parte lÓgicadepredicados -...

62

Parte 2. LÓGICA de PREDICADOS

A lógica de predicados de primeira ordem é uma extensão da logica proposicional para uma

linguagem mais rica, portanto de maior poder de expressão. Argumentos como

(1)

Todos os felinos são mamíferos

Alguns felinos são ferozes

Alguns mamíferos são ferozes

(2)

O sucessor de um inteiro par é ímpar

2 é um inteiro par

O sucessor de 2 é ímpar

do ponto de vista da lógica proposicional são da forma p ∧ q → r que não são validados pela

lógica proposicional.

Na lógica de primeira ordem usamos variáveis, quantificadores e predicados para capturar ele-

mentos mais finos da estrutura gramatical.

Na lógica de primeira ordem quantificadores atuam apenas nos objetos do domínio do discurso

e os predicados dizem respeito aos objetos, nas lógica de segunda ordem quantificadores atuam

em varáveis e em conjuntos de variáveis e podemos expressar propriedades de propriedades,

expressas por predicados de segunda ordem, isto é, nas teorias de primeira ordem, os predica-

dos são frequentemente associados a conjuntos enquanto que nas teorias de ordem superior, os

predicados podem ser interpretados como conjuntos de conjuntos. Isso permite analisar argu-

mentos como

Dumbo é um elefante

elefante é uma espécie

Dumbo é uma espécie

que não é formalizado de modo apropriado em lógica de primeira ordem.

A lógica de primeira ordem é o padrão para a formalização axiomática da matemática. A Aritmé-

tica de Peano, por exemplo, e a Teoria de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel são axiomatizações da

Teoria dos Números e da Teoria de Conjuntos.

Os fundamentos da lógica de primeira ordem foram desenvolvidos de forma independente por

Gottlob Frege e Charles Sanders Peirce.

8. LINGUAGENS DA LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

8.1. Discussão informal. O que queremos formalizar com a Lógica de predicados? Sentenças

como

• Todos os pássaros são mais leves que algum mamífero.

• Todo aluno é mais novo que algum professor.

63

• Todo número primo maior ou igual a dois é ímpar.

• Todo anel de divisão finito é um corpo.

podem ser simbolizadas no cálculo sentencial, mas o dito não captura toda estrutura da sen-

tença. Os alvos do discurso (sujeito e objeto gramaticais) têm qualidade e mantêm relações.

O que procuramos? Uma linguagem mais rica que leva em conta a estrutura interna das senten-

ças

sujeito – predicado – objeto

na qual sujeito e objetos de quem se fala são elementos de um universo do discurso e são repre-

sentados por constantes, por objetos genéricos e não especificados (pronomes) que são repre-

sentados por variáveis; os predicados e as relações são explicitados. Incorpora o “para todo” e

o “existe” como primitivas da linguagem.

Exemplo 48. Num universo (de discurso) far, far away ....

Constantes: a para ’Armando’, d para ’Daniel’ e j para ’Jair’.

Predicados: P para ’é professor’ e A para ’é aluno’.

Relações: J para ’lecionam juntos’ e N para ’é mais novo’.

P (a) simboliza a sentença ’Armando é professor’.

¬A( j ) simboliza a sentença ’Jair não é aluno’.

J (a,d) simboliza a sentença ’Armando e Daniel lecionam juntos’.

M(d , a) simboliza a sentença ’Daniel é mais novo que Armando’.

Obervemos que, considerando o significado natural das sentenças, J(a,d) e J(d , a) têm o mesmo

significado, mas M(a,d) e M(d , a) não têm o mesmo significado.

Variáveis: usamos x, y, z . . . para representar membros genéricos do universo.

P (x) simboliza ’x é professor’ e M(x, y) simboliza ’x é mais novo que y’. Nem P (x) nem M(x, y) têm

valor lógico, não são sentenças no sentido da lógica proposicional vimos na Parte 1 destas notas.

São chamadas de sentenças abertas.

As sentenças abertas tornam-se sentenças lógicas quando substituímos as variáveis por constantes

ou se quantificamos.

Quantificadores: o quantificador ∀ é lido “para todo” e o quantificador ∃ é lido “existe”.

∀x P (x) simboliza a sentença ’para todo x, x é professor’ a qual pode ser atribuída valor lógico:

significa que todo elemento do universo do discurso é professor.

64

∃x P (x) simboliza a sentença ’existe x, x é professor’ a qual pode ser atribuída valor lógico: significa

que pelo menos um elemento do universo do discurso é professor.

Notemos que, por exemplo

(1) ∀x M(x, y) é uma sentença aberta

(2) ∃y ∀x M(x, y) e ∀x ∃y M(x, y) têm significados diferentes.

A sentença ’Todo aluno é mais novo que algum professor’ pode ser simbolizada por

∀x ∃y(A(x)∧P (y) → M(x, y))

A sentença ’Há um professor tal que todo aluno aprende algo com ele’, considerando as relações

B(x, y, z) para ’y aprende z com x’ e H(x) para ’x é um assunto’, pode ser simbolizada por

∃x�P (x)∧∀y

�A(y) →∃z (H(z)∧B(x, y, z))

��

Em matemática, muitas vezes tratamos de estruturas que consistem em um conjunto de ele-

mentos com várias operações sobre eles e relações entre eles. Por exemplo, na Teoria Elemen-

tar de Números o conjunto de elementos em discussão é o conjunto de números inteiros Z ={0,±1,±2, . . . } Pode-se precisar de símbolos para alguns números, para variáveis, para funções

(como · e +) e para as relações (como =, <, e |). A sentença “Para todo x, se x é inteiro igual a zero

ou maior que zero e todo inteiro é divisível por x, então x é igual a um” considerando que

• 0 e 1 são constantes;

• >(x, y) simboliza a relação “x é maior que y”;

• =(x, y) simboliza a relação “x é igual a y” e

• | (x, y) simboliza a relação “x divide y”,

é simbolizada como

∀x��>(x,0)∨=(x,0)

�∧∀y (| (x, y)) →=(x,1)�.

8.2. Linguagem formal da lógica de predicados. Há várias linguagens lógicas de primeira or-

dem e há símbolos comuns a todas, além de outros específicos de cada linguagem (e.g., ∈, +). A

seguir descrevemos a linguagem lógica L1 genérica de primeira ordem.

Alfabeto genérico. O alfabeto A1 ds símbolos permitidos para as expressões na linguagem L1

incluem

65

Variáveis: x1 x2 x3 . . .

Conectivos lógicos: ¬ →Quantificador: ∀Pontuação: ( )

Símbolo de igualdade:.=

Constantes: c1 c2 c3 . . .

Símbolos relacionais: para cada inteiro n ≥ 0, símbolos relacionais n-ários Rn1 ,Rn

2 ,Rn3 , . . .

Símbolos funcionais: para cada inteiro n ≥ 1, símbolos funcionais n-ários F n1 ,F n

2 ,F n3 , . . .

As constantes, os símbolos relacionais e funcionais são específicos de cada linguagem de pri-

meira ordem e um ou mais deles pode ser vazio, isto é, o conjunto das constantes pode ser vazio,

o conjuntos dos símbolos relacionais pode ser vazio e o conjunto símbolos funcionais pode ser

vazio. Os símbolos relacionais de aridade 0 são usados como símbolos proposicionais.

Os símbolos descritos nos quatros primeiros itens do alfabeto são os símbolos lógicos da lingua-

gem. Os símbolos lógicos são compartilhados por toda linguagem de primeira ordem. O símbolo

de igualdade é um símbolo relacional binário especial. Há autores que tratam a igualdade como

um símbolo símbolo lógico e outros que tratam como não-lógico de modo a distinguir-se as lin-

guagens de primeira ordem com igualdade e sem igualdade. Aqui não faremos essa distinção,

não o chamaremos de lógico mas consideraremos que toda linguagem de primeira ordem tem

o símbolo de igualdade. As constantes e os simbolos relacionais e funcionais são os símbolos

não-lógicos da linguagem, os quais, geralmente, dependem do uso pretendido.

Intuitivamente, as constantes são interpretadas como elementos específicos do universo de dis-

curso da linguagem; os símbolos da função n-ária são interpretados como funções específicas

que mapeiam n-úplas de elementos do universo de discurso à elementos do universo; os sím-

bolos de relação n-ária destinam-se a designar relações entre n elementos. O símbolo quantifi-

cador destina-se a representar “para todos” em referência à todos os elementos do universo e é

usado com variáveis.

Termos: são as sequências de símbolos do alfabeto obtidas a partir das regras abaixo.

(T1) Variáveis e constantes são termos.

(T2) Para qualquer natural n, e qualquer símbolo funcional F ni , se t1, t2, . . . , tn são termos en-

tão F ni t1t2 . . . tn é termo.

(T3) Não há outros termos além dos obtidos pela aplicação de um número finito de vezes das

regras acima.

66

Exemplo 49. São termos: c1, x101, F 12 x1, F 2

2 x1c8, F 41 c1c2x1x2. Note que F 2

2 x1 não é termo (por

quê?). A cadeia de símbolos F 11 F 2

1 x1x2 é um termo? F 11 F 2

1 F 11 x1x2 é um termo?

Metateorema 50 (Teorema da unicidade de representação dos termos). Se t é um termo de uma

linguagem, então uma, e apenas uma, das asserções abaixo é verdadeira:

• t é uma variável;

• t é uma constante;

• t é da forma F (t1, . . . , tn), onde t1, . . . , tn são termos e F é um símbolo funcional n-ário,

para únicos n, F e ti ’s.

Metateorema 51 (Princípio de indução para termos). Seja Γ um conjunto de termos de uma lin-

guagem de primeira ordem. Se

(1) as variáveis e as constantes pertencem a Γ;

(2) se t1, t2, . . . tn pertencem a Γ então F (t1, t2, . . . tn) pertence a Γ para qualquer que seja o

símbolo funcional F .

Então Γ é o conjunto de todos os termos da linguagem.

Fórmulas: ou fórmulas bem formadas, são as sequências de símbolos do alfabeto A1 obtidas a

partir das regras abaixo.

(F1) Se t e s são termos, então (.= t s) é uma fórmula. Também, para qualquer natural n, e

qualquer símbolo relacional Rni , se t1, . . . , tn são termos então Rn

i t1t2 . . . tn é uma fórmula.

As fórmulas da linguagem obtidas por aplicação exclusiva dessa regra são ditas atômica.

(F2) Se α e β são fórmulas, então (¬α) e (α→β) são fórmulas.

(F3) Se α é fórmula e x é uma variável, então (∀xα) é fórmula.

(F4) Não há outras fórmulas além daquelas obtidas pela aplicação um número finito de vezes

as regras acima.

Exemplo 52.��

R11 x1 → R3

2 x4x2c1�→ �∀x1((∀x2 R3

2c4x2c1) → (¬(.= F 1

1 x1F 11 c1)))

��.

Metateorema 53 (Teorema da unicidade de representação das fórmulas). Seja α uma fórmula

de uma linguagem. Então α satisfaz uma, e apenas uma, das condições abaixo

• α é uma fórmula atômica da forma R(t1, . . . , tn), onde R é um símbolo relacional n-ário e

t1, . . . , tn são termos, para únicos n, R e ti ’s;

• α é uma fórmula atômica da forma (s.= t ) onde s e t são termos, para únicos s e t ;

• α é da forma ¬β, para uma única fórmula β;

• α é da forma β→ γ para únicos β e γ fórmulas;

• α é da forma ∀xβ, para uma única fórmula β e uma única variável x.

67

Metateorema 54 (Princípio de indução para as fórmulas). Seja Γ um conjunto de fórmulas de

uma linguagem de primeira ordem. Se

(1) as fórmulas atômicas pertencem a Γ;

(2) se α pertence a Γ então ¬α pertence a Γ;

(3) se α e β pertencem a Γ então α→β pertence a Γ;

(4) se α pertence a Γ e x é uma variável, então ∀xα pertence a Γ.

Então Γ é o conjunto de todas as fórmulas da linguagem.

Simplificações, abreviaturas e omissão de parênteses. Vamos assumir algumas convenções de no-

tação para facilitar nossa vida.

Simplificações. No uso dos símbolos admitimos algumas simplificações na escrita, como já fize-

mos logo acima.

Fórmulas: α,β,γ, . . . possivelmente com índices.

Termos: s, t ,u, v possivelmente com índices.

Variáveis: x, w, y, z possivelmente com índices.

Constantes: a,b,c,d ,e, f possivelmente com índices.

Símbolos relacionais: Ao invés de Rni escrevemos R e também usamos

outros símbolos como P,Q,R,S,<,≺. Ainda, es-

crevemos

R(t1, t2, . . . , tn) ao invés de Rn t1t2 . . . tn .

Para as relações R binárias escrevemos

(a R b) ao invés de R(a,b)

como em (a < b), em particular, escrevemos

(t.= s) ao invés de

.= (t , s)

como é usual.

Símbolos funcionais: Ao invés de F ni escrevemos F e também usamos

outros símbolos como F,G , H ,+, ·. Ainda, ao invés

de F n t1t2 . . . tn escrevemos F (t1, t2, . . . , tn). Para as

operações binárias F escrevemos (a F b) ao invés

de F (a,b), como em (a +b).

Abreviaturas. Para resultados teóricos (metamatemáticos) é vantajoso possuirmos o mínimo

possível de símbolos, entretanto, para expressarmos de maneira clara e sucinta quanto mais

68

símbolos, melhor. Tratando alguns símbolos como abreviaturas de outros ganhamos dos dois

lados.

símbolo lê-se uso

∧ conjunção (α∧β) abrevia (¬(α→ (¬β)))

∨ disjunção (α∨β) abrevia ((¬α) →β)

↔ biimplica (α↔β) abrevia ((α→β)∧ (β→α))

∃ existe (∃xα) abrevia (¬(∀x(¬α)))

� não existe (� ∃xα) abrevia (¬(∃xα)) ou seja (¬(¬(∀x(¬α))))

�= diferente (s �= t ) abrevia (¬(s.= t ))

⊥ falsum abrevia (α∧ (¬α))

� verum abrevia (¬⊥)

Representamos os conectivos ∨, ∧, → e ↔ genericamente, pelo símbolo �, no caso de múltiplas

ocorrências de conectivos distintos usaremos índices �1, �2 e assim por diante. Com isso α�βindica uma fórmula composta por α, β e algum dos conectivos e qual deles, especificamente,

não importa no momento em que se usa o símbolo � com o cuidado de que duas ocorrências

numa mesma frase significa o mesmo conectivo; por exemplo em “α�η deve ser lido como

(α�η)” não deve ser entendido como, por exemplo, “α→ η deve ser lido como (α∧η)” mas sim

como “α→ η deve ser lido como (α→ η)” (e, respectivamente, o mesmo para � sendo ∧,∨,↔).

Ademais, representamos os quantificadores ∀ e ∃ genericamente por Q com as mesmas consi-

derações do parágrafo acima.

Omissão de parênteses.

• Omitimos os parênteses externos de uma fórmula, recolocando quando a usamos para

compor outras fórmulas. Por exemplo, escrevemos α→β no lugar de (α→β), mas reco-

locamos os parênteses quando escrevemos, por exemplo, ∀x(α→β).

• ∀ tem precedência sobre ¬ que tem precedência sobre →; considerando as abreviações

ordem de precedência é ∀,∃,¬,∧,∨,→,e ↔.

• Conectivos repetidos são agrupados pela direita, por exemplo, α→ β→ γ é lido como

(α→ (β→ γ)).

• Quando não houver riscos de más interpretações, omitimos os parênteses externos em

subfórmulas do tipo ∀xα, ∃xα e ¬α. Por exemplo, escrevemos ¬∀x∃yα, em vez de

¬(∀x(∃yα)).

Exemplo 55. De volta ao exemplo 52

��R1

1 x1 → R32 x4x2c1

�→ �∀x1((∀x2 R32c4x2c1) → (¬(

.= F 11 x1F 1

1 c1)))��

69

que simplificando fica escrito como

(R(x) → S(z, y,c)) → ∀x∀y�S(a, y,c) → (F (x) �= F (c))

�.

8.3. Linguagens de primeira ordem para a Aritmética. Vejamos um exemplo de linguagem de

primeira ordem para a Aritmética que consiste do estudo dos números naturais e suas proprie-

dades. Denotaremos essa linguagem por LN cujo alfabeto contém, além dos símbolos lógicos,

os não-lógicos

• a constante 0,

• o símbolo funcional unário S e os símbolos funcionais binários + e ·, e

• o símbolo relacional binário <.

São exemplos de termos dessa linguagem+·0x1 x2, SSSS0, +x1S0,.= ·x1+S0SS0 ·x1SSS0. Usando

as convenções de simplificação reescrevemo-os (0·x)+y , S(S(S(S(0)))), x+S(0), x·(S(0)+S(S(0))).=

x ·S(S(S(0))). São fórmulas da linguagem:

(1) < ·S0S0 +S0S0 ou, simplesmente, S(0) ·S(0) < S(0)+S(0).

(2) (∀x1.=+0x1x1) ou, simplesmente, ∀x(x +0

.= x).

(3)�∀x1

�∀x2(.=+S0x1 +x2S0 → .= x1x2)

��ou ∀x∀y (x +S(0)

.= y +S(0) → x.= y).

(4) Já simplificado ∀x∀y ∃z�y

.= x + z → (x < y ∨x.= y)

�.

A intenção é interpretar a constante 0 como o número zero, S como a função sucessor e +, ·,<interpretados como, respectivamente, a adição, a multiplicação é o menor que em N. Os ter-

mos 0,S0,SS0,SSS0,SSSS0, . . . intencionam descrever os números naturais zero, um , dois, três,

quatro, etc.

Com essa interpretação, que ainda é uma intenção, ela só vai ser dada quando falarmos da se-

mântica, podemos dar alguns exemplos intuitivos da expressão da aritmética nessa linguagem.

Exemplo 56. ’Não existe raiz de 2’ é expresso por �x(x · x.= S(S(0))) que reescrita usando somente

símbolos do alfabeto fica (¬(¬(∀x1(¬(.= ·x1x1SS0))))). Também podemos expressar a mesma ideia

usando (∀x1(¬(.= ·x1x1SS0))).

Exercício 57. Expresse em LN a sentença ’existem infinitos números primos’.

8.4. Outros exemplos de linguagens de primeira ordem. Uma linguagem de primeira ordem

tem os símbolos lógicos (comum às linguagens) e os símbolos extralógicos (específicos de cada

linguagem). Abaixo, para definir uma linguagem explicitamos só os símbolos extralógicos.

Exemplo 58. A linguagem da igualdade pura, L=:

Não há símbolos não-lógicos.

70

Ainda assim conseguimos expressar certas ideias, por exemplo, ’existe um único sujeito’ ∃x∀y(y.=

x), ou ’existem somente dois sujeitos’ ∃x ∃y((x �= y)∧∀z (z.= x ∨ z

.= y)).

Exemplo 59. Uma linguagem para Teoria dos Conjuntos LC :

Símbolo relacional binário: ∈

A intenção das variáveis é representar conjuntos e x ∈ y diria que o conjunto x é elemento do

conjunto y. A Teoria de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel é escrita nessa linguagem. A existência

do conjunto vazio é expressa por ∃x∀y¬(y ∈ x). A existência do conjunto definido no paradoxo de

Russel (página 10) é expresso por ∃x∀y (y ∈ x ↔¬(y ∈ y)). Veremos que a negação dessa sentença

é uma tautologia.

Exercício 60. Escreva uma fórmula que simboliza a sentença “existe um conjunto vazio” em LC .

Escreva uma fórmula que simboliza a sentença “existe somente um objeto” em L=.

Escreva uma fórmula que simboliza a sentença “adição é associativa” em LN .

8.5. Variáveis livres e ligadas, sentenças. Dizemos que uma variável x ocorre livre em uma fór-

mula α se

(1) α é atômica e x ocorre em α;

(2) α é da forma (¬β) e x ocorre livre em β;

(3) α é da forma (β�γ) e x ocorre livre em β ou γ;

(4) α é da forma Q yψ e x é diferente de y e x ocorre livre em ψ.

Uma ocorrência de x emα que não é livre é dita ligada. O item 4 acima é a chave para classificar-

mos a ocorrência de uma variável como livre ou ligada: a ocorrência de uma variável x é ligada

se ela está no escopo de uma ocorrência de um quantificador. O escopo de um quantificador

numa fórmulaα é a subfórmula β na qual o quantificador se aplica (quando a regra de formação

de fórmula quantificada foi aplicada, isto é, em (∀xβ) o escopo de x é β).

Cada ocorrência de uma variável x é livre ou ligada, mas não ambas. Entretanto, a mesma variá-

vel pode ocorrer livre e ligada na mesma fórmula. Por exemplo,

(1) Em ∀x7(x5.= x7) a ocorrência de x5 é livre e a ocorrência de x7 é ligada.

(2) Em ∀x0 ((x0.= F (x6)) → (¬∀x6 R(x6))) a primeira ocorrência de x6 é livre e a última ocor-

rência é ligada.

(3) Em ∀z (∀x (P (x) → R(z))) → (Q(y) → P (x)) a variável x é livre e ligada, y é livre e z é

ligada.

Uma fórmula α sem ocorrência de variáveis livre é dita sentença.

71

Antes de irmos adiante, definimos indutivamente o conjunto V L das variáveis livres de uma

fórmula:

(1) se t é termo então

V L(t ) :=

�, se t é c

{x}, se t é x

V L(t1)∪ · · ·∪V L(tn), se t é F (t1, . . . , tn)

(2) se α é fórmula então

V L(α) :=

V L(t1)∪V L(t2), se α é t1.= t2

V L(t1)∪ · · ·∪V L(tn), se α é R(t1, . . . , tn)

V L(β), se α é ¬βV L(β)∪V L(γ), se α é β�γV L(β) \ {x}, se α é Q xβ

Pelos metateoremas de indução o conjunto V L está definido para todos os termos e todas as

formulas da linguagem L1.

8.6. Substituição de variáveis. Se t e s são termos e x é uma variável, definimos [t ]sx o termo

obtido substituindo toda ocorrência da variável x pelo termo s. Formalmente, definimos a subs-

tituição em termos indutivamente:

• [x]sx é o termo s e [y]s

x é o termo y ;

• se c é uma constante, [c]sx é o termo c;

• se t é da forma F (t1, . . . , tn), então [t ]sx é o termo F ([t1]s

x , . . . , [tn]sx ).

Se α é uma fórmula, x é uma variável e t é um termo, definimos [α]tx a fórmula obtida substi-

tuindo todas as ocorrências livres da variável x pelo termo t . Formalmente, definimos a substi-

tuição em fórmulas recursivamente:

• se α é (s.= t ) então [α]t

x é ([s]tx

.= [t ]tx );

• Se α é R(t1, t2, . . . , tn) então [α]tx é R([t1]t

x , [t2]tx , . . . , [tn]t

x );

• Se α é ¬β então [α]tx é ¬[β]t

x ;

• Se α é γ�β então [α]tx é [γ]t

x �[β]tx ;

• Se α é Q xβ então [α]tx é α; senão, sempre que y �= x, se α é ∀y β então [α]t

x é Q y [β]tx .

Por exemplo

(1) [(x.= y)]x

y é (x.= x).

(2) [(x.= y)]y

x é (y.= y).

72

(3) [∀x (x.= y)]y

x é ∀x (x.= y).

(4) [∀x (x.= y)]x

y é ∀x (x.= x).

(5) [(∀x P (x)) → P (x)]τx é ∀x P (x) → P (τ).

(6) [∀x (¬∀y (x.= y)) → (¬∀y (x

.= y))]yx é ∀x (¬∀y (x

.= y)) → (¬∀y (y.= y)).

(7) [∀x (P (x, y) → (¬Q(y)∨∃y P (x, y)))]F (y,z)y é ∀x (P (x,F (y, z)) → (¬Q(F (y, z))∨∃y P (x, y))).

Exemplo 61. Considere em LN a fórmula ∃x(y.= S(S(0))·x). Se substituímos y pelo termo S(S(S(0)))

temos ∃x (S(S(S(0))).= S(S(0)) · x). Se substituímos por x então temos ∃x(x

.= S(S(0)) · x)

Agora, a substituição da variável x pelo termo t na fórmulaϕ é admissível se nenhuma ocorrên-

cia livre de x emϕ estiver no escopo de um quantificador que liga qualquer variável que aparece

em t . Isto é, para cada variável y que aparece em t , nenhum lugar onde x ocorre livre em ϕ está

no escopo de ’∃y ’ ou ’∀y ’.

Por exemplo, o termo x é admissível para a variável y na fórmula ∀xP (x, y); o termo F (x, y) não é

admissível para a variável x em ∀yP (x, y); o termo z é admissível para x em P (y, z) →∀yQ(y, z).

Formalmente, o termo t é admissível para a variável x na fórmula α se

(1) α é atômica;

(2) α é ¬β e t é admissível para t em β;

(3) α é β�γ e t é admissível para x em α e em β;

(4) α é Q y β e se x ∈V L(β) então y �∈V L(t ) e t é admissível para x em β.

Exercício 62. Prove usando indução em fórmulas que t é admissível para x em α se, e só se, as

variáveis de t na fórmula [α]tx não são ligadas por um quantificador.

Se x �∈ V L(ϕ), então [ϕ]tx é admissível para qualquer termo t e, nesse caso, as fórmulas ϕ e [ϕ]t

x

são idênticas. Uma variável x sempre é admissível para ela mesmo em qualquer fórmula e [ϕ]xx é

a fórmulaϕ. A variável y não é uma substituição admissível para x na fórmula ∀y (x.= y) porque

se substituímos x por y a nova ocorrência de y seria ligada. Isso fará diferença no valor verdade

de uma sentença, enquanto que ∀y (y.= y) será uma tautologia em qualquer interpretação, a

fórmula ∀y (x.= y) tem valor verdade que dependerá da interpretação.

Exercício 63. É x uma substituição admissível para z em ϕ se ϕ é z.= x →∀z (z

.= x)? Em caso

afirmativo, o que é [ϕ]xz ?

8.7. Generalização. Se α é uma fórmula então uma generalização de α é a fórmula

∀x1∀x2 · · ·∀xnα

para quaisquer coleção de variáveis x1, x2, . . . , xn , independente delas ocorrerem ou não em α.

73

Exemplo 64. São generalizações de x.= y as fórmulas: ∀x (x

.= y), ∀y (x.= y), ∀y∀x (x

.= y),

∀z∀y∀x (x.= y), ∀w∀z∀y∀x (x

.= y).

8.8. Exercícios.

(68) Simbolize as seguintes sentenças (abertas ou não) na linguagem da Aritmética.

(a) Todo número par maior do que dois pode ser escrito como soma de dois números

primos.

(b) x possui exatamente três divisores.

(c) Todo número positivo admite raiz quadrada.

(d) z é o máximo divisor comum de x e y .

(e) Existem infinitos números primos.

(69) Defina uma linguagem de primeira ordem F que trata das relações familiares e escreva

em símbolos as sentenças abaixo.

(a) Ana é irmã de José.

(b) Maria é irmã de Ana.

(c) Pedro é pai de Ana.

(d) Pedro é pai de Maria e de José.

(e) Ana é irmã de José e Maria é irmã de Ana, então Maria é irmã de José.

(f) Tarso é irmão de Pedro e tio de Ana.

(g) Tarso é irmão de Pedro então é tio de José.

(h) Tarso é tio de Maria.

(i) Tarso é tio de Maria e de Ana, que são irmãs de José, logo Tarso é tio de José.

(j) Ele é primo de Maria.

(k) Maria possui uma avó que tem quatro filhos(as).

(70) Identifique as ocorrências livres e não-livres de variáveis nas fórmulas abaixo.

(a) (∃x((1+ y).= x))∧∀y(y < x).

(b) (∃x(x · x.= 2)) → (x +1

.= 0).

(c) ∀x∃y(z < 1).

(d) (∃x((1+ y).= x))∧ (∀y(y < x)).

(e) ∀x(((x < 6)∧ (0 < x)) →∃y(x · y.= z)).

(f) (∀y∃z(x + y.= z)) → (x

.= 0).

(g) (x < y +1) →∀x∃y(x �= y).

(h) ∀x((x.= 0)∨ (0 < x))∧∃y(y · (1+1)

.= x).

(i) ∀x(x > (1+1) → y < (x + x)).

(j) ∀y∀z((y ·z .= x) → ((y¬z)∧((y.= 1)∨(z

.=1)))).

(71) Subfórmulas: Seja α uma fórmula. O conjunto das subfórmulas de α é Sf(α) dado por:

(a) Se α é uma fórmula atômica então Sf(α) =�;

(b) Se α é da forma ¬β ou da forma ∀xβ então Sf(α) = Sf(β);

(c) Se α é da forma β→ γ então as subfórmulas então Sf(α) = Sf(γ)∪Sf(β).

74

Exiba as subfórmulas de cada uma das fórmulas que você encontrou no exercício 68.

(72) Dê uma definição precisa de escopo de um quantificador.

(73) Use indução para definir o grau de complexidade de uma fórmula (veja o exemplo 5).

Por exemplo grau(s.= t ) = 0, grau(R2(x, y)) = 0, grau(¬(s

.= t )) = 1, grau(∀x R2(x, y)) = 1,

grau(∀y ∀x R2(x, y)) = 2.

(74) Restabeleça os parênteses de acordo com as regras de omissão de parênteses.

(a) ∀x1R11 x1 ∧¬R1

1 x2.

(b) ∀x2R11 x2 ↔ R1

1 x2.

(c) ∀x2∃x1R21 x1, x2.

(d) ∀x1∀x3∀x4R11 x1 → R1

1 x2 ∧¬R11 x1

(e) ∃x1∀x2∃x3R11 x1 ∨∃x2¬∀x3R2

1 x3, x2.

(f) ∀x2¬R11 x1 → R3

1 x1, x1, x2 ∨∀x1R11 x1.

(g) ¬∀x1R11 x1 →∃x2R1

1 x2 → R21 x1, x2 ∧R1

1 x2.

(75) Use indução para mostrar que x é admissível para x em ϕ, para qualquer variável x e

qualquer fórmula ϕ, e [ϕ]xx é a fórmula ϕ.

(76) Sejam t é um termo e α uma sentença. O termo t é uma substituição admissível em α

para qualquer variável x? Qual é o resultado da substituição?

(77) O algoritmo da divisão diz que para quaisquer naturais a, b, com b �= 0, existem naturais

q e r únicos tais que a = bq+r e ≤ 0 < r < b. Expresse o teorema da divisão na linguagem

da aritmética.

(78) Defina indutivamente o conjunto LV (·) das variáveis ligadas de uma fórmula.

75

9. SISTEMA DEDUTIVO

Como na lógica proposicional, são conhecidos alguns sistemas dedutivos para o cálculo de pre-

dicados que são equivalentes no sentido de deduzirem os mesmos teoremas. Apresentaremos

um do tipo Sistema de Hilbert para a linguagem L1 da lógica de primeira ordem. Tal sistema é

axiomático, consiste numa lista finita de axiomas e outra de regras de inferência que podem ser

usados para derivar os teoremas do sistema.

Também como na lógica proposicional chamaremos de axioma e teorema, por exemplo, α→(β→α) e ∀x (α→β) → (α→∀xβ) o que, de fato, são esquemas de axiomas e de teoremas pois

usam variáveis da metalinguagem. Os axiomas são obtidos quando substituímos tais variáveis

por fórmulas nas quais figuram apenas símbolos do alfabeto de modo que toda ocorrência da

mesma (meta)variável é substituída pela mesma fórmula.

9.1. Axiomas. Um sistema dedutivo para uma linguagem de primeira ordem tem duas classes

de axiomas, os lógicos comuns a todas as linguagens e os não-lógicos. Um axioma lógico é uma

sentença ou uma fórmula universalmente válida (ou seja, é verdadeira em qualquer possível uni-

verso, não importa como os termos da fórmula são interpretados). Normalmente, toma-se como

axiomas lógicos algum conjunto mínimo de fórmulas suficiente para derivar todas as fórmulas

universalmente válidas. No exemplo 72 apresentamos três axiomas não lógicos da Teoria dos

Grupos. Os esquemas de axiomas lógicos são

(A1): α→ (β→α)

(A2): (α→ (β→ ξ)) → ((α→β) → (α→ ξ))

(A3): (α→β) → ((α→¬β) →¬α)

(A4): α→ (β→ (α∧β))

(A5): α∧β→α

(A6): α∧β→β

(A7): α→α∨β(A8): β→α∨β(A9): (α→ γ) → ((β→ γ) → (α∨β→ γ))

(A10): ¬¬α→α

(A11): (∀x (α→β)) → (∀xα→∀xβ).

(A12): (∀xα) → [α]tx sempre que t é admissível para x em α.

(A13): α→∀xα sempre que x �∈V L(α).

(A14): t.= t

(A15): t1.= t2 → t2

.= t1

(A16): (t1.= t2 ∧ t2

.= t3) → t1.= t3

76

(A17): (t1.= t �1 ∧ · · ·∧ tn

.= t �n) → �R(t1, . . . , tn) → R(t �1, . . . , t �n)

�

(A18): (t1.= t �1 ∧ · · ·∧ tn

.= t �n) → �F (t1, . . . , tn)

.= F (t �1, . . . , t �n)�

(A19): as generalizações dos esquemas de fórmulas acima.

em que α,β,γ,ξ são fórmulas, x é variável, t e t1, t2, t3, . . . , tn são termos, R é símbolo relacional

(podendo ser o.=)e F símbolo funcional.

Exemplo 65. Caso não houvesse restrição sobre a substituição de variável nos axiomas do ∀ se-

ria possível, por exemplo numa interpretação onde o universo tem mais de um elemento, que a

fórmula ∀x ∃y (x �= y) seja válida. Usando o esquema (A12) incondicionalmente teríamos o axi-

oma ∀x ∃y (x �= y) → [∃y (x �= y)]xy , ou seja, teríamos o axioma ∀x ∃y (x �= y) → ∃y (y �= y) que,

intuitivamente, deveria ser falso.

Exemplo 66. A fórmula

¬∀y ¬P (y) → �P (x) →¬∀y ¬P (y)

�

é uma instância do esquema (A1), portanto é um axioma.

A fórmula

(R(x, y) → (∃y (y.= 0)∨R(x, y))

é uma instância de β→ (α∨β), portanto é um axioma do esquema (A8).

A fórmula

∀x�¬∀y (x

.= y)�→ �¬∀y (z

.= y)�

é um axioma do esquema (A12). Também é a fórmula

∀x�

A(x) →∀y A(y)�→ �

A(y) →∀y A(y)�

porém a fórmula

∀x�∀y B(x, y)

�→∀y B(y, y)

não é um axioma desse esquema porque viola a condição de admissibilidade.

Exemplo 67. Na linguagem aritmética, por exemplo, temos o axioma lógico

(x < y) → (∃y (y.= 0)∨ (x < y))

do esquema β→ (α∨β).

Exercício 68. A fórmula (x.= y) → ((x +x

.= 0) → (x + y.= 0)) é um axioma?

9.2. Regras de inferência. Há uma única regra de inferência (de fato esquema) do sistema

(MP):α, α→β

β

77

9.3. Dedução. Sejamαuma fórmula da linguagem de primeira ordem L1 eΓ⊂L1 um conjunto

de hipóteses ou premissas. Uma prova de α a partir de Γ é uma sequência finita de fórmulas

⟨ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn⟩

tal que ϕn =α e, para i < n, ϕi é

(1) ou um axioma lógico

(2) ou uma fórmula de Γ

(3) ou uma fórmula obtida de ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕi−1 por regra de inferência.

Γ�α e lê-se “α é deduzível de Γ”, ou “Γ prova α”, ou α é consequência sintática de Γ.

No caso Γ vazio escrevemos �α e, nesse caso, α é um teorema lógico.

Simplificações de notação: usamos as mesmas simplificações adotadas na lógica proposicional,

ao invés de {α} � β escrevemos α � β; ao invés de {α1, . . . ,αn} � β escrevemos α1, . . . ,αn � β; ao

invés de Γ∪ {α} �β escrevemos Γ,α�β .

9.3.1. Propriedades de �. As seguintes propriedades valem exatamente como na lógica de pro-

posições. Como os esquemas de axiomas (A1)–(A10) e a única regra de inferência são os mesmos

da lógica proposicional (agora para fórmulas da lógica de predicados) e definição de dedução é

a mesma, temos que o � na lógica de predicados tem as mesmas propriedades de � do sistema

dedutivo para a lógica de proposições.

Metateorema 69. Se Γ é um conjunto de fórmulas de L1

Autodedução: Γ�α para todo α ∈ Γ.

Monotonicidade: Se Γ�α então Γ∪Σ�α.

Regra do corte: Se Γ�αi para i = 1,2, . . . ,k e {α1, . . . ,αk } �β então Γ�β.

Compacidade: Γ�α se, e só se, existe Δ⊆ Γ finito tal que Δ�α.

Teorema da Dedução: α�β se, e somente se, �α→β ou, genericamente,

Γ,α�β se, e somente se, Γ�α→β. (8)

O teoremas lógicos proposicionais valem com a mesma dedução na lógica de predicados.

Teorema 8. �α→α

78

Prova. Deduz-se como no teorema 1.1. α→ ((α→α) →α)) (por A1)

2. (α→ ((α→α) →α)) → ((α→ (α→α)) → (α→α)) (por A2)

3. α→ (α→α)) (por A1)

4. (α→ (α→α)) → (α→α) (MP 2,1)

5 α→α (MP 3,4)■

Teorema 9 (Redução ao absurdo (RA)). α→β, α→¬β�¬α

Demonstração. Segue do Teorema da Dedução em (A3). ■

Teorema 10 (Introdução da conjunção (IC)). α, β�α∧β


Teorema 11 (Eliminação da conjunção (EC1)). α∧β�α


Teorema 12 (Eliminação da conjunção (EC2)). α∧β�β


Teorema 13 (Introdução da disjunção (ID1)). α�α∨β


Teorema 14 (Introdução da disjunção (ID2)). β�α∨β


Teorema 15 (Duns Scotus (DS)). α, ¬α�β

79

Prova. Dá-se como na dedução do teorema 6.

1. α (hip.)

2. ¬α (hip.)

3. α→ (¬β→α) (A1)

4. ¬α→ (¬β→¬α) (A1)

5. ¬β→α (MP 1,3)

6. ¬β→¬α (MP 2,4)

7. (¬β→α) → �(¬β→¬α) →¬¬β�

(A3)

8. (¬β→¬α) →¬¬β (MP 5,7)

9. ¬¬β (MP 6,8)

10. ¬¬β→β (A10)

11. β (MP 9,10)■

Teorema 16 (Modus Tollens (MT)). α→β,¬β�¬α

Prova.1. α→β (hip.)

2. ¬β (hip.)

3. (α→β) → ((α→¬β) →¬α) (A3)

4. ¬β→ (α→¬β) (A1)

5. α→¬β (MP 2,4)

6. (α→¬β) →¬α (MP 1,3)

7. ¬α (MP 5,6)■

Teorema 17 (Contra-positiva (CP1)). α→β�¬β→¬α

Demonstração. Segue de Modus Tollens por aplicação do Teorema da Dedução. ■

Teorema 18 (Silogismo hipotético (SH)). α→β,β→ γ�α→ γ

Prova. Dá-se como a dedução do teorema 2. ■

Teorema 19 (Silogismo disjuntivo (SD)). α∨β, ¬α�β

Prova.1. α∨β (hip.)

2. ¬α→β (def. de ∨)

3. ¬α (hip.)

4. β (por MP 2,3)■

80

Teorema 20 (Troca condicional (TC)). θ→ (φ→ ξ) �φ→ (θ→ ξ)

Prova. Segue a dedução do teorema 3. ■

Teorema 21 (Dupla negação (DN1)). ¬¬α�α.

Prova. Segue de (A10) e o teorema da Dedução. ■

Teorema 22 (Dupla negação (DN2)). �α→¬¬α

Prova. Deduz-se como no teorema 5. ■

Teorema 23 (Contra-positiva (CP2)). ¬β→¬α�α→β

Prova.1. ¬β→¬α (hip.)

2. (¬β→¬α) → (¬¬α→¬¬β) (CP1)

3. ¬¬α→¬¬β (MP 1,2)

4. α→¬¬α (DN2)

5. ¬¬β→β (DN1)

6. α→¬¬β (SH 4,3)

7. α→β (SH 6,5)■

9.3.2. Regras de inferências derivadas. Os sistemas dedutivos do estilo de Hilbert têm poucas re-

gras de dedução. Aaas regras de inferência adicionais advindas dos teoremas lógicos não acres-

centam nenhum poder dedutivo ao sistema, no sentido de que uma dedução usando as novas

regras de dedução pode ser convertida em uma dedução usando apenas a dedução com a regra

original.

Uma regra de inferência derivada é uma regra de inferência que não é dada a nós como parte do

sistema dedutivo, mas que constitui uma abreviatura usando um teorema previamente provado.

Em particular, suponha que tenhamosΓ�α comΓ= {γ1, . . . ,γk } um conjunto finito de teoremas.

Então sempre que deduzimos, digamos numa prova de Σ � β, os teoremas de Γ, podemos usar

Γ�α para deduzir α. Assim, acrescentamos a regra

γ1, . . . ,γk

α

à nossa lista de regras de inferência. O teoremas acima nos dão várias regras derivadas, todas já

conhecidas do cálculo porposicional e que agora valem para fórmulas da lógica de predicados.

Vejamos algumas regras de inferência derivadas dos “novos” axiomas.

Teorema 24 (Instanciação universal (IU)). ∀xα� [α]tx , para todo termo t admissível para x.

81


Teorema 25 (Generalização universal (G)). α�∀xα, se x �∈V L(α).


Teorema 26 (Generalização existencial (GE)). [α]tx �∃xα, se t é admissível para x.

Prova. Provaremos � [α]tx →∃xα, se t é admissível para x; o teorema segue do teorema da De-

dução. Seja t uma substituição admissível para x em α.

1. ∀x¬α→¬[α]tx (A12)

2. (∀x¬α→¬[α]tx ) → (¬¬[α]t

x →¬∀x¬α) (CP1)

3. ¬¬[α]tx →¬∀x¬α (MP 1,2)

4. [α]tx →¬¬[α]t

x (DN2)

5. [α]tx →¬∀x¬α (SH 3,4)

6. [α]tx →∃xα (def. de ∃)

■

Teorema 27. �∀xα→∃xα

Prova. Fixado t admissível para x em α

1. ∀xα→ [α]tx (A12)

2. [α]tx →∃xα (GE)

3. ∀xα→∃xα (SH 1,2)■

Com a notação usual temos as seguintes regras derivadas dos teoremas acima.

(RA):α→β,α→¬β

¬α

(IC):α,β

α∧β

(EC1):α∧βα

(EC2):α∧ββ

(ID1):α

α∨β

(ID2):β

α∨β

(DS):α,¬αβ

(MT):α→β,¬β

¬α

(SH):α→β,β→ γ

α→ γ

(TC):θ→ (φ→ ξ)

φ→ (θ→ ξ)

(CP1):α→β

¬β→¬α

(CP2):¬β→¬αα→β

82

(DN1):¬¬αα

(DN2):α

¬¬α

(G):α

∀xα, se x �∈V L(α).

(IU):∀xα

[α]tx

, se t admissível para x.

(GE):[α]t

x

∃α , se t admissível para x.

(∀/∃):∀xα

∃xα

Metateorema 70 (Teorema da Generalização). Seja Γ tal que a variável x não ocorre livre em

nenhuma fórmula de Γ. Se Γ�α então Γ�∀xα.

Demonstração. Suponha que Γ�α e seja ⟨θ1, . . . ,θn⟩ uma prova. Demonstraremos por indução

em i que Γ�∀x θi .

Se θ1 é axioma lógico então ∀x θ1 é axioma lógico, portanto Γ�∀x θ1.

Se θ1 ∈ Γ então x �∈V L(θ1) e podemos usar o esquema (A13) como em

1. θ1 (hip.)

2. θ1 →∀x θ1 (A13)

3. ∀x θ1 (MP 1,2)

Portanto, θ1 �∀x θ1 e por monotonicidade Γ�∀x θ1.

Assuma, como hipótese da indução, que Γ � ∀x θi para i = 1,2, . . . ,m − 1. Vamos provar Γ �∀x θm . Se θm é axioma lógico ou está em Γ então Γ�∀x θm (a demonstração é análoga ao caso

i = 1). Senão, existem j ,k < m tais que θm é modus ponens de θ j (na linha j ) e θ j → θm (na linha

k). Por hipótese de indução temos

Γ�∀x θ j e Γ�∀x (θ j → θm) (9)

agora

1. ∀x θ j (hip.)

2. ∀x (θ j → θm) (hip.)

3. ∀x (θ j → θm) → (∀x θ j →∀x θm) (A11)

4. ∀x θ j →∀x θm (MP 2,3)

5. ∀x θm (MP 1,4)

portanto ∀x θ j ,∀x (θ j → θm) �∀x θm e da regra do corte com (9) concluímos Γ�∀x θm .

Portanto Γ�∀x θi para todo i , 1 ≤ i ≤ n, em particular, Γ�∀xα. ■

Por exemplo, se x não ocorre livre em α

� (α→∀xβ) →∀x(α→β).

83

De fato, temos α→∀xβ�∀x(α→β)

1. α→∀xβ (hip.)

2. ∀xβ→β (A13)

3. α→β (SH 1,2)

4. ∀x(α→β) (TG)

Também, se x não ocorre livre em α

�∀x(α→β) → (α→∀xβ)

Prova.1. ∀x(α→β) (hip.)

2. ∀x(α→β) → (∀xα→∀xβ) (A11)

3. ∀xα→∀xβ (MP 1,2)

4. α→∀xα pois x �∈V L(α) (A13)

5. α→∀xβ (SH 3,4)■

portanto, se x não ocorre livre em α

� (α→∀xβ) ↔∀x(α→β).

Prova.1. ∀x(α→β) → (α→∀xβ) (teo.)

2. (α→∀xβ) ↔∀x(α→β) (teo.)

3. ∀x(α→β) → (α→∀xβ) ∧ (α→∀xβ) ↔∀x(α→β) (IC 1,2)

4. ∀x(α→β) ↔ (α→∀xβ) (def. ↔)■

Metateorema 71 (Teorema da Generalização em constantes). Sejam c uma constante e Γ um

conjunto de fórmulas em uma linguagem de primeira ordem tais que c não ocorre numa fórmula

ϕ e Γ�ϕ. Então há uma variável x que não ocorre em ϕ tal que Γ�∀x [ϕ]cx . Além disso, há uma

dedução Γ�∀x [ϕ]cx em que c não ocorre.

Demonstração. Exercício. Dica: seja ⟨θ1, . . . ,θn⟩uma prova deΓ�ϕ. Demonstre que ⟨[θ1]cx , . . . , [θn]c

x⟩é uma prova de Γ � [ϕ]c

x e considere Σ ⊂ Γ o conjunto (finito) de fórmulas que ocorrem nessa

prova. Se x não ocorre em Σ, pode-se usar o teorema de generalização. ■

Corolário 71.1 (regra (IE)). Assuma que a constante c não ocorre em ϕ,ψ,Γ e que Γ, [ϕ]cx � ψ.

Então Γ,∃xϕ�ψ e existe uma prova dessa dedução na qual c não ocorre.

Demonstração. Exercício. Dica: prove que se Γ� [ϕ]cx , e c não ocorre em Γ,ϕ, então Γ�∀xϕ e c

não ocorre nessa dedução. Use a contrapositiva em Γ, [ϕ]cx �ψ. ■

84

Note que (IE) não afirma ∃xϕ� [ϕ]cx que pode não ser válido.

Há axiomas redundantes. Observamos aqui que os axiomas que estabelecemos para o sistema

dedutivo não é o menor conjunto possível, dentre eles há várias redundâncias. Por exemplo, com

respeito a igualdade, podemos provar a propriedade simétrica (A14) usando os outros axiomas

� (x.= y) → (y

.= x) (10)

Prova.1. x

.= y (hipótese)

2. (x.= y ∧ x

.= x) → (x.= x → y

.= x) (A17)

3. (x.= y ∧ x

.= x) → (x.= x) (A6)

4. ((x.= y ∧ x

.= x) → (x.= x → y

.= x)) → (((x.= y ∧x

.= x) →4. (x

.= x)) → ((x.= y ∧x

.= x) → y.= x)) (A2)

5. ((x.= y ∧ x

.= x) → (x.= x)) → ((x

.= y ∧x.= x) → y

.= x) (MP 3,4)

6. (x.= y ∧x

.= x) → y.= x) (MP 4,5)

7. x.= x (A13)

8. x.= x → (x

.= y → (x.= y ∧x

.= x)) (A4)

9. x.= y → (x

.= y ∧ x.= x) (MP 7,8)

10. x.= y ∧ x

.= x (MP 1,9)

11. y.= x (MP 1,10)

Existem várias axiomatizações da lógica de predicados, uma vez que, para qualquer lógica, há

liberdade na escolha de axiomas e regras de inferência que caracterizam essa lógica. Descreve-

mos aqui um sistema axiomático à Hilbert. Poderíamos ter restringido os 10 primeiros axiomas

aos 3 seguintes

(1) φ→ �ψ→φ

�

(2)�φ→ �

ψ→ ξ��→ ��

φ→ψ�→ �

φ→ ξ��

(3)�¬φ→¬ψ�→ �

ψ→φ�

Esses axiomas descrevem a lógica proposicional clássica. Para manipular quantificadores uni-

versais basta

(4) ∀xφ→ [φ]tx onde t é admissível para x em φ

dos três esquemas de axioma lógico que usamos (aqui em outra ordem)

• ∀xφ→ [φ]tx onde t é admissível para x em φ

• ∀x�φ→ψ

�→ �∀xφ→∀xψ�

• φ→∀xφ onde x não é uma variável livre de φ.

85

os dois últimos são redundante se adotarmos a regra de generalização (G) como regra de infe-

rência primitiva.

Dos esquemas de axioma para a igualdade, basta

(5) x.= x para cada variável x

(6)�x

.= y�→ �

[φ]xz → [φ]y

z�

9.4. Axiomas não lógicos e teorias de primeira ordem. Uma teoria de primeira ordem ou teo-

ria consiste de uma linguagem de primeira ordem e um conjunto Γ de sentenças dessa lingua-

gem. Tais sentenças são os axiomas não lógicos da teoria.

Exemplo 72. Uma linguagem LG para a Teoria dos Grupos tem os símbolos não lógicos: uma

constante, denotada por e, e uma função binária, denotada por ◦. Essa teoria é dada pela lingua-

gem LG e os axiomas não lógicos

(G1) ∀x ((x ◦e.= x)∧ (e ◦ x

.= x));

(G2) ∀x∃y (x ◦ y.= e);

(G3) ∀x∀y∀z (x ◦ (y ◦ z).= (x ◦ y)◦ z).

9.4.1. Axiomas não lógicos da Aritmética. À linguagem LN acrescentamos, além dos axiomas

lógicos, os seguintes axiomas não lógicos da teoria elementar de números

(PA0) ∀x (Sx �= 0)

(PA1) ∀x∀y(Sx.= Sy → x

.= y)

(PA2) ∀x (x +0.= x)

(PA3) ∀x∀y (x +Sy.= S(x + y))

(PA4) ∀x (x ·0.= 0)

(PA5) ∀x∀y (x ·Sy.= (x · y)+x)

(PA6) Se ϕ ∈LN com x ∈V L(ϕ), então�[ϕ]0

x ∧∀x�ϕ→ [ϕ]Sx

x

��→∀xϕ

Notemos que (PA0)–(PA5) são axiomas, i.e. fórmulas da linguagem, enquanto que (PA6) é um

esquema de axioma, é o esquema de axioma da indução. Além desses, os axiomas de ordem

(OA0) ∀x¬(x < 0)

(OA1) ∀x∀y (x < Sy ↔ x < y ∨x.= y)

(OA2) ∀x∀y (x < y ∨x.= y ∨ y < x) .

Exercício 73. Abaixo vamos usar o seguinte teorema

β, α→ γ�α→ (β∧γ) (*)

86

Solução. Do teorema de dedução e

1. β (hip.)

2. α→ γ (hip.)

3. α (hip.)

4. γ (MP 2,3)

5. β∧γ (IC 1,5)

■

Agora, denotamos por PA o conjunto de fórmulas

PA= {PA0,PA1,PA2,PA3,PA4,PA5,PA6,OA0,OA1,OA2}

e vamos provar usando o esquema de indução que

PA �∀y (0+ y.= y). (11)

cuja prova será feita por indução em y via

�[0+ y

.= y]0y ∧∀y

�0+ y

.= y → [0+ y.= y]Sy

y

��→∀y (0+ y

.= y)

A base da indução para (11) consiste em provar [0+ y.= y]0

y , ou seja, 0+0.= 0.

1. ∀x(x +0 = 0) (PA2)

2. ∀x(x +0 = 0) → 0+0 = 0 (A1I)

3. 0+0 = 0 (MP 1,2)

O passo indutivo para (11) consiste em provar ∀y�0+ y

.= y → [0+ y.= y]Sy

y

�, ou seja, vamos de-

rivar a fórmula ∀y (0+ y.= y → 0+Sy

.= Sy)

1. ∀x∀y(x +Sy.= S(x + y)) (PA3)

2. ∀x∀y(x +Sy.= S(x + y)) →∀y(0+Sy

.= S(0+ y)) (A1I)

3. ∀y(0+Sy.= S(0+ y)) (MP 1,2)

4. ∀y(0+Sy.= S(0+ y)) → 0+Sy

.= S(0+ y) (A1I)

5. 0+Sy.= S(0+ y) (MP 4,5)

6. 0+ y.= y → S(0+ y)

.= Sy (A18)

7. 0+ y.= y → (0+Sy

.= S(0+ y)∧S(0+ y).= Sy) (exerc. 73 5,6)

8. (0+Sy.= S(0+ y)∧S(0+ y)

.= Sy) → (0+Sy.= Sy) (A16)

9. 0+ y.= y → 0+Sy

.= Sy (SH 7,8)

10. ∀y (0+ y.= y → 0+Sy

.= Sy) (TG 9)

Feito isso, a conclusão de (11) se dá da seguinte forma.

87

1. 0+0.= 0 (base)

2. ∀y (0+ y.= y → 0+Sy

.= Sy) (passo)

3. (0+0.= 0)∧∀y (0+ y

.= y → 0+Sy.= Sy) (IC 1,2)

4.�(0+0

.= 0)∧∀y (0+ y.= y → 0+Sy

.= Sy)�→∀y (x + y

.= y +x) (PA6)

5. ∀y (0+ y.= y) (MP 3,4)

Exercício 74. Escreva uma prova formal para

PA�∀y (0+ y.= y +0). (12)

Note que provamos ∀y (0+ y.= 0) e que ∀y (y +0

.= 0) é axioma.

O exercício acima é a base da indução para provar que a soma é comutativa

PA�∀x∀y (x + y.= y +x).

Se provarmos que ∀x�(∀y (x + y

.= y + x)) → [∀y (x + y.= y + x)]Sx

x

�é consequência sintática de

PA então

1. ∀y (0+ y.= y +0) (base)

2. ∀x�(∀y (x + y

.= y +x)) → (∀y (Sx + y.= y +Sx)

�(passo)

3. ∀y (0+ y.= y +0)∧

∀x�(∀y (x + y

.= y + x)) → (∀y (Sx + y.= y +Sx)

�(IC 1,2)

4.�∀y (0+ y

.= y +0)∧∀x�(∀y (x + y

.= y + x)) →(∀y (Sx + y

.= y +Sx)��→∀x(∀y (x + y

.= y + x)) (PA6)

5. ∀x(∀y (x + y.= y + x)) (MP 3,4)

Exercício 75. PA�∀x�(∀y (x + y

.= y + x)) → (∀y (Sx + y.= y +Sx)

�

Exercícios.

(79) Para cada uma das fórmulas abaixo determine se é um axioma lógico.

(a) ∀x∀z (x.= y → (x

.= c → x.= y))

(b) x.= y → (y

.= z → z.= x)

(c) ∀z (x.= y → (x

.= c → y.= c))

(d) ∀w∃x (P (w, x) → P (w, w)) →∃x (P (x, x) → P (x, x))

(e) ∀x(∀x (c.= f (x,c) →∀x∀x (c

.= f (x,c))))

(f) (∃x P (x) →∃y ∀zR(z, f (y))) → ((∃xP (x) →∀y¬∀z R(z, f (y))) →∀x¬P (x))

(g) ∀x∃y (¬(y.= x)) →∃y (¬(y

.= 0))

(h) ∀x∃y (¬(x.= y))

(i) ∀x∃y(y < x) →∃y(y < y)

(j) ∀x ((0 < x) → (0 < x + x)) → ((0 < x) →∀x(0 < x +x))

88

(k) ∀x∀y ((x +1.= 0) → ((y

.= 1) → (x +1.= 0)))

(80) Escreva uma prova para

(a) � (∀x1(R11(x1)∨R1

2(x1))) → (R12(x1)∨R1

1(x1)).

(b) � R11(c1) → (R1

1(c2) → (R11(c1)∧ r 1

1 (c2))).

(c) �∀x1(∀x2(R11(x1) → (R1

1(x2) → R11(x1)))).

(d) {Q(x),∀y (Q(y) →∀z P (z))} �∀x P (x)

(e) � (α→∃xβ) ↔∃x (α→β) se x não ocorre livre em α

(f) � (∀xβ→α) ↔∃x (β→α) se x não ocorre livre em α

(g) � P (y) ↔∀x (x.= y → P (x))

(81) Demonstre as propriedades de �.

(82) Escreva uma prova para PA� S0+SS0.= SSS0 e para PA � 0 < S0.

(83) Escreva uma prova para PA�∀x(0 · x.= 0).

(84) Escreva uma prova para PA�∀x(x.= 0∨∃y(x

.= Sy)).

parte lÓgicadepredicados -...

Documents