Ensino Superior4 Siligismo CategricoAmintas Paiva AfonsoLgica Matemtica e Computacional

Lgica

Cincia dos argumentos; tem por objeto de estudo os argumentos, procurando elaborar procedimentos que permitam distinguir os argumentos vlidos daqueles que no so.

Vantagens e utilidade da lgicaClarificar e analisar o pensamento e a linguagem;Assegurar a eficcia demonstrativa do pensamento;Garantir a correo formal do raciocnio e a coerncia do discurso,Definir conceitos, ordenar as noes, obter concluses formalmente rigorosas

Verdade/ValidadeMatria de um raciocnio o contedo das afirmaes, aquilo que elas significam e a seu respeito que falamos de verdade ou falsidade.Forma o modo como as afirmaes so encadeadas, independentemente da matria que possamos exprimir, e a este respeito que falamos de validade.

RaciocnioTrs tipos:DedutivoIndutivoAnalgico

Tipos de raciocnio ou argumentaoDedutivoToda mulher gosta de chocolateRegina mulherLogo, Regina gosta de chocolate. Indutivo O cobre condutor de calorO cobre um metalTodo metal condutor de calorFalacioso (falcia, sofisma, paralogismo)Sofisma- inteno de enganar o interlocutor, paralogismo-erro, equvoco.)

PremissasConclusoValidadeVerdadeirasVerdadeiraVlidoVerdadeirasFalsaInvlidoFalsasVerdadeiraVlido

OrigemAristteles fez um estudo minucioso de certos tipos bsicos de argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que so vlidos daqueles que no o so. Estes ltimos so chamados de falcias ou sofismas. Exemplos:Parar de fumar uma bobagem, meu av fumou a vida inteira e morreu com 87 anos.Todas as pessoas que morreram de cncer nos ltimos 50 anos bebiam gua, logoAristteles procurou eliminar as frases ambguas, trabalhando apenas com as que no deixassem dvida quanto ao seu significado. Exemplos:Pssaros comem insetos, por Todos os pssaros comem insetos ou Alguns pssaros comem insetos.ndios no so carecas, por Nenhum ndio careca ou Alguns ndios no so carecas

OrigemPara julgar a validade ou no de um argumento, necessrio que a sentena que os constituem no tenham mais de um sentido. Segundo Aristteles, isso possvel se enunciarmos as sentenas na forma categrica. Exemplos:Todos os brasileiros so tcnicos de futebol.Nenhum gato sabe latir.Algumas pessoas gostam de comer fgado.Existem caubis que no sabem andar a cavalo.

As sentenas assim formuladas foram chamadas de proposies categricas e, segundo Aristteles, podem ser de 4 tipos:

Tipos de ProposioUniversal Afirmativa (A)

Universal Negativa (E)

Particular Afirmativa (I)

Particular Negativa (O)

Todos os homens so mortaisNenhum aluno inteligenteAlgumas alunas so extravagantesAlguns alunos no gostam de estudar

Tipos de proposies e exemplos:A: afirmao universal (todo homem mortal);E: negao universal (nenhum homem mortal);I: afirmao particular (algum homem mortal);O: negao particular (algum homem no mortal).Relacionamento entre proposies:A e E so ditos contrrios; se a proposio A verdadeira ento E falsa;A e O e tambm E e I so contraditrios: no podem ser nem verdadeiros nem falsos conjuntamente;I e O so sub-contrrios: no podem ser ambos falsos;I subalterno de A, e O subalterno de E; se A verdadeira, I tambm o , e se E verdadeira ento O tambm o .

Relacionamento entre proposiesA existncia de quatro tipos de proposies no coincidncia: representam as quatro relaes possveis entre as extenses dos termos gerais;O matemtico Euler representou as quatro relaes lgicas na forma de diagramas de conjuntos (diagramas de Venn-Euler).Se S o termo sujeito e se P um predicado ento as proposies correspondem aos diagramas a seguir...

4 relaes lgicas de EulerProposio A: incluso total (todo S P)

Proposio E: excluso total (nenhum S P)

Proposio I: incluso parcial de S em P (algum S P)

Proposio O: excluso parcial de S em P (algum S no P)

4 relaes lgicas de Euler1. Proposio A: incluso total (todo S P)Todos os atletas so saudveis2. Proposio E: excluso total (nenhum S P)Nenhum atleta saudvel

4 relaes lgicas de Euler3. Proposio I: incluso parcial de S em P (algum S P)Alguns atletas so saudveis4. Proposio O: excluso parcial de S em P (algum S no P)Alguns atletas no so saudveis

Exerccio 1Chamando R o conjunto dos pases ricos e de E o conjunto dos pases exportadores de petrleo e admitindo vlido o diagrama abaixo, procure identificar:a) o conjunto dos pases que no so ricos;b) o conjunto dos pases que no so exportadores de petrleo;c) o conjunto dos pases ricos que so exportadores de petrleo;d) o conjunto dos pases que so ricos e que no so exportadores de petrleo;e) o conjunto dos pases que so exportadores de petrleo, mas no so ricos.

Respostas

Exerccio 2Construa diagramas de Euler que representam as seguintes proposies:a) Todos os poetas so pobres.b) Todos os franceses so europeus.c) Nenhum europeu asitico.d) Existem rvores que so verdes.e) H livros que no so caros.

Exerccio 3Sendo N o conjunto de todos os seres que nadam, Construa diagramas de Euler que representam as seguintes proposies:a) Todos os patos nadam.b) Alguns gorilas nadam.c) Nenhum gato nada.d) Alguns homens no nadam.

Exerccio 4Sendo A o conjunto das pessoas que moram no Brasil e B o conjunto dos brasileiros, temos a seguinte representao para a relao existente entre A e B:Descreva com suas palavras o que caracteriza cada um dos conjuntos assinalados a seguir:

Exerccio 5Sabe-se que nenhum amigo meu amigo seu e que alguns amigos dele so seus amigos, assim, pode-se afirmar, corretamente:a) Alguns de meus amigos so amigos dele.b) Alguns amigos dele so meus amigos.c) Nenhum amigo meu amigo dele.d) Alguns amigos dele no so meus amigos.e) Nenhum amigo dele meu amigo.

Exerccio 6Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que:a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.c) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.d) Algum livro no instrutivo uma proposio proposio necessariamente verdadeira.

Exerccio 7Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que:a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.c) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.d) Algum livro no instrutivo uma proposio proposio necessariamente verdadeira.

Negao (~) Dada uma proposio p, sua negao ser denotada por ~p (no p). Se p verdadeira ento ~ p ser falsa e vice versa.

Ex: p = Bia est usando tnis preto. ~p = Bia no est usando tnis preto.p = Esta frase possui cinco palavras. ~p = Esta frase no possui cinco palavras. Chama-se negao de uma proposio p a proposio representada por no p cujo valor lgico a verdade (v) se p falsa e a falsidade (f) se p verdadeira. Simbolicamente: ~p.

Algumas observaessobre a negaoA negao de sempre

Algumas observaessobre a negaoA negao de sempre existe uma vez que no

Algumas observaessobre a negaoA negao de sempre existe uma vez que noA negao de nunca

Algumas observaessobre a negaoA negao de sempre existe uma vez que noA negao de nunca existe uma vez que

Algumas observaessobre a negaoA negao de sempre existe uma vez que noA negao de nunca existe uma vez queA negao de p e q

Algumas observaessobre a negaoA negao de sempre existe uma vez que noA negao de nunca existe uma vez queA negao de p e q ~p ou ~q

Algumas observaessobre a negaoA negao de sempre existe uma vez que noA negao de nunca existe uma vez queA negao de p e q ~p ou ~qA negao de p ou q

Algumas observaessobre a negaoA negao de sempre existe uma vez que noA negao de nunca existe uma vez queA negao de p e q ~p ou ~qA negao de p ou q ~p e ~q

Quais negaes das proposies esto corretas?1. A resposta 2 2 ou 3.a) A resposta nem 2 nem 3.b) A resposta no 2 ou no 3.c) A resposta no 2 e no 3.1. A resposta 2 2 ou 3.a) A resposta nem 2 nem 3.b) A resposta no 2 ou no 3.c) A resposta no 2 e no 3.2. Pepinos so verdes e tm sementes.a) Pepinos no so verdes e no tm sementes.b) Pepinos no so verdes ou no tm sementes.c) Pepinos so verdes e no tm sementes.2. Pepinos so verdes e tm sementes.a) Pepinos no so verdes e no tm sementes.b) Pepinos no so verdes ou no tm sementes.c) Pepinos so verdes e no tm sementes.

Quais negaes das proposies esto corretas?3. 2 < 7 e 3 mpar.a) 2 > 7 e 3 par.b) 2 7 e 3 par.c) 2 7 ou 3 mpar.d) 2 7 ou 3 par.3. 2 < 7 e 3 mpar.a) 2 > 7 e 3 par.b) 2 7 e 3 par.c) 2 7 ou 3 mpar.d) 2 7 ou 3 par.

Escreva a negao das afirmaes a seguir:4. Se a comida boa, ento o servio excelente. A comida boa, mas o servio ruim.5. Ou a comida boa, ou o servio excelente. A comida ruim e o servio tambm.

6. Se correr o bicho pega. Assim sendo:a) Correr condio necessria para o bicho pegar.b) O bicho pegar condio suficiente para correr.c) Correr condio necessria para o bicho pegar.d) Correr condio suficiente para o bicho pegar.e) O bicho pegar condio necessria e suficiente para correr.

7. Andr vai missa se, e somente se, Ricardo vai ao cinema.Sabe-se qua Andr no vai missa, logo:I Ricardo vai ao cinema.II Nada se pode afirmar sobre Ricardo.III Ricardo no vai ao cinema.a) Apenas I verdadeira.b) Apenas II verdadeira.c) Apenas III verdadeira.d) I e II so verdadeiras.e) I e III so verdadeiras.

8. Joo atleta ou Maria estudande, ento:a) Se Maria no estudante, ento Joo no atleta.b) Se Joo no atleta, ento Maria no estudante.c) Joo atleta e Maria estudante.d) Correr condio suficiente para o bicho pegar.e) Se Maria no estudante, ento Joo atleta.

9. Todos os aprovados foram alunos do PITGORAS, todos os alunos do PITGORAS so inteligentes, pessoas intelgentes no ficam desempregadas, logo:a) Pelo menos uma pessoa que fez o PITGORAS est desempregada.b) Alguns desempregados estudaram no PITGORAS.c) As pessoas empregadas foram aprovadas.d) Pessoas aprovadas no esto desempregadas.e) Nem todos inteligentes esto empregados.

10. Considerando que todos os Gringles so Jirnes e que nenhum Jirnes Trumps, a afirmao de que nenhum Trumps pode ser Gringles :a) Necessariamente verdadeira.b) Verdadeira, mas no necessariamente.c) Necessariamente falsa.d) Falsa, mas no necessariamente.e) Indeterminada.

Lista de exerccios sobreOperaes com Conjuntos.

O silogismo categrico uma forma particular de raciocnio dedutivo, constituda por trs proposies categricas (que afirmam ou negam algo de forma absoluta e incondicional):2 premissas e 1 concluso.A concluso deriva das proposies (premissas) que apresentam um nexo lgico explcito.

No silogismoA concluso deriva necessariamente das premissas, pelo que seria contraditrio negar a concluso, aceitando a verdade das premissas de que aquela consequncia necessria.Trs termos:- Maior (predicado na concluso)- Menor (sujeito na concluso)- Mdio (estabelece o nexo lgico entre as premissas e aparece em ambas as premissas, mas no na conclusoDuas premissasUma conclusoSILOGISMOCATEGRICO

RegrasDos termos:Trs termosO termo mdio est presente nas premissas e no parece na conclusoO termo mdio est distribudo pelo menos uma vezNenhum termo pode ter maior extenso na concluso que nas premissasDas proposies:No ter duas premissas negativasNo pode derivar uma concluso negativa de duas premissas afirmativasA concluso segue sempre a parte mais fracaNo ter duas premissas particulares

SilogismoAristteles tentou sistematizar as regras lgicas e dedicou ateno especial a um tipo de argumento, com duas proposies iniciais e uma concluso. Exemplos:Premissas:Alguns alemes so loiros.Todos os alemes so europeus.Concluso:Alguns europeus so loiros.

Premissas:Alguns mdicos so poliglotas.Alguns professores so poliglotas.Concluso:Alguns mdicos so professores.

SilogismoPremissas:Alguns atleticanos no so chatos.Todos os atleticanos so fanticos.Concluso:Alguns fanticos no so chatos. Aristteles classificou os silogismos entre os que so vlidos e os que no so vlidos. Exemplo de silogismo que no vlido, portanto, um sofisma: Premissas: Todos os alemes so europeus. Alguns alemes so loiros. Concluso: Nenhum europeu loiro.

Raciocnios InvlidosTodos ces so vegetarianos. Dlmatas so ces. Logo, dlmatas so vegetarianos.

Todos ces comem carne. Nenhum co peixe. Logo, nenhum peixe come carne.

Silogismos e SofismasSilogismo: raciocnio formado de trs proposies:premissa maior premissa menor conclusoPedro homem. O homem mortal.: Pedro mortal

Sofisma: argumento falso, intencionalmente feito para induzir outrem ao erro.O co late. Co uma constelao.: A constelao late

Sofisma 1Deus ajuda quem cedo madruga Quem cedo madruga, dorme tarde... Quem dorme tarde, no dorme noite... Quem no dorme noite, sai na balada!!!!!!! Concluso: Deus ajuda quem sai na balada!!!!!!

Sofisma 2Deus amor. O amor cego. Steve Wonder cego. Logo, Steve Wonder Deus.

Sofisma 3Disseram-me que eu sou ningum. Ningum perfeito. Logo, eu sou perfeito. Mas s Deus perfeito. Portanto, eu sou Deus. Se Steve Wonder Deus, eu sou Steve Wonder!!!! Meu Deus, eu sou cego!!!

Sofisma 4Imagine um pedao de queijo suo, daqueles bem cheios de buracos. Quanto mais queijo, mais buracos. Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. Assim, quanto mais buracos, menos queijo. Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo.

Sofisma 5 Toda regra tem exceo. Isto uma regra. Logo, deveria ter exceo. Portanto, nem toda regra tem exceo.

Sofisma 6Existem biscoitos feitos de gua e sal. O mar feito de gua e sal. Logo, o mar um biscoito.

Sofisma 7Quando bebemos, ficamos bbados. Quando estamos bbados, dormimos. Quando dormimos, no cometemos pecados. Quando no cometemos pecados, vamos para o Cu. Ento, vamos beber para ir pro Cu!

Sofisma 8Penso, logo existo. Loiras burras no pensam, logo, loiras burras no existem. Meu amigo diz que no boiola porque namora uma loira inteligente. Se uma loira inteligente namorasse meu amigo ela seria burra. Como loiras burras no existem, meu amigo no namora ningum. Logo, meu amigo boiola mesmo.

Sofisma 9Hoje em dia, os trabalhadores no tm tempo pra nada. J os vagabundos... tm todo o tempo do mundo. Tempo dinheiro. Logo, os vagabundos tm mais dinheiro do que os trabalhadores.

SilogismoSilogismo Categrico uma forma de raciocnio lgico na qual h duas premissas e uma concluso distinta destas premissas, sendo todas proposies categricas ou singulares.

Termo Mdio o termo que se repete nas duas premissas mas no aparece na concluso.

Qual o termo mdio da expresso?Todo cachorro um mamferoTodo mamfero vertebradoLogo, todo cachorro vertebrado

Qual o termo mdio? Resposta: Mamfero

Silogismo1) Todo silogismo contm somente trs termos: maior, mdio e menor;2) Os termos da concluso no podem ter extenso maior que os termos das premissas;3) O termo mdio no pode entrar na concluso;4) O termo mdio deve ser universal ao menos uma vez;5) De duas premissas negativas, nada se conclui;6) De duas premissas afirmativas no pode haver concluso negativa;7) A concluso segue sempre a premissa mais fraca;8) De duas premissas particulares, nada se conclui.

SilogismoOs raciocnios lgicos ocorrem na forma de seqncias de proposies geradas por inferncias imediatas obtidas da tbua de oposies.Um silogismo um discurso no qual, estando dadas certas proposies premissas, uma nova proposio concluso obtida necessariamente e unicamente a partir das premissas.Usualmente os silogismos so apresentados da seguinte forma:Premissa maiorPremissa menorConclusoO termo menor (S) o sujeito da concluso, o termo maior (P) o predicado da concluso, e o termo comum s premissas o termo mdio (M).

SilogismoExemplos:Todos os mamferos so vertebrados (premissa maior)Todos os homens so mamferos (premissa menor) portantoTodos os homens so vertebrados (concluso).

Neste caso o termo menor S todos os homens, o termo maior P vertebrados, e o termo mdio M mamferos.

Este silogismo tem portanto a forma:

Todas as proposies so do tipo A.

MPSMSP

SilogismoConsiderando que h 4 tipos de proposies (A,E,I e O) ento h 43 = 64 silogismos por figura (ver abaixo) , ou seja 256 silogismos no total;As figuras do silogismo so:

SilogismoNem todos os silogismos so vlidos; o estudo da Lgica por Aristteles, e posteriormente na idade mdia, buscou separar os silogismos vlidos, ou seja, aqueles em que a concluso segue necessariamente das premissas;Pode-se deduzir a validade ou no de um silogismo a partir dos diagramas de Venn-Euler correspondentes;Exemplo:Nenhum peixe (M) mamfero (P) ;Todos os robalos (S) so peixes (M) ;portantoNenhum robalo (S) mamfero (P) .

Ou, esquematicamente: MPSMSP

SilogismoExemplo:Todos os animais venenosos (M) so perigosos (P) ;Algumas serpentes (S) so animais venenosos (M) ;portantoAlgumas serpentes (S) so perigosas (P) .

Esquematicamente: MPSMSP

SilogismoEm alguns casos os diagramas de Venn-Euler apresentam o inconveniente de admitir, para um mesmo silogismo, vrias representaes geomtricas;Exemplo: MPSMSP

SilogismoVerdade e validade (ou correo):Um silogismo vlido (correto) se e somente se (sse) a verdade da concluso segue necessariamente da verdade das premissas;Os silogismos portanto transmitem a verdade das premissas concluso;Esta definio exclui a possibilidade de que um silogismo vlido possa ter premissas verdadeiras e concluso falsa;Isto no exclui a possibilidade de que a concluso de um silogismo vlido seja falsa; neste caso alguma das premissas falsa.Exemplo:Todos os animais marinhos so peixes;Todas as baleias so animais marinhos;portantoTodas as baleias so peixes.

Exerccios sobre lgica aristotlica1) Indique a forma do silogismo (termos, figura, diagrama), e indique se mesmo vlido ou no:a)Todos os gregos so homens;Todos os atenienses so gregos;Todos os atenienses so homens.b)Todos os socialistas so marxistas;Alguns governantes so marxistas;Alguns governantes so socialistas.c)Todas as aes penais so atos cruis;Todos os processos por homicdio so aes penais;Todos os processos por homicdio so atos cruis.

Exerccios sobre lgica aristotlicad) Alguns papagaios no so animais nocivos;Todos os papagaios so animais de estimao;Nenhum animal de estimao nocivo.e)Nenhum ator dramtico um homem feliz;Alguns comediantes no so homens felizes;Alguns comediantes no so atores dramticos.f)Todos os coelhos so corredores muito velozes;Alguns cavalos so corredores muito velozes;Alguns cavalos so coelhos.

Exerccios sobre lgica aristotlica2) Escreva na forma tpica, indique termos, figura, diagrama, e verifique a validade:Nenhum submarino de propulso nuclear um navio mercante, assim nenhum vaso de guerra navio mercante, visto que todos os submarinos de propulso nuclear so vasos de guerra;Alguns conservadores no so defensores de tarifas elevadas, porque todos os defensores de tarifas elevadas so republicanos, e alguns republicanos no so conservadores;Nenhum indivduo obstinado que jamais admite um erro bom professor; portanto, como algumas pessoas bem informadas so indivduos obstinados que nunca admitem um erro, alguns bons professores no so pessoas bem informadas.