apostila fluxo de potencia cap06
DESCRIPTION
fluxo potenciaTRANSCRIPT
-
6. Mtodo Newton-Raphson
A soluo do problema de fluxo de potncia consiste basicamente na determinao das tenses (mdulo e fase) nas diversas barras do sistema, seguido do clculo das potncias geradas nas unidades geradoras, e dos fluxos de potncia nas linhas e transformadores. O mtodo de Newton-Raphson um mtodo eficiente na soluo deste tipo de problema conforme ser apresentado a seguir.
6.1 Introduo Na formulao do problema do fluxo de potncia considera-se as equaes
bsicas do fluxo de potncia desdobradas na forma de duas equaes reais. Conforme visto no capitulo trs, as barras do sistema foram classificadas em trs categorias: barras de carga, de gerao e de referncia. Nas barras de carga so conhecidas as potncias ativa e reativa, as magnitudes e os ngulos de fase das tenses so as variveis a serem determinadas. Nas barras de gerao so especificadas as magnitudes das tenses e as potncias ativa das unidades geradoras, as variveis a serem determinadas so os ngulos de fase das tenses e as potncias reativa geradas nas unidades. Na barra de referncia especifica-se a magnitude e o ngulo de fase da tenso, geralmente igual a zero, e calcula-se as potncias ativa e reativa geradas.
As equaes no lineares associadas ao problema de fluxo de potncia so equaes envolvendo as funes seno e cosseno, alm da funo quadrtica. Para se ter uma ideia, vamos obter as equaes do sistema de duas barras mostrado na figura a seguir. Considere a barra dois (2) uma barra de carga e a barra um (1) deve assumir a barra de referncia.
Figura 6.1 A linha de transmisso possui impedncia srie zsrie = 0.2 + j1.0 (pu) e
admitncia shunt de yshunt = j0.02 (pu). Admitindo-se conhecida a carga na barra dois, onde P2 = 0,3 pu e Q2 = 0,07 pu, e especificando-se a tenso na barra de referncia em
-
V1 = 1,0 pu, e a fase 1 = 0,0. As variveis do problema so a magnitude e o ngulo da tenso na barra 2 (V2,2), e as equaes do fluxo de potncia sero descritas por:
0,1923(V2)2 0,1923V2cos(2) + 0,9615V2sen(2) + 0,30 = 0
0,9415 (V2)2 0,1923V2sen(2) 0,9615 V2cos(2) + 0,07 = 0
Portanto, o problema do fluxo de potncia se resume na soluo dessas equaes
para V2 e 2, seguido do clculo das potncias ativa e reativa na barra de referncia.
6.2 Soluo de equaes algbricas no lineares via Newton-Raphson
Considere um sistema de duas equaes algbricas no lineares a duas incgnitas:
f1 ( x1, x2) = 0 (6.1a) f2 ( x1, x2) = 0 (6.1b)
onde f1 e f2 representam as funes no lineares, e x1 , x2 as variveis. Fazendo k = 0, e tomando-se,
( x1(k), x2(k) )
como uma estimativa inicial para soluo das equaes no lineares (6.1a) e (6.1b). Define-se as correes ( x1(k), x2(k) ) necessrias para que a soluo estimada
(x1(k), x2(k) ) resolva o sistema de equaes (6.1). Assim, substituindo-se a soluo corrigida, obtm-se:
f1 ( x1(k) + x1(k), x2(k) + x2(k) ) = 0 f2 ( x1(k) + x1(k), x2(k) + x2(k) ) = 0
Expandindo essas equaes numa srie de Taylor, em torno da soluo estimada obtm-se:
f1( x1(k), x2(k)) + x1(k) f1/x1k + x2(k) f1/x2k 0 f2( x1(k), x2 (k)) + x1(k) f2/x1k + x2(k) f2/x2k 0
-
Essas equaes podem ser reescritas em forma matricial, isto ,
=
+
00
*),(),(
2
1
2212
2111
212
211k
k
kk
kk
x
x
xfxfxfxf
xxfxxf
(6.2)
onde a matriz de derivadas parciais chamada de matriz Jacobiana das funes f1 e f2 . O mtodo de Newton-Raphson consiste de um procedimento iterativo no qual, a
partir de uma soluo estimada x(k), obtm-se uma soluo mais precisa x(k+1) por:
x1(k+1)
= x1(k)
+ x1(k)
x2(k+1)
= x2(k)
+ x2(k)
onde x1(k), x2(k) so calculados resolvendo-se o sistema de equaes lineares (6.2), reescrito como:
=
),(),(
*
212
211
2
1
2212
2111kk
kk
k
k
xxfxxf
x
x
xfxfxfxf
(6.3)
O processo iterativo se repete at que algum critrio de convergncia seja atingido. Geralmente considera-se a norma do resduo, isto , do valor da funo calculada na soluo corrente, como critrio de parada.
Exerccio 6.1: Resolver, com auxlio do Matlab ou do Scilab, as equaes no lineares a
seguir, para as variveis V2 e 2, f1(V2, 2) = 0,1923(V2)2 0,1923V2cos(2) + 0,9615V2sen(2) + 0,30 f2(V2, 2) = 0,9415 (V2)2 0,1923V2sen(2) 0,9615 V2cos(2) + 0,07
usando o mtodo de Newton-Raphson. Considere uma tolerncia igual a 0.01.
Inicialize V2 com 1.0 pu e 2 com 0.0 rad. Algoritmo:
1 passo: Calcule as funes: f1(V2, 2) e f2(V2, 2) 2 passo: Teste a convergncia:
Se f1(V2, 2) e f2(V2, 2) tolerncia, fim do processo iterativo. Se no:
3 passo: Calcule o Jacobiano de f1 e f2
-
4 passo: Monte e resolva o sistema linear para ( V2(k), 2(k) ) 5 passo: Atualize as variveis (V2, 2) e retorne ao primeiro passo.
Os resultados esto resumidos na tabela a seguir:
iterao V2(pu) 2(rad) f1 f2 1 1.000 0.000 0.300 0.050 2 0.8854 -0.2891 0.0449 0.0406 3 0.7982 -0.3609 0.0079 0.0060
6.3 Extenso do Mtodo de Newton-Raphson para Problemas de Grande Porte
Considere as n equaes algbricas no lineares, com n variveis, organizadas num vetor de funes F(x) escrito como:
F(x) = f1(x1, x2, ... , xn), f2(x1, x2, ... , xn), ... , fn(x1, x2, ... , xn) t onde fi so funes no lineares e xi as variveis.
Admitindo x(k) = ( x1(k), x2(k), ... , xn(k) ) uma estimativa para soluo de F(x) = 0, e definindo-se x(k) = (x1(k), x2(k), ... , xn(k)) como seno um vetor de correes necessrias para que a soluo estimada resolva o problema. Assim, o problema pode ser reescrito como:
F( x(k) + x(k) ) = 0
Uma aproximao da soluo pode ser obtida fazendo-se a expanso do vetor de funes, numa srie de Taylor, em torno da soluo corrente, isto ,
F( x(k) ) + J(x)(k) x(k) 0
onde J(x)(k) = F(x)/xk a matriz Jacobiana de F(x) cuja estrutura mostrada a seguir:
( )
=
nnnn
n
n
k
xfxfxf
xfxfxfxfxfxf
...
:::
...
...
21
22212
12111
xJ
-
O valor atual da soluo corrente, isto x(k+1), obtida por:
x(k+1) = x(k) + x(k)
onde x(k) calculado resolvendo-se o sistema linear a seguir:
x(k) = - F(x)(k) [J(x)(k)]-1
O algoritmo a seguir resume, passo a passo, o mtodo de Newton-Raphson para soluo de um sistema de equaes no lineares do tipo F(x) = 0. Faa: k = 0 ; Estimar uma soluo inicial: x(k) = ( x1(k), x2(k), ... , xn(k) )
Enquanto a convergncia no for atingida Calcule F(x)(k)
Teste de convergncia: Se | F(x)(k) | menor que uma tolerncia especificada: O processo convergiu com soluo x(k)
Fim se.
Calcule a matriz jacobiana J(x)(k)
Resolva o sistema linear para (x)(k)
J(x)(k) x(k) = - F(x)(k)
Atualize a soluo corrente:
x(k+1) = x(k) + x(k)
Faa k = k + 1 ; Fim enquanto
6.4 Soluo do fluxo de potncia via Newton-Raphson
Considera as equaes bsicas do fluxo de carga conforme a seguir:
j
N
jijiii VYVjQPS i
=
==
1
**
(6.4)
Onde ijY so os elementos da matriz admitncias de barra. Esses elementos
podem ser expressos na forma retangular como:
-
( )( )ijijijijn
jjii
ijijijij
n
jjii
BGVVQ
BGVVP
cossen
sencos
1
1
=
+=
=
=
ijijijijij jBGYY +== || (6.5) onde G uma matriz de condutncias, e B uma matriz de susceptncias.
A equao (6.4) pode assumir duas componentes reais: uma expressa a potncia ativa, isto a parte real, e a outra expressa a potncia reativa ou parte imaginria da equao. Com esta separao, obtm-se duas equaes reais para cada uma das barras do sistema, conforma a seguir:
( )( )ijijijijn
jjii
ijijijij
n
jjii
BsenGVVQ
senBGVVP
cos
cos
1
1
=
+=
=
=
onde ij refere-se a diferena angular entre barras adjacentes, isto , ( i - j ). Generalizando para um sistema com N barras, e considerando que so definidas
duas equaes para cada barra, teremos que resolver 2N equaes reais e no lineares. Essas equaes so chamadas de equaes fluxo de potncia.
Deve ser observado que para cada barra foram definidas quatro variveis, entretanto s foram definidas duas equaes. Para viabilizar a resoluo do sistema de 2N equaes contendo 4N variveis, ser necessria a especificao de duas das quatro variveis, ficando as outras duas restantes a serem determinadas. Esse o clssico
problema de fluxo de potncia. A utilizao do mtodo de Newton-Raphson requer as equaes do fluxo de
potncia expressas na forma de duas equaes reais, definidas para cada barra, uma para potncia ativa outra para reativa, isto ,
(6.6a)
(6.6b)
onde n o nmero de barras do sistema. Considerando npq e npv o nmero de barras de carga e de gerao
respectivamente, e adicionando-se uma barra de referncia, o nmero de equaes ser: N = npq + npv + 1
-
A soluo das N equaes pode ser obtida em duas etapas distintas: 1) Calcula-se a magnitude e o ngulo da tenso em todas as barras PQ juntamente com o ngulo de tenso nas barras PV. Neste subproblema resolve-se um sistema com (2*npq) + npv equaes no lineares, com o mesmo nmero de variveis. 2) Aps a resoluo do subproblema formulado na primeira etapa, as variveis magnitude e o ngulo da tenso so conhecidas em todas as barras do sistema. Calcula-se ento a potncia ativa e reativa geradas na barra de referncia, assim com a potncia reativa em todas as barras de gerao.
As variveis do problema descrito na primeira etapa podem ser agrupadas num vetor de variveis dado por:
=
V
x
onde o subvetor formado pelos ngulos de fase possui dimenso (npq + npv), e o subvetor de mdulo da tenso V possui dimenso (npq). As equaes das potncias ativa e reativa podem ser reescritas como:
P = P
esp P (V, ) (para barras PV e PQ)
Q = Q
esp Q(V, ) (para barras PQ)
onde P esp o vetor de injees de potncia ativa especificado nas barras PQ e PV ,e Q esp
o vetor de injeo de potncia reativa especificado nas barras PQ. As quantidades P(V,) e Q(V,) so calculadas a partir das equaes bsicas do fluxo de potncia.
A matriz Jacobiana possui dimenso (2npq + npv , 2npq + npv), e expressa como:
=
VQQ
VPP
J
-
Considerando-se as expresses de P e Q com P
esp e Q
esp constantes a matriz
assume a expresso:
=
VQQVPP
J (6.7)
As submatrizes que compem a matriz Jacobiana J so normalmente representadas pelas letras H, N, M e L onde
H = P/, N = Q/ , M = P/V e L = Q/V
Exerccio 6.2: Considere o sistema de cinco barras mostrado no diagrama unifilar da figura 6.2.
Figura 6.2: Diagrama unifilar do sistema de cinco barras.
a) Classifique as barras e identifique as variveis dependentes, independentes e parmetros.
b) Identifique os elementos do vetor resduo, da matriz jacobina e do vetor de correes definidos na formulao do fluxo de potencia via Newton-Raphson ;
c) Monte o sistema linear resultante da aplicao do mtodo de Newton, apresente a dimenso das matrizes.
-
6.5 Elementos da Matriz Jacobiana As expresses para os elementos das submatrizes H, N, M e L, com a tenso
representada na forma polar, so dadas por:
H(i,j) = ViVj ( G(i,j) cos(i,j) B(i,j) sen(i,j) ) (6.8a) H(i,i) = Qi Vi2 B(i,i) (6.8b) N(i,j) = Vj ( G(i,j) cos(i,j) + B(i,j) sen(i,j) ) (6.8c) N(i,i) = Vi-1 ( Pi Vi2 G(i,i) ) (6.8d) M(i,j) = ViVj ( G(i,j) cos(i,j) + B(i,j) sen(i,j) ) (6.8e) M(i,i) = Pi Vi2 G(i,i) (6.8f) L(i,j) = Vj ( G(i,j) sen(i,j) B(i,j) cos(i,j) ) (6.8g) L(i,i) = Vi-1 ( Qi Vi2 B(i,i) ) (6.8h)
Exerccio 6.3: Considerar o sistema de trs barras e trs linhas cujos dados em p.u., esto tabelados a seguir.
Dados de barra Barra Tipo Tenso Gerao (pu) Carga (pu)
(pu) P Q P Q 1 V 1+j0 - ---- - - 2 PV 0.99 0.05 - - - 3 PQ - - - 0.22 0.06
a) Montar a matriz de admitncia de barra Ybarra; b) Estime valores iniciais para tenso; c) Calcule, para a primeira iterao, o vetor resduo, os elementos da matriz Jacobiana; d) Realize o calculo da primeira iterao do mtodo de Newton.
-
6.6 Algoritmo para o mtodo de Newton Apresenta-se a seguir o algoritmo para desenvolvimento de um programa de
computador para o clculo de fluxo de potncia pelo mtodo de Newton.
Leitura dos dados do sistema; Montagem da Matriz Ybarra; Estimar uma soluo inicial : Vi(0), (para as barras PQ )
i(0) , (para as barras PQ e PV) k = 0;
Enquanto a convergncia no for atingida Calcule:
P = P
esp P (V, ) (para barras PV e PQ)
Q = Q
esp Q(V, ) (para barras PQ)
Teste de convergncia:
Se | P e Q | menor que uma tolerncia especificada: O processo convergiu
Fim se.
Calcule a matriz jacobiana
=
VQQVPP
J
Resolva o sistema linear para e V
=
V
QP
VQQVPP
Atualize a soluo corrente:
= + V = V + V
-
Faa k = k + 1 ; Fim enquanto
Calcule:
( )( ) )(cos
)(cos
1
1
PVePQbarrasparaBsenGVVQ
PQbarrasparasenBGVVP
ijijijij
n
jjii
ijijijij
n
jjii
=
+=
=
=
Calcule os fluxos nas linhas:
Exerccio 6.4: Com base no conhecimento adquirido at o momento, voc incentivando a desenvolver um programa Matlab/Scilab para implementar o algoritmo de clculo do fluxo de potncia. Teste seu programa no sistema de seis barras cujos dados so apresentados a seguir.
Figura 6.4: Diagrama unifilar do sistema de seis barras
-
Dados de barra nmero
da barra
nome da
barra
tenso (pu)
ngulo (rad)
potncia ativa
gerada
potncia reativa gerada
potncia ativa
demandada
potncia reativa
demandada 1 barra-1 1.06 0.00 2 barra-2 1.06 0.00 80.0 3 barra-3 1.00 0.00 55.0 13.0 4 barra-4 1.00 0.00 00.0 00.0 5 barra-5 1.00 0.00 30.0 18.0 6 barra-6 1.00 0.00 50.0 5.0
Dados da rede eltrica Barra
origem Barra
destino Resistncia
(%) Reatncia
(%) 1 4 8.00 37.00 1 6 12.30 51.80 2 3 72.30 105.00 2 5 28.20 64.00 3 4 0.00 13.30 4 6 9.70 40.70 5 6 0.00 30.00