modelos de estoque

Modelos de Estoque

Prof. Virgílio José Martins Ferreira Filho

Rio de Janeiro -Brasil

Modelos de Estoques

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SUMÁRIO

1. A Natureza e a Importância Estratégica dos Estoques..........................................3 1.1 Introdução ..............................................................................................................3 1.2 Aspectos financeiros da política de estoques.........................................................4 1.3 Funções dos estoques .............................................................................................6 1.4 Posição do estoque no canal de distribuição..........................................................7 1.5 Custos envolvidos nas decisões de estocagem.......................................................7

1.5.1 Custos de pedidos e preparação ................................................................................ 8 1.5.2 Custos de manutenção do estoque............................................................................. 8 1.5.3 Custos de falta do estoque....................................................................................... 10 1.5.4 Custos associados à capacidade .............................................................................. 10 1.5.5 Custos dos produtos ................................................................................................ 10

1.6 Decisões na gerência de estoques ........................................................................10 1.7 Questões de revisão e discussão...........................................................................11

2. Priorização na Administração dos Estoques .........................................................13 2.1 Sistema ABC de classificação de produtos em estoque.......................................13 2.2 Questões de revisão e discussão e exercícios propostos.....................................15

3. Modelos de Estoques Determinísticos ....................................................................17 3.1 O tamanho do pedido econômico - lote econômico ............................................18

3.1.1 Derivação da formula do lote econômico: .............................................................. 19 3.1.2 Análise de sensibilidade.......................................................................................... 22

3.2 Lote econômico com custos de manutenção proporcionais ao valor do estoque 23 3.3 Lote econômico com faltas permitidas ................................................................24

3.3.1 Sem perda de vendas (encomendas permitidas)...................................................... 24 3.4 Lote econômico de fabricação .............................................................................27 3.5 Lote econômico com descontos ...........................................................................30

3.5.1 Custo de manutenção independente do preço ......................................................... 30 3.5.2 Custo de manutenção dependente do preço ............................................................ 32

3.6 Lote econômico com múltiplos produtos.............................................................33 3.6.1 Lote econômico para compras combinadas ............................................................ 34 3.6.2 Lote econômico para fabricação compartilhada ..................................................... 34 3.6.3 Lote econômico com restrições............................................................................... 35

3.7 Exercícios resolvidos ...........................................................................................43 3.8 Questões de revisão e discussão...........................................................................51 3.9 Exercícios propostos ............................................................................................53

4. Modelos de Estoques Estocásticos ..........................................................................58 4.1 Decisões para mercadorias perecíveis..................................................................58 4.2 Análise incremental..............................................................................................60 4.3 Lote econômico para o problema do modelo de demanda estocástica de período único...........................................................................................................................61

4.3.1 Distribuição discreta da demanda ........................................................................... 61

Sumário

2

4.3.2 Distribuição contínua da demanda ..........................................................................62 4.3.3 Demanda normalmente distribuída..........................................................................65

4.4 Exercícios resolvidos ...........................................................................................68 4.5 Questões de revisão e discussão ..........................................................................72 4.6 Exercícios propostos ............................................................................................72

5. Tipos de Sistemas de Controle de Estoques...........................................................77 5.1 Definições e caracterização do problema ............................................................77 5.2 Tipos de sistemas de controle de estoques...........................................................79

5.2.1 Sistema de revisão contínua, com ponto de encomenda e com encomenda de quantidades fixas - Sistema (P, Q) ................................................................................80 5.2.2 Sistema de revisão contínua, com ponto de encomenda e com nível fixo - Sistema (P, M)................................................................................................................................81 5.2.3 Sistema de revisão periódica, com nível fixo e intervalo fixo entre pedidos - Sistema ( R, M) .................................................................................................................82 5.2.4 Sistema de revisão periódica, com nível fixo e ponto de encomenda - Sistema ( R, P, M).............................................................................................................................83

5.3 Estoques de segurança para incertezas da demanda ............................................84 5.4 Exercícios resolvidos ...........................................................................................87 5.5 Questões de revisão e discussão ..........................................................................91 5.6 Exercícios propostos ............................................................................................92

6. Outras Abordagens em Administração de Estoques ............................................98 6.1 MRP e MRP II * ................................................................................................98 6.2 Just In Time......................................................................................................103

7. Bibliografia Básica .................................................................................................107

8. Anexos .....................................................................................................................108

Modelos de Estoques

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1. A NATUREZA E A IMPORTÂNCIA ESTRATÉGICA DOS ESTOQUES

“...Virão sete anos de fartura em todo o Egito. Depois virão sete anos de escassez que farão esquecer toda a fartura na terra do Egito e a fome acabará com o país. ... Nomeie o Faraó fiscais pelo país e recolha a quinta parte das colheitas do Egito durante os sete anos de fartura. Reunam todos os víveres dos anos bons que virão, e armazenem trigo por ordem do Faraó, guardando como provisão nas cidades. Estes mantimentos servirão de provisão ao país para os sete anos de fome que virão sobre o Egito, a fim de que o país não pereça de fome”1 “ Houve uma jovem cigarra que tinha o costume de chiar ao pé de um formigueiro. Só parava quando cansadinha; e seu divertimento então era observar as formigas na eterna faina de abastecer as tulhas. Mas o bom tempo, afinal, passou e vieram as chuvas. Os animais todos, arrepiados, passavam o dia cochilando nas tocas. A pobre cigarra, sem abrigo em seu galhinho seco e metida em grande apuros, deliberou socorrer-se de alguém. ... - Que fazia você durante o bom tempo ? - Eu ... eu cantava ! ... - Cantava ? Pois dance agora, vagabunda ! - e fechou-lhe a porta no nariz. Resultado: a cigarra ali morreu entanguidinha; ...”2

1.1 Introdução

Nas operações de uma empresa as decisões sobre estoques são de alto risco e alto impacto. A manutenção de um determinado produto em estoque com o subsequente envio as unidades que irão demandar o produto implica em uma série de atividades logísticas. Sem um nível apropriado de estoques o departamento de vendas pode verificar que vendas estão sendo perdidas, e que o nível de satisfação dos clientes está declinante. Da mesma forma, o planejamento dos estoques é crítico para a produção. A falta de matérias primas pode interromper uma linha de produção, ou no mínimo forçar a uma reprogramação da produção, o que por sua vez pode introduzir

1 Livro dos Gênesis, 41, 29-30, 34-36. 2 A Cigarra e a Formiga - Fábulas - Monteiro Lobato, Ed. Brasiliense, 23a Ed. 1971.

A Natureza dos Estoques

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custos adicionais e levar a potencial escassez de produtos acabados. Do mesmo modo que estoques reduzidos causam problemas, seja às operações de venda, seja às operações de produção, estoques excessivos também criam problemas. Estoques em demasia provocam aumentos nos custos, com conseqüente redução na lucratividade, através de maior necessidade de espaço de armazenagem, capital de giro, risco de deterioração e obsolescência, seguros e taxas.

Os objetivos básicos deste capítulo são: mostrar de que maneiras níveis excessivos de estoques podem baixar a lucratividade da empresa; rever as razões para se manter estoques e os custos a elas associados; identificar quais parcelas considerar no cálculo de custos de manutenção de estoques; compreender as relações entre o nível dos estoques e a previsão das vendas.

1.2 Aspectos financeiros da política de estoques

A qualidade da gerência do nível de estoques e as políticas de manutenção de estoques tem um impacto significativo na lucratividade da empresa e na capacidade da gerência de implementar uma distribuição física de menor custo total. Os estoques representam uma porção significativa dos ativos da empresa. Consequentemente, estoques excessivos podem baixar a lucratividade da empresa de duas maneiras:

• o lucro líquido é reduzido pelos custos de desembolsos associados com a manutenção dos estoques tais como seguros, impostos, armazenagem, obsolescência, danos e, talvez, juros bancários, se o investimento em estoque for sustentado por empréstimos;

• os ativos totais são aumentados pela quantidade em estoque e o resultado irá baixar o retorno nos investimentos em ativos.

Exemplo: Com a finalidade de ilustrar o impacto financeiro nas empresas, o modelo de lucratividade estratégica foi aplicado à seguinte situação problema: Considere que a empresa ABC tem a informação financeira representada na figura adiante. Como resultado de uma previsão fraca, falta de atenção no cálculo do estoque e ausência de um sistema integrado de gerência da distribuição física, observou-se que os estoques eram excessivos. Este valor foi mensurado em R$ 6 milhões. Qual seria o impacto na lucratividade e no retorno no investimento das seguintes mudanças: (a) O total obtido da redução de R$ 6 milhões em estoque usado para quitar

empréstimo bancário a uma taxa de juros de 15 % a.a , e

(b) O total de custos relativos a desembolso com seguros, impostos, armazenagem, obsolescência e danos reduzidos em 5 % do valor do estoque, como conseqüência da redução do nível do estoque mantido?

Modelos de Estoques

5

$60

$100

$ 5

$35

$45

Vendas

Total de Ativos

Margem Bruta (M)

Gastos Gerais (G)

Taxação da Renda

$100

$5

Lucro Líquido

Vendas

$29

$31

Ativos Correntes

Ativos Fixos

$20

$15

$55

$ 100

Custos dos BensVendidos

GastosVariáveis

Gastos Fixos

Vendas

16,70 % 2 8,35 %

Retorno noPatrimônio

LíquidoAlavancagem

Financeira Retorno nos Ativos

= x

Lucro Líquido Total de Ativos Lucro Líquido------------------------- = ------------------------- x --------------------Patrimônio Líquido Patrimônio Líquido Total de Ativos

$1,67

5 %

Margem deLucratividade Líquida

Movimentação dosAtivos

Lucro LíquidoVendas

Vendas .Total de Ativos

x

(M-G) x 50%

$2

$10

$19Estoques

Contabilidade aReceber

Outros Ativos

$

$

$

$

$

Vendas

Total de Ativos

Margem Bruta (M)

Gastos Gerais (G)

Taxação da Renda

$

$

Lucro Líquido

Vendas

$

$

Ativos Correntes

Ativos Fixos

$

$

$

$

Custos dos BensVendidos

GastosVariáveis

Gastos Fixos

Vendas

% %

Retorno noPatrimônio

LíquidoAlavancagem

Financeira Retorno nos Ativos

= x

Lucro Líquido Total de Ativos Lucro Líquido------------------------- = ------------------------- x --------------------Patrimônio Líquido Patrimônio Líquido Total de Ativos

$

%

Margem deLucratividade Líquida

Movimentação dosAtivos

Lucro LíquidoVendas

Vendas .Total de Ativos

x

(M-G) x 50%

$

$

$Estoques

Contabilidade aReceber

Outros Ativos

Figura 1.1 - Modelo de Lucratividade Estratégica


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1.3 Funções dos estoques

Existem diversas razões para se manter estoques, mas em geral estas razões podem ser agrupadas em cinco funções básicas: estoques de segurança; estoques de antecipação para épocas e ou situações especiais; estoques de fragmentação entre os vários estágios de produção; estoques em trânsito e estoques cíclicos, necessários para permitir economia de escala. Estoques de segurança. Estoques são mantidos ao longo de uma cadeia de suprimento como forma de segurança contra incertezas, no suprimento e/ou na demanda. Estas incertezas podem ser devidas a variações não previstas na demanda, ou podem ser devidas a variações no tempo de recebimento de um pedido. Técnicas matemáticas e estatísticas podem ser usadas para definir a quantidade adequada de estoque de segurança a ser mantida, de forma a garantir um determinado nível de proteção contra as incertezas. Estoques de antecipação. Antecipar demanda futura é também uma razão para se manter estoques. Em lugar de operar com sobrecarga em determinados períodos para atender uma demanda excessiva e trabalhar com capacidade em outros períodos, estoques podem ser usados para regularizar o processo de produção. Exemplos deste tipo de estoque são estoques de produtos para venda no Natal, de brinquedos, de ovos de Páscoa.

Estoques de fragmentação. São raros os processos de produção nos quais os diversos equipamentos e pessoal operam todos a uma mesma velocidade. Estoques intermediários são usados para diminuir a dependência entre vários estágios de produção, permitindo assim que cada estágio opere a uma taxa “ótima”. Modernas metodologias de controle da produção, como o “just in time” tem reduzido a necessidade por este tipo de estoque. Estoques em trânsito existem porque materiais precisam ser movidos de um lugar para outro. Tais estoques estão fortemente relacionados a especialização geográfica, isto é determinados locais tem uma vocação natural (ou artificialmente implantada) para a produção de determinados bens, os quais precisam ser transportados para os centros consumidores.

Tempo

produção

demanda

Unidadesde produtos

Figura 1.2 - Estoques de Antecipação

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Estoques cíclicos: são também chamados de estoques econômicos, e resultam da tentativa de administradores reduzirem o custo total de adquirir e de manter os estoques. Se a demanda por um determinado item é de 12.000 unidades, o administrador do item pode decidir comprar todas estas unidades de uma vez, mantendo um alto nível de estoque durante todo o ano, ou em 12 vezes, mantendo um estoque menor, mas em contrapartida efetuando mais compras.

1.4 Posição do estoque no canal de distribuição

As matérias primas devem ser movimentadas desde a fonte de suprimento até o local de produção, onde serão processadas e eventualmente constituem estoques de partes semi-elaboradas. Produtos acabados poderão ser estocadas nas fábricas, em depósitos de atacadistas e varejistas, bem como no consumidor final. O ciclo do produto se encerra quando o produto é descartado. Em face de legislações e da conscientização ecológica o gerenciamento desta última etapa de estoques vem recendo crescente atenção. As posições típicas dos produtos em estoque ao longo de um canal de distribuição são mostradas na figura abaixo.

estoquesde

matériaprima

estoquesem

processa-mento

estoque deprodutosacabadosna fábrica

estoquede

produtos descartados

estoque de produtos acabados no destino

Figura 1.4 - Posição do Estoque no Sistema de Distribuição Física

1.5 Custos envolvidos nas decisões de estocagem

Existem essencialmente cinco grandes categorias de custos associadas com as decisões de estoque.

Estoque

4000

1000

12000

Tempo Figura 1.3 - Estoques Cíclicos


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1.5.1 Custos de pedidos e preparação Esta categoria de custos engloba o conjunto de custos que tipicamente só dependem da quantidade de vezes que o produto é reposto no estoque, sendo independentes da quantidade e do tempo que o produto permanece no estoque. Estes custos podem se referir a pedidos externos, quando são chamados de custo de pedidos e a procedimentos internos de inicialização da produção, neste caso são chamados custos de preparação. Estes custos envolvem basicamente as seguintes parcelas:

♦ pedidos externos;

• escrever o pedido,

• processar o pedido,

• postagem,

• processar contabilidade,

• custos do departamento de recebimento,

∗ manuseio,

∗ testes,

∗ inspeção ,

∗ transporte,

♦ preparação:

• escrever e processar pedidos para o sistema de produção interna,

• tempo de máquinas paradas devido a uma nova inicialização,

• custos de partes danificadas (testes),

• custos associados à curva de aprendizado (baixa produtividade no início).

1.5.2 Custos de manutenção do estoque Nesta categoria estão aqueles custos que são diretamente proporcionais a quantidade e ao tempo que um produto permanece em estoque. Compõem o custo de manutenção as seguintes componentes principais.

• custo do capital,

• custo da armazenagem,

• custo do risco. Os custos do capital incluem a taxa de interesse do capital investido em terrenos, construções e equipamentos necessários para manter o estoque. Se não fosse necessário investir este dinheiro na manutenção do estoque ele poderia estar investido em outras aplicações rendendo uma certa taxa de retorno. Custos da armazenagem

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incluem aluguel, taxas, seguros dos equipamentos e das construções, depreciação das construções, custos de manutenção e reparos, condicionamento do ar, eletricidade, salários de seguranças, almoxarifes. Os custos de risco incluem os riscos de obsolescência, insegurança, deterioração e roubos do estoque. Infelizmente, em muitas empresas os custos de manutenção do estoque não tem sido calculados. Quando são, incluem somente as taxas de juros atuais mais itens como seguros e impostos. Além disso, muitos gerentes usam porcentagens de livros textos tradicionais ou médias das indústrias. Mesmo quando duas empresas são similares em termos de fabricação e distribuição de produtos, fatores como disponibilidade de capital podem levar a estratégias diferentes de estoque. As porcentagens publicadas tomam o custo de manutenção de estoque como uma porcentagem do valor total do produto em estoque. Este valor varia entre indústrias, além de variar de acordo com o seu posicionamento no canal de distribuição física. Para os produtos básicos e os estoques em processamento, este valor é muitas vezes avaliado em 25%, enquanto para produtos finais ele é de até 50% do valor total do produto estocado.

Calculando os custos de manutenção de estoques Os custos de manutenção de estoques devem incluir somente aqueles custos que irão variar com a quantidade em estoque. É sumariada a seguir uma metodologia de cálculo através de um modelo normativo.

custos demanutenção de

estoques

custos de capital

custos deserviços

taxa de interesse docapital investido

seguros

impostos

armazém da fábrica

armazéns terceirizados

armazéns próprios

armazéns de aluguel

obsolescência

danos

perdas e roubos

custos de relocação

custos do espaçode armazenagem

custos derisco

Figura 1.5 - Modelo Normativo da Metodologia de Cálculo do Custo de

Manutenção de Estoques


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1.5.3 Custos de falta do estoque Se o produto não está disponível quando os clientes o requerem, ou quando ele é necessário para a produção, ocorre falta de estoque. Vários custos estão associados a cada tipo de falta de estoque. A falta de um produto solicitado por um cliente pode resultar em perda da venda, perda da confiança do cliente (o que é muito difícil de estimar) e custos associados ao processamento de contra ordens, (ordem de compra emitida em ocasião diferente da usual) tais como: custos extras de emissão de pedido, expedição, manuseio especial e custos de transporte mais elevados). A falta de um produto necessário para a produção resulta em custos de reprogramação da produção, custos de interrupção ou diminuição do ritmo de produção, custos de reposição do item em falta por um item diferente, custos dos atrasos no produto acabado.

1.5.4 Custos associados à capacidade São aqueles custos decorrentes de mudanças na capacidade de produção, decorrentes de excesso ou falta temporária de capacidade. Este tipo de custo acontece, principalmente, quando o processo produtivo é fortemente guiado pela demanda. Estão incluídos nesta categoria de custos: horas extras, custos de admissão e demissão de empregados, custos de usar empregados menos treinados em períodos de pico e custos da capacidade ociosa durante os períodos de baixa demanda.

1.5.5 Custos dos produtos Finalmente, os produtos adquiridos devem ser pagos. Muito embora os produtos devam ser pagos, de qualquer forma, sejam comprados antes ou depois, a ocasião quando eles são comprados pode influenciar seus custos consideravelmente, além disto descontos podem ser oferecidos para compras de maiores quantidades de produtos.

1.6 Decisões na gerência de estoques

O objetivo de um administrador de estoques é tomar decisões a respeito do nível adequado de estoques a ser mantido de modo a contrabalançar seus custos com os benefícios advindos de sua posse. Para definir qual é este nível adequado de estoques regras de decisão são necessárias para responder as questões básicas:

• Quando um pedido deve ser feito para reposição do estoque?

• Quantos itens devem ser pedidos no momento do pedido?

• Como tratar as incertezas relativas ao processo de estocagem ?

• Como controlar o estoque ? Para responder a estas questões é essencial saber estimar a demanda futura e sua variabilidade. Na seções a seguir veremos como os custos de estoques são utilizados para definir os níveis apropriados de estoques, como estes se relacionam ao níveis de

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serviço ao cliente, como calcular estoques de segurança, levando em conta formas de controlar o estoque e como melhorar a gerência dos estoques através da análise ABC.

1.7 Questões de revisão e discussão

Q 1.1 Porque são os estoques tão importantes para uma administração eficiente e eficaz de uma firma ?

Q 1.2 Descreva circunstâncias onde estoque possa ser considerado: a) como um ativo, b) como elemento de segurança, c) como resultante de práticas ineficientes de administração.

Q 1.3 Analise sob o ponto de vista de controle de estoques as seguintes situações relacionadas a um automóvel: estoque de combustível, óleo lubrificante, água no radiador, ar nos pneus. Identifique aspectos tais como: custos de manutenção, preparação, falta, custo operacional de controle.

Q 1.4 Custos de manutenção de estoques e de preparação (pedido) são difíceis de se medir precisamente. O que fazer então para aplica-los para tomar decisões a respeito de estoques?

Q 1.5 Comente brevemente como a administração de materiais pode interagir com cada uma das seguintes áreas funcionais dentro de uma firma: manutenção, controle de qualidade, distribuição.

Q 1.6 Dê um exemplo de cada um dos seguintes tipos funcionais de estoque: antecipação, de flutuação, em trânsito e de tamanho do lote.

Q 1.7 Num mercado global, com sistemas de produção/distribuição em escala mundial, quais funções e formas de estoques (objetivos e locais - matéria prima, semi-elaborados, acabados) terão maior e menor importância?

Q 1.8 Contraste custos de preparação com custos associados a capacidade. Qual a principal diferença entre eles ?

Q 1.9 Com que outras questões deveria estar preocupado um gerente de estoques além das duas questões básicas de quando e quanto comprar ? Estas duas questões resumem de fato todos os aspectos importantes da administração dos estoques?

Q 1.10 Analise os procedimentos de controle de estoques em uma pequena empresa. Qual a relação ente o porte da empresa e o processo de controle dos estoques ?

Q 1.11 Selecione e analise dois artigos recentes de jornal ou revista que abordem a questão da tomada de decisões na administração de estoques.

Q 1.12 Uma companhia típica tem em média 34% dos seus ativos correntes investidos em estoque. Um importante indicador de desempenho financeiro é a taxa de retorno nos investimentos (TR = lucro líquido/total de ativos).

a) Considere uma companhia típica e assuma que ela tem uma razão entre ativos correntes e total de ativos igual a 0,40. Qual será o impacto na taxa de retorno decorrente de uma redução de 25% nos níveis de estoque ?


12

Desenvolva uma expressão algébrica para o impacto na taxa de retorno de um decréscimo de x % nos níveis de estoque quando a relação entre ativos correntes e ativos totais é f.

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2. PRIORIZAÇÃO NA ADMINISTRAÇÃO DOS ESTOQUES

2.1 Sistema ABC de classificação de produtos em estoque

Na prática nem todos os itens do estoque podem ser controlados com o mesmo nível de atenção. Alguns estoques são de valor muito pequeno para que recebam maiores atenções, enquanto outros são responsáveis pela maior parte do investimento em estoques da companhia. Esta situação é similar àquela com a qual se deparou o economista Vilfrido Pareto, ao estudar a distribuição de renda entre a população: uma pequena parte da população era detentora da maior parte da renda, restando uma proporção bem menor para ser distribuída pelo restante da população. Pareto verificou que em muitas situações eram dominadas por um pequeno número de elementos vitais. Desta forma ele concluiu que controlando estes relativamente poucos elementos se estaria dominando praticamente toda a situação. Aplicar o princípio ABC ao controle de estoques envolve:

1 - classificar os itens em estoque em função de sua importância relativa; 2 - estabelecer diferentes sistemas de controle para diferentes classificações de

itens, com o grau de controle estando relacionado ao importância de cada classificação.

As letras ABC representam diferentes classificações de importância decrescente, mas não existe nada de sagrado com relação a ter três classes. Os critérios para classificação devem refletir a dificuldade de controlar um item e o impacto do item sobre os custos e a lucratividade. A classificação ABC mais usual é aquela baseada no valor agregado do item (como mostrado no exemplo a seguir), mas este não é o único critério que define a importância de um item. Outros fatores que podem ser usados para uma classificação ABC incluem:

• custo unitário; • escassez do item, ou de material utilizado em sua fabricação; • disponibilidade de recursos, mão de obra, e facilidades para a produção do

item; • tempo de entrega; • requerimentos de estocagem; • risco de furtos, vida útil e outros fatores críticos; • custo de falta.

Estes fatores tanto podem ser a base para um classificação ABC própria, quanto podem servir de critério de desempate em uma classificação baseada no valor agregado.

Prioridades em Estoques

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Para se chegar a uma representação adequada da demanda pelos itens de estoque é necessário primeiro listar todos os itens mantidos em estoque, suas demandas e valores unitários. Após a obtenção dos dados acima o valor dos estoques de cada item pode ser obtido e se pode relacionar os itens em ordem decrescente de valor, ou em ordem crescente de demanda. Os itens podem então ser classificados em três categorias: A. Itens de Alto Valor

15 a 20% dos itens em estoque correspondem a 75 (-) 80% do valor do estoque anual total.

B. Itens de Valor Médio 30 a 40% dos itens em estoque correspondem a aproximadamente 15% do valor do estoque anual total.

C. Itens de Baixo Valor 40 a 50% dos itens em estoque

Exemplo: Valor dos estoques por item

número de itens % do total

valor em $ anuais

% do valor total

521 4,8 15.400.000 50,7 57 5,3 6.200.000 20,4

1023 9,4 3.600.000 11,8 1145 10,5 2.300.000 7,6 3754 34,0 1.800.000 5,9 3906 36,0 1.100.000 3,6

10923 100.0 30.400.000 100.0

Curva de Pareto

0102030405060708090

100

0 20 40 60 80 100% Itens

% V

alor

AB

C

Modelos de Estoques

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Utilização da classificação ABC A classificação ABC pode ser usada para construir um sistema de controle de estoques mais aperfeiçoado. Estabelecidas as classes A, B e C para uma dada empresa, podemos, por exemplo, adotar a seguinte estratégia: Itens classe A: podemos utilizar técnicas mais aperfeiçoadas para a previsão de demanda, determinação de lotes econômicos, e periodicidade da reposição. Podemos, além disto, fazer acompanhamentos mais apertados junto aos fornecedores, supervisionando com antecedência a viabilidade do comprimento das entregas previstas. Itens classe C: devemos dedicar a estes itens um mínimo de controle mediante estoques de segurança altos (e baratos). A reposição estes itens pode ser efetuada de forma automática, efetuando-se apenas controles seletivo e isolados. Sempre que possível a documentação deve ser simplificada e até mesmo eliminada. Itens classe B: a estes itens deve ser dada uma atenção intermediária. Com controles não tão simples quantos os dedicados à classe C, nem tão complexos quanto os dedicados à classe A.

2.2 Questões de revisão e discussão e exercícios propostos

Q 2.1 Algumas pessoas dizem que a classificação ABC não é mais apropriada pois computadores podem manter controle rígido de todos os itens. Comente.

Q 2.2 Um produtor de equipamentos eletrônicos produz componentes para a industria aeronáutica e espacial, controles para aparelhos domésticos e alguns itens para equipamentos industriais. Classifique a seguinte amostra de componentes comprados de acordo com os princípios da classificação ABC.

Produto Custo Unitário Volume Anual Outros Fatores 575 93,00 3.200 607 31,00 2.500 625 212,00 320 fornecedor único 811 130,00 475 947 618,00 300 024 720,00 300 413 0,25 25.000 483 0,60 6.800 previsão de alteração das

especificações em dois meses 495 1,25 15.000 211 6,30 3.000 tempo de entrega de 6 meses

Prioridades em Estoques

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Q 2.3 Assumindo que você não tem dados disponíveis a respeito da movimentação e do valor unitário dos produtos a seguir, quais deles e em que circunstâncias você classificaria como produtos A, B e C ?

• peças sobressalentes para um equipamento industrial com fabricação descontinuada,

• porcas e parafusos, • submontagens, • produtos importados para revenda, • óleo de motor, • gasolina, • produtos alimentícios perecíveis, • giz branco e de cor, • canetas, • artigos de limpeza.

Q 2.4 Descreva e classifique um exemplo de classificação ABC de sua própria experiência.

Modelos de Estoques

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3. MODELOS DE ESTOQUES DETERMINÍSTICOS

As seções anteriores discutiram a importância dos estoques e os custos associados a sua posse. Nesta seção começamos a discutir como responder as questões que se colocam para o administrador de estoques. Chamamos de ciclo de pedido ao intervalo de tempo decorrido entre duas reposições de estoque consecutivas. No início de um ciclo de pedido o estoque está em seu nível máximo, sendo reduzido diariamente pela demanda dos clientes até que seu nível chegue a zero. Antes deste instante, um pedido de reposição é efetuado de modo que o mesmo seja entregue imediatamente antes que comecem a ocorre faltas. O instante em que o pedido é efetuado é determinado pelo tempo que o pedido demora para ser entregue (tempo de reposição ou tempo de entrega - L ). O nível de estoque existente quando se coloca o pedido é denominado de ponto de reposição, ou ponto de encomenda (P), enquanto a quantidade pedida para repor o estoque é denominada de lote (Q).

Tempo

colocaçãodo pedido

chegada do pedido

ciclo depedido

P

Q = tamanho do lote

Q

L = tempo de entrega

L

P = ponto de encomendaNível deEstoque

Figura 3.1 - Ciclo de Pedido

A figura 3.1 representa dois ciclos de pedido de um produto para o qual as decisões de estoque podem ser tomadas sob certeza. Nestes casos o tempo de reposição e a demanda podem ser considerados constantes. A demanda é dada pela inclinação da curva que descreve a evolução do nível de estoque ao longo do tempo. Para a situação apresentada o ponto de encomenda pode ser calculado pela fórmula:

P = Dd x L ( 3.1) onde P = ponto de encomenda em unidades, Dd = demanda diária e L = tempo de entrega.

Modelos Determinísticos

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Para atendermos a uma determinada demanda podemos adotar diferentes políticas. Podemos, por exemplo, adotar uma política de compras freqüentes de pequenas quantidades resultando em um baixo nível de estoques, ou alternativamente podemos efetuar grandes compras a grandes intervalos de tempo.

Tempo

Q

L/2

L

Nível deEstoque

Tempo

Q/2

L

Nível deEstoque

Figura 3.2 - Políticas de Administração de Estoques

3.1 O tamanho do pedido econômico - lote econômico

Num primeiro modelo, (que passaremos a denominar de modelo básico) para calcularmos o tamanho do lote vamos levar em conta apenas os custos de manutenção do estoque e os custos de pedido. O tamanho do lote que procura minimizar a soma destas duas parcelas de custo é denominado de lote econômico ( Qo , EOQ ). Premissas adotadas na obtenção do lote econômico para o modelo básico:

• a demanda é conhecida, contínua e constante,

• o tempo de entrega é conhecido e constante,

• o reabastecimento é instantâneo no fim do tempo de entrega,

• faltas não são permitidas,

• os custos de compra, dos pedidos e de manutenção dos estoques são independentes da quantidade pedida,

• itens são encomendados independentemente uns dos outros,

• não existem restrições de qualquer natureza (capital, espaço).

Modelos de Estoques

19

3.1.1 Derivação da formula do lote econômico: Sejam :

cs → o custo unitário de pedido ($/pedido);

cm → o custo unitário de manutenção ($/un. x un. tempo);

k → o custo unitário do produto ($/un.);

D → demanda do produto no tempo T (un./ un. tempo);

T → tempo total de avaliação dos custos de estoques (un. tempo); obs.: em geral se usa T = 1 ano;

CT → o custo total de estocagem no tempo T ($/un. tempo);

Q → tamanho do lote (un./pedido);

t → duração de um ciclo de pedido (un. tempo);

Qo → tamanho do lote econômico (un./pedido);

t o → duração ótima de um ciclo de pedido (un. tempo);

Tempo

Q

t

Qn

Qn-1

Q2

Q1

tntn-1t2t1

Nível deEstoque

Figura 3.3 - Cálculo do Lote Econômico

Custos por ciclo de pedido:

• de pedido: cs,

• de manutenção: ( cm.t1.Q1 + cm.t2.Q2 +...+ cm.tn-1.Qn-1 + cm.tnQn +...) = cm.t.Q/2,

Número de ciclos de pedido = =Tt

DQ

Custo Anual dos Pedidos: CT cDQ

c TQ

s m= +2

( 3.2)


20

Lote Econômico: ∂∂CTQ

Qc D

c Tos

m

= ⇒ =02

. ( 3.3)

obs.: A segunda condição para que Qo seja de mínimo, isto é derivada segunda positiva, é também atendida, visto que:

∂∂

2

2 3

20 0CT

Qc DQ

Qs= > ∀ >,

Graficamente os componentes da equação do custo total podem ser representados como:

Tamanho do Lote Q

Cus

to

CT

CmQ/2

CsD/Q

Qo

Figura 3.4 - Componentes do Custo Total

Pode ser verificado que o lote econômico ocorre na interseção da curva de custo de pedido com a curva de custo de manutenção. A expressão para o cálculo do lote econômico, foi primeiramente derivada por F.W. Harris da Westighouse Corporation em 1915, entretanto ela é largamente conhecida como fórmula do tamanho do lote de Wilson, um consultor que a utilizou em seu trabalho de administração de estoques em várias companhias. A demanda D deve ser obtida por algum método de previsão, baseado na demanda histórica. Os parâmetros cm, cs podem ser obtidos por alguma técnica de previsão associadas aos registros contábeis da companhia, ou podem ser inferidos a partir da experiência do administrador. A análise de sensibilidade, a seguir, mostra que o custo total nas vizinhanças do ótimo é muito pouco sensível tanto a variações no tamanho do lote quanto a variações nos parâmetros de custo. Isto torna desnecessário uma grande precisão na apuração dos parâmetros de custo, bem como dá flexibilidade ao gerente na definição do tamanho do lote “praticamente” ótimo. Estas características do lote econômico de Wilson a tornaram muito utilizada na prática.

Exemplo: Sejam os dados relativos à estoques mostrados no quadro a seguir:

Demanda média anual D =2400 un./ano Custo unitário do produto k = $ 5 / un. Custo unitário de pedido cs = $ 19 /pedido

Modelos de Estoques

21

Custo unitário anual de manutenção cm = $ 1/un.ano O lote econômico pode ser calculado usando:

Qox x= 2 19 2400

1 = 302,00 unidades por lote,

correspondendo a custos anuais de pedido de 19 x 2400/302 = $151,00 e a custos anuais de manutenção de 1 x302/2 = $151,00. Logo a um custo total anual de $ 302,00. A tabela e os gráficos a seguir ilustram o comportamento dos custos anuais de pedido, manutenção e total para diferentes números de ciclos e tamanho do lote. Pode ser observado pela tabela que o modelo de lote econômico, nas proximidades do ótimo, é muito pouco sensível à variações no tamanho do lote, por exemplo: se variamos o lote de 300 un. para 480 un., um aumento de 60%, o custo sobe de $302 para $335, um aumento de 11%.

N. Ciclos Lote C. Pedido C. Manut. C. Total D/Q Q cs.D/Q cm.Q/2 CT

1 2400,00 19 1200,00 1219,00 2 1200,00 38 600,00 638,00 3 800,00 57 400,00 457,00 4 600,00 76 300,00 376,00 5 480,00 95 240,00 335,00 6 400,00 114 200,00 314,00 7 342,86 133 171,43 304,43 8 300,00 152 150,00 302,00 9 266,67 171 133,33 304,33

10 240,00 190 120,00 310,00 11 218,18 209 109,09 318,09 12 200,00 228 100,00 328,00 13 184,62 247 92,31 339,31 14 171,43 266 85,71 351,71 15 160,00 285 80,00 365,00 16 150,00 304 75,00 379,00 17 141,18 323 70,59 393,59 18 133,33 342 66,67 408,67 19 126,32 361 63,16 424,16 20 120,00 380 60,00 440,00 21 114,29 399 57,14 456,14 22 109,09 418 54,55 472,55 23 104,35 437 52,17 489,17 24 100,00 456 50,00 506,00


22

Modelo de Lote Econômico

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00Q

Custo

C. PedidoCs.D/Q

C. Manut.Cm.Q/2

C. TotalCT

Modelo de Lote Econômico

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27N. Ciclos

Custo

C. PedidoC. Manut.C. Total

3.1.2 Análise de sensibilidade Vamos mostrar que os custos são insensíveis a erros na definição do valor exato do tamanho do lote. Tais erros podem ser decorrentes tanto de questões operacionais, por exemplo ao se aproximar o lote para um tamanho praticamente mais razoável, quanto de imprecisões na aferição dos parâmetros de custo. Suponha que usemos uma quantidade Q’ que se afasta do lote econômico segundo a relação:

Q’ = (1+ e )Qo

Modelos de Estoques

23

isto é, 100e é o desvio percentual de Q’ em relação a Qo. A penalidade percentual no custo total por se usar Q’ é dada por:

∆CTCT Q CT Q

CT Qxo

o=

−( ' ) ( )( )

100%

A substituição (deixada como exercício) dos valores de Q’ e Qo na expressão do custo total leva à:

( )∆CTe

e=

+50

1

2

%.

Assim um lote 50% maior que o lote econômico resulta em um custo total somente 8,3% superior ao custo total calculado !

Analogamente um erro de f na determinação dos parâmetros de custo leva a uma variação de ( )1+ f no custo total. Por exemplo, estimar um custo de preparação 50% maior implica em um lote 22,5% maior e também em um custo 22,5% maior. Já estimar um custo de manutenção 50% maior implica em um lote 22,5% menor e em um custo 22,5% maior.

3.2 Lote econômico com custos de manutenção proporcionais ao valor do estoque

No modelo básico os parâmetros de custo foram considerados como constantes, contudo uma situação comum é aquela em que os custos de manutenção são proporcionais ao valor do estoque, por exemplo quando considerando custos financeiros. Neste caso o modelo básico pode ser modificado da seguinte forma: seja:

i → taxa de custo do estoque, representa o custo de ter uma unidade de dinheiro empenhada em estoque por unidade de tempo ($/ $ x un. tempo);

Logo o custo unitário de manutenção pode ser definido como: ccQ

k ims= +

As expressões do custo total e do lote econômico para o custo de manutenção proporcionais ao valor do estoque são então:

CT cDQ

kiTQ

iTc

kDss= + + +

2 2, ( 3.4)

Qc DkiTo

s=2

( 3.5)


24

3.3 Lote econômico com faltas permitidas

No modelo básico desenvolvido na seção anterior faltas não eram permitidas. Tratamos aqui de situações onde as faltas são permitidas, porém a um determinado custo, mantidas todas as demais premissas do modelo básico. Modelos com faltas permitidas tanto podem considerar situações onde não ocorre perda da venda, isto é, os pedidos que não podem ser atendidos de imediato são armazenados para entrega posterior, quanto podem considerar situações em que há perda da venda.

3.3.1 Sem perda de vendas (encomendas permitidas) A figura 3.5 descreve, para este modelo, a variação do estoque ao longo do tempo. O nível de estoque varia de um nível -F (quantidade de demanda deliberadamente não atendida e colocada em uma lista de encomendas) até o nível Q-F que representa a quantidade de estoque à mão após a entrega do lote de tamanho Q. Note que F unidades do lote Q nunca são armazenadas no estoque, uma vez que tão logo uma encomenda é entregue as encomendas armazenadas são imediatamente atendidas. Claramente, neste modelo, um baixo custo de faltas é um incentivo para se trabalhar sob encomenda.

Tempo

t

S

F

Q = tamanho do lote

Q

F = falta máxima

tm tf

S = nível máximo de estoqueNível deEstoque

Figura 3.5 - Ciclo de Pedido com Faltas Permitidas

Derivação da fórmula do lote econômico com faltas permitidas: Sejam :

cf → o custo unitário de falta ($/un. x un. tempo);

S → quantidade de produto que entra em estoque, logo após a chegada do lote (un./pedido);

Modelos de Estoques

25

F → quantidade de produto que é vendida para entrega posterior (sob encomenda) (un./pedido);

t → duração de um ciclo de pedido (un. Tempo);

t m → duração do estoque em um ciclo de pedido (un. Tempo);

tf → tempo em que pedidos são acolhidos sob encomenda em um ciclo de pedido (un. Tempo);

Qo → tamanho do lote econômico (un./pedido);

S o → estoque máximo econômico (un./pedido);

Fo → falta máxima econômica (un./pedido);

t o → duração ótima de um ciclo de pedido (un. tempo); Custos por ciclo de pedido:

• de pedido: cs,

• de manutenção: cm.tm.S/2,

• de falta: cf.tf.F/2,

• de compra: k.Q, Relações entre t, Q, tm, S, tf , F:

Qt

St

Ft

F Q S tt

SQ

tt

Q SQm f

m f= = = − ∴ = =−, ,


DQ

Custo Anual dos Pedidos:

• de pedido: cs. (D/Q),

• de manutenção: cm.(tm.S/2). (T/t) ,

• de falta: cf. (tf.F/2. (T/t),

• de compra: k.Q. (D/Q),

Total: CT cDQ

c TSQ

c TQ S

QkDs m f= + +

−+. . . .

( ),

2 2

2 2 ( 3.6)


26

Lote Econômico:

( )

( )

∂∂

∂∂

CT Q SQ

CT Q SS

Qc D

c Tc c

c

c Dc T

cc c

os

m

m f

f

s

m

f

m f

,

,

,=

=

⇒

=+

=+

0

0

2

2

So

( 3.7)

Naturalmente as expressões acima são válidas apenas para cf > 0 , Quando cf tende a zero, não valeria a pena estocar, sendo toda a demanda atendida sob encomenda, quando cf tende a infinito não vale a pena deixar acontecer faltas e o modelo tende ao modelo básico. Uma vez que o modelo com faltas permitidas é uma relaxação do modelo básico, isto é, o espaço e soluções do modelo com faltas contém o espaço de soluções do modelo básico, o custo total esperado é menor quando o custo de falta é finito. Exemplo: Consideremos os mesmos dados do exemplo do modelo básico, com a adição de um custo de falta, mostrados no quadro a seguir:

Demanda média anual D =2400 un./ano Custo unitário do produto k = $ 5 / un. Custo unitário de pedido cs = $ 19 /pedido

Custo unitário anual de manutenção cm = $ 1/un.ano Custo unitário anual de falta cf = $ 1/un.ano

O lote econômico pode ser calculado usando:

Qox x= +2 19 2400

11 3

3 = 348,7 unidades por lote,

dos quais uma quantidade igual a

Sox x= +

2 19 24001

31 3 = 261,6 unidades por lote,

vai para estoque, enquanto as 87,1 unidades restantes são entregues imediatamente após o recebimento, para suprir encomendas antigas. O custo anual total é de $ 261,53. Os gráficos a seguir ilustram o comportamento do custo anual total para diferentes tamanho do lote e da falta, em escala reduzida e ampliada.

Modelos de Estoques

27

2400

,00

480,

00

266,

67

184,

62

141,

18

114,

29

80,0

0

2400,00

400,00

218,18

150,00114,29

010020030040050060070080090010001100120013001400150016001700180019002000210022002300240025002600270028002900300031003200330034003500360037003800390040004100420043004400450046004700480049005000

CT

S

Q

Lote Econômico com Faltas Permitidas

2400

,00

480,

00

266,

67

184,

62

141,

18

114,

29

80,0

0

2400,00

400,00

218,18150,00

114,29

050

100150200250300350400450500

CT

S

Q

Lote Econômico com Faltas Permitidas (escala ampliada )

3.4 Lote econômico de fabricação

Em muitas situações as quantidades pedidas não são entregues todas de uma vez, mas tornam-se disponíveis com uma certa taxa de suprimento. Esta é a situação que ocorre quando um item é fabricado por uma máquina com capacidade finita de produção (daí o nome do modelo). Iremos assumir que o processo de fabricação (suprimento) é contínuo e se prolonga até que Q unidades tenham sido produzidas, quando então ele é interrompido. A figura 3.6 ilustra a evolução do estoque ao longo


28

do tempo para este modelo que pode ser considerado uma extensão (relaxação) do modelo básico onde é relaxada a premissa de reposição instantânea do estoque.

Tempo

t

Q = tamanho do lote

H

p-d d

tp t-tp

H = nível máximo de estoqueNível deEstoque

Figura 3.6 - Ciclo de Fabricação

Derivação da fórmula do lote econômico de fabricação: Sejam :

d → demanda do produto na unidade de tempo - taxa de demanda (un./ un. tempo);

p → taxa de produção do produto (un./ un. tempo);

H → nível máximo de estoque (un.);

t p → duração de um ciclo de produção (un. tempo); Obs. Assumimos que p > d, ao longo do tempo de produção. Custos por ciclo de pedido:

• de pedido: cs,

• de manutenção: cm.t.H/2,

• de compra: k.Q, Relações entre t, Q, tp, H, p , d:

( ) ( )Q p t d t H p d t p d Qp

dp

Qp p= = = − = − = −

. . , . . .1


DQ

Custo Anual dos Pedidos:

Modelos de Estoques

29

• de pedido: cs. (D/Q),

• de manutenção: cm.(t.H/2). (T/t) = cdp

QTm, 1

2−

,

• de compra: k.Q. (D/Q),

Total: CT cDQ

cdp

QTkDs m= + −

+, ,1

2 ( 3.8)

Lote Econômico: ∂∂CTQ

Qc D

c Tdp

os

m

= ⇒ =−

02

1. ( 3.9)

Note que quando p → ∞ (isto é, quando tendemos a reposição instantânea)

Qc D

c Ts

m→

2, que é o lote econômico para o modelo básico. Por outro lado, quando

p d→ (taxas de produção e demanda iguais) Q → ∞ . A interpretação é que neste caso a produção é totalmente usada para atendimento da demanda, não existe formação de estoques, existe um único custo inicial de preparação e consequentemente a minimização do custo exige um tamanho do lote extremamente grande. Como exercício de discussão contraponha a interpretação acima a afirmação usual de que o just in time preconiza lotes pequenos de produção ! Exemplo: Sejam ainda os dados do exemplo do modelo básico, acrescidos do dado relativo a taxa de produção, mostrados no quadro a seguir:

Demanda média anual D =2400 un./ano Taxa de produção p = 4800 un./ano

Custo unitário do produto k = $ 5 / un. Custo unitário de pedido cs = $ 19 /pedido

Custo unitário anual de manutenção cm = $ 1/un.ano O lote econômico pode ser calculado usando:

Qox x=

−

2 19 2400

1 124004800

= 427,08 unidades por lote,

correspondendo a um custo total anual de $ 213,54. O nível máximo de estoque é de (1-2400/4800)427,08 = 213,54 unidades. A produção deverá ser iniciada de 2,13 em 2,13 meses e perdurará por 1,06 meses.


30

3.5 Lote econômico com descontos

Frequentemente quando decidindo quanto comprar, o administrador de estoques se depara com descontos oferecidos pelo vendedor. Em geral existe uma tabela de descontos relacionando descontos crescentes com a quantidade comprada. A existência de descontos faz com que o preço de compra não possa mais ser considerado constante, e uma nova parcela deve ser acrescida ao custo total do modelo básico. Além do mais, o fato dos descontos serem fornecidos por faixas provoca descontinuidades na função custo. A seguir estudaremos os efeitos dos descontos em duas situações: no modelo básico e em sua variação onde os custos de manutenção são proporcionais ao valor do estoque.

3.5.1 Custo de manutenção independente do preço Seja dada a seguinte tabela de preços

Quantidade 0 -------- b1 -------- b2 -------- b3 ... bn-1 -------- bn=∞ Preço k1 > k2 > k3 > ... > kn

Como neste caso os custos de manutenção são independentes do preço o efeito do desconto se resume em deslocar a curva de custo total (para baixo, uma vez que os descontos são crescentes). O valor de Qo portanto é independente do preço e o mesmo para todas as curvas. Da teoria do cálculo sabemos que o ponto de mínimo, neste caso, ou será o ponto de derivada zero, ou será um dos extremos do intervalo de validade da função. A quantidade ótima a ser comprada pode ser identificada pelo seguinte procedimento:

I - determine a abcissa do ponto de derivada nula usando Qc D

c Tzs

m=

2,

II - identifique o intervalo de desconto z ao qual pertence Qz , isto é, [ )z Q b bz z z∈ −1 , ,

III - o ótimo global não pode pertencer a nenhum intervalo de desconto j < z, isto decorre da propriedade de que para todo j < z CTj(Q) > CTz(Q) qualquer que seja Q, uma vez que os custos são decrescentes, IV - calcule os custos totais CT(Qz) e CT(bj) para todo j > z, V - o tamanho do lote ótimo global será então aquele que corresponder ao menor custo total.

Modelos de Estoques

31

O exemplo a seguir ilustra o procedimento. Exemplo: Sejam os seguinte dados (ainda aqueles do modelo básico, com algumas alterações “didáticas”):

Demanda média anual D =2400 un./ano Custo unitário de pedido cs = $ 19 /pedido

Custo unitário anual de manutenção cm = $ 1/un.ano Custo unitário:

Faixa kj ($ /unidade) 0 200 0,25

200 400 0,18 400 ∞ 0,10

Para obtermos o lote econômico o primeiro passo é calcular Qo = =2 19 2400

1302

. ..

Com isto verificamos que Qo pertence a 2a faixa de desconto. Para esta situação a abcissa do ótimo global ou é o próprio Qo ou é o ponto de início da 3a faixa. Devemos então calcular os custos associados a estes dois pontos de forma a podermos identificar o ótimo global.

CT(302) = 19. 2400 / 302 + 1. 302/2 + 2400. 0,18 = 734, CT(400) = 19. 2400 / 400 + 1. 400/2 + 2400. 0,10 = 754,

logo o lote econômico é comprar 400 unidades, o que resultará em um custo anual de $754,00.

Modelo de Lote Econômico com Descontos

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Q

Cus

to

b1 b2 b3=00 Qo


32

3.5.2 Custo de manutenção dependente do preço Neste caso os custos de manutenção são dependentes do preço e o efeito do desconto é deslocar a curva de custo total para baixo e destorcer para a direita (considerando que os descontos são crescentes). O valor de Qo portanto é agora dependente do preço. O procedimento para identificar o ótimo global, embora similar aquele onde os custos de manutenção são independentes do preço, deve levar em conta que existe um ponto de derivada nula, com abcissa diferente, para cada uma das curvas.

I - determine a abcissa do ponto de derivada nula para cada um dos intervalos

de desconto usando Qc D

k iTjs

j=

2,

II - determine para cada intervalo de desconto j, [bj-1, bj], o valor de Qoj a função custo total CT(Q) naquele intervalo:

Qb Q bQ b Q bb Q b

o

j j j

j j j j

j j j

j=

<≤ ≤

>

− −

−

1 1

1

sese se

no caso do exemplo a seguir isto corresponde a Qo1 = Q1, Qo2 = Q2, Qo3 = b2, Qo4 = b3, III - dentre todos os Qoj = Qj, (existe pelo menos um !) escolha aquele com maior subscrito j, chame-o de Qz. O ótimo global não pode pertencer a nenhum intervalo de desconto j < z, isto decorre da propriedade de que para todo j < z CTj(Q) > CTz(Q) qualquer que seja Q, uma vez que os custos são decrescentes, IV - calcule os custos totais CT(Qz) e CT(Qoj) para todo j > z, V - o tamanho do lote ótimo global será aquele que corresponder ao menor custo total.

Exemplo: Sejam os seguinte dados:

Demanda média anual D =2400 un./ano Custo unitário de pedido cs = $ 32 /pedido

Taxa correspondente ao custo anual de manutenção i = $ 0,4 / $.ano Custo unitário:

Faixa kj ($ /unidade) 0 300 5,00

300 600 4,00 600 1000 3,50 1000 ∞ 3,00

Modelos de Estoques

33

Para obtermos o lote econômico o primeiro passo é calcular Qj, para cada uma das faixas de desconto com isto identificamos Qoj para cada delas. Como pode ser observado no quadro a seguir Qo1 = Q1, Qo2 = Q2, Qo3 = b2= 600, Qo4 = b3= 1000. Observamos que a 2a faixa de desconto é a faixa mais baixa para a qual o ponto de ótimo é o ponto de derivada zero (Qoj = Qj). Logo o ótimo global não pode estar na 1a faixa, devemos então pesquisá-lo nas faixas 2, 3 e 4. O quadro a seguir resume os cálculos e deles podemos verificar que a melhor política é comprar lotes de 1000 unidades que resultará em um custo anual de $7867,80.

custo unitário lote econômico Faixa Kj Qj Qoj CT(Qoj)

0 300 5,00 277 277 12554,26 300 600 4,00 310 310 10095,74 600 1000 3,50 331 600 8948,00 1000 ∞ 3,00 358 1000 7876,80

Modelo de Lote Econômico com descontos(custo de manutenção dependente do preço)

0,00

2000,00

4000,00

6000,00

8000,00

10000,00

12000,00

14000,00

16000,00

0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1000,00 1200,00 1400,00 1600,00Q

Cus

to

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

b1 b3b2 b4=oo

3.6 Lote econômico com múltiplos produtos

Nos modelos anteriores sempre tratamos com estoques de itens individuais, ou onde não houvessem interações entre estes itens. Existem porém diversas situações onde, na análise do estoque, devem ser levados em conta múltiplos produtos, como por exemplo: restrições agregadas de capital total a ser investido em estoque ou de espaço total disponível para armazenagem; imposição de compras conjuntas, restrições de


34

programação da produção tais como a de que o tempo total de máquina deve ser dividido entre os vários produtos. Suporemos nos modelos com múltiplos produtos que estamos tratando com os produtos 1,2, ...j, ... m e que os parâmetros relativos aos produtos receberam na sua notação o subscrito j.

3.6.1 Lote econômico para compras combinadas Nesta situação o administrador de estoque tem uma família de produtos para os quais ele sempre efetua a compra conjuntamente. Neste caso, o custo de pedido é um custo agregado único para a compra conjunta e os tempos de ciclo para todos os produtos deve ser o mesmo.

Logo: tTQD

t jjj

j= = ∀ ⇒ =Q

tDTj

j ,

desta forma o custo total pode ser expresso como

CT t cTt

k itD

k Ds jj

j jj m

( ),

= + +

=∑ 21

(3.10)

fazendo a derivada em relação a t igual a zero temos:

tc T

i k DQ

t DTo

s

j jj m

o jo j= ⇒ =

=∑2

1,

. (3.11)

3.6.2 Lote econômico para fabricação compartilhada Este problema é também conhecido com problema de programação do lote ótimo ou problema do ciclo de múltiplos produtos. É assumido que existe uma única máquina que é usada para produzir m produtos em base cíclica. A menos que a máquina trabalhe muito ociosa, a independência entre os tamanhos do lotes e a programação da produção pode levar a interferências entre os produtos, e a inviabilidade da programação. Para evitar isto é necessário uma política de ciclagem entre os produtos. Um política simples consiste em impor que cada item seja produzido uma vez por ciclo, ou de forma equivalente, que o número de ciclos de todos os produtos seja o mesmo (N) em um determinado tempo (por exemplo, um ano). Dada a natureza do problema uma taxa de produção finita pj deve ser assumida para cada item j. O custo total sob esta política é dado por:

( )CT N N cN

c D Tdps

j mm j j

j

jj m= + −

= =∑ ∑

1 1

12

1, ,

, (3.12)

Modelos de Estoques

35

A obtenção desta expressão é similar a do modelo de fabricação salvo pelo fato do tamanho do lote estar expresso como Q = D / N. O número de ciclos ótimo é obtido fazendo :

∂∂

CTN

Nc D T

dp

co

m j jj

jj m

s jj m

= ⇒ =

−

=

=

∑

∑0

1

21

1

,

,

, (3.13)

resultando que o tamanho do lote ótimo para o j-ézimo produto é QDNo

j

oj

= .

Obtido o número ótimo de ciclos, é importante observar se a correspondente duração do ciclo t = T / No é viável, isto é se este tempo é suficiente para a produção de um lote de cada um dos produtos.

3.6.3 Lote econômico com restrições A otimização irrestrita dos tamanhos dos lotes é frequentemente uma suposição irrealista em função de limitações de espaço, capital, dentre outras. Suponha que o armazém tenha uma capacidade W e que o espaço requerido para armazenar uma unidade do produto j seja wj. Logo ao problema de minimizar o custo total deve ser adicionada uma restrição da forma:

j mj jw Q W

=∑ ≤

1,

onde m é o número total de produtos a serem armazenados. Esta restrição garante que mesmo que todos os produtos atinjam seu nível máximo de estoque simultaneamente o armazém terá capacidade suficiente para abrigá-los todos.

O problema pode então ser escrito como:

Min CT CT

s a w Q W

Q j m

jj n

j mj j

j

=

− ≤

≥ =

=

=

∑

∑1

10

0 1 2

,

,. :

, , ,..., .

(3.14)

Onde, pode ser usada qualquer expressão coerente para CTj, por exemplo:

CT cDQ

k iTQ

iTc

k Dj s jj

jj

j s jj j= + + +

2 2.


36

Uma das formas de resolver este problema de otimização não linear é utilizando multiplicadores de Lagrange. Sejam estes multiplicadores definidos da seguinte forma:

λ == − ≥

< − <

=

=

∑∑

0 0

0 01

1

se

se

W Q w

W Q w

j jj n

j jj n

,

,

(3.15)

Multiplicando os multiplicadores de Lagrange pela restrição e adicionando o produto a função objetivo temos um problema de otimização não linear sem restrições (relaxado) mas com uma variável a mais. Este problema é denominado de problema Lagrangeano e pode ser escrito como:

( ) ( ) ( )CT Q cDQ

iT k Q c k D W w Q CT Qj s j

j

jj mj j s j j j j j,

,λ λ= + + + + −

≥

=∑ ∑ ∑ ∑

1 2

j=1,m j=1,m j=1,m,(3.16)

o qual tem a propriedade, para os multiplicadores definidos da forma acima, de ter valor sempre superior a CT(Q), isto é a adição dos multiplicadores funciona como uma penalidade na função objetivo.

Para resolvermos o problema Lagrangeano devemos verificar as condições de otimalidade de Kuhn-Tucker, que para este caso impõe:

∂ λ∂

λ

λ

CT QQ

j m

W w Q

W w Q

j

j

j jj m

j jj m

( , ), ,...

,

,

= =

− ≥

−

=

≤

=

=

∑

∑

0 1 2

0

0

0

1

1

(3.17)

A solução tanto pode ser obtida quando λ = 0, quanto para λ < 0.

Para λ = 0 a solução é dada por:

∂∂

CT QQ

j m

W w Q

j

j

j jj m

( , ), ,...

,

00 1 2

01

= =

− ≥=∑

(3.18)

A viabilidade dos valores QD cik Tj

j s

j

j* =2

j = 1,2,...m, deve ser verificada. Se a

solução obtida para λ = 0 for viável é dito que a restrição era inativa no ótimo. Se a restrição é ativa no ótimo então devemos procurar um conjunto de valores

(Qj, λ) que satisfaça à:

Modelos de Estoques

37

∂ λ∂

λ

CT QQ

j m

W w Q

j

j

j jj m

( , ), ,...

,

= =

−

<=∑

0 1 2

01

(3.19)

O que resulta no seguinte sistema de equações:

( )QD c

ik T w

W w Q

jj s

j j

j jj m

j**

*

,

=−

=

=∑

2

2

1

λ (3.20)

que pode ser sintetizado na equação

( )wD c

ik T wWj

j s

j jj m

j2

21 −=

=∑

λ *,. (3.21)

A solução da equação acima (em λ∗) é muitas vezes difícil de ser obtida analiticamente e métodos numéricos são necessários para a obtenção do valor ótimo dos multiplicadores e dos lotes.

Exemplo: 1) A Cia Viação Aérea Albatroz mantém em estoque uma determinada peça (casulo) e precisa determinar qual a melhor quantidade a comprar da peça. A cia tem no momento uma restrição de capital que limita o valor a ser gasto na aquisição do lote deve ser inferior a $200,00. Analise a situação, informando inclusive em que situação um empréstimo seria vantajoso para a companhia. Os dados necessários são detalhados a seguir.

Modelo de Estoques com Produto Único Sujeito a Restrição Dados Gerais

Taxa correspondente ao custo de manter o estoque i = 0,25 $/$.mês Disponibilidade financeira K = 200 $/compra

Dados e resultados por produto Produto Dj Csj Kj Qoj CTj KjQj Casulo 243 30 2,00 170,76 575,13 341,53

Determinando o lote econômico sem levar em conta a restrição de capital

encontramos um lote de 170,76 unidades, que contudo custa para ser adquirido $341,53, excedendo a quantia disponível para ser usada na compra do produto. Como se trata de um único produto podemos ver facilmente que a solução levando em conta a restrição será aquela em que usamos os $200,00 disponíveis, ou seja compramos 100 peças do produto.


38

Usando multiplicadores de Lagrange o problema pode ser formulado como:

Min CT CT

s a k Q K

Q j m

jj n

j mj j

j

=

− ≤

≥ =

=

=

∑

∑1

10

0 1 2

,

,. :

, , ,..., .

CT cDQ

k iTQ

iTc

k Dj s jj

jj

j s jj j= + + +

2 2

λ == − ≥

< − <

=

=

∑∑

0 0

0 01

1

se

se

K Q k

K Q k

j jj n

j jj n

,

,

Substituindo os valores dos parâmetros chegamos ao seguinte problema Lagrangeano:

( ) ( ) ( ) ( )CT QQ

Q Q CT Qjj

j j,* ,

*λ λ= + + + + − ≥30 243 0 25

22 30 2 243 200 2

cuja solução ótima é dada por:

( )Q

Q

j

j

**

*

,=

−

=

72900 25 2

200 2

λ

ou seja Qj* *; ,= = −100 0 2395λ .

Podemos verificar que o modelo Lagrangeano corresponde a situação prática onde tomamos dinheiro emprestado a uma taxa (-λ ) para suprir o capital necessário para comprar o lote Q. A tabela a seguir apresenta a solução do problema Lagrangeano para diversos valores de λ. Podemos verificar da tabela que o valor ótimo do multiplicador de Lagrange está entre (-0,2; -0,3), como calculado anteriormente. A tabela, em conjunto com o gráfico a seguir nos ajudam a interpretar os valores de λ. Quando λ é zero, isto é não existe custo financeiro adicional, a solução ótima corresponde a solução do problema sem restrições. A medida que -λ aumenta, mas ainda é menor que -λ∗ , ainda é vantajoso tomar dinheiro emprestado, pois teremos um custo total menor do que se atendermos à restrição de capital. Quando -λ torna-se maior que -λ∗, o modelo impõe um lote com um custo de aquisição inferior a restrição de capital, se pensarmos somente em termos de estoque teremos um custo total superior aquele que atende a restrição, logo nesta situação é desvantajoso tomar dinheiro emprestado. Contudo a curva do lado esquerdo da restrição pode ser interpretada da seguinte forma: a taxa de juros tornou-se tão atrativa que passa a ser melhor trabalhar com custos maiores de estoques, mas com menos capital investido. A diferença entre o capital disponível e o capital usado na aquisição de estoques é então aplicada financeiramente com um retorno que justifica o aumento dos custos.

Modelos de Estoques

39

Soluções para o problema Lagrangeano Q \ λ 0 -0,05 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5

40 682,00 676,00 670,00 658,00 646,00 634,00 622,0060 626,25 622,25 618,25 610,25 602,25 594,25 586,2580 600,88 598,88 596,88 592,88 588,88 584,88 580,88

100 587,65 587,65 587,65 587,65 587,65 587,65 587,65120 580,50 582,50 584,50 588,50 592,50 596,50 600,50140 576,82 580,82 584,82 592,82 600,82 608,82 616,82150 575,85 580,85 585,85 595,85 605,85 615,85 625,85160 575,31 581,31 587,31 599,31 611,31 623,31 635,31170 575,13 582,13 589,13 603,13 617,13 631,13 645,13180 575,25 583,25 591,25 607,25 623,25 639,25 655,25200 576,20 586,20 596,20 616,20 636,20 656,20 676,20220 577,89 589,89 601,89 625,89 649,89 673,89 697,89240 580,13 594,13 608,13 636,13 664,13 692,13 720,13260 582,79 598,79 614,79 646,79 678,79 710,79 742,79280 585,79 603,79 621,79 657,79 693,79 729,79 765,79300 589,05 609,05 629,05 669,05 709,05 749,05 789,05320 592,53 614,53 636,53 680,53 724,53 768,53 812,53360 600,00 626,00 652,00 704,00 756,00 808,00 860,00380 603,93 631,93 659,93 715,93 771,93 827,93 883,93400 607,98 637,98 667,98 727,98 787,98 847,98 907,98420 612,11 644,11 676,11 740,11 804,11 868,11 932,11440 616,32 650,32 684,32 752,32 820,32 888,32 956,32460 620,60 656,60 692,60 764,60 836,60 908,60 980,60480 624,94 662,94 700,94 776,94 852,94 928,94 1004,94500 629,33 669,33 709,33 789,33 869,33 949,33 1029,33520 633,77 675,77 717,77 801,77 885,77 969,77 1053,77540 638,25 682,25 726,25 814,25 902,25 990,25 1078,25560 642,77 688,77 734,77 826,77 918,77 1010,77 1102,77580 647,32 695,32 743,32 839,32 935,32 1031,32 1127,32600 651,90 701,90 751,90 851,90 951,90 1051,90 1151,90

Mínimo

575,132 580,821 584,500 587,650 587,650 584,875 580,875

Resumindo: se λ < 0,2395 vale a pena tomar dinheiro emprestado;

λ > 0,2395 vale a pena emprestar dinheiro.


40

Modelo com restrições

550,00

600,00

650,00

700,00

0 100 200 300 400 500Q

CT

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

-0,05

0

Exemplo: 2) Vamos estender o exemplo 1 a um situação em que dois produtos devem ser comprados, sujeitos ainda a uma limitação no capital disponível para a compra agregada dos dois produtos. Os dados e os resultados, desconsiderando as restrições são apresentados nas tabelas a seguir.

Modelo de Estoques com Restrições (dois produtos) Dados Gerais

Taxa correspondente ao custo de manter o estoque 0,1 $/$.mês Disponibilidade financeira 300 $/compra

Dados e resultados por produto Produto Dj Csj kj Qoj CTj kjQj

Anel 178 30 0,96 333,5416 204,40 320,20 Casulo 243 30 0,70 456,3833 203,55 319,47 Totais 407,95 639,67

Para obtermos o valor de λ* usamos um processo de tentativas, auxiliado por análise gráfica. A solução do problema Lagrangeano (usando as expressões estabelecidas no exemplo 1) é apresentada na tabela a seguir.

Modelos de Estoques

41

Soluções para o problema Lagrangeano λ Qa Qc CT(Qa, Qc) ka.Qa+kcQc CT(λ) 0 333,5 456,4 407,95 639,6682 407,9468

-0,02 281,9 366,7 409,17 527,3398 413,7146 -0,04 248,6 315,1 411,55 459,2671 417,9256 -0,06 224,9 280,6 414,32 412,2855 421,0599 -0,08 206,9 255,4 417,21 377,3275 423,3965 -0,1 192,6 235,9 420,11 349,9976 425,1127 -0,12 180,9 220,3 422,98 327,8679 426,3287 -0,13 175,8 213,6 424,40 318,2713 426,7769 -0,14 171,1 207,4 425,80 309,4720 427,1304 -0,15 166,8 201,8 427,19 301,3652 427,3966 -0,151 166,4 201,3 427,33 300,5892 427,4186 -0,1515 166,1 201,0 427,40 300,2034 427,4294 -0,15176 166,0 200,9 427,43 300,0034 427,4349 -0,15177 166,0 200,9 427,44 299,9957 427,4351 -0,152 165,9 200,7 427,47 299,8191 427,4399 -0,154 165,1 199,7 427,74 298,2965 427,4801 -0,156 164,3 198,6 428,02 296,7970 427,5171 -0,16 162,8 196,6 428,56 293,8646 427,5818 -0,18 155,5 187,3 431,26 280,4050 427,732 -0,2 149,2 179,2 433,89 268,6415 427,6194 -0,22 143,5 172,1 436,46 258,2452 427,2751 -0,24 138,5 165,7 438,97 248,9700 426,7245 -0,25 136,2 162,8 440,21 244,6924 426,3785

Podemos identificar no gráfico λ x CT o valor de λ*, que é aquele em que a curva ka.Qa+kcQc atinge o valor 300, que o custo total é crescente com o crescimento de -λ.

Modelo com Restrições

300,00

350,00

400,00

450,00

500,00

550,00

600,00

650,00

-0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0

CT(Qa, Qc)

Ka.Qa+KcQc

CTL


42

Os gráficos a seguir ilustram a curva do custo total, e sua interseção com o plano ka.Qa+kcQc=300 da restrição.

140

190

240

290

340

390

440

490

540

150,00210,00

270,00330,00

390,00

450,00

510,00400,00

405,00

410,00

415,00

420,00

425,00

430,00

435,00

440,00

445,00

CT

Qa

Qc

Modelo de Estoques com Restrições

140

170

200

230

260

290

320

350

380

410

440

470

500

530

236,57

181,71

126,8672,00

17,14

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

900,00

Qa

Qc

Modelos de Estoques com Restrições

Modelos de Estoques

43

140

145

150

155

160

165

170

175

180

236,57

228,34

220,11

211,89203,66

195,43187,20

426,00

426,50

427,00

427,50

428,00

428,50

429,00

CT

Qa

Qc

Modelos de Estoques com Restrições

3.7 Exercícios resolvidos

R 3.1 Deng monta computadores e precisa de 800 placas-mãe por ano e estima um custo de obtenção de $25 por pedido. O estoque é financiado por empréstimos com taxa de 12% a.a.. Os custos de armazenagem, baseados no espaço adequado para estoque máximo são de $1,50/unidade.ano, e o preço de compra é de $100/unidade. Achar

a) o lote econômico de compra; b) o custo total anual de estoque; c) o número de pedidos colocado por ano.

Resolução: No problema são relevantes os seguintes custos em cada ciclo:

custo de obtenção (pedido): $25/pedido; custo financeiro (baseado no estoque médio !): 0,12.100 = $12/unidade.ano custo de armazenagem (baseado no estoque máximo !): $1,5/unidade.ano, custo de compra: $100/unidade.

Em um ano temos uma demanda de 800 placas e um número de pedidos igual a 800/Q, onde Q é o tamanho do lote, logo o custo total no ano pode ser escrito como: CT = 25 (800/Q) + ½ 12. Q + 1,5. Q + 100.(800) =

= 20.000/Q + 7,5. Q + 80.000


44

O lote econômico pode ser obtido fazendo ∂∂CTQ

= 0, o que resulta em

Q = =20 000

7 5516

.,

, placas / pedido.

Substituindo Q na expressão do custo total obtemos: CT = 20.000/ 51,6 + 7,5 (51,6) + 80.000 = $ 80.774,60 /ano O número de pedidos por ano será dado por 800/51,6 = 15,5 pedidos/ano R 3.2 M.A.Beiro monta microcomputadores para revenda. Nos próximos 100 dias ele

espera vender 1000 micros, cada um deles com uma configuração básica contendo 2 drives e 1 monitor. Os custos do M.A.Beiro são de $600 para cada monitor e $100 para cada drive. Além disto ele estima que os custos de efetuar os pedidos são de $540 e $500 para monitor e drive, respectivamente e ainda que os custos de manutenção são da ordem de 8% do valor dos produtos nos próximos 100 dias.

a) Determinar a política ótima para cada um dos produtos, bem como o custo total dos dois produtos. b) Avaliar o impacto financeiro (em termos do custo total) decorrente de o fornecedor de monitores dar desconto de 10% para compras superiores a $100.000,00. c) Avaliar o impacto financeiro (em termos do custo total) decorrente de por razões operacionais as compras de monitores e drives terem de ser feitas conjuntamente. d) Avaliar o impacto financeiro (em termos do custo total) decorrente do fato de qualquer dos itens só ser fornecido em lotes com múltiplos de 100 unidades.

Resolução: a) As expressões para calcular o lote econômico, o tempo entre pedidos e o custo total para cada um dos produtos são dadas respectivamente por:

QiT

c D

ko j

s j

j

j=2

, tTQDj

j

j= , CT c

DQ

k iTQ

iTc

k Dj s j

j

jj

j s jj j= + + +

2 2

logo temos:

csj kj Dj Qoj toj CTj Monitor 540 600 1.000 150 un. 15 dias $607.221,60

Drive 500 100 2.000 500 un. 25 dias $204.020,00 b) Dar descontos para compras superiores a $100.000,00 é equivalente a dar descontos para compras acima de 100.000/540 = 186 monitores.

Modelos de Estoques

45

O lote econômico para o novo valor de kM = $540,00 é dado por

QoM=

20 08

5401000540,.

= 158,11. Para definirmos qual a melhor política devemos

comparar o custo de comprar-mos 150 monitores por lote (política ótima para o custo unitário de $600), com o custo de comprar-mos 186 monitores por lote (política ótima para o custo unitário de $540, face a restrição de que este preço só vale para compras superiores a $100.000).

( )CTM 186 5401000186

540 0 08186

20 08

5402

540 1000 546 942 40= + + + =* , * , * . ,

Logo, a melhor política é comprar 186 monitores por lote, o que implica em uma redução de aproximadamente 10% (1 - 546.942,60/607.221,60 ) nos custos de estoque dos monitores ou de aproximadamente 7,5 % nos custos totais. c) Se as compras dos componentes deve ser feita conjuntamente devemos ter: tM = tD,

logo QD

QD

Q QM

M

D

DD M= ⇒ = 2 , substituindo Q QD M= 2 na expressão do custo total

teremos:

CT cDQ

k iTQ

iTc

k D cDQ

k iTQ

iTc

k Ds MM

MM

M s MM M s D

D

MD

M s DD D= + + + + + + +

2 2 22

2 2

ou CTQ

QM

M= + +1040 000

32 800 041 60. .

. , , o que implica em

Q Q to o oM D= = =180 28 360 56 5 54, , , , , dias , CT = $811.579,36 ou um acréscimo de 0,04%

no custo total. d) Neste caso como os drives já estão sendo comprados em lotes que são múltiplos de

100, só é necessário analisar as compras de monitores. Devemos analisar duas situações: compras de lotes de 100 e de 200 monitores.

como CTM(100) = $ 607.821,60 e CTM(200) = $ 607.521,60 Logo a melhor política é comprar 200 monitores com um créscimo no custo total de 0,037%. R 3.3 Um fabricante de auto peças necessita de um item que pode ser feito na própria

fábrica ou comprado de um fornecedor. A demanda pelo item é de 2.500 unidades/ano e o custo de manutenção do estoque é de $0,50/unidade.ano. Não são permitidas faltas do produto. Outros parâmetros de interesse são:


46

Dados \ Compra Opção: Compra Opção: Fabricação PrópriaCusto Unitário ($/unidade) 8,50 8,48

Custo de pedido (fabricação) ($/ciclo) 4 16

a) Qual a taxa de produção que torna equivalentes (em termos de custo total) comprar ou fabricar? b) Qual o lote econômico de fabricação, o estoque máximo a ser produzido e o intervalo entre fabricações.

Resolução: a) O lote ótimo de compra é dado por Qoc=

2 4 25000 5

* *,

= 200 unidades,

e o custo correspondente é de CTc = $21.350/ano.

Seja ydp

= −1 , as expressões para o lote econômico e o custo total de fabricação

podem ser escritas então como:

Qdp

y e CTy y

yyo ff

=−

= = + + = +2 16 2500

0 5 1400

16 2500400

0 5400

28 48 2500 200 21200

2* *

,/

*, , * .

fazendo CTf = 21350 temos y = 0,75 logo 1 0 75 2 286− = ⇒ =dp

p d, , ,

como d = 2.500 unidades/ano, então p = 5.715 unidades/ano = 476,25 unidades/mês. b) Q y to of f

= = = =400 533 33 533 33 2500 0 2133/ , , / , unidades / lote; anos = 2,56 meses

o estoque máximo pode ser calculado pela expressão

Hdp

Q y Q= −

= = =1 0 75 400 3002 , * unidades.

R 3.4 Um montador de micro computadores compra muitas das peças que lhe são

necessárias de supridores externos. Para uma destas peças um supridor habitual oferece descontos no preço unitário de acordo com a seguinte tabela:

Quantidade (unidades) até 499 de 500 à 749 acima de 750

Preço Unitário ($/unidade) 10,00 9,25 8,75

O montador estima que necessitará de 2.400 peças no próximo ano. Seu custo de fazer um pedido é de $350,00 e seu custo mensal de manutenção desta peça em estoque é estimado em 2% do custo de aquisição da peça (considerando o valor da peça e o custo unitário de pedido).

Modelos de Estoques

47

a) Calcule o valor do lote econômico e o custo total respectivo. b) Suponha agora que o montador procure melhorar seus custos e se proponha a obter um novo lote econômico 6% superior ao calculado em (a). Qual a nova faixa de preços que deve ser oferecida pelo supridor de modo a atender ao montador? c) Qual a economia do montador com a nova faixa calculada em (b) ?

Resolução: a) D = 2.400 peças/ano = 200 peças/mês,; cs = $350/pedido, i = 2% a.m.

Qo>= =

750

2 350 2008 75 0 02

894 4* *, * ,

, pecas / mes

substituindo na expressão do custo total temos: CT = $1.910,02/mês = $22.920,30/ano. b) Qn = 1,06*894,4 = 948,1 peças/lote

2 350 200

0 02948 1 79

44

* *,

, $7, /k

k= ⇒ = peca

c) CTn = $1.709,19 /mês, logo a economia com o nova faixa de preços é de (1910,25 - 1709,19) = $ 200,84/mês. R 3.5 Seja o modelo de estoques com restrições (para n produtos), cuja equação do

custo total é dada por:

CT CT CT cDQ

k iTQ

iTc

k Djj n

j s j

j

jj

j s jj j= = + + +

=∑

1 2 2,, onde

onde:

• Dj Demanda do produto j;

• csj Custo de preparação da produção do produto j;

• kj Custo unitário do produto j;

• Qoj Lote econômico do produto j;

• i Fração do custo unitário que corresponde ao custo de manutenção do estoque dos produtos em consideração.

Suponha que uma unidade do produto j ocupa o espaço wj. Ao considerar-se que o espaço médio disponível para o armazenamento dos n produtos é S o problema resultante pode ser formulado da seguinte maneira:


48

Min CT CT

s a w Q S

jj n

j nj j

=

≤

=

=

∑

∑1

1

12

,

,. :

Consideremos agora uma restrição adicional relativa a disponibilidade de tempos de máquina. Sabe-se que certa quantidade de tempo é necessária para a preparação das máquinas antes do início da fabricação de um novo lote. Se o tempo de preparação das máquinas para um lote do produto j é vj e o tempo total disponível por mês para este tipo de atividade (para os n produtos) é V: a) Escreva a equação da restrição correspondente para os n produtos em consideração. (Sugestão: comece escrevendo uma expressão para o número médio de preparações por mês para o produto j em função de D e Q ). b) Formule o problema de minimização do custo total para os n produtos, de modo que sejam respeitadas tanto a restrição de espaço máximo disponível, quanto a do tempo total V de preparação das máquinas. c) Utilizando multiplicadores de Lagrange convenientemente escolhidos incorpore ambas as restrições à equação do custo total e obtenha a fórmula correspondente ao lote econômico do produto j . Uma opção alternativa seria alugar espaço fora da companhia, a um custo unitário de A. d) Escreva a nova equação do custo total considerando, em adição aos custos incluídos na equação de CT acima, os custos incorridos com aluguel de espaço fora da companhia. (Calcule o custo do aluguel em termos do espaço médio a ser ocupado). e) Partindo da equação obtida em (d), deduza a fórmula correspondente ao lote econômico do produto j. f) Seja agora uma companhia que armazena produtos cujos dados são

apresentados abaixo:

Produto Di csj kk wj 1 200 100 12 5 2 400 25 7 35

Sabe-se que i = 0,005. Para A = 0,0005, de que espaço mínimo S a companhia deve dispor para ser mais econômico armazenar em suas próprias instalações? Sugestão: Inicie calculando o valor dos lotes econômicos dos produtos 1 e 2 para os valores dados acima, utilizando a fórmula obtida em (e).

Resolução:

Modelos de Estoques

49

a) O número médio de preparações por mês para cada produto j é dado por: Dj / Qj, logo o tempo total de preparações em um mês é (Dj / Qj) vj . A restrição do tempo total de máquina pode ser escrita:

DQ

v Vj

jj nj

=∑ ≤

1,

b) O novo problema pode ser formulado como:

Min CT CT

s a w Q S

jj n

j nj j

=

≤

=

=

∑

∑1

1

12

,

,. :

DQ

v Vj

jj nj

=∑ ≤

1,

c) Sejam os multiplicadores de Lagrange definidos da seguinte forma:

λ s

j jj n

j jj n

S Q w

S Q w=

= − ≥

< − <

=

=

∑

∑

012

0

012

0

1

1

se

se

,

,

e λ v

j

jj

j n

j

jj

j n

VDQ

v

VDQ

v=

= − ≥

< − <

=

=

∑

∑

0 0

0 0

1

1

se

se

,

,

O problema relaxado pode ser escrito como:

( ) ( )CT Q cDQ

iT k Q c k D S w Q V

DQ

vj s t s jj

jj nj j s j j j s j j v

j

jj, ,

,λ λ λ λ= + + + + −

+ −

=∑ ∑ ∑ ∑ ∑

1 212

i=1,n i=1,n i=1,n i=1,n

a solução pode ser obtida tomando as derivadas parciais, igualando-as a zero e resolvendo o sistema resultante:

( )( )

∂∂∂∂λ∂∂λ

λ

λCTQCT

CT

QD c v

ik w

S w Q

VDQ

v

j

s

v

j

j s v j

j s j

j jj n

j

jj

j n

j

=

=

=

⇒

=−

−

=

=

=

=

∑

∑

0

0

0

2

12 1

1

*

*

*

*

,

*,


50

d) O espaço médio a ser ocupado pelos n produtos é 121j n

j jw Q=∑

, logo o custo do

aluguel será dado por A

w Qj n

j j2 1=∑

, e a equação do custo total, considerando a

parcela devida ao aluguel será:

( ) ( )CT Q cDQ

iT k Q c k D

Aw Qj s j

j

jj nj j s j j j j j= + + + +

=∑ ∑ ∑ ∑

1 2 2,

i=1,n i=1,n i=1,n.

e) Tomando a derivada parcial e igualando a zero temos:

( )∂∂

CTQ

QD c

ik Awjj

j s

j j

j= ⇒ =+

02

* .

f) Substituindo os valores dados obtemos:

Q

Q

1

2

2 200 1000 005 12 0 0005 5

800

2 400 250 005 7 0 0005 35

617

*

*

* *, * , *

* *, * , *

=+

=

=+

=

unidades

unidades

ocupando um espaço = ½ (5*800 + 35*817) = 12.797,5 un. de espaço. Justificativa: Podemos fazer uma analogia entre o valor de A e o valor do multiplicador de Lagrange para problemas com restrição de espaço. Comparando os dois modelos podemos constatar facilmente que os modelos são análogos para A = -λs, isto é, para estes valores de A e λs para a companhia é indiferente (em termos de custos) armazenar no espaço próprio ou no espaço alugado. Para λs > -A o tamanho dos lotes aumentaria (aumentando a necessidade de espaço), mas o custo total CT diminuiria (para se convencer disto basta calcular os lotes econômicos sem restrição de espaço e o custo total correspondente e comparar com os obtidos acima), logo neste caso é mais vantajoso para a companhia alugar espaço externo do que atender as restrições de espaço. Para λs < -A o tamanho dos lotes diminui (atendendo a restrição de espaço), e o custo total CT aumenta. Nesta situação não é necessário alugar espaço externo, mas o custo aumenta, logo a situação limite é aquela em que A = -λs, ou seja o espaço mínimo a partir do qual passa a ser interessante usar suas próprias instalações é de 12.797,5 unidades de espaço.

Modelos de Estoques

51


Q 3.1 Relacione as assertivas abaixo com as proposições e contra-proposições apresentadas a seguir (obs.: a relação não é 1 x 1 ).

1 - Estoque de matérias primas 2 - Estoque de produtos acabados 3 - Estoque de segurança 4 - Modelo de lote econômico de Wilson 5 - Modelo de lote econômico de fabricação

Proposição Contra-proposição A - reposição instantânea A - reposição não instantânea B - demanda constante B - demanda variável C - tempo de entrega variável C - tempo de entrega constante D - faltas permitidas D - faltas não permitidas E - parâmetros constantes E - parâmetros variáveis F - sem limitações de espaço F - com limitações de espaço

Q 3.2 Responda (complete) as perguntas (afirmativas) abaixo.

a) Apresente 3 motivos para uma firma manter estoques b) Enumere a cadeia de estoques (isto é, a sequência de tipos de estoques

mantidos por uma empresa). c) Quando a demanda dobra o tamanho do lote econômico de Wilson

__________. d) Quais são as variáveis de decisão relevantes em um modelo de estoques de

demanda e tempo de entrega constante? Por que? e) Mantidos todos os demais elementos inalterados podemos dizer que o custo

total de estoques quando se passa a admitir faltas é _________ (maior menor igual) do que o custo total de estoques quando não se admitem faltas.

Q 3.3 Um determinado produto é fabricado durante 8 dias a uma taxa de 25 unidades

por dia e consumido a uma taxa de 10 unidades por dia. a) Qual a taxa de formação de estoques? b) Qual o estoque máximo ? c) De quantos em quantos dias é necessário reiniciar a produção ?


52

Q 3.4 Sejam as figuras I e II abaixo representativas de duas políticas de estoques para uma mesma situação.

L/2

Tempo

Q

L

Nível deEstoque

Tempo

Q/2

L

Nível deEstoque

Figura II

Figura I

Se a figura I representa a política ótima então o custo mais relevante na formação do custo total de estoques é __________________ (custo de preparação, custo de manutenção). Por que?

Q 3.5 Quais as premissas adotadas no modelo de Wilson de fabricação. Explique seus

efeitos usando gráficos CT X Q e S X T. Q 3.6 Quais as premissas adotadas no modelo de Wilson com faltas. Explique seus

efeitos usando gráficos CT X Q e S X T. Q 3.7 Discuta em termos dos parâmetros dos modelos de estoques a situação onde seja

mais interessante produzir por encomenda do que produzir para estoques. Ilustre graficamente sua discussão.

Q 3.8 Discuta em termos dos parâmetros dos modelos de estoques a situação onde seja mais interessante produzir para estoques do que produzir por encomenda.. Ilustre graficamente sua discussão.

Q 3.9 Explique como você procederia para determinar o lote econômico em um modelo de estoques com restrições. (Enumere os passos mais importantes, sem se preocupar muito! com a nomenclatura).

Q 3.10 Calcule o estoque médio para a situação onde a demanda não possa ser considerada contínua e seja dada por:

Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 Demanda 0 1 1 3 9 27 81 243

Obs. Estoque inicial (no início do dia 1) 365 unidades.

Modelos de Estoques

53

Q 3.11 Dados os gráficos de evolução do estoque ao longo do tempo abaixo, discuta o modelo de estoques que melhor o representa. Aborde aspectos tais como: variáveis de decisão relevantes, comportamento das taxas de entrada/saída; comportamento da demanda frente à ruptura de estoque, principais custos de administração dos estoques. Dê um exemplo de uma situação real que poderia ser modelada assim.

Tempo

Nível deEstoque

Q 3.12 Seja o modelo de Wilson com faltas, com custo total e lote econômico dados

pelas expressões

CT cDQ

c TSQ

c TQ S

QkDs m f= + +

−+. . . .

( ),

2 2

2 2

Qc D

c Tc c

cc D

c Tc

c cos

m

m f

f

s

m

f

m f

=+

=+

2 2, So

Analise o modelo para as situações onde Cf → 0; Cf = 0,5Cm; Cf = Cm; Cf = 3Cm Cf → ∞.

3.9 Exercícios propostos

P 3.1 A distribuidora de bebidas Q-Fresca Ltda compra os produtos no atacado e os distribui a vários bares e restaurantes. Um dos produtos que distribui é um refrigerante cuja demanda pode ser considerada constante de aproximadamente 900 caixas por mês. A política de estoque da companhia distribuidora se baseia em um custo de pedido de $40,00/pedido e em um custo de manutenção de estoque de $0,20/caixa.mês.

a) Calcule a quantidade ótima a ser pedida, o custo total mensal correspondente e o tempo ótimo entre 2 pedidos consecutivos.

b) O Sr. J. Fresco, dono da distribuidora, admite trabalhar com um custo total até 10% superior ao ótimo. Determine a menor e a maior quantidade que pode ser pedida de modo a atender a restrição do Sr. J. Fresco.


54

c) O fabricante do refrigerante, preocupado com a possibilidade do envelhecimento do mesmo na distribuidora, estipula que a mesma não pode manter o refrigerante por mais de 2 semanas. Ache a nova política ótima da distribuidora face a esta restrição. Qual o custo adicional do distribuidor por caixa quando comparado ao custo calculado em (a)?

Resp. a) 600 cx/pedido, $120/mês, 9= 120 dias; b) 385 - 935 cx/pedido.

P 3.2 Um fornecedor tem um contrato para suprir 25 motores diesel por dia a uma fábrica montadora de caminhões. Como este cliente é um cliente importante, as entregas são feitas em base diária. O custo de o fornecedor manter um motor pronto em estoque é de $15,00/mês, e há uma cláusula no contrato penalizando-o em $10,00/dia, por motor não entregue no prazo. A produção da fábrica é por lotes e cada vez que inicia a fabricação de um lote o fornecedor incorre em um custo de $10.000,00.

a) Se o fornecedor visa a minimização de seus custos totais, em relação à fábrica montadora, qual deve ser a freqüência de fabricação dos lotes? b) Em média, em quantos motores entregues com atraso por mês esta política implica ? c) Qual o custo adicional para o fornecer, se a fábrica montadora passar a não admitir atrasos na entrega ?

Resp.: a) 41 dias, b) 36 motores/mês, c) 9= 1$12,05/dia

P 3.3 Uma companhia pode atender a demanda por um determinado item fabricando-o ou comprando-o de fornecedores externos. A demanda é de 2.000 unidades por ano e o custo de manutenção do item no estoque é de $0,20/unidade.ano. Outros dados são apresentados abaixo:

a) Indique qual a melhor opção para a companhia. b) Para a melhor opção calcule o lote econômico, o intervalo ótimo entre reposições de estoque.

Resp.: a) CT = $15.080/ano, CT = $14.803/ano; b) 1549 un/lote, 0,7745 anos

P 3.4 Seja o modelo com reposição não instantânea de estoques. Sabe-se que a demanda anual de um item é de 3.600 unidades, que seu custo de manutenção em estoque é de $ 5,00/unidade.mês e que o custo de preparação da produção respectivo é de $1.000/preparação. Calcule quanto deve ser a taxa de produção para que a duração do ciclo correspondente ao lote econômico de custo mínimo seja exatamente igual a 2 meses. Calcule então os valores correspondentes do lote econômico e do custo total esperado.

Resp.: 15 un/dia, 600 un/lote, $12.000/ano.

Modelos de Estoques

55

P 3.5 Derive uma equação para o lote econômico quando os seguintes custos são relevantes:

• pedido: Cs $/pedido,

• falta: Cf $/ocorrência de falta,

• financeiro: Ci $/unidade.un tempo, (baseado no estoque médio),

• estocagem: Cm $/unidade.un tempo, (baseado no estoque máximo),

• compra: K $/unidade, (baseado na demanda anual D), Considere que o custo de falta é computado uma única vez por ciclo de pedido, independentemente da quantidade que falte.

P 3.6 Uma firma fornece a clientes, em uma certa área, 60 mil caixas de doce por ano a

uma taxa de 200 por dia. A fábrica pode produzir 400 por dia, porém a gerência hesita em formar um estoque muito grande, em virtude do risco de estrago. Os custos de armazenagem chegam a $1,50/caixa.ano. O custo de alteração para produzir esse doce é de apenas $25 por instalação, e a gerência estima que se incorre em um custo de $75 em perda toda vez que a firma fica sem estoque e precisa dizer aos clientes que eles tem têm de esperar para receber o doce. Qual o número mais econômico de caixas a produzir durante um turno típico de produção?

Resp.: 4.000 caixas P 3.7 Um fabricante de equipamentos fotográficos compra lentes de um fornecedor a

$100 cada. Ele necessita de 125 lentes por ano, e o custo de obtenção é de $18 por pedido. Os custos de manutenção do estoque por unidade.ano são avaliados em $20. O fornecedor oferece um desconto de 6% para compras entre 50 e 99 lentes e um desconto de 8% para compras de 100 ou mais lentes de uma só vez. Qual o volume mais econômico para pedir de uma só vez ?

Resp.: 50 unidades; CT = $12.800/ano, CT = $12.295/ano,CT = $12.522/ano. P 3.8 O item A é vendido no mercado por $6,00. Um dos fornecedores deste item

oferece um desconto para lotes superiores a 150 unidades. Uma companhia consome 30 unidades por mês do item A e está em processo de negociação do desconto com o fornecedor. Sabe-se que a companhia incorre em um custo de $50.00 a cada vez que tem, que efetuar um pedido, e que o seu custo mensal de manutenção do estoque é igual a 5% do valor de compra do item.

a) Deseja-se saber qual o percentual de desconto que torna vantajosa a compra de lotes de 150 ou mais peças? b) Qual a quantidade a ser comprada se o desconto obtido for de 60% ?

Resp.: a) 1%; b) 158 unidades


56

P 3.9 Uma firma usa 64.000 latas anualmente e pode comprar qualquer quantidade até

10.000 latas a $0,040 por lata. De 10.000 a 29.999 latas o custo unitário cai para $0,032 por lata, e para compras de 30.000 ou mais latas ele é de $0,030 por lata. Os custos de pedido são $24 por pedido, e os custos de juros são de 20% do preço por lata e se aplicam ao estoque médio. Os custos de armazenagem são de $0,02/lata.ano e estão baseados em um estoque máximo.

a) Qual o lote econômico de compra, e seu custo total anual, sem considerar os descontos de quantidade ? b) Qual a quantidade de pedido mais econômica, e seu custo total anual, considerando-se os descontos em quantidade ?

Resp.: a) 8.000 latas; b) $2.433/ano. P 3.10 O Sr Joaquim K. Riol vende, em média, 2.000 garrafas de cerveja por mês em

seu botequim. Após consultar seus registros contábeis, uma caderneta, seu Joaquim constatou que para efetuar um pedido à fábrica fornecedora ele gasta $44,00, e ainda que ele gasta em torno de $1,00/mês para cada cerveja que ele mantém em estoque. Tem ainda no caderninho (caderninho completo!) que cada cerveja sai para “seu” Joaquim por $33,00. O filho do “seu” Joaquim foi um brilhante estudante de PO na UFRJ e resolveu determinar a política ótima de compras para o seu pai. Qual a quantidade ótima a ser pedida, o número ótimo de pedidos por mês e o custo total mensal correspondente encontrados por ele ?

a) O Sr Joaquim lembrou ao seu filho que a cervejaria só fornece múltiplos de 5 caixas (de 24 cervejas) por pedido. b) O Sr Joaquim lembrou ao seu filho que a quantidade entregue por pedido é de no mínimo 20 caixas (de 24 cervejas). c) O Sr Joaquim lembrou ao seu filho que : a cervejaria d 5% de desconto para pedidos superiores a 10 caixas (de 24 cervejas) e 10% de desconto para pedidos superiores a 20 caixas.

P 3.11 Um fabricante de auto peças necessita de um item que pode ser feito na própria

fábrica ou comprado de um fornecedor. A demanda pelo item é de 3.000 unidades/ano e o custo de manutenção do estoque é de $0,50/unidade.ano. Não são permitidas faltas do produto. Outros parâmetros de interesse são:

Compra Fabricação Própria Custo Unitário ($/unidade) 8,50 8,35

Custo de pedido (fabricação) ($/ciclo) 4 20 taxa de produção ∞ 500 un./mês

a) Qual a melhor opção (em termos de custo total) comprar ou fabricar? b) Qual o lote econômico de fabricação, o estoque máximo a ser produzido e o intervalo entre fabricações.

Modelos de Estoques

57

P 3.12 Um montador de micro computadores compra muitas das peças que lhe são

necessárias de supridores externos. Para uma destas peças um supridor habitual oferece descontos no preço unitário de acordo com a seguinte tabela:

Quantidade (unidades) até 499 de 500 à 749 acima de 750 Preço Unitário ($/unidade) 10,00 9,25 8,75

O montador estima que necessitará de 2.400 peças no próximo ano. Seu custo de fazer um pedido é de $525,00 e seu custo mensal de manutenção desta peça em estoque é estimado em 3% do custo de aquisição da peça (considerando o valor da peça e o custo unitário de pedido). a) Calcule o valor do lote econômico e o custo total respectivo. b) Suponha agora que o montador procure melhorar seus custos e se proponha a comprar quantidades iguais ou superiores a 1000 unidades. Qual a nova faixa de preços que deve ser oferecida pelo supridor de modo a atender ao montador?

P 3.13 A fábrica P.Química tem um processo de produção de Zetano contínuo e

ininterrupto. Sua taxa de produção pode, contudo, ser fixada em n diferentes níveis discretos (p1, p2, p3, . . . , pn) a um custo de preparação unitário Cs . A fábrica tem um contrato de entrega do Zetano a um ritmo constante de d , não sendo previstas no contrato faltas de produto, ou atrasos na entrega. Seu custo unitário de manutenção de Zetano em estoque é Cm, e o custo unitário de produção é K. a) Represente num gráfico (SxT) a evolução do estoque de Zetano ao longo do tempo. Nos itens (b) a (e) seguintes admita, para facilitar, que n = 2. b) Obtenha uma expressão para o custo total de estocagem de Zetano. c) Para qual volume de Zetano devem ser projetados os tanques de armazenamento da P.Química ? d) Qual o volume de Zetano produzido em um ciclo de fabricação ? e) Durante quanto tempo devem ser mantidos os níveis de produção p1 e p2 ?

P 3.14 Uma industria consome 2000 kg por mês de certa matéria-prima, adquirida de um fornecedor externo. A realização de uma compra custa R$ 200,00, independentemente da quantidade comprada, e o fornecedor cobra R$ 8,00 por kg vendido. Manter a matéria-prima em estoque resulta numa taxa do custo de posse do estoque igual a 10% ao mês. a) Qual é a política ótima de compra desta matéria-prima ? b) Se o fornecedor oferecer um desconto de 10% sobre toda a venda para quantidade acima de 1.500 kg, a política ótima de compras muda ? Se sim, qual seria, neste caso, a política ótima ?

Modelos Estocásticos

58

4. MODELOS DE ESTOQUES ESTOCÁSTICOS

4.1 Decisões para mercadorias perecíveis

Nos problemas tratados na seção anterior consideramos que a demanda pelo produto estocado era certa. Em situações reais na maioria das vezes nos deparamos com demandas incertas. Nesta seção trataremos de um problema, comumente conhecido como problema do jornaleiro, mas que é aplicável a qualquer produto perecível, ou que se torna obsoleto rapidamente (produtos de moda). Nestes problemas uma certa quantidade de produto deve ser comprada sem que se conheça demanda, para posterior venda. A decisão a ser tomada deve procurar contrapor o risco de ficar com o produto “encalhado” com a possibilidade de ter maior lucro (vendendo mais). Situações típicas incluem:

• o jornaleiro: quantos exemplares de cada jornal comprar?

• o vendedor de árvores de natal,

• o quitandeiro, (o gerente de perecíveis do supermercado),

• o administrador de bancos de sangue,

• o fazendeiro: quantos hectares plantar de cada produto ?

• quantas peças de reposição adquirir junto com um equipamento de especificação especial ?

• quantas equipes de operações especiais manter, para atender um conjunto de sondas que delas necessitam aleatoriamente ?

Vamos introduzir e discutir o modelo a luz do exemplo ilustrativo a seguir: Exemplo: Uma companhia de petróleo deve adquirir brevemente novos compressores para uma de suas plataformas de produção. Uma das peças (rebimboca) é muito complicada e cara, e não seria praticável comprar unidades de reposição a não ser com a compra dos próprios compressores. Cada rebimboca é fabricada para uso exclusivo nos novos compressores e não pode ser usada em outros compressores. A companhia deseja saber quantas unidades de reposição deve comprar juntamente com os compressores. As seguintes informações estão disponíveis: O custo de cada rebimboca de reposição é de $500, quando encomendada junto com os compressores. Se uma rebimboca de reposição se torna necessária e não está disponível o compressor não pode ser utilizado, ficando parado e gerando perdas que podem ser estimadas em $10.000/compressor parado (está é uma suposição muito rígida mas foi estabelecida no enunciado do exemplo, e muitas vezes é real). De modo a auxiliar ao tomador de decisões à Comprime Muito, fabricante do compressor forneceu a seguinte tabela contendo dados históricos de defeitos da rebimboca.

Modelos de Estoques

59

No de vezes que a rebimboca foi

reposta/compressor

No de compressores

0 450 1 25 2 10 3 5 4 5 5 5

Asdrubal, o responsável pela compra dos compressores, está as voltas com a intrincada questão: se não compra rebimbocas de reposição nenhuma, tem um risco elevado (10%) de deixar os compressores parados, se compra muitas rebimboca pode estar “jogando dinheiro fora”. Para determinar qual a melhor política de compras, Asdrubal decidiu calcular o custo esperado de todas as possibilidades de compra, montando para tanto a seguinte tabela.

Custo de todas as alternativas possíveis de demanda e de compra Demanda

Estoque 0 1 2 3 4 5 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 1 500 0 10000 20000 30000 40000 2 1000 500 0 10000 20000 30000 3 1500 1000 500 0 10000 20000 4 2000 1500 1000 500 0 10000 5 2500 2000 1500 1000 500 0

Para calcular o custo esperado de cada possível quantidade mantida em estoque é necessário multiplicar os custos de cada alternativa pela probabilidade de que ela ocorra.

Probabilidade de ocorrer a demanda dada Demanda 0 1 2 3 4 5

P(demanda) 0.9 0.05 0.02 0.01 0.01 0.01 Prob. Acum. 0.9 0.95 0.97 0.98 0.99 1

A soma dos custos de cada alternativa, ponderada pela possibilidade de ocorrência da demanda, leva ao custo esperado para cada quantidade de rebimbocas de reposição em estoque.


60

Custo das alternativas ponderados pela probabilidade da demanda Demanda Custo

Estoque 0 1 2 3 4 5 Esperado 0 0 500 400 300 400 500 2100 1 450 0 200 200 300 400 1550 2 900 25 0 100 200 300 1525 3 1350 50 10 0 100 200 1710 4 1800 75 20 5 0 100 2000 5 2250 100 30 10 5 0 2395

Pela análise dos custos esperados Asdrubal conclui que a melhor alternativa é comprar duas rebimbocas sobressalentes, como também pode ser observado pelo gráfico abaixo.

Problema dos Compressores

0

500

1000

1500

2000

2500

0 1 2 3 4 5Estoque

Cus

to

4.2 Análise incremental

Uma forma menos trabalhosa e mais flexível de resolver o problema é dada pela análise incremental. A idéia é começar com uma quantidade muito pequena de unidades em estoque e comparar vantagens e desvantagens de adicionar mais uma unidade ao estoque. A vantagem é dada pela redução no custo de compressores parados, enquanto a desvantagem é resultante de ficar com peças de reposição sobrando. Considere que a quantidade Q foi comprada. Ela será usada se, e somente se, a demanda d exceder Q; caso contrário ela será desnecessária e teremos um custo de manutenção. Por outro lado se a demanda iguala ou excede Q, então teremos evitado um custo de falta. Em outras palavras, nós temos:

Elemento de custo Probabilidade de se incorrer no elemento de custo

Valor esperado do elemento de custo

manutenção: cm P( D < Q ) cm P( D < Q ) falta: cf P( D ≥ Q ) = [1- P( D < Q )] cf[1- P( D < Q )]

Modelos de Estoques

61

Considere uma quantidade Q particular. Se o custo de manutenção esperado de adquiri-la é superior a redução esperada no custo de falta, então não vale a pena adquiri-la. De fato só iremos adquirir quantidades tais que:

cm P( D < Q ) ≤ cf[1- P( D < Q )], sendo o valor ótimo (Qo) a adquirir aquele tal que:

P D Qc

c cP D Qo

f

f mo( ) ( )≤ − ≤

+≤ ≤1 ( 4.1)

Logo se o Asdrubal conhecesse esta expressão, bastaria que ele calculasse cf/(cm+cf) = 10.000/10500 = 0,952, o que corresponderia a um Qo

de 2, como já anteriormente obtido.

4.3 Lote econômico para o problema do modelo de demanda estocástica de período único

A expressão 4.1 foi obtida a partir da análise dos custos marginais, mas ela pode contudo ser também obtida através da minimização do custo total esperado. A seguir apresentamos a obtenção do lote econômico para o problema do modelo de demanda estocástica de período único, tanto para os casos de distribuição discreta da demanda, quanto para o caso de distribuição contínua.

4.3.1 Distribuição discreta da demanda O custo total esperado de estoques pode ser obtido somando-se, para todas as demandas possíveis, o custo de manter o estoque, ou o custo de falta para cada situação de demanda possível. Para uma quantidade Q unidades em estoque suponhamos que D unidades tenham sido demandadas. Então para um período único de tempo o custo associado a manutenção das Q unidades em estoque será:

c Q D D Qc D Q D Q

m

f

( ) , (( ) (

− <− >

se estoque) ou,se falta).

Mas como não sabemos de antemão qual será o valor de D não podemos calcular o valor exato do custo de estoques. Como há uma probabilidade associada a cada valor de D podemos calcular o custo total esperado de estoques (CTE) fazendo:

( )CTE Q c Q D P D c D Q P DmD Q

fD Q

= − + −< >

∑ ∑( ) ( ) ( ) ( ) ( 4.2)

A expressão 4.2 é discreta em Q, portanto não derivável, logo não podemos simplesmente tomar a derivada igual a zero para obtermos o valor ótimo Qo. Vamos contudo usar um procedimento similar do cálculo de derivadas usando limites. Para tanto vamos escrever as expressões do custo total esperado para as quantidades Q-1, e Q+1.


62

( )CTE Q c Q D P D c D Q P D

c Q D P D c P D c D Q P D c P D

c Q D P D c Q D P D c D Q P D c

mD Q

fD Q

mD Q

mD Q

fD Q

fD Q

mD Q

mD Q

fD Q

m

− = − − + − +

= − − + − +

= − − − + − −

≤ − > −

≤ − ≤ − ≥ ≥

≤ = ≥

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

1 1 11 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

P D

c P D

c Q D P D c D Q P D c P D c P D

CTE Q c c c P D

D Q

fD Q

mD Q

fD Q

mD Q

fD Q

f m fD Q

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

<

≥

≤ ≥ < <

<

∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑

+

= − − + − − + −

= + − +

0 1

De maneira análoga podemos escrever:

( ) ( ) ( )CTE Q CTE Q c c c P Df m fD Q

+ = − + +≤

∑1 ( )

O valor ótimo de Q, é aquele Qo onde

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

CTE Q CTE Q CTE Q

CTE Q CTE Q CTE Q CTE Qo o o

o o o o

− ≥ ≤ +

− − ≥ ≤ + −

1 1

1 0 1

ou

,

ou seja, é o ponto a partir do qual incrementos em Q deixam de produzir decréscimo no custo e passam a produzir acréscimo (derivada passa de negativa para positiva). Resolvendo a dupla inequação temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

CTE Q c c c P D CTE Q CTE Q c c c P D

c c c P D c c c P D

c c c P D c c c P D

P Dc

c cP D

o f m fD Q

o o f m fD Q

f m fD Q

f m fD Q

f m fD Q

f m fD Q

D Q

f

m f D Q

o o

o o

o o

o o

+ − + ≥ ≤ − + +

− + ≥ ≤ − + +

− + + ≤ ≤ − + +

≤+

≤

< ≤

< ≤

< ≤

< ≤

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0

0

que é equivalente a expressão 4.1 obtida anteriormente pela análise incremental:

P D Qc

c cP D Qo

f

f mo( ) ( )≤ − ≤

+≤ ≤1 .

4.3.2 Distribuição contínua da demanda Neste caso a expressão do custo total pode ser obtida de forma análoga a da distribuição discreta, lembrando que não temos mais uma probabilidade associada a cada demanda, mas sim uma função de densidade de probabilidade. Devemos ainda substituir os somatórios por integrais.

Modelos de Estoques

63

Sejam: D = demanda durante o período de vendas, uma variável aleatória contínua; f(D) = função de densidade de probabilidade da demanda, assumida conhecida; FD) = função de densidade de probabilidade acumulada da demanda. A equação do custo total será dada por:

( )CTE Q c Q D f D dD c D Q f D dDm

Q

fQ= − + −∫ ∫

∞( ) ( ) ( ) ( ) .

0 ( 4.3)

Neste caso o lote ótimo pode ser obtido fazendo

( )dCTE QdQ

= 0.

Para prosseguirmos precisamos de lembrar do seguinte teorema do cálculo que permite calcular a derivada de uma integral definida, onde não só o integrando, mas também os limites de integração, são funções de Q.

I x f x y dydI x

dxf x y

xdy f x y

dy xdx

f x ydy x

dxy x

y x

y x

y x( ) ( , )

( ) ( , )( , )

( )( , )

( )( )

( )

( )

( )= ⇒ = + −∫ ∫

1

2

1

2

22

11∂

∂

logo a condição necessária para que Qo seja ótimo é

( )[ ]d CTE QdQ

c f D dD c f D dDm

Q

f Q

o

o

= − =∫ ∫∞

( ) ( )0

0

como f D dD f D dDQ

Q

o

o( ) ( )∞

∫ ∫= −10

, segue que:

F Q f D dDc

c co

Q f

m f

o( ) ( ) .= =+∫0

( 4.4)

A análise da derivada segunda indica que Qo é um ótimo global.

( )[ ]d CTE Q

dQc f Q c f Qm o f o

2

2 0= + >( ) ( ) . ( 4.5)

Exemplo: Durante a pré-operação do compressor do exemplo anterior será necessário o suprimento de óleo diesel para o funcionamento da geração auxiliar de energia da plataforma. A demanda de óleo diesel é função do tempo estimado da pré-operação e, na falta de mais dados, pode ser considerada como uma distribuição triangular, com função de distribuição de probabilidade dada por:


64

D

f(D)

20001800

0,002

1000

f DD D

D D( )

, , ., , .

=− + ≤ ≤

− ≤ ≤

0 0025 0 000 0025 1000 18000 02 0 000 01 1800 2000

parapara

O custo de falta do óleo está estimado em $4,75/l de óleo, enquanto o custo de ficar com óleo em excesso é estimado em $0,75/l de óleo. Qual deve ser a quantidade de óleo a ser embarcada para a plataforma ?

F Q f D dDo

Qo( ) ( ) ,, ,

, .= =+

=∫0

4 754 75 0 75

0 8636

Podemos verificar facilmente (!) que Qo será superior a 1.800 l, logo podemos rescrever a equação acima como:

F Q D dD D dDo

Qo( ) ( , , ) ( , , ) , .= − + + − =∫ ∫0 0025 0 0000025 0 02 0 00001 0 86361000

1800

1800

Resolvendo as integrais chegamos a equação do 2o grau:

0 000005 0 02 19 8636 02, , ,Q Qo o− + =

cujas raízes são Qo = 1853,7 l e Qo = 2164,3 l. A solução do problema é portanto Qo = 1853,7 l, sendo a segunda raiz descartada por estar fora do domínio da função de densidade de probabilidade da demanda. custo total esperado mínimo pode ser obtido fazendo:

CTE D D dD

D D dD

D D dD

( , ) , ( , )( , , )

, ( , )( , , )

, ( , )( , , )

,

,

1853 71 0 75 1853 71 0 0025 0 0000025

0 75 1853 71 0 02 0 00001

4 75 1853 71 0 02 0 00001

1000

1800

1800

1853 71

1853 71

2000

= − − +

+ − −

+ − −

∫∫∫

CTE(1853,71) ≅ $219

Modelos de Estoques

65

P. Óleo Diesel

0500

10001500

200025003000

1000 1200 1400 1600 1800 2000

Q

CTE

(Q)

4.3.3 Demanda normalmente distribuída A equação 4.4 é aplicável para qualquer distribuição de demanda. Entretanto é interessante analisarmos, em função do grande número de situações onde a distribuição normal tende a ser aplicável, o caso em que a demanda é normalmente distribuída.

Suponhamos que a demanda seja normalmente distribuída com média D e desvio padrão σ D , , chamamos de z ao valor normalizado (para uma distribuição normal de média zero e desvio padrão unitário) da demanda, isto é

z Q D

D

=−

σ. ( 4.6)

Chamamos de nu (u) ao valor da função de densidade de probabilidade da distribuição normal padrão para a variável aleatória u, Nu (u) ao valor da função de probabilidade acumulada da distribuição normal padrão para a variável aleatória u.

N z n u duu u

z( ) ( )=

−∞∫ ( 4.7)

Nas derivações do valor esperado para as faltas e para o custo total aparece a função de espectância parcial da distribuição normal padrão: G z u z n u duu uz

( ) ( ) ( )= −∞

∫ ,

que usando propriedades da distribuição normal padrão (vide Silver & Peterson, 1985, anexo B) pode ser expressa por:

G z n z zN z zu u u( ) ( ) ( )= + − . ( 4.8)

Outras expressões úteis são:

Nu (-z) = 1 - Nu (z) ( 4.9)

Gu(-z) = Gu(z) + z (4.10)

f D dD N zuo

Q( ) ( )=∫ (4.11)


66

Df D dD D Q QN z G zuo

Q

D u( ) ( ) ( )= − + −∫ σ (4.12)

Df D dD Q QN z G zuQ D u( ) ( ) ( )= − +∞

∫ σ (4.13)

Df D dD( ) .−∞∫ ≅0

0 (4.14)

No anexo A apresentamos tabelas mostrando valores de Nu (z) e Gu(z) para diversos valores de z.

Lote econômico Fazendo a transformação de variáveis dada pela equação 4.6 a regra de decisão expressa pela equação 4.4 se transforma em:

N zc

c cof

f m

( ) =+

, (4.15)

onde N(z) é a probabilidade que uma variável normal unitária assuma valores menores ou iguais a z, isto é, é a área sob a curva normal padrão até o ponto de abcissa z. Identificado o valor ótimo de z podemos calcular o tamanho ideal do estoque fazendo:

Q D zo o D= + σ . (4.16)

Falta esperada por ciclo de reposição Adquirido um lote de tamanho Q é de interesse conhecer qual o valor esperado das faltas. Este valor pode ser obtido fazendo:

[ ]

FE Q D Q f D dD

Df D dD Q f D dD

Q QN z G z Q N z

Q

Q Q

u D u u

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) [ ( )]

= −

= −

= − + − −

∞

∞ ∞

∫

∫ ∫σ 1

FE Q G zD u( ) ( )= σ (4.17)

Custo total esperado Nos casos em que a distribuição da demanda é normalmente distribuída e equação 4.5 do custo total esperado pode ser bastante simplificada. Para tanto usamos a transformação de variáveis dada pela equação 4.6, a função definida pela equação 4.8, e as propriedades dadas pelas equações 4.12 - 4.14.

Modelos de Estoques

67

( )CTE Q c Q D f D dD c D Q f D dD

c Q f D dD c Df D dD c Q f D dD c Df D dD

c c Q f D dD c Q c Df D dD Df D dD Df D dD

c Df D dD

c c Q f D dD c Q c

m

Q

f Q

m

Q

m

Q

f Q f Q

m f

Q

f m Q

f Q

m f

Q

f m

= − + −

= − − −

+

= + − − − −

+

= + − −

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∞

∞ ∞

−∞

∞

−∞

∞

∞

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

0

0 0

0

0

0

1

[ ]D c c Df D dD

c c QN c Q c D c c Q QN z G z

m f Q

m f u f m m f u D u

+ +

= + − − + + − +

∞

∫( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )σ

( )CTE Q c c G z c Q Dm f D u m= + + −( ) ( ) ( )σ (4.18)

Exemplo: Para a manutenção do compressor (ainda do exemplo 1, só que agora já em funcionamento) a plataforma recebe estoques regulares (a cada sábado, sem possibilidade de alteração) de óleo lubrificante. Estudos do consumo do óleo indicaram uma distribuição normal com média de 20 litros semanais e desvio padrão de 1,8 l semanais. O custo de manter óleo lubrificante em excesso é de $ 1,00 / l .semana, enquanto o custo de falta do óleo é estimado em $ 6,00 /l .semana. a) Sob estas condições qual deve ser a quantidade de óleo lubrificante a ser adquirida semanalmente ? b) Se a quantidade sugerida em (a) for adquirida, qual o valor esperado da falta de óleo ? c) Se a quantidade sugerida em (a) for adquirida, qual o valor esperado do custo total ?

a) N zu o( ) , ,=+

=6

6 10 8571 consultando uma tabela de Normal (vide anexo) obtemos o

valor zo = 1,07 , logo o valor da quantidade ótima a ser adquirida é de Qo = 20 + 1,07*1,8 = 21,93 l a cada semana.

b) Para zo = 1,07, ainda da tabela do anexo, obtemos Gu = 0,07279, logo a falta esperada é FE (21,93) = 1,8*0,07279 = 0,13 l de óleo lubrificante.

c) O custo total esperado é CTE(21,93) = 1*(21,93-20) + 7*0,13 = $2,85 Podemos ainda avaliar o impacto de encomendar, por exemplo uma quantidade igual a demanda média (9,65% inferior a encomenda ótima) CTE(20) = 7*1,8*0,3989 = $ 5,03 (76% - superior).


68

P. Óleo LubrificanteCTE (Q)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

15 20 25

Q

P. Óleo Lubrificantef(D) e F(D)

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

15 20 25D


R 4.أ‌ Dados históricos da venda de pianos permitiram construir a seguinte tabela:

Unidades vendidas (pianos/semestre)

P(D) (%)

P(D ≤Q)

0 10 0,1 1 20 0,3 2 30 0,6 3 25 0,85 4 10 0,95 5 5 1

Sabe-se ainda que os custos de manutenção de estoques podem ser estimados em $1.500/piano.semestre, e que os custos de falta podem ser estimados em $1.000/piano.semestre. Determine: a) Qual o nível de atendimento se são mantidos 3 pianos em estoque ?

Exemplo E4.3 - Custo de óleo lubrificante D f(D) F(D) Gu(D) CTE(D)15 0,008422 0,002737 2,778597 30,0103

15,5 0,017528 0,00621 2,502004 27,025316 0,033774 0,013134 2,226809 24,0578

16,5 0,060243 0,025921 1,954286 21,124017 0,099477 0,04779 1,686493 18,2498

17,5 0,152065 0,082433 1,426464 15,473418 0,215192 0,13326 1,178237 12,8458

18,5 0,281912 0,202328 0,946638 10,427619 0,341892 0,289257 0,736749 8,2830

19,5 0,383844 0,390592 0,553124 6,4694 20 0,398942 0,5 0,398942 5,0267

20,5 0,383844 0,609408 0,275346 3,9694 21 0,341892 0,710743 0,181194 3,2830

21,5 0,281912 0,797672 0,113305 2,9276 21,9216 0,225645 0,85714 0,073135 2,8431

22 0,215192 0,86674 0,067125 2,8458 22,5 0,152065 0,917567 0,037575 2,9734 23 0,099477 0,95221 0,019827 3,2498

23,5 0,060243 0,974079 0,009841 3,6240 24 0,033774 0,986866 0,004587 4,0578

24,5 0,017528 0,99379 0,002004 4,5253 25 0,008422 0,997263 0,00082 5,0103

25,5 0,003746 0,998877 0,000313 5,5039

Modelos de Estoques

69

b) Qual o custo esperado desta política ? c) Qual o nível de atendimento de custo mínimo ? d) Qual o estoque correspondente a este custo mínimo ? e) Qual o custo total esperado mínimo ?

Resolução Chamamos de nível de atendimento a fração dos pedidos que são atendidos por uma determinada quantidade de produto mantida em estoque. Esta quantidade é igual a probabilidade da demanda ser inferior ou igual a quantidade pedida (como justificar isto !). Ou seja, N. atend. = P(D ≤Q). a) o nível de atendimento quando são mantidos 3 pianos em estoque é dado por

P(D ≤ 3) = 85%. b) CTE(3) = 1500[(3-0)P(0) + (3-1)P(1) + (3-2)P(2)] + 1000[(4-3)P(4) + (5-3)P(5) ] = 1500 + 200 = $1.700.

c) Nível de atendimento ótimo = c

c cf

m f+ = 0,4

d) P(D ≤Qo-1) ≤ 0,4 ≤ P(D ≤Qo), logo Qo = 2, pois P(D ≤ 1) ≤ 0,4 ≤ P(D ≤ 2) e) CTE(2) = 1500[(2-0)P(0) + (2-1)P(1) ] + 1000[(3-2)P(3) +(4-2)P(4) + (5-2)P(5) ] =

600 + 600 = $1.200 R 4.ب‌ Uma firma que comercializa batatinhas acredita que a demanda do próximo

período pode ser avaliada baseando-se nos dados do passado, mostrados na tabela abaixo. O preço de venda é de $100/ tonelada, o custo é de $50/tonelada e qualquer batata não vendida é usada para alimentar porcos a $10/tonelada. Qual o nível de batatas deve ser estocado para maximizar os lucros esperados.

Demanda (toneladas) 30 40 50 60

Freqüência (no de períodos) 20 30 30 20

Sugestão: Preencha as matrizes de lucro por possibilidades e de lucros esperados abaixo.


70

Matriz de lucros por possibilidade Demanda 30 40 50 60

ES 30 1500 1500 1500 1500 TO 40 1100 2000 2000 2000

QUE 50 700 1600 2500 2500 60 300 1200 2100 3000

Matriz de lucros esperados

Demanda 30 40 50 60 LUCRO

P(Demanda) 0,20 0,30 0,30 0,20 ESPERADO ES 30 300 450 450 300 1500 TO 40 220 600 600 400 1820

QUE 50 140 480 750 500 1870 60 60 360 630 600 1650

Solução analítica: Podemos escrever o lucro para uma demanda dada como:

LD(Q) = 100*Q - 50*Q se D ≥ Q

LD (Q) = 100*D +10*(Q-D) - 50*Q se D ≤ Q A equação do custo total esperado é

( )CTE Q D Q P D QP D

DP D QP D QD Q D Q

D Q D Q

= − +

= − +< >

< <

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )

90 40 50

90 90 50

Desenvolvendo um raciocínio similar ao que produziu a equação 4.1 chegamos a:

P(D ≤Qo-1) ≤ 50/90 ≤ P(D ≤Qo), logo Qo = 50, pois P(D ≤ 40) ≤ 0,55 ≤ P(D ≤ 50).

R 4.ج‌ Um jornal de circulação diária é vendido por $p/jornal e custa $c/jornal para ser impresso. A demanda diária D é uma variável aleatória que pode ser aproximada por uma função de densidade probabilística f(D), D > 0. Os jornais não vendidos no mesmo dia são vendidos como papel velho por $v/jornal. Deseja-se decidir o número de jornais Q a ser impresso cada dia, objetivando maximizar o lucro líquido esperado por dia.

Modelos de Estoques

71

a) Escreva a equação do lucro líquido diário L(D) em função de Q (número de jornais impressos no dia), D (número de jornais vendidos no dia), p, c e v. (Note que D e Q são variáveis aleatórias).

b) Desenvolva uma expressão para o lucro líquido esperado por dia LE(D). (Levando em conta que D é uma variável aleatória de função de densidade probabilística f(D), D > 0.

c) A partir da expressão obtida em (b), achar o valor de Q que maximiza o lucro líquido esperado diário?

a) O lucro diário obtido com a venda de D jornais quando Q jornais foram produzidos pode ser calculado por:

L QpD v Q D cQ D Qp c Q D Q

( )( )

( )=

+ − − ≤− ≥

se se

b) O lucro esperado é calculado fazendo:

( ) [ ]LE Q pD v Q D cQ f D dD p c Qf D dD

v c Q f D dD p v Df D dD p c Q f D dD

Q

Q

Q Q Q

= + − − + −

= − + − + − −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∞( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0 01

( )LE Q p c Q p v Q f D dD p v Df D dDQ Q

= − − − + −∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

c) Para obtermos o número ótimo de jornais a ser produzido fazemos a derivada do lucro esperado em relação ao número de jornais produzidos igual a zero. Para calcularmos a derivada da integral faremos uso do teorema do cálculo lembrado na seção 4.3.2.

( )[ ]d CTE Q

dQp c p v f D dD p v Qf Q p v Qf Q

Q= − − − − − + − =∫( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

00

logo, a produção ótima de jornais é aquela onde a condição

f D dD p cp v

Qo ( )0∫ =

−−

é atendida. Em adição podemos verificar que a derivada segunda ( )[ ]d CTE Q

dQp v f Q

2

2 = − −( ) ( ) é sempre negativa e o valor de Qo é efetivamente a

quantidade de jornais que maximiza o lucro diário e não a que minimiza. É interessante notar que a condição que permite calcular o número ótimo de jornais é idêntica aquela obtida para a minimização do custo total esperado, obtida na seção 4.3.2, se fizermos: cm = c - v e cf = p - c.


72


Q 4.1 Usando a lógica da abordagem incremental , qual deve ser a probabilidade acumulada da demanda, P(D), para o último item adicionado ao estoque, se o custo de falta é de 75 % do valor do item ?

Q 4.2 Suponha que a você é atribuída a tarefa de definir a o estoque de segurança para as peças sobressalentes do gerador para a companhia municipal de energia. Como você procederia para estabelecer os custos de falta ?

Q 4.3 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para cada uma das afirmativas abaixo a) ___ Se o custo de falta de um item é $40 e o custo de manutenção de estoque

é de $20, então a firma deve teoricamente adicionar estoque até que a probabilidade acumulada de venda da próxima unidade seja de 0,67.

b) ___ A abordagem incremental para tratamento das incertezas do estoque é baseada em custos de falta que se aplicam a cada ciclo de pedido (independentemente de quantas unidades faltem).


P 4.1 A demanda por um produto químico é normalmente distribuída com média igual a 80 galões por semana, e desvio padrão igual a 5 galões por semana. Se o custo de falta é $0,15/galão e o custo de manutenção de estoque é de $0,50/galão. a) Qual o nível ótimo de estoque ? b) Qual o custo total esperado ?

Resp. a) 76,32 galões, b) $0,99 P 4.2 Seja uma peça utilizada em uma montagem, com retiradas contínuas de estoque,

cujo uso em uma dada semana do ano segue a seguinte função de probabilidade:

Uso 15 16 17 18 19 20 Probabilidade de uso 0,10 0,15 0,25 0,20 0,20 0,10

O custo de manutenção de uma peça em estoque é $1,00/unidade.semana e o custo de falta é de $100,00/unidade.semana. Sabe-se que não há possibilidade de se receber novos suprimentos da peça durante a semana. Obtenha a expressão do custo total esperado quando se decide manter S unidades em estoque, e calcule o seu valor para S = 18 unidades. Obs.: A situação descrita na questão pode ser representada graficamente conforme mostrado na figura a seguir:

Modelos de Estoques

73

Q-D

D

Q

(b) D > Q(a) D < Q

D-Q

D

Q

Resp. a) CTE Q c QD

P DQ

DP D c

QD

P DmD Q D Q

fD Q

( ) ( ) ( ) ( )= −

+

+

≤ > >∑ ∑ ∑2 2 2

2 2

b) CTE(18) = $19,78/semana. P 4.3 Seja uma peça utilizada em uma montagem, com retiradas contínuas de estoque,

cujo uso em um dado mês do ano segue a seguinte função de probabilidade:

Uso 10 11 12 13 14 15 Probabilidade de uso 0,05 0,20 0,30 0,25 0,10 0,10

O custo de manutenção de uma peça em estoque é $1,00/unidade.mês. Sabe-se

que só é possível receber um suprimento da peça durante o mês, no início do mês. a) Se a decisão da gerência for iniciar o mês corrente com um estoque de 12

peças, qual o valor imputado pela mesma a uma falta do material ? b) Para um valor do custo de falta igual ao limite inferior do intervalo calculado

em (a), e para um valor inicial de Q igual a 12 peças, calcule o valor do custo total esperado para o mês corrente

Resp. a) Entre 0,33 e 1,22. b) $5,85 P 4.4 Uma firma que comercializa batatinhas acredita que a demanda do próximo

período pode ser avaliada baseando-se nos dados do passado, mostrados na tabela abaixo. O preço de venda é de $100/ tonelada, o custo é de $60/tonelada e qualquer batata não vendida é usada para alimentar porcos a $10/tonelada. Qual o nível de estoques de batatas deve ser estocado para maximizar os lucros esperados.

Demanda (toneladas) 20 25 40 60 Freqüência (no de períodos) 10 20 50 20

Resp.: 40 toneladas de batatas.


74

P 4.5 O gerente de operações da Locabiga precisa decidir sobre o número de bigas para sua agência. As bigas são obtidas em uma firma de leasing pelo custo de $20 por dia. A firma aluga as bigas a seus clientes por $30 diários. Se uma biga não for alugada, a firma de leasing concede um desconto de $8.

Os registros da demanda passada forneceram uma distribuição de probabilidade empírica mostrada abaixo.

d ≤ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ≥15 P(d) 0 0,03 0,07 0,15 0,20 0,23 0,15 0,12 0,05 0

P(D≤d) 0 0,03 0,10 0,25 0,45 0,68 0,83 0,95 1,00 1,00

a) Quantas unidades de bigas a Locabiga deve ter em estoque de modo a equilibrar os custos de estoque excessivo e insuficiente ?

b) Qual o nível de risco aceito pelo gerente ao adotar a política anterior ? c) Se o gerente decide trabalhar com um estoque de segurança de duas bigas

além da demanda média, qual o novo nível de risco aceito pelo gerente ? d) Qual o custo adicional desta nova decisão do gerente ?

Resp. : a) 11 bigas, b) 32%, c) 5% d)

P 4.6 Uma companhia fabricante de vídeos coloridos para microcomputadores usa na

fabricação dos mesmos uma peça importada cujo tempo de processamento do pedido por seu fornecedor no exterior é bastante longo. As peças necessárias à fabricação dos vídeos são pedidas com bastante antecedência em função do planejamento da produção e não representam problema. No entanto a companhia tem contratos de manutenção com seus clientes e algumas dessas peças tem que ser mantidas em estoque para atender exclusivamente à manutenção dos vídeos já vendidos. Não é permitido usar peças alocadas à produção para atender à manutenção. A companhia deve fazer no mês corrente um pedido dessas peças para atender à manutenção. Ela estima que quando essas peças estiverem disponíveis o estoque correspondente estará zerado. As peças a serem atendidas devem atender à demanda durante o período de um ano. As peças não utilizadas nesse período se tornam obsoletas devido a avanços tecnológicos. Dados do passado permitiram à companhia elaborar a seguinte tabela de demanda para o período de 1 ano em questão (com as probabilidades correspondentes):

Demanda 0 1 2 3 4 5 6 >6

Probabilidade 0.05 0.10 0.30 0.35 0.10 0.05 0.03 0.02

Sabe-se que o preço de uma peça entregue na companhia (preço CIF) é de $1000. O custo de manutenção das peças em estoque é desprezível. De acordo com os contratos de manutenção, a companhia deve pagar uma multa de $7000 se não puder atender imediatamente um pedido de manutenção. A gerência decide fazer ao seu fornecedor um pedido de 5 peças.

Modelos de Estoques

75

a) Em quanto está a companhia estimando o custo de falta da peça ao fazer o pedido em questão?

b) Comente se a política de pedidos da companhia é coerente com o valor da multa contratual.

Resp. a) Custo de falta entre $9.000 e $19.000 b) Valor esperado de multa $3.000 << $9.000, logo a política não é coerente.

P 4.7 Um comerciante faz pedidos diários de uma mercadoria que deve ser entregue 7

dias adiante. Em um dado dia ele tem 10 kg de mercadoria em estoque. Nos 6 dias anteriores ele fez pedidos de 2, 4, 1, 10, 11 e 5 kg, os quais serão entregues, nesta ordem, nos próximos 6 dias. Suponha que o custo de manter 1kg de mercadoria em estoque seja $0,10/semana e que o custo de falta da mercadoria seja de $0,90/kg.semana. A distribuição da demanda em um período de 1 semana é dada por f(D) = 0,02 - 0,0002D2

Quantos kg devem ser pedidos para o 7o dia, para minimizar o custo total esperado.

Resp. 25,4 kg.

P 4.8 Um produto altamente perecível, que deve ser totalmente vendido no mesmo dia

em que é recebido, custa c ($/unidade) e tem seu preço de venda tabelado em v ($/unidade) pelo fabricante. A demanda diária x‚ é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade f(x) = 1/(b-a) (distribuição uniforme com parâmetros a e b).

Uma loja de departamentos que comercializa o produto deseja decidir o número de unidades u que deve comprar em uma base diária. A gerência estima que o número de unidades a serem vendidas varia entre 100 e 200 (ou seja a = 100 e b = 200).

a) Escreva a equação de L(x), lucro líquido diário, em função de c, v e x. b) Obtenha uma expressão para o lucro líquido esperado LE(x) em função de c,

v, u, a e b. c) Ache o valor de u que maximiza o lucro líquido diário para a loja de

departamentos em questão, dados c = $10,00, v = $16,00, a = 100 e b = 200.

Resp. a) ( )L xvx cu x uv c u x u( ) =

− ≤− >

sese

b) ( )( )LE xb a

vu a vb c b a u( ) ( )=

−− + + − −

12

2 2

c) 137,5 unidades.


76

P 4.9 As lojas Tem-Tudo-Para-Casa vende no sul do país (de São Paulo para baixo)

durante o inverno, pequenos aquecedores de ambiente. (Se você preferir pode mudar o enunciado para aparelhos de ar-condicionado). Os pedidos para estes aquecedores devem ser feitos com bastante antecedência, para que estejam disponíveis com a chegada das primeiras massas de ar frio. O Sr. J. Pé Quente, gerente de compras da TTPC está agora estudando os dados que ele dispõe para efetuar o pedidos dos aquecedores. Após considerável discussão com os demais gerentes e do meticuloso trabalho dos estagiários de Engenharia de Produção no levantamento de dados históricos foram compilados os seguintes dados:

• custo unitário de aquisição: $60,00/aquecedor,

• preço de venda: $100,00/aquecedor, Cada unidade não vendida até o fim do inverno, será vendida por um preço

promocional de $51,00, de modo a assegurar completa desova dos estoques, e assim evitando os custos proibitivos de estocagem até o próximo inverno.

A distribuição de probabilidade da demanda é estimada em:

Centenas de Unidades 3 4 5 6 7 8 Probabilidade 0,10 0,10 0,40 0,20 0,10 0,10

a) Qual é a demanda esperada? b) Qual o desvio padrão da demanda? c) Para maximizar o lucro esperado, (usando um modelo de demanda discreta)

quantas unidades deve o Sr. Pé Quente comprar ? d) Qual o lucro esperado pela estratégia do item c ? e) Suponha que o Sr. Pé Quente tenha resolvido ajustar uma distribuição

Normal, com mesma média e desvio que a distribuição discreta dada acima. Com este modelo normal, qual é o tamanho do pedido recomendado (aproximado para a centena mais próxima) ?

f) Se a distribuição discreta é aquela que mais se aproxima da realidade, qual a penalidade, em custo, pelo uso do modelo normal ?

P 4.10 Suponha que o fornecedor do aquecedor do problema 4.9 ofereça descontos, tal

que o custo seja de $55,00 / aquecedor para compras de no mínimo 750 unidades. Deve a TTPC aproveitar a oferta do fornecedor ?

Modelos de Estoques

77

5. TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE DE ESTOQUES

Nos capítulos 3 e 4 tratamos primeiro de situações onde a demanda era considerada determinística, e depois, no problema do jornaleiro, estávamos preocupados com determinar a quantidade ótima a pedir de um produto perecível, o qual experimenta uma demanda incerta, porém existe um único ciclo de estoques. O presente capítulo é dedicado ao tema de como desenvolver sistemas de controle de estoques para situações onde a demanda tem um comportamento probabilístico ao longo de múltiplos períodos, isto é a demanda será suprida a partir de múltiplos ciclos de estoque. Nós nos restringiremos ao caso onde a demanda média permanece aproximadamente constante ao longo do tempo. Modelos dinâmicos que tanto consideram variação probabilística quanto variação da média ao longo do tempo, são muito mais complexos e fogem ao escopo deste texto. O livro de Silver e Peterson (1985) pode ser usado como referência básica para aqueles que desejarem se aprofundar no estudo dos modelos de estoques. A introdução de incerteza na demanda complica significativamente os modelos de estoques de um ponto de vista conceitual, o que aliado a grande variedade de maneiras de se avaliar o custo de faltas (ou de evita-las) e de formas de medir o nível de serviço aos clientes torna os modelos de controle de estoques muito menos conhecidos e usados que seria esperado, em função de sua importância do problema.

5.1 Definições e caracterização do problema

O objetivo central de todo sistema de controle de estoques é fornecer respostas para três questões básicas:

1. Quão frequentemente deve ser avaliado o nível de estoques ? 2. Quando deve ser colocado um pedido de reposição ? 3. Quantas unidades de produto devem ser pedidas em cada ciclo de pedido ?

Sob condições de demanda determinística a primeira questão é trivial, pois uma vez conhecido o nível de estoque em um dado instante e a curva de demanda, então pode-se calcular o nível de estoque em qualquer outro instante. Ainda sob demanda determinística a segunda questão é respondida colocando o pedido de tal forma que ele chegue precisamente quando o nível de estoque alcance um determinado nível, usualmente zero. O modelo de lote econômico (ou uma de suas variações) é usado para responder a terceira questão. Sob demanda probabilística é mais difícil obter as repostas para aquela três questões. Para se conhecer os níveis atuais de estoque é necessário, quando a demanda é probabilística, o uso de recursos tanto de pessoal quanto computacionais. A ocasião em que um pedido é emitido resulta de uma solução de compromisso entre uma emissão prematura (que acarretará maiores níveis de estoques) e uma emissão tardia

Sistemas de Controle de Estoque

78

que implicará em redução do nível de serviço. A definição da quantidade a ser pedida leva em conta os aspectos já estudados no capítulo 3, exceto pelo fato que agora existe uma iteração entre a quantidade a ser pedida, o instante em que o pedido é realizado e os níveis de serviço alcançados (ou pretendidos). Existem basicamente dois tipos de sistemas de controle de estoque, que diferem na forma como os estoques são verificados, o que influi na época em que os pedidos são efetuados. São eles:

• Sistemas de revisão contínua,

• Sistemas de revisão periódica. Nos sistemas com revisão contínua o nível de estoque é sempre conhecido. Isto não significa necessariamente que o estoque está sendo monitorado continuamente, mas sim que toda transação (chegada e saída de produtos) provoca imediata atualização dos registros de estoque. Tal atualização não precisa necessariamente ser feita em computador, principalmente quando se tem poucas unidades de produto responsáveis por grande parte do valor estocado (itens tipo A). Por outro lado o grande desenvolvimento da industria de automação (scanners, pontos de vendas- PDVs automatizados, etc.) tem permitido usar este tipo de sistemática de controle para muito mais itens. Nos sistemas de revisão periódica, como o próprio nome diz, temos revisões de estoque a cada R unidades de tempo ( por exemplo semanais ou mensais). Durante o intervalo entre revisões temos considerável incerteza a respeito dos níveis de estoque.

Vantagens e desvantagens dos sistemas de revisão Em muitas ocasiões, diferentes produtos são produzidos pelas mesmas máquinas, ou comprados do mesmo fornecedor, ou ainda transportados pelo mesmo transportador. Em tais situações agrupar/coordenar as reposições é geralmente atrativo. Em tais situações usar um sistema de reposições periódicas pode ser atrativo, uma vez que ele permite que os intervalos de revisão para todos os itens pertencentes a um mesmo grupo seja definido como o mesmo, por exemplos todos os pedidos para um dado fornecedor devem ser emitidos em uma terça feira. O sistema de revisões periódicas também permite prever com razoável confiança a quantidade de trabalho das equipes relacionadas a emissão dos pedidos. O que por sua vez permite balancear este trabalho ao longo do tempo. Por outro lado quando se usa sistemas de revisão contínua, um pedido pode ser emitido a qualquer momento, sendo portanto menos previsível. Obviamente que um regime de trabalho balanceado é preferível a um ritmo aleatório. Outra desvantagem da revisão contínua é que ela é geralmente mais cara em termos de custos operacionais de revisão e de identificação de erros. Isto é particularmente verdadeiro para itens com grande velocidade de movimentação, onde ocorrem muitas transações por unidade de tempo. O advento dos sistemas automatizados de controle de estoques, com coleta automática dos dados, vem reduzindo consideravelmente estes custos. Já para produtos com baixa velocidade de movimentação os custos operacionais são bastante reduzidos, visto que atualizações

Modelos de Estoques

79

são efetuados somente quando ocorre uma movimentação. Nestes casos temos porém uma situação anômala onde a revisão periódica pode ser mais efetiva que a contínua na detecção de problemas no estoque, por exemplo decorrentes de roubos ou quebras. A maior vantagem do controle contínuo é que para prover o mesmo nível de atendimento ele requer estoques de segurança menores (portanto levando a menores custos de manutenção) do que o controle periódico. Isto ocorre porque o período sobre o qual a proteção do estoque de segurança é requerida é maior quando se usa revisão periódica, uma vez que existe a possibilidade de que o nível de estoque caia rapidamente entre duas revisões, sem que seja possível qualquer ação de pedido neste intervalo.

Definições de nível de estoque

• Estoque a mão: é a quantidade de estoque que está fisicamente disponível no armazém, esta quantidade nunca é negativa e determina se a demanda de um cliente pode ser atendida diretamente.

• Estoque líquido: é uma quantidade teórica de estoques, criada para se poder manipular quantidades negativas de estoque, quando o cliente admite que seu pedido seja entregue a posteriori - encomenda.

Estoque líquido = Estoque a mão - encomendas ( 5.1)

• Estoque contábil ( posição do estoque ): representa a quantidade de estoques levando em conta o disponível a mão, as encomendas e os pedidos já realizados. É o estoque utilizado para definir quando fazer um pedido

Estoque contábil = Estoque a mão - encomendas + estoque em trânsito ( 5.2)

• Estoque de segurança: o estoque de segurança pode ser definido como o nível médio de estoque líquido no instante antes da chegada de um novo pedido. Se planejamos o estoque para que em média ele termine no instante em que um novo pedido chegue (como nos modelos de demanda constante) então o estoque de segurança será nulo. Um estoque de segurança positivo proporciona proteção contra demanda maiores do que a média durante o período de reposição.

5.2 Tipos de sistemas de controle de estoques

Combinando as possíveis respostas para as três questões formuladas no item 5.1 podemos conceber diversos sistemas de controle de estoques. A seguir descreveremos quatro dos mais comuns sistemas de controle, seguido de uma breve discussão sobre suas vantagens e desvantagens. São eles:

• Sistema de revisão contínua, com encomenda de quantidades fixas, e intervalo variável entre pedidos dado pelo ponto de encomenda - ( P, Q),


80

• Sistema de revisão contínua, com encomenda de quantidades variáveis (nível fixo) e intervalo variável entre pedidos dado pelo ponto de encomenda - (P,M),

• Sistema de revisão periódica, com encomenda de quantidades variáveis (suficientes para atingir um nível fixo), e intervalo fixo entre pedidos - (R, M),

• Sistema de revisão periódica, com encomenda de quantidades variáveis (suficientes para atingir um nível fixo), e intervalo entre pedidos definido pelo ponto de encomenda e por uma periodicidade fixa - ( R, P, M),

5.2.1 Sistema de revisão contínua, com ponto de encomenda e com encomenda de quantidades fixas - Sistema (P, Q) Nestes sistemas é feito um acompanhamento contínuo do nível de estoque, toda vez que é atingido um nível pré-determinado (o ponto de encomenda) um pedido de reposição de estoque é feito. O nível de estoque usado para verificarmos se o ponto de encomenda foi atingido deve ser o estoque contábil, uma vez que ele já leva em conta os pedidos já efetuados e eventualmente ainda não recebidos. O ponto de encomenda é estabelecido de forma que o estoque existente no instante em que o pedido é feito seja igual a demanda média durante o tempo de entrega. A quantidade de produtos a ser pedida é usualmente baseada no conceito do lote econômico, mas eventualmente podem ser usadas outras quantidades baseadas e m regras de decisão informais (como compras para uma demanda equivalente a um mês). As formas de implementar este sistemas vão desde sistemas completamente automatizados, com registro instantâneo de todas as transações de entrada e saída do estoque, até um sistema simples composto de dois compartimentos de estoque. No primeiro é armazenada uma quantidade igual ao ponto de encomenda, enquanto o segundo compartimento recebe o restante do estoque. A demanda é atendida primeiramente a partir do segundo compartimento, quando este esvazia e passa a ser necessário usar os produtos armazenados no primeiro compartimento então é o momento de se fazer o pedido. Quando o pedido é recebido o primeiro compartimento é preenchido primeiramente, indo o excedente para o segundo compartimento.

Estoque(S) Sm - Estoque Médio

Estoque deSegurançaTempo (T)

P- Ponto de Encomenda

QQ

QQQ

PSm

B

Figura 5.1 - Sistema (P, Q)

Modelos de Estoques

81

Entre as vantagens deste sistema estão sua simplicidade, principalmente quando se usam os dois compartimentos, a menor suscetibilidade a erros de contagem de estoque e a melhor previsibilidade das necessidades de produção por parte do fornecedor. Sua principal desvantagem é sua incapacidade de tratar situações onde as transações individuais variam com uma razoável amplitude. Nestes casos pode acontecer até que a quantidade Q seja insuficiente para recolocar o nível de estoque acima do ponto de encomenda. Por exemplo, considere uma situação onde P = 20, Q = 10, S = 21, d = 15, isto é dado um estoque de 21 unidades, uma saída de 15 unidades fará com que o estoque fique abaixo do ponto de encomenda (20 unidades), quando chegar o pedido de 10 unidades o nível de estoque, supondo que não ocorreu nenhuma outra saída, chegará a 16 unidades, ainda inferior ao ponto de encomenda.

5.2.2 Sistema de revisão contínua, com ponto de encomenda e com nível fixo - Sistema (P, M) Nestes sistemas também é feito um acompanhamento contínuo do nível de estoque e toda vez que é atingido o ponto de encomenda um pedido de reposição de estoque é feito. Aqui, diferentemente do sistema (P,Q) a quantidade de produtos a ser pedida é variável e igual a uma quantidade suficiente para fazer com que o nível de estoque atinja o nível máximo M. Quando os pedidos são feitos em base unitária os dois sistemas são idênticos, pois um pedido será colocado sempre que o estoque atingir exatamente a quantidade P, ou seja será encomendada uma quantidade fixa Q = M - P. Já se a demanda pode não ser unitária então os dois sistemas têm comportamento diferente, como pode ser observado . Este sistema é também chamado de sistema min-max, pois salvo por pequenos períodos de tempo, o estoque está sempre entre os valores de P e M. Este sistema procura resolver a dificuldade enfrentada pelos sistemas (P, Q ), sendo um sistema muito utilizado. Suas principais desvantagens são a dificuldade de encontrar um valor ótimo para M , e a maior possibilidade de erros causada pela emissão de pedidos com quantidades variáveis.


82

Estoque(S)

Sistema (P,Q)

Sistema (P,M)

Tempo (T)

QQ

M=P+Q

P

L

B

Q

Estoque(S)

Tempo (T)

Q1

Q1

M

P

L

B

Q2Q2

Figura 5.2 - Comparação entre os sistemas (P, Q) e (P, M)

5.2.3 Sistema de revisão periódica, com nível fixo e intervalo fixo entre pedidos - Sistema ( R, M) Nestes sistemas o nível de estoques é revisto em intervalos de tempo fixos (semanalmente, mensalmente, semestralmente), e a cada revisão um pedido é feito de modo a recompor o nível de estoque à um nível desejado. Tal tipo de sistema é especialmente adequado a varejistas, comprando famílias de produtos. A quantidade de produto a ser pedida é baseada em um nível máximo de estoque estabelecido para cada item do estoque, na quantidade de estoque existente no momento (estoque à mão) e na quantidade de produtos já pedida, mas cuja entrega ainda não ocorreu (estoque em transito). Ou seja:

Quantidade a ser pedida = nível máximo de estoques - estoque à mão - estoque em trânsito + demanda durante o tempo de entrega.

Modelos de Estoques

83

Nível MáximoEstoque

(S)

Estoque contábil Estoque à mão

Tempo

L5L4L3L2L1

5R4R3R2R

B

R

Figura 5.3 - Sistema (R, M)

A principal vantagem dos sistemas (R,M) é que ele permite coordenar os pedidos de itens relacionados, além de se ajustar mais facilmente a variações da demanda. Sua principal desvantagem é que o estoque médio (e consequentemente seu custo de manutenção) mantido quando se usa este tipo de controle é mais elevado que quando se faz revisão contínua do estoque.

5.2.4 Sistema de revisão periódica, com nível fixo e ponto de encomenda - Sistema ( R, P, M) Este sistema é uma combinação dos sistemas dos sistemas (P, M ) e (R, M ). Neste sistema são feitas revisões periódicas, mas um pedido só é efetuado se o nível de estoque é inferior ou igual ao ponto de encomenda. As quantidades encomendadas são iguais ao estoque máximo estabelecido menos o estoque contábil atual. A figura a seguir ilustra o comportamento do sistema.

Nível MáximoEstoque

(S)

Estoque contábil Estoque à mão

Tempo

L5L3L2

5R4R3R2R

P

B

R

Figura 5.4 - Sistema (R,P,M)


84

Este sistema tem como vantagem propiciar menores custos que os anteriores. Suas principais desvantagens são a dificuldade de encontrar os valores ótimos para R, P e M , e a maior possibilidade de erros causada pela emissão de pedidos com quantidades variáveis.

5.3 Estoques de segurança para incertezas da demanda

No problema do jornaleiro, estava-mos preocupado em determinar a quantidade ótima a comprar de uma mercadoria perecível, a qual tinha uma demanda incerta em um único período. Entretanto existem muitas situações onde a consideração de uma única compra para atender toda a demanda ao longo do tempo não é razoável. Muito embora o modelo desenvolvido na seção anterior possa ser estendido para estes casos, o tratamento matemático do problema se torna muito mais complicado. Para estas situações, a abordagem mais comum consiste em utilizar estoques de segurança. Nesta seção trataremos de como calcular estatisticamente estes estoques de modo a conseguir um nível de serviço desejado. Previsões de venda projetam a demanda durante os ciclos de estoque. Mas até com boas previsões a demanda via de regra excede ou é menor do que aquela prevista. Para fornecer proteção contra faltas no estoque quando a demanda excede a previsão estoques de segurança são adicionados ao estoque básico. A figura a seguir ilustra o comportamento do estoque em situações de demanda incerta. Nestas situações, a reposição do estoque pode ocorrer antes ou depois que o nível de estoque chegue a zero.

Demanda Incerta

05

101520253035404550

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30dias

Esto

que Estoque

Est. previsto

Determinar o nível adequado de estoque de segurança envolve duas etapas: conhecer a demanda potencial que não foi atendida, durante os dias de estoque zero, e definir o grau de proteção que queremos garantir. Para conhecer-mos a demanda potencial não atendida, tabulamos a freqüência da demanda diária.

Modelos de Estoques

85

Frequência da Demanda

012345

0 2 4 6 8 10

Vendas diáriasD

ias

frequência

Dado o histórico da demanda é possível calcular quanto de estoque de segurança será necessário para garantir um nível desejado de segurança. A base para o cálculo do estoque de segurança é o desvio padrão, que mede a dispersão das vendas em relação as vendas médias. Em geral nas situações de estoque a distribuição da demanda segue um padrão próximo ao da distribuição normal. Uma distribuição normal é caracterizada por uma curva simétrica em forma de sino, com as três medidas de tendência central (média, mediana e moda) idênticas. Na distribuição normal 68,27% dos eventos acontece dentro do intervalo média ± 1 desvio, 95,45% no intervalo média ± 2 desvios e 99,73% no intervalo média ± 3 desvios.

Distribuição Normal

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Em termos de estoques só estamos interessados nos eventos que excedem a média (provocam faltas) logo podemos dizer que se mantivermos um estoque de segurança equivalente a um desvio padrão teremos uma proteção em 84,14% dos casos, para 2 desvios a proteção sobe para 97,72% e chega a 99,85% para 3 desvios. Calculo Aproximado do Estoque de Segurança

O raciocino desenvolvido acima pode ser generalizado, de forma aproximada, para qualquer tipo de distribuição, para diferentes tipos de sistema de controle de estoques e para levar em conta variações no tempo de entrega, levando as expressões gerais:

B S D zN w Dws= − = σ ( 5.3)

P B Dw= + ( 5.4)


86

onde B é o estoque de segurança, P é o ponto de encomenda, SR é o nível de estoque necessário para se atingir um nível de serviço Ns,

z é um fator de segurança relacionado ao nível de serviço desejado, w é o período em que ocorre risco de haver falta de produto, σDw é o desvio padrão da demanda no período w,

Dw é a demanda média no período w.

Como Dw é uma variável aleatória conjunta das distribuições de D e w, consideradas variáveis aleatórias independentes, então eventualmente será necessário usar-mos as expressões vindas da teoria das probabilidades:

D D ww = . ( 5.5)

( )σ σ σD D www D2 2 2

= +. . ( 5.6)

A tabela a seguir resume os valores de w, S para os diversos sistemas de controle.

Sistema de Controle

w S

( P,Q ) L B + Q/2 ( P,M ) L B + (M-P)/2 ( R,M ) L+R B + D R/2

(R, P, M) L+R/2 B + D R/2

T

S

P

L

B

Distribuiçãoda demandano tempo L

Probabilidade do estoquese esgotar no tempo L

nível de risco Figura 5.5 - Cálculo do Estoque de Segurança

Modelos de Estoques

87


R 5.أ‌ Você foi contratado para um estágio nas lojas O Tamborim de Ouro, para trabalhar na análise de estoques. Os produtos vendidos na loja vão desde pianos até suprimentos para instrumentos tais como cordas e paletas. Numa primeira etapa você fez um levantamento dos custos dos produtos e suas vendas anuais e classificou-os em 4 grandes categorias, resumidas na tabela seguinte:

Categoria Custo unitário médio Vendas anuais

Pianos $ 3.000,00 5 Instrumentos importados $ 2.000,00 30 Instrumentos nacionais $ 300,00 500 Suprimentos e revistas $ 1,00 10.000

a) Numa primeira aproximação explicite as políticas de controle de estoque

você adotaria para cada uma das categorias. Detalhe a política, justifique a sua adoção e represente num gráfico a evolução do estoque ao longo do tempo (para cada categoria).

Categoria: Pianos e Instrumentos importados. Categoria: Instrumentos nacionais. Categoria: Suprimentos e revistas.

A tabela a seguir apresenta os dados relativos a venda de saxofones de janeiro a julho deste ano:

mês dias com vendas vendas pedido - entrega

pedido - entrega

janeiro 04 05 11 14 14 15 15 18 18 21 22 25 26 27 27 28 29

17 04 - 13 28-08/02

fevereiro 01 02 02 05 09 10 11 11 12 16 18 11 19 - 26 março 01 01 03 04 05 08 09 10 12 12 15

16 17 18 19 22 23 24 25 26 20 15 - 29

abril 01 05 07 07 12 13 14 15 16 19 20 20 23 27 30

15 07 - 19 30-10/05

maio 04 06 07 11 13 17 19 21 24 24 27 31

12 24-04/06

junho 01 02 02 07 07 09 11 14 16 17 18 21 21 24 28 29

16 21 - 30


88

julho 08 09 12 14 14 15 16 19 20 21 22 26 27 28

14 01 - 09 21 - 31

a) Com os dados disponíveis qual a política de administração de estoques você

usaria ? b) Determine a demanda média mensal de saxofones, c) Determine o tempo médio de entrega, d) Determine a demanda média durante o tempo de entrega, e) Determine o desvio padrão da demanda durante o tempo de entrega, f) Determine o ponto de pedido e o estoque de segurança para os níveis de

risco de : 40%, 20% e 10%. Resolução: a) Como se trata de um produto classe B não devemos usar um sistema de controle

muito caro, por outro lado dispomos de todos os dados referentes as venda de saxofone nos últimos 7 meses. Um sistema de custo moderado que pode ser usado, portanto é o sistema de revisões periódicas, com ponto de encomenda.

b) Calculando diretamente da tabela de venda temos uma demanda média de 15

saxofones por mês. Para respondermos aos itens (c), (d), (e) e (f) montamos a seguinte tabela com as frequências da demanda no período de risco.

Pedido Duração Demanda Demanda frequência f. acumulada 1 9 3 0 1 0,1 2 11 6 1 0 0,1 3 7 0 2 1 0,2 4 14 10 3 1 0,3 5 12 8 4 1 0,4 6 10 4 5 2 0,6 7 11 7 6 1 0,7 8 9 5 7 1 0,8 9 8 2 8 1 0,9 10 10 5 9 0 0,9

média 10,1 5 10 1 1,0 desvio 3,0248 2,9439 10 1,0

Modelos de Estoques

89

c) Diretamente da 2a coluna da tabela obtemos o tempo médio de entrega de 10 dias. d) (e) Diretamente da 3a coluna da tabela obtemos a demanda média durante o tempo

de entrega de 5 saxofones e o desvio padrão da demanda durante o tempo de entrega igual a 2,9434 saxofones/tempo de entrega.

f) A frequência acumulada da demanda no período de risco nos fornece o nível de

serviço para uma dada quantidade de saxofones presentes no estoque quando se faz a encomenda. Ou seja se o ponto de encomenda for de 5 saxofones temos um nível de serviço de 60% (e um nível de risco de 40%). Sendo o ponto de encomenda igual ao estoque de segurança mais a demanda média durante o período de entrega, para um nível de risco de 40% temos um estoque de segurança igual a 5 - 5 = 0 saxofones. Analogamente obtemos:

Nível de risco de 20% = nível de serviço de 80 %, P = 7, B = 2; Nível de risco de 10% = nível de serviço de 90 %, P = 8, B = 3; R 5.ب‌ Uma companhia deseja utilizar um sistema de controle de estoques com

revisões periódicas, encomendas para atingir um nível fixo e uso de ponto de encomenda. O produto a ser monitorado tem demanda diária caracterizada por média de 50 unidades e desvio padrão de 10 unidades. O tempo de entrega tem média de 9 dias e desvio padrão de 3 dias. A gerência da companhia deseja que a probabilidade de falta no período de risco seja de 0,028. Os seguintes custos são relevantes para o modelo: custo de efetuar o pedido $350/pedido; custo de manutenção de estoques: $0,20/unidade.dia e custo de falta: $0,40/unidade.dia; custo mensal de um funcionário: $1.300/funcionário.mês. Atualmente a companhia faz revisões a cada 15 dias, e para tanto usa 5 funcionários, mas esta estudando a possibilidade de passar a fazer revisões a cada 30 dias. Deseja-se saber qual a quantidade de funcionários torna equivalentes (em termos de custos) as duas alternativas. Para facilitar o problema considere apenas o custo de manutenção do estoque (baseado no estoque médio) e o custo dos funcionários necessários para efetuar as revisões.

Resolução: D = 50 unidades/dia

σD = 10 unidades/dia L = 9 dias

σL = 3 dias


90

nível de risco de 0,0028 da tabela da distribuição normal z = 1,91 cs = $350/pedido cm = $0,20/unidade.dia cf = $0,40/ unidade.dia cfuncionário = $ 1.300 / funcionário.mês B z Dw== σ ,

( ) ( )σ σ σ σ σ σD D w D D Lw ww D w R L R L D2 2 2 2 2 2

= + = + ⇒ = + +. . ( ) ( ). . ,

Opção (a) R = 15 dias B = + + =1 91 15 9 10 3 301 392 2, ( ) (50. ) , unidades

CT = 5 x 1300 + 0,20 x 30 x (301,39 + 50 x15 /2) = 10558,36

Opção (b) R = 30 dias B = + + =1 91 30 9 10 50 3 310 342 2, ( ) ( . ) , unidades

CT = n x 1300 + 0,20 x 30 x (310,34 + 50 x 30 /2) = 1300n + 6362,03 Igualando os dois custos temos 1300 n + 6362,02 = 10558,36 n = 3,23 funcionários.

R 5.ج‌ A loja RAIO DISPOSITIVOS ELÉTRICOS comercializa 50.000 disjuntores por ano, e os encomenda em lotes econômicos de tamanho 9.000 disjuntores/lote. Um estoque de segurança de 6.600 disjuntores é mantido pela administração. O tempo de entrega é tipicamente de 12 dias e a firma opera 5 dias por semana, 50 semanas por ano.

a) Sob o sistema de revisão contínua com ponto de encomenda e quantidade fixa qual o ponto de encomenda adequado ?

b) Se a firma passa a adotar o sistema de revisão periódica, sem ponto de encomenda pode ela ainda encomendar a quantidade econômica a cada pedido ? Justifique.

c) Qual deve ser o intervalo entre pedidos para o sistema acima (em b)? Resolução: D = 50.000 disjuntores/ano = 50.000/(5 x 250) = 200 disjuntores/dia útil; Q = 9.000 disjuntores/lote; B = 6.600 disjuntores; L = 12 dias;

Modelos de Estoques

91

a) P = B + DL = 6.600 + 12 x 200 = 9.000 disjuntores. b) A adoção de um sistema de revisões periódicas com encomenda de quantidades

fixas ainda que possível, desde que se calcule o tempo entre revisões de forma adequada, implica em manter um estoque se segurança mais elevado para alcançar o mesmo nível de serviço. O sistema é também muito pouco reativo a quaisquer flutuações que porventura aconteçam na demanda ou no tempo de entrega.

c) t = 9.000 / 200 = 45 dias.


Q 5.أ‌ Qual o efeito da inclusão de custos de falta na quantidade ótima a ser encomendada e no estoque de segurança?

Q 5.ب‌ Quais as duas maiores incertezas encontradas no gerenciamento de estoques e o que é feito usualmente para compensar estas incertezas ?

Q 5.ج‌ Liste uma vantagem e uma desvantagem em se usar regras de decisão informais no estabelecimento de uma política de administração de estoques.

Q 5.د‌ Qual é a maior diferença entre as abordagens incremental e de uso de estoque de segurança (estatística) com respeito a forma como os custos de falta entram nos modelos?

Q 5.ه‌ Correlacione os sistemas de controle de estoque: revisão contínua com ponto de encomenda e quantidade fixa X revisão periódica, sem ponto de encomenda e com quantidade variável; apontando: quais as variáveis interrelacionadas, explicando brevemente como cada um dos sistemas funciona, e definindo para quais tipos de situações e incertezas os sistemas são adequados.

Q 5.و‌ Represente em gráficos a evolução do estoque ao longo do tempo para os seguintes sistemas de controle de estoque: a) Revisão contínua, ponto de encomenda e quantidade fixa, b) Revisão periódica, ponto de encomenda e quantidade fixa, c) Revisão periódica, encomendas nas revisões e nível fixo de reposição.

Q 5.ز‌ Sejam os sistemas de controle de estoques: A - com revisão contínua, ponto de encomenda e quantidade fixa, B - com revisão periódica, ponto de encomenda e quantidade fixa, C - com revisão periódica, sem ponto de encomenda e quantidade fixa. Coloque os sistemas em ordem crescente de: a) Duração do período de risco:


92

b) Custo Operacional c) Custo de estocagem

Q 5.ح‌ Para um mesmo nível de atendimento ( e mantidos todos os demais parâmetros constantes) o que acontece ao estoque de segurança quando a quantidade pedida em cada ciclo dobra.

Q 5.ط‌ Usando o diagrama, ao lado, identifique os seguintes elementos pela letra:

ponto de pedido tempo de entrega ciclo de pedido

tamanho do pedido estoque de segurança ed

a

b

c

Q 5.ي‌ Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para cada uma das afirmativas abaixo

a) ___ Estoques de produtos acabados experimentam, em geral, uma maior incerteza (probabilística) do que estoques de materiais para produção.

b) ___ A medida que o nível desejado de serviço aumenta, o estoque de segurança requerido aumenta numa proporção linear direta.

c) ___ Em sistemas com quantidades fixas de pedido, a prática usual é emitir as ordens de compra quando o nível do estoque de segurança é atingido, e não antes ou depois.


P 5.أ‌ A companhia X-tal tem observado uma demanda com o seguinte padrão: demanda mínima 10 unidades/dia, demanda média 21 unidades/dia, demanda máxima 40 unidades/dia. O tempo de entrega de seus fornecedores varia de 2 a 8 dias.

a) Qual o estoque de segurança deve ser usado se a regra da companhia determina que ele seja a 30% superior a demanda média ?

b) Qual o estoque de segurança deve ser usado se a regra da companhia determina que ele seja a raiz quadrada da demanda média durante o tempo médio de entrega ?

c) Qual a quantidade a pedir se a política da firma é conservadora ? P 5.ب‌ Um supermercado encomenda 400 sacos de batata e os recebe 10 dias depois.

Suas vendas, de batata, atingem em média 20 sacos por dia, e ele mantém um estoque extra rotativo de 40 sacos, para ter certeza que não ficará sem estoque.

Modelos de Estoques

93

Admita que a demanda seja distribuída normalmente durante o tempo de atendimento, com desvio padrão de 20 sacos.

a) Qual o tempo médio de atendimento ? b) Qual o ponto de pedido ? c) Que nível de atendimento fornece o estoque de segurança ? d) Suponha que a gerência da firma ache que ficar sem estoque durante três ciclos de pedido a cada ano fosse aceitável. Em quanto poderia ser reduzido o estoque de segurança ? (Admita que existem 300 dias úteis por ano).

P 5.ج‌ A loja RAIO DISPOSITIVOS ELÉTRICOS comercializa 31.200 disjuntores por ano, e os encomenda em lotes econômicos de tamanho 6.000 disjuntores/lote. Um estoque de segurança de 4.000 disjuntores é mantido pela administração. O tempo de entrega é tipicamente de 10 dias e a firma opera 6 dias por semana, 52 semanas por ano.

a) Sob o sistema de revisão contínua com ponto de encomenda e quantidade fixa qual o ponto de encomenda adequado ?

b) Se a firma passa a adotar o sistema de revisão periódica, sem ponto de encomenda pode ela ainda encomendar a quantidade econômica a cada pedido ? Justifique.

c) Qual deve ser o intervalo entre pedidos para o sistema acima (item B) ? d) Qual deve ser o intervalo entre pedidos para um sistema de revisão periódica,

sem ponto de encomenda e com quantidade variável (assumindo que o mesmo estoque de segurança de 4.000 fosse mantido)?

P 5.د‌ Um distribuidor de pneus tem um ciclo de pedidos semanal e tem experimentado

uma demanda distribuída normalmente com uma média de 40 unidades por semana e um desvio padrão de 5 unidades por semana. O tempo de atendimento é constante e igual a 6 semanas e cada demanda é independente.

a) Quanto de estoque de segurança deve ser mantido ? b) Quanto de estoque à mão deve haver quando for colocado novo pedido ?

P 5.ه‌ A demanda por um produto durante seu tempo de atendimento acha-se

normalmente distribuída com média de 1000 unidades e desvio padrão de 40 unidades. Qual a percentagem de atendimento pode uma firma esperar oferecer se:

a) ela atende apenas a demanda média ? b) ela mantém 60 unidades de estoque de segurança ?


94

Resp.) a) 50%, b) 93,32% P 5.و‌ Uma firma compra coque de um fornecedor estrangeiro que leva 4 semanas para

entregá-lo. A firma usa 800 toneladas de coque por semana e coloca um pedido a cada 4 semanas. A demanda durante o tempo de atendimento (4 semanas) é distribuída normalmente com um desvio de 600 toneladas. A firma deseja manter um estoque de segurança suficiente para limitar seus esgotamentos de estoque a um ciclo de pedido em um período de dois anos (104 semanas). Que ponto de pedido ele deve usar?

Resp. = 14250 toneladas. P 5.ز‌ Seja um sistema de controle de estoques com revisão contínua, lote econômico e

ponto de encomenda. Suponha que a demanda diária é normalmente distribuída com média 100 e desvio padrão de 15 unidades, e que o tempo de reposição é constante e igual a 3 dias. Se a demanda é de 24.000 unidades por ano, o custo de manutenção de $ 0,20/unidade.mês, o custo de falta de $0,40/unidade.mês, e o custo de pedido de $700,00/pedido. Calcule o valor do lote econômico, do estoque de segurança e do ponto de encomenda, de modo que seja de 2,5% a probabilidade que a demanda exceda o ponto de encomenda. Qual a probabilidade de falta do produto em uma dada semana do ano?

Resp.: Lote: 4.582,57 unidades/pedido, Estoque de segurança 9= 152 unidades Ponto de encomenda = 1352 unidades, Probabilidade de falta 0,108% P 5.ح‌ Em um determinado sistema de controle de estoques são efetuadas revisões a

cada 20 dias. Um dos produtos deste sistema tem demanda diária com média de 40 unidades, e desvio padrão de 15 unidades. O produto é reposto 12 vezes ao ano, com tempo de reposição de 9 dias em média (e desvio padrão de 2 dias). Supondo que a demanda no período de risco de falta do produto é normalmente distribuída, calcule o estoque de segurança e o ponto de encomenda para que a probabilidade de falta do produto em um dado dia do ano seja de aproximadamente 0,0156.

Resp.: 252 e 1012 unidades. P 5.ط‌ Um revendedor de autopeças deve decidir entre dois sistemas de controle de

estoques para um dos itens que comercializa: revisões contínuas, ou revisões a cada 15 dias (ambos com ponto de encomenda). O item tem demanda diária caracterizada por média de 50 unidades e desvio padrão de 20 unidades. Seu tempo de reposição tem média de 7 dias e desvio padrão de 2 dias. A gerência deseja manter um estoque de segurança de modo que o risco de falta seja de 2,5%

Modelos de Estoques

95

(no período de risco). A demanda pelo item nos períodos de risco tem distribuição aproximadamente normal em ambos os sistemas. A decisão ser tomada com base no custo anual de manter o estoque médio em cada uma das duas situações, mais o custo anual de operar cada um dos dois sistemas. O custo de manter uma unidade em estoque é de $25/unid.ano. O custo anual de operar o sistema com revisões contínuas é de $20.000, enquanto o custo anual de operar o sistema com revisões periódicas é de $9.000. Nas condições acima, que sistema de revisão de estoque você recomendaria a gerência ?

Resp.) Revisões periódicas ($4132/ano mais barato). P 5.ي‌ Seja um sistema de controle de estoque com revisões periódicas. A demanda

(tanto no intervalo entre revisões como no tempo de reposição) é normalmente distribuída com média diária igual a 30 unidades e desvio padrão igual a 10 unidades. O tempo de reposição é constante e igual a 5 dias. Deseja-se que a probabilidade de falta nos períodos de risco (intervalo entre revisões mais tempo de reposição) seja igual a 2,5%.

a) Calcule o estoque e o nível fixo de reposição para um intervalo entre revisões igual a 15 dias;

b) Qual deve ser o intervalo máximo entre revisões se o estoque de segurança máximo admitido pela gerência é de 100 unidades, mantido o mesmo risco contra falta do produto ?

Resp.: a) 90 e 690 unidades, b) 20 dias. P 5.ك‌ A lanchonete XIS funciona durante 50 semanas por ano (fecha duas semanas por

ano para férias). A lanchonete XIS compra seus hambúrgueres de um fornecedor que faz a entrega uma semana após o pedido. A previsão de demanda atual é de 600 kg por semana, a demanda durante o tempo de entrega pode ser considerada normalmente distribuída e o seu desvio padrão foi estimado em 50 kg. O gerente de operações da lanchonete deseja manter estoque suficiente para garantir que faltas do produto só ocorram durante dois ciclos do ano.

a) Se a quantidade pedida é de 600 kg por encomenda, quantos quilos extra de hambúrgueres devem ser mantido em estoque?

b) Qual o ponto de encomenda adequado? c) Se o gerente de operações suspeita da possibilidade de haver falta de produto no

mercado e passa a encomendar a demanda esperada de 4 semanas (2.400 kg), qual o novo estoque de segurança deve ser mantido para garantir o mesmo nível de atendimento? (Para o mesmo tempo de entrega.)

O fornecedor da lanchonete XIS informou-a que só poderá atender as encomendas num prazo de 5 semanas (constante). Devido a limitações de


96

espaço no freezer o tamanho do pedido deve ser mantido em 600 Kg por encomenda. Para o mesmo nível de atendimento determine:

d) qual o novo estoque de segurança? e) em qual nível físico de estoque (à mão) é necessário se fazer novo pedido? f) em qual nível contábil de estoque (à mão e em trânsito) é necessário se fazer

novo pedido? Resp. a) 87,5kg b) 687,5kg c) 87,5kg d) 195,67kg e) 795,67kg f) 3.195,67kg P 5.ل‌ Sr. José da Silva, dono dos Armazéns Gerais Ltda., usa as seguintes regras para

controlar seus estoques: I. Revisa o estoque a cada 2 semanas. II. Mantém um estoque de segurança equivalente a 40% da demanda no período

de risco de falta do produto. (obs. considere como período de risco a metade do tempo entre revisões mais o tempo que o pedido demora para ser atendido).

III.A cada vez que faz um pedido o Sr. José encomenda uma quantidade equivalente à demanda média de 2 períodos de revisão (4 semanas).

Analisando o modelo de estoques do Sr. José, você obteve os seguintes dados:

• demanda anual de 10.000 unidades (base de 50 semanas/ano),

• custo de efetuar pedidos de $25,00/pedido,

• custo de manutenção de estoque de $2,00/unidade.ano,

• tempo médio para entrega de um pedido de 1 semana,

• demanda durante o período de risco normalmente distribuída com desvio s = 75 unidades.

A luz dos seus conhecimentos da teoria de controle de estoques comente as regras informais usadas pelo Sr. José. Sugestão:

a) Determine a probabilidade de falta do produto X, durante o período de risco. b) Qual deveria ser o tamanho do lote para o nível de serviço determinado

acima? c) Qual a diferença anual de custos de estocagem entre o modelo adotado por

você e o modelo usado pelo Sr. José? d) Se o Sr. José admite um nível de serviço de 90%, quais serão: o novo estoque

de segurança, o tamanho do lote e o custo anual ?

Modelos de Estoques

97

Resp. Política do Sr. José: B = 160 unid., Q = 800 unid., CT = $1.432,50/ano, risco de falta 1,66% Política de custo mínimo: B = 160 unid., Q = 500 unid., CT = $1310/ano, Nível de serviço de 90%: B = 96,4 unid. Q = 500 unid., CT = $1193/ano

Outras Abordagens em Estoque

98

6. OUTRAS ABORDAGENS EM ADMINISTRAÇÃO DE ESTOQUES

6.1 MRP e MRP II *

MRP (Material Requirements Planning, ou cálculo das necessidades de material) e MRP II (Manufacturing Resources Planning, ou planejamento dos recursos de manufatura) são sistemas de administração da produção, que tem por objetivo permitir o cumprimento dos prazos de entrega dos pedidos dos clientes com mínima formação de estoques, planejando as compras e a produção dos itens componentes para que ocorram apenas nos momentos e nas quantidades necessárias, nem mais, nem menos, nem antes, nem depois. O princípio básico do MRP II é o princípio do cálculo de necessidades, uma técnica de gestão que permite o cálculo, viabilizado pelo uso do computador, das quantidades e dos momentos em que são necessários os recursos de manufatura (materiais, pessoas, equipamentos, entre outros), para que se cumpram os programas de entrega de produtos, com um mínimo de formação de estoques. (Corrêa e Gianesi, 1993). O cálculo da necessidade dos componentes (produtos de demanda dependente) é feito a partir das necessidades dos produtos finais (itens de demanda independente) e da composição destes. A obtenção dos instantes em que os componentes serão necessários é feita a partir dos prazos prometidos para o produto final, os tempos de fabricação dos componentes e dos tempos de entrega dos subcomponentes. Sistemas como o MRP surgiram para tratar itens de demanda dependente, mantendo para os itens de demanda independente as abordagens convencionais. Tal fato é basicamente decorrente do amortecimento introduzido nas curvas de demanda pelo processo de produção.

Planejamento e Controle da Produção A figura a seguir ilustra um sistema hierárquico de planejamento da produção, em que os planos de longo prazo são sucessivamente detalhados até se chegar ao nível de planejamento de componentes e máquinas específicas, além de contemplar os sistemas de controle de fábrica e das vendas.

* o material que se segue foi baseado em (Corrêa e Gianesi, 1993)

Modelos de Estoques

99

item F ilh oM R P

item F ilh oT ra d icion a l

item P a i

Relacionamento entre estoque de produtos finais e componentes

em sistemas de ponto de encomenda e MRP

Plano materiale capacidade

PlanejamentoAgregado

PlanejamentoCapacidade

sistema decontrole

Planejamentoda produção

Controle daprodução

sistema decompras

MRP

Planejamentonecessidades

Plano Mestrede Produção

Previsão deDemanda

Planejamentoda Produção

Planejamentode Recursos

diagramasprocesso

lista demateriais

posição doestoque

Sistema de Planejamento e Controle da Produção


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Sistemas MRP no Planejamento da Produção A função do MRP é a partir do plano mestre de produção, especificado por períodos, produzir necessidades de submontagens , componentes, matérias primas defasadas no tempo. Além do plano mestre de produção há duas outras entradas num sistema MRP:

• lista de materiais mostra, para cada componente, que outros componentes são necessários. Por exemplo, um automóvel para ser fabricado precisa de 5 rodas; cada roda, por sua vez, necessita da roda propriamente dita, do pneu e de uma válvula, e assim por diante.

• posição dos estoques para saber quantas rodas fabricar para um dado número de carros, é necessário saber quantas há em estoque, quantas já estão alocadas a carros em processo de fabricação, qual o estoque em trânsito.

Registro Básico do MRP

Item -- Carrinho de Supermercado Tempo de reposição 1 Tamanho lote 50 Quantidade no item pai 1

Hoje Horizonte de planejamento Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Necessidades brutas 10 40 10 30 25 42 Recebimentos planejados 50 0 0 0 50 0 0 0 50 50 Disponibilidade no fim do

período 4 54 44 44 4 44 44 14 14 39 47

Liberação dos pedidos planejados 0 0 0 50 0 0 0 50 50 Registro Básico do MRP

O quadro acima corresponde ao registro básico do MRP, o quadro é basicamente auto explicativo, e normalmente a ele se aplicam as seguintes convenções:

• o instante atual é o fim do período zero, ou início do período 1, • os itens devem estar disponíveis no início do período, • os recebimentos planejados torna-se disponíveis no início do período, • as disponibilidades são projetadas para o fim de cada período e são

calculadas por: disponibilidade = necessidades brutas - (disponibilidade do período anterior + recebimentos planejados).

Um registro básico MRP contém toda a informação necessária para cada componente do sistema. Para interligar os registros básicos dos diferentes componentes são necessários a lista de materiais, e o roteiro de montagem do(s) produto(s) sendo fabricado. Com estas informações o processo de explosão transforma necessidades brutas de produtos acabados em necessidades líquidas de componentes e matéria prima. O exemplo a seguir ilustra os conceitos e o processo de explosão para o planejamento (simplificado) da fabricação de carrinhos de supermercado.

Modelos de Estoques

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Exemplo: Uma firma que fabrica carrinhos de supermercado deve entregar 10 carrinhos na semana 2, 40 na semana 4, 10 na semana 5, 30 na semana 7, 25 na semana 9 e 10 na semana 10. Cada carrinho é constituído de um cesto e dois conjuntos de rodas e eixo. As quantidades de estoque à mão, no início do período 1, tempos de montagem ou entrega e quantidades dos pedidos são:

Peça Estoque a mão tempo montagem quantidade pedido Cesto 15 4 50

Montagem Rodas 35 2 livre Eixo 10 1 livre Roda 35 2 200

Um lote de montagem de carrinhos já está em processamento, estando disponível no início da semana 1. Complete o plano de requisitos de material para os carrinhos e seus componentes, indicando as quantidades que devem ser pedidas ou produzidas e as épocas em que os pedidos ou ordens de produção devem ser colocados.

Árvore do produto para carrinho de supermercado Carrinho

Cesto (1)

Montagem de Rodas (2)

Roda (2) Eixo (1)

Roteiro de montagem para carrinho de supermercado

Comprar cestos

Montar Comprar carrinho eixos

Montar montagens

de rodas

Comprar rodas

5 4 3 2 1 0


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semanas antes de completar Programa mestre e plano dos componentes para carrinho de supermercado

Item -- Carrinho de Supermercado Tempo de reposição 1 Tamanho

lote 50 Quantidade no item pai 1

Hoje Horizonte de planejamento Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Necessidades brutas 10 40 10 30 25 42 Recebimentos planejados 50 0 0 0 50 0 0 0 50 50

Disponibilidade no fim do período 4 54 44 44 4 44 44 14 14 39 47 Liberação dos pedidos planejados 0 0 0 50 0 0 0 50 50

Item -- Cesto

Tempo de reposição 4 Tamanho lote 75 Quantidade no item pai 1 Hoje Horizonte de planejamento

Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Necessidades brutas 0 0 0 50 0 0 0 50 50 0

Recebimentos planejados 0 0 0 75 0 0 0 75 0 0 Disponibilidade no fim do período 15 15 15 15 40 40 40 40 65 15 15 Liberação dos pedidos planejados 75 0 0 0 75 0 0 0 0 0

Item -- Montagem de Rodas

Tempo de reposição 2 Tamanho lote nec Quantidade no item pai 2 Hoje Horizonte de planejamento


Recebimentos planejados 50 0 0 15 0 0 0 100 100 0 Disponibilidade no fim do período 35 85 85 85 0 0 0 0 0 0 0 Liberação dos pedidos planejados 0 15 0 0 0 100 100 0 0

Item -- Eixo

Tempo de reposição 1 Tamanho lote nec Quantidade no item pai 1 Hoje Horizonte de planejamento



Item -- Rodas

Tempo de reposição 2 Tamanho lote 200 Quantidade no item pai 2 Hoje Horizonte de planejamento



Modelos de Estoques

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6.2 Just In Time

Nos últimos anos o termo Just in Time (JIT) e muitos de seus sinônimos próximos, tais como: Estoque Zero, Produção sem Estoque, Manufatura de Classe Mundial, têm se tornado comuns em organizações produtivas ao redor do mundo. Baixos níveis de estoque é uma das mais visíveis características de organizações de produção japonesas e tal fato pode ser considerado uma das razões para a posição competitiva das corporações japonesas. O sucesso destas corporações tem despertado atenção para suas técnicas de administração da produção e sua grande ênfase em redução de estoques. Como resultado diversos livros tem sido escritos e centenas de artigos publicados em revistas técnicas e de negócios.

Muito embora o termo JIT seja atualmente quase um lugar comum, ele não é tão fácil de definir. O termo JIT descreve a tentativa de produzir itens somente quando eles forem necessários, na menor quantidade possível, e com o mínimo desperdício de recursos humanos e naturais. Colocado desta forma o JIT é um dos principais objetivos de todo gerente de produção.

Em senso restrito o termo JIT simplesmente denota ênfase em redução de estoques. Num sentido mais amplo o termo JIT é também usado para descrever uma filosofia de administração que objetiva promover mudanças e melhorias através da redução de estoques. Usado nesta segunda acepção o termo JIT pode compreender um conjunto de técnicas gerenciais tais como:

• melhoramento contínuo, • envolvimento dos trabalhadores, • eliminação de desperdícios, • redução de custos de preparação, • redução do tamanho dos lotes, • esforço contínuo na resolução de problemas, • controle de qualidade.

Pode-se dizer que de alguma forma JIT representa uma ruptura com práticas gerenciais de um passado recente. A administração da produção tradicional é mais focada na utilização dos equipamentos e da mão de obra e menos no fluxo dos materiais. Portanto estoques ao longo de vários estágios da cadeia produtiva são permitidos, se sua presença contribui para um uso mais eficiente dos demais recursos. No JIT maior ênfase é dada ao fluxo dos materiais. Para se atingir fluxo global mais eficiente melhoramentos locais (tais como redução de tempos de preparação, melhorias na qualidade, manutenção preventiva) devem freqüentemente ser feitos. Além disto melhor coordenação entre vários recursos de produção e departamentos torna-se necessária. A cooperação entre os departamentos de contabilidade, finanças, marketing, pessoal, compras e vendas é tão necessária quanta aquela entre os departamentos de produção, engenharia do produto, qualidade, distribuição. Para reduzir substancialmente seus estoques as companhias devem adotar uma postura de integração, porque muitos ou todos os fatores envolvidos no processo de produção são


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afetados. Em muitos casos toda a cadeia de suprimentos, ou uma grande porção dela pode ser alvo da aplicação de técnicas de redução de estoques. Tal objetivo exige uma melhor coordenação entre a planta, e suas cadeias de fornecedores e de distribuição, ultrapassando, muitas vezes, os limites de uma empresa.

Num ambiente de JIT todas as partes da organização tem um objetivo operacional bem definido: implementar melhoramentos que permitam redução nos estoques, ou o que é equivalente, em tempos de entrega. A cooperação entre diferentes departamentos é facilitada por este objetivo comum. Isto permite maior coesão a firma, o que permite maior descentralização. Outra mudança com relação ao passado recente está relacionada ao crescente envolvimento e responsabilidade dos trabalhadores. Isto é também uma conseqüência natural de estoques reduzidos. Cada etapa no processo produtivo torna-se mais crítica a medida que interrupções locais tem efeitos mais severos sobre as demais etapas. Portanto mais decisões têm que ser tomadas no instante da produção e os trabalhadores necessitam ser mais treinados e motivados. As relações trabalhistas tornam-se mais críticas a medida que os trabalhadores adquirem mais habilidades e responsabilidade (tornando-se assim mais difíceis de se substituir).

JIT é em vasta medida um fenômeno empírico, sua popularidade deve-se principalmente ao sucesso de alguns de seus mais visíveis proponentes. Muitos dos desenvolvimentos dentro do JIT foram obtidos a partir de extensa experimentação dentro das fábricas e não pelo desenvolvimento de resultados teóricos. Uma reconsideração sobre os modelos analíticos tradicionais, como modelos de lote econômico, de estoque de segurança, MRP, além de modelos de programação da produção é portanto necessária. Os modelos analíticos tradicionais, como os citados acima, são desenvolvidos a partir de um número limitado de considerações; por exemplo o modelo de lote econômico procura determinar o tamanho do lote que melhor contrabalança os custos de preparação com os custos de manutenção dos estoques, ignorando vários aspectos como incertezas, contingências momentâneas, entre outros. Em decorrência se sua natureza limitada, subotimizações são um perigo real quando tais modelos analíticos são usados. Isto não significa porém que os modelos analíticos tradicionais tenham perdido sua relevância, mas que seus resultados devem ser interpretados com cuidado e a luz do bom senso e da experiência prática. Os modelos ainda provêem importante conhecimento sobre os problemas (insights) e auxiliam sobremaneira na tomada de decisões. Entretanto, seu uso sempre precisa ser avaliado e verificado no contexto maior da aplicação.

O papel dos estoques O sistema JIT tem como objetivo fundamental a melhoria contínua do processo produtivo. A perseguição destes objetivos dá-se através de um mecanismo de redução de estoques, os quais tendem a camuflar problemas.

Os estoques tem sido utilizados para evitar descontinuidades do processo produtivo, diante de problemas de produção que podem ser classificados principalmente em três grandes grupos:

Modelos de Estoques

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•problemas de qualidade; •problemas de quebra de máquina; •problemas de preparação de máquina. Na presença destes problemas, o estoque funciona como um investimento

necessário. O objetivo da filosofia JIT é reduzir os estoques, de modo que os problemas fiquem visíveis e possam ser resolvidos através de esforços concentrados e priorizados. Conforme ilustrado na figura a seguir o estoque e o investimento que este representa podem ser representados pela água de um lago que encobre as pedras que representam os diversos problemas do processo produtivo. Deste modo o fluxo de produção (representado pelo barco) consegue seguir as custas de altos investimentos em estoques. Reduzir estes custos se assemelha a baixar o nível da água, tornando visíveis os problemas que, quando eliminados, permitem um fluxo mais suave da produção, mesmo sem estoques. Reduzindo-se os estoques gradativamente, tornam-se visíveis os problemas mais críticos de produção, ou seja, possibilita-se um ataque priorizado. A medida que estes problemas vão sendo eliminados, reduzem-se mais e mas os estoques, localizando-se e atacando-se novos problemas escondidos.

Problema aparente - a ser resolvido

Problemas

Estoque

Estoque

Redução dos níveis de estoque e aparecimento dos problemas

O uso do JIT: fim dos desperdícios e melhoria contínua Alguns autores definem a filosofia JIT como um sistema de manufatura cujo objetivo é otimizar os processos e procedimentos através da redução contínua de desperdícios. Eliminar desperdícios significa analisar todas as atividades realizadas pela fábrica e eliminar aquelas que não agregam valor a produção. Os principais desperdícios podem ser classificados em sete grandes categorias, a saber:

• desperdício de superprodução • desperdício de espera • desperdício de transporte • desperdício de processamento • desperdício de movimento • desperdício de produzir produtos defeituosos • desperdício de estoques


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Além do esforço de eliminação de desperdícios, a filosofia JIT tem a característica de não aceitação da situação vigente ou mesmo de padrões arbitrários de desempenho. Na abordagem tradicional as metas costumam ser estáticas, ao menos para determinado período, após o qual podem ser alteradas visando aprimoramentos. As metas funcionam como padrões, com base nos quais é exercida a atividade de controle que procura minimizar os afastamentos que ocorrem em relação a estes padrões. O controle mantém o processo estável e mantêm os resultados dentro de tolerâncias aceitáveis.

As metas colocadas pelo JIT são:

• zero defeitos, • tempo zero de preparação, • estoques zero, • movimentação zero, • quebra zero, • tempo de entrega zero, • lote unitário.

Embora tais metas pareçam muito ambiciosas, se não inatingíveis, aos olhos da abordagem tradicional, estas metas garantem o processo de esforço para a melhoria contínua e a não aceitação ou complacência com a situação atual.

Pressupostos do JIT X Abordagem tradicional

JIT Tradicional Papel dos estoques escondem problemas resolvem problemas Tamanho dos lotes mínimos (redução dos

custos de preparação) ótimo (em função dos

custos existentes !) Utilização da capacidade

utilização necessária para atender a demanda

máxima utilização da capacidade

O papel da mão de obra direta e indireta

trabalhadores são responsáveis, supervisores

apoiam

supervisores definem diretrizes, trabalhadores

cumprem Organização e limpeza da fábrica

aspecto fundamental aspecto secundário

Qualidade é uma premissa tem um custo Falhas devem ser eliminadas inevitáveis, inspecionadas

e retiradas Fluxo de materiais materiais apenas passam

pela fábrica materiais organizados e armazenados dentro da

fábrica

Modelos de Estoques

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7. BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Brown R.G. (1967). Decision Rules for Inventory Management, Holt-Rinehart & Winston.

Brown R.G. (1977). Materials Management Systems, Wiley - Interscience. Buffa E.S. e Miller J.G. (1979). Production-Inventory Systems: Planning and

Control, Irwin. Buffa E.S. e Sarin R.K. (1987). Modern Production / Operations Management, John

Wiley & Sons. Burbidge J.L. (1988). Planejamento e Controle da Produção, Ed. Atlas. Corrêa H.L. e Gianesi I.G.N. (1996). Just in Time, MRP II e OPT : Um Enfoque

Estratégico, Ed. Atlas. Fogarty D.W., Blackstone Jr. J.H., Hoffmann T.R. (1991), Production and Inventory

Management, South-Western Publishing Co. Graves S.C., Rinnoy Kan A.H.G., Zipkin P.H. Eds. (1993), Logistics of Production

and Inventory, Handbooks in Operations Research and Management Science vol. 4, Elsevier Science Publishers B.V.

Hax A.C., Candea D. (1984), Production and Inventory Management, Prentice Hall Inc.

Meredith J.R. (1992). The Management of Operations: A Conceptual Emphasis, John Wiley & Sons.

Monks J.G. (1987). Administração da Produção, McGraw-Hill. Narasimhan S.L., McLeavey D.W., Billington P.J. (1995), Production Planning and

Inventory Control, Prentice Hall Inc. Novaes A.G. (1989), Sistemas Logísticos: Transporte, Armazenagem e Distribuição

Física de Produtos, Ed. Edgard Blucher Ltda. Silver E.A. e Peterson R. (1985). Decisions Systems for Inventory Management and

Production Planning, John Wiley & Sons. Vollman T.E., Berry W.L., Whybark D.C., (1992) . Manufacturing Planning and

Control Systems, Richard D. Irwin Inc..

Anexos - Tabelas da distribuição Normal

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8. ANEXOS Fatores para a Distribuição Normal

z n(z) N(z) G(z) z n(z) N(z) G(z) 0 0,398942 0,500000 0,398942 0,5 0,352065 0,691462 0,197797

0,01 0,398922 0,503989 0,393962 0,51 0,350292 0,694974 0,194729 0,02 0,398862 0,507978 0,389022 0,52 0,348493 0,698468 0,191696 0,03 0,398763 0,511967 0,384122 0,53 0,346668 0,701944 0,188698 0,04 0,398623 0,515953 0,379261 0,54 0,344818 0,705402 0,185735 0,05 0,398444 0,519939 0,374441 0,55 0,342944 0,708840 0,182806 0,06 0,398225 0,523922 0,369660 0,56 0,341046 0,712260 0,179912 0,07 0,397966 0,527903 0,364919 0,57 0,339124 0,715661 0,177051 0,08 0,397668 0,531881 0,360218 0,58 0,337180 0,719043 0,174225 0,09 0,397330 0,535856 0,355557 0,59 0,335213 0,722405 0,171432 0,1 0,396953 0,539828 0,350935 0,6 0,333225 0,725747 0,168673

0,11 0,396536 0,543795 0,346353 0,61 0,331215 0,729069 0,165947 0,12 0,396080 0,547758 0,341811 0,62 0,329184 0,732371 0,163254 0,13 0,395585 0,551717 0,337309 0,63 0,327133 0,735653 0,160594 0,14 0,395052 0,555670 0,332846 0,64 0,325062 0,738914 0,157967 0,15 0,394479 0,559618 0,328422 0,65 0,322972 0,742154 0,155372 0,16 0,393868 0,563559 0,324038 0,66 0,320864 0,745373 0,152810 0,17 0,393219 0,567495 0,319693 0,67 0,318737 0,748571 0,150280 0,18 0,392531 0,571424 0,315388 0,68 0,316593 0,751748 0,147781 0,19 0,391806 0,575345 0,311122 0,69 0,314432 0,754903 0,145315 0,2 0,391043 0,579260 0,306895 0,7 0,312254 0,758036 0,142879

0,21 0,390242 0,583166 0,302707 0,71 0,310060 0,761148 0,140475 0,22 0,389404 0,587064 0,298558 0,72 0,307851 0,764238 0,138102 0,23 0,388529 0,590954 0,294448 0,73 0,305627 0,767305 0,135760 0,24 0,387617 0,594835 0,290377 0,74 0,303389 0,770350 0,133448 0,25 0,386668 0,598706 0,286345 0,75 0,301137 0,773373 0,131167 0,26 0,385683 0,602568 0,282351 0,76 0,298872 0,776373 0,128916 0,27 0,384663 0,606420 0,278396 0,77 0,296595 0,779350 0,126694 0,28 0,383606 0,610261 0,274479 0,78 0,294305 0,782305 0,124503 0,29 0,382515 0,614092 0,270601 0,79 0,292004 0,785236 0,122340 0,3 0,381388 0,617911 0,266761 0,8 0,289692 0,788145 0,120207

0,31 0,380226 0,621719 0,262959 0,81 0,287369 0,791030 0,118103 0,32 0,379031 0,625516 0,259196 0,82 0,285036 0,793892 0,116028 0,33 0,377801 0,629300 0,255470 0,83 0,282694 0,796731 0,113981 0,34 0,376537 0,633072 0,251782 0,84 0,280344 0,799546 0,111962 0,35 0,375240 0,636831 0,248131 0,85 0,277985 0,802338 0,109972 0,36 0,373911 0,640576 0,244518 0,86 0,275618 0,805106 0,108009 0,37 0,372548 0,644309 0,240943 0,87 0,273244 0,807850 0,106074 0,38 0,371154 0,648027 0,237404 0,88 0,270864 0,810570 0,104166 0,39 0,369728 0,651732 0,233903 0,89 0,268477 0,813267 0,102285 0,4 0,368270 0,655422 0,230439 0,9 0,266085 0,815940 0,100431

0,41 0,366782 0,659097 0,227011 0,91 0,263688 0,818589 0,098604 0,42 0,365263 0,662757 0,223621 0,92 0,261286 0,821214 0,096803 0,43 0,363714 0,666402 0,220267 0,93 0,258881 0,823814 0,095028 0,44 0,362135 0,670031 0,216949 0,94 0,256471 0,826391 0,093279 0,45 0,360527 0,673645 0,213667 0,95 0,254059 0,828944 0,091556 0,46 0,358890 0,677242 0,210422 0,96 0,251644 0,831472 0,089858 0,47 0,357225 0,680822 0,207212 0,97 0,249228 0,833977 0,088185 0,48 0,355533 0,684386 0,204038 0,98 0,246809 0,836457 0,086537 0,49 0,353812 0,687933 0,200900 0,99 0,244390 0,838913 0,084914

Modelos de Estoques

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Fatores para a Distribuição Normal

z n(z) N(z) G(z) z n(z) N(z) G(z) 1 0,241971 0,841345 0,083315 1,5 0,129518 0,933193 0,029307

1,01 0,239551 0,843752 0,081741 1,51 0,127583 0,934478 0,028645 1,02 0,237132 0,846136 0,080190 1,52 0,125665 0,935744 0,027996 1,03 0,234714 0,848495 0,078664 1,53 0,123763 0,936992 0,027360 1,04 0,232297 0,850830 0,077160 1,54 0,121878 0,938220 0,026736 1,05 0,229882 0,853141 0,075680 1,55 0,120009 0,939429 0,026124 1,06 0,227470 0,855428 0,074223 1,56 0,118157 0,940620 0,025525 1,07 0,225060 0,857690 0,072789 1,57 0,116323 0,941792 0,024937 1,08 0,222653 0,859929 0,071377 1,58 0,114505 0,942947 0,024360 1,09 0,220251 0,862143 0,069987 1,59 0,112704 0,944083 0,023796 1,1 0,217852 0,864334 0,068619 1,6 0,110921 0,945201 0,023242

1,11 0,215458 0,866500 0,067274 1,61 0,109155 0,946301 0,022700 1,12 0,213069 0,868643 0,065949 1,62 0,107406 0,947384 0,022168 1,13 0,210686 0,870762 0,064646 1,63 0,105675 0,948449 0,021647 1,14 0,208308 0,872857 0,063365 1,64 0,103961 0,949497 0,021137 1,15 0,205936 0,874928 0,062103 1,65 0,102265 0,950529 0,020637 1,16 0,203571 0,876976 0,060863 1,66 0,100586 0,951543 0,020147 1,17 0,201214 0,878999 0,059643 1,67 0,098925 0,952540 0,019668 1,18 0,198863 0,881000 0,058443 1,68 0,097282 0,953521 0,019198 1,19 0,196520 0,882977 0,057263 1,69 0,095657 0,954486 0,018738 1,2 0,194186 0,884930 0,056102 1,7 0,094049 0,955435 0,018288

1,21 0,191860 0,886860 0,054961 1,71 0,092459 0,956367 0,017847 1,22 0,189543 0,888767 0,053840 1,72 0,090887 0,957284 0,017415 1,23 0,187235 0,890651 0,052737 1,73 0,089333 0,958185 0,016993 1,24 0,184937 0,892512 0,051652 1,74 0,087796 0,959071 0,016579 1,25 0,182649 0,894350 0,050587 1,75 0,086277 0,959941 0,016174 1,26 0,180371 0,896165 0,049539 1,76 0,084776 0,960796 0,015778 1,27 0,178104 0,897958 0,048510 1,77 0,083293 0,961636 0,015390 1,28 0,175847 0,899727 0,047498 1,78 0,081828 0,962462 0,015010 1,29 0,173602 0,901475 0,046504 1,79 0,080380 0,963273 0,014639 1,3 0,171369 0,903199 0,045528 1,8 0,078950 0,964070 0,014276

1,31 0,169147 0,904902 0,044568 1,81 0,077538 0,964852 0,013920 1,32 0,166937 0,906582 0,043626 1,82 0,076143 0,965621 0,013573 1,33 0,164740 0,908241 0,042700 1,83 0,074766 0,966375 0,013233 1,34 0,162555 0,909877 0,041791 1,84 0,073407 0,967116 0,012900 1,35 0,160383 0,911492 0,040897 1,85 0,072065 0,967843 0,012575 1,36 0,158225 0,913085 0,040020 1,86 0,070740 0,968557 0,012257 1,37 0,156080 0,914656 0,039159 1,87 0,069433 0,969258 0,011946 1,38 0,153948 0,916207 0,038313 1,88 0,068144 0,969946 0,011642 1,39 0,151831 0,917736 0,037483 1,89 0,066871 0,970621 0,011345 1,4 0,149727 0,919243 0,036668 1,9 0,065616 0,971284 0,011054

1,41 0,147639 0,920730 0,035868 1,91 0,064378 0,971933 0,010771 1,42 0,145564 0,922196 0,035083 1,92 0,063157 0,972571 0,010493 1,43 0,143505 0,923641 0,034312 1,93 0,061952 0,973197 0,010222 1,44 0,141460 0,925066 0,033555 1,94 0,060765 0,973810 0,009957 1,45 0,139431 0,926471 0,032813 1,95 0,059595 0,974412 0,009698 1,46 0,137417 0,927855 0,032085 1,96 0,058441 0,975002 0,009445 1,47 0,135418 0,929219 0,031370 1,97 0,057304 0,975581 0,009198 1,48 0,133435 0,930563 0,030669 1,98 0,056183 0,976148 0,008957 1,49 0,131468 0,931888 0,029981 1,99 0,055079 0,976705 0,008721

Anexos - Tabelas da distribuição Normal

110


z n(z) N(z) G(z) z n(z) N(z) G(z) 2 0,053991 0,977250 0,008491 2,5 0,017528 0,993790 0,002004

2,01 0,052919 0,977784 0,008266 2,51 0,017095 0,993963 0,001943 2,02 0,051864 0,978308 0,008046 2,52 0,016670 0,994132 0,001883 2,03 0,050824 0,978822 0,007832 2,53 0,016254 0,994297 0,001825 2,04 0,049800 0,979325 0,007623 2,54 0,015848 0,994457 0,001769 2,05 0,048792 0,979818 0,007419 2,55 0,015449 0,994614 0,001715 2,06 0,047800 0,980301 0,007219 2,56 0,015060 0,994766 0,001662 2,07 0,046823 0,980774 0,007025 2,57 0,014678 0,994915 0,001610 2,08 0,045861 0,981237 0,006835 2,58 0,014305 0,995060 0,001560 2,09 0,044915 0,981691 0,006649 2,59 0,013940 0,995201 0,001511 2,1 0,043984 0,982136 0,006468 2,6 0,013583 0,995339 0,001464

2,11 0,043067 0,982571 0,006292 2,61 0,013234 0,995473 0,001418 2,12 0,042166 0,982997 0,006120 2,62 0,012892 0,995603 0,001373 2,13 0,041280 0,983414 0,005952 2,63 0,012558 0,995731 0,001330 2,14 0,040408 0,983823 0,005788 2,64 0,012232 0,995855 0,001288 2,15 0,039550 0,984222 0,005628 2,65 0,011912 0,995975 0,001247 2,16 0,038707 0,984614 0,005472 2,66 0,011600 0,996093 0,001207 2,17 0,037878 0,984997 0,005321 2,67 0,011295 0,996207 0,001169 2,18 0,037063 0,985371 0,005172 2,68 0,010997 0,996319 0,001131 2,19 0,036262 0,985738 0,005028 2,69 0,010706 0,996427 0,001095 2,2 0,035475 0,986097 0,004887 2,7 0,010421 0,996533 0,001060

2,21 0,034701 0,986447 0,004750 2,71 0,010143 0,996636 0,001026 2,22 0,033941 0,986791 0,004616 2,72 0,009871 0,996736 0,000993 2,23 0,033194 0,987126 0,004486 2,73 0,009606 0,996833 0,000961 2,24 0,032460 0,987455 0,004359 2,74 0,009347 0,996928 0,000929 2,25 0,031740 0,987776 0,004235 2,75 0,009094 0,997020 0,000899 2,26 0,031032 0,988089 0,004114 2,76 0,008846 0,997110 0,000870 2,27 0,030337 0,988396 0,003996 2,77 0,008605 0,997197 0,000841 2,28 0,029655 0,988696 0,003882 2,78 0,008370 0,997282 0,000814 2,29 0,028985 0,988989 0,003770 2,79 0,008140 0,997365 0,000787 2,3 0,028327 0,989276 0,003662 2,8 0,007915 0,997445 0,000761

2,31 0,027682 0,989556 0,003556 2,81 0,007697 0,997523 0,000736 2,32 0,027048 0,989830 0,003453 2,82 0,007483 0,997599 0,000711 2,33 0,026426 0,990097 0,003352 2,83 0,007274 0,997673 0,000688 2,34 0,025817 0,990358 0,003255 2,84 0,007071 0,997744 0,000665 2,35 0,025218 0,990613 0,003160 2,85 0,006873 0,997814 0,000643 2,36 0,024631 0,990863 0,003067 2,86 0,006679 0,997882 0,000621 2,37 0,024056 0,991106 0,002977 2,87 0,006491 0,997948 0,000600 2,38 0,023491 0,991344 0,002889 2,88 0,006307 0,998012 0,000580 2,39 0,022937 0,991576 0,002804 2,89 0,006127 0,998074 0,000560 2,4 0,022395 0,991802 0,002720 2,9 0,005953 0,998134 0,000541

2,41 0,021862 0,992024 0,002640 2,91 0,005782 0,998193 0,000523 2,42 0,021341 0,992240 0,002561 2,92 0,005616 0,998250 0,000505 2,43 0,020829 0,992451 0,002484 2,93 0,005454 0,998305 0,000488 2,44 0,020328 0,992656 0,002410 2,94 0,005296 0,998359 0,000471 2,45 0,019837 0,992857 0,002337 2,95 0,005143 0,998411 0,000455 2,46 0,019356 0,993053 0,002267 2,96 0,004993 0,998462 0,000440 2,47 0,018885 0,993244 0,002198 2,97 0,004847 0,998511 0,000425 2,48 0,018423 0,993431 0,002132 2,98 0,004705 0,998559 0,000410 2,49 0,017971 0,993613 0,002067 2,99 0,004567 0,998605 0,000396

Modelos de Estoques

111


z n(z) N(z) G(z) z n(z) N(z) G(z) 3 0,004432 0,998650 0,000382 3,5 0,000873 0,999767 0,000058

3,01 0,004301 0,998694 0,000369 3,51 0,000843 0,999776 0,000056 3,02 0,004173 0,998736 0,000356 3,52 0,000814 0,999784 0,000054 3,03 0,004049 0,998777 0,000343 3,53 0,000785 0,999792 0,000052 3,04 0,003928 0,998817 0,000331 3,54 0,000758 0,999800 0,000050 3,05 0,003810 0,998856 0,000320 3,55 0,000732 0,999807 0,000048 3,06 0,003695 0,998893 0,000308 3,56 0,000706 0,999815 0,000046 3,07 0,003584 0,998930 0,000298 3,57 0,000681 0,999821 0,000044 3,08 0,003475 0,998965 0,000287 3,58 0,000657 0,999828 0,000042 3,09 0,003370 0,998999 0,000277 3,59 0,000634 0,999835 0,000041 3,1 0,003267 0,999032 0,000267 3,6 0,000612 0,999841 0,000039

3,11 0,003167 0,999064 0,000258 3,61 0,000590 0,999847 0,000037 3,12 0,003070 0,999096 0,000248 3,62 0,000569 0,999853 0,000036 3,13 0,002975 0,999126 0,000239 3,63 0,000549 0,999858 0,000034 3,14 0,002884 0,999155 0,000231 3,64 0,000529 0,999864 0,000033 3,15 0,002794 0,999184 0,000223 3,65 0,000510 0,999869 0,000032 3,16 0,002707 0,999211 0,000215 3,66 0,000492 0,999874 0,000030 3,17 0,002623 0,999238 0,000207 3,67 0,000474 0,999879 0,000029 3,18 0,002541 0,999264 0,000199 3,68 0,000457 0,999883 0,000028 3,19 0,002461 0,999289 0,000192 3,69 0,000441 0,999888 0,000027 3,2 0,002384 0,999313 0,000185 3,7 0,000425 0,999892 0,000026

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