modelo matricial introdução aos aula 5 · – todo o local no interior da área de estudo é...

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Introdução aos

Sistemas de Informação Geográfica

Alexandre Gonçalves

DECivil - IST [email protected]

Aula 5

Modelo matricial

Modelo matricial

1. Resolução

2. Tipos de valores e dados

3. Compatibilização

4. Álgebra de mapas: funções locais, focais,

zonais e globais

5. Interpolação

6. Conversão vetorialmatricial

7. Vetorial versus matricial

Modelo matricial

Divide a área de estudo numa grelha regular de

células numa sequência específica formando

uma tesselação ou pavimentação

– cada célula tem um valor numérico associado

– todo o local no interior da área de estudo é

preenchido com uma célula

Modelo matricial

As células não têm de ser quadradas.

Quais os polígonos regulares que formam

tesselações (pavimentações)?

com pentágonos

não dá

Resolução espacial

5

Tipos de valores e dados

• Valores – Inteiros (pode ser uma grandeza

medida ou codificar algo)

– Reais

• Dados – Funções contínuas (ex. temperatura,

altitude)

– Dados categóricos (ex. uso do solo)

• Cada célula só tem um valor – muitas vezes inadequado: uma fronteira pode passar a meio de uma

célula

• tem de haver alguma regra de decisão de classificação (ver

conversão vetorialmatricial, no fim)

– onde não há dados, há o valor Sem valor / No Data / Null

No Data / NULL

6 (valor de um

dos atributos

desta layer

vetorial)

6 aqui não há

nada

vetorial matricial

6

2

Estrutura de uma matriz

7

Zonas são grupos de

células com o mesmo valor

– Cada zona está associada

a uma linha da tabela de

atributos da matriz

Regiões são zonas

contíguas

– O número de regiões varia

consoante a definição de

contiguidade de células

4

0 4 4 11

0 4 4 11

0 0 4 11

4

4

0

0

4

4

Null 11

4 11 11

11

Estrutura: Zonas e Regiões

Nesta matriz há ___

zonas e ___ regiões

8

Quando se georreferencia uma imagem ou se

transformam coordenadas é necessário “mover”

e “alterar” um CDG matricial

• O valor da célula na imagem/grelha corrigida

é o valor da célula mais próximo na

imagem/grelha original, independentemente

do desvio existente.

• Vantagens

– Computacionalmente simples

– Não altera os valores originais

– Aplicável a escalas nominais

• Desvantagens

– Objetos sofrem desvio de até meia célula

– Estruturas lineares ficam com aspeto zigzag

Compatibilização pelo método vizinho

mais próximo

Imagem/

grelha

corrigida

9

Compatibilização pelo método da

interpolação bilinear

• O valor da célula na matriz corrigida é

uma média ponderada do valor das 4

células mais próximas na matriz

original.

• Vantagens

– Adequado a funções contínuas…

• Desvantagens

– Pode suavizar demasiado os valores…

– Altera os valores das células para

valores que não existiam na matriz

original, pelo que não serve para dados

nominais

Imagem/grelha original

Imagem/

grelha

corrigida

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Álgebra de mapas (análise espacial

matricial) • Funções locais

Usam o valor da célula na mesma posição na matriz(es) de entrada

• Funções focais Usam os valores das células num foco de forma fixa

• Funções zonais Usam os valores das células definidas segundo zonas

• Funções globais Todas as restantes funções de álgebra de mapas

Funções locais

Populacao2010 Populacao2000 VarPop

_ =

Designam-se por funções locais as funções obtidas

por combinação dos valores de uma ou mais matrizes

com a mesma posição na matriz.

169 3 99 35 87 2 94 24 94 1 5 11

Null 62 46 19 Null 32 39 13 Null 30 7 6

Null 74 156 38 Null 74 89 35 Null 0 75 3

52 100 34 123 48 69 22 100 4 31 12 23

12

3

Funções locais

VarPop=((Pop2010–Pop2000)/(Pop2000))*100

169 3 99 35 87 2 94 24

Null 62 46 19 Null 32 39 13

Null 74 156 38 Null 74 89 35

52 100 34 123 48 69 22 100

0 0 0 0 94 50 5 46

Null 0 0 0 Null 94 18 46

Null 0 0 0 Null 0 75 9

0 0 0 0 8 45 55 23

Pop2010 Pop2000

resultado se

se usar a

divisão inteira

(onde 2/3 = 0)

resultado se

se usar a

divisão real

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Funções locais

Operadores Aritméticos •Os operadores básicos (+,-,*,/) estão geralmente disponíveis.

•Atenção aos problemas de arredondamento e precedência de

operadores.

Operadores Booleanos ou Lógicos •Os operadores básicos (AND, OR, NOT) estão geralmente

disponíveis.

•Output: 0=FALSE, 1=TRUE

•Input: 0=FALSE, ~0=TRUE

AND = 0 3 5 1 Null 0 2 Null Null 0 1 Null

Null 3 1 8 Null 2 0 7 Null 1 0 1

Null 9 5 4 Null 2 3 0 Null 1 1 0

6 5 7 3 0 3 2 1 0 1 1 1

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Funções locais: Reclassificação

• é uma das operações mais usadas

3 1 [0,2]=0 ]2,6]=1 ]6,9]=2

2

7

6 5

9

1 5

8

0 1 0

1 1

2 2 2

http://giscommons.org

Funções focais

...

6 4 5 9

3 7 5 6

4 5 6 7

...

...

5

...

6

As funções focais têm em consideração não somente

o valor de uma célula isolada mas também os valores

das células situadas numa vizinhança próxima, definida

em geral por uma janela, designada foco.

exemplo: média focal com janela de 3x3

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Funções focais

Nas funções focais

propriamente ditas há uma

janela móvel, i.e., as

vizinhanças sobrepõem-se.

Nas funções de bloco as vizinhanças

são justapostas.

O valor de output é igual em todas as

células de um dado bloco. 17

Funções focais definição de um foco

O foco pode tomar qualquer forma

vizinhança

circular células incluídas

no foco

célula a

processar

vizinhança

anelar (donut)

células incluídas

no foco

célula a

processar

18

4

Funções focais

© Paul Bolstad, GIS Fundamentals

Exemplos de aplicação:

• Remoção do “ruído” (deteção de

erros/outliers)

• Cálculo de declive e orientação

• Índice de rugosidade

2

,

)( celji

ijcel XXR

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Funções zonais

• As funções zonais são semelhantes às focais, com a diferença de a vizinhança não ter uma forma fixa, podendo a zona ser definida numa outra matriz.

• Calculam para cada célula uma determinada função ou estatística usando o valor dessa célula e de todas as que pertencem à mesma zona.

• Algumas funções zonais (tipo I) nas quais as zonas são definidas por um valor isolado permitem obter estatísticas ou quantificar as características da geometria das zonas de input.

• Outras funções zonais (tipo II) nas quais as zonas são definidas através de uma segunda matriz permitem obter estatísticas ou preencher zonas específicas com valores da matriz de input.

20

Funções zonais

Exemplos do tipo I:

Área zonal, Perímetro zonal,

Profundidade zonal

Exemplos do tipo I:

Área zonal, Perímetro zonal,

Profundidade zonal

resposta a perguntas do tipo “Qual a área de cada zona”, “Qual o perímetro

de cada zona”, “Qual a distância mínima a que se encontram células de outro

valor?”

21

Funções zonais

A

G A A X

G A A X

G G A X

A

1

1

1

3

A

G

G

A

A

Null X

A X X

X

2 2

0 0

5 6

2 1

0 3

2 4

0 1

2

1 12

2

2

0

1

25

25

25

25

10 25

25 25

Null 14

14 14

10 10

25 10

10 10

25

25 25

14

14

14

14

resultado de uma

soma zonal

layer de zonas layer de valores a agrupar

Exemplos do tipo II:

Maioria, Máximo, Média,

Mediana, Mínimo, Minoria,

Intervalo, Desvio-padrão,

Variância, Soma, Variedade

Funções globais

Caminhos de menor custo

Cálculos hidrológicos

Cartas de visibilidades

Métricas de paisagem

(veremos + tarde)

• As funções globais são todas as que não são nem locais, nem focais, nem zonais. Exemplos:

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Interpolação

• A interpolação é uma técnica para estimar

valores desconhecidos de uma função a

partir de valores conhecidos da mesma

função x f(x)

a f(a)

b ?

c f(c)

d f(d)

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Interpolação na conversão de formatos

Necessária na conversão de pontos matriz

Opcional na conversão de matriz pontos

Dois modos de considerar os valores da grandeza representada

por uma matriz: com interpolação usando os valores mais

próximos (esq.) ou usando só o mais próximo (dir.)

3D

la

ttic

e –

su

av

e

3D

gri

d –

po

r b

loc

os

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Interpolação na reamostragem

• Vizinho mais próximo

– para dados categóricos (discretos)

• Interpolação bilinear

• Convolução cúbica/bicúbica Matriz original

Nova

matriz

Reamostragem é a alteração

da resolução espacial de uma

matriz, ou o recálculo dos

valores das células que é

necessário quando se faz uma

transformação de coordenadas

26




– para funções contínuas

• Convolução cúbica/bicúbica Matriz original

Nova

matriz

27




• Convolução cúbica/bicúbica

– para funções contínuas

28


ww

w.c

hri

sm

ad

den

.co

.uk

29


Outra maneira, como função focal

30

6

Interpolação

Interpolação linear

(grau 1) Interpolação polinomial

(grau >1)

31

Interpolação

• Splines (regularized / tension) • Utilizam splines baseados nos pontos

de input mais próximos

• Criam superfícies suavizadas de

curvatura mínima

• Exatas nos pontos de input

• Triangulações • A mais simples interp. linear

K

J

I

AOJK AOIJ

AOIK

O

f(x,y) = z = ax + by + c

z1 = ax1 + by1 + c

z2 = ax2 + by2 + c

z3 = ax3 + by3 + c

Interpolação

• IDW – Inverse

Distance Weighted

Parâmetros:

• Potência n

• Número máximo de

vizinhos ou raio de

procura máximo

33

Interpolação

• IDW – quanto maior a potência, maior a

diferença entre células vizinhas

– quanto maior a vizinhança, mais

suave será a superfície

– estima exctamente nos pontos

amostrais

– à medida que se afasta destes, tende

para a média da região

– necessita de boa distribuição das

amostras

Interpolação

• Exemplo de IDW

x y f(x,y)=zi Dist. à obs.

8 = di

wi=

1/ di

(1/di) / (S1/di)

1 61 139 477 4.5 0.2222 0.2088

2 63 140 696 3.6 0.2778 0.2610

3 64 129 227 8.1 0.1235 0.1160

4 68 128 646 9.5 0.1053 0.0989

5 71 140 606 6.7 0.1493 0.1402

6 73 141 791 8.9 0.1124 0.1056

7 75 128 783 13.5 0.0741 0.696

8 65 137 ? 0 0 0

S1/di = 1.0644 1.0

f ^(65,137) = 594.0

pesos

normalizados pesos

Interpolação


7

Interpolação

• Vizinho natural

– a área de cada polígono de

Thiessen dá o peso de cada

ponto/polígono para calcular

o valor

Interpolação

• Raio fixo

Interpolação

• Trend

– Polinómio ajustado por mínimos

quadrados (até grau 12 no ArcGIS)

– Não exata

Interpolação

• Krigagem – baseada na variabilidade espacial, segundo direções e segundo a

distância entre pontos

– considera autocorrelação (relação estatística entre pontos amostrais)

– múltiplos métodos, e cada um usa fórmulas para avaliar a relação

entre a posição dos pontos e os respetivos valores da grandeza a

interpolar

– fornecem ainda medida (e mapa) da incerteza de estimação

Interpolação

• Quantificação de margens de erro

e = f^(x,y) - f(x,y) erro de estimação

e = 1/n S f^(x,y) - f(x,y) erro médio para os n pontos

MAE =e = 1/n S f^(x,y) - f(x,y) erro absoluto

médio

MSE = 1/n S [ f^(x,y) - f(x,y) ]2 erro quadrático

médio

f^(x,y) é o valor estimado; f(x,y) é o valor conhecido

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Álgebra de mapas: cuidados

© Paul Bolstad, GIS Fundamentals

• As matrizes podem

diferir – Na resolução espacial

– Na orientação dos eixos

– Nas coordenadas dos cantos

– No tipo de valores numéricos

que guardam

– No valor associado a NoData

– ...

42

8

Conversão vetorialmatricial

• só há um valor por célula

• necessidade de regras de atribuição

– maior parte da área (para áreas)

– valor no centro

– presença na célula (para entidades lineares)

– necessidade de preservar algumas entidades “raras”

• escolha da resolução espacial:

é boa prática a regra de escolher

para resolução espacial nunca

mais que ½ do menor

comprimento ou ¼ da área do

menor elemento vetorial não

pontual

43

Conversão vetorialmatricial

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“Vantagens” do matricial

• Estrutura de dados

simples

• Análise fácil

• A plataforma

computacional não é

exigente

• Dados da deteção

remota são em formato

matricial

• Modelação simples

• Algoritmia geralmente

mais simples

• Inexatidão posicional

• Como cada célula tende à

generalização do

conteúdo, o resultado tem

resolução inferior ao

vetorial.

• Não indica precisamente o

que existe em dado local.

• Cada célula tem de ser

classificada, mesmo que

nada lá exista.

• Grande volume de dados

“Desvantagens” do matricial

“Vantagens” do vetorial

• Mais aproximado aos “mapas”

• Resolução mais elevada

• Maior precisão no posicionamento dos objetos

• Menor volume de dados (em geral)

• Interpretação evidente

• Topologia

• Produtos cartográficos mais “apelativos”

“Desvantagens” do vetorial

• Manipulação mais

“difícil” do que matricial

• Requer processamento

geométrico

• Edição mais demorada

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