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Bacharelado em Ciência e TecnologiaLógica Básica (NHI2049-13)

Introdução à Lógica

Profa Maria das Graças Bruno Marietto [email protected]

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Lógica Básica (NHI2049-13)


MOTIVAÇÃO

Lógica Logos + Ica

Em grego: razão, discurso, verbo

Ciência

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MOTIVAÇÃO

Lógica Logos + Ica

Razão, discurso, verbo Ciência

A Lógica tem por objetos de estudo:as leis gerais do pensamentofórmulas de raciocínio/argumentos que, a partir de conhecimentosconsiderados verdadeiros, permitem obter novos conhecimentos verdadeirosLógica é a disciplina que lida com métodos de raciocínio/argumentos

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MOTIVAÇÃO

A interrogação de um lógico é:

A conclusão a que se chegou deriva das premissas

usadas ou pressupostas?

Sea afirmação da verdade das premissas garante a

afirmação de que a conclusão também é verdadeira

Então o raciocínio é CORRETO

Caso contrário o raciocínio é INCORRETO

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ORIGEM: ARISTÓTELES

Aristóteles (384 – 322 AC) é considerado o pai da Lógica

Em sua obra chamada Órganon (que significa ferramenta, instrumento), Aristóteles estabeleceu princípiostão gerais e tão sólidos que dominou o pensamento ocidental durante dois mil anos

E até hoje são considerados válidos

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ORIGEM: ARISTÓTELES

Órganon é o nome coletivo dos seis (06) livros de Lógica de Aristóteles:o Categorias (Kategoríai)o Da interpretação (Perí hermeneías)o Primeiros Analíticos (Ta prótera analytiká)o Analíticos posteriores (Ta ystera analytiká)o Tópicos (Tà topiká)o Dos argumentos sofísticos (Perí ton sofistikon)

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ARISTÓTELES E O SILOGISMO

Aristóteles preocupava-se com as fórmulas de raciocínioque, a partir de conhecimentos iniciais considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos também verdadeiros

Estas fórmulas de raciocínio também são conhecidas como mecanismos de inferênciao Inferir significa extrair uma proposição como conclusão

de outras

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Por exemplo, Aristóteles propôs a seguinte estrutura de raciocínio, denominada silogismo categórico:

Raciocínio baseado em três enunciados, sendo duas premissas e uma conclusão

A partir das premissas procura-se chegar à conclusãopor dedução

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SILOGISMO CATEGÓRICO

Todo alado voa (premissa 1)

Os cavalos têm asa (premissa 2)

Logo, os cavalos voam (conclusão)

Todo ser humano é mortal (premissa 1) Os brasileiros são seres humanos

(premissa 2) Logo, os brasileiros são mortais

(conclusão)

Raciocínio certo, baseado em premissas corretas

Raciocínio certo, mas baseado em premissas falsas

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Em um silogismo nem sempre as premissas e as conclusões serão verdadeiras

Caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamento de conceitos e juízos que levariam à descoberta de verdades


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LÓGICA: PEQUENA SÍNTESE

De um modo geral, a Lógica se ocupa do estudo sistemático das formas de argumento, a ideia de que a validade de um argumento é determinada pela sua forma lógica, não pelo seu conteúdo.

Um argumento válido é aquele em que existe uma relação específica de suporte lógico entre os

pressupostos do argumento e sua conclusão

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LÓGICA SIMBÓLICA

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Raciocínios formulados em uma linguagem natural, como o Português e o Inglês, podem ser de difícil avaliação

Principalmente por causa da ambigüidadeinerente às linguagens naturais, e das construções às vezes vagas ou confusas dos termos

LÓGICA SIMBÓLICA: MOTIVAÇÃO

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LÓGICA SIMBÓLICA: MOTIVAÇÃO

Acrilírico

Caetano Veloso, Rogério Duprat

Olhar colíricoLírios plásticos do campo e do

contracampoTelástico cinemascope teu sorriso

tudo issoTudo ido e lido e lindo e vindo do

vividoNa minha adolescidadeIdade de pedra e paz......

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Se Lógica é difícil e

Matemática é difícil ou

Lógica não é difícil, então Lógica não é

difícil

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A partir dos trabalhos de George Boole em meados do século XIX, foram utilizados símbolos de origem matemática para expressar os enunciados e raciocínios da Lógica

LÓGICA MATEMÁTICA/SIMBÓLICA: ORIGEM

l: Lógica é difícil m: Matemática é difícill ∧ (m ∨ ~l) → ~l

Se Lógica é difícil e Matemática é difícil ou Lógica não é difícil, então Lógica não é difícil

Boole converteu a Lógica em um tipo de Álgebra, com operadores lógicos

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A Lógica apresentada dessa forma é chamada Lógica Matemática ou

Lógica Simbólica


l: Lógica é difícil m: Matemática é difícill ∧ (m ∨ ~l) → ~l

Se Lógica é difícil e Matemática é difícil ou Lógica não é difícil, então Lógica não é difícil

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Mas a Lógica Simbólica foi negligenciada por muitos anos depois da proposta de Boole


O trabalho de Alfred Whitehead e Bertran Russel em Principia Mathematica (1910-1913) foi o primeiro a convencer um grupo de matemáticos que a Lógica Simbólica devia receber uma atenção séria

Bertran Russel Alfred Whitehead

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LÓGICA: PEQUENA SÍNTESE

Especificamente, a Lógica Matemática estuda as formas de argumentos matemáticos por meio de

uma linguagem formal criada artificialmente, como na Lógica Proposicional e na

Lógica de Predicados. Juntas, essas duas formam a Lógica Clássica de

Primeira Ordem, que veremos nas próximas aulas.

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PRINCÍPIOS DA LÓGICA CLÁSSICA

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A Lógica Simbólica repousa sobre três princípios fundamentais, conhecidos como as três leis do pensamento

Estes princípios permitem todo seu desenvolvimento posterior, e dão validade a todos os atos do pensamento e do raciocínio lógico

São leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias para que o pensar desenvolva-se de maneira “correta”

São eles:Princípio da IdentidadePrincípio da Não ContradiçãoPrincípio do Terceiro Excluído

LÓGICA MATEMÁTICA/SIMBÓLICA: PRINCÍPIOS

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PRINCÍPIO DA IDENTIDADE

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O princípio da identidade diz que:o Cada coisa é aquilo que éo A é igual a A (A=A)o Todo objeto é igual a si próprioo Se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é

verdadeiro

De maneira informal podemos entender o conceito/noção de identidade ,como “... a relação que todo objeto tem consigo mesmo e somente consigo mesmo”

Assim, a identidade e individualidade se caracterizam pelo fato dos objetosserem todos distinguíveis uns dos outros

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“Por exemplo, depois que ummatemático definir o triângulo comofigura de três lados e de trêsângulos, não só nenhuma outrafigura que não tenha esse númerode lados e de ângulos poderá serchamada de triângulo como tambémtodos os teoremas e problemas queo matemático demonstrar sobre otriângulo, só poderão serdemonstrados se, a cada vez queele disser “triângulo”, soubermos aqual ser ou a qual coisa ele está sereferindo”

Chauí, Marilena. Convite à Filosofia

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O que era verdadeiro sobre o Brasil quando formado por vinte Estados originais (novembro de 1889), deixou de ser verdade para o Brasil de hoje com 26 Estados e um Distrito Federal

Como fica agora o Princípio da Identidade?

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Aqueles “enunciados” cujos valores de verdade mudam com o tempo são denominados expressões elípticas, parciais ou incompletas

São das proposições cujo valor verdade não muda com o tempo que a Lógica Clássica se ocupa: enunciados não elípticos e completos

Há somente vinte Estados federados no Brasil Expressão elíptica, parcial

Havia vinte Estados federados no Brasil

em 1889

Expressão não elíptica, completaQuando limitamos nossa atenção aos

enunciados completos, então o Princípio da Identidade pode ser utilizado

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PRINCÍPIO DA IDENTIDADE: QUESTIONAMENTOS

O princípio da identidade não é um simples jogo de palavras.....

Na verdade, o princípio da identidade foi criticado com fundamento em que:o As coisas mudamo A realidade é fluida, de que nada permanece igual a si

próprio

Áreas da Ciência que questionam o Princípio da Identidade:o Física Quânticao Filosofia Dialéticao Lógicas Não-Reflexivas, que negam o princípio da

identidade

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O sentido do princípio da identidade é que, uma vez definido um conceito de uma certa maneira, essa definição deve permanecer constante ao longo do mesmo raciocínio

Por esse princípio, afirma-se que algo (um ser da Natureza,uma figura geométrica, uma obra de arte, uma ação, etc),pode ser conhecido e raciocinado somente se for percebidoe mantido com a identidade que possui

O princípio da identidade é, portanto, a condição básica para que definamos as coisas e tenhamos a capacidade

de conhecê-las a partir de suas definições

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Mas.... o pelo Princípio da Identidade, esta “individualidade” não

se alterao A=A é uma tautologia ao longo de um raciocínio

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No livro “Alice no País das Maravilhas” o autor Charles L.Dogson (pseudônimo Lewis Carroll) usou conceitos deLógica Matemática na estruturação da estória

PRINCÍPIO DA IDENTIDADENo começo da estória Alice se vê numa

sala cheia de portas trancadas e apenasuma que conseguiu abrir.... porém quetem apenas quarenta centímetros

Então, Alice bebe o líquido de uma garrafa(com o rótulo: beba-me) que a fazdiminuir

E então Alice se questiona: “Posso terminar sumindocompletamente como uma vela. E como é que eu seriadepois disso?”

Como fica nesta situação o Princípio da Identidade?

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Alice está refletindo sobre sua “identidade essencial”O que pode definir o que ela realmente é, e quem ela

realmente é?

Muitas vezes nos deparamos com uma espécie de conversainterior e nos perguntamos:o Qual a nossa natureza? o Qual a minha identidade? o Qual é o meu verdadeiro? o Quem sou eu?

Será que somos os mesmos de um ano atrás? De um mês?Como serei daqui a dez anos?

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FÍSICA QUÂNTICA E O PRINCÍPIO DA IDENTIDADE

Física Quântica é o ramo da Física que estuda o mundo das partículas subatômicas, menores que os átomos.

A seguir tem-se oito partículas subatômicas mais estudadas atualmente: o Neutrino;o Elétron;o Quark;o Glúon;o Bósons de força fraca; o Fóton;o Gráviton; o Bóson de Higgs.

O bóson de Higgs é conhecido como a “partícula de Deus”.

É uma partícula subatômica que os físicos acreditam ser responsável

por dar massa às demais.

Por isto, o bóson de Higgs é o elemento que explica a composição

material do Universo.

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O CERN (Centro Europeu de Pesquisas Nucleares) foi criado em 1953, na fronteira entre a França e a Suíça

No dia 10 de setembro de 2008 entrou em ação, no CERN, o Grande Colisor de Hádrons (LHC), o maior acelerador de partículas até então construído pelo ser humano

Em 2012, em uma conferência, o CERN anunciou, com quase toda a certeza, que o Bóson de Higgs foi descoberto

O LHC tem 27km de comprimento34




A China pretende construir o maior acelerador de partículas do mundo, entre os anos de 2020 e 2025o O LHC tem 27 quilômetros de circunferênciao A acelerador chinês terá, no mínimo, o dobro de

circunferência do LHC do CERN

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Na Física Quântica:o Partículas subatômicas podem estar em dois lugares ao

mesmo tempoo Conseguem sair do ponto A e chegar ao B… antes de

sair do Ao Conseguem sair do ponto A e chegar ao ponto B,C,D,E,

etc, ao mesmo tempo

Experimento da fenda duplaA Física Quântica não obedece o princípio da identidade: uma partícula subatômica pode agir

como uma partícula, ou como uma onda

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FILOSOFIA “DIALÉTICA” E O PRINCÍPIO DA IDENTIDADE

Heráclito de Éfeso (aprox. 535 a.C. à 475 a.C.) foi um filósofo pré-socrático considerado o “pai da Dialética”

Algumas frases de Heráclito:o Nenhum homem pode banhar-se duas

vezes no mesmo rio...pois na segunda vez o rio já não é o mesmo, nem tão pouco o homem

o Tudo fluio Nada existe de permanente, a não ser a

mudança

Dialética é um método de diálogo cujo foco é a contraposição e contradição de ideias, que leva a

outras ideias

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O filósofo alemão Georg Wilhem Friedrich Hegel (1770-1831) propôs que tudo se desenvolve pela oposição dos contrários

A dialética hegeliana foi desenvolvida a partir da estrutura tese, antítese e síntese:

o A tese é uma afirmação, ou situação inicialmente dada

o A antítese é uma oposição à teseo Do conflito entre tese e antítese surge

a síntese, situação nova que carrega dentro de si elementos resultantes desse choque

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TESEA nossa classe política é corrupta ou, ao menos,

omissa em relação à corrupção. Não haverá renovação nos quadros políticos que altere esta

realidade. Os herdeiros continuarão as atividades dos seus padrinhos.

ANTÍTESEÉ possível renovar os políticos através do voto.

SÍNTESEO sistema capitalista é corrupto por natureza. Portanto, para combater de fato a corrupção é preciso mudar o sistema capitalista para um

outro sistema social

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PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO

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O princípio da não contradição determina que proposições contraditórias não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo:o Uma proposição NÃO pode ser verdadeira e falsa, ao

mesmo tempoo X é X e é impossível que seja, ao mesmo tempo e na

mesma relação, não Xo Um conceito não pode ser definido, simultaneamente,

como A e não Ao Um objeto não pode, simultaneamente, ser e não sero "Efetivamente é impossível, a quem quer que seja,

acreditar que uma mesma coisa seja e não seja" ARISTÓTELES. Metafísica


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“Assim, é impossível que:

o A árvore que está diante de mim seja e não seja uma mangueira

o Que Carlos seja e não seja Carlos

o Que o triângulo tenha e não tenha três lados e três ângulos

o Que o homem seja e não seja mortal

o Maria é casada e é solteira

o Que o vermelho seja e não seja vermelho, etc”Chauí, Marilena. Convite à Filosofia

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O princípio da não contradição pode ser formulado de vários modos

Um dos enunciados diz que, dentre duas proposições contraditórias, isto é, tais que uma delas seja a negação da outra, uma delas deve ser falsa

Por exemplo, dado um certo número natural n, então, dentre as duas proposições “O número n é par” e “O número n não é par”, uma delas deve ser falsa

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PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: QUESTIONAMENTOS

Lógicas Paraconsistentes abolem o Princípio da Contradição

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COMPUTADORES QUÂNTICOS:PROPRIEDADE DA SOBREPOSIÇÃO E OS

QBITS

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PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: COMPUTADORES QUÂNTICOS

De modo geral e simplificado, a Computação Quântica é a aplicação das teorias e propriedades da Mecânica Quântica ao computador

A principal propriedade quântica que está sendo estudada, sendo esta a base do computador quântico, é a chamada Propriedade da Sobreposição

Esta propriedade não existe no mundo macroscópico (mundo visível a olho nu pelos humanos)

Na Mecânica Quântica, é possível que uma partícula esteja em dois ou mais estados ao mesmo tempo. Um famoso experimento teórico, denominado “O gato de Schrödinger”, expressa esta realidade

Experimento do gato de SchrödingerA Física Quântica não obedece o Princípio da Não Contradição: uma partícula pode estar, e não estar, em um lugar ao mesmo

tempo 46



Um computador quântico pode ser construído a partir de fótons, nêutrons, prótons, elétrons e até mesmo pósitrons

Em um processador quântico temos átomos, ao invés de transístores

Sendo assim os computadores quânticos, pelo menos os processadores, possuirão um tamanho mais do que diminuto, em escala atômica


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A ideia fundamental é que em um átomo, a rotação de cada elétron corresponde a um pequeno movimento magnético que pode ser controlado caso o átomo seja colocado

sobre uma superfície suficientemente sensívelUma peculiaridade interessante é que enquanto um transístor

permite apenas dois estados, ou seja, ligado ou desligado, cada qubit possui três estados diferentes:o Dois estados são determinados pela rotação dos

elétrons (horário ou anti-horário)o Enquanto o terceiro é uma característica bastante

peculiar dentro do mundo quântico, onde os elétrons podem girar simultaneamente nos dois sentidos


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Um computador clássico tem uma memória feita de bitsCada bit guarda um "1" ou um "0" de informação

Um computador quântico mantém um conjunto de qubitsUm qubit pode conter um “1” ouUm qubit pode conter um “0” ouUm qubit pode conter uma sobreposição destes. Ou

seja, pode conter tanto um "1" como um "0" ao mesmo tempo

O computador quântico funciona pela manipulação destes qubits


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Google e NASA na era dos computadores quânticos

D-Wave é o nome do primeiro computador quântico comercial criado nos Estados Unidos pela empresa D-Wave Systems

A empresa Google, em associação com a NASA Ames Research Center e a USRA (Associação de Universidades com Pesquisas Espaciais), criou um laboratório de pesquisa chamado de Quantum AI Lab


Eles compraram um computador quântico D-Wave de 512 qubits –por estimados 15 milhões de dólares - para pesquisar a solução de problemas complexos de Inteligência Artificial (informação de 2016)

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Em 2018A D-Wave Systems lançou

comercialmente o 2000Q, um computador quântico de 2000 qubits. O computador quântico anterior da companhia tinha 1.000 qubits.

Muitos, tanto no mundo da ciência da computação como no mundo da física, dizem que ninguém ainda desenvolveu uma verdadeira máquina quântica e que a D-Wave está simplesmente trabalhando para construir uma.


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PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO

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O princípio do terceiro excluído determina que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo terceira possibilidade ou meio termo:o Não há um possível meio-termo entre a

afirmação e negaçãoo Ou A é x ou é y, e não existe uma terceira

opçãoEste princípio sustenta, assim, que só

existem dois modos de ser:o Certo x erradoo Amor x ódioo Céu x infernoo Dia x noite

Defende um mundo bivalente

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“Por exemplo:

o Ou este homem é Sócrates ou não é Sócrates

o Ou faremos a guerra ou faremos a paz

o Mesmo quando temos, por exemplo, um teste de múltipla escolha, escolhemos na verdade apenas entre duas opções — “ou está certo ou está errado” — e não há terceira possibilidade ou terceira alternativa, pois, entre várias escolhas possíveis, só há realmente duas, a certa ou a errada”Chauí, Marilena. Convite à Filosofia

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LÓGICAS NÃO CLÁSSICAS

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A Lógica Clássica reúne:o O Cálculo Proposicional Clássicoo Os Cálculos de Predicados de primeira e segunda

ordem (obviamente, clássicos)o Respeita as três leis do pensamento

Todas as lógicas que rejeitam pelo menos um destes princípios são lógicas não clássicas

Mas nem todas lógicas não clássicas rejeitam estes princípios

Ou seja, existem sistemas de lógicas não clássicas que seguem todos os princípios da Lógica Clássica


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Os sistemas de lógicas não clássicas são categorizados em dois tipos:o Lógicas complementares, ou heterodoxaso Lógicas alternativas


Lógicas não-clássicas são todos sistemas simbólicos de lógica, além do Cálculo Proposicional Clássico e do Cálculo de Predicados de primeira e

segunda ordem

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As lógicas complementares respeitam todos princípios da Lógica Clássica, mas abrangem coisas fora do escopo desta

Ou seja, complementam de algum modo a Lógica Clássica, estendendo o seu domínio

Em geral, a linguagem clássica é enriquecida com a introdução de novos operadores. Exemplos:o Lógica Modal (com os operadores

modais de possibilidade e necessidade)o Lógica Temporal (com operadores

temporais)o Lógica Deôntica (com os operadores

deônticos proibido, permitido, indiferente e obrigatório)

LÓGICAS NÃO CLÁSSICAS: COMPLEMENTARES

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LÓGICAS COMPLEMENTARES: LÓGICA MODAL

A teoria dos modelos em Lógica Modal envolve a avaliação de proposições, não como verdadeiras ou falsas simplesmente

Mas como verdadeiras ou falsas em mundos possíveis (universos alternativos)

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The Golden Compass: A Bússola Dourada

Alma/cons-ciência de

uma pessoa


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Considerando a existência de mundos possíveis temos que uma proposição p é:

• Necessária (necessidade): se é verdadeira em todos os mundos possíveis

• Possível (possibilidade): se é verdadeira em algum mundo possível

• Impossível: se não é verdadeira em nenhum mundo possível

LÓGICAS NÃO CLÁSSICAS: LÓGICA MODAL

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A Lógica Modal permite exprimir de um modo explícito as noções de:o Necessidade: permite exprimir que uma dada

asserção é necessariamente verdadeira (i.e., não se concebe nenhuma situação em que possa ser falsa)

o Possibilidade: e que uma dada asserção é possivelmente verdadeira (i.e., concebe-se que possam existir situações em que é verdadeira podendo, no entanto, existirem também situações em que é falsa

Para tal é introduzido o operador modal � , designado operador necessidade

E o operador modal , designado operador possibilidade


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As lógicas alternativas são aquelas que rejeitam um ou mais princípios da Lógica Clássica

São concebidas como novas lógicas, destinadas a substituir a Lógica Clássica em alguns domínios do saber. Exemplos:o Lógicas Polivalentes: abolem o princípio do Terceiro

Excluído, e permite representar valores intermediários entre os valores verdadeiro e falso da Lógica Clássica

o Lógicas Paraconsistentes: abolem o Princípio da Contradição

o Lógicas Não-Aléticas: abolem o Terceiro Excluído e o da Contradição

o Lógicas Não-Reflexivas: abolem o Princípio da Identidade

LÓGICAS NÃO CLÁSSICAS: ALTERNATIVAS

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As lógicas polivalentes, ou plurivalentes, negam o princípio do terceiro excluído

O conceito de veracidade deixa de ser binário (verdadeiro e falso) para assumir outros valores

LÓGICAS ALTERNATIVAS: LÓGICAS POLIVALENTES

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Um tipo de lógica polivalente é a Lógica Trivalente, proposta por Jan Lukasiewicz em 1920

Na Lógica Trivalente o valor ½ é acrescentado aos valores 0 e 1

LÓGICAS ALTERNATIVAS: LÓGICA TRIVALENTE

Uma proposição pode ser: verdadeira (1) falsa (0) incerta (1/2)

0 ½ 1

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O sistema trivalente de Łukasiewicz era uma solução para enunciados modais, mais especificamente para acomodar proposições que dizem respeito a futuros contingentes.

No exemplo fornecido por ele:Estarei em Varsóvia ao meio dia de 21 de

dezembro do próximo ano

Se essa proposição for verdadeira ou falsa hoje, será necessário ou impossível, respectivamente, que eu esteja em Varsóvia ao meio dia de 21 de dezembro do ano que vem.

Mas isso contraria a suposição de que é apenas possível, não necessário, que eu esteja em Varsóvia ao meio dia em 21 de dezembro do próximo ano.

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Estarei em Varsóvia ao meio dia de 21 de dezembro do próximo ano

Para Lucasiewicz a proposição considerada é, no momento, nem verdadeira e nem falsa, e deve possuir um terceiro valor, identificado como “possível” ou “indeterminado”.

Esse terceiro valor é representado nas tabelas de verdade pela fração ½.

Tabelas verdade de Lucasiewicz

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Outro tipo de lógica polivalente é a Lógica Fuzzy (Difusa, Nebulosa)

A Lógica Fuzzy foi desenvolvida por Lofti Zadeh na década de 60

LÓGICAS NÃO CLÁSSICAS: LÓGICA NEBULOSA

O ser humano é inexato por natureza:• Hoje está mais ou menos quente• O show é meio caro• Aquele cara é baixinho• Coloque um pouco de sal• Picanha bem passada

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LÓGICA NEBULOSA: JOGO DE GOLFESe a bola está longe do buraco e o terreno

está levemente inclinado da esquerda para direita, bata na bola forte e em uma direção um pouco à esquerda da bandeira

Se a bola está muito perto do buraco e o terreno é plano, bata na bola gentilmente e diretamente na direção do buraco

Como modelar este

contexto incerto?

Com LÓGICA FUZZY!!!

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