monografia simulador fluxo potencia 2002

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ

Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE DIDÁTICO PARA CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA

Projeto Final de Graduação

Daniela Zocollotti

Hugo Fernando Magalhães

Isabelle Coelho de Mattos Pellegrini

Marcelo Krahn

CURITIBA

2002

DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE DIDÁTICO PARA CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ

Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE DIDÁTICO

PARA CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA

Daniela Zocollotti



Marcelo Krahn

Curitiba

2002

Trabalho de graduação apresentado à disciplina de Projeto Final do Curso de Engenharia Elétrica, ênfase em Eletrotécnica, do Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. Orientador: Eng. Josemar Carstens. Co-orientador: Eng. Álvaro Augusto.

ii

Daniela Zocollotti



Marcelo Krahn

DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE DIDÁTICO

PARA CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA

Este Projeto Final de Gradação foi Julgado e aprovado como requisito parcial para a obtenção do

título de Engenheiro Eletricista pelo Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.

Curitiba, 19 de Agosto de 2002

Professor Paulo José Walenia

Coordenador do Curso

Professor Josemar Carstens

Orientador

Professor Paulo José Walenia

Membro da Banca Avaliadora

Professor Álvaro Augusto de Almeida

Co-Orientador e Membro da Banca Avaliadora

iii

Aos nossos pais, que nos deram a base para alcançar

este estágio da vida.

iv

AGRADECIMENTOS

Este projeto vem coroar um trabalho realizado nestes últimos anos nesta

instituição. Fica claro que ele não seria possível sem o apoio de algumas pessoas.

São elas:

• Professor Josemar Carstens – Cuja a idéia inicial e apoio foram toda

a base para o projeto.

• Professor Alvaro Augusto – Por ser o professor de confiança no

departamento.

• Professor José Pasini – Pelo acesso a sua pesquisa e software

desenvolvido.

• Professor Joaquim – Pela idéia das novas bobinas. E pelo interesse,

mesmo não estando envolvido diretamente com o projeto.

• Professores Paulo Walênia, Geraldo Cavalin, Ney José Kloster,

Hamilton Born – Pela prontidão em nos ajudar a conseguir o

material necessário nos almoxarifados.

• Aos companheiros de equipe, pela força, determinação e garra que

executaram o projeto.

v

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS .................................................................................... IV

LISTA DE FIGURAS...................................................................................... XI

LISTA DE QUADROS ................................................................................. XIII

1 RESUMO ...............................................................................................1

2 INTRODUÇÃO.......................................................................................2

3 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................4

3.1 O Problema do Fluxo de Potência ..................................................5

3.2 Finalidade e Importância do Fluxo de Potência ............................8

3.2.1 Aplicações do Fluxo de Potência .................................................8

3.3 Finalidade e Importância do Presente Trabalho..........................10

3.3.1 Software.....................................................................................11

3.3.2 Protótipo.....................................................................................11

3.3.3 Multidisciplinaridade...................................................................11

3.4 Simulação Estática em Regime Permanente ...............................12

4 HISTÓRICO E EVOLUÇÃO.................................................................13

4.1 Considerações Históricas .............................................................13

4.2 O Impacto dos Computadores ......................................................15

4.3 Aplicação dos Computadores na Engenharia .............................16

4.3.1 Definição do Problema...............................................................16

4.3.2 Formulação Matemática.............................................................17

4.3.3 Seleção da Técnica de Solução do Problema ...........................17

4.3.4 Definição do Algoritmo ...............................................................17

4.3.5 Programação .............................................................................18

4.3.6 Verificação do Programa............................................................18

4.3.7 Aplicação ...................................................................................18

4.4 Pesquisas Relacionadas ao Fluxo de Potência...........................19

4.5 Interatividade e Programação .......................................................19

4.5.1 Processamento Não Interativo...................................................20

vi

4.5.2 Processamento Interativo ..........................................................20

4.5.3 Processamento Interativo com Interfaces Gráficas Interativas ..21

4.5.4 IDE (Integrated Development Environment) ..............................22

5 NOÇÕES BÁSICAS ............................................................................24

5.1 Grandezas .......................................................................................24

5.1.1 Impedância ................................................................................24

5.1.2 Resistência ................................................................................24

5.1.3 Reatância...................................................................................25

5.1.4 Admitância .................................................................................25

5.1.4.1 Condutância ........................................................................26

5.1.4.2 Susceptância .......................................................................26

5.2 Modelos para a Simulação de Sistemas Elétricos de Potência .27

5.2.1 Modelos de Geradores Síncronos .............................................29

5.2.2 Modelos de Linhas de Transmissão...........................................31

5.2.2.1 Linha Longa.........................................................................32

5.2.2.2 Linha Média.........................................................................33

5.2.2.3 Linha Curta..........................................................................34

5.2.3 Modelos de Transformadores ....................................................35

5.2.3.1 Transformador de Dois Enrolamentos.................................35

5.2.3.2 Transformador de Três Enrolamentos.................................40

5.2.3.3 Modelos de Transf.Relação de Transf.Fora da Nominal .....42

5.2.3.4 Modelos de Cargas .............................................................44

5.3 Formação das Matrizes Admitância e Impedância......................46

5.3.1 Equações Nodais.......................................................................46

5.3.2 Medição dos Elem. das Matrizes Imp. e Adm. de Barra ............49

5.3.3 Modificação de uma Matriz Impedância de Barra ......................49

5.3.3.1 Adição de ZB de uma Nova Barra P à Barra de Referência 50

5.3.3.2 Adição de Zb de uma Nova Barra P à uma Barra K.............50

5.3.3.3 Adição de Zb de Uma Barra K à Barra de Referência .........52

5.3.3.4 Adição de ZB entre Duas Barras Existentes j e k ................52

5.3.4 Determinação Direta de uma Matriz Impedância de Barra ........54

5.3.5 Esparcidade ...............................................................................55

5.4 Métodos de Solução e Análise de SEP ........................................57

5.4.1 Sistema Por Unidade (PU).........................................................57

vii

5.4.1.1 Definição .............................................................................57

5.4.1.2 Vantagens da Utilização do Sistema PU .............................58

5.4.1.3 A Escolha de Bases ............................................................59

5.4.2 Mudança de Base ......................................................................61

5.4.3 Bases de Tensão e Potência na Solução de Problemas ...........62

5.4.4 Impedâncias de Transformadores em PU..................................63

5.5 Tipos de Barras ..............................................................................64

5.5.1 Barra Tipo 1 ou de Carga...........................................................65

5.5.2 Barra Tipo 2 ou de Geração.......................................................65

5.5.3 Barra Tipo 3 ou Oscilante (Swing) .............................................66

5.6 Especificação de Barras................................................................67

5.6.1 Especificação de Barra Incondicional-Local...............................67

5.6.1.1 Barra PQ .............................................................................67

5.6.1.2 Barra PE..............................................................................67

5.6.1.3 Barra E ..............................................................................68

5.6.2 Especificação de Barra Condicional-Local.................................68

5.6.2.1 Barra PQ/PE........................................................................68

5.6.2.2 Barra PE/PQ........................................................................68

5.6.3 Especificação de Barra Incondicional-Remota...........................69

5.6.3.1 Barra PE..............................................................................69

5.6.4 Especificação de Barra Condicional-Remota.............................69

5.6.4.1 Barra PiEi/PiQk....................................................................69

6 CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA................................................70

6.1 Equacionamento do Problema......................................................70

6.2 Método de Gauss ...........................................................................71

6.3 Método de Gauss-Seidel................................................................72

6.3.1 Formulação do Problema...........................................................74

6.3.2 Critério de Convergência ...........................................................75

6.3.3 Aceleração da Convergência .....................................................76

6.3.4 Vantagens e Desvantagens .......................................................78

6.3.5 Algoritmo....................................................................................78

6.4 Fluxo de Potência Newton-Raphson ............................................81

6.4.1 Formulação do Problema...........................................................81

6.4.2 Vantagens e Desvantagens .......................................................85

viii

6.4.3 Algoritmo....................................................................................86

6.5 Método de Ward e Hale..................................................................89

6.6 Método da Matriz ZBARRA ................................................................89

6.7 Fluxo de Potência Desacoplado Rápido ......................................90

6.8 Variantes do Fluxo de Potência Desacoplado Rápido................91

6.9 Fluxos de Potência Aproximados.................................................91

6.10 Métodos Baseados nas Matrizes Y e Z .....................................91

6.10.1 Avaliação dos Métodos Baseados na Matriz Z ........................91

6.10.2 Avaliação dos Métodos Baseados na Matriz Y ........................92

6.11 Comparação dos Métodos .........................................................93

6.11.1 Considerações Sobre a Armazenagem no Computador..........93

6.11.2 Versatilidade ............................................................................94

6.11.3 Velocidade ...............................................................................94

6.12 Justificativa do Método Escolhido............................................95

7 ANALISADOR DE REDE (PROTÓTIPO) ............................................96

7.1 Painel...............................................................................................96

7.1.1 O Painel .....................................................................................96

7.2 Descrição do Painel de Sistema de Potência. .............................96

7.2.1 Instrumentos ..............................................................................96

7.2.2 Indutores ....................................................................................97

7.2.3 Transformadores........................................................................97

7.3 Circuito Simplificado .....................................................................97

8 SOFTWARES EXISTENTES.............................................................101

8.1 Introdução.....................................................................................101

8.2 SIMICRO........................................................................................101

8.2.1 Descrição .................................................................................101

8.2.2 Funcionalidades do Software...................................................102

8.2.3 Características. ........................................................................102

8.2.4 Dificuldades Encontradas ........................................................103

8.3 FLOWGR .......................................................................................103

8.3.1 Descrição .................................................................................103

8.4 NFlux .............................................................................................105

8.4.1 Descrição .................................................................................105

ix


8.5 PowerWorld Simulator .................................................................105

8.5.1 Descrição .................................................................................105


9 COMPROVAÇÃO DO FUNCIONAMENTO DO SOFTWARE............107

9.1 Cálculo do Circuito Exemplo.......................................................107

9.2 Comprovação do Circuito Exemplo............................................107

9.2.1 Cálculo das Tensões................................................................108

9.2.1.1 Primeira Iteração ...............................................................108

9.2.1.2 Segunda Iteração ..............................................................109

9.2.1.3 Terceira Iteração ...............................................................110

9.2.2 Resultados ...............................................................................111

9.3 Comprovação do Circuito Exemplo com Deslig. de uma LT....111

9.3.1 Cálculo das Tensões................................................................112

9.3.1.1 Primeira Iteração ...............................................................112

9.3.1.2 Segunda Iteração ..............................................................113

9.3.1.3 Terceira Iteração ...............................................................114

9.4 COMPROVAÇÃO DO CIRCUITO DE 11 BARRAS ......................115

9.5 Aplicação do circuito de onze barras calculado no SFP: .........116

9.5.1 Primeira Iteração......................................................................116

9.5.1.1 Tabela Resumo da Primeira Iteração ................................117

9.5.1.2 Valores Obtidos do Cálculo Manual ..................................117

9.5.2 Segunda Iteração.....................................................................118

9.5.2.1 Tabela Resumo da Segunda Iteração ...............................119


9.5.3 Terceira Iteração......................................................................120

9.5.3.1 Tabela Resumo da Terceira Iteração ................................121


9.6 Comprovação do Circuito Protótipo...........................................122

9.6.1 Valores tabelados resultados da simulação do software .........123

9.6.1.1 Valores Obtidos da Medição do Protótipo .........................123

9.7 Conclusões das Comprovações .................................................124

10 CONCLUSÕES..................................................................................125

x

11 BIBLIOGRAFIAS...............................................................................127

12 REFERÊNCIAS BILIOGRÁFICAS ....................................................128

13 ANEXO I – APRESENTAÇÃO DOS CÁLCULOS DO CIRCUITO EXEMPLO .....129

13.1 Cálculo do Circuito Exemplo ...................................................129

13.1.1 Admitância em PU .................................................................129

13.1.2 Matriz Admitância...................................................................132

13.1.3 Matriz Admitância:..................................................................134

13.1.4 Cálculo das Tensões..............................................................135

14 ANEXO II – CÁLCULOS DO CIRCUITO DE 11 BARRAS.............................141

14.1 Cálculo do Circuito Pelo Método de Gauss-Seidel ................142

14.1.1 Cálculo das Tensões de Base ...............................................142

14.1.2 Calculo das Impedâncias de Base.........................................143

14.1.3 Conversão do Circuito para PU .............................................145

14.1.4 Matriz Admitância...................................................................159

14.1.5 Cálculo das Tensões..............................................................170

15 ANEXO III – APRESENTAÇÃO DOS CÁLCULOS DO PROTÓTIPO................184

15.1 Cálculo das Bobinas utilizadas ...............................................184

15.2 Esquemático x Protótipo..........................................................185

15.3 Cálculos.....................................................................................186

15.3.1 Cálculo das Tensões de Base ...............................................186

15.3.2 Calculo das Impedâncias de Base.........................................186

15.3.3 Conversão do Circuito para PU .............................................187

16 ANEXO IV – MANUAL DO SOFTWARE DESENVOLVIDO SFP ...................191

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 – Sistema Elétrico de Potência ..................................................................4

Figura 3.2 – Exemplo de um Sistema Elétrico de Potência.........................................6

Figura 3.3 – Exemplo de Fluxo de Potência..............................................................10

Figura 5.1 – Símbolo e representação da Resistência Elétrica .................................25

Figura 5.2 – Símbolo e representação das Reatâncias Indutiva e Capacitiva ..........25

Figura 5.3 – Modelamento de Equipamentos: Linha de Transmissão.......................27

Figura 5.4 – Modelamento de Equipamentos: Transformador .................................28

Figura 5.5 – Exemplo de diagrama Unifilar de Admitâncias ......................................29

Figura 5.6 – Modelo de Gerador ...............................................................................30

Figura 5.7 – Diagrama de Fasorial de um Gerador ...................................................30

Figura 5.8 – Esquema para linha longa.....................................................................32

Figura 5.9 – Esquema para linha média....................................................................33

Figura 5.10 – Esquema para linha curta ...................................................................34

Figura 5.11 – Esquema para transformador..............................................................35





Figura 5.16 – Esquema simplificado de transformador .............................................38

Figura 5.17 – Esquema de Transformador com 3 enrolamentos ..............................41

Figura 5.18 – Transformador com Relação Fora da Nominal....................................43

Figura 5.19 – Modelo π de Transformador ................................................................43

Figura 5.20 - Diagrama unifilar de um sistema simples.............................................46

Figura 5.21 - Diagrama de reatâncias do sistema da Figura 5.20.............................47

Figura 5.22 - Circuito da Figura 5.20 com fontes de corrente ...................................47

Figura 5.23 - Adição da nova barra p conec. através da imp. Zb a uma barra k ........51

Figura 5.24 - Adição da impedância Zb entre as barras j e k existentes....................53

Figura 5.25 - Exemplo de matriz Y sistema Sul/Sudeste/Centro-Oeste brasileiro.....56

Figura 6.1 – Equação matricial..................................................................................71

Figura 6.2– Sistema com uma barra p genérica........................................................74

Figura 6.3 – Aceleração da Convergência ................................................................77

Figura 6.4 - Algoritmo de Gauss-Seidel ....................................................................79

xii

Figura 6.5 – Continuação do algoritmo de Gauss-Seidel ..........................................80

Figura 6.6 – Exemplo de um sistema elétrico de potencia ........................................82

Figura 6.7 – Algoritmo para método de Newton-Raphson ........................................87

Figura 6.8 – Continuação de algoritmo de Newton-Raphson....................................88

Figura 6.9 - Característica de convergência..............................................................94

Figura 7.1 – Esquema de Montagem ........................................................................98

Figura 7.2 – Esquema de montagem (visualização das barras)................................98

Figura 7.3 – Onda no osciloscópio ............................................................................99

Figura 7.4 - Osciloscópio EWB................................................................................100

Figura 8.1 – Circuito desenvolvido no FlowGR .......................................................104

Figura 8.2 – Snapshot do PowerWorld Simulator....................................................106

Figura 9.1 – Circuito exemplo..................................................................................107

Figura 9.2 – Primeira Iteração .................................................................................108

Figura 9.3 – Segunda Iteração ...............................................................................109

Figura 9.4 – Terceira Iteração .................................................................................110

Figura 9.5 – Primeira Iteração .................................................................................112

Figura 9.6 – Segunda Iteração ................................................................................113

Figura 9.7 – Terceira Iteração .................................................................................114

Figura 9.8 - Diagrama Unifilar do Circuito de 11 Barras..........................................115

Figura 9.9 - Resultados da Primeira Iteração ..........................................................116

Figura 9.10 - Tabela Resumo da Primeira Iteração.................................................117

Figura 9.11 - Tabela Resumo dos Cálculos Manuais..............................................117

Figura 9.12 - Resultados da Segunda Iteração .......................................................118

Figura 9.13 - Tabela Resumo da Segunda Iteração................................................119


Figura 9.15 - Resultados da Terceira Iteração ........................................................120

Figura 9.16 - - Tabela Resumo da Terceira Iteração...............................................121


Figura 9.18 - Resultados para a convergência do circuito protótipo........................122

Figura 9.19 - Valores Tabelados .............................................................................123

Figura 9.20 - Valores Medidos no Protótipo ............................................................123

Figura 13.1 - Circuito Exemplo ................................................................................129

xiii

LISTA DE QUADROS

Quadro 5.1 - Esparcidade .........................................................................................55

Quadro 5.2 – Tipos de barras....................................................................................64

Quadro 9.1 – Resultado da Primeira Iteração ........................................................108

Quadro 9.2 – Resultado da Segunda Iteração .......................................................109

Quadro 9.3 – Resultado da Terceira Iteração ........................................................110

Quadro 9.4 – Cálculos com o Software ..................................................................111

Quadro 9.5 – Cálculos Manuais .............................................................................111

Quadro 9.6 – Resultados da Primeira Iteração .......................................................112

Quadro 9.7 – Resultado da Segunda Iteração ........................................................113

Quadro 9.8 – Resultado da Terceira Iteração .........................................................114

1

1 RESUMO

O objetivo do projeto de conclusão de curso foi desenvolver um Software

para cálculo de Fluxo de Potência com fins didáticos e aplicá-lo em um determinado

circuito comprovando assim seu funcionamento.

O software desenvolvido foi implementado em Visual Basic, tendo assim

uma interface gráfica agradável para quem for utilizar. O método utilizado para os

cálculos do fluxo de potência foi Gauss-Seidel, devido a sua facilidade de

implementação no software. Como este software tem fins didáticos, com isso os

circuitos não tem um número grande de barras, o método Gauss-Seidel supre todas

as necessidades de desempenho que o software necessita. Em complemento foram

feitas validações práticas através de um analisador de redes (protótipo) montado a

partir de um painel existente na instituição.

2

2 INTRODUÇÃO

Este trabalho é dedicado à conceituação e ao tratamento analítico do

problema de cálculo de fluxo de potência em redes elétricas, como também à

implementação de um software didático para o cálculo de fluxo de potência, com o

intuito de auxiliar ao acadêmico da área de engenharia elétrica, posto que um

programa de cálculo de fluxo de potência é a principal e mais utilizada ferramenta ao

dispor do engenheiro que executa estudos de planejamento e operação de sistemas

elétricos. Feito isto, apresentaremos os resultados de uma simulação de um circuito

protótipo em escala reduzida, montado em laboratório, representando um pequeno

sistema elétrico de potência, agregando assim um diferencial em relação aos

trabalhos já existentes desenvolvidos nesta linha de pesquisa.

O desenvolvimento do software e do protótipo implica em agrupar num

mesmo projeto técnicas e teorias de Matemática Aplicada nas áreas da

Programação não Linear, Análise Numérica e Álgebra Linear Aplicada; de

informática nas áreas de Processamento Gráfico Interativo e Programação de

Computadores, e de Engenharia Elétrica nas áreas de Circuitos Elétricos, Eletrônica,

Medidas Elétricas e Sistemas Elétricos de Potência.

O objetivo que se deseja alcançar com a realização deste projeto não tem

fins comerciais, nem tampouco se deseja inventar algo novo, sendo assim, não

levaremos em consideração os aspectos de viabilidade econômica e otimização

computacional, tais como aprimoramento de algoritmos, economia de memória

computacional, tempo de processamento e quantidade de iterações.

As características do software desenvolvido foram definidas de maneira que

esse se aplique aos laboratórios do CEFET e sua capacidade de processamento

está limitada em apenas algumas barras, uma vez que o seu objetivo é puramente

didático aplicado a graduação em Engenharia Elétrica.

Atualmente já existem alguns softwares capazes de atender às

necessidades das concessionárias quanto às questões de fluxo de potência, porém

a utilização desses para fins acadêmicos é um tanto complicada, uma vez que são

desenvolvidos para Sistemas Elétricos de grande porte e agregam muitas variáveis.

Devido a isso, a entrada de dados para a simulação de um sistema elétrico de

potência exige a configuração de uma quantidade muito grande de parâmetros o que

3

requer um conhecimento muito profundo do software utilizado e uma grande

capacidade de processamento.

No presente trabalho encontram-se reunidas uma série de bibliografias

referentes ao estudo do fluxo de potência, organizadas de maneira a possibilitar o

entendimento da filosofia adotada para a implementação do software além de um

manual explicativo para a sua utilização.

4

3 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Todo Sistema Elétrico de Potência (SEP) deve ser planejado de forma a

atender seus usuários com elevada continuidade de serviço, respeitando ainda

diversos critérios de qualidade nesse atendimento. Esses critérios (de regime

permanente) referem-se a valores máximos e mínimos de tensão nos pontos de

entrega, excursão máxima de freqüência em torno do valor nominal, carregamento

máximo dos componentes do sistema etc. No projeto de sistemas elétricos ou

planejamento da ampliação de sistemas já existentes, devido ao crescimento anual

da carga, impõem-se a instalação de novas usinas e reforços nos sistemas de

transmissão e distribuição.

Figura 3.1 – Sistema Elétrico de Potênciai

5

Os estudos de fluxo de potência desempenham um papel muito importante,

pois permitem verificar, admitida uma projeção da carga ao longo do tempo, se o

sistema proposto será capaz de manter-se dentro dos critérios estabelecidos no

atendimento aos usuários. Permitem ainda a comparação de alternativas de

expansão, bem como a avaliação do impacto no sistema em função da entrada de

novas unidades geradoras.

Além do setor de planejamento, os estudos de fluxo de carga são

largamente utilizados para operação e planejamento de operação de sistemas.

Nesse último caso, a maneira como o sistema irá evoluir até atingir uma certa

configuração já está definida, e os estudos de fluxo de potência visam, com

informações mais confiáveis a respeito da carga, definir o melhor perfil de tensões

para a operação do sistema bem como os ajustes de taps dos transformadores,

condições para o chaveamento de bancos de capacitores etc.

3.1 O Problema do Fluxo de Potência

O Estudo de Fluxo de Potência, também denominado de “Fluxo de Carga”

ou de “Load Flow”, pode ser entendido como sendo um processo de cálculo onde o

sistema elétrico é trabalhado através de modelos físico-matemáticos visando a

obtenção dos fluxos de potência ativa e reativa através das linhas e

transformadores, tensões em módulo e ângulo nas barras, valores de geração ativa

e reativa das unidades geradoras etc., nos vários pontos de um sistema elétrico de

potência.

6

Figura 3.2 – Exemplo de um Sistema Elétrico de Potênciaii

As soluções obtidas mediante a análise do sistema através de estudos de

fluxo de potência possui um cunho estático, ou seja, os resultados de um fluxo de

potência mostram o comportamento do sistema para uma dada condição de

configuração, geração e carga.

Assim sendo, é de fundamental importância que a escolha dessas condições

de configuração, carga e geração sejam feitas de modo a representar o

comportamento do sistema em uma determinada situação o mais próximo possível

da operação real.

Mesmo levando em conta o aspecto de ser o fluxo de potência de cunho

estático, desde que seja feita uma boa escolha das condições do sistema, as

7

conclusões obtidas da análise do resultado do fluxo de potência possuem um

elevado grau de confiabilidade quanto à sua aplicação.

Como em um SEP não conhecemos os valores das correntes dos diversos

ramos do circuito, mas sim as especificações de potências Ativa e Reativa, o

problema, que inicialmente se trataria de forma linear, passa a ser encarado como

um problema não linear, que não pode ser resolvido diretamente pelas técnicas

matriciais normais. Pelo contrário, a solução deve ser obtida por um procedimento

iterativo.

Os estudos de fluxo de potência são realizados para simular o sistema

funcionando em regime permanente, seja em condição normal ou de emergência.

Estudos para a condição normal são feitos para verificar, se nessa situação, os

critérios estabelecidos são respeitados, tanto na situação de carga máxima quanto

de carga mínima. Os estudos de carga em condições de emergência são realizados

de forma a verificar a viabilidade de o sistema continuar operando, mesmo com a

perda temporária de algum equipamento ou Linha de Transmissão, dentro de

critérios estabelecidos para as condições de emergência.

Com a crescente interligação dos sistemas e utilização da tecnologia digital,

tanto para operação como para o gerenciamento de dados nos Sistemas Elétricos

de Potência, a operação e os estudos de fluxo de carga são realizados praticamente

on line pelo computador, recebendo os dados das telemedições comandados por

sistemas supervisores.

As informações fornecidas a partir do estudo de Fluxo de Potência são

necessárias para testar a capacidade do sistema de transferir energia da geração

para a carga, sem sobrecarregar determinadas linhas, e testar a adequação da

regulagem de tensão por capacitores em paralelo, reatores em paralelo,

transformadores com mudança de derivação e a capacidade de fornecimento

potência reativa por parte das máquinas rotativas. De forma genérica, podemos citar

alguns exemplos de aplicação de simulações de fluxo de potência:

• Estudos para planejamento do Sistema Elétrico;

• Avaliação das condições operacionais do Sistema;

• Determinação dos limites de transmissão de Potência do Sistema

Elétrico;

8

• Estudos de avaliação e determinação de medidas corretivas para a

operação do sistema em condições de emergência.

3.2 Finalidade e Importância do Fluxo de Potência

Os três problemas encontrados, mais freqüentemente, em análise de

sistemas de potência são fluxo de carga, curto-circuito e estabilidade.

A simulação de Fluxo de Potência é uma das mais poderosas ferramentas

na análise de Sistemas Elétricos de Potência em regime permanente. E usada para

se analisar condições operacionais dos Sistemas Elétricos de Potência que podem

ocorrer na prática, de modo que se possa conhecer de antemão qual será o seu

desempenho, e se possam definir ações corretivas a serem tomadas para que os

consumidores sejam atendidos com qualidade de fornecimento de energia elétrica,

sem que os equipamentos das concessionárias de energia elétrica fiquem

submetidos a condições operacionais inadmissíveis.

“A importância do Fluxo de Potência é tanto maior quanto mais interligados se

encontrarem os Sistemas Elétricos. A interligação de Sistemas Elétricos tem sido

crescente desde o seu surgimento em função da necessidade de se aumentar a

confiabilidade de fornecimento de energia elétrica aos consumidores pela existência

de diversas alternativas para sua alimentação, bem como para se permitir um melhor

aproveitamento dos recursos energéticos pela possibilidade que as interligações

trazem de transferência de energia elétrica de uma região para outra..”iii

Podemos destacar algumas das aplicações mais usuais do Fluxo de

Potência que demonstram a sua grande importância no campo da Engenharia.

3.2.1 Aplicações do Fluxo de Potência

Como já ressaltamos, o estudo de fluxo de potência é uma ferramenta

indispensável aos profissionais que atuam não só na parte de planejamento, como

também na parte de operação de um SEP. A seguir, relacionamos algumas

aplicações de grande importância do fluxo de potência:

• Simulação de Sistemas Elétricos considerando diferentes

despachos das usinas geradoras de energia elétrica, de modo a se

9

prever de antemão quais as condições operacionais decorrentes

desses despachos;

• Simulação de Sistemas Elétricos operando sob condições anormais

decorrentes da saída de operação de equipamentos como linhas de

transmissão, transformadores e unidades geradoras. A saída de

operação desses equipamentos pode se dar devido à necessidade

de manutenção preventiva ou corretiva, ou ainda, em se tratando de

linhas de transmissão, devido ao desligamento automático;

• Simulação de Sistemas Elétricos com finalidade de planejamento da

sua expansão. Como se sabe, a demanda por energia elétrica é

crescente no tempo em função do aumento da população ou da

melhoria do seu nível de vida, ou ainda, devido ao crescimento da

atividade econômica. Para atender ao crescimento da demanda, é

necessário não somente aumentar a sua oferta mediante a

construção de novas usinas geradoras, como também é necessária

a construção de novas linhas de transmissão e subestações para

levá-la até os locais de consumo. Também neste caso o Fluxo de

Potência atua como uma ferramenta poderosa para auxiliar na

definição das obras que permitam o cumprimento desse objetivo de

uma forma tecnicamente correta.

O estudo de fluxo de potência vem cada vez mais se fazendo

necessário ao engenheiro, já que fornece, nas diversas etapas de planejamento e

operação, fundamentação prática e teórica, graças à possibilidade de simulação dos

sistemas, para a tomada de decisões técnicas.

10

Figura 3.3 – Exemplo de Fluxo de Potênciaiv

3.3 Finalidade e Importância do Presente Trabalho

Este trabalho tem por finalidade a implementação de um software didático

para o cálculo de fluxo de potência. No entanto, acreditamos ser de suma

importância a apresentação da teoria relacionada ao assunto, para que não apenas

aqueles já familiarizados com o tema possam fazer uso de tal ferramenta.

Não nos propomos a apresentar aqui uma apostila referente às técnicas de

Fluxo de Potência ou a uma metodologia ideal a ser utilizada neste âmbito, mas sim

reunir aquelas informações que julgamos de grande importância para uma utilização

adequada do nosso produto final, o software.

Desta forma, o material encontrado no presente trabalho, se destina a

apresentar os passos por nós seguidos e os estudos realizados para um adequado

embasamento das técnicas por nós utilizadas.

Considerando que o projeto possui um cunho acadêmico, procuramos não

apenas descrever os caminhos por nós seguidos, mas também apresentar aqueles

por nós estudados e, por razões que serão apresentadas, descartados. Desta forma

aqueles que, futuramente, pretendam dar continuidade, no sentido de aperfeiçoar e

11

agregar funções ao projeto inicial, encontrem aqui um ponto inicial para seus

trabalhos.

3.3.1 Software

Como encontramos algumas dificuldades em utilizar alguns softwares

disponíveis para cálculos de Fluxo de Potência, procuramos desenvolver um

software com uma Interface Gráfica Interativa, de modo que o usuário não precise

editar arquivos de entrada e saída de dados, e possa gerar e alterar configurações

de Sistemas Elétricos manipulando diretamente diagramas elétricos desenhados na

tela do computador. Para facilitar a utilização deste software, desenvolvemos

também um Manual com o intuito de auxiliar o usuário na entrada, alteração e leitura

dos dados apresentados.

Como o manual se destinará aos usuários do software, não iremos nos ater

a apresentar embasamento teórico em seu conteúdo, algo com que nos

preocupamos na atual etapa.

3.3.2 Protótipo

Além da inegável importância dos estudos de Fluxo de Potência,

salientamos o embasamento teórico da montagem do circuito em escala reduzida,

uma vez que esta também poderá auxiliar outras pesquisas, como material

preliminar, na montagem de protótipos mais elaborados tanto no segmento de fluxo

de potência como também de curto-circuito ou estabilidade de sistemas.

Acreditamos que a importância do projeto desenvolvido na presente

pesquisa reside não só no desenvolvimento do software didático, mas também na

aplicação de conceitos teóricos na prototipação em escala reduzida de um sistema

elétrico e na verificação conjunta da funcionalidade do software através de não

somente cálculos manuais, mas também através das medições realizadas.

3.3.3 Multidisciplinaridade

Por se tratar de um projeto cujo resultado se dá mediante a concepção de

um software didático destinado aos acadêmicos do CEFET na disciplina de Sistemas

12

de Potência, poderíamos pensar tratar-se de uma pesquisa restrita a essa área. No

entanto, estaríamos profundamente enganados.

Outra grande importância da pesquisa realizada foi a utilização de conceitos

de diversas áreas reunidos com o objetivo de proporcionar uma ferramenta a uma

área específica.

Para a realização do presente trabalho foram utilizados não só os conceitos

na área de Sistemas Elétricos de Potência, mas também nas áreas de Eletrônica;

Circuitos Elétricos, com a conceituação básica de elementos do SEP; Medidas

Elétricas, para a realização das medições no protótipo montado; Conversão

eletromagnética, para os ensaios nos transformadores; Programação não Linear e

Análise Numérica, na realização de cálculos numéricos para soluções de fluxo de

potência e, Informática, no que diz respeito às linguagens de programação,

processamentos gráficos e plataforma.

3.4 Simulação Estática em Regime Permanente

Neste trabalho, para fins de simulação, adotamos a simulação estática em

regime permanente. O fato de ser em regime permanente significa que os

fenômenos que podem ocorrer no período transitório não serão objeto de estudo.

“Sabe-se que o período transitório dos fenômenos envolvendo Sistemas

Elétricos de Potência é geralmente muito rápido, e a preocupação principal dos

engenheiros diz respeito ao surgimento de sobretensões nos Sistemas Elétricos. Em

se tratando de regime permanente, a preocupação dos engenheiros geralmente diz

respeito a problemas de tensão baixa nos consumidores e sobrecarga em

equipamentos, os quais podem ser danificados pela elevação da temperatura.”v

O fato de se tratar de simulação estática significa que os modelos adotados

para representar os Sistemas Elétricos são invariantes no tempo, situação esta que

corresponde à maioria das contingências envolvendo Sistemas Elétricos de

Potência.

13

4 HISTÓRICO E EVOLUÇÃO

Uma vez estabelecidos os objetivos e a abrangência do trabalho,

discutiremos agora a evolução histórica do Fluxo de Potência e da interação do

homem com o computador.

4.1 Considerações Históricas

As etapas de planejamento, projeto e de operação de Sistemas de Potência

requerem uma análise contínua e detalhada para avaliar a performance atual do

sistema bem como para verificar a eficácia de futuras ampliações. Estes Estudos de

Fluxo de Potência consistem ainda em uma importante ferramenta para garantir a

máxima utilização de um dado investimento de capital de modo a termos um retorno

baseado em um sistema de confiança.

A tarefa computacional de determinar fluxos de potência e níveis de tensão

até mesmo de pequenos sistemas, é inquestionável, uma vez que tratamos com

cálculos iterativos que realizados manualmente têm seu tempo de “processamento”

consideravelmente aumentado.

As simulações para estudos de questões de Fluxo de Potência até o início

da década de 50 eram inviáveis para grandes Sistemas Elétricos de Potência, de

modo que elas eram realizadas mediante modelos reduzidos dos Sistemas Elétricos

de Potência.

Estes modelos reduzidos, que eram computadores analógicos de propósitos

específicos, foram chamados de “Analisadores de Rede ac” (ac network analyzer) e

tiveram origem em 1929 devido à necessidade computacional para engenharia de

sistemas de potência.

Os Analisadores de Rede possibilitaram o estudo de uma grande variedade

de condições operacionais do Sistema Elétrico de Potência, tanto para plantas

existentes quanto para futuras ampliações. Graças ao seu desenvolvimento, foi

possível a determinação de fluxos de Potência e tensões no sistema durante

condições de operação normal e de emergência, além de possibilitar o estudo do

comportamento transitório do sistema durante faltas ou operações de manobras.

Por volta da metade dos anos 50, os Analisadores de Rede já estavam em

operação nos Estados Unidos e no Canadá, sendo considerados ferramenta

14

indispensável para engenheiros atuantes nas áreas de planejamento, proteção de

operação de Sistemas.

Apesar do grande avanço alcançado graças aos Analisadores de Rede, eles

exigiam um grande esforço para os ajustes iniciais e para a etapa de análise. A

solução por meio de sua utilização necessitava de dados provenientes da leitura de

diversos instrumentos de medição além de se basear em diagramas elétricos

traçados manualmente em papel.

As primeiras aplicações de computadores digitais aos problemas de

Sistemas de Potência datam do final dos anos 40. No entanto, a maioria das

aplicações era limitada devido à pequena capacidade dos computadores de cartões

geralmente utilizados na época. Foi na metade da década de 50 que os novos

computadores vieram responder às necessidades da maioria dos problemas de

Sistemas de Potência graças ao aumento de sua capacidade e velocidade de

processamento. Em 1957 a American Eletric Power Service Corporation concluiu um

programa para ser aplicado em larga escala no IBM 704 de Fluxo de Potência, o

qual calculava as tensões e fluxos de potência para um dado sistema de Potência.

As aplicações iniciais dos programas de estudo de Fluxo de Potência aos

estudos de planejamento foram extremamente positivas, que todos os estudo

subseqüentes passaram a empregá-los no lugar dos Analisadores de Rede. O

sucesso deste primeiro programa levou ao desenvolvimento de programas para

cálculo de curto-circuito e estabilidade transitória. Atualmente o computador digital,

assim como em inúmeras áreas, tornou-se uma ferramenta indispensável em todas

as fases de planejamento, projeto e operação dos Sistemas Elétricos de Potência.

Paralelamente com o desenvolvimento dos computadores digitais mais

rápidos e com maior capacidade durante a década de 50, um esforço considerável

era direcionado para o modelamento computacional de grandes Sistemas Elétricos

de Potência. Inúmeras bibliografias apresentam as experiências na busca de

enfatizar a grande potencialidade do uso da análise matricial e da teoria de redes

para solucionar problemas referentes aos Sistemas de Potência.

Nos primeiros estágios, no entanto, a falta de coordenação no que diz

respeito ao aspecto de hardware e de linguagens de programação, dificultou o

desenvolvimento de técnicas genéricas e a tendência foi para que diversos

pesquisadores desenvolvessem seus próprios programas abandonando

paulatinamente os analisadores de rede. Posteriormente, com o princípio de

15

aceitação do FORTRAN no campo de Sistemas de Potência, um certo sucesso foi

atingido pelos fabricantes de computadores na produção e desenvolvimento de

pacotes de softwares que incluíam estudos de fluxo de carga.

Tamanha foi a expansão no que se refere ao assunto durante a década de

70, que ela já não cabe em um único livro. Ainda hoje, diversos pesquisadores estão

constantemente revisando e fazendo novas compilações a fim de comparar e

aperfeiçoar as incontáveis técnicas criadas.

Contudo, já na década de 80, existia um sentimento genérico de que não

haveria maiores contribuições no que diz respeito às técnicas desenvolvidas na

década de 70 para o modelamento dos sistemas de potência. Ainda assim, as

pesquisas acadêmicas com intuito de encontrarem novos métodos continuaram.

Os tópicos principais do modelamento computacional são os estudos no que

se refere aos problemas de fluxo de potência, uma vez que eles possuem aplicação

em todas as etapas de análise de sistemas de potência. Normalmente, devido a

algumas limitações, apenas a solução para as equações básicas para os estudos de

fluxo de potência é considerada. Porém, é sabido que o problema de fluxo de

potência não é restrito à solução das equações diferenciais básicas. Vários aspectos

alheios a estas equações muitas vezes possuem uma maior influência na

convergência do problema do que a performance do próprio algoritmo base.

4.2 O Impacto dos Computadores

O desenvolvimento da tecnologia digital dos computadores proporcionou

inúmeras vantagens para a engenharia de Sistemas de Potência, dentre elas,

podemos citar:

• Meios mais eficientes e econômicos de realizar rotinas de cálculos

necessários às etapas de planejamento, projeto e operação de

sistemas de Potência;

• Uma melhor utilização do intelecto do engenheiro, uma vez que o

liberou de tediosos cálculos manuais permitindo que ele gaste mais

tempo em trabalhos técnicos;

• A possibilidade de realizar estudos de engenharia mais efetivos

através da aplicação de procedimentos de cálculos para obter um

maior número de soluções alternativas para um problema particular,

16

oferecendo ao engenheiro uma gama de opções para a tomada de

decisão;

• A possibilidade de realização de estudos que, anteriormente, não

eram possíveis devido ao grande volume de cálculo envolvido.

Dois grandes fatores que contribuíram para a realização destes benefícios

foram o decréscimo do custo dos equipamentos de computação e o

desenvolvimento de técnicas computacionais eficientes. Com esta evolução

tecnológica, cada vez mais precisamos direcionar nossos esforços dos problemas de

engenharia para as soluções computacionais.

4.3 Aplicação dos Computadores na Engenharia

Uma vez que recorremos ao processo de aplicação de um computador para

a solução de um problema da engenharia, acabamos envolvendo novos passos à

resolução do nosso problema.

Veremos a seguir as etapas que compõe a resolução de problemas com o

auxílio do computador. A importância relativa de cada uma destas etapas pode

variar de problema para problema. Cada vez mais, todos as etapas estão

intimamente relacionadas representando um papel de grande importância nas

decisões a serem tomadas. Devemos aqui ressaltar a grande importância que reside

na inter-relação entre a formulação matemática de um problema e entre a seleção

da técnica de solução. Freqüentemente, é difícil avaliar a influência destes dois itens

um sobre o outro sem desenvolver um programa completo e realmente efetuar os

cálculos para comparar as opções.

4.3.1 Definição do Problema

Inicialmente, o problema deve ser definido de forma precisa e os objetivos

determinados claramente. Este pode ser o passo mais difícil de todo o processo.

Considerações devem ser feitas quanto aos dados de entrada disponíveis, o escopo

do problema e suas limitações devem ser especificadas. Precisamos ter previamente

em mente os resultados esperados e a sua relativa importância na tomada de uma

decisão do engenheiro. Esta fase requer o julgamento de engenheiros experientes e

capacitados.

17

4.3.2 Formulação Matemática

Após o problema ter sido definido, é necessário desenvolver um modelo

matemático para representar o sistema físico. Isso requer a especificação de

características individuais dos componentes do sistema envolvidos no problema,

bem como a relação que governa a interconexão destes componentes. Diferentes

modelos matemáticos podem ser utilizados para representar um mesmo sistema e

para vários problemas, formulações complementares podem ser obtidas. Uma dada

formulação pode resultar em um diferente número de equações que uma outra

formulação, como é o caso dos problemas de redes que podem ser resolvidos tanto

pela utilização de equações iterativas quanto nodais. A formulação matemática,

portanto, inclui o projeto de não apenas um modelo, mas sim de uma série deles

para que seja possível a seleção daquele mais adequado à representação física do

sistema.

4.3.3 Seleção da Técnica de Solução do Problema

A formulação da maioria dos problemas de engenharia envolve expressões

matemáticas, como equações não lineares, equações diferenciais, e funções

trigonométricas, as quais não podem ser calculadas diretamente por um computador

digital. Um computador é capaz de realizar apenas as quatro operações aritméticas

básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. A solução para qualquer

problema, portanto, deve ser obtida através de técnicas numéricas que empregam

estas operações. Nesta fase é então importante selecionar um método que seja

prático para o processamento computacional e, obviamente, que nos dê um

resultado com gasto de um menor tempo computacional possível. Uma vez que

aproximações numéricas envolvem certas considerações, devemos ter cuidado

quanto a estas considerações para que tenhamos um grau de precisão adequado.

4.3.4 Definição do Algoritmo

A seqüência lógica pela qual o problema será resolvido, a alocação de

memória necessária, o acesso de dados e a definição dos dados de entrada e saída

são aspectos importantes do projeto do programa computacional. A definição dos

objetivos é essencial para o desenvolvimento de um procedimento que elimine

18

cálculos repetitivos e inúteis. A definição do algoritmo a ser implementado

geralmente é feita na forma de diagrama de blocos.

4.3.5 Programação

Esta etapa esta intimamente relacionada com a elaboração de um algoritmo

adequado. Além das instruções aritméticas, de entradas e de saídas, devemos

agora colocar em prática a execução de um programa com as instruções lógicas

utilizadas para direcionar a seqüência de cálculos a ser realizada. Atualmente, com a

grande variedade de linguagens de programação existentes, podemos agregar

inúmeros facilitadores ao usuário, mas sempre baseados nas etapas predecessoras

para atingirmos um resultado satisfatório.

4.3.6 Verificação do Programa

Existem inúmeras “oportunidades” para cometermos algum erro no

programa na etapa de programação. Portanto, uma série de verificações

sistemáticas devem ser realizadas para assegurar a formulação correta do

problema, do método de solução e da operação do programa.

4.3.7 Aplicação

Os programas de engenharia, de maneira geral, podem ser classificados em

dois grupos distintos. O Primeiro consiste em programas de propósito específico,

que são desenvolvidos em um período relativamente curto para a solução de

problemas simples de engenharia. Este tipo de programa é geralmente bem definido

de modo a servir completamente ao propósito em questão após a primeira série de

cálculos ter sido completada. Contudo, devido sua natureza específica dos

programas, eles são um tanto quanto restritos.

O segundo grupo consiste em programas de propósitos gerais,

desenvolvidos para a análise de grandes problemas de engenharia. Estes

programas são utilizados regularmente em diversas áreas da engenharia para

realização de estudos variados. O seu uso pode representar uma aproximação

efetiva entre um problema de engenharia e a organização de um estudo. Assim, é

19

de extrema importância conhecermos em qual destes dois grupos se enquadra um

determinado programa. Neste caso, no segundo grupo.

4.4 Pesquisas Relacionadas ao Fluxo de Potência

É indiscutível a grande importância do estudo de Fluxo de Potência nas

etapas de planejamento e operação dos Sistemas. Iremos agora relacionar alguns

assuntos dentre os diversos relacionados com o Fluxo de Potência que têm sido

pesquisados.

“No problema original de Fluxo de Potência os despachos das usinas, exceto

uma, é definido de antemão. No Fluxo de Potência ótimo, estes despachos não são

pré-definidos, e são calculados pelo próprio programa de Fluxo de Potência, de tal

forma que se consiga otimizar alguma variável relacionada ao sistema elétrico. Por

exemplo, pode-se obter os despachos capazes de minimizar as perdas de energia

no Sistema de Transmissão, ou os despachos capazes de minimizar os custos de

geração, ou ambos (...)”vi

Uma outra área de pesquisas tem sido o desenvolvimento de novas

técnicas, ou ainda o aperfeiçoamento das existentes, visando o cálculo mais rápido

e eficiente do Fluxo de Potência, com a finalidade, entre outras, de se garantir a

convergência das simulações.

Podemos ainda citar a área de pesquisa que associa os programas de Fluxo

de Potência aos sistemas especialistas, visando facilitar a tomada de decisões pelos

analistas de Sistemas Elétricos. Alguns campos para a aplicação destas técnicas

combinadas são a tomada de decisões em tempo real para se prevenir ou remediar

condições operacionais inadequadas, e a tomada de decisões em estudos de

planejamento, de como deve se dar à expansão mais adequada dos Sistemas

Elétricos.

4.5 Interatividade e Programação

A palavra Interatividade, quando aplicada na área de sistemas

computacionais, designa a facilidade com que ocorre a comunicação entre os

usuários e os sistemas aplicativos processados nos computadores. Essa

comunicação se dá por meio de interfaces.

20

4.5.1 Processamento Não Interativo

Na década de 60 e 70 a interface de comunicação entre os usuários e os

aplicativos era feita mediante cartões perfurados e relatórios impressos. Por meio

dos cartões perfurados os usuários forneciam os dados de entrada ou indicavam

onde os dados se encontravam, e por meio de relatórios impressos o computador

fornecia aos usuários os dados de saída ou a solução do problema. Tanto a entrada

como a saída de dados era textual.

Naquela época, o processamento dos programas dos usuários era feito de

modo seqüencial, sem que houvesse, em tempo de execução, qualquer interação do

computador com os usuários.

Quando da submissão do programa, o usuário tinha que previamente

fornecer, ou indicar onde se encontravam, os dados do problema que pretendia

solucionar, e também adicionar alguns cartões de controle. A única comunicação

homem-máquina em tempo de execução era feita mediante a console do operador,

para a qual o computador enviava mensagens de erro e/ou controle.

Posteriormente, no final da década de 1970, a comunicação dos usuários

com o computador passou a ser feita através dos terminais de computador, usados

tanto para a entrada como para a saída de dados. No princípio, os terminais

reproduziam, via teclado e vídeo de tubo de raios catódicos, o que era feito

anteriormente por meio dos cartões perfurados e relatórios de saída. Não obstante a

existência de um terminal para fins de interface, podia acontecer que o resultado de

um programa submetido para processamento, apenas fosse disponibilizado ao

usuário, para consulta na tela, horas depois, e não raro somente no dia seguinte.

4.5.2 Processamento Interativo

A evolução do Hardware e Software foi levando ao surgimento de

computadores cada vez mais velozes, o que aliado às novas exigências do mercado

e dos usuários, acabou levando ao processamento interativo. Neste caso, os

usuários se comunicam diretamente com o computador, e os computadores

respondem diretamente aos usuários. No processamento interativo, os dados vão

sendo fornecidos ao aplicativo na medida em que são necessários, e o usuário pode

ter acesso a resultados intermediários, e, com base nestes resultados, ele pode

21

manipular convenientemente os dados de entrada ou mesmo reorientar inteiramente

a direção que pretende dar ao processamento.

Neste aspecto, o sistema interativo pode ser entendido como um sistema no

qual o usuário recebe feed-back da máquina em tempo de execução, e pode

interferir no processamento do aplicativo.

Com o advento e grande desenvolvimento da microinformática nos anos 80,

o uso intensivo de microcomputadores popularizou-se. Os aplicativos desenvolvidos

neste ambiente são projetados segundo a filosofia de processamento interativo, ou

seja, o processamento do aplicativo se inicia por ordem do usuário no momento em

que este desejar, havendo geralmente forte comunicação entre o homem e a

máquina durante a execução dos mesmos.

Nos primeiros tempos da microinformática, apesar do processamento ser

interativo, nem o Hardware, nem os sistemas operacionais, a exemplo do MS-DOS,

davam suporte adequado ao uso de interfaces complexas entre o usuário e os

aplicativos. A maior parte das aplicações continuavam a usar interfaces textuais.

4.5.3 Processamento Interativo com Interfaces Gráficas Interativas

A rápida evolução do hardware de microcomputadores, e o surgimento de

sistemas operacionais multitarefa, a exemplo do Windows, Windows NT e UNIX,

propiciaram grandes progressos nas ferramentas de desenvolvimento de sistemas

aplicativos na área de microinformática. Um sistema operacional multitarefa significa

que o microcomputador ganha a capacidade de executar diversos programas ou

tarefas simultaneamente, como por exemplo editar um texto, imprimir um relatório, e

responder a eventos que o usuários realiza com o mouse. Na verdade o que ocorre

é um melhor aproveitamento da CPU (processador) pela divisão do seu tempo de

utilização entre diversos processos que estão sendo executados. Cada processo

ganha a CPU por alguns milissegundos, e executa durante esse tempo algumas

instruções. Como esse compartilhamento temporal da CPU por diversos processos

se dá de forma muito rápida, fica parecendo aos usuários que todos os processos

são executados simultaneamente.

Essa característica, até então disponível apenas em computadores de médio

e grande porte, quando passou a ser aplicada na área de microinformática permitiu o

surgimento de novas ferramentas que permitem o desenvolvimento de softwares que

utilizam Interfaces Gráficas Interativas para efetuar a interação homem-máquina. O

22

próprio sistema operacional Windows se comunica com o usuário mediante

Interfaces Gráficas Interativas.

4.5.4 IDE (Integrated Development Environment)

As pesquisas mostraram que muitas tarefas que eram difíceis de serem

programadas, como construir janelas, menus, botões, etc., podiam ser sempre

programadas da mesma forma, usando as mesmas rotinas de utilização geral,

bastando customizá-las conforme as necessidades do programador e da aplicação,

mediante a passagem de parâmetros e a definição de propriedades.

Essas rotinas de uso geral passaram a ser encapsuladas em objetos prontos

para serem usados, e que podem ser acessados mediante clicks sobre ícones na

tela do computador que representam objetos. Desta forma, as interfaces deixaram

de ser construídas em torno do código básico que realmente executa as ações, mas

sim em torno de sub-rotinas constituídas por centenas ou milhares de linhas pré

programadas com código básico, e normalmente chamadas, em inglês, de Applets.

Os softwares Visual Basic e Delphi são exemplos de ferramentas de

desenvolvimento que trabalham segundo esta filosofia.

O surgimento destas linguagens fez com que a programação se tornasse

menos procedimental, e as linguagens se tornassem um pouco mais próximas

daquilo que se chama de linguagens de Quarta geração, que são aquelas nas quais

o programador não precisa se preocupar exaustivamente com os passos do

procedimento básico necessário para alcançar seus objetivos, mas sobretudo com o

objetivo que deseja alcançar. Isto tudo fez com que no desenvolvimento de software

existisse uma utilização maciça de elementos gráficos, acessados por meio do

mouse, os quais representam uma rotina a ser incorporada ao aplicativo.

Uma outra característica incorporada aos novos ambientes de programação

é a de que os compiladores passaram a disponibilizar aos programadores, dentro do

próprio ambiente de compilação, rotinas gráficas capazes, por exemplo, de traçar

linhas, desenhar pontos e círculos, colorir desenhos, formar figuras, referenciar

pontos mediante um sistema de coordenadas, executar operações de arrastar e

soltar, etc.

Estes novos ambientes de desenvolvimento, que também incorporam um

editor de programas fonte, são geralmente chamados de IDE - Integrated

23

Development Environment e são destas facilidades que fizemos uso para

desenvolver nosso software com uma interface amigável.

24

5 NOÇÕES BÁSICAS

Iremos apresentar a seguir uma abordagem dos conceitos básicos

necessários para um completo entendimento dos problemas relacionados ao fluxo

de Potência.

5.1 Grandezas

Iremos agora fazer uma breve revisão de algumas grandezas elétricas

fundamentais ao equacionamento dos sistemas elétricos.

5.1.1 Impedância

A impedância é uma composição das grandezas resistência com reatância

(indutiva ou capacitiva).

A grandeza impedância é representada por “Z” e tem um módulo e uma

fase. É medida em ohms e indica quanto um elemento “impede” a passagem de

corrente no circuito.

É importante observar que Z não é um fasor, muito embora sua notação seja

semelhante à notação fasorial, já que o termo fasor é utilizado para grandezas que

variam no tempo e o módulo e fase da impedância são grandezas fixas.

Z = impedância (ohms, )

Z = R + jX (ohms, ) Equação 5.1

onde:

• Z é a impedância;

• R é a resistência;

• X é a reatância.

5.1.2 Resistência

O escoamento de cargas através de qualquer material encontra a oposição

de uma força semelhante, em muitos aspectos, ao atrito mecânico. Esta oposição,

resultante das colisões entre elétrons e entre elétrons e átomos do material. O

25

símbolo usado para representar a resistência é a letra R e assim como a

impedância, sua unidade de medida é o ohm (Ω).

Figura 5.1 – Símbolo e representação da Resistência Elétrica

5.1.3 Reatância

A reatância é uma oposição à corrente que resulta em uma troca contínua

de energia entre a fonte e o campo magnético do indutor ou capacitor. Em outras

palavras, a reatância, ao contrário da resistência (que dissipa energia em forma de

calor), não dissipa energia (ignorando os efeitos da resistência). Podemos ter uma

reatância tanto indutiva como capacitiva:

XL = Impedância Indutiva (Omhs, );

XC = Impedância Capacitiva (Omhs, ).

Figura 5.2 – Símbolo e representação das Reatâncias Indutiva e Capacitiva

) (ohms, Ω LX L ω Equação 5.2

) (ohms, 1 ΩC

X C ω Equação 5.3

5.1.4 Admitância

A admitância, analogamente a impedância, é uma composição das

grandezas condutância e susceptância (indutiva ou capacitiva). Em circuitos de

26

corrente alternada (AC) definimos admitância (Y) como sendo igual a 1/Z. A unidade

de admitância no SI é o siemens, cujo símbolo é S. A admitância é uma medida de

quanto um circuito AC admite, ou permite, a passagem da corrente. Assim, quanto

maior o seu valor, maior será a corrente para a mesma tensão aplicada.

S) (siemens, AdmitânciaY

S) (siemens, 1ZY =

S) (siemens, jBGY += Equação 5.4

onde:

• Y é a admitância;

• G é a condutância;

• B é a susceptância.

5.1.4.1 Condutância

Quando calculamos o inverso da resistência de um material, obtemos

uma medida da facilidade com que o material conduz eletricidade. Esta grandeza é

chamada condutância, seu símbolo é G, e é medida em siemens (S). Em termos

matemáticos a condutância é definida por:

S) (siemens, aCondutânciG

S) (siemens, 1R

G = Equação 5.5

5.1.4.2 Susceptância

O inverso da reatância (1/X) é denominado susceptância, e dá uma idéia de

quanto um componente é susceptível à passagem de corrente. A susceptância

também é medida em siemens e representada pela letra B.

Assim como a reatância, podemos ter susceptância indutiva ou capacitiva:

27

S) (siemens, Capacitiva iaSusceptânc

S) (siemens, Indutiva iaSusceptânc

C

L

B

B

S) (siemens, 1

LL X

B = Equação 5.6

S) (siemens, 1

CC X

B = Equação 5.7

5.2 Modelos para a Simulação de Sistemas Elétricos de Potência

A análise do desempenho de um Sistema Elétrico de Potência se faz por

meio de simulações utilizando para isso modelos matemáticos que representam os

equipamentos por meio de equações. Uma vez fornecidos os elementos conhecidos

destas equações (características e condições do sistema) e resolvidas as equações,

tem-se o resultado para aquela condição (ou estado) do sistema.

Para a representação dos vários componentes do sistema são necessários

modelos adequados a cada componente e a cada tipo de estudo, tendo-se

normalmente, modelos mais simples para estudos em regime permanente e modelos

mais complexos para estudos de transitórios.

Figura 5.3 – Modelamento de Equipamentos: Linha de Transmissãovii

28

Figura 5.4 – Modelamento de Equipamentos: Transformador viii

Como os sistemas elétricos trifásicos simétricos e equilibrados são sempre

estudados utilizando-se a representação monofásica devido à enorme simplificação

que advém de tal procedimento, os modelos matemáticos desenvolvidos para a

representação dos vários componentes do sistema são também modelos

monofásicos.

Dependendo do estudo que se deseja fazer, tem-se uma representação

específica dos vários componentes do sistema, representando com maiores detalhes

os aspectos que interessam ao estudo. Para um estudo de fluxo de potência, a

localização, número e características dos disjuntores ou relés não interessa, não

havendo necessidade da representação destes equipamentos.

No diagrama unifilar de impedâncias, como também no de admitâncias, cada

elemento (linha, gerador, transformador, etc.) do sistema em estudo deve ser

representado por um circuito equivalente monofásico, ou seja, representativo de uma

fase do elemento. O grau de precisão deste circuito equivalente vai depender da

finalidade do estudo. Determinados estudos requerem representações mais

completas e detalhadas, enquanto outros admitem maiores simplificações. Assim,

em diferentes estudos, um mesmo elemento do sistema pode ser representado por

circuitos equivalentes diferentes.

29

Figura 5.5 – Exemplo de diagrama Unifilar de Admitânciasix

5.2.1 Modelos de Geradores Síncronos

Nos estudos de Fluxo de Potência convencional onde se admite rede e

carga equilibrados, e por isso só se modelam os elementos em termos de sua

seqüência positiva, os geradores são comumente representados por uma força

eletromotriz constante em módulo e uma potência ativa injetada na barra terminal

(que na maioria das vezes é a barra de alta tensão da usina, mas que também pode

ser a barra de baixa tensão nos casos em que houver interesse em representar os

transformadores elevadores).

Deve-se ressaltar que o modelo mais sofisticado e que incluiria a

consideração da saliência das máquinas de pólos salientes necessitaria, para a sua

dedução, do subsídio da teoria geral das máquinas elétricas. Sendo que este tema

além de exigir bastante espaço para uma abordagem eficiente, não se utiliza deste

modelo para os cálculos de fluxo de potência, portanto abordaremos apenas o

modelo aqui empregado.

Uma máquina em regime permanente de funcionamento simétrico, pode ser

vista de seus terminais, como uma fonte de força eletromotriz E em série com uma

impedância interna jXd. O diagrama equivalente é mostrado na figura abaixo:

30

Figura 5.6 – Modelo de Geradorx

A impedância jXd é designada como a impedância síncrona da máquina. O

diagrama fasorial da máquina é mostrado abaixo:

Figura 5.7 – Diagrama de Fasorial de um Geradorxi

Onde:

• E é a força magneto motriz;

• V é a tensão terminal da máquina;

• δ o ângulo de carregamento;

• φ o ângulo de fase.

31

5.2.2 Modelos de Linhas de Transmissão

Normalmente as linhas de transmissão funcionam como cargas equilibradas

trifásicas. Embora as vezes não apresentem espaçamento eqüilateral ou não sejam

transpostas, a assimetria resultante será pequena e as fases podem ser

consideradas em equilíbrio.

Uma linha de transmissão possui quatro parâmetros: resistência e

indutância, que constituem a impedância série da linha, e capacitância e

condutância que constituem a admitância em paralelo entre fases ou entre fase e

neutro. A condutância em paralelo é pequena e pode ser geralmente desprezada

para o cálculo das tensões e correntes nas linhas de transmissão.

Costuma-se caracterizar as linhas de transmissão como curtas, médias ou

longas, conforme o comprimento das mesmas. Tal caracterização deve-se ao

comportamento das linhas quando operando em regime permanente em função do

efeito da capacitância das mesmas.

A resistência, a reatância e a condutância das linhas estão uniformemente

distribuídas ao longo da linha e isso deve ser observado no cálculo rigoroso das

linhas longas. Para linhas médias é razoável considerar metade da capacitância total

da linha como concentrada em cada extremidade da mesma e a impedância série

concentrada entre as capacitâncias, sem que sejam introduzidos erros apreciáveis

nas correntes e tensões nos terminais. Para linhas curtas, a susceptância capacitiva

total é tão pequena que pode ser omitida, considerando-se somente a impedância

série concentrada.

Nos modelos considerados a seguir considera-se uma linha trifásica, com os

condutores dispostos segundo os vértices de um triangulo eqüilátero (ou totalmente

transposta), com tensões e correntes simétricas e equilibradas, para a qual se

podem obter parâmetros “por fase” e que pode, então ser representada por um

modelo monofásico unifilar.

No desenvolvimento das equações considerar-se-á a seguinte notação:

• Vs - tensão fase-terra no terminal emissor;

• Vr - tensão terminal no terminal do receptor;

• Is - corrente de fase no terminal emissor;

• Ir - corrente de fase no terminal receptor;

• Z = R + jXl - impedância série;

• Y = G + jBc - admitância em derivação.

32

5.2.2.1 Linha Longa

Considerando-se que todos os parâmetros das linhas de transmissão:

resistência, indutância, condutância e capacitância, são uniformemente distribuídas

pode-se considerar uma seção infinitesimal de linha representada por elementos de

seus parâmetros, como mostrado na figura abaixo, e obter as relações entre

correntes e tensões nos terminais desta seção.

Figura 5.8 – Esquema para linha longa

Extendendo-se depois para a linha toda, de comprimento [km] e

resolvendo-se as equações diferenciais, obtém-se as equações relacionadas abaixo:

[V] )senh()cosh γγ RCRS IZ(VV += Equação 5.8

[A] )senh()cosh γγC

RRS Z

V(II += Equação 5.9

que fornecem a solução exata para a tensão e a corrente no terminal emissor da

linha em função da tensão no terminal receptor tendo-se, ainda:

][ Ω=CL

ZC Equação 5.10

βγ jLC +== Equação 5.11

sendo:

αααα em neper;

ββββ em radianos;

33

L em henry;

C em farad.

Com as equações para o modelo da linha longa pode-se na verdade, obter a

tensão e a corrente em qualquer ponto de uma linha, bastando que se substitua

por x, onde x é a distância do receptor ao ponto considerado.

5.2.2.2 Linha Média

Tomando-se as equações 5.8 e 5.9 e expandindo-se em série as funções

senh( γ ) e cosh( γ ) e tomando apenas os dois primeiros termos da série, obtém-se

as equações 5.12 e 5.13, com funções trigonométricas, que são as chamadas

equações de linha média ou equações do pi-nominal, cujo o diagrama é mostrado na

figura abaixo:

Figura 5.9 – Esquema para linha média

[V] 2

1 RLRS IZZY

VV +

+= Equação 5.12

[A] 2

14

1

++

+×= ZYI

ZYYVI RRS Equação 5.13

34

onde:

LjXRZ += e CjBGY += .

Estas equações permitem uma precisão suficiente para os cálculos usuais

de linhas de transmissão.

Este modelo é, também, normalmente utilizado na modelagem de linhas de

transmissão em programas computacionais devido à facilidade da implantação do

mesmo na representação das linhas de transmissão. E é este o modelo que

utilizamos na elaboração do software.

5.2.2.3 Linha Curta

Para este modelo, mostrado no diagrama unifilar da figura abaixo, onde

foram eliminadas as admitâncias em derivação, consideradas nos modelos de linha

longa (exato) e pi-nominal têm-se as seguintes expressões:

RS II = Equação 5.14

RLRS IZVV += Equação 5.15

Figura 5.10 – Esquema para linha curta

35

5.2.3 Modelos de Transformadores

Os transformadores utilizados em sistemas elétricos de potência podem ser

de dois ou de três enrolamentos, monofásicos ou trifásicos e com relação de

transformação fixa ou variável.

5.2.3.1 Transformador de Dois Enrolamentos

No desenvolvimento apresentado a seguir serão utilizadas as expressões

“alta tensão”, “média tensão” e “baixa tensão”, ou abreviadamente: AT, MT e BT, ao

invés dos termos “primário”, “secundário” e “terciário”, que podem induzir a

confusões. Será também utilizado um transformador monofásico, mas as

informações obtidas podem ser utilizadas em estudos de sistemas trifásicos já que

os valores obtidos são “por fase” e os cálculos de sistemas trifásicos simétricos e

equilibrados são efetuados por uma fase apenas, utilizando-se circuitos monofásicos

unifilares.

Um transformador de dois enrolamentos tem quatro terminais por fase,

sendo dois do lado de alta tensão e dois do lado de baixa tensão. Para representá-lo

são utilizadas impedâncias medidas no ensaio de curto-circuito e as diversas

relações matemáticas utilizadas são obtidas a partir de diagramas de impedâncias,

conforme mostrado na figura abaixo:

Figura 5.11 – Esquema para transformador

36



37



38

Figura 5.16 – Esquema simplificado de transformador

A representação de um transformador monofásico é feita por um diagrama

de impedâncias equivalente, a dois e três terminais, em estrela (Y) ou delta (∆). A

figura 5.13 representa o circuito equivalente em Y, com Z1, Z2 e Z12 a serem

determinados.

Se o transformador da figura 5.11 é representado com terminais A’ e B’

conectados, como na figura 5.12, nenhuma alteração é introduzida, já que estes

pontos estão no potencial de neutro. Nesta figura, Z11 é a impedância própria do

enrolamento AA’, Z22 é a impedância própria do enrolamento BB’ e Z12 é a

impedância mútua entre os dois enrolamentos, já que estes estão acoplados

magneticamente.

Aplicando-se uma tensão entre A e A’, com B aberto e entre B e B’, com A

aberto (figura 5.12), tendo-se os valores de corrente em ambos os casos e

equacionando V/I no transformador e no circuito equivalente (figura 5.13) tem-se:

31111

ZZZIV +== Equação 5.16

32222

ZZZIV +== Equação 5.17

Aplicando-se agora uma tensão V entre os terminais A e A’ com B e B’ curto-

circuitados (figura 5.12), o que corresponde a aplicar a tensão V entre A e A’B’ com

B curto-circuitado com A’B’ no circuito equivalente (figura 5.13), tem-se:

122111 ZIZIV −= Equação 5.18

39

1222110 ZIZI +−= Equação 5.19

22

2112 Z

ZII = Equação 5.20

Eliminando I2 nas equações acima, tem-se:

−=

22

212

111 ZZ

ZIV Equação 5.21

22

212

111 Z

ZZ

IV −=∴ Equação 5.22

32

321

1 ZZZZ

ZIV

++=∴ Equação 5.23

Igualando-se as equações 5.21 e 5.22 e substituindo-se o valor de Z11 obtido

de 5.16, obtém-se:

32

23

32

323

22

212

ZZZ

ZZZZ

ZZZ

+=

+−= Equação 5.24

Verifica-se, então, que as equações 5.16, 5.17 e 5.19 somente são satisfeitas

se:

12111 ZZZ −= Equação 5.25

12222 ZZZ −= Equação 5.26

123 ZZ = Equação 5.27

O circuito equivalente é então mostrado na figura 5.14, onde:

Z1 = impedância de dispersão do enrolamento AA’;

40

Z2 = impedância de dispersão do enrolamento BB’;

Z3 = impedância mútua entre dois enrolamentos.

Na figura 5.15 estão mostrados com detalhes os componentes da

impedância mútua. A resistência Rh+e é a resistência que leva em conta as perdas

por histerese e correntes parasitas no ferro do núcleo, e Xm é a reatância mútua ou

de magnetização.

A corrente que flui através da combinação em paralelo é a corrente de

excitação do transformador. A parcela Rh+e é a corrente de perdas, responsável

entre outras coisas pelo aquecimento do núcleo. A outra parcela, que flui através de

Xm é a corrente de magnetização do transformador.

Na maioria dos problemas o ramo paralelo de excitação é considerado como

impedância infinita e o circuito equivalente passa a dois terminais, conforme figura

5.16, onde ZT é a impedância de dispersão do transformador.

5.2.3.2 Transformador de Três Enrolamentos

Com a corrente de excitação desprezada, o circuito equivalente de um

transformador de três enrolamentos, para uso no diagrama monofásico de

impedâncias, será um circuito de três terminais.

Em um transformador de três enrolamentos, as potências de cada um deles

poderá ser diferente. As impedâncias fornecidas pelos fabricantes estão geralmente

referidas à tensão e à potência de cada enrolamento. Assim é necessário, antes de

tudo, referir todas as impedâncias à potência base comum de estudo. Como as

tensões bases serão as tensões nominais dos respectivos circuitos do

transformador, as impedâncias em pu serão as mesmas referidas a qualquer lado do

mesmo. Assim as impedâncias já estão nas tensões adequadas. Tomados estes

cuidados teremos a seguinte correspondência entre as impedâncias do

transformador e as do circuito equivalente em Y, da figura 5.17.

41

Figura 5.17 – Esquema de Transformador com 3 enrolamentos

maam ZZZ += Equação 5.28

baab ZZZ += Equação 5.29

bmmb ZZZ += Equação 5.30

onde Za, Zm e Zb são as impedâncias do circuito equivalente, a determinar, e

Zam, Zab e Zmb as impedâncias do transformador, definidas como:

Zam = impedância de dispersão entre alta e média, com a baixa aberta;

Zab = impedância de dispersão entre alta e baixa, com a média aberta;

Zmb = impedância de dispersão entre média e baixa, com a alta aberta (com

todos os valores em pu).

Resolvendo o conjunto de equações (5.28, 5.29, 5.30) tem-se:

( )mbabama ZZZZ −+=21

Equação 5.31

( )abmbamm ZZZZ −+=21

Equação 5.32

( )ammbabb ZZZZ −+=21

Equação 5.33

42

5.2.3.3 Modelos de Transformadores com Relação de Transformação Fora da

Nominal

Os transformadores normalmente têm várias derivações em um dos

enrolamentos (ou em ambos) o que possibilita a regulação da tensão com a

operação fora da relação de transformação nominal.

Os transformadores com relação de transformação nominal são

representados, em pu, por uma reatância série apenas, como visto no item anterior.

Já os transformadores com relação fora da nominal necessitam ser adequadamente

modelados para poderem levar em conta a derivação em que o comutador está

conectado.

Considerando-se as tensões do lado de alta e do lado de baixa em cada

derivação, e as respectivas tensões bases, e admitindo que haja derivações de

ambos os lados, obtém-se o valor da derivação “a” (ou “tap”), em pu:

[pu] BA

a = Equação 5.34

Onde:

AT da base TensãoAT da derivação da Tensão=A Equação 5.35

BT da base TensãoBT da derivação da Tensão=B Equação 5.36

O transformador com relação de transformação fora da nominal pode ser

representado apenas por um transformador ideal, com relação de transformação a:1,

em série com uma admitância, como mostrado na figura abaixo:

43

Figura 5.18 – Transformador com Relação Fora da Nominal

Eliminando-se a barra r obtém-se um equivalente na forma de um modelo π,

como mostrado na figura 5.19:

a

Figura 5.19 – Modelo ππππ de Transformador

É importante observar que os elementos do modelo π obtidos anteriormente

somente serão válidos se:

qppq YY = Equação 5.37

para o que é necessário que se tenha a = a*, ou seja, somente quando “a” é real,

que é o que acontece para transformadores em que há mudança apenas da

magnitude da tensão e não da fase da mesma.

44

No caso em que a ≠ a* tem-se um “transformador defasador”, com o qual é

possível obter tanto a mudança da amplitude da tensão como a sua fase e, com

isso, regular a tensão e forçar o fluxo de potência de forma desejada.

5.2.3.4 Modelos de Cargas

Podemos conceituar carga de um Sistema Elétrico de Potência como sendo

qualquer dispositivo elétrico que consuma energia ativa e reativa deste ou mesmo

apenas energia reativa.

Quando se está tratando da análise e operação de um Sistema Elétrico de

Potência, a carga deste surge como um parâmetro de altíssimo interesse e

importância visto que o objetivo básico das áreas de operação e análise do Sistema

Elétrico de Potência é o atendimento aos consumidores dentro dos padrões

adequados de qualidade, confiabilidade e continuidade.

Um outro aspecto que se deve ser considerado é que certos

comportamentos de carga global de um Sistema Elétrico de Potência, ao longo do

tempo ou mesmo em determinadas condições anômalas, fazem com que as

decisões e providências operacionais sejam mutáveis.

Vamos analisar alguns aspectos das cargas que devem ser levados em

conta quando da operação e análise de um SEP.

O primeiro seria a grandeza da carga, no que tange ao seu valor, é bastante

compreensível que a magnitude de uma determinada carga faça com que o controle

operacional, a análise e mesmo a estrutura do SEP seja tal qual atenda esta, dentro

dos padrões legais e adequados de fornecimento.

Outro aspecto de suma importância que deve ser levado em conta é a

dependência da carga com a tensão e freqüência.

Na atual representação de cargas utilizadas em estudos de grandes

Sistemas Elétricos de Potência, normalmente a freqüência média do sistema é

considerada constante, a respeito da mudança de carga dos geradores e da posição

angular relativa dos geradores durante distúrbios.

Como conseqüência, as características dos geradores, equipamentos e

linhas de um SEP são definidas para a freqüência nominal.

Por outro lado, pelo que se tem observado em alguns estudos de SEP, as

características dos elementos desse não variam de modo substancial de forma que

justifique levar em conta a mudança de freqüência.

45

Dessa forma, para esses casos, torna-se desnecessário incluir o efeito da

variação das cargas de um SEP com a freqüência.

A inclusão dos efeitos de variação de carga de um SEP com a freqüência

exige, para que se tenha uma precisão adequada, uma metodologia extremamente

complicada na análise e modelagem das cargas, muito embora nos atuais

programas de estabilidade seja possível levar em conta a variação das cargas com

inércia (a exemplo de motores de indução, síncronos) com a variação da freqüência.

Dentro da filosofia de análise do comportamento da carga composta de um

SEP com a tensão pode-se classificar essa carga em três tipos clássicos:

• Impedância constante, onde a variação da potência consumida é

função do quadrado da tensão, ou seja:

( )2VfP = Equação 5.38

como, por exemplo, aquecedores ou mesmo a carga geral de um

SEP;

• Corrente constante, onde a variação da potência, consumida é

função linear da tensão, ou seja:

( )VfP = Equação 5.39

como, por exemplo, lâmpadas fluorescentes;

• Potência constante, onde a potência consumida independe, da

variação da tensão, ou seja:

( )0VfP = Equação 5.40

como, por exemplo, motores síncronos e de indução (com restrições).

Em suma, a variação geral da carga global de um Sistema Elétrico de

Potência com a tensão pode ser caracterizada pela expressão genérica:

( ) ( ) ( )23

12

01 VpVpVpP ++= Equação 5.41

De qualquer forma, dado o escopo do trabalho em questão, ater-se-á manter

constante os valores da potência consumida pelas cargas em função da tensão.

46

5.3 Formação das Matrizes Admitância e Impedância

O desenvolvimento contínuo de grandes computadores de alta velocidade

tem propiciado uma importante mudança nas técnicas de solução de grandes

circuitos elétricos. As soluções através de computador digital dependem das

equações do circuito. Assim, é importante que o engenheiro de sistemas de potência

entenda a formulação das equações e, para a obtenção da solução desenvolva o

programa de computador.

Abordaremos agora a formulação das matrizes admitância de barra e

impedância de barra.

5.3.1 Equações Nodais

As junções formadas por dois ou mais elementos (R, L, C, ou uma fonte

ideal de corrente ou tensão) conectados nos seus terminais, são chamados de nós.

Em sistemas de potência são comumente chamados de barras. A formulação

sistemática das equações determinada nos nós de um circuito pela aplicação da lei

de Kirchhoff das correntes, é a base de algumas soluções de problemas de sistemas

de potência.

Na Figura 5.20 podemos examinar alguns aspectos das equações nodais.

Os geradores são conectados através de transformadores às barras de alta tensão 1

e 3, suprindo um motor síncrono na barra 2.

Figura 5.20 - Diagrama unifilar de um sistema simplesxii

47

Para análise, as máquinas ligadas a uma barra são tratadas como máquinas

simples representadas por uma fonte de tensão em série com uma reatância. O

diagrama de reatância, com as reatâncias em p.u., é mostrado na Figura 5.21. Os

nós são indicados por pontos e os nós com mais de duas conexões são indicados

por números circunscritos.

O circuito é refeito com as fontes de tensão em série com as impedâncias

conectadas aos nós com mais de duas conexões trocadas por fontes de corrente em

paralelo com admitância shunt, com mostra a Figura 5.22.

Figura 5.21 - Diagrama de reatâncias do sistema da Figura 5.20xiii

Figura 5.22 - Circuito da Figura 5.20 com fontes de correntexiv

48

Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no nó 1 com a fonte de corrente

injetando corrente igual a soma das correntes que deixam o nó, temos:

( ) ( )413111 VVyVVyVyI dfa −×+−×+×= Equação 5.42

e para o nó 4:

( ) ( ) ( )3424140 VVyVVyVVy ehd −×+−×+−×= Equação 5.43

Rearranjando essas equações temos:

( ) 4311 VyVyVyyyI dfdfa ×−×−×++= Equação 5.44

( ) 43210 VyyyVyVyVy hedehd ×+++×−×−×−= Equação 5.45

Equações semelhantes podem ser formadas para os nós 2 e 3, e o sistema

de equações pode ser resolvido para determinar V1, V2, V3 e V4. As correntes podem

ser calculadas uma vez conhecidas essas tensões.

As equações do sistema podem ser colocadas na forma matricial por:

×

=

4

3

2

1

44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

4

3

2

1

V

V

V

V

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

I

I

I

I

A matriz Y é simétrica e denominada de YBARRA e chamada de matriz

admitância de barra. Os elementos Y11, Y22, Y33 e Y44 são chamados de elementos

próprios da matriz. Os elementos fora da diagonal são chamados de elementos

mútuos.

A expressão geral para a corrente injetada no nó k de um circuito com N nós

independentes, isto é, N barras fora a referência, é:

49

=

×=N

nnknk VYI

1

Equação 5.46

Os elementos da matriz YBARRA são formados de uma forma genérica por:

• Elementos próprios =

=N

jijii yY

1

• Elementos mútuos yijYij −=

Sendo yij a admitância conectada entre a barra i e a barra j.

5.3.2 Medição dos Elementos das Matrizes Impedância e Admitância de Barra

A inversão da matriz admitância de barra YBARRA é chamada de matriz

impedância de barra ZBARRA e é, por definição:

1−= BARRABARRA YZ

Para um circuito de três nós, temos que:

=

33

23

13

32

22

12

31

21

11

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z BARRA

sendo ZBARRA uma matriz simétrica.

A matriz YBARRA não necessariamente deve ser obtida para se obter ZBARRA.

5.3.3 Modificação de uma Matriz Impedância de Barra

A matriz ZBARRA é uma ferramenta importante em análise de sistemas de

potência. Veremos agora como modificar ZBARRA ao adicionar uma nova barra ou ao

conectar uma nova linha a uma barra já existente. Poderíamos criar uma nova matriz

YBARRA e invertê-la, mas, o método direto de modificação é mais vantajoso e mais

simples que a inversão.

Consideremos vários tipos de modificações envolvendo a adição de um

ramo com impedância Zb a um circuito cuja matriz original ZBARRA é conhecida e que

a identificaremos por Zorig (n x n).

50

As barras existentes serão identificadas por números ou letras h, i, j e k. A

letra p designará a nova barra a ser adicionada ao circuito para converter Zorig a uma

matriz (n+1)x(n+1). Quatro casos serão considerados.

• adição de ZB de uma nova barra P à barra de referência;

• adição de ZB de uma nova barra P a uma barra existente K;

• adição de ZB de uma barra existente K à barra de referência;

• adição de ZB entre duas barras existentes j e k.

5.3.3.1 Adição de ZB de uma Nova Barra P à Barra de Referência

A adição de Zb de uma nova barra p à barra de referência sem conexão com

as barras já existentes do circuito original, não altera as tensões de barra original

quando uma corrente Ip é injetada na nova barra. A tensão Vp na nova barra é igual

a Zb.Ip. Assim,

×

=

p

n

b

orig

p

n

I

I

I

I

Z

Z

V

V

V

V

2

1

2

1

000

0

00

Observe que o vetor de correntes multiplicado pela nova matriz ZBARRA não

altera as tensões do circuito original

5.3.3.2 Adição de Zb de uma Nova Barra P à uma Barra Existente K

A adição de Zb de uma barra p a uma barra k, já existente, com injeção de Ip

na barra p, produzirá na barra k Ik + Ip, como mostra a Figura 5.23.

51

Figura 5.23 - Adição da nova barra p conectada através da impedância Zb a uma barra k

A corrente Ip injetada na barra k produzirá um acréscimo na tensão original

de Zkk.Ip, ou seja:

pkkorigknovok IZVV ×+= )()( Equação 5.47

e Vp será igual a

pbpkkorigkp IZIZVV ×+×+= )( Equação 5.48

e

pbkknknkkp IZZIZIZIZV ××+×++×+×= )(2211 Equação 5.49

A nova linha a ser acrescida a Zorig para encontrar Vp é:

)( 21 bkkknkk ZZZZZ × Equação 5.50

Como ZBARRA é uma matriz quadrada e diagonal, devemos colocar uma

coluna igual a transposta da nova linha. Assim a equação matricial torna-se:

52

×

+

=

p

n

bkkknkk

nk

korig

k

p

n

I

I

I

I

ZZZZZ

Z

ZZ

Z

V

V

V

V

2

1

21

2

1

2

1

Observe que os n primeiros elementos da nova linha são os elementos da

linha k de Zorig e os n primeiros elementos da nova coluna são os elementos da

coluna k de Zorig.

5.3.3.3 Adição de Zb de Uma Barra Existente K à Barra de Referência

Para alterar Zorig conectando uma impedância Zb de uma barra k existente à

barra de referência, adiciona-se uma nova barra p conectada por Zb à barra k,

depois curto-circuita-se a barra p à barra de referência fazendo Vp igual a zero. Para

modificar cria-se uma nova linha e uma nova coluna semelhante ao caso 2 e depois

elimina-se a linha e a coluna (n+1) pelo fato da tensão ser nula. Para determinar os

elementos da nova matriz, temos:

bkk

innhorighinovohi ZZ

ZZZZ

+×

−= ++ )1()1()()( Equação 5.51

5.3.3.4 Adição de ZB entre Duas Barras Existentes j e k

Para adicionar Zb entre duas barras existentes j e k examinaremos a Figura

5.24.

53

Figura 5.24 - Adição da impedância Zb entre as barras j e k existentes.

A corrente Ib flui através de Zb de k para j. As equações para as tensões são:

( ) ( ) +−×++×++×= bkkbjj IIZIIZIZV 111111 Equação 5.52

Rearranjando:

)( 11111111 kjbkkjj ZZIIZIZIZV −×++×+×++×= Equação 5.53

Igualmente:

)(11 jkjjbkjkjjjjj ZZIIZIZIZV −×++×+×++×= Equação 5.54

)(11 kkkjbkkkjkjkk ZZIIZIZIZV −×++×+×++×= Equação 5.55

Necessita-se de mais uma equação, já que Ib é desconhecida:

bbjk IZVV ×=− Equação 5.56

ou

kjbb VVIZ −+×=0 Equação 5.57

54

Fazendo um arranjo com as equações descritas, podemos escrever a

equação matricial,

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

×

−−

−

−−

−

=

b

n

k

j

bbkkkjkj

nknj

kkkj

jkjjorig

kj

n

k

j

I

I

I

I

I

ZZZZZ

ZZ

ZZ

ZZZ

ZZ

V

V

V

V

1

11

111

0

Eliminando a linha e a coluna (n+1), temos, para cada elemento da nova

matriz:

jkkkjjb

innhorighinovohi ZZZZ

ZZZZ

2)1()1(

)()( −++×

−= ++ Equação 5.58

5.3.4 Determinação Direta de uma Matriz Impedância de Barra

Vimos que uma forma para se obter ZBARRA era fazendo a inversão de

YBARRA. Entretanto, a formação de ZBARRA diretamente, sob o ponto de vista

computacional, é mais simples que inverter YBARRA, principalmente para grandes

circuitos.

Para a montagem de ZBARRA é necessário possuir uma lista das impedâncias

mostrando as barras em que elas são conectadas. Inicia-se escrevendo a equação

de uma barra conectada através de uma impedância Za à barra de referência, como:

11 IZV a ×= Equação 5.59

Agora podemos adicionar uma nova barra conectada a primeira ou à barra

de referência. Assim, se a segunda barra for conectada à barra de referência através

de Zb temos a equação matricial,

55

×

=

2

1

2

1 0

0 I

I

Z

Z

V

V

b

a Equação 5.60

E assim prossegue-se com a modificação da matriz adicionando outras

barras seguindo os procedimentos descritos anteriormente.

O procedimento é simples para um computador digital. Para isso se faz

necessário determinar os tipos de modificações envolvidas para cada impedância a

ser adicionada. Entretanto, as operações devem seguir uma seqüência de forma a

permitir conexões entre duas barras.

5.3.5 Esparcidade

Uma das características da matriz de admitâncias Y é a esparcidade, ou

seja, grande numero dos elementos da matriz é igual a zero.

Considerando uma rede com NB barras e NR ramos:

• A matriz Y terá a dimensão (NB x NB);

• Todos os elementos da diagonal são não nulos;

• Os elementos fora da diagonal Ykm e Ymk serão não nulos se

houver um ramo conectado as barras k e m.

Em resumo:

Número total de elementos NB2

Número de elementos da diagonal (sempre não nulos) NB

Números de elementos não nulos fora da diagonal 2.NR

Número total de elementos não nulos NB + 2.NR

Quadro 5.1 - Esparcidade

O grau de esparcidade é a porcentagem de elementos da matriz e é dado por:

%100).2(

%100elementos de totalnúmero

nulos elementos de número2

2

×+−=×=NB

NRNBNBGE Equação 5.61

56

Consideremos o exemplo de matriz de admitância Y baseada no sistema

Sul/Sudeste/Centro-Oeste brasileiro, composto por 1663 barras e 2349 ramos:

Figura 5.25 - Exemplo de matriz Y baseada no sistema Sul/Sudeste/Centro-Oeste brasileiroxv

O Grau de Esparcidade para este caso é:

%77,99%1001663

)2349.21663(16632

2

=×+−=GE

Existem métodos para o tratamento e armazenamento da matriz de

admitância que visam a redução de memória, uma vez que a grande quantidade dos

elementos desta matriz são nulos. Para a implementação do software não fizemos

uso dessas técnicas, uma vez que temos por objetivos construir um software didático

com um número limitado de barras.

57

5.4 Métodos de Solução e Análise de Sistemas Elétricos de Potência

Um Sistema Elétrico de Potência nada mais é do que um circuito elétrico de

grande porte onde existem fontes (geradores) e impedâncias (linhas de transmissão,

transformadores etc.). A análise de desempenho deste sistema consiste em

determinar a tensão em cada nó (barramento) e a corrente em cada ramo (linha ou

transformador), e implica em resolver o circuito elétrico correspondente para

determinadas condições das fontes e das cargas e, para tanto, utilizam-se métodos

estudados em circuitos elétricos tais como: matrizes de impedâncias ou de

admitâncias. Em um sistema elétrico de potência existem transformadores que

mudam a tensão e a corrente dos pontos onde estão conectados, de forma que a

solução do circuito, com a utilização dos métodos matriciais, fica dificultada pela

necessidade de se utilizar as relações de transformação dos vários transformadores,

passando, inicialmente, todos os dados do circuito (em ohm) para um mesmo nível

de tensão (um determinado lado do transformador) para, somente então, resolver o

circuito. A maior vantagem do sistema “por unidade” (pu) é simplificar esta

“uniformização” inicial dos dados, facilitando todo o processo de cálculo.

5.4.1 Sistema Por Unidade (PU)

5.4.1.1 Definição

O valor numérico, em pu, de uma grandeza qualquer, é a relação entre o

valor real desta grandeza (na sua unidade) e um valor base, da mesma grandeza e

na mesma unidade, expresso como um número decimal:

basevalor realvalor

pu emvalor = Equação 5.62

O sistema “pu” é semelhante ao sistema “percentual”, sem as desvantagens

deste, pois quando dois valores percentuais são multiplicados ou divididos, o

resultado deverá ser dividido ou multiplicado, respectivamente, por 100 para se obter

o resultado correto, o que não é necessário no sistema pu. Um valor percentual é um

valor em pu, multiplicado por 100.

58

Em aplicações práticas é muito comum utilizarem-se valores percentuais

(para reatâncias de transformadores e de geradores ou parâmetros R, L, C de linhas

de transmissão), bastando admitir esses valores percentuais por 100 para

transformá-los para pu, para daí efetuar os cálculos com os mesmos.

5.4.1.2 Vantagens da Utilização do Sistema PU

Além de facilitar a solução dos circuitos onde há transformadores, a

utilização de pu apresenta algumas vantagens adicionais, como veremos a seguir.

Normalmente a reatância dos equipamentos elétricos, como geradores e

transformadores, é fornecida pelos fabricantes na forma de valores percentuais (pu

multiplicados por 100), valores estes calculados considerando como bases os

valores nominais de tensão e potência do equipamento em questão. Quando

expressos desta maneira, as características dos equipamentos elétricos podem ser

facilmente comparadas e o que se verifica é que a reatância das máquinas elétricas

de diferentes potências, mas do mesmo tipo, estão dentro de limites bem definidos e

que a reatâncias de transformadores de mesmas tensões nominais não diferem

significativamente. Desta forma é possível efetuar estudos bastante precisos

assumindo valores típicos para reatâncias de equipamentos futuros dentro da faixa

de valores característicos para os mesmos.

Na análise de um sistema em condição normal é necessário verificar as

condições de tensão nos vários barramentos e, sabendo-se que a tensão em um

barramento deve estar entre mais ou menos 5% do valor nominal, fica mais fácil

efetuar a análise quando os valores estão em pu, pois basta ter em mente que os

limites extremos da tensão são 1,05pu no máximo e 0,95pu no mínimo, para

qualquer barramento, não sendo necessário memorizar todos valores em kV para

todas as classes de tensão.

No cálculo de redes por meio de computadores digitais, todos os valores

numéricos dos parâmetros da rede, das excitações e das respostas são de mesma

ordem de grandeza, resultando maior precisão dos cálculos.

59

5.4.1.3 A Escolha de Bases

Para o cálculo dos valores em pu são necessárias “bases”, as quais, como

em um sistema de unidades, são arbitrariamente escolhidas, porém, uma vez

escolhidas, devem ser mantidas inalteradas no decorrer de todo o problema.

Na solução dos problemas de sistemas elétricos são necessárias quatro

bases, a saber: Tensão, Corrente, Impedância e Potência. Tendo em vista as

relações fundamentais entre estas grandezas elétricas, verifica-se que duas delas

podem ser sempre arbitrariamente escolhidas enquanto que as duas outras são

obrigatoriamente determinadas em função das duas arbitradas. Na maioria dos

problemas práticos de Sistemas Elétricos de Potência é normal escolherem-se as

bases de potência e de tensão e calculam-se as bases de corrente e de impedância,

sendo que comumente a base de potência que se utiliza é de 100MVA e a base de

tensão é o valor nominal do equipamento no ponto considerado. Os resultados

obtidos em pu são funções das bases escolhidas, porém, os resultados em

grandezas elétricas independem das bases, obtendo-se o mesmo valor para

qualquer conjunto de base adotado.

Os Sistemas Elétricos de Potência são sempre trifásicos e para o cálculo em

pu são normalmente utilizadas bases trifásicas, mas, podem também, ser utilizadas

bases monofásicas.

Em sistemas monofásicos, ou trifásicos, tomando-se a corrente de linha em

Amperes, a tensão de fase (fase-terra) em kVolts e a potência de uma fase em MVA,

vem:

][A b

bb E

SI = Equação 5.63

][ 2

Ω=b

bb S

EZ Equação 5.64

É usual, entretanto, trabalhar-se apenas com sistemas trifásicos, simétricos

e equilibrados, nos quais, tomando-se a corrente de linha em Amperes, a tensão

entre as fases em kVolts e a potência trifásica em MVA:

60

][A 3

b

bb

E

SI

×= Equação 5.65

][ 2

Ω=b

bb S

EZ Equação 5.66

De uma maneira geral esta segunda condição é a mais utilizada nos

trabalhos de Sistemas Elétricos de Potência.

Em sistemas trifásicos a relação entre a tensão fase-fase e a tensão fase-

terra é 3 e da mesma forma a relação entre a tesão base fase-fase e a tensão

base fase-terra é 3 . Verifica-se, assim, que em um mesmo ponto, o valor numérico

da tensão em pu é o mesmo, quer se considere a tensão fase-fase ou a tensão fase-

terra.

Da mesma forma, o valor da potência trifásica é numericamente igual à

potência monofásica, em pu.

O sistema pu também apresenta outra característica, que é a de resultar um

mesmo valor numérico para a corrente e para a potência, quando a tensão base é

igual a 1,0pu. Tem-se:

IES ××= 3 Equação 5.67

e:

bbb IES ××= 3 Equação 5.68

∴vem:

pupubb

pu IEIE

IES ×=

××××=

3

3 Equação 5.69

Observe-se, ainda que em pu o valor da potência trifásica é obtida pela

multiplicação do valor da tensão em pu pelo valor da corrente em pu, sem o fator

3 .

61

5.4.2 Mudança de Base

A impedâncias dos equipamentos elétricos, como geradores e

transformadores é fornecida pelos fabricantes em valores percentuais, calculados

com as bases que correspondem aos valores nominais do equipamento em questão.

Considerando que a base de potência, uma vez arbitrada, deve ser mantida única

em toda a solução do problema e que, normalmente a base de tensão é igual ao

valor da tensão nominal dos equipamentos, no ponto considerado, verifica-se que as

características dos equipamentos devem ser colocadas em um mesmo conjunto de

bases (de tensão e de potência) antes de se iniciar a resolução do problema elétrico

- a este processo se denomina “mudança de bases”. A mudança de base deve ser

sempre, das bases com as quais o valor da reatância fornecida (em pu ou por cento)

foi calculada, para as bases de potência (escolhida para a solução do problema) e

de tensão obtida para o ponto (nó ou barramento) em questão.

Seja um equipamento construído para operar em tensão nominal E e que

tem uma potencial nominal S e cuja a impedância é Z%. Esta impedância percentual

foi calculada pelo fabricante com as bases nominais do equipamento, que serão

denominadas Eb1 e Sb1, respectivamente. Calculando-se a impedância base e

multiplicando-se por Z% (dividido por 100), obtém-se o valor da impedância em ohm,

Z, enquanto que o valor Z% dividido por 100 fornece o valor em pu, Z1. Deseja-se,

agora, o valor da impedância do equipamento em pu, nas bases Eb2 e Sb2, para a

solução do sistema.

A impedância base, com os valores nominais do equipamento é:

][ 1

21

1 Ω=b

bb S

EZ Equação 5.70

e o valor da impedância do equipamento, em ohm, é:

][ 1

21

111 Ω×=×=Ωb

bb S

EZZZZ Equação 5.71

A impedância base, com as novas bases é:

62

][ 2

22

2 Ω=b

bb S

EZ Equação 5.72

e o valor da impedância, em pu, do novo conjunto de bases é:

][pu

2

222

2

b

bb

SEZ

ZZ

Z ΩΩ == Equação 5.73

de forma que, substituindo-se agora a equação (5.71) em (5.73), obtém-se o

valor da impedância, em pu, com as novas bases:

][pu 1 11

222

21

22

2

1

21

2b

b

b

b

b

b

b

b

SS

EE

ZES

SE

ZZ ×=

×

= Equação 5.74

A equação (5.74) mostra que, dado um valor de impedância em pu,

calculada com um conjunto de bases, pode-se obter o valor desta impedância em pu

em um outro conjunto de bases, diretamente.

5.4.3 Bases de Tensão e Potência na Solução de Problemas

Nos Sistemas Elétricos de Potência a tensão nominal dos barramentos é

função da tensão nominal dos equipamentos, como geradores e transformadores,

como também da relação de transformação dos transformadores.

A tensão base por sua vez, é arbitrariamente escolhida e fixada em um

barramento do sistema e muda de um barramento para outro em função da relação

de transformação dos transformadores. Assim, a tensão base de todos os pontos do

circuito fica “amarrada” àquela tensão escolhida inicialmente. Já a potência base

será única para todo o sistema em questão.

63

A tensão de operação em cada ponto do sistema, por sua vez, é função da

tensão fixada nos terminais dos geradores, da relação de transformação dos

transformadores, das impedâncias das linhas e transformadores do sistema, bem

como das cargas, reatores, capacitores, etc, existentes no sistema no instante

considerado.

Assim é importante distinguir, na análise de um Sistema Elétrico de

Potência, a tensão nominal da tensão de base e da tensão de operação, em cada

barramento do sistema.

Verifica-se entretanto, que em sistemas em que existe padronização de

equipamentos e de tensões, há coincidência entre tensão nominal e tensão de base,

em cada barramento de forma que não é necessário efetuar mudanças de base de

tensão, para a impedância dos equipamentos, bastando apenas efetuar a mudança

de bases de potência.

5.4.4 Impedâncias de Transformadores em PU

No caso de transformadores tem-se uma tensão nominal do lado de alta

tensão (AT) e outra tensão do lado de baixa tensão (BT). Através de ensaios obtém-

se o valor das reatâncias referidas a um dos lados do transformador (AT ou BT),

dependente do lado em que foram feitas as medições, este valor é fornecido em

porcentagem, nas bases de potência nominal do equipamento e da tensão em que

foi realizado o ensaio. Ocorre que o valor percentual (ou em pu) da reatância resulta

o mesmo, quer faça a medição do lado de AT ou de BT. Isto será mostrado no

desenvolvimento a seguir:

Seja:

Za = impedância referida à AT, em ohm;

Zb = impedância referida à BT, em ohm;

ZbA = impedância base da AT, em ohm;

ZbB = impedância base da BT, em ohm;

Ea = tensão da AT, em kV;

Eb = tensão da BT, em kV;

Sb = potência nominal, em MVA (potência base, neste caso).

em ohm, tem-se:

64

][ 2

2

Ω

=

a

bab E

EZZ Equação 5.75

][ 22

2

2

Ω==

=

== Apuba

a

a

ba

b

b

a

ba

bB

bBpu Z

ZZ

ES

Z

SE

EE

Z

ZZ

Z Equação 5.76

No caso de transformadores de três enrolamentos, são válidas as mesmas

considerações feitas acima.

5.5 Tipos de Barras

A completa definição de fluxo de potência requer o conhecimento de quatro

variáveis em cada barra k do sistema:

Pk – Potência Ativa;

Qk – Potência Reativa;

Vk – Magnitude da Tensão;

k – Ângulo de fase da Tensão.

A priori, apenas duas variáveis são conhecidas para cada barra, e o objetivo

do fluxo de potência é o de resolver as duas variáveis restantes na barra.

Podemos definir três diferentes condições de barramentos em função da

dupla de variáveis que são fixadas, conforme o quadro abaixo:

Quadro 5.2 – Tipos de barras

65

5.5.1 Barra Tipo 1 ou de Carga

Nessa barra conhecemos as potências ativa e reativa da carga Pc e Qc e,

portanto essas serão, naturalmente, as variáveis fixadas.

Nossas incógnitas serão o módulo e a fase da tensão de barra. No caso de

haver também geradores conectados a uma barra tipo 1, fixamos também as

potências ativa e reativa geradas Pg e Qg, respectivamente, e utilizamos a soma

algébrica das potências [(Pc+Pg)+j(Qc+Qg)] no processo de solução. Sendo o valor

de Pc um número negativo, e o valor de Qc será negativo para carga indutiva e

positivo para carga capacitiva.

A barra do tipo 1 também é conhecida como “Nonvoltage Controlled bus” e

nos sistemas elétricos de potência, este tipo de barra corresponde, fisicamente, a

um centro de carga, como uma cidade ou uma industria, onde o consumidor é

responsável pela demanda. Tanto a potência ativa como a reativa são consideradas

invariáveis para pequenas variações da tensão na barra.

Para as demais considerações a respeito deste tipo de barra, a

chamaremos de “Barra PQ”.

5.5.2 Barra Tipo 2 ou de Geração

Nessa barra admitimos conhecida a potência ativa gerada Pg e módulo da

tensão da barra, restando como incógnitas a potência reativa Qc e a fase da tensão

de barra.

Caso exista uma carga Pc+jQc na barra, utilizamos o valor (Pc+Pg) durante

a solução e armazenamos Qc para ser computado só ao final do processo iterativo,

pois a potência reativa total injetada/absorvida na barra é incógnita de nosso

problema.

Este tipo de barra geralmente corresponde a um gerador, onde a potência

ativa gerada é determinada pelas características da turbina e o módulo da tensão da

barra é determinado pelo regulador automático de tensão atuando na excitação da

máquina. Ou uma barra onde a tensão é fixada através do fornecimento de potência

reativa de capacitores shunt ou ainda por compensadores síncronos.

A barra do tipo 2 também é conhecida como “Voltage Controlled bus”, assim

chamada porque sua tensão pode ser controlada.

66

Para as demais considerações a respeito deste tipo de barra, a chamaremos

de “Barra PE”.

5.5.3 Barra Tipo 3 ou Oscilante (Swing)

Aqui, as variáveis fixadas serão o módulo e a fase da tensão da barra,

restando como incógnitas as potências Pg e Qg.

A necessidade deste tipo de barra surge devido ao fato de que as perdas

também são uma incógnita e só serão conhecidas ao final da solução, não

permitindo que se especifique a priori, o despacho de todos os geradores. É então

necessário não especificar P em uma das barras. Essa barra também pode receber

o nome de barra de balanço (algumas vezes “barra de perdas”).

Uma vez que é especificado (isto é, mantido constante durante a solução

do fluxo de carga), ele será também o ângulo de referência para o sistema. A barra

de balanço é, em conseqüência também chamada barra de referência.

As equações a seguir precisam ser respeitadas, sob pena de não

conseguirmos obter solução para o nosso sistema de equações algébricas de fluxo

de carga, e é para possibilitar a existência de uma solução que se torna

indispensável a presença de uma barra tipo 3.

Pctotal + perdas = Pgtotal Equação 5.77

Qctotal + perdas = Qgtotal Equação 5.78

Em um sistema totalmente conexo, apenas uma barra swing é especificada,

mas se o sistema for constituído por vários subsistemas desconexos ou interligados

apenas em corrente contínua, haverá necessidade de tantas swings quantos forem

os subsistemas.

Salientamos ainda que a swing é um tipo de barra não envolvido no

processo iterativo, sendo que as potências ativa e reativa de fase são calculadas

apenas ao final do processo, após ter-se atingido a convergência numérica.

Adota-se como barra oscilante uma barra de geração em que não se

representa o efeito do regulador de tensão, fixando-se as condições de tensão na

barra interna do gerador. No caso de se haver representado o efeito do regulador

(barra terminal com tensão controlada), então torna-se mais realista fixar o módulo

da tensão, e o respectivo ângulo, da fase A da barra terminal.

67

Fazendo a correspondência para um sistema prático, teríamos a estação de

geração que é responsável pelo controle da freqüência do sistema.

Para as demais considerações a respeito deste tipo de barra, a chamaremos

de “Barra E”.

5.6 Especificação de Barras

A especificação das barras é o instrumento com o qual o engenheiro

manipula a solução de fluxo de carga para obter as informações desejadas.

As classificações de “barra de geração” e “barra de carga” não devem ser

interpretadas literalmente. Haverá, por exemplo, ocasiões em que uma barra de

carga pura possa ser especificada por P e |E|.

Há quatro tipos de especificações de barras:

• Incondicional-Local

• Condicional-Local

• Incondicional-Remota

• Condicional-Remota

5.6.1 Especificação de Barra Incondicional-Local

As especificações discutidas anteriormente (barra de carga, barra de

geração e barra de balanço), são todas deste tipo:

5.6.1.1 Barra PQ

Especificados: P, Q

Esta especificação de barra é normalmente usada para representar barras

de carga. A preocupação principal neste tipo de barra, é se o módulo de tensão

resultante estará, ou não, dentro de limites aceitáveis.

5.6.1.2 Barra PE

Especificados: P, |E|

Este tipo de barra é normalmente usado para barras de geração, com ou

sem cargas locais. Ao fazer-se a especificação, supõe-se que haja a possibilidade

68

ilimitada de fornecimento da potência reativa. O resultado pode dar uma saída de

potência reativa que esteja além da capacidade do gerador.

5.6.1.3 Barra E

Especificados: |E|,

Esta é a barra de balanço, ou a barra de referência de tensão. Se as

potências ativas e reativas nas cargas das barras de geração não forem

emparelhadas apropriadamente, a solução do fluxo de carga pode apresentar uma

potência resultante irreal para a barra de balanço.

5.6.2 Especificação de Barra Condicional-Local

Barras deste tipo podem mudar de características durante o processamento

do fluxo de carga.

5.6.2.1 Barra PQ/PE

Especificados: P, Q e Emin<=|E|<=Emax

Esta barra funciona como uma “barra PQ”, desde que as soluções de tensão

não violem os limites especificados de tensão. Quando um limite de tensão á

violado, a barra muda, efetivamente, para “barra PE”, com a tensão especificada em

Emin ou Emax, conforme for o caso.

5.6.2.2 Barra PE/PQ

Especificados: P, |E| e Qmin<=Q<=Qmax

Esta barra é comumente usada para especificação das barras de geração,

reconhecendo-se o limite inerente na capacidade do gerador em fornecer potência

reativa. O módulo da tensão de barra será mantido constante no valor especificado,

até que os limites de potência reativa sejam violados. Quando isto ocorre, a barra é,

efetivamente, uma “barra PQ” e o módulo da tensão variará para satisfazer às

condições do sistema.

69

5.6.3 Especificação de Barra Incondicional-Remota

5.6.3.1 Barra PE

Especificados: P, |E| e uma barra remota que ajustará o fornecimento de

potência reativa para manter |E| constante.

A especificação desta barra simula um esquema de controle remoto usado

em alguns sistemas. A especificação pode, também, ser usada como um artifício

para obter informações específicas de projeto.

5.6.4 Especificação de Barra Condicional-Remota

5.6.4.1 Barra PiEi/PiQk

Especificados: P, |E| na barra i; Qmin<=Q<=Qmax na barra k.

Este tipo de barra manterá a tensão constante na barra “i”, regulando o

fornecimento da potência reativa na barra “k”, sem violar os limites de potência

reativa nesta barra.

70

6 CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA

Muitos métodos têm sido propostos na literatura sobre técnicas numéricas.

Apresentaremos aqui uma breve descrição sobre alguns dos métodos utilizados para

o cálculo do fluxo de potência, comentando suas vantagens frente aos demais.

Uma vez que optamos pela implementação do software utilizando o

algoritmo do método de Gauss-Seidel, por motivos que serão apresentados adiante,

e efetuamos os cálculos manuais com este método e também com o método de

Newton-Raphson, descreveremos a formulação matemática apenas para estes dois

métodos.

6.1 Equacionamento do Problema

As equações utilizadas para a solução de problemas de fluxo de potência

são obtidas com base na aplicação das leis de Kirchoff aos nós e às malhas do

sistema. Estando o sistema em regime permanente, com tensões senoidais, a soma

algébrica das correntes em cada nó deve ser nula. A solução das equações escritas

para cada nó do sistema fornecerá a tensão de cada nó. Com as tensões calculadas

e com as admitância dos ramos do sistema, calcula-se, então, as correntes dos

ramos.

Na prática, como se trabalha com potência dos geradores e das cargas,

prefere-se trabalhar com a potência que flui nos ramos e, por isso, calculam-se estas

potências a partir das correntes – daí o nome “fluxo de potência”, ou também “fluxo

de carga” (em inglês “load flow”).

As equações necessárias à obtenção da tensão dos nós, embora sejam

algébricas, não são lineares, de modo que não é possível utilizar os métodos diretos

de solução de circuitos elétricos, sendo, para tanto, utilizados métodos iterativos que

serão vistos a seguir.

A não linearidade das equações se deve, basicamente, ao fato de que, tanto

os geradores como as cargas, são modelados como potências constantes e não

como f.e.m. constantes ou impedâncias constantes, respectivamente, como

consideradas em circuitos elétricos.

71

6.2 Método de Gauss

O método de Gauss foi utilizado no primeiro programa computacional

desenvolvido para a solução do fluxo de potência. Este método tem a vantagem de

não necessitar de muita memória de computador já que a matriz [Y] não precisa ser

armazenada. A desvantagem deste método é não poder apresentar impedâncias

negativas (resultante da representação das impedâncias de transformadores de três

enrolamentos na forma de estrela) e de utilizar muito tempo de computação para

obter a convergência, além de, às vezes, apresentar dificuldade em convergir para

uma solução.

Considerar um sistema de n equações algébricas lineares bxA =. . Tomando

a linha i da equação matricial representada abaixo, podemos escrever as seguintes

equações:

Figura 6.1 – Equação matricialxvi

),1 1

n(ibxA i

n

jjij ==

=

Equação 6.1

),1 1

n(ibxAxA i

n

ijj

jijiii ==+≠=

Equação 6.2

Resolvendo para xi, tem-se:

72

),1 .1

1

n(ixAbA

xn

ijj

jijiii

i =

−= ≠=

Equação 6.3

Para uma iteração (m+1), o processo iterativo pode ser definido como:

( ) ( ) ),1 .1

1

1 n(ixAbA

xn

ijj

mjiji

ii

mi =

−= ≠=

+ Equação 6.4

Método de Gauss

Podemos ver abaixo um exemplo de um processo iterativo utilizando os

método de Gauss para n=3:

( ) ( ) ( )( )[ ] .1

313212111

11

mmm xAxAbA

x +−=+ Equação 6.5

( ) ( ) ( )( )[ ] .1

323121222

12

mmm xAxAbA


( ) ( ) ( )( )[ ] .1

232131333

13

mmm xAxAbA


6.3 Método de Gauss-Seidel

Considerando ainda a equação matricial representada na figura 6.1,

podemos escrever uma forma alternativa para o processo iterativo como:

Para obter a solução de ( )1+mix são utilizados os

valores de ( )mix (todos os valores da iteração anterior).

73

( ) ( ) ( ) ),1 .1

1

1

1

11 n(ixAxAbA

xn

ij

mjij

i

j

mjiji

ii

mi =

−−=

+=

−

=

++ Equação 6.8

Método de Gauss-Seidel

Podemos ver abaixo um exemplo de um processo iterativo utilizando os

método de Gauss-Seidel para n=3:

( ) ( ) ( )( )[ ] .1

313212111

11

mmm xAxAbA


( ) ( ) ( )( )[ ] .1

3231

121222

12

mmm xAxAbA

x +−= ++ Equação 6.10

( ) ( ) ( )( )[ ] .1 1

2321

131333

13

+++ +−= mmm xAxAbA

x Equação 6.11

No método de Gauss, atribui-se um valor inicial estimado para todas a

tensões complexas, e a partir daí estas tensões vão sendo recalculadas

ciclicamente, até que, para todas as tensões, a diferença entre os valores calculados

em duas iterações consecutivas seja menor do que uma tolerância pré-definida. Se,

além disso, em todas as barras a diferença entre as potências calculadas e reais for

menor que uma tolerância pré-definida, diz-se que o caso convergiu.

No método de Gauss-Seidel, durante uma mesma iteração, as tensões já

atualizadas das barras (1) até (i-1) são utilizadas no cálculo da tensão da barra i.

Este método diferencia-se do método de Gauss pelo fato de utilizar, nas

equações para o cálculo das tensões, valores de tensões já calculados para outros

barramentos, na mesma iteração. A característica deste método faz com que este

seja mais rápido do que o método de Gauss.

Para obter a solução de ( )1+mix são utilizados os

valores mais recentes disponíveis dos elementos do vetor x.

74

6.3.1 Formulação do Problema

Os Sistemas de potência podem ser modelos como um sistema de

equações algébricas lineares.

Figura 6.2– Sistema com uma barra p genérica

Supondo um sistema de n barras (figura 6.2), sendo p uma barra genérica,

teremos a seguinte equação matricial para este sistema:

[ ] [ ] [ ]nnnn EY ×= ×I Equação 6.12

Podemos escrever o valor da corrente Ip em função de Sp e Ep:

∗×= ppp IES Equação 6.13

∗

=

p

pp E

SI

Equação 6.14

Podemos também escrever o valor da corrente Ip em função das correntes

que saem da barra:

75

pnpppppp IIIIII +++++= 321 Equação 6.15

npnppppppp EYEYEYEYEYI ++++++= 332211 Equação 6.16

Igualando as equações (6.14) e (6.16) ficamos com:

npnppppppp

p EYEYEYEYEYE

S

++++++=

∗

332211 Equação 6.17

≠=

∗

+=

n

pqq

qpqpppp

p EYEYE

S

1

Equação 6.18

A partir da equação (6.18) podemos escrever uma expressão para o cálculo

da tensão Ep segundo o método de Gauss-Seidel:

( )

( )

( )( )

pp

n

pqq

kqpqk

p

kp

kp Y

EYE

S

E

≠=

∗

+

−

=1

1 Equação 6.19

6.3.2 Critério de Convergência

As tensões calculadas são ditas convergentes quando, para cada iteração,

se revelam cada vez mais próximas da solução real, que satisfaz as equações da

rede. Uma vez que o tempo de cálculo aumenta, linearmente, com o número de

iterações, é necessário que haja um controle no programa de computador, que

confira após cada iteração e decida se as últimas tensões calculadas são

suficientemente próximas da solução verdadeira, ou se são necessários cálculos

posteriores. O critério que especifica o grau de exatidão desejado é denominado

critério de convergência.

76

Um critério de convergência, digno de crédito, é o assim chamado teste de

desvio de potência. A potência, em cada barra, é calculada com base na solução

das tensões e comparada com a potência especificada da barra. A diferença - desvio

de potência - é a medida de aproximação das tensões calculadas em relação à

solução verdadeira. Se o desvio máximo for obtido na barra “i”, o critério de

convergência será expresso da seguinte forma:

p

n

kkikii EYEPPP ε<

×−=∆=∆

=1max ' Equação 6.20

Onde o apóstrofo indica que essa variável de barra está especificada.

Geralmente, εp é especificado na faixa de 0,01 a 0,0001 pu.

Uma verificação diferente de convergência avalia a mudança máxima na

tensão de qualquer barra, entre uma e outra iteração. Considera-se ter sido obtida

uma solução com a exatidão desejada quando a mudança for inferior a um pequeno

valor, especificado para εE (por exemplo, εE=0,0001).

Emi

mii EEEE ε<−=∆=∆ −1

max Equação 6.21

O teste de tensão depende da rapidez de convergência e, assim, é menos

digno de crédito do que o teste de potência. No entanto, a equação do teste de

tensão (6.21) propicia uma solução mais rápida de que a equação do teste de

potência (6.20) e, uma vez que ∆Pmax>εp, até que ∆Emax seja bastante pequeno,

pode-se usar, economicamente, o método onde os cálculos de ∆Pmax sejam evitados

até que ∆Emax seja menor de que εE.

A conversão é assintótica, isto é, a tensão de uma dada barra se aproxima

do valor final, com incrementos cada vez menores, e é sempre maior ou sempre

menor do que a solução desejada.

6.3.3 Aceleração da Convergência

Estudos realizados demonstraram que a convergência poderia ser

alcançada mais rapidamente, se, após se atualizar a tensão na barra i.

77

A convergência pode ser acelerada através da utilização de parâmetros de

aceleração. O método mais popular é o chamado método SOR (successive

overrelaxation).

A aceleração corresponde a uma extrapolação:

( ) ( ) ( ) ( )( )mmmm xzxx −+= ++ 11 .ω Equação 6.22

( ) ( ) xxx mm ∆+=+ .1 ω Equação 6.23

Figura 6.3 – Aceleração da Convergênciaxvii

Para cada problema existe um ω ótimo, mas para a maioria dos problemas

práticos, valores aproximados são escolhidos. Várias tentativas foram feitas para se

obter um valor ótimo de ω. Em geral, o esforço não compensa.

Aceleração também pode ser usada para a solução de redes elétricas, onde

normalmente se escolhe um fator de aceleração 1<ω<2. Uma boa escolha de ω

pode resultar em uma taxa de convergência de até duas vezes a original.

Para aplicação nos problemas de Fluxo de Potência podemos escrever a

seguinte equação para a aceleração da convergência:

( )AiiAii EEEE −+= α' Equação 6.24

Onde:

α: é denominado de fator de aceleração, e seu valor normalmente encontra-

se na faixa de 1,2 a 1,5;

EAi: é a tensão na barra i na iteração imediatamente anterior;

78

Ei: é a nova tensão calculada;

Ei’: é a tensão corrigida chamada de acelerada, sendo que, depois de

calculada, faz-se Ei = Ei’.

6.3.4 Vantagens e Desvantagens

O método de Gauss-Seidel tem as mesmas vantagens e desvantagens do

método de Gauss, somente apresentado um menor tempo de computação para

convergir para uma solução.

A solução do fluxo de potência pelo método de Gauss-Seidel se caracteriza

por:

Vantagens:

• Não requer o armazenamento de matrizes, necessitando de menor

memória computacional;

• Não requer a inversão de matrizes;

• Facilidade de elaboração de um programa computacional;

• Menores requisitos de memória.

Desvantagens:

• Número de iteração que varia com o número de barras;

• Tempo computacional função do quadrado do número de barras;

• Tempo de solução grande, se comparado com o método de Newton-

Raphson;

• Impossibilidade de utilizar reatâncias negativas;

• Apresenta uma convergência oscilatória e lenta;

• Necessita de “fator de aceleração” para tornar a convergência mais

rápida;

• Dificuldade de convergência para grandes sistemas.

6.3.5 Algoritmo

Mostramos agora um algoritmo que apresenta a seqüência dos cálculos das

equações de fluxo de potência utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel:

79

MONTE A MATRIZ YBUS

ESTIME OS VALORES DA TENSÕES E0P

p = 1, 2, . . . , n ; P ≠≠≠≠ S

MONTE OS PARÂMETROS KLp E YLpq

p = 1, 2, . . . , n ; p ≠≠≠≠ s ; q = 1, 2, . . . , n

FAÇA O CONTADOR DE ITERAÇÃO IGUAL A ZERO k = 0

FAÇA MAX ∆∆∆∆Ek = 0 E O CONTADOR DE BARRAS p = 1

COMPARE p : s

3

4 2 =

RESOLVA A EQUAÇÃO DE TENSÃO PARA A BARRA p

+=

−

=

+− −−=n

pq

k

qpq

p

q

k

qpqk

p

pk

p EYLEYLE

kLE

1

1

1

11 ..*)(

≠

1

Figura 6.4 - Algoritmo de Gauss-Seidel

80

CALCULE A MUDANÇA DE TENSÃO NA BARRA p

SUBSTITUA Epk POR Epk+1

COMPARE p : n

3

4

2

>

kp

kp

kp EEE −=∆ +1

1

COMPARE |∆∆∆∆Epk| : max ∆∆∆∆Ek

>

≤

FAÇA max ∆∆∆∆Ek = |∆∆∆∆Epk |

FAÇA p = p + 1

≤

COMPARE p : n

> ≤ CALCULE O FLUXO NAS BARRAS E A POTÊNCIA

NA BARRA SWING

FAÇA k = k + 1

Figura 6.5 – Continuação do algoritmo de Gauss-Seidel

81

6.4 Fluxo de Potência Newton-Raphson

A medida em que os Sistemas Elétricos foram crescendo em tamanho e

complexidade, os pesquisadores começaram a buscar técnicas mais eficientes para

simular o Fluxo de Potência. Na década de 1960 surgiu o Fluxo de Potência Newton-

Raphson. Neste método o sistema de equações não lineares que constitui o Fluxo

de Potência é linearizado mediante expansão em série de Taylor a partir de uma

estimativa inicial para as variáveis, aproveitando-se apenas os termos da série até a

derivada primeira. Como o sistema linear assim obtido é uma aproximação do

sistema não linear original, são necessárias sucessivas iterações até que se obtenha

a solução do sistema original não linear. As primeiras aplicações do Fluxo de

Potência pelo método de Newton-Raphson na simulação de Sistemas Elétricos de

porte não pareciam ser muito vantajosas quando comparadas com o método de

Gauss-Seidel, porém a deficiência do método estava nos problemas numéricos

relativos a sua implementação. As grandes deficiências então existentes

relacionavam-se com a dificuldade de se resolver eficientemente grandes sistemas

lineares esparsos. Foi somente depois do aproveitamento de técnicas de

esparsidade que o método de Newton-Raphson foi reconhecido como eficiente e

capaz de substituir inteiramente o método de Gauss-Seidel. No método de Newton-

Raphson, o número de iterações para se chegar a solução é geralmente pequeno e

independente do tamanho do sistema em estudo.

No método de Newton-Raphson, a cada iteração é feita uma linearização

das equações não lineares, o que requer o cálculo da matriz dos coeficientes do

sistema linear, a qual é denominada matriz Jacobiana, bem como o cálculo do vetor

dos termos independentes. Assim, um sistema linear precisa ser resolvido a cada

iteração.

6.4.1 Formulação do Problema

No caso de um sistema não linear de equações, encontrar a sua solução

significa achar a interseção das superfícies que representam cada uma de suas

equações. Aplicar o método de Newton equivale, a partir de uma estimativa inicial de

solução (pontos iniciais), substituir as superfícies por planos tangentes nesses

pontos e encontrar a interseção desses planos. Geralmente a interseção dos planos

82

vai se aproximando da interseção das superfícies na medida em que a técnica é

repetida mediante cálculo iterativo.

No método de Newton-Raphson aplicado à resolução do Fluxo de Potência,

o sistema de equações complexas não lineares é inicialmente substituído por um

sistema de equações reais não lineares, porém contendo um número de equações e

incógnitas iguais ao dobro do número de equações complexas.

A matriz Jacobiana, representada por [J], contém as derivadas parciais de

potência, em relação às tensões. Quando for mudada, substancialmente, uma ou

mais tensões, deverá ser calculada uma nova matriz Jacobiana.

Considerando uma rede elétrica constituída por:

• Uma barra de referência ou Eδ (E e δ são dados e deve-se obter P e Q)

• NPQ barras do tipo PQ (P e Q são dados e deve-se obter E e δ)

• NPE barras do tipo PE (P e E são dados e deve-se obter Q e δ)

Figura 6.6 – Exemplo de um sistema elétrico de potenciaxviii

Logo a rede tem (NPQ + NPE + 1) barras e :

(NPQ + NPE + 1) dados

(NPQ + NPE + 1) incógnitas

Existem dois tipos de incógnitas para o problema do fluxo de potência e que

devem ser obtidas:

• E e δ - incógnitas associadas ao estado da rede – variáveis de estado;

• P e Q – podem ser obtidas uma vez conhecidas as variáveis de estado

(através da simples utilização das equações das potencias nodais);

83

Em função da existência de dois tipos de incógnitas, o problema de fluxo de

potencia pode ser dividido em dois subsistemas de equações algébricas:

Subsistema 1 (dimensão 2NPQ + NPE)

• Determinação das variáveis de estado (E, δ), desconhecidas:

o E e δ para barras PQ – (2 . NPQ) incógnitas

o δ para barras PE – NPE incógnitas

Que resulta num total de (2 . NPQ + NPE) incógnitas

• Em termos das potencias, são dados:

o P e Q para barras PQ – (2 . NPQ) dados

o P para barras PE – NPE dados

Para cada potencia dada pode-se escrever uma equação de

fluxo de carga:

PE e PQ barras para ;0)sencos( =+− ∈ kmkmkmkmmKmkesp

k BGEEP δδ Equação 6.25

PQ barras para ;0)cossen( =+− ∈ kmkmkmkmmKmkespk BGEEQ δδ Equação 6.26

onde K é o conjunto das barras em k mais a própria barra k.

Resultando em um sistema de (NPQ + NPE) equações e mesmo número de

incógnitas, ou seja em um sistema determinado.

Deve-se portanto se obter E e δ tais que as potências nodais calculadas se

igualem às respectivas potências especificadas.

Subsistema 2 (dimensão NPE + 2)

• Determinação das potências nodais desconhecidas

Resolvido o sistema de equações do subsistema 1, todas as

tensões da rede são conhecidas. As incógnitas restantes são:

o P para uma barra de referência – 1 incógnita

o Q para as barras PE e a barra de referência – NPE + 1

incógnitas

O que resulta em (NPE + 2) incógnitas a serem determinadas. Como o

estado da rede é conhecido, basta aplicar diretamente as equações das potências

nodais para as respectivas barras:

84

referencia de barra a para ;0)sencos( =+− ∈ kmkmkmkmmKmkesp

k BGEEP δδ Equação 6.27

ref de barra e PE barras para ;0)cossen( =+− ∈ kmkmkmkmmKmkespk BGEEQ δδ Equação 6.28

As incógnitas do subsistema 1 podem ser escritas como:

NPQ NPE NPQ

+

=

Ex

δ

Em que δ é o vetor dos ângulos das tensões das barras PQ e PE e E é o

vetor das magnitudes das tensões das barras PQ.

As equações de fluxo de potência para o subsistema 1 podem ser escritas

como:

PE e PQ barras para ;0),( =∆−∆=∆ δEPPP calck

espkk Equação 6.29

PQ barras para ;0),( =−∆=∆ δEQPQQ calck

espkk Equação 6.30

o Pkesp e Qk

esp são os valores das injeções de potencia ativa e reativa

especificados para as barras (consideradas constantes, em

principio) e dados por:

Ck

Gk

espk PPP −=∆ Equação 6.31

Ck

Gk

espk QQQ −=∆ Equação 6.32

o Pkcalc (E, δ) e Qk

calc (E, δ) são calculados através de equações

das potências nodais.

o ∆Pk e ∆Qk são chamados de mismatches (ou resíduos, ou erros)

de potência ativa e reativa.

Se a solução exata das equações do subsistema 1 for conhecida, sua

substituição nas equações acima resultam em mismatches nulos.

85

Se valores arbitrários de tensão forem definidos, os mismatches serão não-

nulos.

O método de solução das equações do subsistema 1 consiste na escolha

inicial de valores de tensão (mismatches não nulos) e da sua atualização sucessiva,

até que os mismatches se anulem.

Na prática, considera-se que a solução tenha sido atingida se os

mismatches forem muito pequenos (menores que um certo valor pré-deteminado -

tolerância).

A convergência não é assintótica, como era o caso com o método de

iteração de Gauss-Seidel.

Os problemas de fluxo de carga em grandes sistemas de potência, não

calculam, explicitamente, o inverso do Jacobiano. Em lugar disso, a correção de

tensão ∆E é obtida por uma técnica numérica conhecida como Eliminação

Gaussiana. Esta técnica é muito mais rápida e necessita muito menos

armazenamento do que a inversão da matriz.

6.4.2 Vantagens e Desvantagens

A solução de fluxo de potência com o método de Newton-Raphson

caracteriza-se por:

Vantagens:

• Número de iteração praticamente independe do número de barras

do sistema;

• Tempo computacional linearmente dependente número de barras;

• Tempo de solução pequeno, se comparado com o método de

Gauss-Seidel;

• Possibilidade de utilizar reatâncias negativas.

Desvantagens:

• Necessidade de armazenar a matriz de admitância nodal do

sistema;

• Matriz de admitância é muito esparsa e utiliza muita memória;

• Exige a utilização de técnicas de esparsidade no trabalho com

matrizes;

86

• Necessidade de inverter o Jacobiano várias vezes durante a

solução.

6.4.3 Algoritmo

O fluxograma a seguir mostra basicamente os passos para a solução das

equações de fluxo de potência utilizando o método de Newton-Raphson.

87

Figura 6.7 – Algoritmo para método de Newton-Raphson

MONTE A MATRIZ YBUS

ESTIME OS VALORES DA TENSÕES E0P

p = 1, 2, . . . , n - 1

FAÇA O NÚMERO DA ITERAÇÃO k = 0

CALCULE A POTÊNCIA ATIVA E REATIVA NAS BARRAS

p = 1, 2, . . . , ; n =1 ; p ≠≠≠≠ s

TESTE | MAX ∆∆∆∆Pk | : εεεε | MAX ∆∆∆∆Qk | : εεεε

2

≤≤≤≤

>

1

( ) ( ) −

×+×+×+×=n

qpq

k

ppq

k

p

k

ppq

k

ppq

k

p

k

p

k

p BeGffBfGeeP1

( ) ( ) −

×+×+×+×=n

qpq

k

ppq

k

p

k

ppq

k

ppq

k

p

k

p

k

p BeGfeBfGefQ1

CALCULE :

p = 1, 2, . . . , ; n =1 ; p ≠≠≠≠ s

k

pPE

k

p

k

pPE

k

p QQQPPP −=∆−=∆ ;

DETERMINE O MAX ∆∆∆∆Pk E MAX ∆∆∆∆Qk

CALCULE O FLUXO NAS

LINHAS E A POTÊNCIA

NA BARRA SWING

88

Figura 6.8 – Continuação de algoritmo de Newton-Raphson

CALCULE A CORRENTE NAS BARRAS

p = 1, 2, . . . , n -1 ; p ≠≠≠≠ s

1

( )*k

p

kp

kpk

p E

jQPI

−=

RESOLVA:

CALCULE OS ELEMENTOS DA MATRIZ JACOBIANA

∆∆

×

=

∆∆

k

k

kk

kk

k

k

f

eJJ

JJ

Q

P

43

21

CALCULE:

p = 1, 2, . . . , n ; p ≠≠≠≠ s

k

p

k

p

k

p

k

p

k

p

k

p fffeee ∆+=∆+= ++ 11 ;

SUBSTITUA:

p = 1, 2, . . . , n ; p ≠≠≠≠ s

11 por e ++ k

p

k

p

k

p

k

p fefe

FAÇA k = k + 1 2

89

6.5 Método de Ward e Hale

Em seu trabalho pioneiro, publicado em 1956, J. B. Ward e H. W. Hale

introduziram um método que usa somente os elementos diagonais da matriz

Jacobiana, tornando trivial a inversão da matriz.

Este método também converge assintoticamente e dá impressão de que a

convergência se torna mais rápida, quando se faz a correção de tensão um pouco

maior do que a pela equação.

Tanto este método quanto o de Gauss-Seidel ou combinação de ambos são

largamente empregados na industria. A principal vantagem destes métodos sobre o

método de Newton-Raphson e sobre as soluções de fluxo de carga com base na

impedância, são as suas exigências, relativamente limitadas, de armazenagem no

computador.

6.6 Método da Matriz ZBARRA

Neste caso, a rede de transmissão é representada por:

[ ] [ ][ ]IZEE R .=− Equação 6.33

onde ER é a tensão especificada da barra de balanço, ou barra de

referência.

A equação (6.33) dá a diferença de tensão entre uma barra “i” e a barra de

balanço (R), como uma função das correntes de barra que entram na rede de

transmissão em todas as barras do sistema.Sendo o elemento de tensão,

correspondente à barra de balanço, igual a zero, os elementos da linha e coluna na

matriz Z, que correspondem à barra de balanço, serão todos iguais a zero e,

geralmente, são omitidos da matriz. A dimensão da matriz será, então, (N-1) por (N-

1). A matriz ZBARRA, como foi definida aqui, não inclui nenhum elemento em paralelo

com a terra. Os elementos em paralelo na barra “i”, com admitância total Yi, estão

incluídos na corrente de barra.

iii

iii EY

EjQP

I −−= ∗ Equação 6.34

90

Usando-se a técnica iterativa de Gauss-Seidel, o método da impedância

apresenta soluções aceitáveis depois de, somente, 5 iterações, enquanto que os

métodos de admitância (exceto o de Newton-Raphson) geralmente exigem 20 ou

mais iterações.

A razão para a convergência relativamente vagarosa do tradicional fluxo de

carga, baseado na admitância, é o fato de que, quando se calcula a corrente para a

barra “i”, a partir das equações da rede, só são levadas em consideração as

condições nas barras ligadas diretamente à barra “i”. (Na matriz Y os termos mútuos,

para todas as outras barras, são iguais a zero). A matriz Z, por outro lado, é uma

matriz “completa” (nenhum elemento é igual a zero).

Conseqüentemente, a corrente em uma barra influência as tensões em

todas as outras barras quando se aplica a equação 6.34.

6.7 Fluxo de Potência Desacoplado Rápido

Percebeu-se que o método de Newton-Raphson poderia ser modificado e

tornado mais eficiente, em termos computacionais, se a cada iteração não houvesse

a necessidade de se calcular uma nova matriz Jacobiana e conseqüentemente se

resolver um novo sistema linear. Percebeu-se que se a matriz Jacobiana fosse

escolhida adequadamente desde a primeira iteração, poder-se-ia chegar igualmente

a solução do sistema não linear original, mediante um cálculo iterativo, alterando-se,

de uma iteração para a seguinte, apenas o vetor dos termos independentes. Neste

caso bastaria calcular uma única vez a inversa da matriz dos coeficientes, e a partir

dai realizar operações simples equivalentes a produtos matriciais para obter a

solução dos sistemas lineares.

O método derivado do algoritmo de Newton-Raphson, no qual a matriz

Jacobiana com aproximações adicionais é mantida constante, conforme descrito

anteriormente, passou a ser conhecido como Fluxo de Potência Desacoplado

Rápido. O primeiro artigo que apresentou esta metodologia foi publicado em 1974.

Normalmente, para se chegar à solução, o método Desacoplado Rápido requer um

maior número de iterações do que no método de Newton-Raphson, pois a

convergência é superlinear e não quadrática. Entretanto, essas iterações são

realizadas a um custo computacional muito mais baixo. Outra vantagem do método

desacoplado rápido é que, devido a suposição que se faz de desacoplamento entre

as variáveis P e E (potência ativa e tensão) e Q e δ (potência reativa e ângulo), os

91

sistemas lineares são decompostos em dois subsistemas lineares menores e de

mais fácil solução.

6.8 Variantes do Fluxo de Potência Desacoplado Rápido

Em vista das simplificações efetuadas ao se assumir uma matriz Jacobiana

aproximada e fixa, percebeu-se que o método Desacoplado Rápido funcionava bem

para Sistemas Elétricos de Transmissão, onde a relação X/R (reatância/resistência)

é alta. Porém, havia problemas de convergência no caso de Sistemas de

Distribuição onde a relação X/R é baixa. Para resolver este problema, algumas

variantes do Fluxo de Potência Desacoplado Rápido foram desenvolvidas, as quais

são capazes de funcionar adequadamente tanto com Sistemas de Transmissão

como de Distribuição. O Fluxo de Potência desacoplado rápido BX é um exemplo

desses desenvolvimentos.

6.9 Fluxos de Potência Aproximados

Além dos métodos descritos acima, de solução exata dentro da tolerância

pré-determinada, há métodos muito rápidos, porém de solução não exata,

desenvolvidos a partir de simplificações do problema original. Dentre estes métodos

pode-se citar o Fluxo de Potência DC e o Fluxo de Potência baseado na matriz Z.

Ambos podem ser usados apenas em situações onde a precisão dos cálculos não é

um fator fundamental, o que restringe bastante a sua utilização.

6.10 Métodos Baseados nas Matrizes Y e Z

6.10.1 Avaliação dos Métodos Baseados na Matriz Z

• A matriz Z é cheia (não esparsa);

• Normalmente a matriz Z é construída diretamente, e não através da

inversão de Y. Existem métodos de construção de Z (que envolvem

grande esforço de calculo);

• É necessário grande espaço de memória para o armazenamento da

matriz;

92

• Maior número de cálculos são necessários no processo iterativo;

• Pare redes muito grandes, memória e volume de cálculos se tornam

impráticos;

• Como cada tensão é avaliada em função de todas as correntes, a

convergência é mais confiável e rápida, comparada com os métodos

baseados na matriz Y;

• A escolha da barra de referencia não é tão importante neste caso. Pode-

se escolher a barra para a qual a soma dos elementos da linha da matriz Z

é maior;

• Em geral os métodos baseados na matriz Z não são atrativos se

comparados com a matriz Y.

6.10.2 Avaliação dos Métodos Baseados na Matriz Y

• Método simples;

• Número de elementos da somatória é pequeno;

• Pequeno espaço de armazenamento é necessário. No caso do método de

Gauss-Seidel os valores da iteração anterior não precisam ser

armazenados;

• Pequeno número de cálculos por iteração;

• Convergência lenta;

• O método converge se Y é diagonal dominante:

n),(iYY ii

n

ijj

ij 1 1

=<≠=

Equação 6.35

• Em sistemas elétricos esta característica é normalmente encontrada;

• Entre os fatores que podem afetar a dominância diagonal e também a

convergência do método estão:

• Junção de impedância série muito grandes e pequenas;

• Capacitâncias grandes;

• Linhas longas;

• Compensação série e shunt.

93

A escolha da barra de referência afeta as características de convergência. A

melhor escolha é a barra para a qual sua linha é a menos dominante diagonalmente;

Quanto maior a rede, os métodos baseados na matriz na matriz Y se tornam

menos competitivos em relação a outros métodos.

6.11 Comparação dos Métodos

6.11.1 Considerações Sobre a Armazenagem no Computador

A matriz Y ou a matriz Z complexas e completas tem cerca de 2N2

elementos. Mesmo em um computador de grande porte, o espaço de armazenagem

disponível para a matriz da rede pode ser limitado a, por exemplo, 40.000

elementos. Se todos os elementos fossem armazenados, poder-se-ia representar

um máximo de 140 barras. Uma vez que as matrizes são simétricas, só o triângulo

superior necessita ser armazenado e pode-se representar cerca de 250 barras. Este

seria o tamanho máximo que poderia ser representado por um fluxo de carga básico,

com base na impedância, uma vez que todos os elementos da matriz Z são,

geralmente, diferentes zero. A matriz Y, entretanto, é uma matriz esparsa, porque

cada elemento Yik somente será diferente de zero, se houver uma ligação direta

(linha de transmissão ou transformador) entre as barra i e k. Uma vez que os

elementos iguais a zero não necessitam ser armazenados, um fluxo de carga de

1.000 ou, mesmo, 2.000 barras poderá ser rodado, sem dificuldades, nas instalações

atuais de computadores.

Além das necessidades de espaço de armazenagem para a matriz Y, o

método de Newton-Raphson necessita de espaço de armazenagem para os

elementos da matriz Jacobiana. Para os sistemas de potência de grande porte, é

necessário explorar a esparsidade dessas matrizes, para reduzir a armazenagem e

o tempo de computador a níveis razoáveis. A matriz Jacobiana tem a mesma

estrutura esparsa que a matriz Y. Por exemplo, o elemento ∂Pi/∂ek será diferente de

zero, somente, para i = k e quando a barra i for diretamente ligada a barra k.

94

6.11.2 Versatilidade

Os programas de fluxo de carga, com base em admitâncias, que não usam a

matriz Jacobiana completa, podem não apresentar uma solução para condições

incomuns do sistema, como acontece quando a impedância do circuito entre duas

barras é muito pequena, zero ou negativa. O método de Newton-Raphson e o

método da impedância podem tratar de tais situações sem dificuldade.

6.11.3 Velocidade

O método de Newton-Raphson parece ter uma pequena vantagem sobre os

outros métodos de admitância, bem como sobre os atuais métodos com base na

impedância. A figura 6.9 mostra as características de convergência do método de

Newton-Raphson, do método da matriz de impedância e de um método de

admitância que converge assintoticamente. As curvas mostram como as

componentes real e imaginária da tensão de uma determinada barra convergem

desde a estimativa inicial.

FIG. 37 – CAR

Figura 6.9 - Característica de convergênciaxix

95

6.12 Justificativa do Método Escolhido

O método de Gauss-Seidel foi escolhido devido principalmente a sua

facilidade de implementação no software. O método escolhido sem dúvida, como

podemos verificar pela teoria exposta, não é o mais eficiente computacionalmente,

porém para a implementação no software que tem uma capacidade limitada de

barras e tem fins puramente didáticos o método atende as necessidades.

O método de Newton-Raphson não foi escolhido principalmente devido a

sua dificuldade de implementação, haja vista que devemos inverter a matriz

jacobiana (composta por números complexos) a cada iteração, como também é

sabido o computador não trabalha com grandezas complexas e realiza apenas as

quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão). A

implementação de uma rotina que invertesse a matriz jacobiana seria extremamente

trabalhosa e despenderia muito tempo, além de fugir um pouco aos objetivos do

projeto final de curso uma vez que estaríamos desenvolvendo algoritmos puramente

matemáticos ficando assim a Engenharia Elétrica de lado.

Atualmente existem métodos que foram desenvolvidos com o intuito de

implementação em computadores digitais que obviamente são muito mais eficientes

e são aplicados na construção de softwares poderosos para o cálculo de grandes

sistemas de potência. A utilização destes métodos em um software didático tornaria

o desenvolvimento muito complexo e o resultado final não teria grandes melhorias,

estaríamos “matando uma mosca com um canhão”.

Portanto, para os fins que se propõe o software e pelo objetivo de

desenvolver algo voltado à graduação de engenharia elétrica optamos pela

implementação do método de Gauss-Seidel. Além do mais, no que se refere ao

usuário de programas de fluxo de carga, os detalhes do método usado não são

significativos, desde que ele conheça as características e limitações do programa.

96

7 ANALISADOR DE REDE (PROTÓTIPO)

7.1 Painel

7.1.1 O Painel

Inicialmente a idéia era fazer o circuito criado em escala reduzida e simular

com valores de tensões proporcionais, a medida que foi se estudando as montagens

verificou-se que esta redução em escala, simulação das bobinas e vários outros

aspectos, tornavam impraticável a montagem, com isso foi decidido a criação de um

circuito simplificado para fazer os testes práticos. Em um primeiro momento foi

montado um circuito com quatro barras, uma carga, e um gerador, porém foi

lembrado que existia um protótipo que começou a ser desenvolvido pelo antigo

professor titular da cadeira de sistema de potência o professor Arlei, este protótipo

não foi finalizado e também não funcionava, tendo este painel como base, a idéia

passou a ser colocar o Painel de sistema de potência em funcionamento, e simular o

circuito neste painel.

7.2 Descrição do Painel de Sistema de Potência.

O painel é composto por placas onde cada uma delas tem determinados

componentes, basicamente, são bobinas, medidores e transformadores. Como a

maioria (todos) dos instrumentos não funcionam, foi decidido que do painel somente

seriam utilizados os transformadores e as bobinas para simular as indutâncias das

linhas, mais tarde veremos que nem as bobinas foram utilizadas.

7.2.1 Instrumentos

Os instrumentos (medidores) existentes no painel são:

2 Wattímetros;

2 Varímetros;

2 Cosefímetro;

2 Voltímetros;

97

2 Amperímetros;

Todos os instrumentos são analógicos e nenhum deles se encontrava em

funcionamento, todas as medições foram feitas através de instrumentos digitais que

foram cedidos pelos almoxarifados de Eletrônica e Eletrotécnica.

7.2.2 Indutores

Os Indutores que compõem o painel são bobinas na sua maioria por volta de

27mH (fase) e 14 mH(neutro), para a montagem prática inicialmente seria utilizada

uma bobina de 27mH para simular uma linha de transmissão, e outra de 42 mH

simulando a segunda linha, porém após os primeiros ensaios contatou-se que estes

valores estavam muito acima para uma redução, como os valores de tensões são

baixos (127 V e 8 V) a tensão na saída do segundo transformador, que era para ser

algo em torno de 127 volts, era apenas 6 volts. Para contornar estes problema foram

feitas bobinas específicas nos valores de aproximadamente 90H e 9H, com isso

os valores ficaram mais próximos para ser feito um estudo.

Mais detalhes estão na parte descritiva das montagens e nas comprovações

matemáticas.

7.2.3 Transformadores

Dois transformadores idênticos foram utilizados para o ensaio, com a relação

de 127:8 com uma potência de 150 MVA, os ensaios a vazio e de Curto circuito

foram feitos com base nestes valores para a determinação dos parâmetros

construtivos.

7.3 Circuito Simplificado

O esquema utilizado para a simulação do circuito foi elaborado de modo que

representasse uma malha interligada com duas fontes de geração e duas cargas,

abaixo segue o esquema de ligação.

98

Figura 7.1 – Esquema de Montagem

Figura 7.2 – Esquema de montagem (visualização das barras)

99

Os valores obtidos através das demonstrações acima comprovam tanto

os valores prático como calculados, um valor que não foi possível de ser verificado

na prática, foi a defasagem da corrente em relação a tensão em cima de uma linha

simulada, devido aos valores muito pequenos de resistência e indutância as mesmas

estão quase que em fase. Abaixo, uma foto do osciloscópio digital mostrando a

coincidência entre tensão e corrente (a defasagem de 180º foi deixada de propósito

para uma melhor visualização).

Figura 7.3 – Onda no osciloscópio

Mesmo fazendo o circuito em um simulador (EWB) esta diferença não foi

observada. Abaixo segue a medição feita no osciloscópio do simulador.

100

Figura 7.4 - Osciloscópio EWB

101

8 SOFTWARES EXISTENTES

8.1 Introdução

Neste capítulo serão analisados quatro softwares existentes no mercado,

dois deles comercias e dois deles desenvolvidos em faculdades, sendo que um foi

desenvolvido no Laboratório de Sistema de Potencia (LABSPOT) na Universidade

Federal de Santa Catarina (UFSC), o outro software, foi desenvolvido como parte da

tese de mestrado do Professor José Carlos Lobato Pasini.

A abordagem será feita no sentido de apresentar as vantagens,

desvantagens e características peculiares de um deles.

8.2 SIMICRO

8.2.1 Descrição

O SIMICRO é um Simulador didático de sistema de potência, que foi

desenvolvido por um grupo de estudos na UFSC, a versão utilizada foi a 2.8

finalizada em 21 de Novembro de 1995, sob a orientação do Professor Luiz Jairo

Branco Machado.

A versão disponível faz a simulação de uma determinada região, no caso,

o sistema da região sul do Brasil, o total dos elementos utilizados no nível de

525/230 kV foram:

• 24 a 36 barras, 24 subestações;

• 10 transformadores;

• 34 linhas de transmissão;

• 11 “shunts” (reatores);

• 49 cargas;

• Seis interligações (correspondem a gerações equivalentes

provenientes dos sistemas CEEE/COPEL. São representadas por

setas azuis na tela geral e por uma carga negativa nas

subestações);

• 14 unidades geradoras (nove hidrelétricas e 5 termelétricas);

102

• 1091 dispositivos lógicos (sendo 266 disjuntores e 825

seccionadores);

Por ser um software antigo, qualquer computador atual tem todos os pré-

requisitos para executar este aplicativo (Monitor que suporte no mínimo 16 cores e

mouse e 500Kbytes de memória livre).

A base para o funcionamento do software é o sistema operacional DOS

6.22. Hoje, por este sistema ser quase inexistente algumas configurações extras são

necessárias nos arquivos do Windows para que ele possa ser executado sem

problemas, isto se torna um pouco trabalhoso para pessoas que não tenham uma

certa intimidade com arquivos de configuração de um computador.

8.2.2 Funcionalidades do Software

Salvar arquivos.

Quando é solicitado para se salvar arquivos quatro tipos de dados são

armazenados:

• Os que contem os dados relativos à configuração do sistema;

• Os que contem dados relativos à modelagem da rede para o fluxo

de potência;

• Os que contem os resultados do fluxo de potência;

• Os que contem os resultados da análise de conectividade.

Uma vez salvo estes arquivos seus dados podem ser acessados por um

simples editor de texto.

8.2.3 Características.

Todo o acompanhamento do comportamento do sistema pode ser

observado de acordo com a variação de cores dos elementos, ao lado do esquema

do sistema segue uma legenda explicando cada uma das representações.

Por default o sistema é monitorado a cada 5 segundos reais, esta

velocidade de monitoração pode ser alterada.

103

As tensões dos sistemas são indicadas em todos os pontos em p.u.,

também é indicado o carregamento das linhas indicando assim a potência ativa

sobre cada linha solicitada.

As características do software com relação à área de sistema de potência

foram às apresentadas acima, porém, o software não se restringe somente a esta

área, nele você tem acesso às características das subestações, a abertura e

fechamento de chaves seccionadoras e outros elementos da rede elétrica nele

esquematizada.

8.2.4 Dificuldades Encontradas

Um problema encontrado para o funcionamento do software foi que este

necessitava de uma fonte de texto específica para funcionar, ou seja, é necessária a

complementação da instalação do computador em que este software for utilizado.

Por se tratar de um software antigo que é executado em DOS, sua

interface não é amigável, sendo até um pouco agressiva para os padrões atuais.

O sistema disponível no sistema de demonstração é fechado no sistema

sul, se for do interesse modificar o sistema ao criar um novo, isto não é possível.

8.3 FLOWGR

8.3.1 Descrição

Este software foi desenvolvido pelo professor José Pasini, do

departamento de matemática do CEFET-PR, apresentado como parte da defesa

para a obtenção do título de Mestre em Ciências.

Este software tem mais as características do software que esta sendo

desenvolvido pela nossa equipe, nele você vai “desenhar” o sistema existente dando

as característica de cada um dos elementos, como resultado final é informado se o

sistema convergiu ou não.

O método utilizado neste software é o desacoplado rápido BX, que tem

como característica poder ser utilizado tanto sistemas de transmissão como

distribuição.

104

O aplicativo foi todo desenvolvido na linguagem de Visual Basic, isto

garante uma interface com um “padrão Windows”, ou seja, quem estiver utilizando

não vai estranhar tanto como acontece com o SIMICRO.

Sua utilização é feita na base de inserção dos elementos com suas

determinadas características, depois é feita sua interligação, por ultimo, são feitos os

cálculos do fluxo de potência.

Depois destas etapas cumpridas todos os valores obtidos são plotados em

cima de cada elementos em um diagrama unifilar, também, após processado o

circuito, automaticamente relatório que contem todos os dados especificados no

diagrama unifilar e mais o balanço energético de potência ativa por área ou

empresa, e o intercambio energético de potencia ativa entre as empresas.

As próxima figura mostra um circuito feito no software:

Figura 8.1 – Circuito desenvolvido no FlowGR

105

8.4 NFlux

8.4.1 Descrição

Este software foi desenvolvido por Nelson Bittencourt, e ele é utilizado na

calculadora HP48 G, de interface muito simples, os dados são colocados em

seqüência, 1 a 1, observado os parâmetros de cada componentes, a saída é feita

por partes indicando a tensão nas barras bem como o seu ângulo, e a segunda

indica as potências nas barras.

O método utilizado neste software é o de Newton-Raphson.


Por ter sido utilizado uma versão demo do software não deu para se ter

uma idéia de como ele se comporta com um circuito maior, a versão demo somente

permite calcular um circuito com 3 barras. Neste circuito simples o software

funcionou sem problemas, o grande limitante deste software é a própria calculadora,

por ter uma memória baixa, o desempenho deve ser afetado para cálculos de

circuitos com um maior número de barras.

8.5 PowerWorld Simulator

Este é um software comercial, com origem nos E.U.A., uma das

simulações que ele executa é o cálculo de fluxo de potência. Tambem neste caso foi

testado uma versão demo do software, onde o limitante era o número de barras, os

circuitos poderiam ter somente 12 barras, na versão completa o número de barras

pode ser superior a 60000.

8.5.1 Descrição

Este software é o que apresenta a maior semelhança gráfica com o

software desenvolvido neste projeto, apesar de que este software só foi testado

depois do nosso software estar quase pronto. Para a inserção de elementos ele

funciona com um “drag & drop”, na seqüência são preenchidas as características

dos elementos.

106

Figura 8.2 – Snapshot do PowerWorld Simulator.


O software tem uma capacidade imensa de situações e simulações, para

isso cada parâmetro precisa ser especificado, isto torna a montagem de um circuito

neste software muito lenta. Se a intenção é uma resposta rápida para um circuito

simples, não compensa a montagem neste programa.

107

9 COMPROVAÇÃO DO FUNCIONAMENTO DO SOFTWARE

Tendo em mãos os dados do circuito protótipo e dos cálculos manuais,

partimos para a comprovação do correto funcionamento do Software, o SFP -

Simulador de Fluxo de Potência.

Utilizamos ainda alguns circuitos mais simples, também calculados

manualmente, na etapa de depuração do software, onde pudemos verificar

todos os cálculos intermediários, como os valores da matriz de admitância e da

potência na barra de geração, executando o programa passo a passo.

A seguir, temos um destes circuitos com os cálculos detalhados e na

seqüência a comprovação e comparação com os resultados obtidos com a

utilização do Software.

9.1 Cálculo do Circuito Exemplo

B1 b2

g1

g2

E=1,01 puP=30MW

230/138 kV1,02∠0° pu

(Referência)

Z=0,0035+j0,017 puB=j0,06 pu

S=154+j52,8 MVA

b3 b4

S=15+j4 MVA

Z=0,0105+j0,051puB=j0,18 pu

Z=0,007+j0,034puB=j0,12 pu

T1

LT1

LT3 LT2

Figura 9.1 – Circuito exemplo

9.2 Comprovação do Circuito Exemplo

Realizamos a entrada de dados de acordo com diagrama do circuito

exemplo e efetuamos os cálculos para as três iterações que são apresentados

na seção de anexos.

108

9.2.1 Cálculo das Tensões

9.2.1.1 Primeira Iteração

Figura 9.2 – Primeira Iteração

Obtemos os seguintes resultados na primeira iteração:

Quadro 9.1 – Resultado da Primeira Iteração

E 1 = 1,0100 0,10291 o pu

E 2 = 0,9982 -0,87461 o pu

E 3 = 1,0102 -0,67972 o pu

E 4 = 1,0200 0 o pu

Primeira Iteração

109

9.2.1.2 Segunda Iteração

Figura 9.3 – Segunda Iteração

Obtemos os seguintes na primeira iteração:

Quadro 9.2 – Resultado da Segunda Iteração

E 1 = 1,0100 -0,66819 o pu

E 2 = 1,0016 -1,61274 o pu

E 3 = 1,0123 -1,36031 o pu

E 4 = 1,0200 0 o pu

Segunda Iteração

110

9.2.1.3 Terceira Iteração

Figura 9.4 – Terceira Iteração

Obtemos os seguintes na primeira iteração:

Quadro 9.3 – Resultado da Terceira Iteração

E 1 = 1,0100 -1,36214 o pu

E 2 = 1,0023 -2,298 o pu

E 3 = 1,0128 -1,98615 o pu

E 4 = 1,0200 0 o pu

Terceira Iteração

111

9.2.2 Resultados

Podemos verificar a igualdade dos valores encontrados mediante o

cálculo manual e por meio do software comparando as tabelas abaixo:

Quadro 9.4 – Cálculos com o Software

Quadro 9.5 – Cálculos Manuais

9.3 Comprovação do Circuito Exemplo com Desligamento de uma LT

Efetuamos novamente todos os cálculos considerando a condição de

desligamento da Linha de Transmissão localizada entre as barras um e três,

simulando uma situação de emergência.

Inserimos também os dados deste circuito no Simulador obtendo os

seguintes resultados:

E 1 = 1,0100 0,10291 o pu E 1 = 1,0100 -0,66819 o pu E 1 = 1,0100 -1,36214 o pu

E 2 = 0,9982 -0,87461 o pu E 2 = 1,0016 -1,61274 o pu E 2 = 1,0023 -2,298 o pu

E 3 = 1,0102 -0,67972 o pu E 3 = 1,0123 -1,36031 o pu E 3 = 1,0128 -1,98615 o pu

E 4 = 1,0200 0 o pu E 4 = 1,0200 0 o pu E 4 = 1,0200 0 o pu

Primeira Iteração Segunda Iteração Terceira Iteração

E 1 = 1,0100 0,1029 o pu E 1 = 1,0100 -0,6683 o pu E 1 = 1,0100 -1,362 o pu

E 2 = 0,9982 -0,8746 o pu E 2 = 1,0016 1,6128 o pu E 2 = 1,0023 -2,2979 o pu

E 3 = 1,0100 -0,6797 o pu E 3 = 1,0123 -1,3604 o pu E 3 = 1,0129 -1,986 o pu

E 4 = 1,0200 0 o pu E 4 = 1,0200 0 o pu E 4 = 1,0200 0 o pu

Primeira Iteração Segunda Iteração Terceira Iteração

112


9.3.1.1 Primeira Iteração

Figura 9.5 – Primeira Iteração

Para este circuito obtemos os seguintes resultados:

Quadro 9.6 – Resultados da Primeira Iteração

E 1 = 1,0100 0,1744 o pu E 1 = 1,0100 0,17438 o pu

E 2 = 0,9982 -0,8263 o pu E 2 = 0,9982 -0,82636 o pu

E 3 = 1,0079 -1,0641 o pu E 3 = 1,0079 -1,06413 o pu

E 4 = 1,0200 0 o pu E 4 = 1,0200 0 o pu

Cálculo Manual Cáculo com Software

113

9.3.1.2 Segunda Iteração

Figura 9.6 – Segunda Iteração


E 1 = 1,0100 -0,6244 o pu E 1 = 1,0100 -0,62444 o pu

E 2 = 1,0008 -1,7136 o pu E 2 = 1,0008 -1,71361 o pu

E 3 = 1,0105 -1,8182 o pu E 3 = 1,0105 -1,81814 o pu

E 4 = 1,0200 0 o pu E 4 = 1,0200 0 o pu


Quadro 9.7 – Resultado da Segunda Iteração

114

9.3.1.3 Terceira Iteração

Figura 9.7 – Terceira Iteração


Quadro 9.8 – Resultado da Terceira Iteração

E 1 = 1,0100 -1,4814 o pu E 1 = 1,0100 -1,48103 o pu

E 2 = 1,0017 -2,5327 o pu E 2 = 1,0017 -2,53236 o pu

E 3 = 1,0116 -2,5182 o pu E 3 = 1,0116 -2,51790 o pu

E 4 = 1,0200 0 o pu E 4 = 1,0200 0 o pu


115

9.4 COMPROVAÇÃO DO CIRCUITO DE 11 BARRAS

Os cálculos do circuito em questão estão detalhados na seção de anexos.

O esquema unifilar do circuito é apresentado abaixo:

Figura 9.8 - Diagrama Unifilar do Circuito de 11 Barras

116

9.5 Aplicação do circuito de onze barras previamente calculado no SFP:

9.5.1 Primeira Iteração

Figura 9.9 - Resultados da Primeira Iteração

117

9.5.1.1 Tabela Resumo da Primeira Iteração

Figura 9.10 - Tabela Resumo da Primeira Iteração

9.5.1.2 Valores Obtidos do Cálculo Manual

Figura 9.11 - Tabela Resumo dos Cálculos Manuais

118

9.5.2 Segunda Iteração

Figura 9.12 - Resultados da Segunda Iteração

119

9.5.2.1 Tabela Resumo da Segunda Iteração

Figura 9.13 - Tabela Resumo da Segunda Iteração



120

9.5.3 Terceira Iteração

Figura 9.15 - Resultados da Terceira Iteração

121

9.5.3.1 Tabela Resumo da Terceira Iteração

Figura 9.16 - - Tabela Resumo da Terceira Iteração



122

9.6 Comprovação do Circuito Protótipo

A descrição da montagem como também a apresentação do circuito foi

mostrada na seção 7, portanto nos ateremos aqui apenas em mostrar os

valores obtidos através da simulação no software. A figura abaixo mostra os

valores apresentados pelo software para 300 iterações quando o circuito em

questão converge.

Figura 9.18 - Resultados para a convergência do circuito protótipo

123

9.6.1 Valores tabelados resultados da simulação do software

Figura 9.19 - Valores Tabelados

9.6.1.1 Valores Obtidos da Medição do Protótipo

Figura 9.20 - Valores Medidos no Protótipo

124

9.7 Conclusões das Comprovações

Pôde-se perceber com os três exemplos apresentados uma

funcionalidade bastante aceitável uma vez que os resultados obtidos com o

software se aproximam muito dos valores calculados. Podemos perceber e

concluir que esta diferença se dá devido ao arredondamento que foi

empregado nos cálculos manuais (veja o desenvolvimento detalhado dos

cálculos da seção de anexos) em relação ao cálculo do software.

Quanto aos valores apresentados pela medição do protótipo, pudemos

observar uma aproximação bastante boa dos valores obtidos com o software.

Como já explicado na seção 7 o ângulo das tensões nas barras não foi possível

de se obter, porém os módulos das tensões das barras se aproximaram

satisfatoriamente uma vez que temos imprecisões de equipamentos, oscilações

e ruídos na tensão da rede. Para uma melhor precisão dos valores do protótipo

seria necessária a utilização de equipamentos mais precisos e de uma fonte

de tensão controlada que não dispúnhamos no momento da realização das

medições.

125

10 CONCLUSÕES

O objetivo inicial do projeto foi alcançado com sucesso, os cálculos e

medições feitas comprovam a eficiência do software desenvolvido, com isso

haverá mais facilidades por parte dos alunos e professores na resolução de

problemas relacionados aos cálculos do fluxo de potência.

O projeto final foi iniciado com a idéia de que iríamos utilizar apenas

a disciplina de sistema de potência, um pouco de circuitos e muito com relação

a programação. Durante o desenrolar do projeto muitas coisas começaram a

ser vista com outros olhos. Quando se faz um projeto no papel, alguns detalhes

são esquecidos, quando o projeto começou a passar para as montagens, a

prática, muito pode ser visto. Problemas em obter valores de indutores para a

simulação de linhas, nos obrigaram a começar a estudar a simulação de

indutores com amplificadores operacionais (Eletrônica), depois, para se medir o

valor das indutâncias foi estudado a teoria de Pontes (medidas elétricas), como

seriam utilizados e ensaiados transformadores, a teoria deste equipamentos

também foi estudado (Eletromagnetismo e Conversão Eletromecânica). Efeitos

da freqüência de pontes digitais na medição de resistências (Efeito pelicular)

também começou a ser discutido, e isto não é visto no curso. Estes “detalhes”

não foram considerados no projeto inicial, e a medida que o projeto vai se

desenrolando tem-se que ir atrás de mais conhecimento técnico para que ele

não pare. Sem sombra de dúvida, o projeto final é uma disciplina que une os

conhecimentos de todo o curso, em uma aplicação prática, muito válido.

Outro detalhe que chamou a atenção foi para a valorização da

teoria, inicialmente conceitos abordados em sala de aula, que aparentemente

não serviam para nada, foram as explicações para muitos problemas ocorridos

na prática, durante as montagens, fatos ocorriam fora do conforme, para

resolvê-los não bastava somente um multímetro e um osciloscópio para

identificar o problema, nestas horas as pesquisas teóricas em livros, apostilas,

apontamentos de sala de aula e conversa com os professores foram de grande

valia.

Com relação ao software desenvolvido, também tivemos vários

problemas, primeiramente não conhecíamos nenhuma linguagem de

programação que nos oferecesse a possibilidade da interface gráfica interativa

126

que queríamos obter, criando assim um diferencial em relação aos outros

softwares existentes atualmente, a facilidade de manipulação e inserção de

dados para o cálculo de circuitos simples que podem ser aplicados na

graduação de engenharia elétrica.

A nossa inexperiência em desenvolvimento de softwares nos fez

penar um pouco no desenvolvimento pois precisávamos aprender uma nova

linguagem e ao mesmo tempo desenvolver um programa de tamanha

complexidade. Isso acarretou que no decorrer no desenvolvimento do software

detectávamos problemas que não poderiam ser resolvidos se continuássemos

seguindo determinado caminho e para isso precisávamos mudar perdendo

parte do trabalho desenvolvido.

Superadas as dificuldades conseguimos atingir o objetivo principal, o

desenvolvimento intelectual dos acadêmicos de engenharia e além,

implementamos um software didático para o calculo de fluxo de potência

empregando conhecimentos apreendidos em nossa vida acadêmica.

Deixamos como sugestões para trabalhos futuros a continuidade da

implementação do SFP com os outros métodos de cálculo de fluxo de potência

como por exemplo Newton-Raphson, que tem uma eficiência computacional

melhor podendo assim o acadêmico de engenharia ter um comparativo visual

entre os diversos métodos atualmente empregados nos problemas de fluxo de

potência.

127

11 BIBLIOGRAFIAS

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128

12 REFERÊNCIAS BILIOGRÁFICAS

i CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA.

ii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 1, PAG 1

iii PASINI, JOSÉ C. L. IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA EM

REGIME PEMANENTE USANDO INTERFACE GRÁFICA INTERATIVA, 1998, PAG. 12

iv CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 1, PAG. 2

v PASINI, JOSÉ C. L. IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA EM


vi PASINI, JOSÉ C. L. IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA EM


vii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 17

viii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 18

ix CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 6, PAG. 101

x BARTHOLD, L. O., ANÁLISE DE CIRCUITOS DE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA, 1983,

PAG. 23

xi BARTHOLD, L. O., ANÁLISE DE CIRCUITOS DE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA, 1983,

PAG. 24

xii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 54

xiii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 4

xiv CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 4

xv CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 7, PAG. 2

xvi CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 3, PAG. 1

xvii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 3, PAG. 5

xviii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 4, PAG. 8

xix ELGERD, OLLE INGEMAR, INTRODUÇÃO À TEORIA DE SISTEMAS DE ENERGIA

ELÉTRICA, 1977, PAG. 32

129

13 ANEXO I – APRESENTAÇÃO DOS CÁLCULOS DO CIRCUITO EXEMPLO

13.1 Cálculo do Circuito Exemplo

B1 b2

g1

g2

E=1,01 puP=30MW

230/138 kV1,02∠0° pu

(Referência)

Z=0,0035+j0,017 puB=j0,06 pu

S=154+j52,8 MVA

b3 b4

S=15+j4 MVA

Z=0,0105+j0,051puB=j0,18 pu

Z=0,007+j0,034puB=j0,12 pu

T1

LT1

LT3 LT2

Figura 13.1 - Circuito Exemplo

13.1.1 Admitância em PU

Tendo os dados referentes às Impedância em pu, seguimos com os

cálculos para acharmos os valores das Admitâncias.

Desprezaremos as admitâncias dos geradores.

13.1.1.1 Linha de Transmissão 1

Impedância Série em PU (valor dado)

Zs j puLT1 0 0035 0 017= +, ,

Admitância Série em PU

Ys

Zs jj puLT

LT1

1

1 10 0035 0 017

11 6183 56 4315= =+

= −, ,

, ,

130

Admitâncias Paralelas em PU

B j pu.

,= 0 06 (dado)

Yp B j puLT1 0 06= =.

,



Zs j puLT 2 0 007 0 034= +, ,



B j pu.

,= 0 12 (dado)

Yp B j puLT 2 0 12= =.

,



Zs j puLT 3 0 0105 0 051= +, ,

Yp Ypj

j puLT LT1 20 062

0 031 1= = =,

,

YsZs j

j puLTLT

22

1 10 007 0 034

5 0891 28 2158= =+

= −, ,

, ,

Yp Ypj

j puLT LT1 20 122

0 062 2= = =,

,

131



B j pu.

,= 0 18 (dado)

Yp B j puLT 3 0 18= =.

,

13.1.1.4 Transformador T1

Admitância Série em PU (valor dado)

Admitâncias Paralelas em PU (valores dados)

YsZs j

j puLLT

33

1 10 0105 0 051

3 8727 18 8106= =+

= −, ,

, ,

Yp Ypj

j puLT LT1 20 182

0 093 3= = =,

,

pujYsT 761,41 −=

pujYpTAT 216,0

1)( =

pujYpTBT 2268,0

1)( −=

132

13.1.2 Matriz Admitância

Yii

.

= Soma de todas as admitâncias que chegam na barra i.

Yij

.

= Soma de todas as admitâncias que ligam as barras i e j, com o sinal

trocado.

Soma de todas as admitâncias que chegam na barra 1

( ) ( ) ( ) ( )Y j j j j11 0 03 11 6183 56 4315 0 09 3 8727 18 8105.

, , , , , ,= + − + + −

Y j pu11 15 4910 751220.

, ,= −


( ) ( ) ( ) ( )Y j j j j22 0 03 11 6183 56 4315 0 06 5 8091 28 2158.

, , , , , ,= + − + + −

B1

b4b3

b2

j0,03j0,03

11,6183 -j56,4315 pu

j0,06

j0,06

5,8091 -j28,2158 pu

3,8727 -j18,8105 puj0,09

j0,09

-j4,761 pu

j0,216 pu -j0,2268 pu

133

Y j pu22 17 4274 84 5573.

, ,= −


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y j j j j j j33 0 09 3 8727 18 8105 0 06 5 8091 28 2158 0 216 4 761.

, , , , , , , ,= + − + + − + + −

Y j pu33 9 6818 51 4213.

, ,= −


( ) ( )Y j j44 0 216 4 761.

, ,= − + −

Y j pu44 4 9878.

,= −

13.1.2.1 Soma de todas as admitâncias que ligam as barras 1 e 2 ou 2 e 1,

com o sinal trocado.

( )Y Y j12 21 11 6183 56 4315. .

, ,= = − −

Y Y j pu12 21 11 6183 56 4315. .

, ,= = − +



( )Y Y j13 31 3 8727 18 8105. .

, ,= = − −

Y Y j pu13 31 3 8727 18 8105. .

, ,= = − +



Y Y14 41 0. .

= =

134



Y Y j23 32 8091 28 2158. .

(5, , )= = − +

Y Y j pu23 32 5 8091 28 2158. .

, ,= = − +



Y Y24 42 0. .

= =



Y Y j34 43 4 761. .

( , )= = − −

Y Y j pu34 43 4 761. .

,= =

13.1.3 Através dos itens acima calculados conseguimos escrever a Matriz

Admitância:

15,4910 -j75,1220 -11,6183 +j56,4315 -3,8727 +j18,8105 0

-11,6183 +j56,4315 17,4274 -j84,5573 -5,8091 +j28,2158 0

-3,8727 +j18,8105 -5,8091 +j28,2158 9,6818 -j51,4213 j4,761

0 0 j4,761 -j4,9878

Y 11 Y 12 Y 13 Y 14Y 21 Y 22 Y 23 Y 24Y 31 Y 32 Y 33 Y 34Y 41 Y 42 Y 43 Y 44

135

puE °∠= 001,1.01

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

6375,01565,0

8105,1838727001,1001,14315,566183,1101001,115,0001,1001,1

3,0

.01

*.01

*.

13

.03

.01

.

12

.02

.01

.

10

.01

.01

.*1

.01

.01

111

.01

jS

jjjS

YEEYEEYEEIES

jQjQPS

+=

−°∠−°∠+−°∠−°∠+°∠°∠=

−+

−+==

+=+=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ]( )

puE

jjjj

E

°∠=

−°∠×+−+°∠×+−−°∠÷+=

1029,00104,1

1220,754910,15018105,188727,3014315,566183,11001,16375,03,0

.11

*.11

pu,1029001,1E.11 °∠=

pujjQjQPS 6375,03,03,0 111

.01 +=+=+=


=p número da barra.

=k número da iteração.

=n número de barras.

13.1.4.1 Primeira Iteração:

13.1.4.1.1 Barra 1:

Barra de geração: +.

pS

p=1

k=1

n=4

(Valor foi arbritado)

( )

−÷

=

≠=

−−

.

1

*11

.

pp

n

qpq

qpqkp

kp

k

p

Y

EYES

E

+

−

÷

=.

11

.03

.

13

.02

.

12

*.01

.01.

11

Y

EYEYES

E

136

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )5573,844274,17

012158,288091,51029,001,14315,566183,1101528,054,1

528,054,1*.

12

.02

jjjj

E

pujS

−°∠×+−+°∠×+−−°∠÷+−=

+=

pu002,1E.14 °∠=

( )[ ] ( ) ( ) ( )( )4213,516818,9

002,18746,09982,01029,001,10104,015,0

04,015,0.

34

.

32

.

31*

.13

.03

j

YYYjE

pujS

−

°∠×+°−∠×+°∠×−°∠÷+−=

+=

13.1.4.1.2 Barra 2:

Barra de carga: -.

pS

p=2

k=1

n=4

pu8746,09982,0E.12 °−∠=

13.1.4.1.3 Barra 3:

Barra de carga: -.

pS

p=3

k=1

n=4

pu6797,00102,1E.13 °−∠=

13.1.4.1.4 Barra 4:

Barra de referência

+−

÷

= .

22

.0323

..1121

.*.

02

.02.

12

Y

EYEYES

E

++−

÷= .

33

.04

.

34

.12

.

32

.11

.

31

*.03

.03.

13

Y

EYEYEYESE

137

pu6683,001,1E.12 °−∠=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

3026,03725,1

6797,00102,11029,001,18746,09982,01029,001,11029,001,11029,001,1

3,0

.11

*.

13

.

1210

.11

*.

13

.13

.11

.

12

.12

.11

.

10

.11

.11

.*1

.11

.11

111

.11

jS

YYYS

YEEYEEYEEIES

jQjQPS

+=

°−∠−°∠+

°−∠−°∠+°∠°∠=

−+

−+==

+=+=

pujjQjQPS 3026,03,03,0 111

.11 +=+=+=

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )

puE

j

YYjE

°−∠=

−

°−∠+

°−∠−°∠÷+=

6683,00073,1

1220,754910,15

6797,00102,18746,09982,01029,001,13026,03,0

.2

1

.

13

.

12*

.2

1

13.1.4.2 Segunda Iteração:

13.1.4.2.1 Barra 1:


pS

p=1

k=2

n=4

13.1.4.2.2 Barra 2:

Barra de carga: -.

pS

p=2

k=2

n=4

+−

÷

= .

22

.1323

..2

121

.*.

12

.12.

22

Y

EYEYES

E

+−

÷

= .

11

.1313

..1212

.*.

11

.11.

21

Y

EYEYES

E

138

pu6128,10016,1E.22 °−∠=

pu3604,10123,1E.23 °−∠=

( )[ ] ( ) ( )

( )5573,844274,17

6797,00102,16683,001,18746,09982,0528,054,1

528,054,1.

23

.

21*

.22

.12

j

YYjE

pujS

−

°−∠+

°−∠−°−∠÷+−=

+=

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )4213,516818,9

002,16128,10016,16683,001,16797,00102,104,015,0

04,015,0.

34

.

32

.

31*

.23

.13

j

YYYjE

pujS

−

°∠×+

°−∠×+

°−∠×−°−∠÷+−=

+=

pu002,1E.14 °∠=

13.1.4.2.3 Barra 3:

Barra de carga: -.

pS

p=3

k=2

n=4

13.1.4.2.4 Barra 4:


13.1.4.3 Terceira Iteração:

13.1.4.3.1 Barra 1:


pS

p=1

k=3

n=4

++−

÷

= .

33

.14

.

34

.22

.

32

.2

1

.

31

*.13

.13.

23

Y

EYEYEYES

E

+−

÷

= .

11

.23

.

13

.22

.

12

*.21

.21.

31

Y

EYEYES

E

139

pu362,101,1E.31 °−∠=

pu2979,20023,1E.32 °−∠=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

0807,0265,1

3604,10123,16683,001,16128,10016,16683,001,16683,001,16683,001,1

3,0

.2

1

*.

13

.

12

.

10

.2

1

*.

13

.23

.2

1

.

12

.22

.2

1

.

10

.2

1

.2

1

.*1

.2

1

.2

1

111

.2

1

jS

YYYS

YEEYEEYEEIES

jQjQPS

+=

°−∠−°−∠+

°−∠−°−∠+

°−∠°−∠=

−+

−+==

+=+=

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )

puE

j

YYjE

°−∠=

−

°−∠+

°−∠−°−∠÷+=

3620,10076,1

1220,754910,15

3604,10123,16128,10016,16683,001,10807,03,0

.31

.

13

.

12*

.31

pujjQjQPS 0807,03,03,0 111

.2

1 +=+=+=

( )[ ] ( ) ( )

( )5573,844274,17

3604,10123,1362,101,16128,10016,1528,054,1

528,054,1.

23

.

21*

.3.

2

.22

j

YYjE

pujS

−

°−∠+

°−∠−°−∠÷+−=

+=

13.1.4.3.2 Barra 2:

Barra de carga: -.

pS

p=2

k=3

n=4

+−

÷= .

22

.2323

..3121

.*.

22

.22.

32

Y

EYEYESE

140

pu986,10129,1E.33 °−∠=

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )4213,516818,9

002,12979,20023,1362,101,13604,10123,104,015,0

04,015,0.

34

.

32

.

31*

.33

.23

j

YYYjE

pujS

−

°∠×+

°−∠×+

°−∠×−°−∠÷+−=

+=

pu002,1E.14 °∠=

13.1.4.3.3 Barra 3:

Barra de carga: -.

pS

p=3

k=3

n=4

13.1.4.3.4 Barra 4:


++−

÷= .

33

.24

.

34

.32

.

32

.31

.

31

*.23

.23.

33

Y

EYEYEYESE

141

14 ANEXO II – APRESENTAÇÃO DOS CÁLCULOS DO CIRCUITO DE 11 BARRAS

Esta seção é dedicada para o desenvolvimento matemático do circuito

sugerido. Abaixo, o esquema unifilar do circuito.

FIG. 38 – CIRCUITO PARA A BASE DE CÁLCULOS.

142

14.1 Cálculo do Circuito Pelo Método de Gauss-Seidel

14.1.1 Cálculo das Tensões de Base

Cálculo da Tensão de Base do Barramento 1 (Eb1)

=1bE 13,8 kV


=×=×=kVkV

kVkEE Tbb 8,13220

8,13112220 kV


== 23 bb EE 220 kV


=×=×=kVkV

kVkEE Tbb 220138

220224138 kV


== 45 bb EE 138 kV


=×=×=kVkV

kVkEE Tbb 13269

13835672,13636364 kV


== 67 bb EE 72,13636364 kV


143

=×=×=kVkV

kVkEE Tbb 668,13

13636364,7247815,08305785 kV


== 29 bb EE 220 kV


== 910 bb EE 220 kV

Cáculo da Tensão de Base do Barramento 11 (Eb11)

== 511 bb EE 138 kV

=×=×=kVkV

kVkEE Tbb 220138

22051011138 kV

14.1.2 Calculo das Impedâncias de Base

Cálculo da Impedância de Base do Barramento 1 (Eb1)

=

=

=

1008,13 22

11 Sb

EZ b

b1,9044 ohm


=

=

=

10022022

22 Sb

EZ b

b484 ohm


=

=

=

10022022

33 Sb

EZ b

b484 ohm


=

=

=

10013822

44 Sb

EZ b

b190,44 ohm

144


=

=

=

10013822

55 Sb

EZ b

b190,44 ohm


=

=

=

10013636364,72 22

66 Sb

EZ b

b52,03654959 ohm


=

=

=

10013636364,72 22

77 Sb

EZ b

b52,03654959 ohm


=

=

=

10008305785,15 22

88 Sb

EZ b

b2,274986341 ohm


=

=

=

10022022

99 Sb

EZ b

b484 ohm


=

=

=

10022022

1010 Sb

EZ b

b484 ohm


=

=

=

10013822

1111 Sb

EZ b

b190,44 ohm

145

14.1.3 Conversão do Circuito para PU

Tendo os dados referentes às Bases de Tensão e Impedância por barramento, seguimos com a transformação do circuito para o sistema por unidade (PU).

Eb1 = 13,80000000 kV Zb1 = 1,90440000 ohmsEb2 = 220,00000000 kV Zb2 = 484,00000000 ohmsEb3 = 220,00000000 kV Zb3 = 484,00000000 ohmsEb4 = 138,00000000 kV Zb4 = 190,44000000 ohmsEb5 = 138,00000000 kV Zb5 = 190,44000000 ohmsEb6 = 72,13636364 kV Zb6 = 52,03654959 ohmsEb7 = 72,13636364 kV Zb7 = 52,03654959 ohmsEb8 = 15,08305785 kV Zb8 = 2,27498634 ohmsEb9 = 220,00000000 kV Zb9 = 484,00000000 ohmsEb10 = 220,00000000 kV Zb10 = 484,00000000 ohmsEb11 = 138,00000000 kV Zb11 = 190,44000000 ohms

Tensões de Base Impedâncias de Base

CONVERSÃO DO GERADOR G1

Impedância Base com os Valores Nominais do Equipamento

=====50

8,13 2

1

21

11

21

1

1

1

1

g

g

g

b

b

bb

bb S

EZ

SE

Z 3,80880000 ohm

Impedância do Equipamento em Ohms

=×+=×==×= ΩΩ 508,13

100100

%%2

111 11

jZZZZZZ

gg bgbj 0,38088000 ohm

Impedância Base com as Novas Bases

=====100

8,13 2

2

22

22

22

2

1

1

1

g

g

g

b

b

bb

bb S

EZ

SE

Z 1,90440000 ohm

Impedância em PU, no Novo Conjunto de Bases

=+===== ΩΩ

9044,13808,00

12

22

2

1

1

1

jZ

Z

ZZ

ZZ

Z gbb g

g

g

j 0,20000000 pu

146

Admitância em PU

=+

==2000,00

11

11 jZ

Yg

g-j 5,00000000 pu

CONVERSÃO DO GERADOR G2


=====150

8,13 2

1

21

11

21

1

2

2

2

g

g

g

b

b

bb

bb S

EZ

SE

Z 1,26960000 ohm


=×+=×==×= ΩΩ 1508,13

100120

%%2

121 22

jZZZZZZ

gg bgbj 0,15235200 ohm


=====100

8,13 2

2

22

22

22

2

2

2

2

g

g

g

b

b

bb

bb S

EZ

SE

Z 1,90440000 ohm


=+===== ΩΩ

9044,115235200,00

22

22

2

2

2

2

jZ

Z

ZZ

ZZ

Z gbb g

g

g

j 0,08000000 pu

Admitância em PU

=+

==0800,00

11

22 jZ

Yg

g-j 12,50000000 pu

147

CONVERSÃO DA LINHA DE TRANSMISSÃO 1

Impedância Série em PU

ZsZs

ZZs

Zs

Zj

LTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

=Ω Ω1

1

2

5 15484

0,01033058 +j 0,03099174 pu


YsZs jL

LT1

1

1 10 01033058 0 03099174

= =+

=, ,

9,68000000 -j 29,04000000 pu


Yp B YpLT LT= = =.

1j 0,15000000 pu

Yp Ypj

LT LT1 20 1521 1= = =, j 0,07500000 pu



ZsZs

ZZs

Zs

Zj

LTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

=Ω Ω2

2

4

7 25190 44,

0,03675698 +j 0,13127494 pu


YsZs jL

LT2

2

1 10 03675698 0 13127494

= =+

=, ,

1,97786350 -j 7,06379822 pu


Yp B YpLT LT= = =.

2j 0,15000000 pu

Yp Ypj

LT LT1 20 1522 2= = =, j 0,07500000 pu

148



ZsZs

ZZs

Zs

Zj

LTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

=Ω Ω3

3

6

10 3252 03654959,

0,19217262 +j 0,61495238 pu


YsZs jL

LT3

3

1 10 19217262 0 61495238

= =+

=, ,

0,46295863 -j 1,48146760 pu


Yp B YpLT LT= = =.

3j 0,15000000 pu

Yp Ypj

LT LT1 20 1523 3= = =, j 0,07500000 pu



ZsZs

ZZs

Zs

Zj

LTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

=Ω Ω4

4

2

5 15484

0,01033058 +j 0,03099174 pu


YsZs jL

LT4

4

1 10 01033058 0 03099174

= =+

=, ,

9,68000000 -j 29,04000000 pu


Yp B YpLT LT= = =.

4

j 0,15000000 pu

149

Yp Ypj

LT LT1 20 1524 4= = =, j 0,07500000 pu



ZsZs

ZZs

Zs

Zj

LTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

=Ω Ω5

5

9

5 15484

0,01033058 +j 0,03099174 pu


YsZs jL

LT5

5

1 10 01033058 0 03099174

= =+

=, ,

9,68000000 -j 29,04000000 pu

Admitância Paralela em PU

Yp B YpLT LT= = =.

5

j 0,15000000 pu

Yp Ypj

LT LT1 20 1525 5= = =, j 0,07500000 pu



ZsZs

ZZs

Zs

Zj

LTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

=Ω Ω6

6

5

7 25190 44,

0,03675698 +j 0,13127494 pu


YsZs jL

LT6

6

1 10 03675698 0 13127494

= =+

=, ,

1,97786350 -j 7,06379822 pu


150

Yp B YpLT LT= = =.

6j 0,15000000 pu

Yp Ypj

LT LT1 20 1526 6= = =, j 0,07500000 pu

CONVERSÃO DO TRANSFORMADOR T1


=====75

8,13 2

1

21

11

21

1

1

1

1

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 2,53920000 ohm


=×+=×==×= ΩΩ 758,13

10070

%%2

111 11

jZZZZZZ

TT bTbj 0,17774400 ohm


=====100

8,13 2

2

22

22

22

2

1

1

1

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 1,90440000 ohm


=+===== ΩΩ

9044,1177744,00

12

22

2

1

1

1

jZ

Z

ZZ

ZZ

Z Tbb T

T

T

j 0,09333333 pu

Admitância Auxiliar em PU

=+

====09333333,0011

'1

'1

1 jZY

ZY

TT

-j 10,71428571 pu

Variáveis Auxiliares Provenientes do Tap

=====230220

1

11

T

T

nomAT

tapATT

nomAT

tapAT

V

VA

V

VA 0,95652174

=====8,138,13

1

1

1

T

T

nomBT

tapBTT

nomBT

tapBT

V

VB

V

VB 1,00000000

151

=====00000000,195652174,0

1

11

T

TT B

Aa

BA

a 0,95652174


=−====95652174,0

71428571,10''

1

11

jaY

YsaY

YsT

TT

-j 11,20129870 pu


=−×−=×−==×−= )71428571,10()95652174,0(

)95652174,01('

)1('

)1(21

12

1)(2)( 1

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TATAT T

=1)( TATYp -j 0,50914994 pu

=−×−=×−==×−= )71428571,10()95652174,0(

)195652174,0('

)1('

)1(1

1

1)()( 1

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TBTBT T

=1)( TBTYp +j 0,48701299 pu



=====1001382

1

21

11

21

1

2

2

2

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 190,44000000 ohm


=×+=×==×= ΩΩ 100138

10080

%%2

121 22

jZZZZZZ

TT bTbj 15,23520000 ohm


=====1001382

2

22

22

22

2

2

2

2

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 190,44000000 ohm


152

=+===== ΩΩ

44000000,19023520000,150

22

22

2

2

2

2

jZ

Z

ZZ

ZZ

Z Tbb T

T

T

j 0,08000000 pu


=+

====08000000,0011

'1

'2

2 jZY

ZY

TT

-j 12,50000000 pu


=====230220

2

2

2

T

T

nomAT

tapATT

nomAT

tapAT

V

VA

V

VA 0,95652174

=====138138

2

2

2

T

T

nomBT

tapBTT

nomBT

tapBT

V

VB

V

VB 1,00000000

=====00000000,195652174,0

2

22

T

TT B

Aa

BA

a 0,95652174


=−====95652174,0

50000000,12''

2

22

jaY

YsaY

YsT

TT

-j 13,06818182 pu


=−×−=×−==×−= )50000000,12()95652174,0(

)95652174,01('

)1('

)1(22

22

2)(2)( 2

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TATAT T

=2)( TATYp -j 0,59400826 pu

=−×−=×−==×−= )50000000,12()95652174,0(

)195652174,0('

)1('

)1(2

2

2)()( 2

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TBTBT T

=2)( TBTYp +j 0,56818182 pu



153

=====150692

1

21

11

21

1

3

3

3

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 31,74000000 ohm


=×+=×==×= ΩΩ 15069

100100

%%2

131 33

jZZZZZZ



=====100

13636364,72 2

2

22

22

22

2

3

3

3

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 52,03654959 ohm


=+===== ΩΩ

03654959,5217400000,30

32

22

2

3

3

3

jZ

Z

ZZ

ZZ

Z Tbb T

T

T

j 0,06099559 pu


=+

====06099559,0011

'1

'3

3 jZY

ZY

TT

-j 16,39462810 pu


=====132138

3

33

T

T

nomAT

tapATT

nomAT

tapAT

V

VA

V

VA 0,95652174

=====6969

3

33

T

T

nomBT

tapBTT

nomBT

tapBT

V

VB

V

VB 1,00000000

=====00000000,195652174,0

3

33

T

TT B

Aa

BA

a 0,95652174


=−====95652174,0

39462810,16''

3

33

jaY

YsaY

YsT

TT

-j 17,13983847 pu

154


=−×−=×−==×−= )39462810,16()95652174,0(

)95652174,01('

)1('

)1(23

32

3)(2)( 3

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TATAT T

=3)( TATYp -j 0,77908357 pu

=−×−=×−==×−= )39462810,16()95652174,0(

)195652174,0('

)1('

)1(3

3

3)()( 3

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TBTBT T

=3)( TBTYp +j 0,74521037 pu



=====150

8,13 2

1

21

11

21

1

4

4

4

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 1,26960000 ohm


=×+=×==×= ΩΩ 1508,13

100100

%%2

141 44

jZZZZZZ



=====100

08305785,15 2

2

22

22

22

2

4

4

4

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 2,27498634 ohm


=+===== ΩΩ

27498634,212696000,00

42

22

2

4

4

4

jZ

Z

ZZ

ZZ

Z Tbb T

T

T

j 0,05580693 pu


=+

====05580693,0011

'1

'4

4 jZY

ZY

TT

-j 17,91892203 pu

155


=====6966

4

44

T

T

nomAT

tapATT

nomAT

tapAT

V

VA

V

VA 0,95652174

=====8,138,13

4

44

T

T

nomBT

tapBTT

nomBT

tapBT

V

VB

V

VB 1,00000000

=====00000000,195652174,0

4

44

T

TT B

Aa

BA

a 0,95652174


=−====95652174,0

91892203,17''

4

44

jaY

YsaY

YsT

TT

-j 18,73341849 pu


=−×−=×−==×−= )91892203,17()95652174,0(

)95652174,01('

)1('

)1(24

42

4)(2)( 4

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TATAT T

=4)( TATYp -j 0,85151902 pu

=−×−=×−==×−= )91892203,17()95652174,0(

)195652174,0('

)1('

)1(4

4

4)()( 4

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TBTBT T

=4)( TBTYp +j 0,81449646 pu



=====75

1382

1

21

11

21

1

5

5

5

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 253,92000000 ohm


=×+=×==×= ΩΩ 75138

100100

%%2

151 55

jZZZZZZ

TT bTbj 25,39200000 ohm

156


=====1001382

2

22

22

22

2

5

5

5

T

T

T

b

bb

b

bb S

EZ

SE

Z 190,44000000 ohm


=+===== ΩΩ

44000000,19039200000,250

52

22

2

5

5

5

jZ

Z

ZZ

ZZ

Z Tbb T

T

T

j 0,13333333 pu


=+

====13333333,0011

'1

'5

5 jZY

ZY

TT

-j 7,50000000 pu


=====230220

5

55

T

T

nomAT

tapATT

nomAT

tapAT

V

VA

V

VA 0,95652174

=====138138

5

55

T

T

nomBT

tapBTT

nomBT

tapBT

V

VB

V

VB 1,00000000

=====00000000,195652174,0

5

55

T

TT B

Aa

BA

a 0,95652174


=−====95652174,0

50000000,7''

5

55

jaY

YsaY

YsT

TT

-j 7,84090909 pu


=−×−=×−==×−= )50000000,7()95652174,0(

)95652174,01('

)1('

)1(25

52

5)(2)( 5

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TATAT T

=5)( TATYp -j 0,35640496 pu

157

=−×−=×−==×−= )50000000,7()95652174,0(

)195652174,0('

)1('

)1(5

5

5)()( 5

jYa

aYpY

aa

Yp TT

TBTBT T

=5)( TBTYp +j 0,34090909 pu

RESUMO DAS ADMITANCIAS em PU

QUADRO 03 – RESUMO DAS ADMITÂNCIAS EM PU

Equi.G1 0,00000000 -j 5,00000000 0,00000000 +j 0,00000000 0,00000000 +j 0,00000000G2 0,00000000 -j 12,50000000 0,00000000 +j 0,00000000 0,00000000 +j 0,00000000T1 0,00000000 -j 11,20129870 0,00000000 -j 0,50914994 0,00000000 +j 0,48701299T2 0,00000000 -j 13,06818182 0,00000000 -j 0,59400826 0,00000000 +j 0,56818182T3 0,00000000 -j 17,13983847 0,00000000 -j 0,77908357 0,00000000 +j 0,74521037T4 0,00000000 -j 18,73341849 0,00000000 -j 0,85151902 0,00000000 +j 0,81449646T5 0,00000000 -j 7,84090909 0,00000000 -j 0,35640496 0,00000000 +j 0,34090909LT 1 9,68000000 -j 29,04000000 0,00000000 +j 0,07500000 0,00000000 +j 0,07500000LT 2 1,97786350 -j 7,06379822 0,00000000 +j 0,07500000 0,00000000 +j 0,07500000LT 3 0,46295863 -j 1,48146760 0,00000000 +j 0,07500000 0,00000000 +j 0,07500000LT 4 9,68000000 -j 29,04000000 0,00000000 +j 0,07500000 0,00000000 +j 0,07500000LT 5 9,68000000 -j 29,04000000 0,00000000 +j 0,07500000 0,00000000 +j 0,07500000LT 6 1,97786350 -j 7,06379822 0,00000000 +j 0,07500000 0,00000000 +j 0,07500000

Ysérie Yparalelo 1 (AT) Yparalelo 2 (BT)

158

B2g1 t 1

B1

-j5 pu -j11,20129870 pu

j0,48701299 -j0,50914994

9,68-j29,04 pu

j0,075

l t 1

j0,075 j0,56818182

-j13,06818182 pu

-j0,59400826

t 2B3

1,97786350-j7,06379822 pu

l t 2B4

j0,075 j0,075 j0,85151902

-j18,73341849 pu

j0,74521037

-j17,13983847 pu

t 3

j0,075 j0,075

0,46295863-j1,4814676 pu

l t 3 t 4

j0,81449646-j0,77908357

B5 b6 b7 b8

-j12,5 pu

g2

9,68-j29,04 pu

j0,075j0,075

B10l t 5 t 5

B11B9

j0,075 j0,075

j0,075j0,075

9,68-j29,04 pu 1,97786350-j7,06379822 pu

l t 4 l t 6

-j7,84090909 pu

-j0,35640496 j0,34090909

DIAGRAMA PARA CÁLCULO DA MATRIZ ADMITÂNCIA

159

14.1.4 Matriz Admitância

Yii

.


Yij

.

= Soma de todas as admitâncias que ligam as barras i e j, com o sinal trocado.


Y j j j11 5 11 20129870 0 48701299.

, ,= − − +

Y11

.

= -j15,71428571 pu


Y j j j j j j22 0 50914994 11 20129870 9 68 29 04 0 075 9 68 29 04 0 075.

, , , , , , , ,= − − + − + + − +

Y22

.

= puj 64044864,6936000000,19 −


Y j j j j33 9 68 29 04 0 075 13 06818182 0 59400826.

, , , , ,= − + − −

Y33

.

= 9,68000000 -j 42,62719008 pu


Y j j j j44 13 06818182 0 56818182 1 97786350 7 06379822 0 075.

, , , , ,= − + + − +

Y44

.

= + 1,97786350 -j 19,48879822 pu


Y j j j j j j55 1 97786350 7 06379822 0 075 1 97786350 7 06379822 0 075 17 13983847 0 77908357.

, , , , , , , ,= − + + − + − −

Y55

.

= 3,95572700 -j 31,89651847 pu


Y j j j j66 17 13983847 0 74521037 0 46295863 1 48146760 0 075.

, , , , ,= − + + − + Y66

.

=0,46295863 -j 17,80109570 pu


160

Y j j j j77 0 46295863 1 48146760 0 075 18 73341849 0 85151902.

, , , , ,= − + − −

Y77

.

= 0,46295863 -j 20,99140512 pu


Y j j j88 18 73341849 0 81449646 12 5.

, , ,= − + −

Y88

.

= -j 30,41892203 pu


Y j j j j99 9 68 29 04 0 075 9 68 29 04 0 075.

, , , , , ,= − + + − +

Y99

.

= 19,36000000 -j 57,93000000 pu


Y j j j j1010 9 68 29 04 0 075 7 84090909 0 35640496.

, , , , ,= − + − −

Y1010

.9,68000000 -j 37,16231405 pu


Y j j j j1111 7 84090909 0 34090909 1 97786350 7 06379822 0 075.

, , , , ,= − + + − +

Y1111

.

= 1,97786350 -j 14,48879822 pu

Soma de todas as admitâncias que ligam as barras 1 e 2 ou 2 e 1, com o sinal trocado.

Y Y12 21

. .

= = +j 11,20129870 pu


Y Y13 31

. .

= = 0 pu


Y Y14 41

. .

= = 0 pu

161


Y Y15 51

. .

= = 0 pu


Y Y16 61

. .

= = 0 pu


Y Y17 71

. .

= = 0 pu


Y Y18 81

. .

= = 0 pu


Y Y19 91

. .

= = 0 pu


Y Y110 101

. .

= = 0 pu


Y Y111 111

. .

= = 0 pu


Y Y j23 32 9 68 29 04. .

( , , )= = − −

162

Y Y23 32

. .

= = - 9,68000000 +j 29,04000000 pu


Y Y24 42

. .

= = 0 pu


Y Y25 52

. .

= = 0 pu


Y Y26 62

. .

= = 0 pu


Y Y27 72

. .

= = 0 pu


Y Y28 82

. .

= = 0 pu


Y Y j29 92 9 68 29 04. .

( , , )= = − −

Y Y29 92

. .

= = - 9,68000000 +j 29,04000000 pu


Y Y210 102

. .

= = 0 pu

163


Y Y211 112

. .

= = 0 pu


Y Y j34 43 13 06818182. .

( , )= = − −

Y Y34 43

. .

= = + j 13,06818182 pu


Y Y35 53

. .

= = 0 pu


Y Y36 63

. .

= = 0 pu


Y Y37 73

. .

= = 0 pu


Y Y38 83

. .

= = 0 pu


Y Y39 93

. .

= = 0 pu


Y Y310 103

. .

= = 0 pu

164


Y Y311 113

. .

= = 0 pu


Y Y45 54

. .

= = - 1,97786350 +j 7,06379822 pu


Y Y46 64

. .

= = 0 pu


Y Y47 74

. .

= = 0 pu


Y Y48 84

. .

= = 0 pu


Y Y49 94

. .

= = 0 pu


Y Y410 104

. .

= = 0 pu


Y Y411 114

. .

= = 0 pu

165


Y Y56 65

. .

= = +j 17,13983847 pu


Y Y57 75

. .

= = 0 pu


Y Y58 85

. .

= = 0 pu


Y Y59 95

. .

= = 0 pu


Y Y510 105

. .

= = 0 pu


Y Y511 115

. .

= = - 1,97786350 +j 7,06379822 pu


Y Y67 76

. .

= = - 0,46295863 +j 1,48146760 pu


Y Y68 86

. .

= = 0 pu

166


Y Y69 96

. .

= = 0 pu


Y Y610 106

. .

= = 0 pu


Y Y611 116

. .

= = 0 pu


Y Y78 87

. .

= = +j 18,73341849 pu


Y Y79 97

. .

= = 0 pu


Y Y710 107

. .

= = 0 pu


Y Y711 117

. .

= = 0 pu


Y Y89 98

. .

= = 0 pu

167


Y Y810 108

. .

= = 0 pu


Y Y811 118

. .

= = 0 pu


Y Y910 109

. .

= = - 9,68000000 +j 29,04000000 pu


Y Y911 119

. .

= = 0 pu


Y Y1011 1110

. .

= = +j 7,84090909 pu

168

Através dos itens acima calculados conseguimos escrever a Matriz Admitância:

QUADRO 04– ESQUEMA DA MATRIZ ADMITÂNCIA

Y 11 Y 12 Y 13 Y 14 Y 15 Y 16 Y 17 Y 18 Y 19 Y 110 Y 111

Y 21 Y 22 Y 23 Y 24 Y 25 Y 26 Y 27 Y 28 Y 29 Y 210 Y 211

Y 31 Y 32 Y 33 Y 34 Y 35 Y 36 Y 37 Y 38 Y 39 Y 310 Y 311

Y 41 Y 42 Y 43 Y 44 Y 45 Y 46 Y 47 Y 48 Y 49 Y 410 Y 411

Y 51 Y 52 Y 53 Y 54 Y 55 Y 56 Y 57 Y 58 Y 59 Y 510 Y 511

Y 61 Y 62 Y 63 Y 64 Y 65 Y 66 Y 67 Y 68 Y 69 Y 610 Y 611

Y 71 Y 72 Y 73 Y 74 Y 75 Y 76 Y 77 Y 78 Y 79 Y 710 Y 711

Y 81 Y 82 Y 83 Y 84 Y 85 Y 86 Y 87 Y 88 Y 89 Y 810 Y 811

Y 91 Y 92 Y 93 Y 94 Y 95 Y 96 Y 97 Y 98 Y 99 Y 910 Y 911

Y 101 Y 102 Y 103 Y 104 Y 105 Y 106 Y 107 Y 108 Y 109 Y 1010 Y 1011

Y 111 Y 112 Y 113 Y 114 Y 115 Y 116 Y 117 Y 118 Y 119 Y 1011 Y 1111

169

MATRIZ Y

170

puE °∠== 09565217391,08,132,13.

01

pujjQjQPS

pujyEEyEEIES

jQjQPS

91142317,03,03,0

91142317,0

3,0

111

.01

*

12

.02

.0

110

.0

1

.01

.*1

.0

1

.01

111

.01

−=+=+=

−=

−+==

+=+=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

puE

jjj

E

°∠=

−°∠×−°∠÷−=

75289317,165247924,0

71428571,15012012987,11095652174,091142316,03,0

.11

*.11

pu1,752893170,95652174E.11 °∠=


=p número da barra.

=k número da iteração.

=n número de barras.

Primeira Iteração:

Barra 1:

• Barra de geração: +.

pS

• p=1 • k=1 • n=11

(Valor do ângulo foi arbitrado)

( )

−÷

=

≠=

−−

.

1

*11

.

pp

n

qpq

qpqkp

kp

k

p

Y

EYES

E

−

÷= .

11

.02

.

12

*.0

1

.01.

11

Y

EYESE

171

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )64044864,6936,19

0104,2968,90104,2968,975289317,195652174,02012987,11

0.12

.02

jjjj

E

puS

−°∠×+−+°∠×+−+°∠×−=

=

pu43541723,098989742,0E.12 °∠=

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°∠×−°∠÷+−=

48879822,199778635,101 06379822,79778635,1 41908058,098086972,0 06818182,13011,03,0 *.

14 j

jjjE

pu67726132,001388070,1E.14 °−∠=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )62719008,4268,9

0106818182,1343541723,098989742,004,2968,9

0.13

.03

jjj

E

puS

−°∠×+°∠×+−−=

=

pu41908058,098086972,0E.13 °∠=

Barra 2:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=2 • k=1 • n=11

Barra 3:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=3 • k=1 • n=11

Barra 4:

• Barra de carga: -.

pS

• p=4 • k=1 • n=11

Barra 5:

++−

÷= .

22

.0929

..0323

..1121

.*.

02

.02.

12

Y

EYEYEYESE

+−

÷= .

44

.05

.

45

.13

.

43

*.04

.04.

14

Y

EYEYESE

pujS

MVAMVAj

MVAjS

1,03,0

1001030

1030

.04

.04

+=

+=+=

+−

÷= .

33

.04

.

34

.12

.

32

*.03

.03.

13

Y

EYEYESE

172

pu01013827,098410043,0E.15 °∠=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°∠×+°−∠×+−−

=

=

89651847,31955727,30106379822,79778635,10113983847,1767726132,001388070,106379822,79778635,1

0.15

.05

jjjj

E

puS

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°∠×−°∠÷+−=

8010957,1746295863,0014814676,146295863,001013827,098410043,013983847,170108,02,0 *.

16 j

jjjE

pu65576356,002603513,1E.16 °−∠=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )99140512,2046295863,0

0173341849,1865576356,002603513,14814676,146296,0

0.17

.07

jjj

E

puS

−°∠×+°−∠×+−−=

=

pu03048061,096511090,0E.17 °∠=

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=5 • k=1 • n=11

Barra 6:


pS

• p=6 • k=1 • n=11

Barra 7:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=7 • k=1 • n=11

++−

÷= .

55

.011

.

511

.06

.

56

.14

.

54

*.05

.05.

15

Y

EYEYEYESE

+−

÷= .

66

.07

.

67

.15

.

65

*.06

.06.

16

Y

EYEYESE

pujS

MVAMVAj

MVAjS

08,02,0

100820

820

.06

.06

+=

+=+=

+−

÷= .

77

.08

.

78

.16

.

76

*.07

.07.

17

Y

EYEYESE

173

pu0,01E.18 °∠=

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°∠×+−−°∠÷+−

=93,5736,19

0104,2968,9 43541723,098989742,004,2968,90102,01,0 *.19 j

jjjE

pu°∠= 08893143,099642644,0E.19

Barra 8:


pS

• p=8 • k=1 • n=11

Barra 9:


pS

• p=9 • k=1 • n=11

Barra 10:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=10

−

÷= .

88

.17

.

87

*.08

.08.

18

Y

EYESE

pujS

pujyEEyEEIES

16090173,000961823,0

16090173,000961823,0

.08

*

87

.17

.0880

.08

.08

.*8

.08

.08

−−=

−−=

−+==

+−

÷= .

99

.0

10

.

910

.12

.

92

*.09

.09.

19

Y

EYEYESE

pujS

MVAMVAj

MVAjS

02,01,0

100210

210

.09

.09

+=

+=+=

174

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )16231405,3768,9

0184090909,708893143,099642644,004,2968,9

0.110

.010

jjj

E

puS

−°∠×+°∠×+−−=

=

pu16706111,098998747,0E.110 °∠=

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°∠×−°∠÷+−

=48879822,149778635,1

01013827,098410043,006379822,79778635,116706111,098998747,084090909,70115,05,0 *.111 j

jjjE

pu°−∠= 00854661,200098242,1E.111

pujjQjQPS

pujyEEyEEIES

jQjQPS

80037746,03,03,0

80037746,024385699,0

3,0

111

.11

*

12

.12

.1110

.11

.11

.*1

.11

.11

111

.11

−=+=+=

−=

−+==

+=+=

• k=1 • n=11

Barra 11:


pS

• p=11 • k=1 • n=11

Segunda Iteração:

Barra 1:


pS

• p=1 • k=2 • n=11

+−

÷= .

1010

.011

.

1011

.19

.

109

*.010

.0

10.110

Y

EYEYESE

pujS

MVAMVAj

MVAjS

15,05,0

1001550

1550

.0

11

.0

11

+=

+=+=

+−

÷= .

1111

.15

.

115

.110

.

1110

*.011

.0

11.111

Y

EYEYESE

−

÷

= .

11

.1212

.*.

11

.11.

21

Y

EYES

E

175

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

puE

jjj

E

°∠=

−°∠×−°∠÷−=

08103431,265218461,0

71428571,1543541723,098989742,02012987,1175289317,195652174,080037746,03,0

.2

1

*.2

1

pu,0810343120,95652174E.21 °∠=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )64044864,6436,19

08893143,099642644,004,2968,941908058,098086972,004,2968,9,0810343120,956521742012987,11

0.22

.12

jjjj

E

puS

−°∠×+−+°∠×+−+°∠×−

=

=

pu67501857,098033570,0E.22 °∠=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )62719008,4268,9

67726132,001388070,106818182,1367501857,098033570,004,2968,9

0.23

.13

jjj

E

puS

−°−∠×+°∠×+−−=

=

pu28800247,097712040,0E.23 °∠=

Barra 2:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=2 • k=2 • n=11

Barra 3:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=3 • k=2 • n=11

Barra 4:


pS

• p=4 • k=2

++−

÷

= .

22

.1929

..1323

..2

121

.*.

12

.12.

22

Y

EYEYEYES

E

+−

÷= .

44

.15

.

45

.23

.

43

*.14

.14.

24

Y

EYEYESE

+−

÷= .

33

.14

.

34

.22

.

32

*.13

.13.

23

Y

EYEYESE

176

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°∠×−°−∠÷+−=

48879822,199778635,101014,09841,0063798,797786,1288,097712,0068182,1367726,001388,11,03,0 *.

24 j

jjjE

pu79271947,000531660,1E.24 °−∠=

pu94152707,099661042,0E.25 °−∠=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°−∠×+−+°−∠×+°−∠×+−−

=

=

89651847,31955727,30085,2000982,10638,79779,16558,00260,11398,177927,00053,10638,79779,1

0.25

.15

jjjj

E

puS

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°−∠×−°−∠÷+−=

8010957,1746295863,00305,09651,04815,14629,09415,09966,01398,176558,0026,108,02,0 *.

26 j

jjjE

pu57415348,103491229,1E.26 °−∠=

• n=11

Barra 5:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=5 • k=2 • n=11

Barra 6:


pS

• p=6 • k=2 • n=11

pujS

MVAMVAj

MVAjS

1,03,0

1001030

1030

.14

.14

+=

+=+=

++−

÷= .

55

.111

.

511

.16

.

56

.24

.

54

*.15

.15.

25

Y

EYEYEYESE

+−

÷

= .

66

.17

.

67

.25

.

65

*.16

.16.

26

Y

EYEYES

E

pujS

MVAMVAj

MVAjS

08,02,0

100820

820

.16

.16

+=

+=+=

177

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )99140512,2046295863,0

00,173341849,1857415348,103491229,14814676,146296,0

0.27

.17

jjj

E

puS

−°∠×+°−∠×+−−=

=

pu02944873,096606032,0E.27 °−∠=

pu0,01E.28 °∠=

Barra 7:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=7 • k=2 • n=11

Barra 8:


pS

• p=8 • k=2 • n=11

Barra 9:


pS

• p=9 • k=2 • n=11

+−

÷

=.

77

.18

.

78

.26

.

76

*.17

.17.

27

Y

EYEYES

E

−

÷

= .

88

.27

.

87

*.18

.18.

28

Y

EYES

E

+−

÷

= .

99

.110

.

910

.22

.

92

*.19

.19.

29

Y

EYEYES

E

pujS

MVAMVAj

MVAjS

02,01,0

100210

210

.19

.19

+=

+=+=

pujS

pujyEEyEEIES

17868783,000930176,0

17868783,000930176,0

.18

*

87

.27

.1880

.18

.18

.*8

.18

.18

−=

−=

−+==

178

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°∠×+−−°∠÷+−=

93,5738,19 16706,098999,004,2968,9 67502,098034,004,2968,9 0889,099643,002,01,0 *.

29 j

jjjE

pu°∠= 29109189,098660815,0E.29

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )16231405,3768,9

00854661,200098242,184090909,729109189,098660815,004,2968,9

0.2

10

.110

jjj

E

puS

−°−∠×+°∠×+−−=

=

pu10706928,098024929,0E.210 °−∠=

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°−∠×+−+°−∠×−°−∠÷+−=

48879822,149778635,19415,09966,00638,79779,11071,09803,08409,7 0086,200098,115,05,0 *.

211 j

jjjE

pu°−∠= 49900168,200197792,1E.211

Barra 10:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=10 • k=2 • n=11

Barra 11:


pS

• p=11 • k=2 • n=11

Terceira Iteração:

Barra 1:

+−

÷

= .

1010

.111

.

1011

.29

.

109

*.110

.110.

210

Y

EYEYES

E

pujS

MVAMVAj

MVAjS

15,05,0

1001550

1550

.111

.111

+=

+=+=

+−

÷

= .

1111

.25

.

115

.2

10

.

1110

*.111

.111.

211

Y

EYEYES

E

−

÷

= .

11

.22

.

12

*.2

1

.21.

31

Y

EYES

E

179

pujjQjQPS

pujyEEyEEIES

jQjQPS

69757178,03,03,0

69757178,025772824,0

3,0

111

.2

1

12

.22

.2

110

.2

1

.2

1

.*1

.2

1

.2

1

111

.2

1

−=+=+=

−=

−+==

+=+=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

puE

jjj

E

°∠=

−°∠×−°∠÷−=

32810282,265217998,0

71428571,1567501857,09803357,02012987,1108103431,295652174,069757178,03,0

.31

*.31

pu,3281028220,95652174E.31 °∠=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )64044864,6936,19

29109,09866,004,2968,9288,09771,004,2968,9º328,29565,020129,11

0.32

.22

jjjj

E

puS

−°∠×+−+°∠×+−+∠×−=

=

pu72829546,09773055,0E.32 °∠=


pS

• p=1 • k=3 • n=11

Barra 2:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=2 • k=3 • n=11

Barra 3:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=3 • k=3 • n=11

++−

÷

= .

22

.2929

..2323

..3121

.*.

22

.22.

32

Y

EYEYEYES

E

+−

÷

= .

33

.24

.

34

.32

.

32

*.23

.23.

33

Y

EYEYES

E

180

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°∠×+−+°∠×−°−∠÷+−=

48879,1997786,19415,09966,00638,79779,13022,09705,0068,1379272,000532,11,03,0 *.

34 j

jjjE

pu06734584,100656590,1E.34 °−∠=

pu64500976,100119022,1E.35 °−∠=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )62719008,4268,9

79272,000532,10682,13728295,097473,004,2968,9

0.33

.23

jjj

E

puS

−°−∠×+°∠×+−−=

=

pu30215985,097051856,0E.33 °∠=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°−∠×+−+−∠×+°−∠×+−−=

=

89651,3195572,3499,200198,1064,797786,1)57415,103491,1()13983,17(06734,100657,106379,79778,1

03

5

.

2

5

.

jjjj

E

puS

Barra 4:


pS

• p=4 • k=3 • n=11

Barra 5:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=5 • k=3 • n=11

Barra 6:


pS

• p=6 • k=3 • n=11

+−

÷

= .

44

.25

.

45

.33

.

43

*.24

.24.

34

Y

EYEYES

E

pujS

MVAMVAj

MVAjS

1,03,0

1001030

1030

.24

.24

+=

+=+=

++−

÷

= .

55

.211

.

511

.26

.

56

.34

.

54

*.25

.25.

35

Y

EYEYEYES

E

+−

÷

= .

66

.27

.

67

.35

.

65

*.26

.26.

36

Y

EYEYES

E

181

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°−∠×+−+°−∠×−°−∠÷+−=

8010957,1746295863,002945,096606,048146,146295,064500,100119,113983,1757415,103491,108,02,0 *.

36 j

jjjE

pu22416524,203910838,1E.36 °−∠=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )99140512,2046295863,0

00,173341849,1822416524,203910838,14814676,146296,0

0.37

.27

jjj

E

puS

−°∠×+°−∠×+−−=

=

pu07490399,096657495,0E.37 °−∠=

pu0,01E.38 °∠=

Barra 7:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=7 • k=3 • n=11

Barra 8:


pS

• p=8 • k=3 • n=11

pujS

MVAMVAj

MVAjS

08,02,0

100820

820

.26

.26

+=

+=+=

+−

÷

= .

77

.28

.

78

.36

.

76

*.27

.27.

37

Y

EYEYES

E

−

÷

=.

88

.37

.

87

*.28

.28.

38

Y

EYES

E

pujS

pujyEEyEEIES

18831544,002367199,0

18831544,002367199,0

.28

*

87

.37

.2880

.28

.28

.*8

.28

.28

−=

−=

−+==

182

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°−∠×+−+°∠×+−−°∠÷+−=

93,5738,191071,09802,004,2968,97283,09747,004,2968,92911,09866,002,01,0 *.

39 j

jjjE

pu°∠= 17895320,097890196,0E.39

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )16231405,3768,9

49900168,200197792,184090909,71789532,097890196,004,2968,9

0.310

.2

10

jjj

E

puS

−°−∠×+°∠×+−−=

=

pu32539934,097393199,0E.310 °−∠=

Barra 9:


pS

• p=9 • k=3 • n=11

Barra 10:

• Outra Barra: .

pS = 0

• p=10 • k=3 • n=11

Barra 11:


pS

• p=11 • k=3 • n=11

+−

÷

= .

99

.2

10

.

910

.32

.

92

*.29

.29.

39

Y

EYEYES

E

pujS

MVAMVAj

MVAjS

02,01,0

100210

210

.29

.29

+=

+=+=

+−

÷

= .

1010

.2

11

.

1011

.39

.

109

*.2

10

.2

10.310

Y

EYEYES

E

pujS

MVAMVAj

MVAjS

15,05,0

1001550

1550

.2

11

.2

11

+=

+=+=

+−

÷

=.

1111

.35

.

115

.310

.

1110

*.2

11

.2

11.311

Y

EYEYES

E

183

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

−°−∠×+−+°−∠×−°−∠÷+−=

48879822,149778635,1645,10012,10638,79779,13254,09739,0841,7499,2002,115,05,0 *.

311 j

jjjE

pu°−∠= 91201408,200141636,1E.311

184

15 ANEXO III – APRESENTAÇÃO DOS CÁLCULOS DO PROTÓTIPO

Desenvolvimento Matemático para circuito simplificado.

Cálculo do Circuito Pelo Método de Gauss-Seidel

15.1 Cálculo das Bobinas utilizadas

Cálculo do indutor (em ohm) da Linha de Transmissão 1




X fL HLT12 2 60 88 7 0 03343911= = × × =π π µ, , Ω

X fL HLT22 2 60 8 5 0 00320442= = × × =π π µ, , Ω

X fL HLT32 2 60 87 4 0 03294902= = × × =π π µ, , Ω

X fL HLT42 2 60 9 3 0 00350602= = × × =π π µ, , Ω

185

Z=1,77+j0,03294902Ω

l t 3

8 /127V

B3

g2

Z=1,59+j0,00320442Ω

Z=1,77+j0,03343911Ω

l t 4l t 2

l t 1

8 /127V

g1

B1

40VA

B4

Z=1,59+j0,00350602Ω

40VA

B2

15.2 Esquemático x Protótipo

ESQUEMA DE MONTAGEM EM BARRAS

PROTÓTIPO MONTADO NO PAINEL

186

15.3 Cálculos

15.3.1 Cálculo das Tensões de Base





15.3.2 Calculo das Impedâncias de Base





E Vb1 127=

E E Vb b2 1 127= =

E Vb3 127=

E E Vb b4 3 127= =

Ω=

=

= 225,403

40127 22

11 Sb

EZ b

b

Ω=

=

= 225,403

40127 22

22 Sb

EZ b

b

Ω=

=

= 225,403

40127 22

33 Sb

EZ b

b

187

15.3.3 Conversão do Circuito para PU

Tendo os dados referentes às Bases de Tensão e Impedância por

barramento, seguimos com a transformação do circuito para o sistema por unidade

(PU). Desprezamos as admitâncias dos geradores.

De acordo com a montagem do protótipo, a linhas representadas são

linhas curtas, onde a susceptância capacitiva total é tão pequena que pode ser

omitida, considerando-se somente a impedância série concentrada.

Conversão do Linha de Transmissão 1

Impedância em PU

Admitância em PU

Conversão da Linha de Transmissão 2

Impedância em PU

Admitância em PU

Ω=

=

= 225,403

40127 22

44 Sb

EZ b

b

ZsZs

ZZs

Zs

Zj

J puLTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

= +Ω Ω1

1

12

1 77 0 03343911403 225

0 00438961 0 00008293, ,

,, ,

YsZs j

j puLLT

11

1 10 00438961 0 00008293

227 72945476 4 30229960= =+

= −, ,

, ,

ZsZs

ZZs

Zs

Zj

J puLTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

= +Ω Ω2

2

12

159 0 00320442403 225

0 00394321 0 00000795, ,

,, ,

YsZs j

j puLLT

22

1 10 00394321 0 00000795

253 59959889 0 51109410= =+

= −, ,

, ,

188

Conversão da Linha de Transmissão 3

Impedância em PU

Admitância em PU

Conversão do Linha de Transmissão 4

Impedância em PU

Admitância em PU

ZsZs

ZZs

Zs

Zj

J puLTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

= +Ω Ω3

3

34

1 77 0 03294902403 225

0 00438961 0 00008171, ,

,, ,

YsZs j

j puLLT

33

1 10 00438961 0 00008171

227 73181899 4 23928828= =+

= −, ,

, ,

ZsZs

ZZs

Zs

Zj

J puLTb

LTb

LT

LT

LT= = = =+

= +Ω Ω4

4 159 0 00350602403 225

0 00394321 0 00000869, ,

,, ,

YsZs j

j puLLT

44

1 10 00394321 0 00000869

253 59939588 0 55919783= =+

= −, ,

, ,

189

Matriz Admitância

FIG. 44 - DIAGRAMA PARA CÁLCULO DA MATRIZ ADMITÂNCIA

Yii

.


Yij

.

= Soma de todas as admitâncias que ligam as barras i e j, com o sinal trocado.


Y Y Y

Y j j

11 12 13

11 227 72945476 4 30229960 253 59959889 0 51109410

. . .

.

, , , ,

= +

= − + −

Y j pu11 481 32905366 4 81339370.

, ,= −


Y Y Y

Y j j

22 12 24

22 227 72945476 4 30229960 253 59939588 0 55919783

. . .

.

, , , ,

= +

= − + −

Y j pu22 481 32885064 4 86149743.

, ,= −


227,73181899 -j4,23928828 pu

227,72945476 -j4,30229960 pu

l t 2253,59959889 -j0,51109410 pu

B3

B1

253,59939588 -j0,55919783 pu

l t 3

l t4

B4

B2

l t1

Y Y Y

Y j j

. . .

.

, , , ,

33 13 34

33 253 59959889 0 51109410 227 73181899 4 23928828

= +

= + − + −

190



Y Y j pu24 42 253 59939588 0 55919783. .

, ,= = − +


Y Y j pu34 43 227 73181899 4 23928828. .

, ,= = − +

VALORES DA MATRIZ ADMITÂNCIA CALCULADA

Y 1 2 3 4

1 481,32905366 -j4,81339370 -227,72945476 +j4,30229960 -253,59959889 +j0,51109410 0

2 -227,72945476 +j4,30229960 481,32885064 -j4,86149743 0 -253,59939588 +j0,55919783

3 -253,59959889 +j0,51109410 0 481,33141788 -j4,75038239 -227,73181899 +j4,23928828

4 0 -253,59939588 +j0,55919783 -227,73181899 +j4,23928828 481,33121486 -j4,79848611

Y pu.

, ,33 481 33141788 4 75038239= −

Y Y Y

Y j j

. . .

.

, , , ,

44 24 34

44 253 59939588 0 55919783 227 73181899 4 23928828

= +

= − + −

Y pu.

, ,44 481 33121486 4 79848911= −

Y 11 Y 12 Y 13 Y 14

Y 21 Y 22 Y 23 Y 24

Y 31 Y 32 Y 33 Y 34

Y 41 Y 42 Y 43 Y 44

191

16 ANEXO IV – MANUAL DO SOFTWARE DESENVOLVIDO SFP

192

i CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. ii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 1, PAG 1 iii PASINI, JOSÉ C. L. IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA EM

REGIME PEMANENTE USANDO INTERFACE GRÁFICA INTERATIVA, 1998, PAG. 12 iv CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 1, PAG. 2 v PASINI, JOSÉ C. L. IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA EM

REGIME PEMANENTE USANDO INTERFACE GRÁFICA INTERATIVA, 1998, PAG. 14 vi PASINI, JOSÉ C. L. IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA EM

REGIME PEMANENTE USANDO INTERFACE GRÁFICA INTERATIVA, 1998, PAG. 20 vii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 17 viii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 18 ix CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 6, PAG. 101 x BARTHOLD, L. O., ANÁLISE DE CIRCUITOS DE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA, 1983,

PAG. 23 xi BARTHOLD, L. O., ANÁLISE DE CIRCUITOS DE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA, 1983,

PAG. 24

xii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 54 xiii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 4 xiv CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 2, PAG. 4 xv CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 7, PAG. 2 xvi CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 3, PAG. 1 xvii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 3, PAG. 5 xviii CASTRO JR, CARLOS A., CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA. CAP 4, PAG. 8 xix ELGERD, OLLE INGEMAR, INTRODUÇÃO À TEORIA DE SISTEMAS DE ENERGIA

ELÉTRICA, 1977, PAG. 32

monografia simulador fluxo potencia 2002

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