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Simulação Numérica de Fluxo de Gás Utilizando os Modelos de
Forchheimer Quadrático e Cúbico
Chafic C. C. da Cruz, Adolfo P. Pires
Laboratório de Engenharia e Exploração de Petróleo, CCT, UENF,
27925-310, Macaé, RJ
E-mail: [email protected], [email protected]
Palavras-chave: Reservatório de Gás, Efeitos Não-Darcy, Simulação Numérica de
Reservatórios, Equação de Forchheimer
Resumo: Quando o fluxo de um fluido através de um meio poroso ocorre a altas velocidades, a
queda de pressão é maior do que a prevista pela lei de Darcy, pois, além de forças viscosas,
existe outra componente devido aos efeitos inercial e/ou turbulento. Este comportamento ocorre
com maior freqüência no fluxo de gás em reservatórios naturalmente fraturados (NFRs). Neste
caso, a equação de Forchheimer, que contempla os efeitos inerciais e turbulentos através de
termos não-lineares adicionais à lei de Darcy, surge como alternativa. Dentro desse contexto, o
objetivo deste trabalho é analisar, com o auxílio de um simulador numérico, o fluxo de gás em
meios porosos naturalmente fraturados, usando a equação de Forchheimer em suas versões
quadrática e cúbica.
1 Introdução
O gás natural tem aumentado sua participação no mercado de energia especialmente por se
tratar de uma fonte menos poluente que o petróleo. Nesse cenário, a indústria de petróleo e gás
tem investido em tecnologias melhores e mais eficientes a fim de produzir maior quantidade de gás com menor custo.
Os reservatórios naturalmente fraturados, portadores de boa parte das reservas de gás
natural, são constituídos por dois meios com propriedades distintas. O primeiro é a matriz, a qual apresenta baixa condutividade e alta estocagem. O segundo meio, com alta condutividade e
baixa estocagem, é denominado fratura.
Efeitos não-Darcy são significativos quando há alta velocidade de escoamento. Neste
caso, o fluxo deixa de ser laminar e passa a ser turbulento. Surge, então, a necessidade de uma modelagem adequada desse comportamento.
Este trabalho tem por objetivo estudar o escoamento de gases reais em meios porosos
naturalmente fraturados, com incorporação de efeitos não-Darcy através da utilização da equação de Forchheimer. A importância prática deste problema está na determinação do perfil
de queda de pressão no poço, o que auxilia na escolha de estratégias de explotação dos
hidrocarbonetos.
2 Metodologia Na engenharia química e de petróleo, a equação de Forchheimer é a base para as investigações
de fluxo não-Darcy. Este modelo adiciona termos que levam em consideração a queda extra de
pressão devido a efeitos inerciais e/ou turbulentos no caso de fluxo com grande velocidade. A formulação mais comum da equação de Forchheimer é dada por:
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Este trabalho também analisa a formulação cúbica:
onde
O primeiro coeficiente de fluxo não-Darcy β apresenta dimensão do inverso de
comprimento. Dentre as diversas relações existentes na literatura, a de JONES (1987) foi escolhida para este trabalho.
Já o segundo coeficiente γ apresenta dimensão do inverso de viscosidade, sendo
utilizada a relação de BUELL (1985).
É possível escrever as equações de Forchheimer na forma da lei de Darcy modificada:
onde
A formulação da equação da difusividade hidráulica faz uso de três equações principais:
balanço de massa, equação de estado para gases reais e a de Forchheimer. Foi considerado fluxo linear e horizontal sem efeitos gravitacionais. Além disso, são utilizadas as seguintes hipóteses:
espessura da formação constante;
rocha com compressibilidade pequena e constante;
porosidade constante;
ausência de reações químicas;
ausência de estocagem e fluxo monofásico isotérmico;
fluido newtoniano.
Com essas hipóteses, a equação do balanço de massa é dada por:
A lei de Darcy modificada e a expressão para a massa específica, obtida através da
equação de estado dos gases reais também são utilizados nessa formulação:
Substituindo a lei de Darcy modificada e a expressão de massa específica na equação do
balanço de massa, tem-se como resultado a equação da difusividade hidráulica:
que pode ser discretizada da seguinte forma:
Os parâmetros da equação acima são atualizados em todos os blocos a cada passo de tempo. Foram adotadas as correlações de DRANCHUK e ABOU-KASSEM (1975) e a de LEE
et al. (1966) para cálculo do fator de desvio do gás real e da viscosidade, respectivamente.
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Um simulador unidimensional em coordenadas cartesianas foi construído para a
avaliação dos efeitos das duas formas da equação de Forchheimer em experimentos numéricos
de produção do reservatório. Esse simulador foi baseado no Método das Diferenças Finitas aliado a uma formulação implícita.
3 Resultados
Com o objetivo de comparar o comportamento da pressão num poço de petróleo com o tempo
utilizando o modelo de Forchheimer, foram adotados os parâmetros de reservatório e de gás da Tabela 1.
Pressão Inicial Largura Espessura Massa Molecular Temperatura
4000 psi 1312 ft 164 ft 20 g/mol 708.75 ºR
Tabela 1: Parâmetros de reservatório e de gás
O seguinte par de parâmetros foi escolhido como exemplo ilustrativo: permeabilidade
de 100 mD, porosidade de 0.25. A Tabela 2 apresenta o comportamento do desvio em relação à
lei de Darcy para as equações de Forchheimer quadrática e cúbica com a variação da vazão.
3.5 MMft
3std/dia 10.6 MMft
3std/dia 24.7 MMft
3std/dia
Darcy
Forchheimer Quadrática
Forchheimer Cúbica
1.0
0.999892
0.996903
1.0
0.9997
0.9734
1.0
0.9992
0.8713
Tabela 2: Comparação do desvio entre as duas formulações de Forchheimer em estudo
4 Conclusão
Os resultados deste trabalho deixam claro que, sob certas condições de produção, a modelagem
via Darcy e via Forchheimer leva a resultados díspares. Dessa forma, a modelagem de efeitos
não-Darcy se torna uma importante ferramenta no estudo do fluxo de gases em meios porosos a fim de descrever corretamente o gradiente de pressão no poço.
O aumento da vazão leva a uma velocidade de fluxo maior no poço e, para alguns
conjuntos de dados, a resposta para a formulação cúbica começa a divergir da quadrática. Assim, a formulação cúbica para a equação de Forchheimer cresce em importância quando
consideramos casos com efeitos inerciais e turbulentos severos.
Referências
[1] R. S. BUELL, J. W. CRAFTON, The Application of the Cubic and Quadratic Forchheimer Equations in the Design of High-Rate, Gravel-Packed Gas Well Completions, paper SPE
14448 presented at the 1985 Annual Technical Conference and Exhibition, Las Vegas,
September 22-25.
[2] P. M. DRANCHUK, J. H. ABOU-KASSEM, Calculation of Z-factors for natural gases
using equations of state, Journal of Canadian Petroleum Technology, v. 14, n. 3, p. 34–36,
March 1975.
[3] S. C. JONES, Using the inertial coefficient, to characterize heterogeneity in reservoir rock,
In: 62nd Annual Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers. Dallas, USA: [s.n.], 1987.
[4] A. L. LEE, M. H. GONZALEZ, B. E. EAKIN, The viscosity of natural gases, Journal of Petroleum Technology, v. 18, n. 8, p. 997–1000, August 1966.
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