬α))→((¬α→ ¬¬α)→ α)) (A2)

13. ((¬α→ ¬¬α)→ (¬¬α))→((¬α→ ¬¬α)→ α) (MP 11,12)

14. (¬α→ ¬¬α)→ α (MP 8,13)15. α (MP 1,14)

�


Logica Basica


Exemplos de deducao XI

Prova do teorema (4) usando o teorema (2)1. ¬α→ ¬¬α (premissa)2. ¬α→ ((¬α→ ¬α)→ ¬α) (A1)3. (¬α→ ((¬α→ ¬α)→ ¬α))→

((¬α→ (¬α→ ¬α))→ (¬α→ ¬α)) (A2)4. ¬α→ (¬α→ ¬α) (A1)5. (¬α→ (¬α→ ¬α))→ (¬α→ ¬α) (MP 2,3)6. ¬α→ ¬α (MP 4,5)7. (¬α→ ¬α)→ ((¬α→ ¬¬α)→ ¬¬α) (A3)8. (¬α→ ¬¬α)→ ¬¬α (MP 6,7)9. ¬¬α→ α (A10)10. (¬α→ ¬¬α)→ α (Teo. (2) 8,9)11. α (MP 1,14)

�


Logica Basica


Exemplos de deducao XII

Teorema (5)

` α→ ¬¬α

Prova.1. ¬¬¬α→ ¬α (A10)2. (¬¬¬α→ α)→

((¬¬¬α→ ¬α)→ ¬¬¬¬α

)(A3)

3. (¬¬¬α→ ¬α)→((¬¬¬α→ α)→ ¬¬¬¬α

)(Teo.(3) em 2)

4. (¬¬¬α→ α)→ ¬¬¬¬α (MP 1,3)5. ¬¬¬¬α→ ¬¬α (A10)6. (¬¬¬α→ α)→ ¬¬α (Teo.(2) em 4,5)7. α→ (¬¬¬α→ α) (A1)8. α→ ¬¬α (Teo.(2) em 7,6)


Logica Basica


Regras derivadas I

(SH)α→ β, β → γ

α→ γ

(TH)θ → (φ→ ξ)

φ→ (θ → ξ)

(CP1)α→ β

¬β → ¬α

(CP2)¬β → ¬αα→ β

(DN1)α

¬¬α

(DN2)¬¬αα


Logica Basica


Regras derivadas II

Prova de α→ β ` ¬β → ¬α:1. α→ β (hipotese)2. β → ¬¬β (Teo.(5))3. α→ ¬¬β (SH 1,2)4. ¬¬α→ α (A10)5. ¬¬α→ ¬¬β (SH 3,4)6. (¬¬α→ ¬¬β)→ ((¬¬α→ ¬¬¬β)→ ¬¬¬α) (A3)7. (¬¬α→ ¬¬¬β)→ ¬¬¬α (MP 5,6)8. ¬¬¬β → (¬¬α→ ¬¬¬β) (A1)9. ¬¬¬β → ¬¬¬α (SH 8,7)10. ¬β → ¬¬¬β (Teo.(5))11. ¬β → ¬¬¬α (SH 10,9)12. ¬¬¬α→ ¬α (A10)13. ¬β → ¬α (SH 11,12)

�


Logica Basica


De volta ao exemplo inicial

p → q, q → s,¬p → r ,¬s ` r

1. p → q (hipotese)2. q → s (hipotese)3. ¬p → r (hipotese)4. ¬s (hipotese)5. p → s (SH 1,2)6. ¬s → ¬p (CP1 4)7. ¬p (MP 4,6)8. r (MP 3,7)


Logica Basica


Propriedades de ` I

Autodeducao Γ ` α para todo α ∈ Γ.

Monotonicidade Se Γ ` α entao Γ ∪ Σ ` α.

Regra do corte Se Γ ` α para todos α ∈ Σ e Σ ` β entao Γ ` β.

Compacidade Γ ` α se, e so se, existe ∆ ⊆ Γ finito tal que ∆ ` α.

Destacamento se Γ ` α e Γ ` α→ β entao Γ ` β.

Teorema da Deducaoα ` β se, e somente se, ` α→ β ou, mais geral,

Γ, α ` β se, e somente se, Γ ` α→ β.


Logica Basica


Propriedades de ` II

Exercıcio: Se Γ ` α e Γ ` α→ β entao Γ ` β.


Logica Basica


Prova do teorema da deducao: Γ, α ` β sse Γ ` α→ β

Prova de: Se Γ, α ` β entao Γ ` α→ β.

Se Γ, α ` β,1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Por inducao em i que Γ ` α→ ϕi .

Base: Γ ` α→ ϕ1

Hipotese: Γ ` α→ ϕ2...Γ ` α→ ϕi−1

Passo: Γ ` α→ ϕi

Em 3 casos:

1 ϕi e axioma ou premissa

2 ϕi e obtida por MP j,kcom j,k<i


Logica Basica



Prova de: Se Γ, α ` β entao Γ ` α→ β.Se Γ, α ` β,

1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Por inducao em i que Γ ` α→ ϕi .

Base: Γ ` α→ ϕ1

Hipotese: Γ ` α→ ϕ2...Γ ` α→ ϕi−1

Passo: Γ ` α→ ϕi

Em 3 casos:

1 ϕi e axioma ou premissa

2 ϕi e obtida por MP j,kcom j,k<i


Logica Basica



Prova de: Se Γ ` α→ β entao Γ, α ` β.


Logica Basica


Consistencia

Um conjunto de formulas e consistente se nao e possıvel deduziruma contradicao (α ∧ ¬α), o que equivale a dizer que nao epossıvel deduzir uma formula (α) e deduzir sua negacao (¬α).


Logica Basica


Consistencia

Lema 1

Se um conjunto de formulas Γ e inconsistente, entaoΓ ` α para toda formula α.

Dem.:

Γ ` β e Γ ` ¬β para algum β{β,¬β} ` α para qualquer αPela regra do corte Γ ` α. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 1


Dem.:Γ ` β e Γ ` ¬β para algum β

{β,¬β} ` α para qualquer αPela regra do corte Γ ` α. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 1


Dem.:Γ ` β e Γ ` ¬β para algum β{β,¬β} ` α para qualquer α

Pela regra do corte Γ ` α. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 1


Dem.:Γ ` β e Γ ` ¬β para algum β{β,¬β} ` α para qualquer αPela regra do corte Γ ` α. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 2

Se Γ ∪ {¬α} e inconsistente entao Γ ` α.

Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 2


Dem.:Γ,¬α inconsistente.

Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 2


Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.

Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 2


Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.

¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 2


Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α

((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 2


Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).

Portanto Γ ` α pela regra do corte. �


Logica Basica


Consistencia

Lema 2


Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �


Logica Basica


Consistencia

∆ e consistente maximal se

1 e consistente.

2 ∆ ∪ {α} nao e consistente para qualquer α 6∈ ∆.

Lema 3

Se Γ e consistente entao existe ∆ ⊇ Γ consistente maximal.


Logica Basica


Consistencia

lema 4

Se ∆ e consistente maximal entao

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.

Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆

entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.

∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.

∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.

De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

2 ¬α ∈ ∆ sse ∆ ` ¬α

∆ ` ¬α sse ∆ 6` α∆ 6` α sse α 6∈ ∆ �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

2 ¬α ∈ ∆ sse ∆ ` ¬α∆ ` ¬α sse ∆ 6` α

∆ 6` α sse α 6∈ ∆ �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

2 ¬α ∈ ∆ sse ∆ ` ¬α∆ ` ¬α sse ∆ 6` α∆ 6` α sse α 6∈ ∆ �


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.

∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆ :

∆, α ` βSe ¬α 6∈ ∆ entao ¬¬α ∈ ∆, logo ∆ ` ¬¬α, portanto ∆ ` α(usando (A10), entao α ∈ ∆ portanto β ∈ ∆.


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.

∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆ :



Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆

:



Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆ :



Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆

:

¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆se ¬α ∈ ∆ entao ∆, α ` βse β ∈ ∆ entao ∆, α ` β


Logica Basica


Consistencia

lema 4


1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

Dem.:

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆ :

¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆se ¬α ∈ ∆ entao ∆, α ` βse β ∈ ∆ entao ∆, α ` β


Logica Basica


As demonstracoes estao escritas detalhadamente nas notas de aula.


Logica Basica


Consistencia — cenas do proximo capıtulo

Metateorema da consistencia

Γ e consistente se, e so se, Γ e satisfazıvel.


Logica Basica

sum ario da semana -...

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