Disciplina: FUNDAES Cdigo: 101134 Professor: Erinaldo Hilrio Cavalcante Notas de Aula EMPUXOS DE TERRA E ESTABILIDADE DE MUROS Captulo 1 Mtodos de Clculo Aracaju, dezembro de 2006. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL REA DE GEOTECNIA E ENGENHARIA DE FUNDAES Contato: Prof. Dr. Erinaldo Hilrio Cavalcante rea de Geotecnia e Pavimentao Av. Mal. Rondon, S/N Cidade Universitria Aracaju SE CEP 49000-000 Fone: (79) 2105-6736/6701 fax (79) 2105-6684 e-mail: erinaldo@ufs.br; geotecnia.ufs@gmail.com2 NDICE 1.0Definio3 2.0Tipos de Empuxos3 3.0Clculos dos Coeficientes de Empuxo Ativo e Passivo5 4.0Mtodos para Clculo do Empuxo6 4.1Mtodo de Rankine6 4.1.1O efeito da gua9 4.1.2Situaes possveis de perfis de tenso horizontal11 4.1.3Efeito de uma Sobrecarga12 4.2Mtodo de Coulomb12 4.2.1Soluo analtica do mtodo de Coulomb para solos granulares13 4.3Solo Coesivo15 4.4Comentrios Sobre os Mtodos de Rankine e Coulomb18 4.5Mtodos Grficos18 4.5.1Mtodo grfico de Poncelet18 4.5.1.1Terrenos inclinados e sobrecarga19 5.0Estabilidade de Muros de Arrimo21 5.1Estruturas de Arrimo21 5.2Condies de Estabilidade dos Muros de Arrimo25 5.2.11 condio: Segurana contra o tombamento25 5.2.22 condio: Segurana contra o escorregamento26 5.2.33condio:Seguranacontradeformaoexcessivanoterrenode fundao 27 5.2.44 condio: Segurana contra ruptura global28 6.0Exemplos de Aplicao31 7.0Bibliografia Consultada33 31.0 Introduo Denomina-seEmpuxoaaoproduzidaporummaciodeterra(EmpuxodeTerra)oupor umamassadegua(Empuxodegua)sobreasobrasemcontatocomtaismacios, projetadasparasuportarosesforosdecorrentesdesseselementos.Osempuxosdeterra, assim como as fundaes, tambm dependem da interao solo estrutura. Algumasvezes,naengenhariacivil,nosedispedeespaosuficienteparafazeruma transiogradualdaselevaesdoterrenoondesequerimplantarumadeterminadaobra. Nestes casos, os taludes necessrios podem ser suficientemente altos ou inclinados, de modo que a estabilidade dos mesmos no assegurada em longo prazo. As estruturas de conteno so projetadas para prover suporte para estas massas de solo instveis.Oclculodosempuxosdeterraconstituiumadasmaisantigaspreocupaesdaengenharia civil,tratando-sedeumproblemadeelevadovalorprtico,deocorrnciafreqenteede determinaocomplexa.Asteoriasclssicassobreempuxodeterraforamformuladaspor Coulomb (1773) e Rankine (1856). Os muros de arrimo, os escoramentos de escavaes, os encontros de pontes, os problemas decapacidadedecargadefundaes,pressodegrossobreasparedesdesilos,entre outras,soasobrasqueexigem,emseusdimensionamentoseanlisesdeestabilidade,o conhecimentodastenseslateraisdesenvolvidase,conseqentemente,dosvaloresdos empuxos. 2.0 Tipos de Empuxos Ummaciodeterrapodeseencontrarnanaturezasobtrssituaesdeequilbrio:em repouso, em estado de empuxos ativo ou em estado passivo (ver Figuras 1.1a, b).Empuxoativo:desenvolve-sequandoomacioagesobreaestruturadeconteno,que resiste, porm, cede com um pequeno deslocamento (ver Figuras 1.1a e 1.2). Neste caso, o macio sofre uma distenso em virtude do deslocamento relativo que tende a ocorrer. Empuxopassivo:desenvolve-sequandoaestruturadecontenoagepressionandoo maciodeterra,provocandooseudeslocamentoemsentidocontrrioaocasoativo(ver Figuras 1.1b e 1.2). o caso, por exemplo, da ao de tirantes executados para conter o deslocamento de um talude em corte. O tirante puxa a face do talude, comprimindo-o. Estadodeequilbrio:existequandonoomacioseencontranasituaode deslocamentonulo.Porexemplo,senaescavaodeumavalanohnecessidadede escoramento, h indicaes de que o macio escavado se encontra em estado de repouso (ver Figura 1.2). As tenses horizontais atuantes so denominadas e tenses de repouso. As trs situaes descritas acima esto bem ilustradas na Figura 1.2. 4 (a)(b) Figura 1.1 Condies de deslocamento relativo macio-muro nos casos (a) ativo e (b) passivo. Figura 1.2 Estado de repouso e desenvolvimento dos empuxos ativo e passivo. Emtodososcasosapresentadosacimaexisteumarelaoentreastenseshorizontais efetivas desenvolvidas (h) e as tenses verticais efetivas (v) atuantes. A relao entre estas tensesdenomina-secoeficientedeempuxo(K).Nocasoativo,tem-seocoeficientede empuxoativo(Ka).Nocasopassivo,recebeonomecoeficientedeempuxopassivo(Kp), enquantoquenasituaoderepousoadenominaocoeficientedeempuxoemrepouso (K0). vhK=(1) NasituaoderepousoexisteaconhecidaequaodeJaki,professorhngaro,paraa estimativa de K0 em funo apenas do ngulo de atrito interno efetivo do solo (): K0 = (1-sin) para areias e K0 = (1-sin)x(OCR)sen para o caso de argilas com histria de pradensamento. Oempuxoemumponto,portanto,calculadoemfunodatensoverticalnaqueleponto multiplicada pelo valor do coeficiente de empuxo especfico. 53.0 Clculos dos Coeficientes de Empuxo Ativo e Passivo Para a determinao dos outros coeficientes de empuxo considere-se um semi-espao infinito de solo, constitudo por um solo isotrpico, no saturado e de superfcie horizontal (ver Figura 1.2).AFigura1.3ilustraoqueacontececomoselementosdesoloA(casoativo)eB(caso passivo) luz do crculo de tenses de Mohr. Figura 1.3 Crculos de Mohr inicial e final de tenses para os estados ativo, passivo e em repouso. ConformemostradonaFigura1.3,ambososelementospartemdeumcrculodeMohr possuindo como tenses principais v e K0v. Conforme apresentado nesta figura, no estado em repouso o solo se encontra afastado da ruptura. Com o deslocamento do muro, as tenses horizontaisnoelementoBsetornammaioresqueovalordatensovertical,sendoseuvalor limitealcanadoquandoocrculodeMhrpassaatangenciaraenvoltriaderesistnciado solo.Nesteinstante,diz-sequeosoloestemumestadoderupturapassiva.Parauma condioderuptura,astensesprincipaisestorelacionadasdeacordocomaEquao2, apresentada adiante. N c N + = 23 1(2) em que|||.|

\|+ =2452 tg N (2A) No estado ativo, a tenso horizontal, ha, corresponde tenso principal menor, 3. Se o solo for granular (c=0), pode-se demonstrar que : |.|

\| = = =24521 tgNvhaK(3) 6No estado passivo, a tenso horizontal, hp, corresponde tenso principal maior, 1. Se o solo for granular (c=0), pode-se facilmente demonstrar tambm que : |.|

\|+ = = =2452tg NvhpK (4) Das Equaes 3 e 4 observa-se que os valores de Ka so sempre inferiores a 1, ao passo que osvaloresdeKp,porseremoinversodosdocoeficientedeempuxoativo,sosempre superiores unidade. 4.0 Mtodos para Clculo do Empuxo 4.1 Mtodo de Rankine Os processos clssicos utilizados para a determinao dos empuxos de terra so mtodos de equilbriolimite.Nestesmtodosadmite-sequeacunhadesolosituadaemcontatocoma estrutura de suporte esteja num dos possveis estados de plastificao, ativo ou passivo. Esta cunhatentadeslocar-sedapartefixadomacioesobreelasoaplicadasasanlisesde equilbrio dos corpos rgidos. A anlise de Rankine se apia nas equaes de equilbrio interno do macio. Estas equaes so definidas para um elemento infinitesimal do meio e estendida a todaamassaplastificadaatravsdeintegrao.Estaanliseenquadra-senoteoremada regio inferior (TRI) da teoria da plasticidade. Comofilosofiabsica,esteteoremadefende,emprimeirolugar,oequilbriodetensesentre oscamposexternoseinternosqueseestabelecemsobreacunhaplastificada.Astenses externas so despertadas por solicitaes aplicadas na superfcie do terreno pela ao do peso prpriodacunha.Assolicitaes internas so as reaes que se desenvolvem na cunha, em conseqnciadassolicitaesexternas.Pararesoluodasequaesdeequilbrio,todosos pontos dentro da cunha de ruptura so supostos em estado limite e as tenses se relacionam pelo critrio de ruptura de MHR COULOMB. AsoluodeRankine,estabelecidaparasolosgranulareseestendidaporRsalparasolos coesivos,constituiaprimeiracontribuioaoestudodascondiesdeequilbriolimitedos macios,tendoemcontaasequaesdeequilbriointernodosolo.Emrazodisso,essas equaes so conhecidas como estados de plastificao de Rankine. O mtodo de Rankine, que consiste na integrao, ao longo da altura do elemento de suporte, dastenseshorizontaisatuantes,calculadasapartirdosistemadeequaesestabelecido para o macio, fundamenta-se nas seguintes hipteses: i)Macio homogneo de extenso infinita e de superfcie plana (horizontal). 7ii)Osolonointeriordacunhaderupturaseencontranosestadosdeplastificaode Rankine. iii)A insero do muro no interfere nos resultados obtidos. EmborateoricamenteasoluodeRankinessejavlidaparamurodeparedevertical, perfeitamente lisa, que quando se atingem os estados de plastificao de Rankine (superfcie deescorregamentofazendoumnguloiguala45+/2ou45-/2comoplanoprincipal maior, para as condies ativa e passiva, respectivamente, conforme mostrado na Figura 1.4), elaestendidatambmaoscasosemqueotardozdomurofazumngulo comavertical. Figura 1.4 Condies para aplicao da Teoria de Rankine. Quandoasuperfciedoterrenoinclinadadeumngulocomahorizontal,hquese consideraromurocomumarugosidadesuficienteparainclinarastensesresultantesdo mesmo valor. medida que se afasta das condies tericas fundamentais, o mtodo fornece valores que se distanciam cada vez mais dos valores prticos observados. A presena do atrito ou de adeso na interface solomuro gera tenses tangenciais que contribuem para resistir ao deslocamentodacunhaplastificada.Nestecaso,autilizaodateoriadeRankinetorna sobrestimado o valor do empuxo ativo e subestimado o do empuxo passivo. Alm disso, o atrito propicia uma reduo da componente horizontal do empuxo (menor quanto maior for o valor do coeficientedeatritoentreosoloeomuro,)eprovocaoencurvamentodassuperfciesde escorregamento. A Figura 1.4 mostra cunhas de ruptura obtidas pelo mtodo de Rankine (onde no se considera a interao solo-estrutura), enquanto na Figura 1.5 so mostradas as formas das cunhas de ruptura dos estados ativo e passivo, na considerao da existncia do atrito na interface solomuro. 8 Figura 1.5 Efeito do atrito soloestrutura sobre as direes das cunhas de plastificao. SobreoprocedimentodomtododeRankineexisteadesvantagemdequeaobtenodos valoresdeKaeKpparageometriascomplexase/ououtrasformasdecarregamento,queno carregamento extenso, conduz a procedimentos de clculos bastante rduos. Para os solos no coesivos, a variao das tenses horizontais linear com a profundidade. O diagrama resultante ser triangular e o empuxo consistir na integrao das tenses laterais ao longodaaltura.AFigura1.6ilustraaobtenodoempuxoativosobreumaestruturade conteno pelo mtodo de Rankine, para os casos de solos no coesivos e coesivos. Figura 1.6 Aplicao do mtodo de Rankine para clculo do empuxo ativo sobre estruturas de conteno (Machado e Machado, 2002). Conforme se pode observar, para o caso dos solos coesivos, os valores de empuxo obtidos at uma profundidade z = z0 so negativos. A ocorrncia de empuxo negativo sobre a estrutura de contenopoucoprovvel,poisnestecasohaveriaumatendncia do solo se descolar do muro. Alm disto, at a profundidade de z = z0, provvel a ocorrncia de trincas de trao no solo.Destemodooempuxonegativosobreaestruturadecontenogeralmente desprezado, calculando-se o empuxo a partir da altura reduzida do muro, h = H z0, conforme mostrado na Figura 1.6. 9Aintegraodastenseshorizontaisaolongodomurodearrimorepresentaoempuxoativo atuando sobre a estrutura de conteno, conforme a equao seguinte: a a a.K2h . .210K E = = hdz z (5) De maneira anloga, obtm-se para a expresso do empuxo passivo total: p.K2h . .21pE = (5A) Aexistnciadacoesopermiteexecutarumcorteverticalemummaciodeterra,sem necessidadedeescoramento,atumadeterminadaprofundidade,denominadacrtica(zc), onde o empuxo resultante nulo.Isto acontece quando z = 2z0. A Equao 6 permite o clculo da altura crtica, zc. |.|

\| =245..4czc tg(6) OempuxopassivoparasoloscalculadoatravsdaEquao7,emquehconsideradaa altura total da estrutura de arrimo. P P PK h 2c .K2h . .21E + = (7) Embora esteja se considerando o caso de estruturas de conteno suportando solos coesivos, deve-se salientar que quando da execuo destas estruturas em campo, sempre que possvel, deve-seutilizarmateriaisgranularesnoaterroanterioraomuro.Osmateriaisgranulares,no coesivos,sosemprepreferveis,poisapresentammaioresvaloresdeegeralmenteno apresentamgrandesvariaesvolumtricasemprocessosdesecagem/umedecimento.Alm disso,imprescindvelqueasestruturasdecontenopossuamumbomsistemade drenagem, de modo a evitar empuxos na estrutura de conteno provocados pela gua. Com base na experincia de Salvador, pode-se afirmar que o efeito da gua tem sido decisivo nas condies de instabilidade de estruturas de conteno (Machado e Machado, 2002). 4.1.1 O Efeito da gua OefeitodaguailustradonaFigura1.7.Nocasodeonveldolenolfreticointerceptara estruturadeconteno,existirodoisempuxossobreaestrutura,umoriginadopelaguae outropelosolo.Oempuxodaguaseraplicadoaumaaltura(hhw)/3dabaseda conteno,enquantoqueoempuxoresultantedosoloaplica-seaumaaltura aproximadamente igual a h/3. 10 Figura1.7Efeitodaguanoempuxodosolosobreestruturasdeconteno(Machadoe Machado, 2002). Neste caso, h uma mudana no peso especfico do solo, que passa asat, e que as tenses neutrasdevemsubtradasdastenseshorizontaisdosolosobreaestrutura,poisos coeficientesdeempuxodevemsempreserutilizadosemtermosdetensoefetiva.Casoo nveldguaseeleveatsuperfciedoterreno,oqueconsistenasituaomais desfavorvel,oempuxoativosobreaestruturadecontenosercalculadoatravsda Equao 8: 2. .2wsubh + =a a.K2h21E (8) em que sub e w so os pesos especficos submerso e da gua, respectivamente. Nocasodetaludeondeexistaumainclinaodoterraplenocomoplanohorizontal,os coeficientes de empuxo ativo e passivo so dados pelas Equaes 9 e 10, respectivamente. Os valoresdosempuxosresultantessobreasestruturasdecontenosoobtidosatravsdas Equaes 11 e 12, respectivamente. ) ( cos ) ( cos ) cos() ( cos ) ( cos ) cos( 2 22 2 + = =vhaaK (9) ) ( cos ) ( cos ) cos() ( cos ) ( cos ) cos( 2 22 2 += =vhapK (10) a.K2h . .21aE =(11) P p.K2h . .21E = (12) 11Os valores de Ka e Kp se encontram tabelados para facilitar a obteno, conforme apresentado nas Tabelas 1.1 e 1.2. Tabela 1.1 Valores de Ka para o mtodo de Rankine (Bowles, 1988). Tabela 1.2 Valores de Kp para o mtodo de Rankine (Bowles, 1988). 4.1.2 Situaes Possveis de Perfis de Tenso Horizontal A Figura 1.8 mostra trs situaes que podem ser encontradas na prtica: no caso a, tem-se a superfciehorizontal(=0),naqualovalordeEaaprpriacomponentehorizontal;na situaob,oterrenoseapresentainclinadodeumvalor>0,ondearesultantedoempuxo sertambminclinadademesmongulo,enquantoquenocasocalmdainclinaoexiste uma sobrecarga distribuda na superfcie do terreno. Os valores das tenses horizontais e suas respectivas distribuies esto apresentados nas prprias ilustraes. Figura 1.8 Diagramas de tenso horizontal para a teoria de Rankine. 124.1.3 Efeito de uma Sobrecarga Quandosobreasuperfciedomacioatuaumsobrecargauniformementedistribuda,q, conformemostradonaFigura1.9,astenseshorizontaispodemsercalculadaspela expresso: ( ) K .h + = q z (13) onde K o coeficiente de empuxo ativo ou passivo do solo, conforme o caso que se considere. A sobrecarga ainda pode ser transformada em uma altura equivalente de terra, h0, em que: qh =0 (14) em que o peso especfico do solo. A tenso horizontal, a uma profundidade z, ser ento: ( ) K . .h + =0h z (15) ConformemostradonaFigura1.9,odiagramadetenseshorizontais,nestecaso,ser trapezoidal, e a resultante estar acima do tero inferior da altura da parede. Figura 1.9 Transformao de sobrecarga em altura equivalente de solo. 4.2 Mtodo de Coulomb O mtodo de C. A. Coulomb um dos mais antigos para o clculo do empuxo de terra, tendo sidoenunciadoporvoltade1776(Bowles,1998).OmtododeCoulombbaseadono Teorema da Regio Superior (TRS) da teoria da Plasticidade, a qual estabelece o equilbrio de uma massa de solo partindo do pressuposto que, para um deslocamento arbitrrio, o trabalho realizadopelasforasexternasmenorqueodasforasinternas.Docontrrio,omacio entraremprocessodeinstabilidadeoudeplastificao.Estemtodoadmiteasseguintes hipteses: i)O solo isotrpico, homogneo e possui atrito interno e coeso. ii)A superfcie de ruptura considerada plana iii) atendida a condio de deformao plana ao longo do eixo do muro (bidimensional). 13iv)Aolongodasuperfciededeslizamentoomaterialseencontraemestadodeequilbrio limite (critrio de Mohr-Coulomb). v)Ocorre deslizamento relativo entre o solo e o muro, resultando em tenses cisalhantes na interface,cujadireodependedomovimentorelativosolo-estrutura.Ocoeficientede atrito dado por f = tan(). Oclculodoempuxoefetuadoestabelecendo-seasequaesdeequilbriodasforas atuantessobreumacunhadedeslizamentohipottica.Umadasforasatuantesoempuxo, que no estado ativo corresponde reao da estrutura de suporte sobre a cunha e, no passivo, foraqueaestruturadearrimoexercesobreela.Oempuxoativoseromximovalordos empuxosdeterminadossobreascunhasanalisadas.Opassivoserovalormnimo.Assim, noscasosdegeometriamaissimples,serpossvelestabelecerumaequaogeralparao problemaeencontraroseuvalormximo,oumnimo,correspondentessituaesativae passiva, respectivamente. Namobilizaodoempuxoativo,omurosemovimentademodoqueosoloforadoa mobilizarasuaresistnciaaocisalhamento,atarupturaiminente.Aativaodaresistncia ao cisalhamento do solo pode ser entendida como o fim de um processo de expanso que se desencadeia no solo a partir de uma posio em repouso. Isto significa que o valor do empuxo sobreaestruturadecontenovaidiminuindo,comaexpanso,atqueseatingeumvalor crtico, situado no limiar da ruptura, ou da plastificao. Quando as anlises de equilbrio so efetuadas para as diversas cunhas hipotticas, supe-se queesselimiardarupturatenhasidoalcanadoemtodaselas.Portanto,omaiorvalorde empuxo estabelecido na anlise destas cunhas ser o crtico, pois no processo de ativao ele ser atingido em primeiro lugar, ocasionando o empuxo ativo. Isto significa que o empuxo ativo um ponto de mximo dentre os valores determinveis de empuxo. O contrrio ao descrito nos dois ltimos pargrafos ocorrer para o caso passivo. 4.2.1 Soluo analtica do mtodo de Coulomb para solos granulares EmpuxoAtivo:AEquao16apresentaovalordocoeficientedeempuxoativoobtidopelo mtodo de Coulomb. Nas Figuras 1.10 e 1.11 esto apresentadas todas as variveis contidas na Equao 16, para o caso de empuxo passivo. No caso de empuxo ativo, a resultante R do soloatuardesviadatambmdedanormalcunha,masagoraemsentidooposto.Do mesmo modo, devido ao movimento descendente da cunha no caso ativo, Ea ser inclinada da normalcontenotambmde,masemsentidocontrrioqueleapresentadonaFigura 141.10. Deste modo, no uso das Equaes 16 e 17, deve-se atentar para a conveno de sinais adotada nas Figuras 1.10 e 1.11. ( ) ( )( ) ( )222 1 ) ( ) () (((

+ ++ += sen sensen sensen sensenKa(16) Figura 1.10 Empuxo de Coulomb para solos granulares. Figura 1.11 Empuxo de Coulomb Superfcie e cunha de ruptura. EmpuxoPassivo:AEquao17apresentaovalordocoeficientedeempuxopassivoobtido pelo mtodo de Coulomb. ( ) ( )( ) ( )222 1 ) ( ) () (((

+ ++ + + = sen sensen sensen sensenKP (17) 15importantelembrarqueascomponenteshorizontalevertical(Eah,Eav)dosempuxosso calculadas pelos mtodos de Rankine e Coulomb de formas diferentes. No mtodo de Rankine, as componentes so funo do ngulo de inclinao da superfcie do terreno (): ) cos( EAH =aE (18) ) sen( EAV =aE (19) No caso do mtodo de Coulomb, as componentes horizontal e vertical dependem do ngulo de atrito solo-estrutura (): ) cos( EAH =aE (20) ) sen( EAV =aE (21) Deformaanlogasoobtidasascomponentesdoempuxonocasopassivo.Ovalorde geralmente tomado como sendo igual a 32. OscoeficientesdeempuxodeCoulombseencontramtambmtabeladosparafacilidadede obteno, conforme mostrado nas Tabelas 1.3 e 1.4. 4.3 Solo Coesivo SegundoBowles(1988),nemnomtododeRankinenemnodeCoulombfoiintroduzidaa coesocomoumparmetrodeentradaemsuasequaesdeempuxo.Bell(1915)foio primeiroautorapublicarasoluoparaesteproblema,partindodeumaaplicaodiretado crculodeMhr.Nestecaso,acoesoatuafavoravelmenteestabilidadedomacio, reduzindoovalordatensohorizontalativa,numaespciedeempuxopassivo,conformea Equao 19: a a haK c zK 2 = (22) A tenso horizontal se anula a uma profundidade z, dada pela seguinte expresso: aaKK 2cz = =a aK c zK 2 0 (23) Para o caso de argilas moles, onde = 0, tem-se: c h Ea2212 = e4czc= (24) 16Tabela 1.3 Valores de KA para aplicao do mtodo de Coulomb (Bowles, 1988). 17 Tabela 1.4 Valores de KP para aplicao do mtodo de Coulomb (Bowles, 1988). 184.4 Comentrios Sobre os Mtodos de Rankine e Coulomb TantoaequaodeRankinequantoadeCoulombsoamplamenteusadasparaproblemas envolvendo empuxos de terra. A soluo de Rankine , talvez, a mais empregada por causa da suasimplicidadeeporsermaisconservativaqueadeCoulomb(porexemplo,Rankine desprezaoatritosolo-muro).Todavia,padecedealgumaslimitaes.DeacordocomBowles (1988), no recomendvel a aplicao da equao de Rankine no clculo de EP quando > 0, visto que na Tabela 1.2 se observa que o valor de KP diminui com o aumento da inclinao da superfcie do terreno, o que no est correto, ao contrrio do que ocorre com os valores de KA.J as equaes de Coulomb podem ser usadas tanto para valores de positivos quanto para valores negativos.Finalmente, ressalta-se em relao que o mtodo de Rankine, que desconsidera o atrito entre osoloeomuro,fornecesoluesdoladodasegurana.Entretanto,omtododeCoulomb considera o atrito e fornece solues mais realistas. O emprego de uma ou de outra teoria est associado,inclusive,geometriadoproblema.Asobrasdimensionadaspelomtodode Rankine tendem a ser mais caras em razo deste mtodo fornecer valores mais conservativos do empuxo. 4.5 Mtodos Grficos So procedimentos grficos baseados na hiptese de Coulomb, na qual o plano em que ocorre odeslizamentoaquelequelimitaumprismadeempuxomximosobreosuporte.Nesses mtodos encontra-se uma relao geomtrica entre a rea da seo do prisma deslizante e a rea de um tringulo definido por trs retas traadas no problema, cujas direes dependem da inclinaodoterreno,daexistnciadesobrecarga,dainclinaodotardoz,dee.Os mtodosmaiscomunssoosdePonceleteodeCulmann.Comoambossomuito semelhantes,nestetrabalhoserabordadoapenasoprimeiro.Oleitordeverrecorrer bibliografia indicada para consultar outros mtodos. 4.5.1 Mtodo Grfico de Poncelet Para um terreno de superfcie plana, o processo grfico de Poncelet permite a determinao de maneira muito simples do empuxo. O mtodo segue o roteiro apresentado a seguir, que dever ser acompanhado com a interpretao da Figura 1.12. 19i)traar BT fazendo um ngulo com a horizontal; ii)traar AS paralela a BO, fazendoo ngulo + com a linha AB; iii)tendo BT com dimetro, traar uma semicircunferncia; iv)traar por S a reta perpendicular SL a BT; v)rebater L em D, com centro em B e raio BL; vi)finalmente, traar DC paralela a AS e rebater o ponto C, assim obtido, em G. A superfcie de ruptura ser BC e o valor do empuxo ser:CDG) tringulo do (rea =aEou ____ ____CN CD21 = aE (25) Figura 1.12 Processo grfico de Poncelet para superfcie horizontal. 4.5.1.1 Terrenos inclinados e sobrecarga Para casos envolvendo pequenos valores de ou grandes inclinaes do terreno torna-se mais adequada a construo grfica descrita a seguir (ver Figura 1.13): i)traar BT fazendo um ngulo com a horizontal; ii)traar AS formandoo ngulo + com AB; iii)pelo ponto S traar SS0 paralela superfcie livre do terreno; iv)porS0traaraperpendicularS0L0aAB,atencontraracircunfernciadedimetro AB; v)rebater BL0 sobre AB e marcar o ponto D0; vi)traar por D0 uma paralela a SS0, obtendo-se assim o ponto D; vii)finalmente, traar por D uma paralela a AS at encontrar a superfcie do terreno, em C, que oponto procurado. 20 Figura 1.13 Soluo grfica de Poncelet para casos de muito pequeno. Ocorrendosobrecargaqsobreasuperfciedoterreno,aconstruodePonceletamesma, sendoqueongulo+marcadoapartirdopontoAeasemicircunfernciatraada sobreodimetroBT,sendoTopontodeencontrodaretadetaludenaturalBTcoma superfciefictciaACT,obtidaatravsdoacrscimodaalturaequivalenteh0superfciedo terreno natural (ver Figura 1.14). Figura 1.14 Soluo grfica de Poncelet para casos de superfcie inclinada com sobrecarga. Empuxo Passivo: para determinao grfica do empuxo passivo o procedimento est descrtio a seguir, de acordo com a Figura 1.15. 21i)traar BT fazendo um ngulo com a horizontal; ii)prolongar a superfcie livre AC at interceptar em E o prolongamento da reta BT; iii)traar por A a reta AF formandocom AB o ngulo + ; iv)sobre BE como dimetro obter a semicircunferncia de crculo BHE; v)pelo ponto F traar a perpendicular a FH at o ponto H sobre a semicircunferncia; vi)rebater o ponto H em D, com centro em B; vii)por D traar a paralela DC a AF at cortar a superfcie livre em C; viii)a reta BC representa a superfcie de ruptura mais crtica; ix)rebatendo-se C em G, com centro em D, obtm-se o tringulo CDG, de rea S; x)finalmente, o valor do empuxo passivo, Ep, ser igual a S. Figura 1.15 Soluo grfica de Poncelet para empuxo passivo. 5.0 Estabilidade de Muros de Arrimo 5.1 Estruturas de Arrimo Temporrias e Definitivas Asestruturasdearrimodeobrastemporriassoutilizadas,principalmente,emaberturade valasparaimplantaodecondutosemetrs.Nestescasos,geralmente,introduzem-seos elementos da estrutura anteriormente escavao, e medida que se processa a escavao, complementa-seaestruturacomoselementosadicionais:pranchesdemadeira,estroncas, tirantes,etc.Completadaaobra,providencia-seaoreaterrodaescavaoeoselementos utilizados no escoramento podem ser retirados e reaproveitados. 22Em obras definitivas, como no caso dos muros de arrimo, normal proceder-se escavao, deixar um espao livre atrs de onde ser implantada a estrutura, para facilidade de trabalho, e,umavezcompletadaaestrutura,procede-seaoreaterrodoespaodeixadolivre.Deve-se observar, entretanto, que estas no so regras gerais para estruturas temporrias e definitivas, havendo comumente excees. As estruturas de conteno so basicamente divididas em flexveis e rgidas. Estas podem ser de vrios tipos e proporcionam estabilidade de diversas maneiras. Existem os muros de arrimo de gravidade, de gravidade aliviada, muros de flexo, muros de contraforte, cortinas de estacas prancha, cortinas de estacas secantes ou justapostas, cortinas de perfis metlicos combinados compranchesdemadeira,paredesdiafragmaeeventualmentepartesdeestruturas projetadas para outro fim, que tm por finalidade reteno, como por exemplo, os subsolos dos edifcios e os encontros de pontes. A Figura 1.16 mostra trs casos tpicos onde se justifica a necessidade da execuo de estruturas de conteno. Figura 1.16 Exemplos tpicos de necessidade de execuo de estrutura de conteno. Osmurosdearrimopodemserconstrudosdealvenariaoudeconcretosimplesouciclpico (muros de gravidade). Podem ser de concreto armado (flexo ou de contraforte) ou ainda muro de fogueira (formado por peas de madeira, de ao ou de peas premoldadas de concreto). Figura 1.17 Estruturas de conteno comuns. 23A Figura 1.18 mostra a foto de um muro de arrimo em concreto armado, servindo de apoio no encontro entre um viaduto e o aterro. Percebem-se na foto, trs linhas de drenos, denominados barbacns,usadosparaaliviarasporopresses.NaFigurae1.19mostradoumdetalhedo muro sofrendo um processo de deslocamento lateral, caracterstica de incio de tombamento. Figura 1.18 Muro de arrimo em concreto armado. Figura 1.19 Muro de arrimo em concreto armado sofrendo deslocamento horizontal. 24Osmurosdegravidade,osmaiscomuns,podemserdeseotrapezoidalouescalonado, conforme mostrado na Figura 1.20. Figura 1.20 Sees tpicas de muros de arrimo, de gravidade. Com o progresso dos mtodos construtivos, tem se empregado cada vez mais a construo de estruturas de contenoutilizando-se geotxteis(Figura 1.21 ou outroselementos estruturais. Esteocasodosmurosdearrimoconstrudosutilizando-seastcnicasdeterraarmadaou soloenvelopado.Emboraestejaforadopropsitodestetrabalhoaapresentaodetalhada dosprincpiosdefuncionamentodestasestruturas,pode-sedizerque,nestescasos,ha incorporaodeelementosestruturaisaosolonosentidodeconferiraesteresistncia trao.Emambososcasos,trabalha-secomoatritoentreosoloeoselementosestruturais, demodoqueousodesolosgranularessempreprefervel.Nocasodestasestruturase mesmonocasodosmurosdearrimoemgabies(Figura1.21),almdasverificaesde estabilidade normalmente realizadas, deve-se tambm realizar anlises no sentido de verificar a estabilidade interna da estrutura de conteno. Figura 1.21 Muro de gabio com uso de geotxtil e muro de contraforte (Machado e Machado, 2002). 25 5.2 Condies de Estabilidade dos Muros de Arrimo Na verificao da estabilidade de um muro de arrimo h que se atentar para a possibilidade de deslizamentoetombamento.Almdisso,deve-seconsiderarapossibilidadederupturado taludeformado(anlisedeestabilidadeglobal),bemcomoverificarastensesaplicadasao solo de fundao e os recalques (segurana a ruptura do solo de fundao). Para alguns tipos de estruturas de conteno devem ser feitas verificaes de sua estabilidade interna (gabies, contenes em terra armada, solo envelopado, etc).Caberessaltarqueaexecuodeumsistemadedrenagem,pormaisrsticoqueseja,pode proporcionar significativos benefcios a um muro de arrimo, com reduo de esforos sobre ele, resultante do alvio das poropresses geradas. Resumindo,oscritriosexigidosparaumprojetosatisfatriodeumaseodeummurode arrimo so os seguintes: i)Omurodeveserseguroquantoaotombamento,ouseja,ofatordeseguranaao tombamento deve ser adequado; ii)Omurodevesersegurocontraodeslizamento,ouseja,ofatordeseguranaao deslizamento deve ser adequado; iii)Abasedomurodevesertalqueamximatensoexercidanosolodefundaono exceda a sua tenso admissvel; iv)No devem se desenvolver tenses de trao expressivas em nenhuma parte do muro; v)Deve haver segurana ruptura do conjunto solo/muro (ruptura global). Paramelhorentendimento,soapresentadosnaFigura1.22osprincipaisesforosatuando sobre um muro de arrimo. Os critrios de estabilidade sero analisados individualmente: 5.2.1 1 condio: Segurana contra o tombamento A condio para que o muro no tombe em torno da extremidade externa A da base, que o momentogeradopelopesodomurosejamaiorqueomomentogeradopeloempuxo resultante, ambos tomados em relao ao ponto A, mostrado na Figura 1.23. Ou seja: 1,5 FMMFmnatuares= = (26) em que Mres o momento devido ao peso do muro e Matua o momento gerado pelo empuxo resultante. 26 Figura 1.22 Esforos sobre um muro de arrimo (Machado e Machado, 2002). Aconselha-sequearesultantedasforasatuantes,R,passedentrodoncleocentral(tero mdio, da base AB), e o mais prximo quanto possvel do ponto mdio O quando o muro se apia sobre terreno muito compressvel. Figura 1.23 Clculo dos momentos em um muro de arrimo. 5.2.2 2 condio: Segurana contra o escorregamento Estacondiodeestabilidadedomuronopermitequeomesmosofraumatransladao motivada pela resultante dos esforos horizontais atuantes, atuaH . Dessa forma, tem-se: 1,5 FHHFmnatuares= = (27) 27onde resH aresultantedasforashorizontaisresistentes.DeacordocomaFigura1.22, tem-se a condio mnima de estabilidade : V H 1,5 (28) em que varia de 0,67tg a tg (coeficiente de atrito solo-muro), sendo o ngulo de atrito interno do solo. Na falta de dados medidos podem ser adotados os valores indicados a seguir. 30 para areia grossa pura 25 para areia grossa argilosa ou siltosa 35 solo de alterao de rocha 25 para solo arenoso 5.2.3 3 condio: Segurana contra deformao excessiva no terreno de fundao Estacondiopossibilitacompararatensoaplicadapelabasedomuro(1ou2)coma tensoadmissveldosoloqueoservedeapoio(adm),conformemostradonaFigura1.23. Paraoclculodastensesatuantesnosolodefundao,primeiramenteprecisocalcularo ponto de aplicao da fora normal V, usada na verificao do deslizamento. Para este clculo feitooequilbriodosmomentosresistente(MRES)eativo(MAt)emrelaoaopontoA, resultando em: VMxRes_atM =(29) DaEquao29,seobtmfacilmentea excentricidade, e, ou seja: _2xB = e (29A) Figura 1.24 Esforos na base da fundao.Osvaloresde1e2dependerodaposiodaresultantedasforas(R)emrelaoao ncleo central da base.Neste caso, duas situaes so importantes na anlise: i)ForaRcaindodentrodoncleocentraldabase(situaodaFigura1.23):odiagramade tensesnabaseserumtrapzio,poisoterrenoestsubmetidoapenasacompresso.As equaes de equilbrio so: |.|

\|+ =B6e1BV1 (30) 28|.|

\| =B6e1BV2 (31) onde B a largura da base do muro e e a excentricidade, obtida da Equao 29A. Essa condio satisfatria quando a maior das tenses (1) seja, no mximo, igual adm do solo, para e B/6. ii) Fora R caindo fora do ncleo central da base, ou seja, e > B/6: o diagrama de tenses na baseterumadistribuiotriangular,maslimitadapartequegeracompresso(verFigura 1.25). O valor da tenso mxima ser: 3e2V=1 (32) Figura 1.25 Resultante caindo fora do tero mdio da base do muro. A situao (ii) deve ser evitada sempre que possvel, visto que o aparecimento de tenses de trao na base do muro poder causar trincamento na sua estrutura, o que no desejvel. Paraaestimativadatensoadmissvel(adm)doterrenoondeseapiaomuro,diversos mtodossodisponveisnaliteratura,aexemplodaequaodecapacidadedecargade Terzaghi, para sapatas corridas (ver Captulo 4). 5.2.4 4 condio: Segurana contra ruptura global Deve ser investigada sempre que se achar necessrio a estabilidade do conjunto formado pelo macioeomuroprojetado.Hdiversosmtodosnaliteraturaquepermitemestetipode anlise,dentreelesomtododeBishopSimplificado,muitoempregadoemanlisesde estabilidade de barragens de terra. Superfcies circulares de ruptura tpicas so mostradas na Figura 1.26 (superfcie ABC).29 (a)(b) Figura 1.26 Forma tpica de uma superfcie de ruptura global do conjunto macio de terra e muro: a gravidade comum; b gravidade escalonado. OmtododeBishopadotasuperfciesderupturacilndricas,conformemostradonasFiguras 1.26(a e b). Dessa forma, so verificados possveis arcos de ruptura que cruzam o terrapleno e o solo de fundao, contornando todo o muro de arrimo. Para aplicar o mtodo, a parte do macio delimitada por cada um desses arcos dividida em fatias ou lamelas, do que se calcula o coeficiente de segurana contra a ruptura ao longo dessa superfcie.Inicialmenteadmitidaumasuperfciederupturacilndricaaleatriaeomaterial delimitadoporestasuperfciedivididoemlamelas,conformemostradonaFigura1.26b.As forasqueagemsobrecadaumadessasfatiassomostradasnaFigura1.27,asquaisso listadas a seguir: P = peso da lamela b = largura = inclinao da superfcie de ruptura de cada uma das lamelas N = fora normal agindo na superfcie de ruptura T = fora tangencial que age na superfcie de ruptura H1, H2 = foras horizontais agindo nas faces laterais das lamelas V1, V2 = foras verticais agindo nas faces laterais das lamelas 30 Figura 1.27 Foras agindo em cada lamela (a); parmetros de uma superfcie de ruptura cilndrica (b)

Apartirdoequilbriodasforasagindonaslamelas,obtm-seocoeficientedesegurana contra a ruptura global do sistema solo-muro, a partir da seguinte equao:

( )||||.|

\|+ + = sen PFSsenP b cFStancostan (33) onde c e so a coeso e o ngulo de atrito interno do solo, respectivamente. Caso o nvel dgua passe no interior da lamela, o peso desta calculado utilizando-se o peso especficosaturadoparaaparteabaixodeleetambmdeterminadaaporopresso(u)que age na superfcie de ruptura. Comoocoeficientedesegurana(FS)aparecenosdoisladosdaEquao33,sua determinao iterativa. Para cada muro, devem ser pesquisadas vrias superfcies de ruptura at se encontrar a mais crtica, ou seja, aquela com o menor coeficiente de segurana. Como para identificao de uma superfcie de ruptura so necessrios trs parmetros (coordenadas horizontaleverticaldopontoOeumvalordoraiodocrculo),essapesquisabastante trabalhosaquandofeitamanualmente.Porsorte,comasfacilidadesdainformtica,essa tarefasetornamuitoprticaerpida,atravsdealgoritmosdevidamenteprogramados. Diversos programas esto disponveis no mercado para atender a essa necessidade. 316.0Exemplos de Aplicao 6.1Determinar o valor do empuxo ativo e seu ponto de aplicao para o caso apresentado na figura a seguir. Soluo usando Rankine: a) Ka = tg2 ( 45 - /2 ) = tg2 ( 45 25/2 ) = 0,406 b)para z=0, h = z Ka = 0 para z= 3 m , h = (19-10)(3)(0,406) = 11 kPa para z= 3 m , hgua = (10)(3) = 30 kPa c)Ea1 = . (11)(3) = 16,5 kN/m

Ea2 = . (30)(3) = 45 kN/m

Ea = Ea1 + Ea2 = 16,5 + 45 = 61,5 kN/m d) ponto de aplicao ( )| | | |m 1,05 , 61) 3 .(31) 45 ( ) 3 .(31. 5 , 16=+= y y = 1,0 m 6.2 Determinar o valor do empuxo ativo e seu ponto de aplicao para o caso apresentado na figura a seguir. Soluo usando Rankine: a) Ka = tg2 ( 45 - /2 ) = tg2 ( 45 32/2 ) = 0,307 b)para z=0, h = ( z + q)Ka = (0 + 20) (0,307) = 6,1 kPa para z= 3 m , h = [ (16,8)(3) + (20) ] 0,307= 21,6 kPa 32c) Ea1 = (6,1)(3) = 18,3 kN/m Ea2 = . (21,6 6,1)(3) = 23,3 kN/m Ea = Ea1 + Ea2= 18,3 + 23,3 = 41,6 kN/m d) ponto de aplicao y =(18,3)[ 1/2 . (3)] +(23,3) [ 1/3 .( 3)] =1,22 m 41,6 6.3 Verificar a estabilidade do muro de arrimo a seguir apresentado. A tenso admissvel do terreno onde o muro se apia igual a 200kPa. Soluo usando Coulomb: a) Clculo do empuxo ativo 278 , 0) ( ) () ( ) (1 ) ( .) (222=((

+ ++ += sen sensen sensen sensenKa Ea = . z2 Ka = . (19)(5)2(0,278) = 66 kPa Eav = Ea.sen = (66)(sen300) = 33 kPa Eah = Ea.cos = (66)(cos300) = 57,2 kPa

y = 1/3 .(H) = (1/3).(5) = 1,67 m b) Clculo do momento resistente, Mr 33c) clculo do momento atuante, Ma Ma = H . y = Eah. ya = (57,2).(1,67) = 95,5 kN.m/m d) verificao da segurana ao tombamento F.S. = Mr / Ma = (273,6) / (95,5) = 2,9 > 1,5 OK e)verificao da segurana ao deslizamento F.S. = (V)tg / H = [(203)(tg30)] / 57,2 = 2,0 > 1,5 OK f) Verificao da segurana quanto ao terreno de fundao ponto de aplicao da resultante: m xBemVMa Mrx12 , 0 88 , 022288 , 02035 , 95 6 , 273= = === SeeB/6,aresultantepassanoteromdio,B/6=2/6=0,33>e,logo,aresultantepassanotero mdio, portanto: OK! Portanto, o muro est estvel quanto aos fatores analisados. 6.0 Bibliografia Consultada 1)Almeida,M.S.S.(1996),AterrosSobreSolosMoles:daConcepoAvaliaodoDesempenho, Editora da UFRJ, 216p. 2)Alonso, U. R. (1983), Exerccios de Fundaes, Editor Edgard Blcher Ltda., So Paulo. 3)Alonso,U.R.(1989),DimensionamentodeFundaesProfundas,Ed.Edgar BlcherLtda. 4)Alonso,U.R.(1991),PrevisoeControledasFundaes,Ed.EdgarBlcherLtda. 5)Barata,F.E.(1984),PropriedadesMecnicasdosSolos.UmaIntroduoaoProjetode Fundaes, Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A. 6)Caputo,H.P.(1988e1987),MecnicadosSolosesuasAplicaes,Velo1e2,6aEdio, Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A. 7)Das, B.M. (2000), Fundamentals of Geotechnical Engineering, Brooks/Cole. 8) Fang, H.-Y. (1991), Foundation Engineering Handbook, Van Nostrand Reinhold. 9) Gaioto, N. (1983), Macios e Obras de Terra, Notas de Aula, EESC/USP. 3410) Hachich,W.,Falconi,F.F.,Saes,J.L.,Frota,R.G.Q.,Carvalho,C.S., Niyama, S. (1998), Fundaes - Teoria e Prtica, 2a Edio, Editora Pini Ltda. 11) Lambe,T.W.,andWhitman,R.V.(1979),SoilMechanics,SIVersion,JohnWiley& Sons. 12)Machado,S.L.eMachado,F.C.(2002),ApostiladeMecnicadosSolos,Escola Politcnica, UPBA. 13) Moliterno,A.(1994),CadernodeMurosdeArrimo,2aEdio,Ed.EdgarBlcher Ltda. 14) Moraes,M.DaCunha,(1976),EstruturasdeFundaes,McGraww-HillBook Company do Brasil, 172p. 15) Poulos,H.G.andDavies,E.H.(1980),PileFoundationsAnalysisandDesign,John Wiley, New York. 16) Simons,N.E.&Menziens,B.K.,(1981),IntroduoEngenhariadeFundaes, TraduodeLucianoMoraesJr.eEstherHorovitzdeBeermann,EditoraIntercincia, Rio de Janeiro, 199p. 17) Terzaghi,K.&Peck,R.B.(1967),SoilMechanicsinEngineeringPractice,2nded., John Willey & Sons, Inc., New York. 18)Vargas, M. (1977), Introduo Mecnica dos Solos, Ed. McGraw-Hill doBrasil,Ltda, So Paulo. 19)Velloso, D. A., Lopes, F. R. (1996), Fundaes - Critrios de Projeto - Investigaes do Subsolo, Fundaes Superficiais, Volume 1, COPPE/UFRJ.